Геометрия оснащённых подмногообразий в пространстве проективно-метрической связности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи

ГОЛУБЕВ А ЕКАТЕРИНА АЛЕКСАНДРОВНА

ГЕОМЕТРИЯ ОСНАЩЁННЫХ ПОДМНОГООБРАЗИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ ПРОЕКТИВНО-МЕТРИЧЕСКОЙ СВЯЗНОСТИ

01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань - 2006

Работа выполнена на кафедре геометрии ГОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет имени И. Я. Яковлева»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Столяров Алексей Васильевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Игошин Владимир Александрович кандидат физико-математических наук, доцент Подковырян Алексей Семёнович

Ведущая организация: Российский государственный университет имени И. Канта

Защита состоится « 2Л » декабря 2006 года в 1.3 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д. 212.081.10 при Казанском государственном университете (420008, г. Казань, ул. Кремлёвская, 18, корпус 2, конференц-зал Научной библиотеки)

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке имени Н. И. Лобачевского Казанского государственного университета (г. Казань, ул. Кремлёвская, 18)

Автореферат разослан « 0_ » НО&бР£)[ 2006 г.

Учёный секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук, доцент

М? А. Малахальцев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ

Постановка вопроса и актуальность темы. В дифференциальной геометрии важное место занимает теория связностей в различных расслоенных пространствах, а также её применение при исследовании оснащённых подмногообразий, погружённых в однородные и обобщённые пространства.

История теории связностей начинается с работы Т. Леви-Чивита1* о параллельном перенесении вектора в римановой геометрии. Эта идея была обобщена в различных направлениях, например, в общей теории относительности. В середине XX века В. В. Вагнер2) и Ш. Эресман3) независимо друг от друга ввели общее понятие связности в расслоенном пространстве. Г. Ф. Лаптев4* отождествил понятие связности с понятием геометрического объекта специального вида.

Первые применения понятия проективной связности к геометрии подмногообразий в проективном пространстве дал Э. Картан5). Метод нормализации, разработанный А. П. Норденом6), позволил в касательных расслоениях подмногообразий проективного пространства индуцировать аффинные связности без кручения.

В работах Г. Ф. Лаптева и H. М. Остиану7) ~ 9) получила широкое развитие теория распределений m -мерных линейных и гиперплоскостных элементов в проективном пространстве Рп и пространстве проективной связности Рп п. В случае распределения гиперплоскостных элементов в пространствах со связностью без кручения эта теория нашла своё отражение в ра-

1. Levi-Crvita Т. Nozioni di parallelismo in una varieta qualunque e conseguente speci-ficazione geométrica della curvature Riemanniana / T. Levi-Civita // Rend. circ. Matem. — Palermo, 1917. - P. 173-205.

2. Вагнер В. В. Теория составного многообразия / В. В. Вагнер // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. - Москва, 1950. - Вып. 8. - С. 11-72.

3. Ehresmann С. Les connexions infinitésimales dans un éspace fibré differcntiable / C. Ehresmann // Colique de Topologie (Bruxelles, 1950). - Paris, 1951. - P. 29-55.

4. Лаптев Г. Ф Дифференциальная геометрия погружённых многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований / Г. Ф. Лаптев // Тр. Моск. матем. об-ва. - М., 1953. - Т. 2. - С. 275-382.

5. Carian Е. Les éspaces á connexion projective / E. Cartan // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. - Москва, 1937.-Вып. 4.-С. 147-159.

6. Норден А. П. Пространства аффинной связности / А. П. Норден. - М.: Наука, 1976.-432 с.

7. Лаптев Г. Ф. Распределения m -мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. I / Г. Ф. Лаптев, H. М. Остиану // Тр. Геом. семинара / Ин-т на-учн. информ. АН СССР. - 1971. - Т. 3. - С. 49-94.

8. Остиану H. М. Распределения m -мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. II / H. М. Остиану // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. - 1971.-Т. 3.-С. 96-114.

9. Остиану H. М. Распределение гиперплоскостных элементов в проективном пространстве / H. М. Остиану // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. — 1973.-Т. 4.-С. 71-120.

ботах В. И. Близникаса10'"11).

В. Т. Базылевым125,13) получена обширная теория плоских многомерных сетей погружённых в и-мерное проективное пространство Рп.

А. В. Столяровым14* построены основы двойственных теорий различных оснащённых многообразий, погружённых в пространство проективной связности Pnjt.

Понятие пространства проективно-метрической связности Кпп было введено Г. Ф. Лаптевым"0 как обобщение понятия проективно-метричес-кого пространства Кп6\ А. В. Столяровым15' найдено инвариантное аналитическое условие, при выполнении которого просгранство проективной связности Рп п становится пространством проективно-метрической связности Кп п; им изучены некоторые вопросы дифференциальной геометрии

полярной15) нормализации пространства проективно-метрической связности Кпп.

Отметим, что проективно-метрическое пространство К„ с невырожденным абсолютом овального типа имеет особое значение в геометрии, так как оно представляет собой проективную интерпретацию геометрии Лобачевского, с помощью которой Ф. Клейн дал строгое доказательство её непротиворечивости.

Объектом исследования настоящей работы являются оснащённые многообразия, погружённые в пространство проективно-метрической связности Кп л с и-мерной базой и п -мерными слоями. В качестве подмногообразий пространства Кп п рассматриваются само пространство проективно-метрической связности Кп п (глава I) и регулярное распределение

гиперплоскостных элементов (регулярная неголономная гиперповерхность) SR, погружённое в пространство Кп п (главы II и III); в качестве оснащений - нормализации указанных подмногообразий пространства К„ „.

10. Близникас В. И. О неголономной поверхности трёхмерного пространства проективной связности / В. И. Близникас // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР,- 1971.-Т. З.-С. 115-124.

\ 1. Близникас В. И. Дифференциальная геометрия неголономной гиперповерхности риманова пространства / В. И. Близникас // Liet. mat. rinkinys: Лит. мат. сб. - Вильнюс, 1971.-Т. ll.-№ 1.--С. 63-74.

12. Базылев В. Т. К геометрии плоских многомерных сетей / В. Т. Базылев // Уч. зап. Московского гос. пед. ин-та им. В. И. Ленина. - 1965. - № 243. - С. 29-37.

13.Базылев В. Т. О многомерных сетях и их преобразованиях / В. Т. Базылев // Итоги науки и техники. Геометрия (1963) / ВИНИТИ АН СССР. - М., 1965. -С. 138-164.

14.Столяров А. В. Двойственная теория оснащенных многообразий: Монография. 2-е изд., доп. / А. В. Столяров. - Чебоксары: Чувашский госпедун-т, 1994. - 290 с.

15. Столяров А. В. Пространство проективно-метрической связности / А. В. Столяров И Известия вузов. Матсм. - 2003. - № 11. - С. 70-76.

Эти исследования являются актуальными и представляют большой научный интерес, ибо: 1) изучение геометрии нормализованного пространства проективно-метрической связности Кпл до настоящего времени находилось лишь в начальной стадии; 2) геометрия неголономной гиперповерхности, погружённой в пространство Кп/г, отличное от плоского, до

настоящего времени в математической литературе вообще не изучалась; 3) представляет научный интерес приложение геометрии проективно-метрического пространства Кп и аффинных связностей, индуцируемых его нормализацией, к изучению некоторых классов плоских сетей £„с--Кп.

Цель работы. Целью настоящего диссертационного исследования является инвариантное построение основ двойственной геометрии некоторых оснащённых многообразий, погружённых в пространство проективно-метрической связности К„ п. Достижение поставленной цели включает в себя решение следующих ключевых задач:

1) внутренним инвариантным образом построить и изучить двойственную геометрию линейных связностей (проективных, проективно-метрических и аффинных), индуцируемых нормализацией пространства Кп п, а также найти пути приложения геометрии проективно-метрического пространства Кп и полученных аффинных связностей к изучению некоторых классов плоских сетей Е„ с: Кл;

2) построить основы инвариантной двойственной геометрии регулярной неголономной гиперповерхности 91, погружённой в пространство проективно-метрической связности К„ „;

3) исследовать дифференциально-геометрические структуры, внутренним инвариантным образом определяемые нормализацией распределения гиперплоскостных элементов 9? в К„п;

4) для распределения .91 построить полярное (относительно локальных абсолютов ()п_х пространства Кп п) распределение гиперплоскостных

элементов 9? и изучить геометрию подмногообразий 9?, 9? и их нормализации во взаимосвязи.

Методы исследования. В диссертации используются инвариантные методы дифференциально-геометрических исследований, а именно, метод продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева4), метод внешних дифференциальных форм Э. Карпгана16) и метод нормализации А. П. Нордена6). Использование указанных методов позволило изучить дифференциально-геометрические факты, связанные с дифференциальными окрестностями образующих элементов исследуемых подмногообразий до третьего порядка включительно.

16. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии / С. П. Фиников. - М. - Л.: ГИТТЛ, 1948. - 432 с.

Все исследования в работе проводятся в минимально специализированных системах отнесения, что позволило получить результаты в инвариантной форме. Все рассмотрения проводятся с локальной точки зрения. Встречающиеся функции предполагаются достаточное число раз дифференцируемыми, то есть изучаемые подмногообразия достаточно гладкие, а при доказательстве теорем существования — аналитическими. Следует заметить, что результаты по геометрии лиьейных связностей получены с применением теории связностей в расслоенных пространствах в форме, данной Г. Ф. Лаптевым 17).

Научная новизна. Все результаты диссертационного исследования являются новыми и получены автором самостоятельно; научная новизна обусловлена тем, что до настоящего времени в математической литературе геометрия оснащённых многообразий, погружённых в пространство проек-тивно-метрической связности Кп п, оставалась практически не изученной.

В диссертации приведены доказательства всех основных предложений, которые сформулированы в виде теорем.

Теоретическая и практическая значимость. Работа имеет теоретическое значение. Полученные в ней результаты могут быть использованы при дальнейшем изучении различных подмногообразий (как голономных, так и неголономных) пространства Кпп в Казанском, Калининградском, Тверском государственных университетах, Нижегородском и Чувашском государственных педагогических университетах.

Теория, разработанная в диссертации, может быть применена в качестве материала специальных и факультативных лекционных курсов для студентов старших курсов и аспирантов математических факультетов, а также при написании ими курсовых, дипломных и научных работ.

Апробация. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах по современным проблемам 1еометрии: на заседаниях научно-исследовательского семинара молодых исследователей при кафедре геометрии Чувашского государственного педагогического университета (Чебоксары, 2004 — 2006 гг.); на научных конференциях аспирантов, докторантов и научных сотрудников Чувашского государственного педагогического университета (Чебоксары, 2004 — 2006 гг.); на IX нижегородской сессии молодых учёных «Математические науки» (Саров, 2004 г.); на Международной научной конференции «Актуальные проблемы математики и механики» (Казань, 2004 г.); на Четвёртой молодёжной научной школе-конференции «Лобачевские чтения-2005» (Казань, 2005 г.); на заседаниях Казанского городского научно-исследовательского геометрического семинара (Казань, КГУ, 2006 г.).

17. Евтушик Л. Е. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях / Л. Е. Еьтушик [и др.] И Итоги науки и техники. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. - М., 1979. - Г. 9. - 246 с.

Публикации. Основные научные результаты, включённые в диссертационную работу, опубликованы в 17 печатных работах автора (см. [1] - [17]).

Вклад автора в разработку избранных проблем. Диссертация является самостоятельным исследованием автора. Все опубликованные научные работы по теме исследования, кроме одной (см. [1]), выполнены без соавторов.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения (исторический обзор, общая характеристика и содержание диссертации), трёх глав и списка литературы, включающего 110 наименований. Полный объём диссертации составляет 127 страниц машинописного текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В первой главе изучается двойственная геометрия нормализо-ванного6) пространства проективно-метрической связности „4) и плоских многомерных сетей12* с: Кп.

В начале главы (§ 1, пп. 1, 2) приводится материал, носящий реферативный характер. В пункте 3 § 1 найдена квадратичная форма

с1в2 = —-—аиа>'0а>ъ , определяющая метрику пространства Кп п. с

Пространство проективно-метрической связности Кп/1 по аналогии с определением, введённым А. П. Норденом6) для проективного пространства Рп, называется нормализованным (оснащённым по А. П. Нордену), если в нём задано поле ковектора V;, у0 * 0. Методом продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева4) в первых трёх дифференциальных окрестностях нормализованного пространства К„„ построены (§ 2, п. 1) поля тензоров с], Ьц,

А,, А]Ж, Вик; при этом тензор Ьи предполагается невырожденным, то есть рассматривается невырожденнаяи) нормализация пространства Кпп. По аналогии с нормализованным проективным пространством Рн 6) нормализация пространства проективно-метрической связности Кпп с полем симметричного тензора Ъи называется гармонической.

С использованием теории связностей в расслоенных пространствах в форме, данной Г. Ф. Лаптевым4*' 17), получен (§ 2, пп. 2, 3) один из центральных результатов первой главы: в третьей дифференциальной окрестности невырожденная нормализация пространства проективно-метрической связности Кп/> индуцирует три нормачизованных невырож-

2 3 4

денным образом пространства проективной связности /*„„, Р„„, Р„„\

2 3 4

индуцированные пространства Р„„, Р „„■> РПу„ являются двойственными14) относительно соответствующих инволютивных преобразований Iр

(р —1,2,3) форм проективной связности как между собой, так и по отношению к исходному пространству Кп п (теоремы 1.2,1.3).

Пункт 4 § 2 главы I посвящен нахождению критерия того, что каждое

2 3 4

из пространств проективной связности Р„„, /*„„, Р„„ (по отдельности) является пространством проективно-метрической связности. Доказано,

3 4

что, если пространство Р„„ или Р„л, индуцируемое невырожденной нор-

о

мализацией пространства Кпп без кручения, также имеет нулевое кручение, то вопрос о нахождении критерия быть пространством проективно-метрической связности нужно ставить лишь по отношению к пространству 2 2

Рп„. В случае пространств К„п и Рп„ без кручения найдено инвариант-

2

ное аналитическое условие, при выполнении которого Р„„ есть пространство проективно-метрической связности; этим условием является обращение в ноль тензора третьего порядка Сцк (теорема 1.7); рассмотрены три возможных частных случая, при которых равен нулю тензор Сик, а именно, доказаны следующие утверждения (теоремы 1.8 —1.10):

— невырожденная нормализация проективно-метрического пространства К„ индуцирует двойственное нормализованное (невырожденным об-

2

разом) проективно-метрическое пространство Кп ;

— при невырожденной полярной,5) нормализации пространства про-

о

ективно-метрической связности Кп п без кручения индуцируется двойственное пространство проективно-метрической связности без кручения, изоморфное исходному,

о

— если при невырожденной нормализации пространства Кп „ без кру-

2

чсния индуцируемое пространство проективной связности Рп^ также

имеет нулевое кручение, и обращается в ноль тензор с, н—-—Л,, то про-

п +1

2

странство Рп „ представляет собой полярно нормализованное пространство проективно-метрической связности без кручения.

В пункте 5 § 2 исследуется случай полярной,5) нормализации пространства Кпп. Показано, что в этом случае индуцированные двойствен-

2 3 4

ные пространства проективной связности Рп^, Рп п, Рп п совпадают и

представляют собой пространство проективно-метрической связности, изоморфное исходному пространству Кп п (теорема 1.11).

Определение. Невырожденным образом нормализованное пространство проективно-метрической связности с полем нулевого тензора

третьего порядка AIJK назовём А—пространствам проективно-метрической связности, а с полем нулевого тензора третьего порядка Вик — В — пространством проективно-метрической связности.

Доказано, что на А — пространстве Кп „ индуцируемые двойственные

2 3 4

пространства проективной связности Рп п, Рпп, Р совпадают, причём 2

пространство Рпп представляет собой гармонически нормализованное тангенциальное А — пространство проективно-метрической связности с теми же формами связности и тензором кривизны-кручения, что и исходное пространство Кп п (теорема 1.12).

В § 3 изучаются аффинные связности, индуцируемые невырожденной нормализацией пространства проективно-метрической связности К„ „.

Доказано (§ 3, п. 1), что невырожденная нормализация пространства Кпп индуцирует два пространства аффинной связности Ап п и Ап п с кривизной и кручением, двойственные относительно инволютивного преобразования /, (теорема 1.14). Найден критерий совпадения связностей V и V ; в этом случае Кп п есть А — пространство (теорема 1.15).

Получен (§ 3, п. 2) ряд результатов по изучению внутренних геометрий пространств Ап п и Ап п; доказаны следующие предложения:

о

1) пространство аффинной связности без кручения Апп является экви-

аффинным тогда и только тогда, когда нормализации исходного пространства проективно-метрической связности Кп п гармоническая; критерием

_о

эквиаффинности пространства Апп без кручения является обращение в

ноль чебышевского вектора Ак (теоремы 1.16,1.16*);

о _

2) на А— пространстве Кпп без кручения аффинная связность Vs V

риманова с полем метрического тензора Ьц; на В — пространстве Кп п геометрия аффинной связности V (V ) является метрической с полем метрического тензора Ми + Ьл), и при её нулевом кручении в предположении \Ми | ^ 0 она будет вейлевой с полем метрического тензора Ми (теоремы 1.17,1.18);

3) условие симметричности^ любого из пространств Апп и Апп, ин-

18. Рашевский П. К. Симметрические пространства аффинной связности с кручением. I / П. К. Рашевский // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. - Москва, 1950. - Вып. 8. - С. 82-92.

дуцируемых нормализацией проективно-метрического пространства Кп, равносильно совпадению связностей V и V (теорема 1.19).

Выяснен (§ 3, п. 3) характер геометрии средней по отношению к связ-

__о

ностям V и V аффинной связности V. Доказано, что если в случае гармонической нормализации пространства проективно-метрической связности о

Кп п средняя связность V имеет нулевое кручение (что выполняется, например, при К„ „ = К„), то соответствующая ей геометрия является рима-новой с полем основного метрического тензора Ьи (теорема 1.20).

Пункт 4 § 3 первой главы посвящен изучению внутренних геометрий аффинных связностей V и V в случае полярной15' нормализации пространства К„ „. Показано, что внутренняя геометрия пространства аффинной связности АПд з Ап п, индуцируемого полярной нормализацией пространства Кп п, является метрической с полем метрического тензора аи; если при этом пространство Кпп (а, следовательно, и Апп) без кручения,

о

то связность пространства А„„ эквиаффинная (теорема 1.21). При поляр-

о

ной нормализации пространства проективно-метрической связности Кпп

без кручения с невырожденной мегрикой (¡а;/1 * о) пространство аффинной о

связности без кручения Аг п является римановым с полем основного мет/ 0 рического тензора аи; при этом, если тензор Щг, пространства К„ „ нулевой, то пространство Ап п эйнштейново19' (теорема 1.22).

В § 4 первой главы найдены пути приложения двойственной геометрии проективно-метрического пространства К„ и аффинных связностей V и V пространств А„^ и Ап/, к изучению геометрии некоторых классов плоских сетей12) с: К„, а именно, сопряжённых относительно поля конусов направлений ак,со£сОц =0 п -сопряжённых систем в смысле Р. В. Смирнова20', сопряжённых относительно поля конусов направлений акь(°о^о чебышевских «-сопряжённых систем первого и второго родов, сопряжённых геодезических «-сопряжённых систем первого рода. Основные результаты этого параграфа приведены в теоремах 1.24,1.26,1.27 и замечаниях к ним. Доказаны теоремы существования основных классов рассматриваемых плоских сетей £„ с Кп.

19. Кобаяси Ш. Основы дифференциальной геометрии / Ш. Кобаяси, К. Номид-зу. - М.: Наука, 1981.-Т. 1.-344 с; Т. 2.-414 с.

20. Смирнов Р. В. Преобразования Лапласа р -сопряжённых систем / Р. В. Смирнов //Доклады АН СССР, — 1950.— Т. 71. —№3. - С. 437-439.

В главе II диссертации изучается двойственная геометрия регулярного распределения первого рода гиперплоскостных элементов7*' * 91, погружённого в пространство проективно-метричесхой связности Кп п.

В § 1, п. 1 записаны дифференциальные уравнения подмногообразия 9?, приведены поля его фундаментальных и некоторых охваченных геометрических объектов. Центральным результатом § 1 является теорема 11.1: регулярное распределение гиперплоскостных элементов 91, погружённое в пространство проективно-метрической связности К„ „, индуцирует'.

1) во второй дифференциальной окрестности пространство проективной связности Рпп, двойственное пространству К„ „;

2) в первой дифференциальной окрестности многообразие 91 в Рпп, двойственное исходному распределению 91.

В случае пространств Кп п и Рп „ без кручения найдено условие того,

_о

что пространство проективной связности Рп есть пространство проек-

_0

тивно-метрической связности Кп „ (теорема 11.2).

Доказано (§ 2, пп. 1, 2), что распределение гиперплоскостных элементов 91 в Кп п внутренним образом порождает два поля инвариантных соприкасающихся гиперквадрик4**7*',4* и £?л-1, определённых во второй и третьей дифференциальных окрестностях текущего элемета распределения соответственно. Поле соприкасающихся гиперквадрик имеет место как на распределении гиперплоскостных элементов 91 в Кпп, так и на

гиперповерхности <= АГИЯ, а поле (2л-1 — лишь на подмногообразии 91.

Построены образы <2П2_,, £?„2,, двойственные гиперквадрикам 0%_х и

определённые на подмногообразии 91 в Рп „. В случае распределения 91 с полем симметричного тензора А^ найдены условия касания третьего порядка14* гиперквадрик полей и (<2„2_, и <2?-.х) с подмногообразием 91 в Кпп (Ж в Р„„) (теоремы 11.4, П.4*, П.5).

В § 3 второй главы для распределения 91 в Кп п построено полярное (относительно локальных абсолютов (2,,^ пространства Кпп) распределение гиперплоскостных элементов 91 (теорема П.6). В случае, когда исходное пространство проективно-метрической связности плоское, то есть Кп п 2= Кп, найдены дифференциальные уравнения подмногообразия 91, доказано, что: 1) регулярность одного из взаимно-полярных распределений 91 и 91 в проективно-метрическом пространстве Кп влечёт регулярность

другого (теорема П.7); 2) подмногообразия 9* и 91 в Кп могут быть голо-номными|2) лишь одновременно (теорема П.8).

Глава III диссертации посвящена изучению двойственной геометрии нормализованного6* распределения гиперплоскостных элементов погружённого в пространство проективно-метрической связности К„ „.

В § 1 доказано, что нормализация одного из регулярных распределений гиперплоскостных элементов 9? в Кпп и 91 в Рпп равносильна нормализации другого; найдена взаимосвязь между компонентами полей оснащающих объектов ^,,<7,} и подмногообразий 9? и 9? (тео-

рема 111.1). Приведены примеры применения двойственной геометрии регулярного распределения гиперплоскостных элементов 9? в Кпп к построению его взаимно-полярной и двойственных14) инвариантных нормализации.

Ценгральным результатом § 2 третьей главы является теорема Ш.2: оснащение в смысле А. П. Нордена регулярного распределения гиперплоскостных элементов 91, погружённого в пространство проективно-метрической связности К„ п, индуцирует два двойственных пространст-1 2

ва аффинной связности Апг,_х и А„„_} в общем случае с кривизной и круче-

1 2

нием. Доказано (п. 1 § 2), что аффинные связности V и V пространств 1 2

Ап п Л и А„„_! обобщенно сопряжены ' относительно поля тензора А^

вдоль любой кривой, принадлежащей распределению 91. Для случая Кпп ^ К„ найдены геометрические характеристики параллельного перене-

б> ' 12 сения ' допустимого направления в аффинных связностях V и V вдоль

кривой, принадлежащей подмногообразию 9?. В случае пространств Кпп и Рпп без кручения для распределения 91 в Кпл с полем симметричного тен-

п 1 2

зора полнено геометрическое условие совпадения связностей V и V (теорема Ш.З).

В пункте 2 § 2 доказано, что нормализация регулярного распределения гиперплоскостных элементов 91, погружённого в пространство проек-тивно-метрической связности Кпп, внутренним образом определяет оснащения в смысле. Э. КартансР распределений 9! в Кпп и 91 в Рп п, а также нормализации6* пространств Кп п и Рп п (теоремы Ш.4, Ш.5).

Найдены (§ 2, п. 3) строения форм 4 П^ г и 1 г > определяющих про-

1 2

странства аффинной связности Ап п и Ап п соответственно (теорема 111.6).

Показано, что система форм ■Iqj

Q'

j i 1 /

содержит подсистему

\

, являющуюся системой слоевых форм линейной связности

3 4

V (V) аффинного типа. Доказаны следующие предложения:

1 з

1) аффинные связности V и V совпадают тогда и только тогда, когда направление нормали первого рода П, в аффинной связности пространст-

1

ва А„„ переносится параллельно вдоль любой кривой, принадлежащей распределению гиперплоскостных элементов 91 в Kn/t (теорема 1II.7);

2) направление нормали первого рода П, оснащённого в смысле А. П. Нордена распределения 91 в К„ (п>3) обладает свойством абсолютного параллелелизма относительно аффинной связности пространства

А„ п тогда и только тогда, когда точка Кенигса9) этой нормали неподвижна (теорема III.8).

Имеют место теоремы, двойственные приведённым выше предложениям.

В § 3 третьей главы в случае Кп п s Кп изучаются геометрии нормали-

зованных6) взаимно-полярных подмногообразий и 91 (см. главу II, § 3). Центральным результатом § 3 является теорема III.9: нормализация одного из распределений гиперппоскостных элементов 91 и 9? в Кп равносильна нормализации другого; найдена взаимосвязь между оснащающими объектами } и jg',«?"} подмногообразий 91 и 91. Показано, что нормализация распределения 91, погружённого в проективно-метрическое пространство Кп, индуцирует два полярных (относительно абсолюта Qn_x про-

о

странства Кп) пространства аффинной связности Ап п_х, Апп_1 без круче-

о

ния; при этом пространство Ап определяется на подмногообразии 91 в

о _

Кп, а Апп_{ —наполярном распределении 91 в Кп (теорема III. 10).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Получены три попарно двойственных как между собой, так и по отношению к исходному пространству Кп „ пространства проективной связ-

2 3 4

ности Рпп , Рпп , Рп п и два двойственных пространства аффинной связно-

сти Апп и Ап п, индуцируемые невырожденной нормализацией пространства проективно-метрической связности Кп п. Показано, что если в случае

3 4

исходного пространства Кп/г без кручения пространство Рпп или Рпп

также имеет нулевое кручение, то вопрос о нахождении критерия быть пространством проективно-метрической связности нужно ставить лишь по

2 2 отношению к пространству Рп>„- В случае пространств Л'я „ и Рпп без

кручения найдено инвариантное аналитическое условие, при выполнении 2

которого Рп „ есть пространство проективно-метрической связности. Изучены свойства полученных пространств в общем случае, при полярной нормализации, на А- и В — пространствах проективно-метрической связности, а также в случае, когда исходное пространство Кп „ без кручения или плоское. Найдены пути приложения геометрии проективно-метрического пространства Кп и полученных аффинных связностей к изучению некоторых классов плоских многомерных сетей Е„ в Кп.

2. Показано, что регулярное распределение гиперплоскостных элементов 9? в Кп/1 (неголономная гиперповерхность) внутренним инвариантным образом индуцирует пространство проективной связности Рпп, двойственное пространству Кп п, и подмногообразие 91 в Рп п, двойственное исходному распределению 91. В случае пространств Кп/, и Рп^ без кручения найдено инвариантное аналитическое условие, при выполнении

которого Р является пространством проективно-метрической связности.

Приведены примеры приложения двойственной геометрии распределения 91 в Кп „ к построению двойственных полей соприкасающихся гиперквадрик.

3. Доказано, что нормализация одного из регулярных распределений гиперплоскостных элементов 91 в Кп п и 9? в Рпп равносильна нормализации другого. В разных дифференциальных окрестностях внутренним инвариантным образом построен ряд двойственных нормализации неголоном-ной гиперповерхности пространства проективно-метрической связности

1 2

К„п; получены двойственные аффинные связности V и V, индуцируемые

этими нормализациями. Найдены приложения двойственной геометрии нормализованного подмногообразия 91 к построению оснащений в смысле Э. Картана распределений 91 в Кп/, и 91 в Рп п, нормализации пространств

Кп п и Р„ „, а также изучены двойственные пространства аффинной связ-12

ности Ап п и А„ „, индуцируемые при этом.

4. Построено распределение гиперплоскостных элементов 9?, полярное подмногообразию 9? (относительно локальных абсолютов Qn_x пространства К„ „). В случае Кп п з Кп найдены дифференциальные уравнения подмногообразия 9{ и изучены свойства распределений 91 и 9? во взаимосвязи. Доказано, что нормализация одного из распределений гиперплоскостных элементов 91 и 91 в проективно-метрическом пространстве Кп равносильна нормализации другого; при этом на распределениях 91 и — о

9? индуцируются соответственно пространства аффинной связности Ап п_х

>

и Апп_х без кручения, являющиеся полярными относительно абсолюта пространства Кп.

РАБОТЫ АВТОРА, ОПУБЛИКОВАННЫЕ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Голубева Е. А. (Мухина Е. А.) А —пространство проективно-метри-ческой связности / Е. А. Мухина, А. В. Столяров // Вестник Чувашского гос. пед. ун-та им. И. Я. Яковлева / Чувашский госпедун-т. — Чебоксары, 2004. - № 3(41). - С. 29-33.

2. Голубева Е. А. (.Мухина Е. А.) Внутренняя геометрия оснащённого в смысле А. П. Нордена пространства проективно-метрической связности / Е. А. Мухина // IX нижегородская сессия молодых учёных. Математические науки: Тезисы докладов. - Нижний Новгород: Изд-во Гладкова О. В., 2004.-С. 51-52.

3. Голубева Е. А. (Мухина Е. А.) Нормализованное пространство проективно-метрической связности / Е. А. Мухина // ВИНИТИ РАН. - М.,

2004.-№ 615-В2004.-17 с. ;

4. Голубева Е. А. (Мухина Е. А.) Поля геометрических объектов нормализованного пространства проективно-метрической связности / Е. А. Мухина // Научно-информационный Вестник докторантов, аспирантов, студентов / Чувашский госпедун-т. - Чебоксары, 2004. - № 1(3). -Т. 2.-С. 15-21.

5. Голубева Е. А. (Мухина Е. А.) Пространство проективно-метрической связности, оснащённое в смысле А. П. Нордена / Е. А. Мухина / Тр. Мат. центра им. Н. И. Лобачевского. Том 25 / Казанское мат. об-во. Актуальные проблемы математики и механики // Материалы междунар. науч. конференции. — Казань: Изд-во Казанского мат. об-ва, 2004. — С. 196-197.

6. Голубева Е. А. Двойственные аффинные связности, индуцируемые нормализацией пространства проективно-метрической связности / Е. А. Голубева // ВИНИТИ РАН. - М., 2005. - № 163 - В2005. - 19 с.

7. Голубева Е. А. Двойственные пространства проективно-метрической связности без кручения / Е. А. Голубева // ВИНИТИ РАН. — М.,

2005. - № 1352 - В2005. - 19 с.

8. Голубева Е. А. Двойственные пространства проективно-метричес-кой связности без кручения, ассоциированные с регулярной неголономной гиперповерхностью / Е. А. Голубева // ВИНИТИ РАН. - М., 2005. -№ 1743 — В2005. — 17 с.

9. Голубева Е. А. Двойственные пространства проективно-метрической связности без кручения, индуцируемые нормализацией пространства проективно-метрической связности / Е. А. Голубева // Тр. Мат. центра им. Н. И. Лобачевского. Том 31 / Казанское мат. об-во. Лобачевские чтения — 2005 / Материалы Четвёртой молодёжной научной школы-конференции. — Казань: Изд-во Казанского мат. об-ва, 2005. — С. 47-49.

10. Голубева Е. А. Линейные связности, индуцируемые нормализацией пространства проективно-метрической связности / Е. А. Голубева // Наука XXI века. Достижения и перспективы: сб. ст. / Чувашский гос. ин-т гум. наук. - Чебоксары, 2005. - С. 4-5.

11. Голубева Е. А. Метрика пространства проективно-метрической связности / Е. А. Голубева // Вестник Чувашского гос. пед. ун-та им. И. Я. Яковлева / Чувашский госпедун-т. — Чебоксары, 2005. — № 1(43). — С. 25-29.

12. Голубева Е. А. Регулярное распределение гиперплоскостных элементов и двойственные пространства проективно-метрической связности без кручения / Е. А. Голубева // Научно-информационный Вестник докторантов, аспирантов, студентов / Чувашский госпедун-т. — Чебоксары, 2005.-№2(6).-С.3-8.

13. Голубева Е. А. Взаимно-полярные распределения гиперплоскостных элементов в пространстве проективно-метрической связности / Е. А. Голубева // ВИНИТИ РАН. ~ М., 2006. - №731 - В2006. - 14 с.

14. Голубева Е. А. Внутренняя геометрия нормализованного пространства проективно-метрической связности / Е. А. Голубева // Известия вузов. Матем. - 2006. - № 1. - С. 73-75.

15. Голубева Е А. Двойственная геометрия нормализованного распределения гиперплоскостных элементов в пространстве проективно-метрической связности / Е. А. Голубева // ВИНИТИ РАН. — М., 2006. — № 397 - В2006. — 28 с.

16. Голубева Е. А. Нормализации взаимно-полярных распределений гиперплоскостных элементов пространства проективно-метрической связности / Е. А. Голубева // Научно-информационный Вестник докторантов, аспирантов, студентов / Чувашский госпедун-т. — Чебоксары, 2006. — №1(7).— Т. 1. —С. 7-12.

17. Голубева Е. А. Геометрия плоских сетей в проективно-метричес-ком пространстве / Е. А. Голубева // ВИНИТИ РАН. - Мм 2006. - № 960 -В2006. - 11 с.

Подписано к печати_. Формат 60 х 84/16.

Бумага ксероксная. Печать трафаретная. Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз. Заказ .

Отдел оперативной полиграфии Чувашского государственного педагогического университета. 428000, Чебоксары, ул. К. Маркса, 38.

ВВЕДЕНИЕ.

1. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР.

2. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ.

1. Постановка вопроса и актуальность темы.

2. Цель работы.

3. Методы исследования.

4. Научная новизна.

5. Теоретическая и практическая значимость.

6. Апробация.

7. Публикации.

8. Вклад автора в разработку избранных проблем.

9. Структура и объём работы.

10. Некоторые замечания.

3. СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

ГЛАВА 1. Двойственная геометрия нормализованного пространства проективно-метрической связности.

§1. Пространство проективно-метрической связности.

1. Теорема Картана-Лаптева.

2. Пространство проективно-метрической связности.

3. Метрика пространства проективно-метрической связности.

§2. Двойственные пространства проективно-метрической связности без кручения.

1. Поля геометрических объектов нормализованного пространства проективно-метрической связности.

2. Индуцированные пространства проективной связности.

3. Инволютивные преобразования форм связности и двойственные пространства.

4. Двойственные пространства проективно-метрической связности без кручения.

5. Тангенциальное пространство проективно-метрической связности, индуцируемое полярной нормализацией пространства Кп п.

6. А - и В - пространства проективно-метрической связности.

§3. Геометрии двойственных пространств аффинной связности.

1. Двойственные аффинные связности.

2. Геометрии двойственных пространств аффинной связности.

3. Геометрия средней аффинной связности.

4. Пространство аффинной связности, индуцируемое полярной нормализацией пространства К

1. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР

В дифференциальной геометрии важное место занимает теория связно-стей в различных расслоенных пространствах, а также её применение при исследовании оснащённых подмногообразий, погружённых в однородные и обобщённые пространства.

История теории связностей начинается с 1917 года с работы Т. Леви-Чивита [103] о параллельном перенесении вектора в римановой геометрии. Эта идея сразу же нашла применение в общей теории относительности и была обобщена в различных направлениях. В 1918 году Г. Вейль [109] для построения единой теории поля ввёл понятие пространства аффинной связности. Дальнейшее обобщение дал в 1920 году Р. Кэниг [102], рассматривая линейную связность в векторном расслоении над областью числового пространства.

Новый этап в развитии теории связностей открыли работы Э. Картана [45] в 20-х годах XX века, в которых касательные векторные пространства заменялись аффинными, проективными или конформными пространствами. В 1924 году И. А. Схоутен [106], [107] установил взаимосвязь между концепциями Кэнига и Картана.

Развитие теории связностей в рамках этих двух концепций продолжалось в течение всей первой половины XX века.

В 1950 году начинается следующий этап в развитии теории связностей, когда В. В. Вагнер [17], [19] и Ш. Эресман [101] независимо друг от друга ввели общее понятие связности в расслоенном пространстве. Изложение В. В. Вагнера является локальным и выполнено классическими методами.

Многие исследователи применяли связности в касательных расслоениях при изучении геометрии подмногообразий, вложенных в риманово пространство, в частности, в пространство постоянной кривизны.

Первые применения понятия проективной связности к геометрии подмногообразий в проективном пространстве дал Э. Картан [99] в 1937 году.

В 1950 году появилась монография А. П. Нордена [59], в которой разработан метод нормализации, позволяющий в касательных расслоениях подмногообразий проективного пространства индуцировать аффинные связности без кручения. Согласно работе А. П. Нордена [59], нормализация «-мерного проективного пространства Рп состоит в задании некоторого однозначного, непрерывного и дифференцируемого соответствия «точка А0 - гиперплоскость £0», где При этом, принимая гиперплоскость за образующий элемент пространства, автор строит проективное пространство Рп, двойственное исходному пространству Рп. Нормализации А0 -» отвечает внутренняя проективно-евклидова геометрия (первого рода). Применение принципа двойственности к нормализованному пространству Рп позволило принять гиперплоскость за нормализуемый элемент проективного пространства Рп, а связку гиперплоскостей с центром в точке А0 -за нормализующее многообразие и связать с тем же двойственным соответствием внутреннюю аффинную связность второго рода (без кручения), также принадлежащую к классу проективно-евклидовых пространств. В силу двойственности пространств Рп и Рп индуцируемые аффинные связности первого и второго родов А. П. Норденом также названы двойственными.

Используя двойственный характер геометрии проективного пространства Рп, А. П. Норден [59], В. В. Вагнер [18], А. И. Чахтаури [88], [89], А. П. Широков [93], Г. В. Бушманова [13], Г. Н. Тевзадзе [80], А. В. Чакма-зян [85], Ю. И. Попов [68] - [70], М. А. Василян [20] - [22] и другие получили ряд глубоких результатов по изучению некоторых вопросов двойственной геометрии нормализованной гиперповерхности УпА с Рп, гиперполосы НтаРп, нормализованного пространства Рп, а также по изучению двойственной геометрии сетей Е2 с Р2 и Ц2 с Г2 с: Р3. В указанных работах важное место занимают исследования по двойственным аффинным связностям.

В 50-х годах XX века Г. Ф. Лаптевым [47] был развит новый инвариантный аналитический метод дифференциально-геометрических исследований многообразий, вложенных в однородные пространства и в пространства с фундаментально-групповой связностью. С использованием этого метода задача сводится к изучению геометрии подмногообразия посредством исследования дифференциально-геометрических структур, индуцированных полями фундаментальных, охваченных и оснащающих объектов подмногообразия. Г. Ф. Лаптев, следуя идеям Э. Картана, дал строгое определение пространства аффинной связности.

Обзор дальнейшего развития теории связностей излагается в работе Ю. Г. Лумисте [54].

В 1926 г. Э. Картан [98] ввёл понятие «неголономного пространства с фундаментальной группой О ».

К понятию неголономного многообразия привели учёных некоторые задачи движения механических систем, подчинённых добавочным линейным неголономным связям, задаваемым, например, неинтегрируемой системой уравнений Пфаффа, в пространстве конфигураций механической системы (см. работы В. В. Вагнера [15], А. В. Гохмана [41], П. К. Рашевского [72], С. А. Чаплыгина [86]).

Наряду с этим независимо от задач механики к понятию неголономного многообразия математики пришли путём обобщения основных положений геометрии подпространства на случай, когда поле т -мерных пучков направлений не задаёт семейства т -мерных подпространств (см. работы

В. В. Вагнера [14], [16], Д. М. Синцова [74], Схоутена [108], монографию Михэйлеску [105]).

В инвариантной аналитической форме в работах Г. Ф. Лаптева и Н. М. Остиану (см. [50], [51], [63], [65]) получила дальнейшее развитие теория распределений т -мерных линейных и гиперплоскостных элементов в проективном пространстве Рп и пространстве проективной связности Рп п.

В случае распределения гиперплоскостных элементов в пространствах со связностью без кручения эта теория нашла своё отражение в работах В. И. Близникаса [10], [11]. Ю. Г. Лумисте [55] изучает распределения на однородных пространствах, названных им пространствами проективного типа. Исследования Э. Д. Алшибая [2] посвящены изучению распределений гиперплоскостных элементов в аффинном пространстве. А. П. Норден [60], [61] устанавливает связь теории многочленных композиций с теорией распределений.

В 70-х годах XX века В. Т. Базылевым получена (см. [3] - [6]) обширная теория плоских многомерных сетей погружённых в и-мерное проективное пространство Рп. В этом направлении некоторые вопросы сетей в п -мерных проективном и аффинном пространствах рассматриваются также в работах А. И. Чахтаури [89], М. Са1арБО [97], Я. Р^Погаи) [104]. Ряд классов сетей на различных многообразиях (в частности, в пространствах аффинной связности) изучается В. Т. Базылевым [7] - [9], А. Е. Либером [52]. В работах В. Т. Базылева [5], [7], Я. С. Дубнова [42], А. Е. Либера [53] в различных пространствах рассматриваются многомерные аналоги чебышевских сетей. Некоторые вопросы глобальной теории сетей на двумерных многообразиях отмечены в работах \\^851ег'а СЬ. [110], Э. Г. Поздняка [67]. А. И. Чахтаури [87] применяет метод нормализации к изучению двойственной геометрии плоских сетей Е2 •

Двойственная геометрия плоских сетей т-тканей на гиперполосном распределении Н с Рпп и на регулярной гиперповерхности с Рп изучается А. В. Столяровым [76].

Метод Г. Ф. Лаптева был использован А. В. Столяровым [76] для построения основ двойственной теории оснащённых многообразий, погружённых в пространство проективной связности Р . При этом определение двойственных пространств с линейной связностью А. В. Столяровым дано [76] с точки зрения инволютивных преобразований форм их связностей. Такое определение позволило автору при изучении двойственной геометрии подмногообразий расширить объемлющее пространство (проективное) до пространства проективной связности, привлечь к изучению геометрии подмногообразия его двойственный образ, рассматривать двойственные вопросы не только при нормализации [59] подмногообразия, но и при различных других его оснащениях, впервые проводить изучение двойственной геометрии неголономных многообразий (распределений). В частности, А. В. Столяровым разработаны [76] основы инвариантных двойственных теорий нормализованного пространства проективной связности Рпп, регулярного гиперполосного распределения Я с Рп п и регулярного распределения гиперплоскостных элементов 9?, погружённого в пространство Р , а также найдены некоторые пути приложения этих теорий к изучению двойственной геометрии плоских многомерных сетей (тканей).

Согласно А. П. Нордену [59], пространством п измерений с проективной метрикой или пространством Кп называется такое пространство, образом точки которого является точка проективного пространства Рп, а фундаментальной группой - подгруппа проективных преобразований, сохраняющих некоторый поляритет (абсолют). Этот поляритет называется абсолютным поляритетом пространства Кп. В монографии А. П. Нордена [59] изучаются некоторые вопросы геометрии пространства Кп с невырожденным абсолютом ()пх. В случае, когда абсолют ()пА овального типа, поляритет называется [59] гиперболическим.

Гиперболическое пространство Кп имеет особое значение в геометрии, ибо оно представляет собой проективную интерпретацию геометрии Лобачевского. С помощью этой интерпретации Ф. Клейн дал первое строгое доказательство её непротиворечивости.

В работе Г. Ф. Лаптева [47] вводится понятие пространства проектив-но-метрической связности Кпп, обобщающее понятие пространства Кп: пространство К есть пространство проективной связности Р , обладающее инвариантным полем локальных гиперквадрик <2пх (локальных абсолютов). А. В. Столяровым [79] найдено инвариантное аналитическое условие, при выполнении которого пространство Рпп становится пространством проективно-метрической связности Кп п.

А. В. Столяров [77] изучает внутреннюю геометрию оснащённого в смысле А. П. Нордена [59] проективно-метрического пространства Кп\ в работе [79] им исследуются некоторые вопросы дифференциальной геометрии полярной нормализации пространства проективно-метрической связности Кпп. Д. А. Абруковым [1] получены результаты по изучению геометрии поверхностей и распределений, погружённых в проективно-метрическое пространство Кп.

Кривые и поверхности в евклидовом и проективном пространствах с вырожденным (невырожденным) абсолютом рассматриваются в работах А. Э. Хатипова [82] - [84], Р. Г. Бухараева [12], А. П. Нордена [57], И. Н. Мигалевой [56].

Обзор работ в квазиэллиптическом, квазигиперболическом, галилее-вом Г3, псевдогалилеевом 1Г3, проективном Р3 пространствах с соответствующими абсолютами приведён в монографии [1]. В частности, в работах А. П. Широкова [90], [91] изучается биаксиальное пространство (проективное пространство Р3 с абсолютом в виде двух непересекающихся прямых), а также обобщённо биаксильное пространство.

1. АбрукоеД. А. Внутренняя геометрия поверхностей и распределений в проективно-метрическом пространстве: Монография / Д. А. Абруков. -Чебоксары: Чувашский госпедун-т, 2003. - 140 с.

2. Алшибая Э. Д. К геометрии распределений гиперплоскостных элементов в аффинном пространстве / Э. Д. Алшибая // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. М., 1974. - Т. 5. - С. 169-193.

3. Базылев В. Т. К геометрии плоских многомерных сетей / В. Т. Ба-зылев // Уч. зап. Московского гос. пед. ин-та им. В. И. Ленина. -М., 1965.-№243.-С. 29-37.

4. Базылев В. Т. О многомерных сетях и их преобразованиях /B. Т. Базылев // Итоги науки и техники. Геометрия (1963) / ВИНИТИ АН СССР.-М., 1965.-С. 138-164.

5. Базылев В. Т. О нормализациях проективного пространства, порождаемых заданной в нём сетью / В. Т. Базылев // Liet. mat. rinkinys: Лит. мат. сб. Вильнюс, 1966. - Т. 6. - № 3. - С. 313-322.

6. Базылев В. Т. О фундаментальных объектах плоских многомерных сетей / В. Т. Базылев // Известия вузов. Матем. 1967. - № 9. - С. 3-15.

7. Базылев В. Т. О V-сопряжённых сетях в пространстве аффинной связности / В. Т. Базылев // Известия вузов. Матем. 1974. - № 5.C. 25-30.

8. Базылев В. Т. Сети на многообразиях / В. Т. Базылев // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. М., 1974. - Т. 6. - С. 189-205.

9. Базылев В. Т. Сети на многообразиях / В. Т. Базылев, М. К. Кузьмин, А. В. Столяров // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР.-М., 1981.-Т. 12.-С. 97-125.

10. Близникас В. И. Дифференциальная геометрия неголономной гиперповерхности риманова пространства / В. И. Близникас // Liet. mat. rinkinys: Лит. мат. сб.-Вильнюс, 1971.-Т. ll.-№ 1.-С. 63-74.

11. Близникас В. И. О неголономной поверхности трёхмерного пространства проективной связности / В. И. Близникас // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. М„ 1971. - Т. 3. - С. 115-124.

12. Бухараев Р. Г. О поверхности евклидова пространства с невырожденным абсолютом / Р. Г. Бухараев / Уч. зап. Казанского гос. ун-та. Казань, 1954.-Т. 114.-С. 39-52.

13. Бушманова Г. В. О нормалях, принадлежащих каноническому пучку / Г. В. Бушманова // Уч. зап. Казанского ун-та. Казань, 1950. -Т. 110.-С. 19-33.

14. Вагнер В. В. Дифференциальная геометрия неголономных многообразий / В. В. Вагнер // 8-й Международный конкурс на соискание премий им. Лобачевского: сб. ст. Казань, 1940. - С. 195-262.

15. Вагнер В. В. Геометрическая интерпретация движения неголоном-ных динамических систем / В. В. Вагнер // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. М., 1941.-Вып. 5.-С. 301-327.

16. Вагнер В. В. Геометрия (и-1)-мерного неголономного многообразия в п-мерном пространстве / В. В. Вагнер // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. М., 1941.-Вып. 5.-С. 173-225.

17. Вагнер В. В. Обобщение тождества Риччи и Бианки для связности в составном многообразии / В. В. Вагнер // ДАН СССР. 1945, 46. - № 8. -С. 335-338.

18. Вагнер В. В. Теория поля локальных гиперполос / В. В. Вагнер // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. М., 1950. -Вып. 8.-С. 197-272.

19. Вагнер В. В. Теория составного многообразия / В. В. Вагнер // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. М., 1950. -Вып. 8.-С. 11-72.

20. Васнлян М. А. Об инвариантном оснащении гиперполосы / М. А. Василян // Докл. АН АрмССР. 1970. - Т. 50. - № 2. - С. 65-70.

21. Василян М. А. Проективная теория многомерных гиперполос/ М. А. Василян // Изв. АН Арм. ССР. Матем. 1971. - Т. 6. - № 6,-С. 477-481.

22. Василян М. А. Аффинные связности, индуцируемые оснащением гиперполосы / М. А. Василян // Докл. АН АрмССР. 1973. - Т. 57. - № 4. -С. 200-205.

23. Голубева Е. А. (Мухина Е. А.) А пространство проективно-метри-ческой связности / Е. А. Мухина, А. В. Столяров // Вестник Чувашского гос. пед. ун-та им. И. Я. Яковлева / Чувашский госпедун-т. - Чебоксары, 2004.-№3(41).-С. 29-33.

24. Голубева Е. А. (Мухина Е. А.) Нормализованное пространство проективно-метрической связности / Е. А. Мухина // ВИНИТИ РАН. М., 2004. - № 615 - В2004. - 17 с.

25. Голубева Е. А. Двойственные аффинные связности, индуцируемые нормализацией пространства проективно-метрической связности / Е. А. Голубева // ВИНИТИ РАН. М., 2005. - № 163 - В2005. - 19 с.

26. Голубева Е. А. Двойственные пространства проективно-метрической связности без кручения / Е. А. Голубева // ВИНИТИ РАН. М., 2005. -№ 1352 - В2005. - 19 с.

27. Голубева Е. А. Двойственные пространства проективно-метрической связности без кручения, ассоциированные с регулярной неголономной гиперповерхностью / Е. А. Голубева // ВИНИТИ РАН. М., 2005. -№ 1743 - В2005. - 17 с.

28. Голубева Е. А. Линейные связности, индуцируемые нормализацией пространства проективно-метрической связности / Е. А. Голубева // Наука XXI века. Достижения и перспективы: сб. ст. / Чувашский гос. ин-т гум. наук. Чебоксары, 2005. - С. 4-5.

29. Голубева Е. А. Метрика пространства проективно-метрической связности / Е. А. Голубева // Вестник Чувашского гос. пед. ун-та им. И. Я. Яковлева / Чувашский госпедун-т. Чебоксары, 2005. - № 1(43). -С. 25-29.

30. Голубева Е. А. Взаимно-полярные распределения гиперплоскостных элементов в пространстве проективно-метрической связности / Е. А. Голубева // ВИНИТИ РАН. М., 2006. - №731 - В2006. - 14 с.

31. Голубева Е. А. Внутренняя геометрия нормализованного пространства проективно-метрической связности / Е. А. Голубева // Известия вузов. Матем. 2006. - № 1. - С. 73-75.

32. Голубева Е. А. Двойственная геометрия нормализованного распределения гиперплоскостных элементов в пространстве проективно-метрической связности / Е. А. Голубева // ВИНИТИ РАН. М., 2006. - № 397 -В2006. -28 с.

33. Голубева Е. А. Геометрия плоских сетей в проективно-метричес-ком пространстве / Е. А. Голубева // ВИНИТИ РАН. М., 2006. - № 960 -В2006. - 11 с.

34. ДубновЯ. С. О пространственных аналогах чебышевской сети / Я. С. Дубнов, С. А. Фукс // Докл. АН СССР. 1940. - Т. 28. -№2.-С. 102-104.

35. Евтушик Л. Е. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях / Л. Е. Евтушик и др. // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. М., 1979. - Т. 9. - 246 с.

36. Ефимов Н. В. Высшая геометрия / Н. В. Ефимов. М.: ГИТТЛ, 1961.-580 с.

37. Картан Э. Пространства аффинной, проективной и конформной связности / Э. Картан. Казань: Изд. Казанск. ун-та, 1962. - 210 с.

38. Кобаяси Ш. Основы дифференциальной геометрии / Ш. Кобаяси, К. Номидзу.-М.: Наука, 1981.-Т. 1.-344 с; Т. 2.-414 с.

39. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погружённых многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований / Г. Ф. Лаптев // Тр. Моск. матем. об-ва. М., 1953. - Т. 2. -С. 275-382.

40. Лаптев Г. Ф. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований / Г. Ф. Лаптев // Труды 3-го Всес. матем. съезда. М., 1958. - Т. 3. - С. 409-418.

41. Лаптев Г. Ф. Многообразия, погружённые в обобщённые пространства / Г. Ф. Лаптев // Тр. 4-го Всес. матем. съезда (1961). Ленинград, 1964.-Т. 2.-С. 226-233.

42. Либер А. Е. К теории сетей в многомерном пространстве / А. Е. Либер // Диф. геометрия / Саратовский ун-т. Саратов, 1974. -Вып. 1.-С. 72-84.

43. Либер А. Е. О чебышевских сетях и чебышевских пространствах / А. Е. Либер // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ.-М., 1974. Вып. 17. - С. 177-183.

44. Лумисте Ю. Г. Теория связностей в расслоенных пространствах / Ю. Г. Лумисте // Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия, 1969 / ВИНИТИ АН СССР.-М., 1971.-С. 123-168.

45. Лумисте Ю. Г. Распределения на однородных пространствах / Ю. Г. Лумисте // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. М., 1977. - Т. 8. - С. 5-24.

46. Мигалева И. Н. Теория кривых и гиперповерхностей пространства с вырожденным абсолютом / И. Н. Мигалева // Уч. зап. Московского гос. пед. ин-та им. В. И. Ленина. М., 1963. - Т. 208. - С. 252-264.

47. Норден А. П. О внутренних геометриях поверхностей проективного пространства / А. П. Норден // Труды семинара по векторному и тензорному анализу /МГУ.-М., 1948.-Вып. 6.-С. 125-224; Вып. 7.-С. 31-64.

48. Норден А. П. О полярной нормализации в пространстве с вырожденным абсолютом / А. П. Норден // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. М., 1952.-Вып. 9.-С. 198-212.

49. Норден А. П. Пространства аффинной связности / А. П. Норден. -М.: Наука, 1976.-432 с.

50. Норден А. П. Многочленные композиции и теория распределений / А. П. Норден // Известия вузов. Матем. 1978. - № 11. - С. 87-97.

51. Норден А. П. Теория композиции / А. П. Норден // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. М., 1978. - Т. 10. -С.117-145.

52. Остиану H. М. О канонизации подвижного репера погружённого многообразия / H. М. Остиану // Rev. math, pures et appl (RPR). 1962. -T. 7. - № 2. - C. 231-240.

53. Остиану H. M. Распределения m -мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. II / H. М. Остиану // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. М., 1971. - Т. 3. - С. 96-114.

54. Остиану H. М. Очерк научных исследований Германа Фёдоровича Лаптева / H. М. Остиану, В. В. Рыжков, П. И. Швейкин // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. М., 1973. - Т. 4. - С. 7-70.

55. Остиапу Н. М. Распределение гиперплоскостных элементов в проективном пространстве / Н. М. Остиану // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. -М., 1973.-Т. 4.-С. 71-120.

56. Остиану Н. М. Дифференциально-геометрические структуры на дифференцируемых многообразиях / Н. М. Остиану // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. М., 1977.-Т. 8.-С. 89-111.

57. Поздняк Э. Г. Геометрические исследования, связанные с уравнением =8тг / Э. Г. Поздняк // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. М., 1977. - Т. 8. - С. 225-241.

58. Попов Ю. И. К теории оснащённой регулярной гиперполосы в многомерном проективном пространстве / Ю. И. Попов // Уч. зап. Московского гос. пед. ин-та им. В. И. Ленина. М., 1970. - № 374. - Т. 1. -С. 102-117.

59. Попов Ю. И. Общая теория регулярных гиперполос: учебное пособие / Ю. И. Попов. Калининград: Калининградский ун-т, 1983. - 82 с.

60. Х.Попов Ю. И. Специальные классы регулярных гиперполос: учебное пособие / Ю. И. Попов, А. В. Столяров. Калининград: Калининградский ун-т, 1992. - 80 с.

61. Рашевский П. К. Геометрическая теория уравнений с частными производными / П. К. Рашевский. М.: Гостехиздат, 1947. - 354 с.

62. Рашевский И К. Симметрические пространства аффинной связности с кручением. I / П. К. Рашевский // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. М., 1950. - Вып. 8. - С. 82-92.

63. Синцов Д. М. Работы по неголономной геометрии / Д. М. Синцов. -Киев: Вища школа, 1972. 294 с.

64. Смирнов Р. В. Преобразования Лапласа р -сопряжённых систем / Р. В. Смирнов // Доклады АН СССР. 1950. - Т. 71. -№3. - С. 437-439.

65. Столяров А. В. Двойственная теория оснащённых многообразий: Монография. 2-е изд., доп. / А. В. Столяров. Чебоксары: Чувашский гос-педун-т, 1994.-290 с.

66. Столяров А. В. Внутренняя геометрия проективно-метрического пространства / А. В. Столяров // Диф. геометрия многообразий фигур: Межвуз. темат. сб. научных трудов / Калининградский ун-т. Калининград, 2001. - Вып. 32. - С. 94-101.

67. Столяров А. В. Взаимно-полярные неголономные гиперполосы в проективно-метрическом пространстве / А. В. Столяров // Вестник Чувашского гос. пед. ун-та им. И. Я. Яковлева / Чувашский госпедун-т. Чебоксары, 2003.-№ 1.-С. 51-58.

68. Столяров А. В. Пространство проективно-метрической связности / А. В. Столяров // Известия вузов. Матем. 2003. - № 11. - С. 70-76.

69. Тевзадзе Г. Н. О паре сопряжённых аффинных связностей, индуцируемых на поверхности проективного пространства Ръ / Г. Н. Тевзадзе // Сообщения АН ГрССР. 1966,42. - № 2. - С. 257-264.

70. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии / С. П. Фиников. М. - Л.: ГИТТЛ, 1948. - 432 с.

71. Хатипов А. Э. Теория поверхностей в пространстве с абсолютом, распавшимся на пару комплексно-сопряжённых плоскостей / А. Э. Хатипов // Тр. Узбек, ун-та. 1955, 59. - С. 105-132.

72. Хатипов А. Э. Теория поверхностей в пространстве с абсолютом, распавшимся на пару действительных плоскостей / А. Э. Хатипов // Тр. Узбек, ун-та. 1956,65. - С. 11-15.

73. Хатипов А. Э. Теория поверхностей в пространстве с распадающимся абсолютом / А. Э. Хатипов // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. М., 1956. - Вып. 10. - С. 285-308.

74. Чакмазян А. В. Двойственная нормализация / А. В. Чакмазян // Докл. АН АрмССР. 1959. - Т. 28. -№ 4. - С. 151-157.

75. Чаплыгин С. А. К теории движения неголономных систем. Теорема о приводящем множителе / С. А. Чаплыгин // Полное собрание сочинений. -Л., 1933. Т. 1. -С. 212-214.

76. Чахтаури А. И. Внутренние геометрии плоских сетей / А. И. Чах-таури // Труды Тбилисского матем. ин-та АН ГрССР. Тбилиси, 1944, 15.-С. 101-148.

77. Чахтаури А. И. Приложения внутренних геометрий плоских сетей в теорию поверхностей / А. И. Чахтаури // Труды Тбилисского матем. инта АН ГрССР. Тбилиси, 1954,20. - С. 89-130.

78. Чахтаури А. И. Об обобщении конфигураций Лапласа для п -мерных сетей / А. И. Чахтаури // 6-я Всес. геом. конф. по совр. проблемам геометрии: тез. докл. Вильнюс, 1975. - С. 251-253.

79. Широков А. П. Геометрия обобщённых биаксийьных пространств / А. П. Широков // Уч. зап. Казанского гос. ун-та. Казань, 1954. - Т. 114. — кн. 2.-С. 123-166.а

80. Широков А. П. Классификация групп движения биаксиЛыюго пространства эллиптического типа / А. П. Широков // Уч. зап. Казанского гос. ун-та.-Казань, 1963.-Т. 123.-кн. 1.-С. 208-221.

81. Широков А. П. Структуры на дифференцируемых многообразиях / А. П. Широков // Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия / ВИНИТИ АН СССР.-М., 1974. Т. 11.-С. 153-207.

82. Широков А. П. Пространства аффинной связности (некоторые аспекты метода нормализации А. П. Нордена) / А. П. Широков // Итоги наукии техники. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. М., 1985. — Т. 17.-С. 131-151.

83. Шуликовский В. И. Классическая дифференциальная геометрия /B. И. Шуликовский. М.: Физматгиз, 1963. - 540 с.

84. Шуликовский В. И. Проективная теория сетей / В. И. Шуликовский. Казань: Изд. Казанск. ун-та, 1964. - 78 с.

85. Bortolotti Е. Connessioni nelle varieta luogo di spazi; applicazione alla geometría métrica differenziale delle congruanze di rette / E. Bortolotti // Rond. Semin. Fac. Sei Univ. Cagliari. 1933. - T. 3 - P. 81-89.

86. Calapso M. Sulle reti a invarianti uguali di un iperspazio affine / M. Calapso // Rend. Cire, matem. Palermo, 1973,22. - № 1-2 - P. 62-66.

87. Carian E. Les groups d'holonomie des espaces generalizes / E. Cartan // Acta math. 1926, 48. - P. 1-42.

88. Cartan E. Les éspaces á connexion projective / E. Cartan // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. М., 1937. - Вып. 4.C. 147-159.

89. Casanova G. La notion de pôle harmonique / G. Casanova // Rev. math. spéc. 1955, 65. - № 6. - P. 437-440.

90. Ehresmann С. Les connexions infinitésimales dans un éspace fibré différentiable / C. Ehresmann // Colique de Topologie (Bruxelles, 1950). Paris, 1951.-P. 29-55.

91. König R. Beiträge zu einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslhre / R. König // Jahresb. d. Deutsch. Math. Ver. 1920,28. - P. 213-228.

92. Levi-Civita T. Nozioni di parallelismo in una varieta qualunque e con-seguente specificazione geométrica della curvature Riemanniana / T. Levi-Civita // Rend. circ. Matem. Palermo, 1917,42. - P. 173-205.

93. Migliorato R. Intormo ad alcune reti ad invariati uguali in un iperspazio affine / R. Migliorato // Atti Soc. pelorit. sei. fis. mat. e nature. 1971, 17.-№3-4.-P. 379-381.

94. Mihälescu T. Geometrie differentiala projective / T. Mihalescu // Bu-cureçti Acad. RPR. 1958. - 494 p.

95. Schouten J. A. Les connexions conformes et projective de E. Cartan et la connexion lineaire de la cjnnexion lineare generale de M. König / J. A. Schouten // C. R. Acad. Sei. 1924,178. - P. 2044-2046.

96. Schouten J. A. Erlanger Programm und Übertragunslehre. Neue Gesichtspunkte zur Grundlegung der Geometrie / J. A. Schouten // Rend. circ. matem. Palermo, 1926, 50.-P. 142-169.

97. Schouten J. A. Über nicht-holonome Übertragungen in einer Ln / J. A. Schouten // Mathematische Zeitschrift. 1929,30. - P. 149-172.

98. Weyl H. Raum. Zeit, Materie. / H. Weil. Berlin, 1918.

99. Wissler Ch. Globale Tochebyscheh-Netze auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten und Fortsetzung von Flächen konstanter negativer Krümmung / Ch. Wissler Ii Comment. math. helv. 1972, 47. - № 3. - P. 348-372.