Дифференциальная геометрия оснащенных распределений в конформном пространстве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ



На правах рукописи

Матвеева Анастасия Михайловна

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ОСНАЩЕННЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ В КОНФОРМНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

01.01.04 - геометрия и топология

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань-2009

003471266

Работа выполнена на кафедре геометрии ГОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Столяров Алексей Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Игошин Владимир Александрович

доктор физико-математических наук, профессор

Степанов Сергей Евгеньевич

Ведущая организация:

Тверской государственный университет

Защита состоится 18 июня 2009 года в 16 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д. 212.081.10 при Казанском государственном университете им. В. И. Ульянова-Ленина по адресу: 420008, г. Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37, НИИММ, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке имени Н. И. Лобачевского Казанского государственного университета им. В. И. Ульянова-Ленина (г. Казань, ул. Кремлевская, 18).

Автореферат разослан «30» апреля 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета канд. физ.-мат. наук, доцент

Липачев Е. К.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Постановка вопроса и актуальность темы. Конформно-дифференциальная геометрия трехмерного пространства зародилась внутри классической дифференциальной геометрии в конце XIX века в работах Дарбу, Рибокура и других геометров.

В 1924 г. появляется работа Томсена [28], в которой для изучения конформно-дифференциальной геометрии поверхностей применяются пентасферические координаты и тензорное исчисление. Э. Картан [25] вводит понятие «-мерного пространства конформной связности. В это же время теория многомерных пространств конформной связности разрабатывается в работах Т. И. Томаса, И. М. Томаса и ряда других геометров. С. Сасаки в 1939-40 гг. развивает теорию кривых и гиперповерхностей в пространстве конформной связности. Однако в большинстве перечисленных работ конформно-дифференциальная геометрия многомерных поверхно-—стей строится средствами.евклидовой.и римановой геометрий, что сильно осложняет геометрическое истолкование полученных результатов.

Новый этап в развитии конформно-дифференциальной геометрии связан с работами отечественных геометров, а именно, с работами с применением к конформной геометрии общей теории образов симметрии в однородных пространствах Б. А. Розенфельда [15], общей теории нормализованных поверхностей А. П. Норде-на [11], [12], общей теории многообразий в однородных пространствах и в пространствах со связностями Г. Ф. Лаптева [7], [8].

Метод Г. Ф. Лаптева был применен М. А. Акивисом [1], [2] к построению основ инвариантной теории гиперповерхностей, /»-мерных поверхностей «-мерного конформного и псевдоконформного пространств. А. П. Норден [5], [11], [12] получил существенные результаты по конформно-дифференциальной геометрии различных подмногообразий. Л. Ф. Филоненко [19] рассматривает распределение «-мерных линейных элементов в (и-1)-мерном конформном пространстве, используя, в основном, его проективную интерпретацию. Исследования А. М. Михайловой [10] посвящены изучению некоторых вопросов линейных связностей на оснащенной гиперполосе конформного пространства. Т. Н. Глухова (Андреева) [18] исследует линейные связности (аффинные, конформные, нормальные), индуцируемые различными оснащениями гиперповерхности в конформном пространстве. А. В. Столяров [17], [18] рассматривает оснащения и линейные связности на распределениях в конформном пространстве Сп, а также строит пространство конформной связности Спп на/базе пространства проективной связности Рлл+, и изучает внутреннюю геометрию нормализованного пространства конформной связности. А. М. Шелехов [24] решает конформную задачу, поставленную Бляшке: перечислить все регулярные (параллелизуемые) три-гкани, образованные пучками окружностей.

Наряду с интенсивным изучением дифференциальной геометрии голономных многообразий в последние 60-70 лет объектом исследования многих математиков явились неголономные многообразия, то есть распределения ти-мерных линейных элементов, погруженных в различные однородные и обобщенные пространства. - В 70-х годах XX века обобщенная теория распределения /и-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности Р„ п (в частности, в проективном

пространстве Р„) получила развитие в инвариантной аналитической форме в работах Г. Ф. Лаптева и Н. М. Остиану [9], [13]; в случае распределений гиперплоскостных элементов в пространствах со связностью без кручения эта теория получила свое отражение в работе В. И. Близникаса [3]. А. В. Столяров [16] строит инвариантную двойственную теорию регулярного гиперполосного распределения ш-мерных линейных элементов, а также регулярного распределения гиперплоскостных элементов в пространстве проективной связности Р„ „. Ю. И. Попов [14] развивает инвариантную теорию трехсоставных распределений, вложенных в проективное пространство Ри.

В дифференциальной геометрии важное место занимает теория связностей в различных расслоенных пространствах, а также ее применение при исследовании оснащенных подмногообразий, погруженных в различные пространства.

История теории связностей начинается с 1917 г. с работы Т. Леви-Чивита [27] о параллельном перенесении вектора в римановой геометрии. Г. Вейль [29] для построения единой теории поля ввел понятие пространства аффинной связности. Новый этап в развитии теории связностей открыли работы Э. Картана в 20-х годах XX века, в которых касательные векторные пространства заменялись аффинными, проективными или конформными пространствами. В середине XX века В. В. Вагнер [6] и Ш. Эресман [26] независимо друг от друга ввели общее понятие связности в расслоенном пространстве.

Для изучения геометрии многомерных поверхностей проективного пространства и других однородных пространств, фундаментальная группа которых является подгруппой проективной группы, А. П. Норден разработал метод нормализации [11], [12], который позволил в касательных расслоениях подмногообразий проективного пространства индуцировать аффинные связности без кручения. Г. Ф. Лаптев [7], следуя идеям Э. Картана, линейные связности определяет как множества отображений бесконечно близких слоев расслоения, соответствующих касательным векторам базисного многообразия.

Понятие нормальной связности нормализованного подмногообразия в проективном пространстве ввел А. П. Норден [12] (внешняя связность). Большой вклад в развитие теории нормальных связностей внес А. В. Чакмазян [22], [23]. П. А. Фису-нов [21] изучает двойственные нормальные связности на оснащенной регулярной голономной и неголономной пшерполосах и-мерного проективного пространства.

Предметом исследования настоящей работы являются распределение гиперплоскостных элементов и гиперполосное распределение «-мерных линейных элементов, погруженные в конформное пространство С„ (псевдоконформное или собственно конформное), а также линейные связности (аффинные, нормальные, конформные), индуцируемые различными оснащениями (нормальным, касательным, полным) указанных распределений.

Теория конформного пространства С„ и вложенных в него поверхностей к настоящему времени разработана достаточно полно. Однако, вопросы конформно-дифференциальной геометрии оснащенных неголономных поверхностей (распределений) и линейных связностей, индуцируемых при этом, до настоящего времени оставались слабо изученными. Вопросы разработки теоретических и практических положений по изучению оснащенных распределений (в особенности, различных линейцых связностей, индуцируемых оснащениями рассматриваемых распределений) в конформном пространстве представляют большой научный интерес и яв-

ляются актуальными в связи с возможными приложениями полученных результатов в математике, механике и физике.

Цель работы. Целью настоящего диссертационного исследования является разработка инвариантными аналитическими методами ключевых вопросов по изучению оснащенных распределений, погруженных в «-мерное конформное пространство С„, а именно:

1) построение в разных дифференциальных окрестностях инвариантных внутренним образом определяемых нормальных, касательных, полных оснащений распределения гиперплоскостных элементов и гиперполосного распределения т-мерных линейных элементов в конформном пространстве С„;

2) разработка основ теории линейных связностей (аффинных, нормальных, конформных), определяемых различными оснащениями рассматриваемых распределений;

3) приложение аффинной связности, индуцируемой полным оснащением распределения Я{ гиперплоскостных элемента в в ~С„Тк изучению геометрии тканей на-подмногообразии Ж;

4) приложение теории гиперполосного распределения м-мерных линейных элементов к изучению внутренней геометрии распределений от-мерных линейных элементов в конформном пространстве С„.

Методы исследования. Теория указанных оснащенных распределений развивается инвариантными методами дифференциально-геометрических исследований, а именно, методом продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева [7] и методом внешних дифференциальных форм Э. Картана [20]. Следует отметить, что результаты по теории линейных связностей получены с применением теории связностей в расслоенных пространствах в форме, данной Г. Ф. Лаптевым [7], [8].

Все результаты получены в минимально специализированной системе отнесения, что позволило получить их в инвариантной форме. Рассмотрения в диссертации проводятся с локальной точки зрения. Все встречающиеся функции предполагаются достаточное число раз дифференцируемыми (то есть изучаемые подмногообразия достаточно гладкие), а при доказательстве теорем существования - аналитическими.

Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертационном исследовании в ходе решения поставленных задач, являются новыми. Научная новизна обусловлена тем, что вопросы конформно-дифференциальной геометрии оснащенных распределений и линейных связностей, индуцируемых при этом, геометрами раннее почти не изучались; исключение составляют работы [4], [17], [19] (в работе [17]-§§16,17).

Использование аналитического метода продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева и исследование дифференциально-геометрических структур, индуцируемых полями фундаментальных и оснащающих объектов рассматриваемых подмногообразий, позволило получить новые существенные результаты в теории оснащенных распределений гиперплоскостных элементов и гиперполосных распределений, погруженных в конформное пространство С„.

В диссертационной работе приведены доказательства всех основных выводов, которые сформулированы в виде теорем.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа имеет теоретическое значение. Полученные в ней результаты могут быть использованы при изучении геометрии различных многообразий, погруженных в пространства более общей структуры (например, в пространство конформной связности). Они могут быть использованы при изучении распределений от-мерных линейных элементов, вложенных в пространства конформной структуры.

Теория, разработанная в диссертации, может быть использована в качестве специальных и факультативных лекционных курсов для студентов старших курсов и аспирантов математических факультетов, а также при выполнении ими курсовых, дипломных и научных работ.

Апробация. Основные результаты диссертационного исследования докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах по современным проблемам геометрии: на заседаниях научно-исследовательского семинара молодых исследователей при кафедре геометрии Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева (2005-2009 гг.), на научно-практических конференциях преподавателей, докторантов и аспирантов Чувашскою государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева (2005-2009 гг.), на Региональной научной конференции «Современные вопросы геометрии и механики деформируемого твердого тела» (г. Чебоксары, 19-20 октября 2006 г.), в Пятой молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения - 2006» (г. Казань, 28 ноября - 2 декабря 2006 г.), в III Республиканском конкурсе научно-исследовательских работ студентов, аспирантов, молодых ученых и научно-технических работников «Наука XXI века» (г. Чебоксары, декабрь 2006 г.) (работа удостоена диплома и золотой медали за лучшую научно-исследовательскую работу в области естественно-математических наук), на XV международной конференции «Математика. Образование» (г. Чебоксары, 28 мая - 2 июня 2007 г.), в Шестой молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения - 2007» (г. Казань, 16-19 декабря 2007 г.), на заседаниях Городского геометрического семинара при кафедре геометрии Казанского государственного университета (г. Казань, 2008-2009 гг.).

Публикации. Основные научные результаты, включенные в диссертационную работу, опубликованы в 19 печатных работах автора (см. [1]-[19]).

Вклад автора в разработку избранных проблем. Диссертационная работа является самостоятельным исследованием автора. Все опубликованные научные работы по теме исследования выполнены без соавторов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения (исторический обзор, общая характеристика диссертации, содержание диссертации), трех глав и списка литературы, включающего 121 наименование. Полный объем диссертации составляет 145 страниц машинописного текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В главе I рассматривается аффинная связность на вполне оснащенном распределении Я( гиперплоскостных элементов в конформном пространстве С„ и получено ее приложение к изучению внутренней геометрии тканей на подмногообразии М.

В §§ 1,2 главы I приводится материал, большая часть которого носит реферативный характер и необходима для дальнейшего изложения. Здесь рассматриваются оснащенные взаимно ортогональные распределения !М гиперплоскостных элементов и ^одномерных линейных элементов, погруженные в конформное пространство С„.

В п. 3 § 2 вводится понятие сферического распределения гиперплоскостных элементов в С„, найдены необходимое и достаточное условия, при которых распределение гиперплоскостных элементов в Сп является сферическим (теорема 1.4).

В п. 4 § 2 доказано, что полное оснащение распределения М в С„ при отображении Дарбу в пространстве Рп+1 индуцирует «-мерное взаимным и двойственным образом нормализованное регулярное гиперполосное распределение Н (л-1)-мерных линейных элементов (А0,ПлМ), для которого базисным распределением п является образ подмногообразия Ж и полем характеристик семейства касатель-

2 2 ных к гиперквадрике Дарбу <2п с Ри+1 гиперплоскостей в точках А0 е Q„ служит

поле прямых [А0А„], сопряженных текущим элементам я относительно-^"(тео^" рема 1.5).

§ 3 главы I посвящен аффинным связностям, индуцируемым полным оснащением распределений 'М гиперплоскостных элементов и Я одномерных линейных элементов в С„. Доказано, что при полном оснащении одного (а следовательно, каждого) из распределений М и Я в С„ на подмногообразиях 'М и Я индуцируются пространства аффинной связности Ап „_( и Ап, соответственно, которые являются вейлевыми (вообще говоря, с кручением) с полями метрических тензоров и gm

соответственно и дополнительной формой ® = (теоремы 1.6, 1.7). Для

каждого пространства аффинной связности найдены строения тензоров кручения и тензоров кривизны. Доказаны также следующие предложения:

- при полном оснащении распределения М в С„ пространство аффинной связности Ап л_, имеет нулевое кручение тогда и только тогда, когда исходное распределение М является сферическим (теорема 1.9);

- если аффинная связность пространства А„ , индуцируемого полным оснащением распределения М в С„, имеет нулевое кручение, то она является римано-вой с полем метрического тензора g тогда и только тогда, когда пространство аффинной связности Ап, есть пространство с абсолютным параллелизмом (теорема 1.10);

- если оба пространства аффинной связности Ап и А„,, индуцируемые полным оснащением распределений М и Я в С„, имеют нулевое кручение, то пространство А„ л_| является римановым с полем метрического тензора g¡j тогда и только тогда, когда пространство Ап, - плоское; в работе приведены инвариантные аналитические условия последнего (теорема 1.11).

Найдены необходимое и достаточное условия, при которых пространство аффинной связности Ап и_, является обобщенно римановым (теорема 1.12). Эти усло-

вия выполняются, например, при полном оснащении распределения Ж в С„ полями

квазитензоров ак ^ —i— ак, второго порядка

п-1 п-1

л-1

§ 4 главы I посвящен приложению аффинной связности V пространства Л„ я_, к изучению внутренней геометрии тканей, заданных на распределении <Мъ С„.

В п. 1 § 4 приведены дифференциальные уравнения ткани на подмногообразии 9>{, рассмотрены некоторые порождаемые ею инвариантные геометрические образы (гармонические гиперсферы F,, псевдофокальные гиперсферы FJ ортогональной

ткани). Найден геометрический смысл гармонических гиперсфер ортогональной ткани.

В п. 2 § 4 рассмотрены голономная ткань и гаперсопряженная система в С„; найдены необходимое и достаточное условия, при которых ткань на распределении М в С„ является голономной (теорема 1.15), а также необходимое и достаточное условия, при которых голономное распределение 9Л в С„, несущее ортогональную сопряженную ткань, является гиперсопряженной системой (п>Ъ) (теорема 1.16). Доказано, что голономное распределение <М в С„ (п>3), несущее ортогональную сопряженную ткань, есть гиперсопряженная система тогда и только тогда, когда ткань является голономной (теорема 1.18).

В п. 3 § 4 рассмотрена ткань линий кривизны на голономном распределении М в С„; приведена геометрическая характеристика главных направлений и линий кривизны на голономном распределении Ш. в С„.

В п. 4 § 4 рассмотрено параллельное перенесение направления Ад А, касательной к /-й линии ортогональной ткани на распределении 'М и Сп вдоль ееу'-й линии

л-1

в аффинной связности V , индуцируемой полным оснащением распределения 'М в С„. Введены в рассмотрение геодезические и чебышевские ткани в аффинной связ-

л-1

ности V , получены аналитические условия, характеризующие эти ткани. Доказано, что голономное распределение М п Сп {п> 3) является распределением, несущим чебышевскую ткань линий кривизны, тогда и только тогда, когда оно является гиперсопряженной системой, несущей геодезическую ткань (теорема 1.22).

В п. 5 § 4 рассмотрены чебышевские ткани линий кривизны на голономном распределении 'М в С„ (и >3), а также на голономном распределении М2-мерных линейных элементов в С3.

Доказаны теоремы существования рассмотренных классов тканей (теоремы 1.13,1.17,1.23,1.24).

Глава П посвящена изучению нормальных и конформных связностей на распределении Ж гиперплоскостных элементов в конформном пространстве С„.

В начале § 1 главы II найдены слоевые формы {0°, ©¡¡} нормальной связности V1, определяемой в расслоении нормальных окружностей [/?] при полном оснащении распределения ®в С, полями квазитензоров xf, х°п, причем эти формы зависят от двух полей тензоров {Г",} и {Г"^, }. При 0 связность V1

обозначается через при /;"=0, Г°п1 * 0 - через при Г„" *О, Г° = Г„>„°

связность Vх в зависимости от охватов тензора обозначается через каждом из этих случаев найдены строения компонент тензоров кривизны - кручения соответствующих пространств нормальной связности. Доказаны следующие предложения:

- нормальная подсвязность V"1 связности ^ , индуцируемой на вполне оснащенном распределении М в С„ в расслоении окружностей [/)], плоская (то есть

связность ^ - полуплоская) тогда и только тогда, когда вейлево пространство А„ является обобщенно римановым (теорема 11.2); условие теоремы 11.2 выполняется, например, если распределение М в С„ вполне оснащено полями квазитензоров ак, ап второго порядка;

- если вейлево пространство Ап я_, с полем метрического тензора~£~гиндуци--руемое полным оснащением распределения (М в Сп полями квазитензоров

Л° А°п --— Акпк первого порядка, имеет нулевое кручение, то это про-

п-1

странство есть риманово тогда и только тогда, когда нормальная связность V является полуплоской; последнее эквивалентно тому, что кососимметричный тензор Х[Ж] обращается в нуль (теорема П.З);

- нормальная связность , индуцируемая полным оснащением распределения -М в С„, допускающим обращение в нуль тензора Х°п1 - , вдоль кривых, принадлежащих распределению СМ, является плоской тогда и только тогда, когда она полуплоская (теорема 11.4); это предложение справедливо, например, для сферического распределения;

- нормальная подсвязность У"1 связности ^, индуцируемой на вполне оснащенном распределении Ж в С„ в расслоении окружностей [/)], плоская (то есть

связность - полуплоская) тогда и только тогда, когда вейлево пространство А„ является обобщенно римановым (теорема 11.6); условие теоремы Н.6 выполняется, например, если распределение М в С„ вполне оснащено полями квазитензоров ак, а„ второго порядка;

- нормальная связность V1, индуцируемая полным оснащением распределения Жв С, с заданным на нем полем тензора Гаы, допускающим обращение в

нуль тензора Х^-х^-х°Л{,-х°х? + Г^, вдоль кривых, принадлежащих распределению 'М, является плоской тогда и только тогда, когда она полуплоская (теорема 11.7).

Построен охват тензора Г%, при котором нормальная связность определяется внутренним образом. Найдены необходимые и достаточные условия, при которых в случае построенного охвата нормальные связности Ф1 и , индуцируемые при полном оснащении распределения M в С„ полями квазитензоров х,°, , имеют одинаковые тензоры кривизны - кручения (теорема II.8). Доказано, что при

этом охвате нормальные связности ^1 и i71, индуцируемые при полном оснащении распределения Мъ С„ полями квазитензоров xf, х°„=а„, имеют одинаковые тензоры кривизны - кручения тогда и только тогда, когда вейлево пространство Ап является обобщенно римановым (теорем 11.9).

В п. 3 § 1 доказано, что нормальная связность Vх, индуцируемая полным оснащением распределения <М в С„ в расслоении окружностей [/j] с заданным на

ней полем ненулевого тензора Гдопускающим обращение в нуль тензора

Х° х°т - x°jA'm ~х°х°, вдоль кривых, принадлежащих распределению М, является плоской тогда и только тогда, когда она полуплоская (теорема 11.11). Построены охваты тензора Г^, при которых нормальная связность V1 определяется внутренним образом (соответственно, нормальные связности ). Доказано, что нормальная связность Vх, индуцируемая на вполне оснащенном полями квазитензоров .г„° = а„ распределении SU в С„ в расслоении окружностей [ij], является полуплоской (теорема 11.12); в случае полного оснащения распределения 5W, допускающего обращения в нуль тензора , вдоль кривых, принадлежащих распределению М, нормальная связность V1 является плоской.

В § 2 главы II нормальные связности Ф1, , Ф1, V1 рассмотрены на регулярном гиперполосном распределении H в проективном пространстве Ря+1, ассоциированном с распределением 'М в Ся.

В п. 1 § 2 найден геометрический смысл обращения в нуль тензора Х°к (теорема 11,13). К этому классу распределений относится, например, сферическое распределение гиперплоскостных элементов. В нормали первого рода гиперполосного распределения H в Р„+1 найдена инвариантная прямая h = [A0N„+1], внутренним образом определяемая в первой дифференциальной окрестности.

В п.2 § 2 найдено условие параллельности гладкого поля одномерных направлений, принадлежащего полю нормалей первого рода гиперполосного распределения H в Ря+1, в нормальной связности при смещении вдоль любой кривой, принадлежащей распределению я в Р„+1. Доказаны следующие предложения:

- при полном оснащении распределения M в Са поле характеристик [А0А„] гиперполосного распределения H в Рл+1 параллельно переносится в нормальной

и .

связности VA при смещении вдоль любой кривой, принадлежащей распределению к (м-1)-мерных плоскостей в Рл+1 (теорема 11.14);

- поле инвариантных прямых h н [AoN„+i] на гиперполосном распределении

о

Н в Р„+1 является параллельным в нормальной связности V при смещении вдоль любой кривой, принадлежащей распределению я (п-1)-мерных плоскостей в Ри+1, тогда и только тогда, когда тензор В"п+] k обращается в нуль (теорема 11.15).

Теоремы 11.14,11.15 сформулированы также на языке конформного пространства (теоремы 11.14*, 11.15 ).

Условие параллельности гладкого поля одномерных направлений, принадлежащего полю нормалей первого рода гиперполосного распределения Н в Р„+|, записано также относительно нормальных связностей , Ф1, V1; для этих связно-

—стей справедливы аналоги-теорем 111.14, III. 15,___

В § 3 главы II рассматриваются конформные связности, индуцируемые касательным и полным оснащениями распределения 'Мв Сп.

В п. 1 § 3 доказано, что инвариантное касательное оснащение распределения Ж в С„ полем гиперсфер Рп индуцирует пространство конформной связности

С„и с полем метрического тензора gfJ, определяемое системой (n+l)2 форм Пфаффа Q', причем если пространство С„ „_, имеет нулевое кручение, то оно является эквиконформным, выполняются аналоги тождеств Риччи, распределение М голономно и поле касательных гиперсфер Рп определяется внутренним образом в

первой дифференциальной окрестности полем квазитензора A° d---—-A*t (теорема 11.16). Найдено строение тензора кривизны - кручения пространства конформной связности С^.р При перенесении Дарбу пространства С„ на проективное пространство Р„+1 все точки каждого слоя пространства конформной связности С ] отображаются в точки квадрики Дарбу с Рл+1, получающейся при пересечении гиперквадрики Дарбу Ql с полярой точки Р„ относительно этой гиперквадрики (теорема II. 17).

В п.п. 2, 3 § 3 доказано, что инвариантное полное оснащение распределения Ж в С„ полями квазитензоров jtf, задает нормализацию пространства конформной связности С„„_,, определяемую полем окружностей [/)] (теорема 11.18). Если полное оснащение распределения М в С„ является невырожденным (то есть основной тензор Oy невырожден), то индуцируется второе пространство конформ-1

ной связности Сп.п-1, метрический тензор которого совпадает с метрическим тензором gy пространства С„„_, (теорема 11.19); приведены строения компонент тен-

i

зора кривизны - кручения пространства C„,»-i.

В главе Ш разработаны основы теории гиперполосного распределения «г-мерных линейных элементов в конформном пространстве С„ и указаны пути ее приложения.

В § 1 записываются дифференциальные уравнения гиперполосного распределения /«-мерных линейных элементов в С„, для которого базисным распределением является распределение 'К. /«-мерных линейных элементов, а оснащающим -распределение Ж гиперплоскостных элементов.

В § 2 в первой дифференциальной окрестности построено 8 полных оснащений гиперполосного распределения, определенных внутренним образом. Найден геометрический смысл обращения в нуль тензоров первого порядка Л",, Л*,, Л"„,

^т" Л„„,

§ 3 посвящен изучению аффинных связностей на вполне оснащенном гиперполосном распределении /«-мерных линейных элементов в С„. Доказано, что при полном оснащении гиперполосного распределения в Сп полями нормальных (п-/«)-сфер [/}] и касательных /«-сфер [Ра\ индуцируется аффинная связность V (теорема Ш.4); приведены компоненты тензора кручения и тензора кривизны связности. В различных расслоениях вполне оснащенного гиперполосного распределения исследуются три пары аффинных связностей (теоремы Ш.5 - Ш.8).

В § 4 доказано, что инвариантное полное оснащение гиперполосного распределения в С„ полями квазитензоров х°, х° в расслоении (и-/«)-сфер [/?] индуцирует нормальную связность V1; приведены строения компонент тензора кривизны - кручения связности.

В § 5 показано, что распределение Кот-мерных линейных элементов во второй дифференциальной окрестности инвариантным внутренним образом порождает гиперполосное распределение в С„, для которого распределение ^является базисным. Следовательно, теорию гиперполосного распределения, рассмотренную в главе III, можно приложить к изучению геометрии распределения /«-мерных линейных элементов в пространстве С„, что значительно облегчит разработку теории распределений /«-мерных линейных элементов в С„ и обогатит ее новыми геометрическими фактами.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. В разных дифференциальных окрестностях построены инвариантные внутренним образом определяемые оснащения распределения % гиперплоскостных элементов и гиперполосного распределения «2-мерных линейных элементов в конформном пространстве С„.

2. Найдены необходимое и достаточное условия, при выполнении которых распределение СИ гиперплоскостных элементов является сферическим.

3. Построены основы теории линейных связностей (аффинных, нормальных и конформных), индуцируемых различными оснащениями распределения 'М в С„; в частности:

- аффинная связность V , индуцируемая полным оснащением распределения Мв С„, является вейлевой, найдены условия, при которых она является римано-вой и обобщенно римановой; .

- найдены условия, при которых нормальные связности , ^ , ^ на вполне оснащенном распределении iW в С„ являются полуплоскими, а также условия,

при которых связности , имеют одинаковые тензоры кривизны-кручения;

- получены условия параллельности гладкого поля одномерных направлений в

нормальных связностях Vх;

- касательное оснащение распределения М в Сп индуцирует пространство конформной связности С„ с полем метрического тензора g,-,; в случае нулевого

—кручения оно является-эквиконформным и выполняются аналога тождеств Риччи;

- невырожденное полное оснащение распределения ¡М в С„ индуцирует вто-

1

рое пространство конформной связности С я.л-1, метрическии тензор которого совпадает с метрическим тензором grJ пространства С„ „_,.

л-1

4. Найдено приложение аффинной связности V к изучению внутренней геометрии тканей на подмногообразии Ж

5. Введен в рассмотрение новый дифференциально-геометрический образ -гиперполосное распределение ти-мерных линейных элементов в С„ {т<п-1), получен ряд результатов по исследованию аффинных и нормальных связностей, индуцированных полным оснащением этого многообразия.

6. Найдено приложение теории гиперполосного распределения /и-мерных линейных элементов к изучению внутренней геометрии распределений /я-мерных линейных элементов в конформном пространстве С„.

Список литературы

[1] Акивис М. А. Инвариантное построение геометрии гиперповерхности конформного пространства / М. А. Акивис // Матем. сб. - М., 1952. - Т. 31. - № 1. -С. 43-75.

[2] Акивис М. А. К конформно-дифференциальной геометрии многомерных поверхностей / М. А. Акивис // Матем. сб. - М., 1961. - Т. 53. - № 1. - С. 53-72.

[3] БлизникасВ. И. Дифференциальная геометрия неголономной гиперповерхности риманова пространства / В. И. Близникас // Liet. mat. rinkinys. Лит. мат. сб.-1971.-Т. 11.-№ 11.-С. 63-74.

[4] Бронштейн Р. Ф. К конформной теории многомерных распределений / Р. Ф. Бронштейн // Геометрия погруженных многообразий. - М. : МГПИ, 1983. -С. 17-25.

[5] БушмановаГ. В. Элементы конформной геометрии / Г. В. Бушманова, А. П. Норден. - Казань : Изд-во Казанск. ун-та, 1972. - 178 с.

[6] Вагнер В. В. Теория составного многообразия / В. В. Вагнер // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. - М.: МГУ, 1950. - Вып. 8. - С. 11-72.

[7] Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий / Г. Ф. Лаптев // Труды Моск. матем. о-ва: сб. ст. - 1953. - Т. 2. - С. 275-382.

[8] Лаптев Г. Ф. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований / Г. Ф. Лаптев // Труды 3-го Всес. матем. съезда. -М., 1958. - Т. 3.-С. 409-418.

[9] Лаптев Г. Ф. Распределения /и-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. I. / Г. Ф. Лаптев, Н. М. Остиану // Труды Геометр, семинара / ВИНИТИ АН СССР. - М., 1971. - Т. 3. - С. 49-94.

[10] Михайлова А. Н. Линейные связности на частично оснащенной гиперполосе конформного пространства / А. Н. Михайлова // ВИНИТИ РАН. - М., 2001. -№ 719. -В2001. - 19 с.

[11] Норден А. П. О нормализованных поверхностях конформного пространства / А. П. Норден // Изв. АН СССР. Сер. Матем. - 1950. - Т. 14. - № 2. -С. 105-122.

[12] Норден А. П. Пространства аффинной связности / А. П. Норден. - М.: Наука, 1976.-432 с.

[13] Остиану Н. М. Распределение гиперплоскостных элементов в проективном пространстве / Н. М. Остиану // Труды Геометр, семинара / ВИНИТИ АН СССР. -М., 1973.-Т. 4.-С. 71-120.

[14] Попов Ю. И. Основы теории трехсоставных распределений проективного пространства / Ю. И. Попов. - Изд-во С. - Петербургского ун-та, 1992. - 172 с.

[15] Розенфельд Б. А. Дифференциальная геометрия образов симметрии / Б. А. Розенфельд // ДАН СССР. - 1948. - Т. 59. -№ 6. - С. 1057-1060.

[16] Столяров А. В. Двойственная теория оснащенных многообразий / А. В. Столяров. - 2-е изд., доп. - Чебоксары : Изд-во Чуваш, гос. пед. ин-та, 1994.-290 с.

[17] Столяров А. В. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований и его приложения / А. В. Столяров. - Чебоксары : Чуваш, гос. пед. ун-т, 2002. -204 с.

[18] Столяров А. В. Конформно-дифференциальная геометрия оснащенных многообразий / А. В. Столяров, Т. Н. Глухова. - Чебоксары : Чуваш, гос. пед. ун-т, 2007.- 180 с.

[19] Филоненко Л. Ф. Распределение /я-мерных линейных элементов в конформном пространстве и присоединенные к нему связности / Л. Ф. Филоненко // Дифференциальная геометрия многообразий фигур: Межвуз. темат. сб. науч. тр. -Калининград, 1995. - Вып. 26. - С. 89-102.

[20] Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии / С. П. Фиников. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. - 432 с.

[21] Фисунов П. А. Двойственные нормальные связности на гиперполосах в проективном пространстве / П. А. Фисунов. - Чебоксары, 2006. - 129 с.

[22] Чакмазян А. В. Подмногообразия проективного пространства с параллельным подрасслоением нормального расслоения / А. В. Чакмазян I Казанское мат. об-во. 150 лет неевклидовой геометрии // Материалы Всес. геометр, конференции. -Казань, 1976.-С. 209.

[23] Чакмазян А. В. Нормальная связность в геометрии подмногообразий: Монография / А. В. Чакмазян. - Ереван : Армянск. пед. ин-т, 1990. - 116 с.

[24] Шелехов A. M. О три-тканях, образованных пучками окружностей / А. М. Шелехов // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Современная математика и ее приложения. - М„ 2005. - Т. 32. - С. 7-28.

[25] Cartan Е. Les éspaces â connexion conforme / E. Cartan // Ann. Soc. Polon. math.- 1923.-2.-P. 171-211.

[26] Ehresmann C. Les connections infinitesimales dans un espace fibre differentiable / C. Ehresmann // Colique de Topologie. - Bruxelles, 1950. - P. 29-55.

[27] Levi-Civita T. Nozioni di parallelismo in una varieta qualunque e conseguente specificazione geometrica délia curvature Riemanniana / T. Levi-Civita // Rend. circ. Matern.-Palermo, 1917.-P. 173-205.

[28] Thomsen G. Über konforme Geometrie I. Grundlagen der konformen Flachentheorie / G. Thomsen //Abhandl math. Semin. Univ. - Humburg, 1924. - 3. - P_ 31-56.

[29] Weyl H. Raum. Zeit, Materie. - Berlin : Springer, 1923.

РАБОТЫ АВТОРА, ОПУБЛИКОВАННЫЕ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Матвеева А. М. Аффинные и нормальные связности на вполне оснащенной неголономной гиперповерхности конформного пространства / А. М. Матвеева // Труды Математического центра им. Н. И. Лобачевского : Материалы Пятой молодежной науч. школы-конф. - Казань : Изд-во Казанского мат. об-ва, 2006. - Т. 34. -С. 160-162.

[2] Матвеева А. М. Аффинные и нормальные связности, индуцируемые полным оснащением взаимно ортогональных распределений конформного пространства / А. М. Матвеева // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. - Чебоксары, 2006. - № 5 (52). - С. 100-107.

[3] Матвеева А. М. Аффинные и нормальные связности, индуцируемые полным оснащением взаимно ортогональных распределений конформного пространства / А. М. Матвеева // Наука XXI века : сб. ст. по материалам III Республиканского конкурса научно-исследовательских работ студентов, аспирантов, молодых ученых и научно-технических работников (в области естественно-математических наук). - Чебоксары : ЧГИГН, 2006. - С. 4-6.

[4] Матвеева А. М. Аффинные и нормальные связности, индуцируемые полным оснащением взаимно ортогональных распределений конформного пространства / А. М. Матвеева // Современные вопросы геометрии и механики деформируемого твердого тела : тезисы Регион, науч. конф. - Чебоксары : ЧГПУ им. И. Я. Яковлева, 2006. - С. 27-28.

[5] Матвеева А. М. Аффинные связности, индуцируемые полным оснащением взаимно ортогональных распределений конформного пространства / А. М. Матвеева // ВИНИТИ РАН. - М„ 2006. - № 395. - В2006. - 16 с.

[6] Матвеева А. М. Дифференциально-геометрические структуры на оснащенной неголономной гиперповерхности конформного пространства / А. М. Матвеева // Научно-информационный вестник докторантов, аспирантов, студентов. - Чебоксары : ЧГПУ им. И. Я. Яковлева, 2006. - № 1 (7). - Т. 1. - С. 28-33.

[7] Матвеева А. М. Аффинные связности на гиперполосном распределении конформного пространства / А. М. Матвеева // Труды Математического центра им. Н. И. Лобачевского : Материалы Шестой молодежной науч. школы-конф. - Казань : Изд-во Казанского мат. об-ва, 2007. - Т. 36. - С. 144-147.

[8] Матвеева A. M. Дифференциально-геометрические структуры на оснащенной неголономной гиперполосе конформного пространства / А. М. Матвеева // Научно-информационный вестник докторантов, аспирантов, студентов. - Чебоксары : ЧГПУ им. И. Я. Яковлева, 2007. -№ 2 (10). - Т. 1. - С. 112-117.

[9] Матвеева А. М. Конформно-дифференциальная геометрия сферического распределения гиперплоскостных элементов / А. М. Матвеева // Дифференциальная геометрия многообразий фигур : Межвуз. темат. сб. науч. тр. - Калининград : Изд-во РГУ им. И. Канта, 2007. - Вып. 38. - С. 95-102.

[10] Матвеева А. М. Конформные связности на оснащенной неголономной гиперповерхности конформного пространства / А. М. Матвеева // Научно-информационный вестник докторантов, аспирантов, студентов. - Чебоксары : ЧГПУ им. И. Я. Яковлева, 2007.-№ 1 (9).-Т. 1.-С. 12-19.

[11] Матвеева А. М. Линейные связности на оснащенной неголономной гипер-• полосе конформного пространства / А. М. Матвеева // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева - Чебоксары, 2007. - Т. 1. - № 3 (55). - С. 48-55.

[12] Матвеева А. М. Нормальные связности на вполне оснащенном распределении гиперплоскостных элементов в конформном пространстве / А. М. Матвеева // ВИНИТИ РАН. - М„ 2007. - № 443. - В2007. - 21 с.

[13] Матвеева А. М. Параллельные перенесения инвариантных полей пучков гиперсфер в нормальной связности на вполне оснащенном распределении гиперплоскостных элементов в конформном пространстве / А. М. Матвеева // ВИНИТИ РАН. - М., 2007. -№ 70. -В2007. - 19 с.

[14] Матвеева А. М. Поля фундаментальных геометрических объектов и аффинные связности на гиперполосном распределении конформного пространства / А. М. Матвеева // ВИНИТИ РАН. - М., 2007. - № 972. - В2007. - 17 с.

[15] Матвеева А. М. Пространство конформной связности, индуцируемое касательным оснащением распределения гиперплоскостных элементов конформного пространства / А. М. Матвеева // Математика. Образование : Материалы XV меж-дунар. конф. - Чебоксары, 2007. - С. 244.

[16] Матвеева А. М. Внутренняя геометрия тканей на распределении гиперплоскостных элементов в конформном пространстве / А. М. Матвеева // ВИНИТИ РАН. - М„ 2008. - № 239. - В2008. -21с.

[17] Матвеева А. М. Гиперсопряженная система конформного пространства / А. М. Матвеева // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. - Чебоксары, 2008. - № 2 (58). - С. 30-36.

[18] Матвеева А. М. Линейные связности на оснащенном распределении гиперплоскостных элементов в конформном пространстве / А. М. Матвеева // Известия вузов. Матем. - Казань, 2008. -№ 7. - С. 79-84.

[19] Матвеева А. М. Приложение аффинной связности к изучению внутренней геометрии тканей на распределении гиперплоскостных элементов в конформном пространстве / А. М. Матвеева // Научно-информационный вестник докторантов, аспирантов, студентов. - Чебоксары : ЧГПУ им. И. Я. Яковлева, 2008. - № 1 (11).-Т. 1.-С. 17-23.

Подписано к печати формат 60x84 / 16.

Бумага ксероксная. Печать трафаретная. Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз. Заказ .

Отдел оперативной полиграфии Чувашского государственного педагогического университета 428000, г. Чебоксары, ул. К. Маркса, 38.

ВВЕДЕНИЕ.

1. Исторический обзор.

2. Общая характеристика диссертации.

1. Постановка вопроса и актуальность темы.

2. Цель работы.

3. Методы исследования.

4. Научная новизна.

5. Теоретическая и практическая значимость.

6. Апробация.

7. Публикации.

8. Вклад автора в разработку избранных проблем.

9. Структура и объём работы.

10. Некоторые замечания.

3. Содержание диссертации.

Глава I АФФИННАЯ СВЯЗНОСТЬ НА РАСПРЕДЕЛЕНИИ 94 ГИПЕРПЛОСКОСТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В КОНФОРМНОМ ПРОСТРАНСТВЕ С„ И ЕЁ ПРИЛОЖЕНИЕ.

§1. Конформное пространство Сп.

§2. Распределение 94 гиперплоскостных элементов в конформном пространстве Сп.

1. Взаимно ортогональные распределения 94 гиперплоскостных и ^одномерных линейных элементов в С„.

2. Частичные и полные оснащения распределений 94 и Л в Ся.

3. Сферическое распределение гиперплоскостных элементов в Си.

4. Гиперполосное распределение Н в Р/г+1, ассоциированное с распределением 94 гиперплоскостных элементов в Сп.

§3. Пространства аффинной связности на вполне оснащённых распределениях 94 и 9£в конформном пространстве сп.:.

1. Теорема Картана - Лаптева.

2. Аффинные связности, индуцируемые полным оснащением распределения 94. гиперплоскостных элементов в Сп.

1. Исторический обзор

1. Конформным я-мерным пространством Сп называется «-мерное евклидово пространство Еп, дополненное одной бесконечно удаленной точкой, в котором группа £ конформных преобразований является^ фундаментальной. Образующими элементами конформного пространства являются гиперсферы евклидова пространства Еп, в частности,, точки как гиперсферы нулевого радиуса и гиперплоскости как гиперсферы, проходящие через несобственную точку.

Конформно-дифференциальная геометрия трехмерного пространства зародилась внутри, классической дифференциальной геометрии в конце XIX века в работах Дарбу, Рибокура и других геометров: В начале XX века появился ряд работ, в которых рассматривался вопрос о том, как преобразуются важнейшие дифференциальные инварианты, и инвариантные квадратичные формы при конформных преобразованиях пространства;, К работам этого направления относятся исследования Фосса, Роте, Огура, Фубини и других геометров. Обзор работ этого направления содержится в статье Бер-вальда [100] в математической энциклопедии (1927 г.).

В отличие от аффинной и проективной дифференциальными геометриями конформная дифференциальная геометрия несколько отстала в своем развитии. Это объясняется тем, что в работах по аффинной и проективной дифференциальным геометриям с самого начала использовались естественные для этих геометрий координаты - аффинные и проективные, а при изучении вопросов конформной дифференциальной геометрии исследования велись в прямоугольной декартовой системе координат.

В 1924 г. появляется работа Томсена [118], в которой для изучения конформно-дифференциальной геометрии поверхностей применяются пента-сферические координаты и тензорное исчисление; к этому направлению относится также работа Вессио [119]. В 1929 г. выходит книга Бляшке [101], написанная им совместно с Томсеном, в которой дифференциальная геометрия трехмерного конформного пространства рассматривается одновременно с дифференциальной геометрией пространства Лагерра и пространства, фундаментальной группой которого служит группа сферических преобразований С. Ли. К этому направлению исследований относятся также работы Т. Такасу; своирезультаты в области дифференциальной геометрии сфер Такасу изложил в трехтомной монографии, первый' том которой^ вышедший в 1938 г. [117], посвящен конформной геометрии.

В работе [104] Э. Картан вводит понятие «-мерного пространства конформной связности. В это же время теория многомерных пространств конформной связности разрабатывается в работах Т. И. Томаса, И. М. Томаса и ряда других геометров. В работах С. Сасаки [114], [115] в 1939-40 гг. развивается теория кривых и гиперповерхностей в пространстве конформной связности.

Однако в большинстве перечисленных работ конформно-дифференциальная геометрия многомерных поверхностей строится средствами евклидовой и римановой геометрий. Это сильно осложняет геометрическое истолкование полученных результатов.

Новый этап в развитии конформно-дифференциальной геометрии связан с работами отечественных геометров. Здесь можно выделить три основных направления. Первое из них связано с применением к конформной геометрии общей теории образов симметрии в однородных пространствах, развитой Б. А. Розенфельдом в работах [76], [77], второе - с применением к конформной геометрии общей теории нормализованных поверхностей, развитой А. П. Норденом в работах [62]-[66], третье - с применением к конформной геометрии общей теории многообразий в однородных пространствах и в пространствах со связностями, развитой Г. Ф. Лаптевым в работах [29], [30].

Метод Г. Ф. Лаптева был применен М. А. Акивисом [1], [2], [99] к построению основ инвариантной теории гиперповерхностей, ти-мерных поверхностей «-мерного конформного и псевдоконформного пространств.

В работах [63]—[66], а также в совместной с Г. В. Бушмановой работе [9] А. П. Норденом получены существенные результаты по конформно-дифференциальной геометрии различных подмногообразий.

Л. Ф. Филоненко в своих работах [89], [90], исходя из геометрии квадратичной гиперполосы в «-мерном проективном пространстве Р„, рассматривает распределение т-мерных линейных элементов в (и-1)-мерном конформном пространстве, используя, в основном, его проективную интерпретацию.

Исследования А. М. Михайловой [60], [61] посвящены изучению некоторых вопросов линейных связностей на оснащенной гиперполосе конформного пространства.

Т. Н. Глухова (Андреева) [17]-[21], [87] рассматривает линейные связности (аффинные, конформные, нормальные), индуцируемые различными оснащениями гиперповерхности в конформном пространстве, а также находит приложение аффинных связностей к изучению сетей на гиперповерхности в конформном пространстве.

А. В. Столяров [82]—[85] рассматривает оснащения и линейные связности на распределениях в конформном пространстве Сп. В работах [86], [87] он строит пространство конформной связности Сп на базе пространства проективной связности Ри>и+1 и изучает внутреннюю геометрию нормализованного пространства конформной связности.

В работе В. Б. Лазаревой и А. М. Шелехова [28] при изучении тканей, порождаемых пучками сфер, широко используется отображение Дарбу многообразия сфер трехмерного пространства в четырехмерное проективное пространство Р4. Аналогичным образом в работе [97] А. М. Шелехов решает конформную задачу, поставленную Бляшке [102]: перечислить все регулярные (параллелизуемые) три-ткани, образованные пучками окружностей.

2. Наряду с интенсивным изучением дифференциальной геометрии го-лономных многообразий в последние 60-70 лет объектом исследования многих математиков явились неголономные многообразия, то есть распределения т-мерных линейных элементов, погруженных в различные однородные и обобщенные пространства.

Некоторые задачи движения механических систем, подчиненных добавочным линейным неголономным связям, задаваемым, например, неинтег-рируемой системой уравнений Пфаффа, в пространстве конфигураций механической системы приводят к понятию неголономного многообразия (см., например, работы В.В.Вагнера [11], [13], А. В. Гохмана [23], И. К. Рашевского [74], С. А. Чаплыгина [96]).

Наряду с этим к понятию неголономного многообразия математики пришли независимо от задач механики путем обобщения основных положений геометрии подпространств на случай, когда поле т-мерных пучков направлений не задает семейства т-мерных подпространств (см. работы В.В.Вагнера [10], [12], Д.М.Синцова [78], Схоутена [116], монографии Врэнчану [120] и Михэйлеску [112]).

В 70-х годах XX века теория распределений т-мерных касательных элементов (неголономных поверхностей) в пространстве представления некоторой группы Ли, а также обобщенная теория распределения т-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности Р (в частности, в проективном пространстве Р„) получили дальнейшее развитие в инвариантной аналитической форме в работах Г. Ф. Лаптева и Н. М. Остиану (см. [32], [33], [70], [71]); в случае распределений гиперплоскостных элементов в пространствах со связностью без кручения эта теория получила свое отражение в работах В. И. Близникаса [6], [7]. Ю. Г. Лумисте [37] исследует распределения на однородных пространствах, названных им пространствами проективного типа. А. П. Норден [67], [68] устанавливает связь теории многочисленных композиций с теорией распределений. А.В.Столяров [81] строит инвариантную двойственную теорию регулярного гиперполосного распределения т-мерных линейных элементов, а также регулярного распределения гиперплоскостных элементов в пространстве проективной связности Р и находит некоторые пути приложения этой теории. В монографии Ю. И. Попова [73] построена инвариантная теория трехсоставных распределений, вложенных в проективное пространство Р;).

3. В дифференциальной геометрии важное место занимает теория связ-ностей в различных расслоенных пространствах, а также ее применение при исследовании оснащенных подмногообразий, погруженных в различные пространства.

История теории связностей начинается с 1917 г. с работы Т. Леви-Чивита [111] о параллельном перенесении вектора в римановой геометрии. В 1918 г. Г. Вейль [121] для построения единой теории поля ввел понятие пространства аффинной связности. Дальнейшее обобщение дал в 1920 г. Р. Кэниг [110], рассматривая линейную связность в векторном расслоении над областью числового пространства.

Новый этап в развитии теории связностей открыли работы Э. Картана [27] в 20-х годах XX века, в которых касательные векторные пространства заменялись аффинными, проективными или конформными пространствами.

Следующий этап в развитии теории связностей начался в 1950 г., когда В. В. Вагнер [14], [15] и Ш. Эресман [108] независимо друг от друга ввели общее понятие связности в расслоенном пространстве. Изложение Вагнера является локальным и выполнено классическими методами. Обзор дальнейшего развития теории связностей излагается в работе Ю. Г. Лумисте [34].

Для изучения геометрии многомерных поверхностей проективного пространства и других однородных пространств, фундаментальная группа которых является подгруппой проективной группы, А. П. Норден разработал метод нормализации [63]-[66]. Метод нормализации позволил в касательных расслоениях подмногообразий проективного пространства индуцировать аффинные связности без кручения. П. А. Широков и А. П. Широков исследовали локальное строение подмногообразия в аффинном пространстве с помощью аффинной связности в касательном расслоении [98].

Новый инвариантный аналитический метод дифференциально-геометрических исследований многообразий, вложенных в однородные пространства и в пространства с фундаментально-групповой связностью, был развит Г. Ф. Лаптевым [29]. При этом задача сводится к изучению геометрии подмногообразия посредством исследования дифференциально-геометрических структур, индуцированных полями фундаментальных, охваченных и оснащающих объектов подмногообразия. Г. Ф. Лаптев [29], следуя идеям Э. Картана [27], линейные связности определяет как множества отображений бесконечно близких слоев расслоения, соответствующих касательным векторам базисного многообразия; эти отображения должны быть согласованы с действием структурной группы на расслоении (теорема Картана - Лаптева).

Связность, определяемую в нормальном расслоении подмногообразия евклидова пространства или пространства постоянной кривизны, ввел Э. Картан в 1926-1927 гг. Подмногообразия с нулевым кручением (то есть с плоской нормальной связностью) исследовали почти одновременно

Д. И. Перепелкин [72] и Фабрициус-Бьерре [109], а также Э. Картан в 1936 г. Нормальная связность привлекла внимание в связи с исследованиями подмногообразий с параллельным полем вектора средней кривизны в пространстве постоянной кривизны. Одним из дополнительных условий, которое часто ставили при этом, являлось условие; чтобы нормальная связность была плоская. Получены далеко идущие результаты об изучаемых подмногообразиях. Обзор исследований этого направления дан в [36], [38].

Понятие нормальной связности нормализованного подмногообразия в проективном пространстве ввели А. П. Норден в работе [66] (внешняя связность) и А. В. Чакмазян [94]. Большой вклад в развитие теории нормальных связностей внес А. В. Чакмазян [95]; в указанной работе он изучает локальное строение подмногообразия- в одном из классических однородных пространств (именно, в проективном, аффинном и проективно-метрическом пространствах) с привлечением связностей в нормальных расслоениях.

В отечественной и зарубежной- математической литературе появилось много работ, в которых изучаются вопросы теории связностей в нормальных расслоениях подмногообразий в пространствах постоянной кривизны; обзор исследований подмногообразий с плоской нормальной связностью в пространствах постоянной кривизны дан в работах Чена [106] и Ю. Г. Лумисте [36]. В работах [35], [38] дается-сводное изложение результатов Ю. Г. Лумисте и А. В. Чакмазяна, относящихся к изучению строения подмногообразия пространства постоянной кривизны, допускающего поле нормальных ^-направлений, параллельное в нормальной связности подмногообразия. Чен и Яно [107] изучают подмногообразия Ут риманова пространства Уп с параллельным /7-мерным подрасслоением нормального расслоения; М. А. Аки-вис и А. В. Чакмазян [3], [4] исследуют геометрию Ут с плоской нормальной связностью в евклидовом пространстве Еп.

П. А. Фисунов [92] изучает двойственные нормальные связности на оснащенной регулярной голономной и неголономной гиперполосах я-мерного проективного пространства.

В работах С. Ю. Волковой [16], Н. А. Елисеевой [25], Т. Ю. Максаковой [39] исследуются нормальные связности на распределениях специальных классов в проективном пространстве Рн.

1. Акивис М. А. Инвариантное построение геометрии гиперповерхности конформного пространства / М.А. Акивис // Матем. сб. - М., 1952. — Т. 31.-№ 1. -С. 43-75.

2. Акивис М. А. Многомерная дифференциальная геометрия / М. А. Акивис. Калинин, 1977. - 82 с.

3. Близникас В. И. О неголономной поверхности трехмерного про- ; странства / В. И. Близникас // Труды Геометр, семинара / ВИНИТИ АН СССР. 1971.-Т. З.-С. 115-124.

4. Бронштейн Р. Ф. К конформной теории многомерных распределений / Р. Ф: Бронштейн // Геометрия погруженных многообразий. — М. : МГПИ, 1983.-С. 17-25.

5. Бушманова Г. В. Элементы конформной геометрии / Г. В. Буш-манова, А. П. Норден. Казань : Изд-во Казанск. ун-та, 1972. - 178 с.

6. Вагнер В. В. Дифференциальная геометрия неголономных многообразий / В. В; Вагнер // Сб. 8-го Межд. конкурса на соискание премий им. Лобачевского. Казань, 1940. - С. 195-262.

7. Вагнер В. В'. Геометрическая интерпретация движения неголо, номных динамических систем / В. В. Вагнер // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. М. : МГУ, 1941. — Вып. 5. - С. 301—327.

8. Вагнер В. В. Геометрия («-1)-мерного неголономного многообразия в «-мерном пространстве / В. В. Вагнер // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. М. : МГУ, 1941. — Вып. 5. - С. 173-225.

9. Вагнер В. В. Теория конгруэнции кругов и геометрия неголономного V2 в R3 / В: В. Вагнер // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. -М: : МГУ, 1941. Вып. 5. - С. 271-283. •

10. Вагнер Bi В. Обобщенные тождества Риччи и Бианки для связности в составном многообразии / В. В: Вагнер // ДАН СССР. -1945. № 8. -С. 335-338.

11. Глухова (Андреева) Т. Н. Аффинные связности на нормально оснащенной гиперповерхности конформного пространства- / Т. Н. Глухова (Андреева) // Вестник Чувашек, гос. пед. ун-та им. И. Я. Яковлева. — Чебоксары, 2004.-№ 1.-С. 3-9.

12. Глухова (Андреева) Т. Н; Конформно-дифференциальная геометрия сетей на гиперповерхности / Т. Н. Глухова (Андреева) // ВИНИТИ РАН. М., 2004. - № 744. - В2004. - 18 с.

13. Глухова (Андреева) Т. Н: Конформные и аффинные связности^ индуцируемые полным оснащением гиперповерхности конформного пространства / Т. Н: Глухова (Андреева) // ВИНИТИ РАН. М., 2004. -№ 1369.-B2004.- 18c.

14. Глухова. (Андреева) Т. Н. Нормальные связности на гиперповерхности конформного пространства / Т. Н. Глухова (Андреева) // ВИНИТИ РАН. М., 2005. - № 379. - В2005. - 23 с.

15. Евтушик Л. Е. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях / Л. Е. Евтушик и др. // Итоги науки и техн. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. -М., 1979.-Т. 9.-246 с.

16. Картан Э. Внешние дифференциальные системы и их геометрические приложения / Э. Картан. М. : МГУ, 1962. - 237 с.

17. Картан Э. Пространства аффинной, проективной и конформной связности / Э. Картан. Казань : Изд-во Казанск. ун-та, 1962. - 210 с.

18. Лазарева В. Б. Конфигурации и ткани, порождаемые пучками сфер / В. Б. Лазарева, А. М. Шелехов // Вестник Чувашек, гос. пед. ун-та им. И. Я. Яковлева. Чебоксары, 2006. - № 5 (52). - С. 100-107.

19. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий / Г. Ф. Лаптев // Труды Моск. матем. о-ва : сб. ст. 1953. - Т. 2. -С.275-382.

20. Лаптев Г. Ф. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований / Г. Ф. Лаптев // Труды 3-го Всес. матем. съезда.-М., 1958.-Т. 3. С. 409-418.

21. Лаптев Г. Ф. Многообразия, погруженные в обобщенные пространства / Г. Ф. Лаптев // Труды 4-го Всес. матем. съезда (1961). — Ленинград, 1964. Т. 2. - С. 226-233.

22. Лаптев Г. Ф. Распределения га-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. I. / Г. Ф. Лаптев, Н. М. Остиану // Труды Геометр, семинара / ВИНИТИ АН СССР. М., 1971. - Т. 3. -С. 49-94.

23. Лаптев Г. Ф. Распределения касательных элементов / Г. Ф. Лаптев // Труды Геометр, семинара / ВИНИТИ АН СССР. М., 1971. - Т. 3. -С. 29-48.

24. Лумисте Ю. Г. Теория связностей в расслоенных пространствах / Ю. Г. Лумисте // Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия / ВИНИТИ АН СССР. -М., 1971.-С. 123-168.

25. Лумисте Ю. Г. Подмногообразия с параллельным нормальным векторным полем / Ю. Г. Лумисте, А. В. Чакмазян // Известия вузов. Матем.-Казань, 1974.-№ 5.-С. 148-157.

26. Лумисте Ю. Г. Дифференциальная геометрия подмногообразий / Ю. Г. Лумисте // Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия / ВИНИТИ АН СССР.-М., 1975.-Т. 13.-С. 273-380.

27. Лумисте Ю. Г. Распределения на однородных пространствах / Ю. Г. Лумисте // Итоги науки и техн. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. М., 1977. - Т. 8. - С. 5-24.

28. Лумисте Ю. Г. Нормальная связность и подмногообразия с параллельными нормальными полями в пространстве постоянной кривизны / Ю. Г. Лумисте, А. В. Чакмазян // Итоги науки и техн. Проблемы геометрии /ВИНИТИ АН СССР.-М., 1981.-Т. 12.-С. 3-30.

29. Матвеева А. М. Аффинные связности, индуцируемые полным оснащением взаимно ортогональных распределений конформного пространства / А. М. Матвеева // ВИНИТИ РАН. М., 2006. - № 395. - В2006. -16 с.

30. Матвеева А. М. Линейные связности на оснащенной неголоном-ной гиперполосе конформного пространства / А. М. Матвеева // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Чебоксары, 2007. - Т. 1. - № 3 (55). - С. 48-55.

31. Матвеева А. М. Нормальные связности на вполне оснащенном распределении гиперплоскостных элементов в конформном пространстве / А. М1 Матвеева // ВИНИТИ РАН. М., 2007. - № 443; - В2007. - 21 с.

32. Матвеева А. М. Поля фундаментальных геометрических объектов и аффинные связности на гиперполосном распределении конформного пространства / А. М. Матвеева // ВИНИТИ РАН. М., 2007. - № 972. -В2007. -17 с.

33. Матвеева А. М. Внутренняя геометрия тканей на распределении гиперплоскостных элементов в конформном пространстве / А. М. Матвеева //'ВИНИТИ РАН. М., 2008. - № 239. - В2008. - 27 с.

34. Матвеева А. М. Гиперсопряженная система конформного пространства / А. М. Матвеева // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. — Чебоксары, 2008. -№2 (58).-С. 30-36.

35. Матвеева А. М. Линейные связности на оснащенном распределении гиперплоскостных элементов в конформном пространстве / А. М. Матвеева // Известия вузов. Матем. — Казань, 2008. — № 7. — С. 79-84.

36. Михайлова А. H. Внутренние оснащения гиперполосы в конформном пространстве / А. Н. Михайлова // ВИНИТИ РАН. М., 2000. -№ 1497.-B2000.-17c.

37. Михайлова А. К Аффинные связности и сети на нормально оснащенной гиперполосе конформного пространства / А. Н. Михайлова // ВИНИТИ РАН. М., 2001. - № 1950. - В2001. - 14 с.

38. Михайлова А. Н. Линейные связности на частично оснащенной гиперполосе конформного пространства / А. Н. Михайлова // ВИНИТИ РАН. -М., 2001. -№ 719. -В2001. 19 с.

39. Норден А. П. Аффинная связность на поверхностях проективного пространства / А. П. Норден // Матем. сб. М., 1947. - Т. 20. - № 2. -С. 263-280.

40. Норден А. П. О нормализованных поверхностях пространства Мебиуса / А. П. Норден // ДАН СССР.,- 1948. Т. 61. - № 2. - С. 207-210.

41. Норден А. П. Конформная интерпретация пространства Вейля / А. П. Норден // Матем. сб. М., 1949. - Т. 24. - № 1. - С. 75-85.

42. Норден А. П. О нормализованных поверхностях конформного пространства / А. П. Норден // Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1950. - Т. 14. - № 2. - С. 105-122.

43. Норден А. П. Пространства аффинной связности / А. П. Норден. — М. : Наука, 1976.-432 с.

44. Норден А. П. Многочисленные композиции и теория распределений / А. П. Норден // Известия вузов. Матем. — Казань, 1978. № 11. -С. 87-97.

45. Норден А. П. Теория композиций / А. П. Норден // Итоги науки и техн. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. М., 1978. - Т. 10. -С.117-145.

46. Остиану H. М. О канонизации подвижного репера погруженного многообразия / H. М. Остиану // Rev. math, pures et appl. (RPR). 1962. -T. 7. —№ 2. — C. 231-240.

47. Остиану H. M. Распределения га-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. II. / H. М. Остиану // Труды Геометр, семинара / ВИНИТИ АН СССР. М., 1971. - Т. 3. - С. 95-114.

48. Остиану H. М. Распределение гиперплоскостных элементов в проективном пространстве / H. М. Остиану // Труды Геометр, семинара / ВИНИТИ АН СССР. М., 1973. - Т. 4. - С. 71-120.

49. Перепелкин Д. И. О параллельных подмногообразиях в евклидовом (или римановом) пространстве / Д. И. Перепелкин // ДАН СССР. -1935.-С. 593-598.

50. Попов Ю. И. Основы теории трехсоставных распределений проективного пространства / Ю. И. Попов. — Изд-во С. — Петербургского унта, 1992.- 172 с.

51. Рашевский П. К. Геометрическая теория уравнений с частными производными / П. К. Рашевский. М. : Гостехиздат, 1947. - 354 с.

52. Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ / П. К. Рашевский. М. : Наука, 1967. - 664 с.

53. Розенфельд Б. А. Метрика и аффинная связность в пространствах плоскостей, сфер и квадрик / Б. А. Розенфельд // ДАН СССР. 1947. -Т. 57. - № 6: - С. 543-546.

54. Розенфельд Б. А. Дифференциальная геометрия образов симметрии / Б. А. Розенфельд // ДАН СССР. 1948. - Т. 59. - № 6. - С. 1057-1060.

55. Синцов Д. М. Работы по неголономной геометрии / Д. М. Синцов.- Киев : Вища школа, 1972. 294 с.

56. Смирнов Р. В. Преобразования Лапласа /»-сопряженных систем / Р. В. Смирнов.// ДАН АН СССР! 1950. - Т. 71. - № 3. - С. 437-439.

57. Столяров А. В. Проективно-дифференциальная геометрия регулярного гиперполосного распределения га-мерных линейных элементов / А. В. Столяров // Итоги науки и техн. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН' СССР.-М., 1975.-Т. 7.-С. 117-151.

58. Столяров А. В. Двойственная теория оснащенных многообразий / А. В>. Столяров. 2-е изд., доп. - Чебоксары : Изд-во Чуваш, гос. пед. инта, 1994.-290 с.

59. Столяров А. В. Линейные связности на распределениях конформного пространства / А. В. Столяров // Известия вузов. Матем. Казань, 2001.-№3.-С. 60-72.

60. Столяров А. В. Внутренняя геометрия нормализованного конформного пространства / А. В. Столяров // Известия вузов. Матем. Казань, 2002. - № 11. - С. 61-70.

61. Столяров А. В. Оснащения и аффинные связности на распределениях конформного пространства / А. В. Столяров // Известия вузов. Матем.- Казань, 2002. № 5. - С. 52-60.

62. Столяров А. В. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований и его приложения / А. В. Столяров. Чебоксары : Чуваш, гос. пед. ун-т, 2002. - 204 с.

63. Столяров А. В. Пространство конформной связности / А. В. Столяров // Известия вузов. Матем. Казань, 2006. — № 11. - С. 42-54.

64. Столяров А. В. Конформно-дифференциальная геометрия оснащенных многообразий / А. В. Столяров, Т. Н. Глухова. Чебоксары : Чуваш. гос. пед. ун-т, 2007. — 180 с.

65. Схоутен И. А. Введение в новые методы дифференциальной геометрии / И. А. Схоутен, Д. Дж. Стройк. М. : ГИИЛ, 1948. - Т. 2. - 348 с.

66. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии /С. П. Фиников. М.-Л. : ГИТТЛ, 1948. -432 с.

67. Фисунов П. А. Двойственные нормальные связности на гиперполосах в проективном пространстве / П. А. Фисунов. — Чебоксары, 2006. — 129 с.

68. Чакмазян А. В. Двойственная нормализация / А. В. Чакмазян // ДАН Арм. ССР. 1959. - Т. 28. - №4. - С. 151-157.

69. Чакмазян А. В. Подмногообразия проективного пространства с параллельным подрасслоением нормального расслоения / А. В. Чакмазян / Казанское мат. об-во. 150 лет неевклидовой геометрии // Материалы Всес. геометр, конференции. -Казань, 1976. С. 209.

70. Чакмазян А. В; Нормальная связность в геометрии подмногообразий: Монография / А. В: Чакмазян. Ереван : Армянск. пед. ин-т, 1990. — 116 с.

71. Чаплыгин С. А. К теории движения неголономных. систем. Téo-рема о приводящем множителе / С. А. Чаплыгин // Полное собрание сочинений. -Л., 1933. -Т. 1.- С. 212-214.

72. Шелехов А. М. О три-тканях, образованных пучками окружностей / А. М. Шелехов // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Современная математика и ее приложения. М., 2005. - Т. 32. - С. 7—28.

73. Широков П. А. Аффинная дифференциальная геометрия / П. А. Широков, А. П. Широков. М. : ГИФ-МЛ, 1959. - 320 с.

74. Akivis M. A. Conformai differential geometry and its generalizations / M. A. Akivis, V. V. Goldberg. USA, 1996. - 384 p.

75. Bervald L. Differential invarianten in der Geometrie. Enzuclopädie der Mathematischen Wissenschaften / L. Bervald. 1927. - Bd. III. - Heft 7. -S. 73-121.

76. Blaschke W. Vorlesungen über Differentialgeometrie. III / W. Blaschke // Differential-geometrie der Kriese und Kügeln. — Berlin, 1929.

77. Blaschke W. Einfürung in die Geometrie der Waben / W. Blaschke // Basel Stuttgart. - 1955. Имеется русский перевод: Бляшке В. Введение в геометрию тканей. -М. : Физматгиз, 1959.

78. Bortolotti Е. Connessioni nelle varieta lùogo di spazi; applicazione alla geometría métrica differenziale delle congruarize di rette / E. Bortolotti // Rond. Semin. Fac. Sei Univ. Cagliari. 1933. - T. 3: - P. 81-89.

79. Cartan E. Les éspaces á connexion conforme / E. Cartan // Ann. Soc. ' Polon. math. 1923. - 2. - P. 171-211.

80. Cartan E. Les éspaces ä connexion projective / E. Cartan // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. М. : МГУ, 1937. - Вып. 4. — С.147-159.

81. Chen Bang Yen. Geometry of submanifolds / Chen Bang - Yen. -New york, Marseille, Dakar, 1973. - X. - 308 p.

82. Chen Bang Yen. Submanifolds umbilical with respect to a nonparallel normal subbundle / Chen Bang - Yen, Yano Kentaro // Ködai Math. Semin. Repts. - 1973. - 25. - № 3. - P. 289-296.

83. Ehresmann С. Les connections infinitesimales dans un espace fibre differentiable / C. Ehresmann // Colique de Topologie. — Bruxelles, 1950. -P. 29-55.

84. Fabricius-Bierre F. Sur variétés a torsion nulle / F. Fabricius-Bierre // Acta math. 1936. - S. 49-77.

85. König R Beiträge zu einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehr / R. König // Jahresb. D. Deutsch. Math. Ver. 1920. - 28. - 28. - P. 213-228.

86. Levi-Civita T. Nozioni di parallelismo in una varieta qualunque e con-seguente specificazione geometrica della curvature Riemanniana / T. Levi-Civita // Rend. circ. Matem. Palermo, 1917. - P. 173-205.

87. Mihâlescu T. Geometrie differentiala projective / T. Mihâlescu. Bu-curesti Acad. RPR, 1958. - 394 p.

88. Pfaff J.-Berl. Abh.'- 1814.-S. 76-135.

89. Sasaki S. On the theory of curves in a curved conformai space / S. Sasaki // Sei. Repts. Tôhoku Univ. 1939: - 27. - P. 392-409.

90. Sasaki S. On the theory of surfaces in a curved conformai space / S. Sasaki // Sei. Repts. Tôhoku Univ. 1940. - 28. - P. 261-285.

91. Schouten J. Ricci Calculus / J. Schouten. Berlin. 2nd ed., 1954.

92. Takasu T. Differentialgeometrien in der Kugelräumen. I. / T. Takasu //Konforme Differentialgeometrie von Lioville und Möbius. — Tokyo, 1938.tt

93. Thomsen G. Uber konforme Geometrie I. Grundlagen der konformen Flachentheorie / G. Thomsen //Abhandl math. Semin. Univ. Humburg, 1924. -3.-P. 31-56.

94. Vessiot E. Contribution â la geometrie conforme. Theorie des surfaces / E. Vessiot // Buii. Soc. Math. France. 1926. - 54. - P. 139-179; - 1927. - 55. -P. 39-79.

95. Vranceanu L. Les èspaces non-holonomes / L. Vranceanu // Mémorial des Sei Math., fasc. LXXXV. Paris, 1936.

96. Weyl H Raum. Zeit, Materie. Berlin : Springer, 1923.