Конформно-дифференциальная геометрия многомерных распределений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Введение

§ I. Общая характеристика работы.

§ 2. Состояние вопроса и задачи исследования.

§ 3. Обзор содержания диссертации.

Глава I

Распределения в конформном пространстве

§ I. гь -мерное конформное пространство и конформные преобразования.

§2. р -мерное распределение.

§ 3. Фундаментальная последовательность геометрических объектов р -мерного распределения.

§ 4. Инвариантный репер распределения.

§ 5. Связность на распределении.

§ 6. Пара голономных распределений.

Глава II

Распределения коразмерности один и два

§ I. ( УЬ - 1 )-мерное распределение. 50*

§ 2. Инвариантное оснащение гиперраспределения.

§ 3. Линии кривизны гиперраспределения.

§ 4. Теорема существования неголономной сферы

§ 5. ( УЬ - Z )-мерное распределение.

Глава III

Гиперраспределение конформного пространства, определяемое нуль-системой . „ А .с помощью

PYI+ i

§ 2. Инвариантный репер гиперраспределения, определяемого нуль-системой, и его геометрическая интерпретация.

§ 3. Нуль-система, присоединенная к гиперраспределению конформного пространства.

§ 4. Нормальная конгруэнция гиперраспределения.

§ 5. Распределение трехмерного конформного пространства, определяемое нуль-системой.

§ I. Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Геометрия распределений в однородных пространствах в последние годы интенсивно изучается с различных точек зрения. Это объясняется прежде всего близостью теории распределений к теории подмногообразий однородных пространств, а также многочисленными связями этой теории с различными разделами геометрии. Подробно рассмотрены различные воцросы дифференциальной геометрии распределений плоских элементов в проективном, аффинном и евклидовом пространствах, а также в пространствах аффинной и проективной связности.

В. связи с этим представляет интерес изучить конформную теорию многомерных распределений, тем более, что в конформном, как и в евклидовой пространстве, с распределением связано вполне ортогональное ему распределение, а с гиперраспределением - ортогональная конгруэнция кривых. Но при этом конформные свойства распределений существенно отличаются от евклидовых.

Дель шботы. Построить конформную теорию многомерных распределений. Исследовать гиперраспределения и распределения коразмерности два. Изучить гиперраспределения конформного

Сгь определяемые нуль-системами проективного пространства I

Научная новизна. В диссертации изучена конформная теория

Сп построено инвариантное оснащение -мерного распределения Л ^

Рассмотрены некоторые аффинные связности Вейля конформного

Си индуцируемые распределениями. Выделены некоторые частные классы распределений. Введено понятие неголономной гиперсферы конформного пространства С и изучены некоторые типы неголономных гиперсфер.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты, полученные в диссертации, носят теоретический характер и дополняют общую теорию распределений однородных пространств. Они могут быть использованы в дальнейших исследованиях по общей теории распределений, при изучении конформных пространств, а также в исследованиях по линейчатой геометрии, ввиду ее связи с геометрией пространства С • Результаты настоящей работы можно использовать как материал для специальных курсов в вузах, где ведется работа по близкой тематике, например, в МШИ им. В. И. Ленина, Калининском государственном ун-те, Московском ин-те стали и сплавов и др.

Метод исследования. Работа выполнена инвариантным методом дифференциально-геометрических исследований, основаном на методе Э. Картана и общей схеме исследования дифференциально-геометрических структур, разработанной Г. Ф. Лаптевым. Все рассмотрения носят локальный характер и встречающиеся функции принадлежат к необходимому классу дифференцируемое ти.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обобщались на XXX научно-технической конференции Московского института радиотехники, электроники и автоматики /1981 г./, на У и У1 научных конференциях молодых ученых и'специалистов факультета физико-математических и естественных наук Университета дружбы народов им. П. Лумумбы /1982, 1983 гг./, на У1 Прибалтийской геометрической конференции в Таллине /1984 г./, а также на геометрическом семинаре под руководством профессора В. Т. Базылева в Московском педагогическом институте им. В. И. Ленина /1981, 1983 гг./ и неоднократно на заседаниях геометрического семинара под руководством профессора М. А. Акивиса в Московском институте стали и сплавов.

Публикации. По результатам диссертации опубликовано шесть статей. Исследования, включенные в диссертацию, выполнены без соавторов.

Структура и объем работы. Диссертационная работа выполнена на 115 страницах машинописного текста, состоит из введения, трёх глав и списка литературы, насчитывающего 62 наименования.

1. Конформно-дифференциальная геометрия. Итоги науки. Геометрия 1963, М., 1965, с. 65-107.

2. Алшибая Э. Д., К геометрии распределений гиперплоскостных элементов в аффинном пространстве. Тр. Геом. семинара. М., ВИНИТИ АН СССР, 1974, 5, с. 169-193.

3. Базылев В. Т., Сети на многообразиях. Тр. Геом. семинара. Всес. ин-т науч. и техн. информ., 1974, т. 6, с. 189-204.

4. Кузьмин М. К., Столяров А. В., Сети на многообразиях. Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Проблемы геометрии, 1981, т. 12, 97-125.

5. Еяизникас В. И., Гринцевичус К. И., О неголономной линейчатой геометрии. Третья Прибалтийская геометрическая конференция. Тезисы докл. 7-12 июня 1968 г. (Вильнюсск. гос. пед. ин-т, Вильнюсск. ун-т). Паланга, 1968, с. 21-25.

6. Бюшгенс С. С., Геометрия векторного поля. Изв. АН СССР. Сер. Матем., 1946, J& 10, 73-96.

7. Вагнер В. В., Дифференциальная геометрия неголономных многообразий. В сб.: УШ-ой Международный Конкурс на соискание премии им. Н. И. Лобачевского, 1937. Казань 1939, с. 195-262.

8. Гейдельман Р. М., К конфоршо-дифференциальной теории конгруэнции окружностей. Матем. сборник, 1951, т. 29 (71),Л 2, с. 313-348.

9. Кайзер В. В., Неголономная линейчатая геометрия как теория распределений на грассмановом многообразии. Изв. вузов. Матем., 1983, $ 6, с. 56-58.

10. Картан Э., Внешние дифференциальные системы и их геометрические приложения. М., 1962.23. -, Пространства аффинной, проективной и конформной связности. Казань, 1962.

11. Теория конечных непрерывных групп и дифференциальная геометрия, изложенные методом подвижного репера. М., 1963.

12. Клейн Ф., Высшая геометрия. М.-Л., 1939.

13. Распределения на однородных пространствах. Проблемы геометрии, т. 8, Итоги науки и техники, 1976, с. 6-24.

14. Номидзу К., Группы Ли и дифференциальная геометрия. М., I960.

15. Норден А. П., Пространства аффинной связности. М., 1976.

16. Рашевский П. К., Тензорная дифференциальная геометрия. Б сб.: Математика в СССР за 30 лет. М.-Л., 1948,с. 883-918.

17. Розенфельд Б. А., Многомерные пространства. М., 1966.

18. Синцов Д. М., Работы по неголономной геометрии. Киев, 1972.

19. Тихонов В. А., Плоские сети и гиперраспределения в евклидовом пространстве. В сб.: Геометрия погруженных многообразий. М., 1980, с. I07-II2.

20. Фиников С. П., Метод внешних форм Картана в дифференциальiной геометрии. М.-Л., 1948.

21. Шевалле К., Теория групп Ли. I, М., 1948.

22. Широков П. А., Тензорное исчисление. Казань, 1961.

23. Berwald L., Different!alinvarianten in der Geometrie. EncyklopSdie der Mathematischen Wissenschaften, Bd III, H. 7, 1927, S. 73-121.

24. Lester J. A., Conformal Minkowski space-time. I. Relative infinity and proper time. Nutvo cim. 1982, Vol» 72 B, N 2, p. 261-272.

25. Conformal Minkowski space-time. II» A cosmologioal model. Nuovo oim. 1983, Vol. 73 B, N. I, p. 139-149.

26. Lucrarile Conferintei nationale de spatii neolonome, Iasi,> i >28.30 mai, 1976. Bucuresti, Acad. RSR, 1979, 176 p.7 } J

27. Schiemangk Christina, Sulanke Rolf. Submanifolds of the MbMus space., Math. Nachr. 1980, 96, S. 165-183.

28. Schouten J. A., van Kampen E. K., Zur Einbettungs- und KrUmmungstheorie nichtholonomer Gebilde. Mathematisohe Annalen, Bd 103, H. 4-5, 1930, S. 752-783.

29. Teodorescu Ion. D., Asupra teoriei unitare neolonome. Stud, si cerc. mat. 1981, 33, N. 6, p. 627-636.

30. Thomsen G., Uber konforme Geometrie I. Grundlagen der kon-formen Flachenthorie. Abhandl. math. Semin. Univ. Hamburg, 1924, 3, S. 31-56.

31. Voss A., Zur Theorie der allgemeinen Punktebenensysteme. Mathematisohe Annalen, B. 23, 1884, S. 45-81.