Линейные связности на оснащенной гиперповерхности конформного пространства тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи

АНДРЕЕВА ТАТЬЯНА НИКОЛАЕВНА

ЛИНЕЙНЫЕ СВЯЗНОСТИ НА ОСНАЩЕННОЙ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ КОНФОРМНОГО ПРОСТРАНСТВА

01.01.04 - г еометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань - 2005

Работа выполнена на кафедре геометрии Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я.Яковлева

доктор физико-математических наук, профессор Столяров A.B.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Шурыгин В.В. кандидат физико-математических наук, доцент Тимофеев Г.Н.

Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского

на заседании диссертационного совета Д. 212.081.10 при Казанском государственном университете (420008, г.Казань, ул.Кремлевская, 18, корпус 2, ауд. ¿/14)

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Казанского государственного университета (г.Казань, ул. Кремлевская, 18)

Автореферат разослан 2005 г.

Научный руководитель:

Ведущая организация:

Защита состоится «30 »

2005 г. в/^ час. $Q мин.

Ученый секретарь диссертационного совета канд. физ.-мат. наук, доцент

М.А.Малахальцев

Общая характеристика диссертации

It? <P*,£f<&

Постановка вопроса и актуальность темы. Теория связностей представляет собой обширную область исследования расслоенных пространств. История теории связностей начинается с работы ТЛеви-Чивита" о параллельном перенесении вектора в римановой геометрии. Эта идея была обобщена в различных направлениях, например, в общей теории относительности. Для построения единой теории поля Г.Вейль2' ввел понятие пространства аффинной связности.

В 20-х гг. прошлого века (1923-1925 гг.) Э.Картан опубликовал основные работы по аффинной, проективной и конформной связностей (русский перевод их см. "). В частности, он рассматривает m - мерную поверхность в пространстве конформной связности, а также конформные связности, индуцируемые на этой поверхности связностью объемлющего пространства, вопросы конформного отображения и наложимости таких поверхностей.

К середине 20-го века назрела необходимость ввести понятие связности в расслоенном пространстве, что и сделали независимо друг от друга В.В.Вагнер4' и Ш.Эресман5'. Г.Ф.Лаптев6', развивая эти результаты, отождествил понятие связности с понятием геометрического объекта специального вида.

Первые применения понятия проективной связности к геометрии подмногообразий в проективном пространстве дал Э.Картан7'. Метод нормализации, разработанный А.П.Норденом8'"''' позволил в касатель-

1 Levi-Civita Т Nozioni di parallelismo in una vaneta qualunque e conseguente specifica7ione geometnca dclla curvature Riemanniana / T 1 evi-Civita // Rend circ Matem. - Palermo. - 1917. P. 173-205.

2 WeylH Raum Zeil, Materie. Berlin. Springer, 1923

3 Картам Э Пространства аффинной, проективной и конформной связности /ЭКартан Качань И !д-во Казанск ун-та, 1962 -210с

4 Вагнер В.В Теория составного многообразия / В В.Вагнер // Труды семинара по векторному и тензорному анализу - М Изд-во МГУ, 1950, 8 - С 11-72.

5 Ehresmann С Les connections lnfimtesimales dans un espace fibre diiTerentiable / С Ehresmann // Collque de 1 opoiogie. Bruxelies, 1950 -P 29-55.

6 Лаптев Г Ф Дифференциальная геометрия погруженных многообразий / ГФ Лаптев//Труды Моек матем о-ва М., 1953. Т 2.-С 275-382

7 Cartan h l.es espaccs a connexion projective / E Cartan // Труды семинара повекторному итензорному анализу - МГУ - 1937 -Вып 4 С 147-159

8 Норден А П О нормализованных поверхностях пространства Мебиуса / АН Норден//ДАН СССР,-1948 -Т61.-№2 -С 207-210

9 Норден А П Конформная интерпретация пространства Вейля / А П Норден//Матем сб - М ,1949 - Т 24 - № 1 - С 75-85

10 Норден АП О нормализованных поверхностях конформного пространства / А П Норден // Изв АН СССР Сер Матем - 1950 - Т 14 - №2 - С 105-122

11 Норден А П Пространства аффинной связности / А П.Норден. - М .

Наука, 1976 -432 с

ных расслоениях подмногообразий проективного пространства индуцировать аффинные связности без кручения. Г.Ф.Лаптев12', следуя идеям Э.Картана, с использованием исчисления внешних дифференциальных форм дал видоизмененное определение пространства аффинной связности.

Понятие нормальной связности нормализованного подмногообразия в проективном пространстве ввели независимо друг от друга А.П.Норден1" и А.В.Чакмазян13).

А.П.Чакмазян в указанной работе изучает локальное строение подмногообразия в классических однородных пространств ( проективном, аффинном и проективно-метрическом) с привлечением связнос-тей в нормальных расслоениях.

Линейные связности на различного рода оснащенных подмногообразиях, погруженных как в однородные пространства, так и в пространства с фундаментально-групповой связностью, являются объектом исследования многих отечественных геометров.

Л.Ф.Филоненко"" рассматривает распределение т - мерных линейных элементов в (и-1)-мерном конформном пространстве, используя его проективную интерпретацию. Значительное внимание уделяется возникающим при этом связностям, как вейлевой связности во всем пространстве, так и разного рода касательным и нормальным связностям распределения. Исследования А.В.Столярова15),16) посвящены изучению аффинных и конформных связностей, индуцируемых оснащениями распределений в «-мерном конформном пространстве. П.А.Фисунов4 изучает нормальные связности на оснащенной регулярной »г-мерной гиперполосе и-мерного проективного пространства. Исследования А.Н. Михайловой18' посвящены

12 Лаптев Г Ф О выделении одного класса внутренних геометрий, индуцированных на поверхности пространства аффинной связности / Г Ф Лаптев // ДАН СССР - 1943 - Т. 41 - № 8. - С.329-331.

13 Чакмалян А В Нормальная связность в геометрии подмногооб-разий Монография / А В Чакмазян Ереван Армянск пед ин-т, 1990 - 116с

14 Филоненко ЛФ Распределение т — мерных линейных элементов в конформном пространстве и присоединенные к нему связности / Л Ф Филоненко //Дифференциальная геометрия многообразий фигур - 1995 -№26.-С 89-102

15 Столяров А В Линейные связности на распределениях конфор-мною пространства/ А В Столяров//Изв. вузов. Мат - Казань, 2001 -№3 -С 60-72

16 СюляровАВ Оснащения и аффинные связности на распределениях конформного пространства / А В Столяров // Изв вузов Мат - Казань, 2002 -№5 -С 52-60.

17 Фисунов П.А О нормальных связностях, индуцируемых на оснащенной регулярной гиперполосе / П.А Фисунов // ВИНИТИ РАН - М , 1998 - 20 с № 3394 - В98Деп

18. Михайлова АН Линейные связности на частично оснащенной гипер-гголосе конформного пространства /АН Михайлова //ВИНИТИ РАН - М , 2001 - №719 -В2001Деп,- 19с.

изучению некоторых вопросов линейных связностей на оснащенной гиперполосе конформного пространства.

Метод Г.Ф.Лаптева6' был применен М.А.Акивисом|9)"2,) к построению основ инвариантной теории гиперповерхностей, т- мерных поверхностей п-мерного конформного псевдоконформного пространства.

Объектом исследования настоящей работы являются линейные связности (аффинные, конформные, нормальные), индуцируемые различными оснащениями (нормальным, касательным, полным) гиперповерхности упЛ, погруженной в конформное пространство Сп (псевдоконформное или собственно конформное).

Теория инвариантного построения геометрии гиперповерхности конформного пространства получила достаточное развитие в указанных выше работах М.А. Акивиса. Но следует отметить, что изучение линейных связностей, индуцируемых различными оснащениями подмногообразия у„, до настоящего времени оставалось в стороне. Вопросы разработки теоретических и практических положений по изучению линейных связностей на оснащенной гиперповерхности конформного пространства представляют большой научный интерес и являются актуальными в связи с возможными приложениями этих связностей в математике, механике и физике.

Цель работы. Целью настоящего диссертационного исследования является инвариантное построение теории линейных связностей, индуцируемых различными оснащениями гиперповерхности Vn ч> погруженной в конформное пространство С„; эта теория включает в себя решение следующих ключевых задач:

1) путем построения и изучения полей фундаментальных и охваченных геометрических объектов различного порядка на гиперповерхности ('„ , конформного пространства Сп в разных дифференциальных окрестностях построить различные инвариантные внутренним образом определяемые её нормальные, касательные, а следовательно, и полные оснащения;

2) исследовать дифференциально-геометрические структуры на гиперповерхности v„~\ пространства С„, индуцируемые различными оснащениями подмногообразия V„-\, а именно, изучать геометрию линейных связностей (аффинных, конформных и нормальных), опре-

19 Акивис М А Инвариантное построение геометрии гиперповерх-ности конформного пространства / М А Акивис // Матем. сб. - М.. 1952. - Т. 31 - № I. -С 43-75.

20 Акивис МАК конформно-дифференциальной геометрии много-мерных поверхностей / М.А.Акивис//Матем сб - М., 1961 -Т. 53 - № 1 -С.53-72.

21 Akivis М A. Goldberg V V Conformal differential geometry and its generalizations / M A Akivis, V V Goldberg - USA, 1996 - 384 p

деляемых касательным, нормальным или полным оснащениями гиперповерхности у„_,;

3) указать пути приложения аффинных связностей, индуцируемых нормальным оснащением гиперповерхности у„ , с С«, к изучению геометрии сетей на подмногообразии у„ 1;

4) установить взаимосвязь между геометриями оснащенной гиперповерхности у п , конформного пространства Сп и квадратичной гиперполосой //„_, проективного пространства ря,ь ассоциированной с подмногообразием у„_х.

Методы исследования. В диссертационной работе используются инвариантные методы дифференциально-геометрических исследований: метод продолжений и охватов Г.Ф.Лаптева6' и метод внешних дифференциальных форм Э.Картана22'. Использование этих инвариантных методов позволило исследовать геометрию линейных связностей, определяемую в дифференциальных окрестностях до третьего порядка включительно.

В работе все результаты получены в минимально специализированной системе отнесения, а именно в репере первого порядка; это позволило получить их в инвариантной форме. Все рассмотрения в диссертации проводятся с локальной точки зрения. Функции предполагаются достаточное число раз дифференцируемыми (то есть изучаемое подмногообразие достаточно гладкое), а при доказательстве теорем существования - аналитическими. Следует также заметить, что геометрия линейных связностей исследуется с применением теории связностей в расслоенных пространствах в форме, данной Г.Ф.Лаптевым6'-23'.

Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертационном исследовании в ходе решения поставленных задач, являются новыми. Научная новизна обусловлена тем, что:

- изучением геометрии линейных связностей, индуцируемых оснащением гиперповерхности конформного пространства, математики почти не занимались;

- в работе изучение геометрии линейных связностей на оснащенной гиперповерхности проводится инвариантными аналитическими методами посредством исследования дифференциально-геометрических структур, индуцированных полями фундаментальных и оснащающих объектов подмногообразия._

22 Фиников С П Метод внешних форм Картана в дифференциальной I ео-мегрии / С.Г1 Фиников. - М , Л." ГИТТЛ. 1948 - 432 с.

23 Евтушик Л Е Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях / Л Е Евтушик [и др ] // Итоги науки и техники Проблемы геометрии / ВИНИТИ - М , 1979 - Т. 9 - 246с

В работе приведены доказательства всех основных выводов, которые сформулированы в виде теорем.

Теоретическая и практическая значимость. Работа имеет теоретическое значение. Полученные в ней результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях по изучению геометрии подмногообразий (как голономных, так и неголономных), вложенных в пространства конформной структуры.

Теория, разработанная в диссертации, может быть использована в качестве специальных и факультативных лекционных курсов для студентов старших курсов и аспирантов математических факультетов, а также при выполнении ими курсовых, дипломных и научных работ.

Апробация. Основные результаты диссертационного исследования докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах по современным проблемам геометрии: на заседаниях научно-исследовательского семинара молодых исследователей при кафедре геометрии Чувашского государственного педагогического университета имени И.Я.Яковлева (2004-2005 гг.), на научных конференциях аспирантов, докторантов и научных сотрудников Чувашского государственного педагогического университета имени И.Я.Яковлева (2003-2005 гг.), на Всероссийской молодежной научной конференции «Лобачевские чтения-2003»(Казань, 2003 г.), на Международной научной конференции «Актуальные проблемы математики и механики» (Казань, 2004 г.), на заседаниях научно-исследовательского геометрии-ческого семинара Казанского государственного университета (март и сентябрь 2005 г.).

Публикации. Основные научные результаты, включенные в диссертационную работу, опубликованы в 10 печатных работах [1] - [10] автора.

Вклад автора в разработку избранных проблем. Диссертационная работа является самостоятельным исследованием автора. Все опубликованные научные работы по теме исследования выполнены без соавторов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения (исторический обзор, общая характеристика диссертации, содержание диссертации), трех глав и списка литературы, включающего 90 наименований. Полный объем диссертации составляет 114 страниц машинописного текста.

Краткое содержание диссертации

В первой главе изучаются аффинные связности на нормально оснащенной гиперповерхности упА конформного пространства С„ и их

приложение к изучению геометрии различных классов сетей на подмногообразии уя_,.

В §§ 1,2 содержится необходимый в дальнейшем изложении материал, носящий, в основном, реферативный характер. В п. 3 § 2 доказано, что нормальное оснащение гиперповерхности у„ , с С„ при отображении Дарбу в проективном пространстве р„+] индуцирует взаимным и двойственным образом нормализованную регулярную (п-1)-мерную квадратичную гиперполосу Нп~\с Рл+| , Для которой

базисной поверхностью является образ уп_, с ()2п подмногообразия У„_ 1 и полем характеристик семейства касательных к неподвижной гиперквадрике Дарбу е , гиперплоскостей в точках Ао£У„ , служит поле прямых [АоА«] (теорема 1.3).

§ 3 посвящен изучению аффинных связностей, индуцируемых нормальным оснащением гиперповерхности конформного пространства Сп полем квазитензора х?- Доказано, что при нормальном оснащении гиперповерхности у„ , с С„ полем окружностей | /',]

индуцируется пространство аффинной связности Ал-и-! без кручения, которое является вейлевым с полем метрического тензора

и дополнительной формой & = оЛ~ ХкОо', кроме того, это пространство является эквиаффинным, а следовательно, римановым тогда и только тогда, когда обращается в нуль кососимметричный тензор Х[к11 (теорема 1.4).

о

Путем преобразования аффинной связности V пространства

о 1 2

А«-1,»-1 найдены две аффинные связности V и V, индуцируемые

нормальным оснащением гиперповерхности уп_, конформного прост-

0 10 2

ранства Сп• Доказано, что аффинные связности V и V, V и V сопряжены относительно полей симметричных тензоров соответственно а" и В,] второго порядка (теоремы 1.6 и 1.7). <

§ 4 посвящен приложению аффинных связностей к изучению внутренней геометрии сетей Е„ ,, заданных на гиперповерхности у„_, в пространстве с„- Это применение проиллюстрировано на примере о

связности V. Записаны дифференциальные уравнения сети на подмногообразии у„_1, приведены некоторые порождаемые ею инвариантные геометрические образы (псевдофокальные гиперсферы /•'/, гармонические гиперсферы /г, ортогональной сети). Найден геометрический смысл гармонических гиперсфер ортогональной сети: каждая из п -1 гармонических гиперсфер /г( ортогональной сети

2„ | а Уп 1 сг С„ есть среднее арифметическое псевдофокальных гиперсфер /•',' касательной АоА, к линии сети (п.2, § 4).

В п. 3-6 § 4 рассмотрены гиперсопряженные системы конформного пространства, сеть линий кривизны на гиперповерхности у„ ,, параллельное перенесение направления АоА, касательной к /-ой

линии сети вдоль ее к - ой линии, геодезические и чебышевские сети в

о

аффинной связности V; получены аналитические условия, характеризующие эти сети; чебышевские сети линий кривизны рассмотрены (п. 7) на поверхности у2 конформного пространства Сз-Основные результаты § 4 приведены в теоремах 1.9,1.10,1.12-1.16,1.18, 1.19,1.21, а также в замечаниях к ним.

Доказаны теоремы существования рассмотренных классов сетей (теоремы 1.8,1.11,1.17,1.20).

Вторая глава посвящена изучению конформных и аффинных связностей, индуцируемых полным оснащением гиперповерхности у„^ конформного пространства.

В § 1 изучаются конформные связности, индуцируемые касательным и полным оснащениями гиперповерхности. Доказано (п.1), что инвариантное касательное оснащение гиперповерхности у„с С„ полем гиперсфер р„, определяемым полем квазитензора х°„, индуцирует пространство конформной связности С„ ],„ч с полем метрического тензора gIJ, определяемое системой (и+1)2 форм Пфаффа,

причем это пространство является пространством без кручения (теорема 11.1). При перенесении Дарбу конформного пространства С„ на проективное пространство р„., все точки каждого слоя просто

ранства конформной связности С„..\,п 1 отображаются в точки квадрики Дарбу с: р„+|, получающейся при пересечении гиперквадрики Дарбу (¿ср„+], с полярой точки р„ относительно этой гиперквадрики.

В п.2 § 1 найдено условие неподвижности касательной гиперсферы р„, при выполнении которого исходная гиперповерхность у„ , совпадает с этой гиперсферой, а пространство

о

конформной СВЯЗНОСТИ Си- 1.Я-1 является плоским.

Доказано (п.3,4), что если задано полное оснащение гиперповерхности у„ конформного пространства ся, то

о

индуцируется нормализованное пространство С„-иконформной связности (теорема 11.5). В случае, когда полное оснащение

подмногообразия у„_, является невырожденным (то есть основной тензор нормализации а% невырожден), то индуцируется второе прост-

1

ранство конформной связности С,„ ¡,„ 1, метрический тензор которого

о

совпадает с метрическим тензором gIJ пространства Сп-м ) (теорема 11.6); приведены строения компонент тензора кривизны-кручения

I

пространства Сп-\ п-\ ■

§ 2 главы II посвящен изучению внутренней геометрии аффинных связностей, индуцируемых полным оснащением гиперповерхности у „_, пространства С„■ Доказано (теорема II.7), что невырожденное полное оснащение гиперповерхности [/„_]<= Сл определяет одновременную

о 1

нормализацию пространств конформной связности и С, \,„ \

полем квазитензора х',\ при этом поля основных тензоров этих

-2. ±

пространств совпадают; аффинные связности V и V, индуцируемые при этом оснащении, являются вейлевыми с полем метрического

тензора glk, причем связность V - без кручения, тензор кручения связности V совпадает с тензором кручения пространства ¿„ и,

вообще говоря, является ненулевым. Связность V риманова тогда и

о

только тогда, когда нормализация пространства С„ \,п -\ является гармонической (то есть, основной тензор нормализации симметрический) Аффинная связность V совпадает с аффинной связностью то есть не зависит от касательного оснащения гиперповерхности у„ ,,

1

а аффинная связность V зависит как от касательного, так и от нормального оснащения гиперповерхности у„ , В общем случае невырожденное полное оснащение подмногообразия у„-\с С„ полями функции х°„ и квазитензора индуцирует бесчисленное множество пространств конформной связности ¿„ , „ 1 и аффинной связности _р

Аи-1,/1 1 (р=0,1,2,...), удовлетворяющих теоремам соответственно 11.6 и 11.7.

В § 3 главы II рассмотрено поле циклид Дарбу, индуцируемое полным оснащением гиперповерхности У„^ссп^ доказано (теорема 11.9), что полное оснащение гиперповерхности у„_х с С„ внутренним образом индуцирует поле инвариантных циклид Дарбу, содержащих нормализующие точки х'„+\ слоев пространства конформной

о

связности с й- 1л-| и не проходящих через соответствующие точки Ao^Vn-i' ß каждой точке Лое (Vi образом соответствующей циклиды при перенесении Дарбу конформного пространства с„ на проективное пространство р„ч является (п-2)-мерная поверхность 4-го порядка (она может быть и мнимой), лежащая на гиперквадрике Дарбу б"с:ря+1.

Третья глава посвящена изучению нормальных связностей на гиперповерхности у„_, конформного пространства Ся-

В § 1 главы III на нормально оснащенной гиперповерхности в

о ,

расслоении окружностей [Р,] найдены две нормальные связности V и приведены строения тензоров кривизны-кручения

соответствующих пространств. Доказаны (п.1, § 1) следующие предложения (теоремы III.1 - Ш.З):

- на нормально оснащенной полем квазитензора х! гиперповерхности K„-iсС„ в расслоении окружностей [р,] индуцируется

о . 0П о

нормальная связность v , определяемая системой форм {@„,©J};

о о . о

форма {®J} определяет подсвязность у связности V . Для каждого

соответствующего пространства нормальной связности найдены строения тензоров кривизны-кручения;

0.1 0 .

- нормальная подсвязность v связности V , индуцируемой

нормальным оснащением гиперповерхности у„ , конформного

о .

пространства С„, плоская (то есть связность V - полуплоская) тогда

о

и только тогда, когда вейлево пространство An-i,„- i = W„-\, рассмотренное в § 3 гл.1, является римановым. Это предложение справедливо, например, для нормального оснащения гиперповерхности

полем квазигензора 5*=——■ aü am третьего порядка; п-1

- для того чтобы нормальная связность V1, индуцируемая нормальным оснащением гиперповерхности уп-\с С„, была плоской, необходимо и достаточно, чтобы конгруэнция нормалей первого рода и псевдоконгруэнция нормалей второго рода на поверхности V„~\с= önс Рл+| составляли пару, односторонне расслояемую в сторону от нормалей первого рода к нормали второго рода.

В п.З § 1 при одном частном преобразовании слоевых форм нор-0 .

мальной связности V (тензор я"* - нулевой) построена нормальная

связность v": найдено строение тензора кривизны-кручения соответствующего пространства нормальной связности. Построен охват тензора ц°л, при котором связность ух определяется внутренним

образом. Доказано (теорема 1И.5), что при этом охвате связности V1 и Vх, индуцируемые в расслоении окружностей [/>,] при нормальном оснащении гиперповерхности vn~\ конформного пространства с„ полем квазитензора имеют одинаковые тензоры кривизны-

0

кручения тогда и только тогда, когда вейлева связность v в касательном расслоении является римановой.

§ 2 посвящен изучению нормальных связностей Vх, получаемых путем общего преобразования (тензор н",к ненулевой) слоевых

форм нормальной связности VJ; такое преобразование возможно лишь при полном оснащении гиперповерхности у„__, с: С„ • Доказано

(теорема II1.7), что нормальная связность у1, индуцируемая полным оснащением гиперповерхности у„_, с: с„, допускающим обращение в нуль тензора = х°пк ~ xixl -х°\'пк, является плоской тогда и только тогда, когда она полуплоская. Найдено (теорема III.9) геометрическое условие обращения в нуль тензора х°к. К этому классу подмногообразий (/„_, с сп относится, например, гиперповерхность, вырождающаяся в гиперсферу.

В п.2 § 2 построены два охвата тензора , при которых нормальная связность определяется внутренним образом

I 2 .

(соответственно, нормальные связности V и V ); найдены строения тензоров кривизны-кручения соответствующих пространств. Доказаны (теорема III.8 и следствие) следующие предложения:

| ,

- нормальная связность V . индуцируемая полным оснащением гиперповерхности у„_, с С„, является полуплоской;

г ,

- нормальная связность V , индуцируемая полным оснащением гиперповерхности у„_, с Сп > допускающим обращение в нуль тензора х^, является плоской.

Связность V1 более подробно изучается (п.З § 2) на поверхности у2 конформного пространства Сз > отнесенной к сети линий кривизны.

В § 3 главы III рассмотрены нормальные связности на регулярной квадратичной гиперполосе //„ , проективного пространства р„+1, ассоциированной с гиперповерхностью у„_{ с: Сп ■

В п.1 в нормали первого рода гиперполосы #„_, найдена инвариантная прямая A = [AoNw+i], внутренним образом определяемая во второй дифференциальной окрестности.

В п.2 найдено условие параллельности гладкого поля одномерных направлений, принадлежащего полю нормалей первого рода

о

гиперполосы Ип i > в нормальной связности V . Доказаны следующие предложения:

- при любом нормальном оснащении гиперповерхности у„_, с С„ поле характеристик [АоА„] гиперполосы //„_, с р„+1 параллельно

о

переносится в нормальной связности V (теорема III.10). Это утверждение сформулировано также на языке конформного пространства (теорема III. 10');

- поле инвариантных прямых h = [AoN,mJ на гиперполосе Н„- \ с р„,ь определяемое полем квазитензора является парал-

о

лельным в нормальной связности V тогда и только тогда, ко!да тензор Aü+iit обращается в нуль (теорема III. 11);

для общей гиперповерхности у„_, с: ся в третьей дифференциальной окрестности существует единственное внутренним образом определяемое ее нормальное оснащение, при котором соответствующее поле инвариантных прямых h гиперполосы Н„-1 с P„_i является параллельным в нормальной связности

Vх (теорема III. 12).

Условие параллельности гладкого поля одномерных направлений, принадлежащего полю нормалей первого рода гиперполосы Н„ i,

~ . 1 2

записано также относительно нормальных связностей , V1 и V1; для этих связностей справедливы аналоги теорем III. 10, II 1.12.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту

1. На гиперповерхности у„_, конформного пространства с„ во второй и третьей дифференциальных окрестностях построены инвариантные внутренним образом определяемые нормальные, касательные и полные оснащения гиперповерхности у„-\ ■

2. Изучены геометрии аффинных, конформных и нормальных связностей, определяемых нормальным, касательным и полным оснащениями гиперповерхности у„~\ сС„-В частности:

о

- аффинная связность V - вейлева, найдено условие ее римановос-

0 1 0 2

ти; показано, что аффинные связности У,У и V,V сопряжены относительно полей симметричных тензоров соответственно а" и Ви второго порядка;

о .

- найдены условия, при которых нормальная связность V явля-

1

ется полуплоской, а связность V - плоской, а также условия параллельности гладкого поля одномерных направлений в нормальных

0 I ~ I 1 I 21

связностях V , V . V и V .

3. Найдены приложения аффинных связностей, индуцируемых нормальным оснащением гиперповерхности у„ , с с„, к изучению геометрии различных классов сетей £„ а именно, к гиперсопряженным системам, к сети линий кривизны, к чебышевской и геодезической сетям.

4. Установлена взаимосвязь между геометриями оснащенной гиперповерхности уп_, конформного пространства с„ и квадратичной гиперполосой Нп-\ проективного пространства р„+], ассоциированной с подмногообразием у„_,.

5. Найдена взаимосвязь между индуцируемыми на нормально оснащенной гиперповерхности у„_, с с„ вейлевой и нормальными связностями.

Работы автора, опубликованные по теме диссертации

1. Андреева Т.Н. Аффинные связности на нормально оснащенной гиперповерхности конформного пространства / Т.Н.Андреева // Тр. Мат. Центра им. Н.И.Лобачевского. Том 21/ Казанское мат. об-во. Лобачевские чтения 2003 // Материалы третьей всероссийской молодежной научн. школы-конференции. Казань: Изд-во Казанского мат. об-ва, 2003. - С. 67-69.

2. Андреева Т.Н. Аффинные связности на нормально оснащенной гиперповерхности конформного пространства / Т.Н.Андреева // Вестник Чувашек, гос. пед. ун-та им. И.Я. Яковлева. - Чебоксары, 2004.-№ 1.-С. 3-9.

3. Андреева Т.Н Конформно - дифференциальная геометрия сетей на гиперповерхности / Т.Н.Андреева // ВИНИТИ РАН. - М., 2004. -18 с.- №744 - В2004.

4. Андреева Т.Н. Сети на гиперповерхности конформного пространства / Т.Н.Андреева // Научно - информационный вестник докторантов, аспирантов, студентов. - Чебоксары, 2004. - Т.2. -№1(3). - С.21-29.

5. Андреева Т.Н. Конформные и аффинные связности, индуцируемые полным оснащением гиперповерхности конформного пространства / Т.Н.Андреева //ВИНИТИ РАН. - М., 2004. - 18 с. -№1369 - В2004.

6. Андреева Т.Н. Конформные и аффинные связности, индуцируемые полным оснащением гиперповерхности конформного пространства / Т.Н.Антреева // Тр. Мат. Центра им. Н.ИЛобачевского. Том 25/ Казанское мат. об-во. Актуальные проблемы математики и механики // Материалы Международной научной конференции. -Казань: Изд-во Казанского мат. об-ва, 2004. - С.24-25.

7. Андреева Т.Н. Сопряженные аффинные связности на нормально оснащенной гиперповерхности конформного пространства / Т.Н.Андреева // Дифференциальная геометрия многообразий фигур: Межвуз. темат. сб. научн. тр. - Калининград: Изд-во КГУ, 2004. -Вып. 35.-С. 24-27.

8. Андреева Т.Н. Поле цикпид Дарбу, индуцируемое полным оснащением гиперповерхности конформного пространства / Т.Н. Андреева // Вестник Чувашек, гос. пед. ун-та им. И.Я. Яковлева. -Чебоксары, 2005. - №1. - С. 19-24.

9. Андреева Т.Н. Нормальные связности на гиперповерхности конформного пространства //ВИНИТИ РАН. - М., 2005. - 23 с. -№ 379 - В2005.

10. Андреева Т.Н О нормальных связностях, индуцируемых на оснащенной гиперповерхности конформного пространства / Т.Н. Андреева // Научно - информационный вестник докторантов, аспирантов, студентов. - Чебоксары, 2005. - Т.1 . - № 1(5). - С. 3-10.

Подписано к печати Формат 60х84/|6.

Бумага ксероксная. Печать трафаретная. Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз. Заказ

Отдел оперативной полиграфии Чувашского государственного педагогического университета. 428000, Чебоксары, ул. К.Маркса, 38.

? 1 О 69

РНБ Русский фонд

20ЩИ

17345

ВВЕДЕНИЕ.

1. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР.

2. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ.

1. Постановка вопроса и актуальность темы.

2. Цель работы.

3. Методы исследования.

4. Научная новизна.

5. Теоретическая и практическая значимость.

6. Апробация.

7. Публикации.!.

8. Вклад автора в разработку избранных проблем.

9. Структура и объем работы.

10. Некоторые замечания.

3. СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Г Л А В А 1. АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ НА ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ КОНФОРМНОГО ПРОСТРАНСТВА И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ.

§ 1. Конформное пространство Сп и его уравнения структуры.

§ 2. Гиперповерхность Vп-\ в конформном пространстве си> её полное и частичные оснащения.

1. Гиперповерхность Vn-\ в конформном пространстве С».

2. Полное и частичные оснащения гиперповерхности Vn~\ конформного пространства Сп.

3. Квадратичная гиперполоса Нп-\с Р«+ь ассоциированная с гиперповерхностью Vп-\ с Сп.

§ 3. Аффинные связности, индуцируемые нормальным оснащением гиперповерхности Vn~ 1 конформного пространства Сп.

1. Теорема Картана-Лаптева.

2. Аффинные связности, индуцируемые нормальным оснащением гиперповерхности Vn-\ конформного пространства Сп.

§ 4. Внутренняя геометрия сетей на гиперповерхности yn-i конформного пространства Сп.

1. Дифференциальные уравнения сети с Vn-\с Сп и инвариантные геометрические образы, порождаемые ею.

2. Ортогональная сеть на гиперповерхности Vп-\

3. Гиперсопряженная система конформного пространства Сп.

4. Сеть линий кривизны на гиперповерхности конформного пространства

5. Чебышевские и геодезические сети на гиперповерхности у п-\ конформного пространства Сп.

6. Чебышевская сеть линий кривизны на гиперповерхности vn-\ с С„ (п> 3).

7. Чебышевская сеть линий кривизны на поверхности у2 конформного пространства Сз.

Г Л А В А 2. КОНФОРМНЫЕ И АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ, ИНДУЦИРУЕМЫЕ ПОЛНЫМ ОСНАЩЕНИЕМ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ КОНФОРМНОГО ПРОСТРАНСТВА.

§ 1. Конформные связности, индуцируемые полным оснащением гиперповерхности Vп-1 конформного пространства Сп.

1. Пространство конформной связности индуцируемое касательным оснащением гиперповерхности Vn-\ ^ Сп.

2. Условие вырождения гиперповерхности Vп-\ с:Спв гиперсферу.

3. Нормализованное пространство конформной связности Сп-\,п-\.

4. Пространство конформной связности Сп-\,п-\ > индуцируемое невырожденным полным оснащением гиперповерхности конформного пространства Сп.

§ 2. Внутренняя геометрия аффинных связностей, индуцируемых полным оснащением гиперповерхности конформного пространства.

§ 3. Поле циклид Дарбу, индуцируемое полным оснащением гиперповерхности конформного пространства.

Г Л А В А 3. НОРМАЛЬНЫЕ СВЯЗНОСТИ НА ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ КОНФОРМНОГО ПРОСТРАНСТВА.

§ 1. Нормальные связности на нормально оснащенной гиперповерхности

Vn-\ конформного пространства Сп.

1. Нормальная связность V , индуцируемая нормальным оснащением гиперповерхности Vn-\с С«.

2. Нормальная связность V1, индуцируемая нормальным оснащением гиперповерхности Vп-\ конформного пространства сп.

3. Нормальная связность Vх на нормально оснащенной гиперповерхности Vn-\^Cn.

§ 2. Нормальные связности, индуцируемые полным оснащением гиперповерхности конформного пространства.

1. Нормальная связность Vх, индуцируемая полным оснащением гиперповерхности vn-\ конформного пространства Сп.

2. Нормальные связности V , V на оснащенной гиперповерхности конформного пространства.

3. Нормальная связность V на поверхности Vг конформного пространства Сз > отнесенной к сети линий кривизны.

§ 3. Нормальные связности на регулярной квадратичной гиперполосе Нп-\ проективного пространства ри+1, ассоциированной с гиперповерхностью Vп-1 конформного пространства Сп.

1. Инвариантные прямые на регулярной гиперполосе нп-\ проективного пространства ри+1.

2. Поля одномерных направлений на регулярной квадратичной гиперполосе /7„1срй+1, параллельно переносимые в нормальных связнос-тях.

1. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР

Конформным пространством п измерений Сп называется п - мерное евклидово пространство Еп-> дополненное одной несобственной точкой; в этом пространстве определена группа точечных преобразований, переводящих всякую гиперсферу в гиперсферу, причем гиперплоскости пространства Еп считаются гиперсферами, проходящими через несобственную точку. Эта группа сохраняет углы между направлениями и называется группой конформных преобразований пространства Сп

Конформно-дифференциальная геометрия трехмерного пространства начала развиваться в рамках классической дифференциальной геометрии в конце XIX века в работах Дарбу, Рибокура и других геометров. В начале 20-го столетия появился ряд работ, в которых рассматривался вопрос о том, как преобразуются важнейшие дифференциальные инварианты и инвариантные квадратичные формы при конформных преобразованиях пространства. К работам этого направления относятся исследования Фосса, Роте, Огура, Фубини и других геометров. Обзор работ этого направления содержится в статье Бервальда [75] в математической энциклопедии (1927 г.).

По сравнению с аффинной и проективной дифференциальными геометриями конформная дифференциальная геометрия несколько отстала в своем развитии. Это объясняется тем, что в работах по аффинной и проективной дифференциальным геометриям с самого начала использовались естественные для этих геометрий координаты - аффинные и проективные, а при изучении вопросов конформной дифференциальной геометрии исследования велись в прямоугольной декартовой системе координат.

В 1924 г. появляется работа Томсена [88], в которой для изучения конформно-дифференциальной геометрии поверхностей применяются пентасферические координаты и тензорное исчисление; к этому направлению относится также работа Вессио [89]. В вышедшей в 1929 г. книге Бляшке [76], написанной им совместно с Томсеном, дифференциальная геометрия трехмерного конформного пространства рассматривается одновременно с дифференциальной геометрией пространства Лаггера и пространства, фундаментальной группой которого служит группа сферических преобразований С.Ли. Итог более чем десятилетней работы в области дифференциальной геометрии сфер был подведен Такасу в трехтомной монографии, первый том которой, вышедший в 1938 г. [87], посвящен конформной геометрии.

В дифференциальной геометрии важное место занимает теория связ-ностей в различных расслоенных пространствах, а также ее применение при исследовании оснащенных подмногообразий, погруженных в различные пространства. История теории связностей начинается с 1917 г. с работы Т.Леви-Чивита [84] о параллельном перенесении вектора в римановой геометрии. В 1918 г. Г.Вейль [90] для построения единой теории поля ввел понятие пространства аффинной связности. Дальнейшее обобщение дал в 1920 г. Р.Кэниг [82], рассматривая линейную связность в векторном расслоении над областью числового пространства.

Новый этап в развитии теории связностей открыли работы Э.Картана [27] в 20-х годах, в которых касательные векторные пространства заменялись аффинными, проективными или конформными пространствами. В работе [27] Э.Картан вводит понятие «-мерного пространства конформной связности, в которой он рассматривает т- мерную поверхность в пространстве конформной связности, а также конформные связности, индуцируемые на этой поверхности связностью объемлющего пространства, вопросы конформного отображения и наложимости таких поверхностей. Также в это время теория многомерных пространств конформной связности развивается в работах Т.И.Томаса, И.М.Томаса и ряда других геометров. В работах С.Сасаки [85], [86] в 1939-40 гг. развивается теория кривых и гиперповерхностей в пространстве конформной связности.

Следующий этап в развитии теории связностей начался в 1950 г., когда В.В.Вагнер [18], [19] и Ш.Эресман [80] независимо друг от друга ввели общее понятие связности в расслоенном пространстве. Изложение Вагнера является локальным и выполнено классическими методами. Глубокое развитие этих результатов с привлечением методов Э.Картана дал в 1953 г. Г.Ф.Лаптев [28]. Обзор дальнейшего развития теории связностей излагается в работе Ю.Г.Лумисте [32].

При построении теории многомерных поверхностей в аффинном, проективном и конформном пространствах встречается ряд трудностей. Эти трудности связаны с тем, что на поверхностях в этих пространствах не удается определить инвариантные связности. Первые применения понятия проективной связности к геометрии подмногообразий в проективном пространстве дал Э.Картан [79] в 1937 г. Для изучения геометрии многомерных поверхностей проективного пространства и других однородных пространств, фундаментальная группа которых является подгруппой проективной группы, А.П.Норден разработал метод нормализации [41]-[44]. Метод нормализации позволил в касательных расслоениях подмногообразий проективного пространства индуцировать аффинные связности без кручения. В работах [41]-[44], а также в совместной с Г.В.Бушмановой работе [17] А.П.Норденом получены существенные результаты по конформно-дифференциальной геометрии различных подмногообразий.

Новый инвариантный аналитический метод дифференциально-геометрических исследований многообразий, вложенных в однородные пространства и в пространства с фундаментально-групповой связностью, был развит Г.Ф.Лаптевым [28]. Г.Ф.Лаптев, следуя идеям Э.Картана, дал строгое определение пространства аффинной связности. При этом задача сводится к изучению геометрии подмногообразия посредством исследования дифференциально-геометрических структур, индуцированных полями фундаментальных, охваченных и оснащающих объектов подмногообразия. П.А.Широков и А.П.Широков исследовали локальное строение подмногообразия в аффинном пространстве с помощью аффинной связности в касательном расслоении [70].

Метод Г.Ф.Лаптева был применен М.А.Акивисом [1],[2],[74] к построению основ инвариантной теории гиперповерхностей, т — мерных поверхностей п- мерного конформного и псевдоконформного пространств. В его работах в третьей дифференциальной окрестности построено инвариантное полное оснащение т - мерной поверхности и гиперповерхности п-мерного конформного пространства, то есть к каждой точке поверхности внутренним образом присоединены т — мерная касательная сфера S и нормальная (я-т)-сфера Р. С помощью инвариантного оснащения на поверхностях строятся конформная связность и связность Вейля, внутренним образом присоединенные к этой поверхности, а также система конформно-инвариантных тензоров, определяющих поверхность Vm конформного пространства с точностью до конформных преобразований. В своих исследованиях М.А.Акивис изучает также поверхности, несущие сеть линий кривизны.

Связность, определяемую в нормальном расслоении подмногообразия евклидова пространства или пространства постоянной кривизны, ввел Э.Картан в 1926-1927 гг. Подмногообразия с нулевым кручением (то есть с плоской нормальной связностью) исследовали почти одновременно Д.И.Перепелкин [46] и Фабрициус-Бьерре [81], а также Э.Картан в 1936 г. Нормальная связность привлекла внимание в связи с исследованиями подмногообразий с параллельным полем вектора средней кривизны в пространстве постоянной кривизны. Одним из дополнительных условий, которое часто ставили при этом, являлось условие, чтобы нормальная связность была плоская. Получены далеко идущие результаты об изучаемых подмногообразиях. Обзор исследований этого направления дан в [33], [34].

Понятие нормальной связности нормализованного подмногообразия в проективном пространстве ввели в 1976 г. независимо друг от друга А.П.Норден в работе [44] и А.В.Чакмазян [68]. До конца 20-го века была сравнительно мало исследована та часть геометрии нормализованного подмногообразия проективного, аффинного и других пространств, где используются связности в нормальных расслоениях. Большой вклад в развитие теории нормальных связностей внес А.П.Чакмазян [69]; в указанной работе он изучает локальное строение подмногообразия в одном из классических однородных пространств (именно, в проективном, аффинном и проективно-метрическом пространствах) с привлечением связностей в нормальных расслоениях.

Линейные связности на различного рода оснащенных подмногообразиях, погруженных как в однородные 'пространства, так и в пространства с фундаментально-групповой связностью, являются объектом исследования многих отечественных геометров.

Л.Ф.Филоненко в своих работах [62], [63], исходя из геометрии квадратичной гиперполосы в «-мерном проективном пространстве р„, рассматривает распределение т — мерных линейных элементов в (п — 1) -мерном конформном пространстве, используя, в основном, его проективную интерпретацию. Значительное внимание уделяется возникающим при этом связностям, как вейлевой связности во всем пространстве, так и разного рода касательным и нормальным связностям распределения. Исследования А.В.Столярова [56], [57] посвящены изучению аффинных и конформных связностей, индуцируемых оснащениями распределений в п — мерном конформном пространстве. П.А.Фисунов [66] изучает нормальные связности на оснащенной регулярной т - мерной гиперполосе п - мерного проективного пространства. Исследования А.М Михайловой [38], [39] посвящены изучению некоторых вопросов линейных связностей на оснащенной гиперполосе конформного пространства.

1. Акивис М.А. Инвариантное построение геометрии гиперповерхности конформного пространства / М.А.Акивис // Матем. сб. - М., 1952. -Т. 31. — № 1. — С.43-75.

2. Акивис М.А. К конформно-дифференциальной геометрии многомерных поверхностей / М.А.Акивис // Матем. сб. — М., 1961. Т. 53. - № 1- С.53-72.

3. Акивис М.А. Конформно дифференциальная геометрия / М.А. Акивис // Итоги науки. Геометрия (1963) / ВИНИТИ АН СССР. - М., 1965. -С. 108-137.

4. Акивис М.А. К теории конформных структур / М.А.Акивис // Геометр. сборник. Томск, 1985. -№26. - С. 44-52.

5. Акивис М.А. Индуцированные связности на многообразиях в пространствах с фундаментальными группами / М.А.Акивис, В.В. Гольдберг, А.В.Чакмазян // Изв. вузов. Мат. Казань, 2004. - №10. -С. 3-19.

6. Андреева Т.Н. Аффинные связности на нормально оснащенной гиперповерхности конформного пространства / Т.Н.Андреева // Вестник Чувашек, гос. пед. ун-та им. И.Я. Яковлева. Чебоксары, 2004. - №1. — С. 3-9.

7. Андреева Т.Н. Конформно дифференциальная геометрия сетей на гиперповерхности / Т.Н.Андреева // ВИНИТИ РАН. - М., 2004. - 18 с.-№744 - В2004.

8. Андреева Т.Н. Сети на гиперповерхности конформного пространства / Т.Н.Андреева // Научно информационный вестник докторантов, аспирантов, студентов. — Чебоксары, 2004. - Т.2. — №1(3). - С.21-29.

9. Андреева Т.Н. Конформные и аффинные связности, индуцируемые полным оснащением гиперповерхности конформного пространства / Т.Н.Андреева //ВИНИТИ РАН. М., 2004. - 18 с. — №1369 - В2004.

10. Андреева Т.Н. Поле циклид Дарбу, индуцируемое полным оснащением гиперповерхности конформного пространства / Т.Н.Андреева // Вестник Чувашек, гос. пед. ун-та им. И.Я. Яковлева. Чебоксары, 2005. -№1. - С. 19-24.

11. Андреева Т.Н. Нормальные связности на гиперповерхности конформного пространства //ВИНИТИ РАН. М., 2005. - 23 с. - № 379 -В2005.

12. Андреева Т.Н. О нормальных связностях, индуцируемых на оснащенной гиперповерхности конформного пространства / Т.Н.Андреева // Научно — информационный вестник докторантов, аспирантов, студентов. — Чебоксары, 2005.-Т. 1.-№ 1(5). С. 3-10.

13. Базылев В.Т. О сетях на многомерных поверхностях проективного пространства / В.Т.Базылев // Изв. вузов. Мат. Казань, 1966. — № 2. — С. 9-19.

14. Бушманова Г.В. Элементы конформной геометрии / Г.В. Буш-манова, А.П.Норден. Казань: Изд-во Казанск.ун-та, 1972. - 178с.

15. Вагнер В.В. Обобщение тождества Риччи и Бианки для связности в составном многообразии / В.В.Вагнер // ДАН СССР. 1945, 46. - № 8. - С. 335-338.

16. Вагнер В.В. Теория составного многообразия / В.В.Вагнер // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. — М: Изд-во МГУ, 1950, 8. -С. 11-72.

17. Вагнер В.В. Теория поля локальных гиперполос / В.В.Вагнер // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. — М: Изд-во МГУ, 1950. Вып. 8. - С. 197-272.

18. Василян М.А. Проективная теория многомерных гиперполос / М.А.Василян // Изв. АН Арм. ССР. Матем. 1971. - Т. 6. - №6. - С. 477481.

19. Ведерников В.И. Конформная наложимость поверхностей / В.И.Ведерников // Докл. АН СССР. 1950. - Т.73. - С. 437-440.

20. Ведерников В.И. Метрическая характеристика образов и величин конформной теории поверхностей / В.И.Ведерников, В.А.Тихонов // Воронеж. Труды ун-та. Воронеж, 1954. - Т.ЗЗ. - С. 37-42.

21. Ведерников В.И. Поверхности, огибающие семейство гиперсфер /B.И.Ведерников // Изв. вузов. Мат. Казань, 1957. - №1. - С. 89-97.

22. Ведерников В.И Конформная наложимость поверхностей в пространстве / В.И.Ведерников // Изв. вузов. Мат.- Казань, 1963. №1.C. 33-41.

23. Евтушик JI.E. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях / Л.Е.Евтушик и др. // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии / ВИНИТИ.- М., 1979. Т. 9. - 246с.

24. Картан Э. Пространства аффинной, проективной и конформной связности / Э.Картан. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1962. — 210 с.

25. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий / Г.Ф.Лаптев // Труды Моск. матем. о-ва. М., 1953. — Т. 2. -С. 275-382.

26. Лаптев Г.Ф. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований / Г.Ф.Лаптев // Труды 3-го Всес. матем. Съезда. -М., 1958.- Т.З.-С. 409-418.

27. Лаптев Г.Ф. Многообразия, погруженные в обобщенные пространства / Г.Ф Лаптев // Труды 4-го Всес. матем. съезда (1961). -Ленинград, 1964. Т. 2. - С. 226 - 233.

28. Лукин К.Д. Погружение пространства Вейля в конформное пространство / К.Д.Лукин // Весщ АН БССР. Серю ф1з. мат. н. (Изв. АН БССР. Сер. физ. - мат. н.). - 1971 -№1. - С. 28-34.

29. Лумисте Ю.Г. Теория связностей в расслоенных пространствах / Ю.Г.Лумисте // Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. — 1969. / ВИНИТИ АН СССР. М., 1971.-С. 123-168.

30. Лумисте Ю.Г. Дифференциальная геометрия подмногообразий / Ю.Г.Лумисте // Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия / ВИНИТИ АН СССР. М., 1975. - Т.13. - С. 273-340.

31. Лумисте Ю.Г. Нормальная связность и подмногообразия с параллельными нормальными полями в пространстве постоянной кривизны / Ю.Г.Лумисте, А.В.Чакмазян // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. М., 1980. - С. 3-30.

32. Михайлова А.Н. О некоторых внутренних оснащениях конформного пространства / А.Н.Михайлова // Сб. научных трудов докторантов, научных сотрудников и аспирантов. Чебоксары, 2000. - Вып. 8. -С. 10-15.

33. Михайлова А.Н. Поля касательных m-сфер и нормальных (п-т)-сфер гиперполосы / А.Н.Михайлова // Вестник ЧГПУ им. И.Я.Яковлева (физико-математические науки). Чебоксары, 2000. —№1(14). — С. 47-54.

34. Михайлова А.Н. Внутренние оснащения гиперполосы в конформном пространстве / А.Н.Михайлова // ВИНИТИ РАН. М.,2000. - №1497.- В2000Деп. 17с.

35. Михайлова А.Н. Линейные связности на частично оснащенной гиперполосе конформного пространства / А.Н.Михайлова //ВИНИТИ РАН. -М., 2001. №719. - В2001 Деп. — 19с.

36. Михайлова А.Н. Аффинные связности и сети на нормально оснащенной гиперполосе конформного пространства / А.Н.Михайлова // ВИНИТИ РАН. М., 2001. - №1950. - В2001Деп. - 14с.

37. Норден А.П. Аффинная связность на поверхностях проективного пространства / А.П.Норден // Матем. сб. М., 1947. - Т.20. - № 2. - С. 263280.

38. Норден А.П. О нормализованных поверхностях пространства Мебиуса / А.П.Норден // ДАН СССР. 1948. - Т.61. - № 2. - С. 207-210.

39. Норден А.П. Конформная интерпретация пространства Вейля / А.П.Норден // Матем. сб. М.,1949. - Т. 24. - № 1. - С. 75-85.

40. Норден А.П. О нормализованных поверхностях конформного пространства / А.П.Норден // Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1950. - Т. 14. -№2.-С. 105-122.

41. Норден А.П. Пространства аффинной связности / А.П.Норден. -М.: Наука, 1976.-432 с.

42. Остиану Н.М. О канонизации подвижного репера погруженного многообразия / Н.М.Остиану // Rev. math, pures et appl (RPR). 1962. - T.7.- №2.-C. 231-240.

43. Перепелкин Д.И. О параллельных подмногообразиях в евклидовом (или римановом) пространстве / Д.И.Перепелкин // ДАН СССР. 1935. -С.593-598.

44. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ / П.К.Рашевский. М.: Наука, 1967. - 664 с.

45. Розенфельд Б.А. Метрика и аффинная связность в пространствах плоскостей, сфер и квадрик / Б.А.Розенфельд // ДАН СССР. 1947. - Т.57. - № 6. - С. 543-546.

46. Розенфельд Б.А. Дифференциальная геометрия образов симметрии / Б.А.Розенфельд // ДАН СССР. 1948. - Т. 59. - № 6. - С. 1057-1060.

47. Розенфельд Б.А. Многомерные пространства / Б.А.Розенфельд. — М.: Наука, 1966.-648 с.

48. Рыбников А.К. Проективные и конформные нормали и связности / А.К.Рыбников // Изв. вузов. Мат. Казань, 1986. - № 7. - С. 60-69.

49. Смирнов Р.В. Преобразования Лапласа р- сопряженных систем / Р.В.Смирнов // ДАН АН СССР. 1950. - Т. 71. - № 3. - С. 437-439.

50. Столяров А.В. О внутренней геометрии двух классов плоских многомерных сетей в проективном пространстве / А.В.Столяров // Изв. вузов. Мат. Казань, 1969. - № 8. - С. 104-111.

51. Столяров А.В. О двойственной геометрии сетей на регулярной гиперполосе / А.В.Столяров // Изв. вузов. Мат.- Казань, 1977. № 8. -С. 104-111.

52. Столяров А.В. Двойственная теория оснащенных многообразий: Монография. 2-е изд., доп. / А.В.Столяров. Чебоксары: Изд-во Чувашского госпединститута, 1994. - 290с.

53. Столяров А.В. Линейные связности на распределениях конформного пространства / А.В.Столяров // Изв. вузов. Мат. Казань, 2001. — № 3. - С. 60-72.

54. Столяров А.В. Оснащения и аффинные связности на распределениях конформного пространства / А.В.Столяров // Изв. вузов. Мат. — Казань, 2002. № 5. С. 52-60.

55. Столяров А.В. Внутренняя геометрия нормализованного конформного пространства / А.В. Столяров // Изв. вузов. Мат. Казань, 2002. -№11. -С. 61 -70.

56. Столяров А.В. Теоретико — групповой метод дифференциально — геометрических исследований и его приложения / А.В.Столяров. — Чебоксары: Чувашский госпедун-т, 2002. — 204с.

57. Столяров А.В. Конформно дифференциальная геометрия плоских ортогональных сетей / А.В.Столяров // Изв. вузов. Мат. — Казань, 2004.-№10.-С. 61-70.

58. Схоутен И.А. Введение в новые методы дифференциальной геометрии / И.А.Схоутен, Д.Дж.Стройк. М.: ГИИЛ, 1948. - Т.2. - 348 с.

59. Филоненко Л.Ф. Квадратичная гиперполоса и нормальные связности подмногообразия конформного пространства: Ученые записки Тарт. унта/ Л.Ф.Филоненко. 1988. -№ 803. -С. 115-131.

60. Филоненко Л.Ф. Распределение т — мерных линейных элементов в конформном пространстве и присоединенные к нему связности / Л.Ф.Филоненко // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. — 1995.-№26.-С. 89-102.

61. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии / С.П.Фиников. М.; Л.: ГИТТЛ, 1948. - 432 с.

62. Фиников С.П. Теория пар конгруэнций / С.П.Фиников. М.,1956. -446 с.

63. Фисунов П.А. О нормальных связностях, индуцируемых на оснащенной регулярной гиперполосе / П.А.Фисунов // ВИНИТИ РАН. М., 1998. - 20 с. - № 3394 - В98Деп.

64. Чакмазян А.В. Двойственная нормализация / А.В.Чакаязян // ДАН Арм. ССР. 1959.-Т. 28. -№4.-С. 151 - 157.

65. Чакмазян А.В. Подмногообразия проективного пространства с параллельным подрасслоением нормального расслоения / А.В.Чакмазян / Казанское мат. об-во. 150 лет неевклидовой геометрии // Материалы Всес. геометр, конференции. Казань. - 1976. - С. 209.

66. Чакмазян А.В. Нормальная связность в геометрии подмногообразий: Монография / А.В. Чакмазян. Ереван: Армянск. пед. ин-т, 1990. -116с.

67. Широков П.А. Аффинная дифференциальная геометрия / П.А.Широков, А.П.Широков. М.: ГИФ-МЛ, 1959. - 320 с.

68. Шуликовский В.И. Проективная теория сетей / В.И.Шуликовский. Казань: Изд-во Казанск. Ун-та, 1964. - 78 с.

69. Юнусметов Р. Линейчато — геометрическая интерпретация гиперповерхности конформного пространства / Р.Юнусметов // Вюник Киевськ. ун-та. Сер. матем. та механ. 1968. - №10. - С. 95-104 (укр.).

70. Юнусметов Р. Подгруппы проективной и конформной групп / Р.Юнусметов // Дифференциальная геометрия многообразий. Ташкент, 1980.-C.3-13.

71. Akivis М.А. Goldberg V.V. Conformal differential geometry and its generalizations / M.A. Akivis, V.V. Goldberg. USA, 1996. - 384 p.

72. Bervald L. Differential invarianten in der Geometrie. Enzuclopadie der Mathematischen Wissenschaften / L. Bervald // 1927. - Bd. III. - Heft 7. S. 73121.

73. Blaschke W. Vorlesungen uber Differentialgeometrie. Ill / W. Blaschke // Differential-geometrie der Kriese und Kugeln. Berlin. — 1929.

74. Bortolotti E. Connessioni nelle varieta luogo di spazi; applicazione alia geometria metrica differenziale delle congruanze di rette / E. Bortolotti // Rond. Semin. Fac. Sci Univ. Cagliari. 1933. - T.3. - P. 81-89.

75. Cartan E. Les espaces a connexion conforme / E. Cartan //Ann. Soc. Polon. math. 1923. - 2. - P. 171-211.

76. Cartan E. Les espaces a connexion projective / E. Cartan // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. МГУ. — 1937. — Вып. 4. -С. 147-159.

77. Ehresmann С. Les connections infinitesimales dans un espace fibre differentiable / C. Ehresmann // Collque de Topologie. Bruxelles, 1950. P. 2955.

78. Fabricius-Bierre F. Sur varietes a torsion nulle / F. Fabricius-Bierre // Acta math. 1936. - S.49-77.

79. Konig R Beitrage zu einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehr / R. Konig // Jahresb. D. Deutsch. Math. Ver., 1920, 28, 28, 213-228.

80. Lester June A. Conformal space / A. Lester June // J. Geom. 1980. -14, №2.-P. 108-117.

81. Levi-Civita T. Nozioni di parallelismo in una varieta qualunque e conseguente specificazione geometrica della curvature Riemanniana / T. Levi-Civita //. Rend. circ. Matem. Palermo. - 1917. P. 173-205.

82. Sasaki S. On the theory of curves in a curved conformal space / S. Sasaki // Sci. Repts. Tohoku Univ. 1939. - 27. - P. 392-409.

83. Sasaki S. On the theory of surfaces in a curved conformal space / S. Sasaki // Sci. Repts. Tohoku Univ. 1940. - 28. - P. 261-285.

84. Takasu Т. Differentialgeometrien in der Kugelraumen. I. / T. Takasu // Konforme Differentialgeometrie von Lioville und Mobius. Tokyo. - 1938.rr

85. Thomsen G. Uber konforme Geometrie I. Grundlagen der konformen Flachentheorie / G. Thomsen //Abhandl math. Semin. Univ.: Humburg, 1924. 3. P. 31-56.

86. Vessiot E. Contribution a la geometrie conforme. Theorie des surfaces / E. Vessiot // Buii. Soc. Math. France. 1926. - 54. - P. 139-179; - 1927. - 55. P. 39-79.

87. Weyl H. Raum. Zeit, Materie. Berlin: Springer, 1923.