Двойственная геометрия регулярной гиперповерхности в пространстве аффинной связности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Христофорова Анастасия Владимировна

ДВОЙСТВЕННАЯ ГЕОМЕТРИЯ РЕГУЛЯРНОЙ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ АФФИННОЙ СВЯЗНОСТИ

01.01.04 - геометрия и топология

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

з о СЕН 2010

Казань-2010

004609381

Работа выполнена на кафедре геометрии ГОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева»

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

Столяров Алексей Васильевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Малаховский Владислав Степанович

доктор физико-математических наук, доцент

Толстихина Галина Аркадьевна

Ведущая организация: Нижегородский государственный университет

имени Н. И. Лобачевского

Защита состоится 7 октября 2010 года в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д. 212.081.10 при Казанском (Приволжском) федеральном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37, НИИММ, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке имени Н. И. Лобачевского Казанского (Приволжского) федерального университета (г. Казань, ул. Кремлевская, 18).

Автореферат разослан 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета канд. физ.-мат. наук, доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Постановка вопроса и актуальность темы. Аффинная и в особенности проективная дифференциальная геометрия подмногообразий (поверхностей, распределений) является областью исследований многих геометров с начала XX столетия. Существенные результаты в геометрии гиперповерхности принадлежат Нордену А.П. [15] и его школе; Лаптев Г.Ф. разработал в инвариантной форме дифференциальную геометрию гиперповерхности в многомерном пространстве проективной связности с кривизной и кручением [9]; основные факты аффинной геометрии поверхности были распространены на гиперповерхность (в центроаффинном пространстве) в работах Фернандеса [30] и Лауг-витца [31]; задачи инвариантного оснащения подмногообразия в многомерных пространствах рассматривали А.Е. Либер [13], П.И. Швейкин [26], Г.Ф. Лаптев [12], Н.М. Остиану [16] и другие.

В дифференциальной геометрии подмногообразий важнейшее место занимает теория связностей, берущая начало от работ Т. Леви-Чивита [32] о параллельном перенесении вектора в римановой геометрии. Г. Вейль [33] для построения единой теории поля ввел понятие пространства аффинной связности. В середине XX века В. В. Вагнер [5] и Ш. Эресман [29] независимо друг от друга ввели общее понятие связности в расслоенном пространстве. Первые применения связности к геометрии подмногообразий в проективном пространстве дал Э. Картан [28]; дальнейшее развитие теория связностей получает в методе нормализации Нордена А.П. [15], позволяющем в касательных расслоениях подмногообразий проективного пространства индуцировать аффинные связности без кручения. Лаптев Г.Ф., следуя идеям Э. Картана, дал строгое определение пространства аффинной связности [10], [И]. Широков П.А. и Широков А.П. исследовали локальные строения подмногообразия в аффинном пространстве с помощью аффинной связности в касательном расслоении [27]. В работе Рыбникова А.К. [18] рассмотрены некоторые вопросы реализации аффинных связностей на оснащенных гиперповерхностях аффинного пространства.

В настоящее время теория связностей представляет собой обширную область исследования расслоенных пространств благодаря работам Чакмазяна A.B. [25], Лумисте Ю.Г. [14], Евтушика Л.Е. [7], [8], Рашевского П.К. [17], Васильева А.М. [6], Близникаса В.И. [4], Столярова A.B. [21], [22] и других геометров. Теория подмногообразий, погруженных в аффинное пространство и пространство аффинной связности, получила значительное развитие в работах Акивиса М.А. [1], Алшибая Э.Д. [2], [3], Степанова С.Е. [20], Симона У. [19]; вопросами геометрии оснащенной гиперповерхности занимались Столяров A.B. [21], [23] (в пространствах проективном, проективно-метрическом, проективной связности) и его ученики: Долгов С.В. (в проективном пространстве), Глу-хова Т.Н. (в конформном пространстве).

Предметом исследования диссертационной работы являются подмногообразия, погруженные в пространство аффинной связности, а также связности, индуцируемые оснащением рассматриваемых подмногообразий и поиск приложения связностей к изучению геометрии сетей. Задача сводится к изучению

двойственной геометрии указанных оснащенных подмногообразий посредством исследования дифференциально-геометрических структур, индуцированных полями их фундаментальных и оснащающих объектов.

Актуальность диссертационного исследования обусловлена тем, что в нем изучается двойственная геометрия оснащенных подмногообразий в пространстве аффинной связности Апп путем расширения его до пространства проективной связности Рпу, заметим, что такой подход к изучению геометрии подмногообразий в А„п до настоящего времени в математической литературе отсутствовал.

Цель работы. Цель настоящего диссертационного исследования заключается в решении следующих ключевых задач:

1) построение основ двойственной геометрии гиперповерхности (как голо-номной, так и неголономной) в пространстве аффинной связности;

2) построение двойственной теории линейных связностей (аффинных, проективных, нормальных), индуцируемых при различных классических оснащениях (в смысле А.П. Нордена, Э. Картана, Э. Бортолотга) гиперповерхности в пространстве аффинной связности;

3) приложение двойственной теории линейных связностей к исследованию геометрии сетей на рассматриваемых подмногообразиях (а именно, на гиперповерхности и на распределении гиперплоскостных элементов), вложенных в пространство аффинной связности.

Методы исследования. В диссертационной работе используются инвариантные методы дифференциально-геометрических исследований, а именно, теоретико-групповой метод продолжений и охватов Г.Ф. Лаптева [10], метод внешних дифференциальных форм Э. Картана [24], метод нормализации А.П. Нордена [15]. Применение указанных методов позволило получить дифференциально-геометрические факты, связанные с дифференциальными окрестностями высокого (до четвертого) порядков. Отметим, что результаты по теории линейных связностей получены с применением теории связностей в расслоенных пространствах в форме, данной Г.Ф. Лаптевым [10].

Все результаты получены в минимально специализированной системе отнесения, что позволило получить их в инвариантной форме. Рассмотрения в диссертации проводятся с локальной точки зрения. Все встречающиеся функции предполагаются достаточное число раз дифференцируемыми (то есть изучаемые подмногообразия достаточно гладкие).

Научная новизна. До настоящего времени вопросы двойственной геометрии оснащенных подмногообразий в аффинном пространстве и пространстве аффинной связности математиками не рассматривались. Все результаты, полученные в диссертационном исследовании в ходе решения поставленных задач, являются новыми. В работе приведены доказательства сформулированных в виде теорем всех основных выводов.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа имеет теоретическое значение. Полученные в ней результаты могут быть использованы при исследовании многообразий, погруженных в однородные и обобщенные

пространства, а также при изучении пространств с линейной связностью, индуцируемых оснащением рассматриваемых многообразий.

Теория, разработанная в диссертационной работе, может .быть использована в качестве специальных лекционных курсов для студентов старших курсов и аспирантов математических факультетов, а также при выполнении ими курсовых, дипломных и научных работ.

Апробация. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на конференциях и семинарах по современным проблемам геометрии: на конференциях студентов, аспирантов и докторантов Чувашского государственного педагогического университета (Чебоксары, 2006-2009 гг.), на заседаниях научно-исследовательского семинара молодых исследователей по дифференциальной геометрии (Чувашский госпедуииверситет, Чебоксары, 2006-2009 гг.), на региональной конференции «Современные вопросы геометрии и механики деформируемого твердого тела» (Чебоксары, 2006 г.); на заседаниях Молодежной научной школы-конференции «Лобачевские чтения» (Казань, 2008-2009 гг.), XXIV Всероссийского конкурса-конференции научно-исследовательских, творческих и изобретательских работ обучающихся «Национальное достояние России» (работа отмечена серебряным знаком отличия и дипломом 1-ой степени победителя конкурса) (Москва, 2009 г.), Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2009 г.), Международной научной конференции «Лаптевские чтения - 2009» (Москва - Тверь, 2009 г.), на заседании Казанского городского научно-исследовательского геометрического семинара (Казань, КГУ, 2009).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 17 печатных работах автора (см. [1] - [17]).

Вклад автора в разработку избранных проблем. Диссертационная работа является самостоятельным исследованием автора. Все опубликованные научные работы по теме исследования выполнены без соавторов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения (исторический обзор, общая характеристика диссертации, содержание диссертации), трех глав и списка литературы, включающего 96 наименований. Полный объем диссертации составляет 110 страниц машинописного текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Глава I диссертации посвящена построению двойственной геометрии гиперповерхности К„_, в пространстве аффинной связности Д, „.

В § 1 приводятся основные факты, связанные с геометрией регулярной гиперповерхности в пространстве Ап п. Вводится понятие расширенного пространства аффинной связности А* п. Выводится дифференциальное уравнение гиперповерхности Уп_г, строятся поля фундаментальных и некоторых охваченных геометрических объектов до четвертого порядка включительно. С помощью этих полей в четвертой дифференциальной окрестности точки гиперповерхности Уп_х в Апп. найдено поле соприкасающихся гиперквадрик.

В § 2 доказано, что с регулярной гиперповерхностью Уп_; в Ап п ассоциируются два двойственных пространства проективной связности Рп_1п и /"„_, „ (базой РпА/1 служит «тангенциальная гиперповерхность» Ки_,).

В § 3 строятся инвариантные классические оснащения регулярной гиперповерхности в пространстве Ап/1: оснащение в смысле А.П. Нордена, оснащения в смысле Э. Катрана и Э. Бортолотти. Доказано, что

- нормализация одной из регулярных гиперповерхностей УпА с Л'п/1 или

<= Р„_1 „ равносильна нормализации другой; при этом найдены соотношения, связывающие компоненты полей оснащающих объектов;

- функции и К>К> определяющие соответственно нормализацию Фубини и Вильчинского регулярной гиперповерхности, задают на ней двойственные поля нормалей первого и второго родов;

- оснащение в смысле Э. Картана регулярной гиперповерхности К„_, в пространстве аффинной связности равносильно оснащению ее двойственного образа У„_, в смысле Э. Бортолотти, и наоборот; определены зависимости, связывающие оснащающие объекты.

Глава II диссертации посвящена построению основ теории двойственных линейных связностей, индуцируемых на оснащенной регулярной гиперповерхности УпА в пространстве аффинной связности Ап/,.

В § 1 второй главы изучаются аффинные связности на нормализованной регулярной гиперповерхности У„_, в пространстве А„„. Заметим, что в случае

вырождения пространства аффинной связности в аффинное пространство Ап изучаемые связности являются двойственными аффинными связностями (без кручения) первого и второго родов, рассмотренными А.П. Норденом [15]. Центральными результатами § 1 являются (теоремы II. 1 -11.5):

1) на нормализованной регулярной гиперповерхности УпА в А„п индуци-

1 2

руются две двойственные аффинные связности V и V, обобщенно сопряженные относительно поля тензора Л" гиперповерхности Г„_,; при этом в случае

о

симметрии тензора Лу их средняя связность V является вейлевой (вообще говоря, с кручением) с полем метрического тензора А"у;

2) найдена геометрическая интерпретация условия совпадения связностей 1 2

V и V при некоторых предположениях, а именно: если на нормализованной регулярной гиперповерхности УпА в с полем симметричного тензора А^

1 2

индуцируются двойственные аффинные связности V и V без кручения, то эти связности совпадают тогда и только тогда, когда нормализация взаимна относительно поля соприкасающихся гиперквадрик и гиперквадрики этого поля имеют соприкосновение третьего порядка с гиперповерхностью;

3) если нормализация регулярной гиперповерхности в аффинном про-

странстве Ап взаимна относительно поля соприкасающихся гиперквадрик, то • 2

аффинные связности V и V могут быть эквиаффинными лишь одновременно; в

о

случае их эквиаффинности средняя связность V является римановой с полем метрического тензора Л" ;

1 г

4) геометрии двойственных аффинных связностей V и V, индуцируемых нормализацией Фубини регулярной гиперповерхности в аффинном пространстве А„, являются эквиаффинными, а их средняя геометрия - риманова;

5) если для некоторой взаимной нормализации регулярной гиперповерхно-

1 2

сти в аффинном пространстве Ап тензоры Риччи связностей V и V совпадают, то данная нормализация является нормализацией Вильчинского.

В случае аффинной нормализации гиперповерхности ¥пА показано (теоремы 11.6,11.7), что:

2

1) геометрия связности второго рода V является проективно-евклидовой;

2) если полем нормалей первого рода служит поле аффинных нормалей, то

1 2

связности V и V одновременно являются эквиаффинными, а их средняя связ-

0

ность V - риманова с полем метрического тензора .

В § 2 главы II получены приложения двойственных аффинных связностей 1 г

V и V, индуцируемых оснащением в смысле А. П. Нордена регулярной гиперповерхности в пространстве к геометрии сетей, заданных на Уп_х.

Найдены аналитические условия, при которых сопряженная сеть, заданная на нормализованной гиперповерхности с полем симметричного тензс!ра Л" , является геодезической или чебышевской первого или второго рода. Доказана справедливость следующих утверждений (теоремы 11.9,11.9*): !

1) если сеть, заданная на регулярной нормализованной гиперповерхности УпА с полем симметричного тензора Л"у, вложенной в пространство аффинной связности Ап п, является геодезической первого (второго) рода, то' поле нормали первого (второго) рода есть поле гармонических прямых (гиперпрямых) сети;

2) сопряженная сеть на регулярной нормализованной гиперповерхности с полем симметричного тензора Л" , вложенной в А„^, является сетью с

совпавшими псевдофокусами (псевдофокальными гиперплоскостями) тогда и только тогда, когда относительно поля гармонических гиперпрямых [/}] (гармонических прямых [//, ]) данная сеть есть геодезическая второго (первого) рода.

В случае аффинного пространства Ап доказано (теоремы 11.10,11.11), что:

1 2

1) двойственные аффинные связности V и V, индуцируемые взаимной

нормализацией регулярной гиперповерхности Кл_,с4(«>3), когда полем нормалей второго (первого) рода служит поле гармонических гиперпрямых (прямых) сопряженной чебышевской сети 2 с УпЛ первого (второго) рода, являются эквиаффинными, а их средняя геометрия - риманова;

2) если гиперповерхность У„_1 с: Ап(п>3), несущая голономную сопряженную сеть с совпавшими псевдофокусами и псевдофокальными гиперплоскостями, нормализована полями гармонических прямых и гиперпрямых сети,

1 2

то индуцируемые аффинные связности V и V являются эквиаффинными, а их средняя геометрия - риманова.

В § 3 главы II диссертации изучаются двойственные проективные связности на оснащенной в смысле Э. Картана и Э. Бортолотги регулярной гиперповерхности У„__{ в пространстве аффинной связности Ап/>.

Доказано (теорема 11.13,11.15), что оснащение в смысле Э. Картана (Э. Бортолотги) ретулярной гиперповерхности в А„„ индуцирует две двойственные проективные связности (вторая проективная связность определяется в случае симметрии тензора Л^); соответствующие пространства проективной связ-

I 2 Л 1

ности обозначены и и Р Справедливы утвер-

ждения (теоремы 11.12,11.14,11.15):

1) оснащающая точка Ы„ гиперповерхности в аффинном пространстве

1

Ап неподвижна тогда и только тогда, когда Рп1 п1 является плоским;

2) необходимым и достаточным условием совпадения связностей двойст-

1 2 _!. 2. венных пространств и РпЛ^ и является вырождение

гиперповерхности УпА в гиперквадрику.

3) в случае А„ „^А„ пространство Р „_,„_, является проективным тогда и только тогда, когда оснащающая плоскость ПП^(А0) неподвижна.

В § 4 установлена связь между двойственными аффинными и проективными связностями на оснащенной регулярной гиперповерхности УпА в Ап п с полем симметричного тензора Л" . Показано, что:

1) на оснащенной в смысле Э. Картана гиперповерхности У„_, в А„ „ кроме

1

пространства Рп_, г индуцируется еще четыре пространства проективной

а _

связности РпА/1_х {а = 2,5); найдены строения компонентов их тензоров кривизны-кручения;

2) на нормализованной гиперповерхности УпА в А„ „ индуцируется пять

я —

пространств аффинной связности Ап(д = 1,5), причем связностью простран-

I 1

ства является аффинная связность V. Найдены строения компонентов

тензоров кривизны и кручения указанных пространств.

Основным результатом параграфа является теорема 11.17: на оснащенной в смысле Нордека-Картана регулярной гиперповерхности Va_t czAnn каждое

я —

пространство аффинной связности А , при фиксированном q = 1,5, является сужением соответствующего пространства проективной связности ч з

Рп]n ¡; причем в случае q-Ъ сужением пространства Р п1 п1 является пространство аффинной связности [ , определяемое системой форм:

I'=2< J; = 0-Н--КЩ, -S)T¡-S[T*)ml =в). й+1

В § 5 рассматриваются двойственные нормальные связности на оснащенной регулярной гиперповерхности F„_, с Ап .

В п. 1 § 5 доказано, что на нормализованной гиперповерхности Fn4 с. Ап „ в расслоении нормалей первого и второго родов индуцируются соответственно нормальные связности Vх и Vх, двойственные по отношению друг к другу (при этом нормализация предполагается отличной от аффинной). Справедливы следующие предложения (теоремы II. 19-11.22,11.24,11.25):

1) связности V1 и Vх могут быть полуплоскими, а в случае Ап п =Ап-плоскими лишь одновременно;

2) связности V1 и V1 совпадают тогда и только тогда, когда нормальная связность Vх (а следовательно, и Vх) полуплоская; ¡

3) для того, чтобы нормальная связность Vх (Vх), индуцируемая на нормализованной гиперповерхности Кл_, с А„, была плоской, необходимо и достаточно, чтобы конгруэнция (псевдоконгруэнция) нормалей первого (второго) рода и псевдоконгруэнция (конгруэнция) нормалей второго (первого) рода составляли пару, односторонне расслояемую в сторону от нормалей первого (второго) рода к нормали второго (первого) рода;

4) на нормализованной гиперповерхности К„_, с Ап поле нормалей первого

рода является параллельным в нормальной связности Vх, а поле нормалей второго рода является параллельным в нормальной связности Vх.

В п. 2 § 5 рассматриваются нормальные связности на оснащенной в смысле Нордена-Картана и Нордена-Бортолотти гиперповерхности V„_¡ с полем симметричного тензора А^ в пространстве аффинной связности Ап^.

Одним из основных результатов являются теоремы 11.26 и 11.31: на оснащенной в смысле Нордена-Картана (Нордена-Бортолотти) регулярной гиперповерхности F„_¡ с: Ап п с полем симметричного тензора Щ в расслоении нормалей первого (второго) рода, кроме Vх (Vх), индуцируются еще четыре нор-

131 2"| — мальные связности V (V ), а = 1,4.

Найдены условия попарного совпадения рассматриваемых нормальных связностей и условия вырождения любой тройки нормальных связностей в одну; например (теоремы 11.28,11.29):

11 12 13

1) нормальные связности V1 и V1, V1 и У1 , индуцируемые в расслоении нормалей первого рода на оснащенной в смысле Нордена-Картана гиперповерхности Кп_, с Ап п, совпадают тогда и только тогда, когда нормализация

гиперповерхности с Ап п является взаимной;

2) на оснащенной в смысле Нордена-Картана гиперповерхности УпА с Ап п

совпадение любой тройки нормальных связностей из совокупности и 12 13 .

{V1,Vх, Vх, Vх| равносильно одному из следующих предложений:

а) нормализация гиперповерхности У„_, с Ап п есть нормализация Фубини,

б) рассматриваемая четверка нормальных связностей вырождается в одну. Справедливы двойственные предложения (теоремы 11.33,11.34). Доказаны следующие утверждения:

11 12 13 _ 21 22 23

1) связность Vх = Vх = V1 = Vх (Vх = Vх = Vх з Vх ), индуцируемая нормализацией Фубини гиперповерхности Уп_х с А„, является полуплоской;

2) если на оснащенной в смысле Нордена-Картана гиперповерхности У„_, сА„(п>3), несущей голономную сеть с совпавшими псевдофокусами и псевдофокальными гиперплоскостями, полями нормализующих объектов являются поля гармонических прямых и гиперпрямых сети, то нормальные связ-

11 12 13

ности Vх, Vх, Vх, Vх являются полуплоскими;

3) если на оснащенной в смысле Нордена-Бортолотги гиперповерхности Уп_х с Ап все нормали второго рода лежат в одной гиперплоскости, то индуци-

_ 2 а

руемые нормальные связности V1, Vх являются плоскими тогда и только тогда, когда они полуплоские;

12 _ 22

4) если нормальные связности Vх и Vх (Vх и Vх ), индуцируемые в расслоении нормалей первого (второго) рода на оснащенной в смысле Нордена-Картана (Нордена-Бортолотти) гиперповерхности У„_1с:А„> совпадают, то

о

средняя аффинная связность V является римановой.

Глава Ш диссертации посвящена изучению двойственной геометрии оснащенного регулярного распределения гиперплоскостных элементов М в пространстве аффинной связности Д, „.

В § 1 вводится понятие распределения гиперплоскостных элементов, погруженного в пространство аффинной связности. В репере нулевого порядка выводятся дифференциальные уравнения распределения М, а также строятся поля фундаментальных геометрических объектов до третьего порядка вюпочи-

тельно. Доказано (теорема III.1), что регулярное распределение гиперплоскостных элементов М в Ап „ индуцирует:

- во второй дифференциальной окрестности пространство проективной связности Р„„, двойственное Л'„л относительно инволютивного преобразования

их форм связности, причем пространства А*п и Рлп могут быть плоскими лишь одновременно;

- в первой дифференциальной окрестности многообразие М в Р^, двойственное исходному распределению М.

В п. 3 § 1 рассматривается оснащенное в смысле А. П. Нордена распределение гипергоюскостных элементов М в Апп. Доказано, что нормализация одного из регулярных распределений гиперплоскостных элементов М в Д, „ или М в Рп п равносильна нормализации другого.

Основной результат § 2 главы III содержится в теореме III.3: для того чтобы при задании регулярного распределения гиперплоскостных элементов М в

индуцировалось пространство аффинной связности А , двойственное исходному А„ п, необходимо и достаточно, чтобы слоевые формы в'п пространства А„ „ обращались в нуль; при этом пространства АПтП и Ап п могут быть плоскими лишь одновременно.

Геометрическое истолкование условия существования пространства Ап/1, двойственного An п, заключается в теореме III.4: для того чтобы при задании регулярного распределения гиперплоскостных элементов М в Ап/1 индуцировалось пространство аффинной связности А„„, двойственное исходному, достаточно, чтобы направление А0АЛ в связности пространства переносилось параллельно вдоль любой кривой пространства А„„.

Найдено аналитическое условие, в случае выполнения которого при задании регулярного распределения гиперплоскостных элементов М в Д, „ двойственные аффинные связности (подсвязности), определяемые соответственно системами структурных форм и fe1 ,&■} двойственных пространств

Ап п и Ап п, являются обобщенно сопряженньши относительно поля тензора Л" вдоль любой кривой пространства аффинной связности А„ „.

Основные результаты § 3 главы III отражены в следующих предложениях (теоремы III.6-III. 10):

1) на нормализованном регулярном распределении М в Апп индуцируют-

1 г

ся две двойственные аффинные связности V и V, обобщенно сопряженные относительно поля тензора Лу вдоль любой кривой, принадлежащей распределению М в А„ „; при некоторых предположения найдено условие их совпадения (теорема III.7).

2) нормализация регулярного распределения М в Ап п индуцирует двойст-

1 2

венные пространства аффинной связности Апп и Апп, определяемые соответственно системами форм и (теорема III.8);

1 Г, '1

3) аффинная связность V и связность Ш0, > совпадают тогда и только

тогда, когда направление нормали первого рода у'п в связности пространства 1

А„^ переносится параллельно вдоль любой кривой, принадлежащей распределению М в Апп; при этом нормальная точка нормали у'п совпадает с ее точкой Кенигса;

4) направление нормали первого рода у'„ распределения гиперплоскостных элементов М в А„ (п > 3) обладает свойством абсолютного параллелизма от-

1

носительно связности пространства Апп тогда и только тогда, когда точка Кенигса этой нормали неподвижна.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Для данного пространства аффинной связности Ап „ введено понятие расширенного пространства АВ разных дифференциальных окрестностях построены инвариантные внутренним образом определяемые оснащения регулярной гиперповерхности УпА и распределения М гиперплоскостных элементов в пространстве аффинной связности Ап „.

2. Построены основы теории двойственных линейных связностей (аффинных, проективных и нормальных), индуцируемых различными оснащениями гиперповерхности в Апп (оснащениями в смысле А.П. Нордена, Э. Картана,

Э. Бортолотги).

1 2

3. Найдено приложение двойственных аффинных связностей V и V к изучению внутренней геометрии некоторых классов сопряженных сетей на гиперповерхности в Ап^ (чебышевских и геодезических сетей первого и второго

родов, сетей с совпавшими псевдофокусами и псевдофокальными гиперплоскостями).

4. При задании регулярного распределения М гиперплоскостных элементов в пространстве Ап п найдено условие существования пространства аффинной связности Ап„, двойственного исходному пространству Ап п.

5. Исследована геометрия двойственных аффинных связностей, индуцированных нормализацией регулярного распределения гиперплоскостных элементов М в А„„.

Список литературы

[I] Акивис М. А. К аффинной теории соответствия Петерсона между гиперповерхностями / М. А. Акивис // Известия вузов. Математика. - Казань, 1994,-№4.-С. 3-9.

ЩАлшибая Э. Д. К геометрии распределений гиперплоскостных элементов в аффинном пространстве / Э. Д. Алшибая // Тр. Геометр, семинара. Ин-т научн. информ. АН СССР. - 1974. - Т. 5. - С. 169-193.

ЩАлшибая Э. Д. Об аффинных связностях на распределении гиперплоскостных элементов в Ап+1 / Э. Д. Алшибая // Известия вузов. Математика. -

Казань, 2002. - № 8. - С. 72-74. |

ЩБлизникас В. И. Некоторые внутренние геометрии гиперповерхности пространства аффинной связности / В. И. Близникас // Liet. mat. rinkinys, Лит. мат. сб.-1964.-Т. 4.-№2.-С. 165-182.

[5] £агнер В. В. Теория составного многообразия / В. В. Вагнер // Тр. семинара по векторн. и тензорн. анализу. - 1950. - В. 8. - С. 11-72.

[6] Васильев А. М. Инвариантные аффинные связности в пространстве линейных элементов / A.M. Васильев // Матем. сб. - 1963. —|Т. 6. - № 4. -С. 411-424.

[7] .Евтушик Л. Е. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях / Л. Е. Евтушик, Ю. Г. Лумисте, Н. М. Остиану, А. П. Широков // Проблемы геометрии. Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР. -1979.-Т. 9.-246 с.

[8] Евтушик J1. Е. Дифференциальные связности и инфинитезимальные преобразования продолженной псевдогруппы / Л. Е. Евтушик // Тр. Геометр, семинара. Ин-т научн. информ. АН СССР. -1969. - Т. 2. - С. 119-150.

[9] Лаптев Г. Ф. Гиперповерхность в пространстве проективной связности / Г. Ф. Лаптев // Докл. АН СССР. - 1958. - Т. 121. -№ 1. - С. 41-44.

[10] Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий / Г. Ф. Лаптев // Труды Моск. матем. общества. - 1953. - Т. 2. - С. 275382.

[II] Лаптев Г. Ф. О выделении одного класса внутренних геометрий, индуцированных на поверхности пространства аффинной связности / Г. Ф. Лаптев //ДАН СССР. - 1943. -Т. 41. -№ 8. - С. 329-331.

[12] Лаптев Г. Ф. Об инвариантном оснащении поверхности в пространстве аффинной связности / Г. Ф. Лаптев // Докл. АН СССР. - 1959. - № 3. -С. 490-493.

[13] Либер А. Е. О геометрии поверхностей в аффинных пространствах // А. Е. Либер // Научн. ежегодник. - Саратовск. гос. ун-т, 1955. - С. 669671.

[14] Лумисте Ю. Г. Индуцированные связности в погруженных проективных и аффинных расслоениях / Ю. Г. Лумисте // Уч. зап. Тартуск. ун-та.-1965.-В. 177.-С. 6-42.

[15] Норден А. П. Пространства аффинной связности / А. П. Норден. - М.: Наука, 1976.-432 с.

[16] Остиану Н. М. Об инвариантном оснащении многомерной поверхности в проективном пространстве / Н. М. Остиану // Тезисы докл. Второй Всес. геом. конф. - Харьков, 1964. - С. 203.

[17] Рашевский П. К. Симметрические пространства аффинной связности с кручением. I. / П. К. Рашевский // Тр. сем. по векторн. и тензорн. анализу. -1950.-В. 8.-С. 82-92.

[18] Рыбников А. К Аффинные связности, индуцируемые на многомерных поверхностях аффинного пространства / А. К. Рыбников // Тр. Геометр, семинара. Ин-т научн. информ. АН СССР. -1974. - Т. 6. - С. 135-155.

[19] Симон У. К аффинной теории гиперповерхностей: калибровочно-инвариантные структуры / У. Симон // Известия вузов. Математика. - Казань, 2004. -№ 11. -С. 53-81.

[20] Степанов С. К Реализация чебышевской связности на гиперповерхности аффинного пространства / С. Е. Степанов // Соврем, геометрия : Вопросы дифференц. геометрии. - Л. -1980. - С. 73-76.

[21] Столяров А. В. Двойственная теория оснащенных многообразий / А. В. Столяров. - Чебоксары, 1994. - 290 с.

[22] Столяров А. В. Двойственная геометрия нормализованного пространства аффинной связности / А. В. Столяров // Вестник Чувашек, гос. пед. унта. - 2005. - № 4. - С. 21 - 27.

[23] Столяров А. В. О сетях и полярно сопряженных конфигурациях на гиперповерхностях проективного пространства / А. В. Столяров // Изв. вузов. Матем. -1970. 7 - С. 96-101.

[24] Фиников С. П. Метод внешних форм Картана / С. П. Фиников. - М.: ГИТТЛ, 1948.-432 с.

[25] Чакмазян А. В. Нормальная связность в геометрии подмногообразий / А. В. Чакмазян. -Ереван: Армянск. пед. ин-т, 1990. -116 с.

[26] Швейкин П. И. Инвариантные построения на »/-мерной поверхности в п-мерном аффинном пространстве / П. И. Швейкин // Докл. АН СССР. -1958.-№5.-С. 811-814.

[27] Широков П. А. Аффинная дифференциальная геометрия / П. А. Широков, А. П. Широков. - М.: Физ-матем. изд., 1959.

[28] Carian Е. Les éspaces a connexion projective - Труды семинара по векторному и тензорному анализу / Е. Cartan. - МГУ, 1937. - № 4. - С. 147159.

[29] Ehresmann С. Les connections infinitesimales dans un espace fibre differentiable / С. Ehresmann // Collque de Topologie. - Bruxelles, 1950. -P. 29-55.

[30] Fernández G. Geometría differencial afin hipersperficies / G. Fernández // Rev. Unión mat. argent, y Asoc. fis. argent. - 1955 - 17. - 29-38.

[31] Laugwitz D. Zur Differential geometrie der Hyperflächen in Vektorräumen und zur affingeometrischen Deutung der Theorie der Finsler-Räume. Math. Z. - 1957-67.-V. 1.-63-74.

[32] Levi-Civita T. Nozioni di parallelismo in una varieta qualunque e conseguente specificazione geometrica della curvature Riemannianna / Levi-Civita T. // Rend. circ. vatem. - Palermo, 1917. - V. 42. - P. 173-205.

[33] Weyl H. Raum, Zeit, Materie / H. Weyl. - Berlin, 1918.

РАБОТЫ АВТОРА, ОПУБЛИКОВАННЫЕ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Христофорова А. В. Двойственная геометрия гиперповерхности в пространстве аффинной связности / А. В. Христофорова // Вестник Чувашек, гос. пед. ун-та. - 2006. - № 3(50). - С.35 - 42.

[2] Христофорова А. В. Двойственная геометрия сетей на гиперповерхности в пространстве аффинной связности / А. В. Христофорова // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Вып.39 : Межвуз. темат. сб. науч. тр.-Калининград, 2008. - С. 140-147.

[3] Христофорова А. В. Двойственность геометрии гиперповерхности в пространстве аффинной связности / А. В. Христофорова // Материалы Шестой молодежной науч. школы-конф. - Казань : Изд-во Казанского мат. об-ва, 2007. - Т. 36. - С. 238-241.

[4] Христофорова А. В. Двойственность геометрии распределения гиперплоскостных элементов в пространстве аффинной связности / А. В. Христофорова // ВИНИТИ РАН. - 2009. ~№ 28-В2009 Деп. - 20 с.

[5] Христофорова А. В. Двойственные аффинные связности на нормализованной гиперповерхности в пространстве аффинной связности / А. В. Христофорова // ВИНИТИ РАН. - 2008. -№ 237-В2008 Деп. -13 с.

[6] Христофорова А. В. Двойственные аффинные связности на распределении гиперплоскостных элементов в пространстве аффинной связности / А. В. Христофорова // Материалы Седьмой молодежной науч. школы-конф.-Казань : Изд-во Казанского мат. об-ва, 2008. -Т. 37. -С. 186-189.

[7] Христофорова А. В. Двойстаенныс линейные связности на оснащенной гиперповерхности пространства аффинной связности / А. В. Христофорова // Известия вузов. Математика. - Казань, 2009. — № 11. - С. 72-79.

[8] Христофорова А. В. Двойственные проективные связности на гиперповерхности в пространстве аффинной связности / А. В. Христофорова // Вестник докторантов, аспирантов, студентов Чув. гос. пед. ун-та. - Чебоксары, 2008. —№ 1(11).-С. 30-35

[9] Христофорова А. В. Двойственные пространства аффинной связности на распределении гиперплоскостных элементов в пространстве аффинной связности / А. В. Христофорова // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Вып.40 : Межвуз. темат. сб. науч. тр. - Калининград, 2009.- С. 137-144.

[10] Христофорова А. В. Двойственные пространства аффинной связности, определяемые неголономной гиперповерхностью / А. В. Христофорова // Вестник Чувашек, гос. пед. ун-та. - 2009. - № 1(61). - С.36 - 43.

[11] Христофорова А. В. Двойственные связности на шпгрповерхности / А. В. Христофорова // Труды ХЬУН Межд. науч. студ. конф. «Студент и НТП»: Математика. - Новосибирск, 2009. - С. 104-105.

[12] Христофорова А. В. Исследование гиперповерхности в пространстве аффинной связности / А. В. Христофорова // Вестник Чувашек, гос. пед. ун-та. - 2008. - № 2(58). - С.46 - 52.

[13] Христофорова А. В. Линейные связности, индуцируемые оснащением гиперповерхности пространства аффинной связности / А. В. Христофорова // Сб. тезисов докладов участников XXIV Всерос. конф. обуч-ся «Национальное Достояние России». - Минобрнауки РФ, Рособразование, РОСКОСМОС, РАО, НС «Интеграция», 2009. - С. 725-726

[14] Христофорова А. В. О двойственной геометрии гиперповерхности в пространстве аффинной связности / А. В. Христофорова // ВИНИТИ РАН. - 2006. - № 713-В2006 Деп. -10 с.

[15] Христофорова А. В. О двойственной геометрии распределения гиперплоскостных элементов в пространстве аффинной связности / А. В. Христофорова // Труды Межд. науч. конф. «Лаптевские чтения-2009». - М., 2009.-С.37.

[16] Христофорова А. В. Проективные и аффинные связности на гиперповерхности пространства аффинной связности / А. В. Христофорова // ВИНИТИ РАН. - 2009. - № 412-В2009 Деп. - 17 с.

[17] Христофорова А. В. Фундаментально-групповые линейные связности на гиперповерхности в пространстве аффинной связности / А. В. Христофорова // ВИНИТИ РАН. - 2008. - № 910-В2008 Деп. - 31 с.

Подписано к печати /^¿у. /о . Формат 60><84 /16. Бумага писчая. Печать оперативная. Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз. Заказ 4333.

Отдел полиграфии

Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева 428000, г. Чебоксары, ул. К. Маркса, 38.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

1. Постановка вопроса.

2. Актуальность темы.

3. Цель работы.;.

4. Методы исследования.

5. Научная новизна полученных результатов.

6. Теоретическая и практическая значимость.

7. Апробация.

8. Публикации.

9. Вклад автора в разработку избранных проблем.

10. Структура и объем работы.

11. Некоторые замечания.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

ГЛАВА I. ПОЛЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ НА ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ АФФИННОЙ СВЯЗНОСТИ.

§ 1. Поля фундаментальных и охваченных геометрических объектов на гиперповерхности.

1.1 Расширенное пространство аффинной связности.

J .2 Дифференг{иальные уравнения гиперповерхности.21 •

1.3 Поля фундаментальных геометрических объектов на гиперповерхности.

1.4 Поля охваченных геометрических объектов на гиперповерхности

§ 2. Двойственность геометрии регулярной гиперповерхности

Vn-\<=-An,n.

§ 3. Инвариантные оснащения регулярной гиперповерхности.

3.1 Оснащение гиперповерхности в смысле А. П. Нордена.

3.2 Оснащения гиперповерхности в смысле Э. Картана и Э. Бортолотти.

3.3 Двойственность оснащения гиперповерхности в пространстве аффинной связности.

1. Двойственность нормализации гиперповерхности.

2. Двойственность оснащений гиперповерхности пространства аффинной связности в смысле Э. Картана и Э. Бортолотти.

ГЛАВА II. ДВОЙСТВЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СВЯЗНОСТИ НА ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ АФФИННОЙ СВЯЗНОСТИ.

§ 1. Двойственные аффинные связности на гиперповерхности в пространстве аффинной связности.

1.1 Двойственные аффинные связности на нормализованной гиперповерхности.

1.2 Двойственные аффинные связности на аффинно нормализованной гиперповерхности.

1. Постановка вопроса.

В первой половине XX столетия благодаря эрлангенской программе Ф. Клейна в теории подмногообразий в классических однородных пространствах появилось несколько различных направлений, соответствующих различным группам преобразований (проективной, эквиаффинной, центроаффинной и т.д.). Целью исследований в каждом случае было построение инвариантной нормализации поверхности и определение индуцированных этой нормализацией геометрических структур.

Аффинная и в особенности проективная дифференциальная геометрия подмногообразий (поверхностей, распределений) стала областью исследований многих геометров. Существенные результаты в геометрии гиперповерхности принадлежат Нордену А. П. [39] и его школе, связаны с методом нормализации; Измайлов В. Д. [20], [21] построил аффинную нормаль гиперповерхности в пространстве аффинной связности; Лаптев Г. Ф. разработал в инвариантной форме дифференциальную геометрию гиперповерхности в многомерном пространстве проективной связности с кривизной и кручением [23]; основные факты аффинной геометрии поверхности были распространены на гиперповерхность (в центроаффинном пространстве) в работах Фернандеса [88] и Лаугвитца [91]; задачи инвариантного оснащения подмногообразия в многомерных пространствах рассматривали А. Е. Либер [31], П. И. Швейкин [80], Г. Ф. Лаптев [28], Н. М. Остиану [41], Воронцова Н. С. [8] и другие.

В дифференциальной геометрии подмногообразий важнейшее место занимает теория связностей, берущая начало от работ Т. Леви-Чивита [92] о параллельном перенесении вектора в римановой геометрии, Г. Вейля [96], Р. Кенига [90], Э. Картана [85], В. В. Вагнера [7] и Ш. Эресмана [87], И. А. Схоутена [95]. Первые применения связности к геометрии подмногообразий в проективном пространстве дал Э. Картан [84]; дальнейшее развитие теория связностей получает в методе нормализации Нордена А. П. [39], позволяющем в касательных расслоениях подмногообразий проективного пространства индуцировать аффинные связности без кручения. Лаптев Г. Ф., следуя идеям Э. Картана, дал строгое определение пространства аффинной связности [24], [26], [27]. Широков П. А. и Широков А. П. исследовали локальные строения подмногообразия в аффинном пространстве с помощью аффинной связности в касательном расслоении [81]. В работе Рыбникова А. К. [43] рассмотрены некоторые вопросы реализации аффинных связностей на оснащенных гиперповерхностях аффинного пространства.

В настоящее время теория связностей представляет собой обширную область исследования расслоенных пространств благодаря работам Чакма-зяна А. В. [79], Лумисте Ю. Г. [32]-[37], Евтушика Л. Е. [11]-[16], Столярова А. В. [47], [48] и ряда других геометров.

Предметом исследования диссертационной работы являются подмногообразия, погруженные в пространство аффинной связности, а также связности, индуцируемые оснащением рассматриваемых подмногообразий и поиск приложения связностей к изучению геометрии сетей. В* качестве исходных многообразий берутся:

1) пространство аффинной связности Ап п,

2) регулярная гиперповерхность Vnx а Ап п,

3) регулярное распределение гиперплоскостных элементов М с= Апп.

Задача сводится к изучению двойственной геометрии указанных оснащенных подмногообразий посредством исследования дифференциально-геометрических структур, индуцированных полями их фундаментальных и оснащающих объектов.

2. Актуальность темы.

Дифференциальная геометрия сегодня представляет собой широкое поле исследований разнообразных структур на гладких многообразиях в классических и обобщенных пространствах.

За последние десятилетия теория подмногообразий, погруженных в аффинное пространство и пространство аффинной связности, получила значительное развитие в работах У. Симона [44], Э.Д. Алшибая [2], [3], Акивиса М. А. [1], Тадеева П. А. [59], Степанова С. Е. [45], [46] и ряда других геометров (см., например, работы Ивлева Е. Т. [19], Капустиной Е. Е. [22], Султановой Н. С. [58], Сальвадора Ж. [89], Линдена М. [93]). Злата-нов Г. 3. [17], [18], Капустина Е. Е. [22] в своих трудах изучают геометрию сетей и тканей на многообразиях в пространстве аффинной связности. Вопросами геометрии оснащенной гиперповерхности занимались Столяров А. В. [47], [49], [50], [51], [53], [54], [56] (в пространствах проективном, проективно-метрическом, проективной связности), Долгов С. В. [10] (в проективном пространстве), Глухова Т. Н. [9] (в конформном пространстве) и другие.

Актуальность диссертационного исследования обусловлена тем, что полученные в нем результаты позволяют значительно расширить и обогатить геометрию оснащенных подмногообразий в пространстве аффинной связности, ибо автор подходит к исследованию с новой точки зрения, а именно, изучается двойственность геометрии подмногообразий путем расширения исходного пространства аффинной связности до пространства проективной связности. Такой подход позволил:

- дать определение двойственных пространств аффинной связности (эквивалентное определению двойственных пространств с линейной связностью, сформулированное Столяровым А. В. [47]);

- построить основы двойственной теории оснащенных подмнообразий (гиперповерхности и распределения гиперплоскостных элементов) пространства аффинной связности, включающей, в частности, геометрию двойственных линейных (аффинных, проективных, нормальных)■ связно стей на указанных оснащенных подмногообразиях; найти некоторые приложения двойственных связностей к. теории многомерных сетей.

Следует отметить, что до настоящего времени построение двойственной геометрии рассматривалось лишь в случае, когда объемлющее пространство, как правило, является проективным или проективной связности.

3. Цель работы.

Цель настоящего диссертационного исследования заключается в значительном расширении и обогащении теории оснащенных подмногообразий в пространстве аффинной связности путем перехода к рассмотрению аналогичных вопросов в ассоциированном пространстве с проективной структурой (расширенном пространстве аффинной связности); а именно, в работе решаются следующие ключевые задачи:

1) построение основ двойственной геометрии гиперповерхности (как голономной, так и неголономной), погруженной в пространство аффинной связности;

2) построение двойственной теории линейных связностей (аффинных, проективных, нормальных), индуцируемых при различных классических оснащениях (в смысле А.П. Нордена, Э. Картана, Э. Бортолотти) гиперповерхности в пространстве аффинной связности;

3) приложения двойственной теории линейных связностей к исследованию геометрии сетей на рассматриваемых подмногообразиях (а именно, на гиперповерхности и на распределении гиперплоскостных элементов), вложенных в пространство аффинной связности.

4. Методы исследования.

В диссертационной работе используются инвариантные методы дифференциально-геометрических исследований, а именно, теоретико-групповой метод продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева [24], метод внешних дифференциальных форм Э. Картана [60], метод нормализации А. П. Нордена [39]. Применение указанных методов позволило получить дифференциально-геометрические факты, связанные с дифференциальными окрестностями высокого (до четвертого) порядков.

Все результаты получены в минимально специализированной системе отнесения (в репере нулевого и первого порядков), что позволило все результаты сформулировать в инвариантной форме.

Отметим, что результаты по теории линейных связностей получены с применением теории связностей в расслоенных пространствах в форме, данной Г. Ф. Лаптевым [24], [25].

5. Научная новизна полученных результатов.

Научная новизна диссертационного исследования обусловлена, прежде всего, постановкой задачи: построение и изучение двойственной геометрии оснащенных подмногообразий, погруженных в пространство аффинной связности, через исследование полей фундаментальных и оснащающих объектов. Следует заметить, что до настоящего времени вопросы двойственной геометрии оснащенных подмногообразий в аффинном пространстве и пространстве аффинной связности математиками не рассматривались. Данное исследование имеет целью положить начало восполнению этого пробела в дифференциальной геометрии обобщенных пространств; изучение указанных вопросов проводится на примере оснащенной регулярной гиперповерхности и оснащенного регулярного распределения гиперплоскостных элементов в пространстве аффинной связности.

Все результаты, полученные в работе, являются новыми; их основные положения заключаются в следующем:

1) построены основы двойственной геометрии аффинных, проективных, нормальных связностей, индуцируемых на оснащенной гиперповерхности; найдены некоторые приложения аффинных связностей к теории сетей на гиперповерхности в пространстве аффинной связности;

2) доказано, что при задании регулярного распределения гиперплоскостных элементов индуцируется пространство аффинной связности, двойственное исходному; найдено условие существования указанного пространства;

3) построена двойственная геометрия регулярного распределения гиперплоскостных элементов, погруженного в пространство аффинной связности; рассмотрены двойственные аффинные связности, индуцируемые при различных оснащениях распределения.

В работе приведены доказательства сформулированных в виде теорем всех основных выводов.

6. Теоретическая и практическая значимость.

Работа имеет теоретическое значение. Полученные в ней результаты могут быть использованы при исследовании многообразий, погруженных в однородные и обобщенные пространства, а также при изучении пространств с линейной связностью, индуцируемых оснащением рассматриваемых многообразий.

Теория, разработанная в диссертационной работе, может быть использована в качестве специальных лекционных курсов для студентов старших курсов и аспирантов математических факультетов, а именно, спецкурсов: а) по теории двойственных линейных связностей на оснащенных подмногообразиях в классических пространствах с фундаментальными группами или в пространствах с линейной связностью; б) по теории распределений гиперплоскостных элементов и гиперповерхностей.

7. Апробация.

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на конференциях и семинарах по современным проблемам геометрии: на конференциях студентов, аспирантов и докторантов Чувашского государственного педагогического университета (Чебоксары, 2006-2009 гг.), на заседаниях научно-исследовательского семинара молодых исследователей по дифференциальной геометрии (Чувашский госпедуниверситет, Чебоксары, 2006-2009 гг.), на региональной конференции «Современные вопросы геометрии и механики деформируемого твердого тела» (Чебоксары, 2006 г.); на заседаниях Молодежной научной школы-конференции «Лобачевские чтения» (Казань, 2008-2009 гг.), XXIV Всероссийского конкурса-конференции научно-исследовательских, творческих и изобретательских работ обучающихся «Национальное достояние России» (работа отмечена серебряным знаком отличия и дипломом 1-ой степени победителя конкурса) (Москва, 2009 г.), Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2009 г.), Международной научной конференции «Лаптевские чтения — 2009» (Москва — Тверь, 2009 г.), на заседании Казанского городского научно-исследовательского геометрического семинара (Казань, КГУ, 2009).

8. Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в семнадцати работах [62] - [78].

9. Вклад автора в разработку избранных проблем.

Диссертация является самостоятельным исследованием автора. Все опубликованные работы по теме диссертации выполнены без соавторов.

1. Акивис М. А. К аффинной теории соответствия Петерсона между гиперповерхностями / М. А. Акивис // Известия вузов. Математика. -Казань, 1994. - № 4. - С. 3-9.

2. Алшибая Э. Д. К геометрии распределений гиперплоскостных элементов в аффинном пространстве / Э. Д. Алшибая // Тр. Геометр, семинара. Ин-т научн. информ. АН СССР. 1974. - Т. 5. - С. 169-193.

3. Алшибая Э. Д. Об аффинных связностях на распределении гиперплоскостных элементов в Ап+1 / Э. Д. Алшибая // Известия вузов. Математика. Казань, 2002. - № 8. - С. 72-74.

4. Базылев В. Т. К геометрии плоских многомерных сетей / В. Т. Базы-лев // Уч. зап. Моск. гос. пед. ин-та им. В. И. Ленина. — 1965. №243. -С. 29-37.

5. Базылев В. Т. О многомерных сетях и их преобразованиях / В. Т. Базылев // Итоги науки. Геометрия (1963). ВИНИТИ АН СССР. 1965. -С. 138-164.

6. Базылев В. Т. О сетях на многомерных поверхностях проективного пространства / В. Т. Базылев // Известия вузов. Математика. — 1966. — №2.-С. 9-19.

7. Вагнер В. В. Теория составного многообразия / В. В. Вагнер // Тр. семинара по векторн. и тензорн. анализу. — 1950. — В. 8. — С. 11-72.

8. Воронцова Н. С. Гиперповерхности проективного пространства с общим оснащением / Н. С. Воронцова / Уч. зап. Моск. гос. пед. инта. 1963. - № 208. - С. 99-108.

9. I.Евтушик Л. Е. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях / Л. Е. Евтушик, Ю. Г. Лумисте, Н. М. Остиану, А. П. Широков // Проблемы геометрии. Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР. 1979. - Т. 9. - 246 с.

10. Златаиов Г. 3. О геометрии сетей в пространстве А2п аффиннойсвязности / Г. 3. Златанов // Докл. Болг. АН. 1989. - № 11. - С. 2529.

11. Златанов Г. 3. Сильно параллельные сети в пространстве аффинной связности / Г. 3. Златанов // Научн. тр. Мат. Пловдив, ун-т, 1989. — № 3. - С. 227-239.

12. Капустина Е. Е. О существовании некоторых специальных сетей в пространствах аффинной связности / Е. Е. Капустина // Известия вузов. Математика. Казань, 1993. -№ 9. - С. 18-21.

13. Лаптев Г. Ф. Гиперповерхность в пространстве проективной связности/Г. Ф. Лаптев//Докл. АН СССР. 1958.-Т. 121. -№ 1.-С.41-44.

14. Лаптев Г. Ф. О выделении одного класса внутренних геометрий, индуцированных на поверхности пространства аффинной связности / Г. Ф. Лаптев // ДАН СССР. 1943. - Т. 41. - № 8. - С. 329-331.

15. Лаптев Г. Ф. О погружении пространства аффинной связности в аффинное пространство / Г. Ф. Лаптев // ДАН СССР. 1945. - 47. -№ 8.-С. 551-554.

16. Лаптев Г. Ф. Об инвариантном оснащении поверхности в пространстве аффинной связности / Г. Ф. Лаптев // Докл. АН СССР. 1959. — №3.-С. 490-493.

17. Лаптев Г. Ф. Распределения касательных элементов / Г. Ф. Лаптев // Труды геом. семинара. Ин-т научн. информ. АН СССР. 1971. - Т. 3. - С. 29-48.

18. Лумнете Ю. Г. Индуцированные связности в погруженных пространствах и аффинных расслоениях / Ю. Г. Лумисте // Уч. зап. Тар-туск. ун-та. 1965. - В. 177. - С. 6-42.

19. Лумисте Ю. Г. К основаниям глобальной теории связностей / Ю. Г. Лумисте // Уч. зап. Тартуск. ун-та. 1964. - В. 150. - С. 69-108.

20. Лумисте Ю. Г. Однородные расслоения со связностью и их погружения / Ю. Г. Лумисте // Тр. Геометр, семинара. Ин-т научн. информ. АН СССР.-1966.-Т. I. С. 191-237.

21. Лумисте Ю. Г. Проективные связности в канонических расслоениях многообразий плоскостей / Ю. Г. Лумисте // Матем. сб. 1973. — Т. 91. -№ 2. - С. 211-233.

22. Лумисте Ю. Г. Связности в однородных расслоениях / Ю. Г. Лумисте // Матем. сб. 1966. - Т. 69. - № 3. - С. 434-469.

23. Норден А. П. Пространства аффинной связности / А. П. Норден. — М.: Наука, 1976.-432 с.

24. Остиану Н. М. Распределение гиперплоскостных элементов в проективном пространстве / Н. М. Остиану // Труды геом. семинара. Ин-т научн. информ. АН СССР. 1973. - Т. 4. - С. 71-120.

25. Рыбников А. К. Аффинные связности, индуцируемые на многомерных поверхностях аффинного пространства / А. К. Рыбников // Тр. Геометр, семинара. Ин-т научн. информ. АН СССР. — 1974'. — Т. 6. — С. 135-155.

26. Сгшон У. К аффинной теории гиперповерхностей: калибровочно-инвариантные структуры / У. Симон // Известия вузов. Математика. Казань, 2004. - № 11. - С. 53-81.

27. Степанов С. Е. Реализация чебышевской связности на гиперповерхности аффинного пространства / С. Е. Степанов // Соврем, геометрия : Вопросы дифференц. геометрии. — JI. — 1980. С. 73-76.

28. Степанов С. Е. Чебышевские оснащения поверхности / С. Е. Степанов. М. - 1978. - № 3415-78 Деп. - 8 с.

29. Столяров А. В. Двойственная теория оснащенных многообразий / А. В. Столяров. Чебоксары, 1994. - 290 с.

30. Столяров А. В. Двойственная геометрия нормализованного пространства аффинной связности / А. В. Столяров // Вестник Чувашек, гос. пед. ун-та. 2005. - № 4. - С. 21 - 27.

31. Столяров А. В. Двойственная теория регулярного распределения гиперплоскостных элементов в пространстве проективной связности. I / А. В. Столяров // Изв. вузов. Матем. 1980. - № 1 - С. 79-82.

32. Столяров А. В. О двойственной геометрии сетей на регулярной гиперполосе / А. В. Столяров // Изв. вузов. Матем. 1977. — № 8 — С. 68-78.

33. Столяров А. В. О сетях и полярно сопряженных конфигурациях на гиперповерхностях проективного пространства / А. В. Столяров // Изв. вузов. Матем. 1970. -№ 7 - С. 96-101.

34. Столяров А. В. О сетях с совпавшими псевдофокусами, заданных на гиперповерхностях проективного пространства / А. В. Столяров // Изв. вузов. Матем. 1970. - № 2 - С. 86-93.

35. Столяров А. В. Сужения пространств проективной связности, индуцируемых на оснащенной гиперполосе / А. В. Столяров // Межву-зовск. темат. сб. научн. тр. «Дифференциальная геометрия многообразий фигур». Калинингр. ун-т, 1999. - Вып. 31 — С. 88-92.

36. Тадеев П. А. Распределения на гиперповерхности в пространстве аффинной связности / П. А. Тадеев //Геом. погруж. многообразий. — Моск. гос. пед. ун-т, 1989. С. 82-86.

37. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана / С. П. Фиников. М.: ГИТТЛ, 1948.-432 с.

38. Фиников С. П. Теория пар конгруэнций / С. П. Фиников. М.: ГИТТЛ, 1956.-444 с.

39. Христофорова А. В. Двойственность геометрии гиперповерхности в пространстве аффинной связности / А. В. Христофорова // Материалы Шестой молодежной науч. школы-конф. — Казань : Изд-во Казанского мат. об-ва, 2007. Т. 36. - С. 238-241.

40. Христофорова А. В. Двойственность геометрии распределения гиперплоскостных элементов в пространстве аффинной связности / А. В. Христофорова // ВИНИТИ РАН. 2009. - № 28-В2009 Деп. -20 с.

41. Христофорова А. В. Двойственные аффинные связности на нормализованной гиперповерхности в пространстве аффинной связности / А. В. Христофорова // ВИНИТИ РАН. 2008. - № 237-В2008 Деп. -13 с.

42. Христофорова А. В. Двойственные линейные связности на оснащенной гиперповерхности пространства аффинной связности / А. В. Христофорова // Известия вузов. Математика. — Казань, 2009. — № 11.-С. 72-79.

43. Христофорова А. В. Двойственные пространства аффинной связности, определяемые неголономной гиперповерхностью / А. В. Христофорова // Вестник Чувашек, гос. пед. ун-та. 2009. - № 1(61). — С.36-43.

44. Христофорова А. В. Фундаментально-групповые линейные связности на гиперповерхности в пространстве аффинной связности / А. В. Христофорова // ВИНИТИ РАН. 2008. - № 910-В2008 Деп. -31 с.

45. Чакмазян А. В. Нормальная связность в геометрии подмногообразий / А. В. Чакмазян. Ереван: Армянск. пед. ин-т, 1990. - 116 с.

46. Bortolotti Е. Connessioni nelle varieta luogo di spazi; applicazione alia geometria metrica differanziale delle congruanze di rette / E. Bortolotti // Rend. Semin Fac. Univ. Cagliari. 1933. -№ 3. - C. 81-89.

47. Cartan Е. Legons sur la theorie des 6spaces a connexion projective / E. Cartan. Paris, 1937.

48. Cartan E. Les espaces a connexion projective Труды семинара по векторному и тензорному анализу / Е. Cartan. - МГУ, 1937. — № 4. — С. 147-159.

49. Cartan Е. Les groups d'holonomie des espaces generalises / E. Cartan // Acta math. 1926. - V. 48. - P. 1-42.

50. Casanova G. La notion de pole harmonique // G. Casanova. Rev. math, spec., 1955. - T. 65. - № 6. - C. 437-440.

51. Ehresmann C. Les connections infinitesimales dans un espace fibre dif-ferentiable / C. Ehresmann // Collque de Topologie. — Bruxelles, 1950. — P. 29-55.

52. Fernandez G. Geometria differencial afin hipersperficies / G. Fernandez // Rev. Union mat. argent, у Asoc. fis. argent. 1955.— 17. — 29-38.

53. Gigena Salvador. Общая аффинная геометрия гиперповерхностей. General affine geometry of hypersurfaces / Salvador Gigena I I Math, no-tae. 1992. - C. 1-41.

54. Levi-Civita T. Nozioni di parallelismo in una varieta qualunque e conse-guente specificazione geometrica della curvature Riemannianna / Levi-Civita T. // Rend. circ. vatem. Palermo, 1917. - V. 42. - P. 173-205.

55. Linden M. Об аффинных отображениях многообразий аффинной связности. On affine maps between affinely connected manifolds / Martin Linden, Helmut Reckziegel // Geom. dedic. 1990. - № 1. - P. 91-98.

56. Mihailescu T. Geometrie differentiala projective / T. Mihailescu // Bucur-e§ti Acad. RPR. 1958. - 494 p.

57. Schouten J. A. Les connexions conformes et projective de E. Cartan et la connexion lineaire generale de M. Konig / J. A. Schouten // C. R. Acad. Sci. 1924. - V. 178. - 2044-2046.

58. Weyl H. Raum, Zeit, Materie / H. Weyl. Berlin, 1918.N