Двойственная геометрия оснащенной гиперповерхности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

1. Постановка вопроса.

2. Актуальность темы.

3. Цель работы.

4. Методы исследования.

5. Научная новизна полученных результатов.

6. Теоретическая и практическая значимость.

7. Апробация

8. Публикации

9. Вклад автора в разработку избранных проблем

10. Структура и объем работы

11. Некоторые замечания

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Г л а в а I. ПОЛЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ НА РАСПРЕДЕЛЕНИИ ГИПЕРПЛОСКОСТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ.

§ I Поля фундаментальных и охваченных геометрических объектов на распределении гиперплоскостных элементов

1. Дифференциальные уравнения распределения гиперплоскостных элементов

2. Поля фундаментальных геометрических объектов на распределении гиперплоскостных элементов.

3. Поля охваченных геометрических объектов на распределении гиперплоскостных элементов.

§ 2. Двойственность теории регулярного распределения гиперплоскостных элементов.

§ 3. Инвариантные оснащения распределения гиперплоскостных элементов

1. Двойственная нормализация регулярного распределения гиперплоскостных элементов.

2. Оснащение в смысле Э.Картана регулярного распределения гиперплоскостных элементов.

3. Оснащение в смысле Э.Бортолотти распределения гиперплоскостных элементов.

4. Касательное оснащение распределения гиперплоскостных элементов, определяемое (/г-1)-тканью.

§ 4. Регулярная гиперповерхность Vni с~Рп и ее двойственный образ

1. Поля фундаментальных и охваченных геометрических объектов на гиперповерхности.

2. Двойственный образ регулярной гиперповерхности.

3. Инвариантные оснащения регулярной гиперповерхности.

Г л а в а II. ДВОЙСТВЕННЫЕ АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ НА РАСПРЕДЕЛЕНИИ ГИПЕРПЛОСКОСТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ.

§ 1 Аффинные связности на нормализованном распределении гиперплоскостных элементов.

§ 2. Двойственные аффинные связности на нормализованном распределении гиперплоскостных элементов.

§ 3 Сопряженность пар двойственных аффинных связностей на голономном распределении гиперплоскостных элементов.

§ 4 Геодезические и чебышевсше (п-1)-ткани на голономном распределении гиперплоскостных элементов.

1. Геодезические (л-1)-ткани на голономном распределении гиперплоскостных элементов

2. Чебышевские (и-1)-ткани на голономном распределении гиперплоскостных элементов.

Глава III. ДВОЙСТВЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СВЯЗНОСТИ НА ОСНАЩЕННОЙ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ

§ 1. Двойственные проективные связности на оснащенной гиперповерхности

1. Проективные связности на регулярной гиперповерхности, оснащенной в смысле Э.Картана.

2. Проективные связности на регулярной гиперповерхности, оснащенной в смысле Э.Бортолотти.

§ 2. Двойственные аффинные связности на нормализованной гиперповерхности

§ 3. Двойственные аффинные связности на гиперповерхности как результат сужения двойственных проективных связностей.

§ 4. Сопряженные и средние аффинные связности на регулярной гиперповерхности

§ 5. Геодезические и чебышевские сети на гиперповерхности

1. Геодезические сети на гиперповерхности.

2. Чебышевские сети на гиперповерхности

1. Постановка вопроса.

Дифференцируемое многообразие, погруженное в пространство с фундаментально-групповой связностью, называется оснащенным [27], если на нем определено поле некоторого геометрического объекта g х (поле оснащающего объекта многообразия): dgx=V* {g)®Sl+Vxs ю'1, s2 Л1 где coSl- первичные формы; co$1 - вторичные формы Пфаффа на многообразии. Тип оснащения погруженного многообразия характеризуется строением основных функций у/ х (g), определяющих оснащающий объект g х; в зависимости от их строения имеем различные классические оснащения многообразия (оснащение в смысле А.П.Нордена [41], Э.Картана [84], Э.Бортолотти [82] и т.д.).

Подмногообразие (поверхность, распределение), несущее сеть (ткань) того или иного класса, как один из примеров касательно оснащенных [38], [23] многообразий, стало объектом изучения для целого ряда геометров. Среди них: А.П.Норден [41], А.И.Чахтаури [72], В.И.Шуликовский [79], [80], В.Т.Базылев [5], [6], А.В.Столяров [56], [57], [59], [61], [62], [67], М.К.Кузьмин [6], М.А.Акивис [2], Н.М.Остиану [43], А.Е.Либер [31], [32]. С.Е.Степанов [53]^ [55] в пространстве аффинной связности Ln {п> 2) изучает геометрию оснащений поверхности (гиперповерхности), ассоциированных с чебышевской сетью. Г.Н.Линькова [33] рассматривает сети на гиперповерхностях эквиаффинного пространства, Т.А.Шульман [81] в пространстве Р4 исследует геометрию гиперповерхности, несущей сеть.

Теория связностей, берущая свое начало и развитие от работ Т.Леви-Чивита [87], Г.Вейля [91], Р.Кенига [86], Э.Картана [83], И.А.Схоутена [90], В.В.Вагнера [7], [8] и Ш.Эресмана [85], в настоящее время представ5 ляет собой широкую область исследования расслоенных пространств благодаря работам А.П.Нордена [41], Г.Ф.Лаптева [27] -ь [30], Б.Л.Лаптева [26], П.К.Рашевского [49], А.М.Васильева [9], [10], Ю.Г.Лумисте [34] ^[37], Л.Е.Евтушик [24], Б.Н.Шапукова [73], А.В.Чакмазяна [71], А.В.Столярова [58], [62], [65] и др.

Особое место в общей теории занимает теория связностей в однородных расслоениях, в рамках которой линейные связности чаще всего находят приложения при изучении дифференциальной геометрии оснащенных подмногообразий (см. работы [4], [6]-г[10], [35], [40], [41], [48], [50], [53М55], [58], [62], [68], [70] ^[72], [75] +[80], [84], [85] ). Приложение аффинной связности, индуцируемой оснащением (нормализацией) изучаемого многообразия, к теории поверхностей Vm проективного пространства и различных пространств Клейна, фундаментальная группа которых является подгруппой группы проективных преобразований, характеризует одно из главных направлений в дифференциально-геометрических исследованиях А.П.Нордена (см. [41]) и его школы.

Следует отметить, что А.П.Норден [41] при изучении геометрии гиперповерхности Vni с Рп использует две двойственные симметрические аффинные связности (первого и второго рода), индуцируемые при нормализации подмногообразия Vn\. Определение двойственных пространств с линейной (проективной, аффинной, нормальной) связностью, данное А.В.Столяровым с точки зрения инволютивного преобразования форм связностей их, позволило [58], [60], [62]:

Хг-а) расширить объемлющее пространство (проективное) до пространства проективной связности; б) рассматривать двойственные вопросы не только при нормализации подмногообразия, но и при различных других его оснащениях; в) проводить изучение вопросов двойственной геометрии оснащенных 6 как голономных, так и неголономных подмногообразий.

Предметом исследования настоящей работы являются линейные (аффинные и проективные) связности, индуцируемые в расслоениях на оснащенном подмногообразии и-мерного проективного пространства Рп, а также приложения этих связностей к изучению геометрии тканей (сетей) на нем; в качестве подмногообразий берутся:

1) регулярное распределение гиперплоскостных элементов ЧЯ, то есть неголономная гиперповерхность ( гл. II );

2) регулярная гиперповерхность Vnx ( гл. III ).

Задача сводится к изучению двойственной геометрии указанных подмногообразий, оснащенных в том или ином смысле, посредством исследования дифференциально-геометрических структур, индуцированных полями фундаментальных и оснащающих объектов их.

2. Актуальность темы.

Дифференциальная геометрия сегодня представляет собой обширную область исследований разнообразных структур на гладких многообразиях, в том числе оснащенных; в изучении последних одно из ведущих мест занимает теория связностей в однородных расслоениях.

Связность является одним из основных понятий дифференциальной геометрии; она устанавливает изоморфизм между слоями над различными точками базы в зависимости от линий, соединяющих эти точки.

Ряд работ Г.Ф.Лаптева в области дифференциальной геометрии относится к геометрии пространств с аффинной или проективной связностью; в них, следуя идеям Э.Картана, дается строгое определение аффинной или проективной связности на «-мерном многообразии Мп. Г.Ф.Лаптеву принадлежит фундаментальная теорема в теории связностей (см. [24], [27], [47]), вошедшая в научную литературу как теорема Картана-Лаптева: система пфаффовых форм ва устанавливает фундаментально7 групповую связность в расслоенном многообразии с базовыми формами со J и со структурной группой G, определенной инвариантными формами ва, тогда и только тогда, когда формы ва связаны структурными уравнениями п/э <3 ^ па дЬ л ас . 1 г, а „L Л К Du ~2^Ьс + — л iK О) acq ,

DcoJ=coKAC0JK, Clc = const.

В диссертационной работе с применением теории связностей в расслоенных пространствах в форме, данной Г.Ф.Лаптевым, путем преобразования так называемых базовых аффинных или проективных связностей, индуцируемых оснащением (в смысле А.П.Нордена [41], Э.Картана [84], Э.Бортолотти [82] ) регулярной гиперповерхности (как голономной, так и неголономной) в Рп, в разных дифференциальных окрестностях (до четвертого порядка включительно) получен и изучается ряд двойственных в смысле А.В.Столярова [62] пространств (кроме базовых) аффинной или проективной связности; найдены также приложения полученных двойственных аффинных связностей к изучению геометрии тканей (сетей) на данном подмногообразии.

Эти исследования являются актуальными, ибо, например, задача об интегрировании любой конечной системы дифференциальных уравнений с частными производными эквивалентна [25], [48] задаче об интегрировании некоторой системы Пфаффа (проблема Пфаффа [89]); прямым следствием последнего является важность изучения геометрии распределений (то есть неголономных подмногообразий).

Следует также заметить, что аналогичными исследованиями до настоящего времени почти никто не занимался; исключение составляют работы А.В.Столярова [65]-г [67], относящиеся к оснащенной голономной (только) гиперполосе Нт в Рп. 8

3. Цель работы.

Целью настоящего диссертационного исследования является решение следующих ключевых задач:

1) значительно обогатить теорию двойственных линейных связностей (аффинных, проективных), индуцируемых при классических оснащениях (оснащениях в смысле А.П.Нордена, Э.Картана, Э.Бортолотти) регулярной гиперповерхности - как неголономной (то есть распределения гиперплоскостных элементов 94), так и голономной Vn\, - погруженной в проективное пространство Рп;

2) найти приложения полученных двойственных аффинных связностей к исследованию геометрии тканей (сетей) на изучаемом подмногообразии, а именно, на распределении гиперплоскостных элементов SR и на гиперповерхности Vn\.

4. Методы исследования.

В диссертационной работе используются инвариантные методы дифференциально-геометрических исследований: метод продолжений и охватов Г.Ф.Лаптева [27] и метод внешних дифференциальных форм Э.Картана [48], [69]. Применение этих инвариантных методов позволило получить дифференциально-геометрические факты, связанные с дифференциальными окрестностями высоких (до четвертого) порядков.

Все результаты получены в минимально специализированной системе отнесения - в репере нулевого и первого порядков; благодаря этому результаты формулируются в инвариантной форме.

Отметим, что результаты по линейным связностям получены с применением теории связностей в расслоенных пространствах в форме, данной Г.Ф.Лаптевым [27], [28].

5. Научная новизна полученных результатов.

Научная новизна диссертационного исследования в значительной сте9 пени обусловлена с одной стороны, постановкой вопроса: изучение дифференциальной геометрии оснащенного подмногообразия (голономной и неголономной гиперповерхности) посредством исследования дифференциально-геометрических структур, индуцированных полями его фундаментальных и оснащающих объектов, а с другой стороны, использованием аналитического метода продолжений и охватов Г.Ф.Лаптева, позволяющего получить результаты в инвариантной форме; все это дало возможность обнаружить новые аспекты темы и получить ряд результатов в двойственной теории оснащенной гиперповерхности (как голономной, так и неголономной).

Результаты, полученные в работе, являются новыми; основные положения их заключаются в следующем:

1) изучается геометрия двойственных аффинных связностей, индуцируемых на нормализованном распределении гиперплоскостных элементов Ш в Рп, которые ранее на данном подмногообразии не рассматривались; найдены приложения их к исследованию двойственной геометрии (я-1)-тканей (в основном, сопряженных) на распределении (гл. II);

2) доказано, что на оснащенной в смысле Э.Картана (Э.Бортолотти) регулярной гипёрповерхности Vn\ а Рп в разных дифференциальных окрестностях индуцируются пять пространств проективной связности q Ч

Р n-l.n-l ),q = 1,5 (гл. Ill);

3) показано, что на оснащенной в смысле Нордена-Картана (Нордена-Бортолотти) регулярной гиперповерхности Vn\ с Рп пространство афq 1 финной связности Ап\ п\ (Ani ni) при каждом фиксированном q =1,5 является сужением соответствующего пространства проективной связносq q ти Рп-1,„1 (Pn-l,n-l) (гл. III);

10

4) исследуется внутренняя геометрия двойственных аффинных связа ностей V,V, а-1,6, индуцируемых на регулярной гиперповерхности Vni cz Pn,a. также приложения их к изучению двойственной геометрии сетей

В работе приведены доказательства всех основных выводов, которые сформулированы в виде теорем.

6. Теоретическая и практическая значимость.

Работа имеет теоретическое значение. Полученные в ней результаты могут быть использованы при исследовании подмногообразий, погруженных в пространства более общей (или подчиненной) структуры, при изучении пространств с линейной (аффинной, проективной) связностью, индуцированных оснащением изучаемых подмногообразий.

Теория, разработанная в диссертации, может быть использована в качестве специальных лекционных курсов для студентов старших курсов и аспирантов математических факультетов, а именно, спецкурсов:

1) по теории двойственных линейных связностей на оснащенных подмногообразиях классических пространств с фундаментальными группами или пространств с линейной связностью;

2) по теории распределений гиперплоскостных элементов и гиперповерхностей.

7. Апробация.

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на конференциях и семинарах по современным проблемам геометрии: на научных конференциях студентов, аспирантов и докторантов Чувашского государственного педагогического университета (Чебоксары, 1999^-2001гг.), на заседаниях научно-исследовательского семинара молодых исследователей по геометрии (Чувашский госпедуниверситет, Чебоксары, 2000 г.); на заседаниях IX Международной конференции «Математика. Образование.

11

Экономика. Экология» (Чебоксары, ЧГУ, 2001 г.), Международной научной молодежной школы-конференции «Лобачевские чтения» (Казань, 2001г.); на заседаниях научно-исследовательских семинаров при кафедре геометрии Нижегородского госуниверситета (2001г.), Казанского госуниверситета (2001г.).

8. Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в двенадцати работах [11] + [22].

9. Вклад автора в разработку избранных проблем.

Диссертация является самостоятельным исследованием автора. Все опубликованные работы по теме диссертации выполнены без соавторов.

1. Долгов СВ. Сопряженные и средние аффинные связности на регулярной гиперповерхности // Сб. науч. тр. докторантов, науч. работников, аспирантов и студентов. Чебоксары: ЧГПУ им. И.Я.Яковлева, 2000. - Вып. 7. - С. 30-35.

2. Долгов С.В. Сужения пространств проективной связности на оснащенной гиперповерхности И Сб. науч. тр. докторантов, науч. работников, аспирантов и студентов. Чебоксары: ЧГПУ им. И.Я.Яковлева, 2000. - Вып. 8. - С. 16-22.

3. Долгов С В. О двойственно-сопряженных аффинных связностях на регулярной гиперповерхности // Вестн. Чувашек, гос. пед. ун-та. Физ.-матем. науки. Чебоксары. - 2000. - № 1. - С. 35-40.

4. Долгов С.В. Двойственная внутренняя геометрия нормализованной гиперповерхности И ВИНИТИ РАН. 2000. - № 3041-В00 Деп. -22с.

5. Долгов С.В. Двойственные пространства проективной связности на оснащенной гиперповерхности // ВИНИТИ РАН. 2001. - № 764-В2001 Деп.-21с.

6. Долгов С.В. Пространства аффинной связности на распределении гиперплоскостных элементов // Вестн. Чувашек, гос. пед. ун-та. Физ.-матем. науки. Чебоксары. - 2001. - № 2. - С. 36-44.150

7. Долгов С.В. Двойственные проективные связности на сильно оснащенной гиперповерхности // Тезисы докл. 9-й Между нар. конф. «Математика. Образование. Экономика. Экология». Чебоксары: ЧГУ, 2001.-С. 41.

8. Долгов СВ. Двойственные аффинные связности на регулярном распределении гиперплоскостных элементов // ВИНИТИ РАН. -2001. № 1643-В2001 Деп. -26с.

9. Долгов СВ. (я-1)-ткани на голономном распределении гиперплоскостных элементов // ВИНИТИ РАН. 2001. - № 2006 -В2001 Деп. -20с.

10. Долгов С.В. Геодезические и чебышевские сети на нормализованной гиперповерхности проективного пространства И Материалы межд. науч. молодежной школы-конференции. Казань: Изд-во ДАС, 2001. С.84-85.

11. Домбровский Р.Ф. К геометрии касательно оснащенных поверхностей в Рп // Тр. геометр, семинара. Ин-т научн. информ. АН СССР. - 1974. - Т.6. - С. 171-188.

12. Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Т., Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Пробл. Геометрии /Итоги науки и техн. ВИНИТИ.-1979.-Т.9.-246 с.

13. Картам Э. Внешние дифференциальные системы и их геометрические приложения // Изд-во МГУ, 1962. 237с.

14. Лаптев Б.Л. Аффинная связность в пространстве тензорных опорных элементов // Уч. зап. Казанск. гос. ун-та, 1949. 109. - кн. 4. -С.187-216.

15. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Тр. Моск. матем. о-ва. 1953. - Т.2. - С. 275-382.

16. Лаптев Г. Ф. Многообразия, погруженные в обобщенные простран151ства// Тр. 4-го Всесоюзн. матем. съезда. 1964. - Т.2. - С. 226-233.

17. Лаптев Г.Ф. Распределения касательных элементов // Тр. Геометр, семинара / Ин-т научн. и техн. информ. АН СССР. 1971. - Т.З. -С. 29-48.

18. Лаптев Г.Ф., Остиану ИМ. Распределения m-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. I // Тр. геометр, семинара. Ин-т научн. информ. АН СССР. - 1971. - Т.З. -С. 49-94.

19. Либер Л.Е. К теории сетей в многомерном пространстве // Сб. научн. тр. « Дифференциальная геометрия » / Саратовск. ун-т. 1974. -Вып. 1.-С. 72-84.

20. Либер Л.Е. О чебышевских сетях и чебышевских пространствах // Тр. семинара по векторн. и тензорн. анализу . 1974. - Вып. 17. -С. 177-183.

21. Линъкова Г.Н. О сетях на гиперповерхностях эквиаффинного пространства // Геометрия. Л. - 1975. - Вып. 4. - С. 107-119.

22. Лумисте Ю.Г. Теория связностей в расслоенных пространствах // Алгебра. Топология. Геометрия (1969) / Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР. 1971. - С. 187-213.

23. Лумисте Ю.Г. Проективные связности в канонических расслоениях многообразий плоскостей. Матем. сб. - 1973. - Т.91. - № 2. -С. 211-233.

24. Лумисте ЮТ. Дифференциальная геометрия подмногообразий // Алгебра. Топология. Геометрия / Итоги науки ВИНИТИ АН СССР. 1975. - Т.13. - С. 273-380.

25. Лумисте Ю.Г. Распределения на однородных пространствах // Пробл. геометрии / Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР. -1977.-Т.8.-С. 5-24.152

26. Малаховский B.C. К геометрии касательно оснащенных подмногообразий // Изв. вузов. Матем. 1972. - № 9. - С. 54-65.

27. Навицкис КВ. Внутренние оснащения распределения гиперплоскостей на грассмановом многообразии // Литовск. матем. сб. 1981. -Т.21. - № 2. - С. 153-161.

28. Нейфелъд Э.Г. Аффинные связности на нормализованном многообразии плоскостей проективного пространства // Изв. вузов. Матем. -1976. -№ 11.-С. 48-55.

29. Норден А.П. Пространства аффинной связности. М.: Наука, 1976.-432с.

30. Остиану Н.М. О геометрии многомерной поверхности проективного пространства // Тр. геометр, семинара. Ин-т научн. информ. АН СССР. - 1966. - Т. 1.-С. 239-263.

31. Остиану Н.М. Инвариантное оснащение поверхности, несущей сеть // Изв. вузов. Матем. 1970. - № 7. - С. 72-82.

32. Остиану Н.М. Распределения m-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. II // Тр. геометр, семинара. -Ин-т научн. информ. АН СССР. 1971. - Т.З. - С. 95-114.

33. Остиану Н.М. Распределение гиперплоскостных элементов в проективном пространстве // Тр. геометр, семинара. Ин-т научн. информ. АН СССР. - 1973. - Т.4. - С. 71 -120.

34. Остиану Н.М. Дифференциально-геометрические структуры на дифференцируемых многообразиях // Пробл. геометрии / Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР. 1977. - Т.8. - С. 89-111.

35. Остиану Н.М., Рыжков В.В., Швейкин П.И. Очерк научных исследований Германа Федоровича Лаптева // Тр. геометр, семинара. Ин-т научн. информ. АН СССР. 1973. - Т.4. - С. 7-70.

36. Шуликовский В.И. Классическая дифференциальная геометрия. — М: Физматгиз, 1963. 540с.

37. Шуликовский В.И. Проективная теория сетей. Изд. Казанск. ун-та, 1964.-78с.

38. Шулъман Т.А. Об инвариантных сетях на гиперповерхности в четырехмерном проективном пространстве // Изв. вузов. Матем. -1964. -№ 5.-С. 137-142.

39. Bortolotti Е. Connessioni nelle varieta luogo di spazi; applicazione alia geometria metrika differenziale delle congruenze di rette // Rend. Semin. Fac. Sci. Univ. Cagliari. 1933.-V.3.- P.81-89.

40. Cartan E. Les groups d'holonomie des espaces generalises // Acta math. 1926. - V.48. - P. 1-42. ( см. русск. перевод: Картан Э., Группы голономии обобщенных пространств. Казань, 1939).

41. Cartan Е. Les espaces a connexion projective // Тр. семинара по век-торн. и тензорн. анализу /МГУ. 1937. - Вып. 4. - С. 147-159.

42. Ehresmann С. Les connections infinitesimales dans un espace fibre dif-ferentiable // Collque de Topologie. Bruxelles, 1950. - P. 29-55.

43. Konig R. Beitrage zu einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre. Jahresb // d. Deutch. Math. Ver. 1920. - V.28. - P. 213-228.

44. Levi-Civita T. Nozioni di parallelismo in una varieta qualinque e conse-guente specificazione geometrica del la curvatura Riemannianna. Rend, circ. matem. Palermo, 1917. - V.42. - P. 173-205.

45. Mihailescu T. Geometrie differentiala projectiva // Bucure§ti Acad. RPR. 1958. - 494p.

46. PfaffJ. Berl. Abh. - 1814. - S.76-135.

47. Schouten J.A. Ricci Calculus. An introduction to tens analysis and its geometrical applications. 2-nd ed // Berlin. Gottingen - Heidelberg. -Springer. - 1954.

48. Weyl H. Raum, Zeit, Materie. Berlin, 1918.