Связности на оснащенных многомерных поверхностях в конформном пространстве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Зверева Татьяна Витальевна

СВЯЗНОСТИ НА ОСНАЩЕННЫХ МНОГОМЕРНЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ В КОНФОРМНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

01.01.04 — геометрия и топология

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

\

Казань-2011

4850690

Работа выполнена на кафедре геометрии ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева»

Защита состоится 29 сентября 2011 года в 14 часов 30 минут в ауд. 337 НИИММ им. Н. Г. Чеботарева на заседании диссертационного совета Д. 212.081.10 при Казанском (Приволжском) федеральном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. проф. Нужина, д. 1/37.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Казанского (Приволжского) федерального университета (г. Казань, ул. Кремлевская, 18).

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Столяров Алексей Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Малаховский Владислав Степанович

кандидат физико-математических наук, профессор

Султанов Адгам Яхиевич

Ведущая организация:

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Автореферат разослан «_ июня 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета канд. физ.-мат. наук, доцент

Липачев Е. К.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Постановка вопроса и актуальность темы. Конформно-дифференциальная геометрия трехмерного пространства зародилась внутри классической дифференциальной геометрии в конце XIX века в работах Дарбу, Рибокура и других геометров.

В 1924 г. появляется работа Томсена [24], в которой для изучения конформно-дифференциальной геометрии поверхностей применяются лентасферические координаты и тензорное исчисление. Э. Картан [20] вводит понятие и-мерного пространства конформной связности. В это же время теория многомерных пространств конформной связности разрабатывается в работах Т. И. Томаса, И. М. Томаса и ряда других геометров. С. Сасаки в 1939-40 гг. развивает теорию кривых и гиперповерхностей в пространстве конформной связности. К. Яно в работах [26], [27] изучает конформную геометрию т -мерной поверхности в п -мерном римановом пространстве, строит инвариантные тензоры, связанные с ее окрестностью второго порядка. А. Фиалков [22] в 1944 г. построил полную систему конформно-инвариантных тензоров от-мерной поверхности и-мерного риманова пространства. Однако в большинстве перечисленных работ конформно-дифференциальная геометрия многомерных поверхностей строится средствами евклидовой и римановой геометрий, что сильно осложняет геометрическое истолкование полученных результатов.

Новый этап в развитии конформно-дифференциальной геометрии связан с работами отечественных геометров, а именно, с работами с применением к конформной геометрии общей теории образов симметрии в однородных пространствах Б. А. Розенфельда [12], общей теории нормализованных поверхностей А. П. Норде-на [9], [10], общей теории многообразий в однородных пространствах и в пространствах со связностями Г. Ф. Лаптева [5], [6].

Метод Г. Ф. Лаптева был применен М. А. Акивисом [1], [2] к построению основ инвариантной теории гиперповерхностей, т-мерных поверхностей и-мерного конформного и псевдоконформного пространств. А. П. Норден [3], [9], [10] получил существенные результаты по конформно-дифференциальной геометрии различных подмногообразий. В работах А. В. Столярова [13], [14] изучается внутренняя геометрия ряда подмногообразий конформного пространства С„ и пространства конформной связности СЛ1„, оснащенных в том или ином смысле. В. Д. Третьяков [15] в псевдоконформном пространстве 'С„ рассматривает поверхность Ут, нормализованную гармонически; приводятся деривационные уравнения для этой поверхности, изучаются частные типы таких поверхностей. И. В. Парнасский [11] в полуконформном пространстве рассматривает /и-мерную поверхность У„; показано, что при соответствующем оснащении на поверхности У„ индуцируется полуконформная связность. Л. Ф. Филоненко [16] рассматривает распределение /и-мерных линейных элементов в (тг-1)-мерном конформном пространстве, используя, в основном, его проективную интерпретацию. Исследования А. Н. Михайловой [8] посвящены изучению некоторых вопросов линейных связностей на оснащенной гиперполосе конформного пространства. Т. Н. Глухова (Андреева) [14] исследует линейные связности (аффинные, конформные, нормальные), индуцируемые различными оснащениями гиперповерхности в конформном пространстве. А. М. Матвеевой в работе [7] разработаны основы теории линейных связностей на распределениях гиперплоскостных элементов в конформном пространстве С„.

В дифференциальной геометрии важное место занимает теория связностей в расслоенных пространствах, а также ее применение при исследовании оснащенных подмногообразий, погруженных в различные пространства.

История теории связностей начинается с 1917 г. с работы Т. Леви-Чивита [23] о параллельном перенесении вектора в римановой геометрии. Г. Вейль [25] для построения единой теории поля ввел понятие пространства аффинной связности. Новый этап в развитии теории связностей открыли работы Э. Картана в 20-х годах XX века, в которых касательные векторные пространства заменялись аффинными, проективными или конформными пространствами. В середине XX века В. В. Вагнер [4] и Ш. Эресман [21] независимо друг от друга ввели общее понятие связности в расслоенном пространстве.

Для изучения геометрии многомерных поверхностей проективного пространства и других однородных пространств, фундаментальная группа которых является подгруппой проективной группы, А. П. Норден разработал метод нормализации [9], [10], который позволил в касательных расслоениях подмногообразий проективного пространства индуцировать аффинные связности без кручения. Г. Ф. Лаптев [5], следуя идеям Э. Картана, линейные связности определяет как множества отображений бесконечно близких слоев расслоения, соответствующих касательным векторам базисного многообразия.

Понятие нормальной связности нормализованного подмногообразия в проективном пространстве ввел А. П. Норден [10] (внешняя связность). Большой вклад в развитие теории нормальных связностей внес А. В. Чакмазян [18], [19].

Объектом исследования настоящей работы являются гиперповерхность Уя_, пространства конформной связности С„„ и многомерная поверхность Ут, погруженная в конформное пространство С„ (псевдоконформное или собственно конформное), а также линейные связности (аффинные, нормальные, конформные), индуцируемые различными оснащениями (нормальным, касательным, полным) указанных поверхностей.

Теория конформного пространства С„ и вложенных в него поверхностей к настоящему времени разработана достаточно полно. Однако, изучение линейных связностей, индуцируемых различными оснащениями многомерных поверхностей, до настоящего времени оставались слабо изученными. Вопросы разработки теоретических и практических положений по изучению линейных связностей на оснащенной поверхности в конформном пространстве, а также гиперповерхности пространства конформной связности представляют большой научный интерес и являются актуальными в связи с возможными приложениями полученных результатов в математике, механике и физике.

Цель работы. Целью настоящего диссертационного исследования является инвариантное построение основ теории линейных связностей, индуцируемых различными оснащениями многомерной поверхности V,,,, погруженной в «-мерное конформное пространство Сп, а именно:

1) построение в разных дифференциальных окрестностях инвариантных внутренним образом определяемых нормальных, касательных, полных оснащений по-

верхности Ут в конформном пространстве С„, а также гиперповерхности У„_, пространства конформной связности С„ „;

2) разработка основ теории линейных связностей (аффинных, нормальных, конформных), определяемых различными оснащениями рассматриваемых поверхностей;

3) приложение аффинной связности, индуцируемой нормальным оснащением многомерной поверхности Ут в С„, к изучению геометрии сетей на подмногообразии Ут.

Методы исследования. Теория оснащенных многомерных поверхностей развивается инвариантными методами дифференциально-геометрических исследований, а именно, методом продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева [5] и методом внешних дифференциальных форм Э. Картана [17]. Следует отметить, что результаты по теории линейных связностей получены с применением теории связностей в расслоенных пространствах в форме, данной Г. Ф. Лаптевым [5], [6].

Все результаты получены в минимально специализированной системе отнесения, что позволило получить их в инвариантной форме. Рассмотрения в диссертации проводятся с локальной точки зрения. Все встречающиеся функции предполагаются достаточное число раз дифференцируемыми (то есть изучаемые подмногообразия достаточно гладкие), а при доказательстве теорем существования — аналитическими.

Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертационном исследовании в ходе решения поставленных задач, являются новыми. Научная новизна обусловлена тем, что изучением геометрии линейных связностей, индуцируемых оснащением многомерной поверхности конформного пространства и гиперповерхности пространства конформной связности, геометры раннее почти не занимались.

Использование аналитического метода продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева и исследование дифференциально-геометрических структур, индуцируемых полями фундаментальных и оснащающих объектов рассматриваемых подмногообразий, позволило получить новые существенные результаты в теории оснащенных гиперповерхности пространства конформной связности С„ „ и многомерной поверхности конформного пространства С„.

В диссертационной работе приведены доказательства всех основных выводов, которые сформулированы в виде теорем.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа имеет теоретическое значение. Полученные в ней результаты могут быть использованы при изучении геометрии различных многообразий, погруженных в пространства более общей структуры (например, в пространство конформной связности).

Теория, разработанная в диссертации, может быть использована в качестве специальных и факультативных лекционных курсов для студентов старших курсов и аспирантов математических факультетов, а также при выполнении ими курсовых, дипломных и научных работ.

Апробация. Основные результаты диссертационного исследования докладываг лись и обсуждались на следующих конференциях и семинарах по современным проблемам геометрии: на заседаниях научно-исследовательского семинара молодых исследователей при кафедре геометрии Чувашского государственного педагогического

университета им. И. Я. Яковлева (2007-2010 гг.), на научно-практических конференциях преподавателей, докторантов и аспирантов Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева (2007-2010 гг.), на XXIV Всероссийской конференции обучающихся «Национальное достояние России» (Московская обл., п. Непецино, 2009 г.) (работа удостоена диплома Г степени), на XLVII и XLVIII Международных научных студенческих конференциях «Студент и научно-технический прогресс» (г. Новосибирск, 2009г. и 2010 г.), на 10-ой Международной конференции «Актуальные проблемы современной науки» (г. Самара, 2009 г.), в Восьмой молодежной школе-конференции «Лобачевские чтения - 2009» (г. Казань, 2009 г.), на III Всероссийской научно-практической конференции «Фундаментальные науки и образование» (г. Бийск, Алтайский край, 2010 г.), на I Международной научно-практической конференции «Наука и современность -2010» (г. Новосибирск, 2010), на Международной конференции «Геометрия в 0дессе-2010» (г. Одесса, 2010), на Международной конференции «Геометрия, топология, алгебра и теория чисел, приложения» (г. Москва, 2010).

Публикации. Основные научные результаты, включенные в диссертационную работу, опубликованы в 18 печатных работах автора(см. [1]-[18]).

Вклад автора в разработку избранных проблем. Диссертационная работа является самостоятельным исследованием автора. Все опубликованные научные работы по теме исследования выполнены без соавторов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения (исторический обзор, общая характеристика диссертации, содержание диссертации), трех глав и списка литературы, включающего 115 наименований. Полный объем диссертации составляет 121 страницу машинописного текста

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В главе I изучаются линейные связности на оснащенной гиперповерхности в пространстве конформной связности С„„.

В §§ 1, 2 главы I приводится материал, носящий реферативный характер и необходимый для дальнейшего изложения.

В § 3 записываются дифференциальные уравнения гиперповерхности Vn_x вСпп. В третьей дифференциальной окрестности построены 3 полных оснащения гиперповерхности, определенных внутренним образом.

§ 4 посвящен изучению аффинных связностей на нормально оснащенной гиперповерхности в пространстве конформной связности С„„. Показано, что при

нормальном оснащении гиперповерхности в С„ п полем квазитензора {х,0} индуцируется пространство аффинной связности Доказано, что вейлево пространство An_¡ = является обобщенно римановым с полем метрического тензора gtJ тогда и только тогда, когда обращается в нуль кососимметричный тензор Ту (теорема 1.4). Класс таких пространств не пуст; например, пространство аффинной связности Д,ч„_,, индуцируемое нормальным оснащением гиперпо-

а

верхности Vn í с С„ „ полем любого из квазитензоров ак, Ак (а =1,2) третьего по-

рядка. Показано, что при нормальном оснащении гиперповерхности Vn_x, вложен-

0

ной в эквиконформное пространство С„ „, индуцируется риманово пространство

о

А-1 »1-1 с полем метрического тензора g{J тогда и только тогда, когда кососиммет-ричный тензор j обращается в нуль; в частности, при нормальном оснащении

О а

гиперповерхности VnA с полем любого из квазитензоров ак, Ак (а =1,2)

о

третьего порядка пространство An_[/tA является римановым.

Путем преобразования структурных форм {¡9¿, в/] аффинной связности V пространства //„_,„.., найдены две аффинные связности V и V, индуцируемые нормальным оснащением гиперповерхности F„_, пространства конформной связности С„ „; приведены строения компонент тензоров кривизны и кручения соответствующих пространств аффинной связности. Доказано, что аффинные связности V и V, V и V сопряжены относительно полей тензоров соответственно а," и A¡j второго порядка (теоремы 1.6 и 1.7)

В § 5 главы I изучаются конформные связности, индуцируемые касательным и полным оснащениями гиперповерхности Vn_¡ пространства конформной связности С„„. Доказано, что инвариантное касательное оснащение гиперповерхности с C„¿, полем гиперсфер Р„ индуцирует пространство конформной связности СпЛ „_, с полем метрического тензора g{] (теорема 1.8). Все точки каждого слоя пространства конформной связности C„_i„_l, индуцируемого при касательном оснащении гиперповерхности Vn_x с Си „ полем гиперсфер Р„, при перенесении Дарбу отображаются в точки квадрики Дарбу QÍ-i с P„+i > получающейся пересечением гиперквадрики Дарбу Ql с Р„+1 с полярой точки Р„ относительно этой гиперквадрики.

Показано, что если задано полное оснащение гиперповерхности VnA с. Cnj¡ полями квазитензоров х,°, то индуцируется нормализованное пространство конформной связности С„_, „_i (теорема 1.10). В случае, когда полное оснащение подмногообразия Fr¡_¡ является невырожденным (то есть основной тензор нормализации а?к невырожден), то индуцируется второе пространство конформной связности <?„_[„_!, метрический тензор которого совпадает с метрическим тензором gtJ пространства Cn_,„_, (теорема 1.11); приведены строения компонент тензора кривизны-кручения пространства C„.lin_i ■

§ 6 посвящен изучению нормальных связностей на гиперповерхности пространства конформной связности Спп. На нормально оснащенной гиперповерхности в расслоении окружностей [/¡] найдены две нормальные связности V1

и V1; приведены строения тензоров кривизны-кручения соответствующих пространств. Доказаны следующие предложения (теоремы 1.12,1.13): V 7

- на нормально оснащенной полем квазитензора х,° гиперповерхности УпА, вложенной в пространство конформной связности С„ „, в расслоении окружностей [/}] индуцируется нормальная связность Vх, определяемая системой форм

{0°, 0"}; форма [&"„} определяет подсвязность Vх связности Vх. Для каждого соответствующего пространства нормальной связности найдены строения тензоров кривизны-кручения;

- нормальная подсвязность Vх связности Vх, индуцируемой нормальным оснащением гиперповерхности Уп_л с , - плоская (то есть связность Vх - полуплоская) тогда и только тогда, когда вейлево пространство = является обобщенно римановым с полем метрического тензора gij.

При одном частном преобразовании слоевых форм нормальной связности Vх (тензор Н"к - нулевой) построена нормальная связность Vх, найдено строение тензора кривизны-кручения соответствующего пространства нормальной связности. Построен охват тензора Н^, при котором связность Vх определяется внутренним образом. Доказано (теорема 1.15), что при этом охвате связности V1 и Vх, индуцируемые в расслоении окружностей [/}] при нормальном оснащении гиперповерхности Кп_, с С„„ полем квазитензора х°, имеют одинаковые тензоры кривизны-кручения тогда и только тогда, когда обращается в нуль кососимметричный тензор 7к°,.

Путем общего преобразования слоевых форм нормальной связности Vх (тензор Н"к - ненулевой), которое возможно лишь при полном оснащении гиперповерхности У„_, в Спп, получена другая нормальная связность Vх.

В главе II рассматриваются две аффинные связности на нормально оснащенной многомерной поверхности Ут в конформном пространстве С„ (т < п -1) и получено приложение одной из них к изучению внутренней геометрии сетей на подмногообразии У„.

В § 1 найдены дифференциальные уравнения т -мерной поверхности конформного пространства. Доказано, что с и-мерной поверхностью Ут (т<п-1) и-мерного конформного пространства С„ инвариантным образом ассоциируется т -мерная гиперполоса кривизны Нт, для которой исходная поверхность является базисной.

В п. 3 § 1 в третьей дифференциальной окрестности построены 5 полных оснащений многомерной поверхности, определенных внутренним образом. Доказано, что нормальное оснащение поверхности Ут с С„ при отображении Дарбу в пространстве Р„+1 индуцирует взаимным и двойственным образом нормализованную регулярную т -мерную квадратичную гиперполосу Нт с Р„+1, для которой базисной поверхностью является образ Ут с (9П2 подмногообразия Ут и полем характеристик семейства касательных к 0% гиперплоскостей в точках А0 е Ут служит поле («-от)-мерных плоскостей Пп_п,(А0)= [А0,Аа] (теорема П.З).

§ 2 главы II посвящен аффинным связностям, индуцируемым нормальным оснащением поверхности Ут в конформном пространстве С„. Доказано, что пространство аффинной связности Ат т без кручения, индуцируемое нормальным оснащением поверхности Ут сС„, является вейлевым IVт с полем метрического тензора gij и дополнительной формой 0 = ю^ - ; это пространство является эквиаффинным, а, следовательно, римановым тогда и только тогда, когда обращается в нуль кососимметричный тензор (теорема 11.4). Для пространства Ат т без кручения найдено строение тензора кривизны. Пространство аффинной связности Ат т, индуцируемое нормальным оснащением поверхности Ут с С„ полем

^ а _

любого из квазитензоров Мк, Ак (а = 1,4) третьего порядка, является римановым с полем метрического тензора .

С помощью преобразования структурных форм (о^, 0/} связности V про-

1

странства Ат т получена вторая аффинная связность V, индуцируемая нормальным оснащением поверхности Ут в С„; найдено строение компонент тензора

1

кривизны-кручения соответствующего пространства Ат,т. Доказано, что аффин-1

ные связности V и V сопряжены относительно поля симметричного тензора второго порядка AjJ (теорема 11.6). Если пространство аффинной связности Ат,т - без

кручения, то вейлево пространство 1Ут является римановым тогда и только тогда, 1

когда пространство Ат,т является эквиаффинным (теорема 11.7).

§ 3 посвящен приложению аффинной связности V пространства Атт к изучению внутренней геометрии сетей, заданных на многомерной поверхности Ут в конформном пространстве С„.

В п. 1 § 3 приведены дифференциальные уравнения сети на подмногообразии Ут, рассмотрены некоторые порождаемые ею инвариантные геометрические образы (псевдофокальные гиперсферы ортогональной сети, гармонические гиперсферы Доказано, что поле гармонических (и-т)-сфер сети £ш> заданной на поверхности Утс.С„, внутренним образом определяет нормальное оснащение поверхности Ут конформного пространства С„ (теорема Н.9). Найден геометрический смысл гармонических гиперсфер ортогональной сети: каждая из т гармонических гиперсфер ^ ортогональной сети есть среднее арифметическое псевдофокальных гиперсфер Fj касательной А0А1 к линии ю'0 сети.

В п. 2 § 3 найдено необходимое и достаточное условие, при котором поверхность У„аСп (2<т<п~\), несущая ортогональную сопряженную сеть 2М, является т -сопряженной системой (теорема И. 10).

В п. 3 § 3 изучается сеть линий кривизны на поверхности Vm в конформном пространстве С„ ; приведена геометрическая характеристика главных направлений и линий кривизны на многомерной поверхности Vm в С„.

В п. 4 § 3 рассмотрено параллельное перенесение направления AaAt касательной к /-й линии ортогональной сети на m -мерной поверхности Vm в конформном пространстве Сп вдоль ее у'-й линии в аффинной связности V, индуцируемой нормальным оснащением поверхности Vma.Cn. Введены в рассмотрение геодезические и чебышевские сети в аффинной связности V, получены аналитические условия, характеризующие эти сети. Доказаны следующие предложения:

- если нормально оснащенная полем квазитензора xf поверхность Ут с-Сп несет ортогональную геодезическую сеть Im в аффинной связности V, то она является сетью с совпавшими псевдофокальными гиперсферами и данное оснащение будет нормальным оснащением полем ее гармонических (п-т) сфер (теорема 11.13);

- если ортогональная сеть 2т с Vm с С„ есть сеть с совпавшими псевдофокальными гиперсферами, то при нормальном оснащении поверхности Vm с С„ полем ее гармонических {п-т) сфер [F,] данная сеть является геодезической относительно аффинной связности V (теорема 11.14);

- если нормально оснащенная полем квазитензора .г,° поверхность Vm с Сп несет ортогональную чебышевскую сеть £„, в аффинной связности V, то эта сеть является геодезической, причем данная нормализация будет нормализацией полем гармонических (п-т) сфер [fj сети.

- поверхность Vm с: С„ (2<т<п-\) является поверхностью, несущей ортогональную сопряженную чебышевскую сеть тогда и только тогда, когда она является m -сопряженной системой, несущей геодезическую сеть.

В п. 5 § 3 исследуются ортогональные сопряженные чебышевские сети на поверхности Vm в конформном пространстве С„ (я >4), а также приводится частный случай 2-мерной поверхности V2 с Сп.

Доказаны теоремы существования рассмотренных классов сетей (теоремы II.8,11.11,11.17).

Глава III посвящена изучению нормальных и конформных связностей, индуцируемых оснащением многомерной поверхности Vm в конформном пространстве С„.

В § 1 главы III рассматриваются конформные связности, индуцируемые касательным и полным оснащениями m -мерной поверхности Vm в конформном пространстве С„.

В п. 1 § 1 доказано, что инвариантное касательное оснащение поверхности Vm конформного пространства С„ полем m -сфер [Ра] индуцирует пространство конформной связности Стт с полем метрического тензора g:J, определяемое системой (т + 2)2 форм Пфаффа; при этом пространство Стт является эквиконформ-ным, и имеют место аналоги тождеств Риччи (теорема III.1). Найдено строение тензора кривизны - кручения пространства конформной связности Ст т. При пе-

ренесении Дарбу пространства С„ на проективное пространство Ря+1 все точки каждого слоя пространства конформной связности Стт отображаются в точки квадрики , получающейся при пересечении гиперквадрики Дарбу ()* с полярой (п - т -1) -мерной плоскости [Ра]сР„+1 относительно этой гиперквадрики (теорема 111.2).

В п.п. 2,3 § 1 доказано, что инвариантное полное оснащение поверхности Ут в С„ полями квазитензоров х° задает нормализацию пространства конформной связности С„, ,„, определяемую полем (и - т) -сфер [/>] (теорема Ш.З). Если полное оснащение поверхности Ут с С„ является невырожденным (то есть основной тензор невырожден), то индуцируется второе пространство конформной связности 1

С„ т, метрический тензор которого совпадает с метрическим тензором gIJ пространства Ст т (теорема Ш.4); приведены строения компонент тензора кривизны -1

кручения пространства Ст т .

В начале § 2 главы III найдены слоевые формы {0°, ©£} нормальной связности V1, определяемой в расслоении поля (п-т)-сфер [Р(] при нормальном оснащении поверхности Ут в С„ полем квазитензора х°. Преобразование этих слоевых форм позволяет найти другую нормальную связность V1, причем эти преобразования зависят от двух полей тензоров {} и { Н^, }.

__ I

При Я^=0, Н^Ф О нормальную связность Vх обозначим через V1, при

__ 2

Н^ф 0, = Я^Хр связность У1 обозначим V1. В каждом из этих случаев

найдены строения компонент тензоров кривизны - кручения соответствующих пространств нормальной связности.

В п. 1 § 2 доказаны следующие предложения:

- если нормальная подсвязность V1 связности V1, индуцируемая нормальным оснащением поверхности УтсС„,- плоская (то есть V1 - полуплоская), то вейлево пространство — риманово; при т = п-2 утверждение имеет и обратную силу (теорема Ш.6);

А

- если нормальная подсвязность Vх ( Vх) связности Vх, индуцируемая нормальным оснащением многомерной поверхности Ут с С„, - плоская (полуплоская), то вейлево пространство И'т - риманово; при т-п-2 утверждение имеет и обратную силу;

- при т = п-2 нормальная подсвязность Vх - плоская (то есть связность Vх - полуплоская), если поверхность К„_2 в конформном пространстве С„ осна-

— а -

щена полем любого из квазитензоров Мк, Ак (а = 1,4) третьего порядка;

- при т = п~2 нормальная подсвязность Vх - плоская (то есть связность Vх - полуплоская), если поверхность К„_2 с Сп нормально оснащена полем любого из квазитензоров Мк, Ак (а = 1,4) 3-го порядка.

1

В п. 2 § 2 построен охват тензора Н°к, при котором нормальная связность Vх определяется внутренним образом.

2

В п. 3 § 2 доказано, что нормальная связность V1, индуцируемая полным оснащением многомерной поверхности Vmc С„ (т<п- 1)с заданным на ней полем

ненулевого тензора Н'1к с нулевыми компонентами Н"к и Hvnk, допускающим об-

dej

ращение в нуль тензора Х°к = х°к -х°хк -х}Как, является плоской тогда и только

тогда, когда она полуплоская (теорема III.9). Построен охват тензора//^, при кото-2

ром нормальная связность У1 определяется внутренним образом.

1 2

В § 3 главы Ш нормальные связности V"1, V1, V1 рассмотрены на регулярной квадратичной гиперполосе Нт в проективном пространстве Р„+|, ассоциированной с многомерной поверхностью Vm в конформном пространстве С„.

В п. 1 § 3 в нормали первого рода N„_m+1 =[А0,Аа,Х^+1] гиперполосы Нт в Р„+1 найдена инвариантная прямая /г = [A0,N„+1], внутренним образом определяемая во второй дифференциальной окрестности.

В п. 2 § 3 найдено условие параллельности поля направлений [А0,м], принадлежащего полю нормалей первого рода квадратичной гиперполосы Нт в Рл+1, в нормальной связности Vх при смещении вдоль любой кривой, принадлежащей поверхности Vm в Р„+]. Доказаны следующие предложения:

- при любом нормальном оснащении поверхности F„_2 с С„ поле 2-мерных характеристик [А0, А„_,, А„] гиперполосы Н„_2сР„+1 параллельно переносится в

нормальной связности V1 (теорема 111.10); это утверждение сформулировано на языке конформного пространства (теорема III.10 ): при любом нормальном оснащении поверхности а Сп поле 2-параметрической связки касательных гиперсфер Q = rfAa +ц°А0 подмногообразия V„_2 параллельно переносится в нормальной связности Vх;

- поле инвариантных прямых /z = [A0,N„+1] на гиперполосе Нт сРл+,, определяемое полем квазитензора является параллельным в нормальной связности Vх тогда и только тогда, когда тензор А*+1к обращается в нуль (теорема 1П.11); это утверждение сформулировано на языке конформного пространства (теорема 111.11*): поле инвариантных связок касающихся между собой в точках Ад е Vm гиперсфер /, = 5"+1Лг„+1 определяемое полем квазитензора х°, является параллельным в нормальной связности Vх тогда и только тогда, когда тензор А^1к обращается в нуль.

Условие параллельности поля направлений [А0,М], принадлежащего полю нормалей первого рода квадратичной гиперполосы Нт в Рп+1, записано также отно-

I 2

сительно нормальных связностей Vх, Vх; для этих связностей справедливы аналоги теорем ШЛО, 111.11.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. В разных дифференциальных окрестностях построены инвариантные внутренним образом определяемые оснащения гиперповерхности Кп_, в пространстве конформной связности Спп и многомерной поверхности Vm (т<п-\) в конформном пространстве С„.

2. Построены основы теории линейных связностей (аффинных, нормальных и конформных), индуцируемых различными оснащениями гиперповерхности К„_, в С„ „ и т -мерной поверхности Vm в С„; в частности:

- доказано, что аффинная связность V, индуцируемая нормальным оснащением поверхности Vm в С„, является вейлевой, найдено условие, при котором она яв-

1

ляется римановой; получена вторая аффинная связность V, индуцируемая тем же нормальным оснащением поверхности Vm с С„;

- касательное оснащение многомерной поверхности Vm в С„ индуцирует пространство конформной связности Стт с полем метрического тензора gtj; оно является эквиконформным и выполняются аналоги тождеств Риччи;

- невырожденное полное оснащение т -мерной поверхности Vm в Сп инду-

1

цирует второе пространство конформной связности с п .74, метрическнн гснзор ко~ торого совпадает с метрическим тензором пространства С„, m;

2_

- при т = п- 2 найдены условия, при которых нормальные связностиVх, Vх на вполне оснащенной поверхности Vm в С„ являются полуплоскими;

- получены условия параллельности гладкого поля направлений в нормальных

1 2

связностях Vх, Vх , Vх .

3. Найдено приложение аффинной связности V к изучению внутренней геометрии сетей на подмногообразии Vm.

Список литературы

[1] Акивис М. А. Инвариантное построение геометрии гиперповерхности конформного пространства / М. А. Акивис // Матем. сб. - М., 1952. - Т. 31. - № 1. -С. 43-75.

[2] Акивис М. А. К конформно-дифференциальной геометрии многомерных поверхностей / М. А. Акивис//Матем. сб.-М., 1961.-Т. 53.-№ 1.-С. 53-72.

[3] Бушманова Г. В. Элементы конформной геометрии / Г. В. Бушманова, А. П. Норден. - Казань : Изд-во Казанск. ун-та, 1972. - 178 с.

[4] Вагнер В. В. Теория составного многообразия I В. В. Вагнер // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. - М.: МГУ, 1950. - Вып. 8. - С. 11-72.

[5] Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий / Г. Ф. Лаптев // Труды Моск. матем. о-ва: сб. ст. - 1953. - Т. 2. - С. 275-382.

[6] Лаптев Г. Ф. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований / Г. Ф. Лаптев // Труды 3-го Всес. матем. съезда. -М„ 1958.-Т. 3. - С. 409-418.

[7] Матвеева А. М. Линейные связности на оснащенном распределении гиперплоскостных элементов в конформном пространстве / А. М. Матвеева // Известия вузов. Матем. - Казань, 2008. -№ 7. - С. 79-84.

[8] Михайлова А. Н. Линейные связности на частично оснащенной гиперполосе конформного пространства / А. Н. Михайлова // ВИНИТИ РАН. - М., 2001. -№719.-В2001.- 19 с.

[9] Норден А. П. О нормализованных поверхностях конформного пространства / А. П. Норден // Изв. АН СССР. Сер. Матем. - 1950. - Т. 14. - № 2. -С. 105-122.

[10] Норден А. П. Пространства аффинной связности / А. П. Норден. - М.: Наука, 1976.-432 с.

[11] Парнасский И. В. Связность на «-поверхностях полуконформного пространства/И. В. Парнасский //В сб. «Геометрия». -Л., 1976. - Вып. 5.-С. 95-100.

[12] Розенфельд Б. А. Дифференциальная геометрия образов симметрии / Б. А. Розенфельд // ДАН СССР. - 1948. - Т. 59. - № 6. - С. 1057-1060.

[13] Столяров А. В. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований и его приложения / А. В. Столяров. - Чебоксары: Чуваш, гос. пед. ун-т, 2002. - 204 с.

[14] Столяров А. В. Конформно-дифференциальная геометрия оснащенных многообразий / А. В. Столяров, Т. Н. Глухова. - Чебоксары : Чуваш, гос. пед. ун-т, 2007.-180 с.

[15] Третьяков В. Д. К вопросу о гармонических нормализациях поверхностей в конформно-евклидовых пространствах / В. Д. Третьяков // Волжск, матем. сб. -1968.-Вып. 6.-С. 247-253.

[16] Филоненко Л. Ф. Распределение m-мерных линейных элементов в конформном пространстве и присоединенные к нему связности / Л. Ф. Филоненко // Дифференциальная геометрия многообразий фигур: Межвуз. темат. сб. науч. тр. -Калининград, 1995. - Вып. 26. - С. 89-102.

[17] Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии / С. П. Фиников. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. - 432 с.

[18] Чакмазян А. В. Подмногообразия проективного пространства с параллельным подрасслоением нормального расслоения / А. В. Чакмазян / Казанское мат.

об-во. 150 лет неевклидовой геометрии // Материалы Всес. геометр, конференции. -Казань, 1976.-С. 209.

[19] Чакмазян А. В. Нормальная связность в геометрии подмногообразий: Монография / А. В. Чакмазян. — Ереван : Армянск. пед. ин-т, 1990. — 116 с.

[20] Carian Е. Les éspaces á connexion conforme / E. Cartan // Ann. Soc. Polon. math.-1923.-2.-P. 171-211.

[21] Ehresmann С. Les connections infinitesimales dans un espace fibre differenti-able / C. Ehresmann // Colique de Topologie. - Bruxelles, 1950. - P. 29-55.

[22] Fialkov A. Conformai differential geometry of a subspace / A. Fialkov // Trans, Amer. Math. Soc. - 1944. - 56. - 309-433.

[23] Levi-Civita T. Nozioni di parallelismo in una varieta qualunque e conseguente specificazione geometrica délia curvature Riemanniana / T. Levi-Civita // Rend. circ. Matem.- Palermo, 1917.-P. 173-205.

[24] Thomsen G. Über konforme Geometrie I. Grundlagen der konformen Flachentheorie JG. Thomsen//Abhandl math. Semin. Univ. - Humburg, 1924. -3. -P. 31-56.

[25] Weyl H. Raum. Zeit, Materie. - Berlin : Springer, 1923.

[26] Yano K. Sur les equation de Gaúss dans la géometrie conforme des espaces de Riemann / К. Yano // Proc. Imp. Akad. Japan. - 1939. - 15. - 247-252.

[27] Yano K. Sur les equation de Codazzi dans la géometrie conforme des espaces de Riemann / К. Yano // Proc. Imp. Akad Japan. - 1939. - 15. - 340-344.

РАБОТЫ АВТОРА, ОПУБЛИКОВАННЫЕ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Зверева Т. В. Аффинные связности, индуцируемые нормальным оснащением гиперповерхности пространства конформной связности / Т. В. Зверева // ВИНИТИ РАН. - М., 2009. - 14 с. - № 144 - В2009Деп.

[2] Зверева Т. В. Конформные связности, индуцируемые касательным оснащением гиперповерхности пространства конформной связности / Т. В. Зверева // ВИНИТИ РАН. - М., 2009. -12 с.-№231-В2009Деп.

[3] Зверева Т. В. Нормальные связности на гиперповерхности в пространстве конформной связности / Т. В. Зверева // ВИНИТИ РАН. - М., 2009. - 10 с. -№ 331 - В2009Деп.

[4] Зверева Т. В. Аффинные связности на нормально оснащенной гиперповерхности пространства конформной связности / Т. В. Зверева // Сборник тезисов докладов участников XXIV Всероссийской конференции обучающихся «Национальное достояние России». - Минобрнауки РФ, Рособразование, POCKOÇMOC, РАО, НС «ИНТЕГРАЦИЯ», 2009. - С. 725.

[5] Зверева Т. В. Аффинные связности на гиперповерхности пространства конформной связности / Т. В. Зверева // Материалы XLVII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика. - Новосибирск, 2009. - С. 96-97.

[6] Зверева Т. В. Гиперполоса, ассоциированная с от-мерной поверхностью конформного пространства / Т. В. Зверева // Актуальные проблемы современной науки: труды 10-й международной конференции молодых ученых и студентов. Естественные науки. Части 1-3: Математика. Математическое моделирование. Механика. - Самара: Изд-во СамГТУ, 2010. - С. 102-106.

[7] Зверева Т. В. Нормальные связности, индуцируемые нормальным оснащением гиперповерхности VnA с Спп / Т. В. Зверева // Научно-информационный

вестник докторантов, аспирантов, студентов. - Чебоксары: ЧГПУ им. И. Я. Яковлева.-2009.-№1(13).-С. 8-15.

[8] Зверева Т. В. Аффинные связности, индуцируемые нормальным оснащением поверхности конформного пространства / Т. В. Зверева // Труды Матем-го центра им. Н. И. Лобачевского: Материалы Восьмой молодежной школы-конференции «Лобачевские чтения - 2009»; Казань 1-6 ноября 2009 г. - Казань: Казан, мат. об-во. - 2009. - Т. 39. - С. 228 - 230.

[9] Зверева Т. В. Сети на поверхностях в конформном пространстве / Т. В. Зверева // ВИНИТИ РАН. - М., 2009. - 24 с. - № 722 - В2009Деп.

[10] Зверева Т. В. Конформные связности на касательно оснащенной поверхности конформного пространства / Т. В. Зверева // Фундаментальные науки и образование: материалы III Всероссийской научно-практической конференции (Бийск, 31 января - 3 февраля 2010 г.) / Бийский пед. гос. ун-т им. В. М. Шукшина. -Бийск: БПГУ им. В. М. Шукшина. - 2010. - С. 57 - 64.

[11] Зверева Т. В. Внутренняя геометрия сетей на многомерной поверхности конформного пространства / Т. В. Зверева // Известия вузов. Матем. - Казань, 2010,-№5.-С. 83-87.

[12] Зверева Т. В. О нормальной связности на оснащенной поверхности конформного пространства / Т. В. Зверева // Материалы XLVIII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика. - Новосибирск, 2010. - С. -.

[13] Зверева Т. В. Связности, индуцируемые касательным оснащением поверхности конформного пространства / Т. В. Зверева // Сборник материалов I Международной научно-практической конференции «Наука и современность - 2010». В 3-х частях. Часть 2. - Новосибирск: Изд-во «СИБПРИНТ», 2010. - С. 150 - 154.

[14] Зверева Т. В. Нормальные связности, индуцируемые оснащением поверхности конформного пространства / Т. В. Зверева // ВИНИТИ РАН. - М., 2010. -22 с. - № 236 - В2010Деп.

[15] Зверева Т. В. Аффинная связность и ее приложение к изучению внутренней геометрии сетей на поверхности в конформном пространстве / Т. В. Зверева // Вестник Чувашского государственного педагогического университета имени И. Я. Яковлева. - Чебоксары. - 2011. - № 2 (70). - Ч. 1. - С. 33 - 37.

[16] Зверева Т. В. О направлениях, параллельно переносимых в нормальных связностях на поверхности в конформном пространстве / Т. В. Зверева // Вестник Чувашского государственного педагогического университета имени И. Я. Яковлева. - Чебоксары. - 2011. - № 2 (70). - Ч. 1. - С. 38 - 41.

[17] Zvereva Т. Translated directions in the normal connection on the surface of the conformai space / T. Zvereva // Тезисы докладов международной конференции «Геометрия в Одессе - 2010». - Одесса. - 2010. - С. 95.

[18] ZverevaT. Translated directions on the surface of the conformai space / T. Zvereva // Geometry, topology, algebra and number theory, applications. The international conference dedicated to the 120th anniversary of B. N. Delone. Abstracts, august 16-20, 2010. - Moscow. - 2010. - p. 81.

Подписано к печати УЧ.оС. 3.с-ХЛг.• Формат 60x84 /16. Бумага ксероксная. Печать трафаретная. Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз. Заказ

Отдел оперативной полиграфии Чувашского государственного педагогического университета 428000, г. Чебоксары, ул. К. Маркса, 38.

ВВЕДЕНИЕ.

1. Исторический обзор.

2. Общая характеристика диссертации.

1. Постановка вопроса и актуальность темы.

2. Цель работы.

3. Методы исследования.

4. Научная новизна.'.

5. Теоретическая и практическая значимость.

6. Апробация.

7. Публикации.

8. Вклад автора в разработку избранных проблем.

9. Структура и объём работы.

10. Некоторые замечания.

3. Содержание диссертации.

Глава I ЛИНЕЙНЫЕ СВЯЗНОСТИ НА ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ Упх В ПРОСТРАНСТВЕ КОНФОРМНОЙ СВЯЗНОСТИ СПгП.

§1. Конформное пространство Сп.

§2. Пространство конформной связности С п.

§3. Гиперповерхность Ки1 в пространстве конформной связности Сяя.

1. Дифференциальные уравнения гиперповерхности Упх пространства конформной связности Сп п.

2. Внутренние оснащения гиперповерхности Упх в Сп п.

§4. Пространства аффинной связности на оснащенной гиперповерхности Уп1 пространства конформной связности

Я,12.

1. Теорема Картана - Лаптева.

2. Аффинные связности на гиперповерхности Упх а Спп.

§5. Конформные связности на гиперповерхности Уп{ в пространстве конформной связности С

§6. Нормальные связности на гиперповерхности Упх а С „

§1. 1.

Глава II АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ НА МНОГОМЕРНОЙ ПОВЕРХНОСТИ Ут В КОНФОРМНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Сп (т < /I -1) И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ СЕТЕЙ.

Поверхность Ут в конформном пространстве Сп.

Дифференциальные уравнения многомерной поверхности Ут в конформном пространстве Сп.

Гиперполоса Нт, ассоциированная с многомерной поверхностью Ут в конформном пространстве Сп.

Частичные и полные оснащения поверхности Ут в Сп.

Аффинные связности, индуцируемые нормальным оснащением поверхности Ут в конформном пространстве Сп.

1. Исторический обзор

Конформным гс-мерным пространством Сп называется /2-мерное евклидово пространство Еп, дополненное одной бесконечно удаленной точкой, в котором группа £ конформных преобразований является фундаментальной. Образующими элементами конформного пространства являются гиперсферы евклидова пространства Еп, в частности, точки как гиперсферы нулевого радиуса и гиперплоскости как гиперсферы, проходящие через несобственную точку.

Конформно-дифференциальная геометрия трехмерного пространства зародилась внутри классической дифференциальной геометрии в конце XIX века в работах Дарбу, Рибокура и других геометров. В начале XX века появился ряд работ, в которых рассматривался вопрос о том, как преобразуются важнейшие дифференциальные инварианты и инвариантные квадратичные формы при конформных преобразованиях пространства. К работам этого направления относятся исследования Фосса, Роте, Огура, Фубини и других геометров. Обзор работ этого направления содержится в статье Бер-вальда [94] в математической энциклопедии (1927 г.).

В отличие от аффинной и проективной дифференциальных геометрий конформная дифференциальная геометрия несколько отстала в своем развитии. Это объясняется тем, что в работах по аффинной и проективной дифференциальным геометриям с самого начала использовались естественные для этих геометрий координаты - аффиниые и проективные, а при изучении вопросов конформной дифференциальной геометрии исследования велись в прямоугольной декартовой системе координат.

В 1924 г. появляется работа Томсена [109], в которой для изучения конформно-дифференциальной геометрии поверхностей применяются пен-тасферические координаты и тензорное исчисление; к этому направлению относится также работа Вессио [110]. В 1929 г. выходит книга Бляшке [95], написанная им совместно с Томсеном, в которой дифференциальная геометрия трехмерного конформного пространства рассматривается одновременно с дифференциальной геометрией пространства Лагерра и пространства, фундаментальной группой которого служит группа сферических преобразований С. Ли. К этому направлению исследований относятся также работы Т. Такасу; свои результаты в области дифференциальной геометрии сфер Такасу изложил в трехтомной монографии, первый том которой, вышедший в 1938 г. [108], посвящен конформной геометрии.

В работе [98] Э. Картан вводит понятие «-мерного пространства конформной связности. В это же время теория многомерных пространств конформной связности разрабатывается в работах Т. И. Томаса, И. М. Томаса и ряда других геометров. В работах С. Сасаки [106], [107] в 1939-40 гг. развивается теория кривых и гиперповерхностей в пространстве конформной связности.

К. Яно в работах [112], [ИЗ] изучает конформную геометрию т -мерной поверхности в л -мерном римановом пространстве, строит инвариантные тензоры, связанные с ее окрестностью второго порядка. А. Фиал-ков [103] в 1944 г. построил полную систему конформно-инвариантных тензоров т -мерной поверхности п -мерного риманова пространства.

Однако в большинстве перечисленных работ конформно-дифференциальная геометрия многомерных поверхностей строится средствами евклидовой и римановой геометрий. Это сильно осложняет геометрическое истолкование полученных результатов.

Новый этап в развитии конформно-дифференциальной геометрии связан с работами отечественных геометров. Здесь можно выделить три основных направления. Первое из них связано с применением к конформной геометрии общей теории образов симметрии в однородных пространствах, развитой Б. А. Розенфельдом в работах [66], [67], второе - с применением к конформной геометрии общей теории нормализованных поверхностей, развитой А. П. Норденом в работах [55]—[59], третье - с применением к конформной геометрии общей теории многообразий в однородных пространствах и в пространствах со связностями, развитой Г. Ф. Лаптевым в работах [40], [42].

Метод Г. Ф. Лаптева был применен М. А. Акивисом [1], [2], [93] к построению основ инвариантной теории гиперповерхностей, /«-мерных поверхностей «-мерного конформного и псевдоконформного пространств.

В работах [55], [56], [58], [59], а также в совместной с Г. В. Бушмано-вой работе [8] А. П. Норденом получены существенные результаты по конформно-дифференциальной геометрии различных подмногообразий.

В работах А. В. Столярова [70], [72], [73], [75]—[81], научные результаты в которых вошли в его монографии [71], [74], изучается внутренняя геометрия ряда подмногообразий конформного пространства Сп и пространства конформной связности Сщт оснащенных в том или ином смысле.

В работе [84] В. Д. Третьяков в псевдоконформном пространстве 1Сп рассматривает поверхность Ут, нормализованную гармонически (по А. П. Нордену [55]); приводятся деривационные уравнения для этой поверхности, изучаются частные типы таких поверхностей.

И. В. Парнасский [62] в полуконформном пространстве [68] рассматривает т-мерную поверхность Ут; показано, что при соответствующем оснащении на поверхности Ут индуцируется полуконформная связность в смысле [61].

Л. Ф. Филоненко в своих работах [85], [86], исходя из геометрии квадратичной гиперполосы в /7-мерном проективном пространстве Р,г, рассматривает распределение ш-мерных линейных элементов в (и-1)-мерном конформном пространстве, используя, в основном, его проективную интерпретацию. Значительное внимание уделяется возникающим при этом связно-стям.

Исследования А. Н. Михайловой [53], [54] посвящены изучению некоторых вопросов линейных связностей на оснащенной гиперполосе конформного пространства.

Т. Н. Глухова (Андреева) [14]—[21], [71, гл. IV] рассматривает линейные связности (аффинные, конформные, нормальные), индуцируемые различными оснащениями гиперповерхности в конформном пространстве, а также находит приложение аффинных связностей к изучению сетей на гиперповерхности в конформном пространстве.

В работах [49], [50] А. М. Матвеевой вводится понятие сферического распределения гиперплоскостных элементов (А0,Ьп{) в конформном пространстве Сп. Статьи [47],[51] А. М. Матвеевой посвящены изучению пространств Ап пх, Ап 1 аффинных связностей, индуцируемых полным оснащением соответственно распределений гиперплоскостных элементов Ьпх и ^одномерных линейных элементов, ортогональных Ьп\. В работах [48], [52] разработаны основы теории гиперполосного распределения т-мерных линейных элементов (то есть неголономной гиперполосы) в конформном пространстве Сп и указаны пути ее приложения.

В статье М.А. Акивиса [5] приведен обстоятельный обзор большого числа работ по конформно-дифференциальной геометрии различных подмногообразий, вышедших в свет до 1964 г. В 1996 г. в США вышла монография М.А. Акивиса и В.В. Гольдберга «Конформно-дифференциальная геометрия и ее обобщения» [93], где приводится систематическое изложение вопросов дифференциальной геометрии различных подмногообразий в конформных и псевдоконформных пространствах, дифференцируемых многообразий конформной структуры и т.д.; по этой теме в монографии приведена обширная библиография.

В 2008 г. А. В. Столяров в работе [82] приводит обзор материалов, освещенных в РЖМат за 40 лет (1969—2008 гг.) и относящихся к теории подмногообразий в конформном пространстве Сп (псевдоконформном !С„ индекса 0 или собственно конформном, / = 0).

В дифференциальной геометрии важное место занимает теория связностей в расслоенных пространствах, а также ее применение при исследовании оснащенных подмногообразий, погруженных в различные пространства.

История теории связностей начинается с 1917 г. с работы Т. Леви-Чивита [105] о параллельном перенесении вектора в римановой геометрии.

В 1918 г. Г. Вейль [111] для построения единой теории поля ввел понятие пространства аффинной связности. Дальнейшее обобщение дал в 1920 г. Р. Кэниг [104], рассматривая линейную связность в векторном расслоении над областью числового пространства.

Новый этап в развитии теории связностей открыли работы Э. Картана [39] в 20-х годах XX века, в которых касательные векторные пространства заменялись аффинными, проективными или конформными пространствами.

Следующий этап в развитии теории связностей начался в 1950 г., когда В. В. Вагнер [10], [И] и Ш. Эресман [101] независимо друг от друга ввели общее понятие связности в расслоенном пространстве. Изложение Вагнера является локальным и выполнено классическими методами. Обзор дальнейшего развития теории связностей излагается в работе Ю. Г. Лумисте [43].

Для изучения геометрии многомерных поверхностей проективного пространства и других однородных пространств, фундаментальная группа которых является подгруппой проективной группы, А. П. Норден разработал метод нормализации[55], [56], [58], [59]. Метод нормализации позволил в касательных расслоениях подмногообразий проективного пространства индуцировать аффинные связности без кручения. П. А. Широков и А. П. Широков исследовали локальное строение подмногообразия в аффинном пространстве с помощью аффинной связности в касательном расслоении [92].

Новый инвариантный аналитический метод дифференциально-геометрических исследований многообразий, вложенных в однородные пространства и в пространства с фундаментально-групповой связностью, был развит Г. Ф. Лаптевым [40]. При этом задача сводится к изучению геометрии подмногообразия посредством исследования дифференциально-геометрических структур, индуцированных полями фундаментальных, охваченных и оснащающих объектов подмногообразия. Г. Ф. Лаптев [40], следуя идеям Э. Картана [39], линейные связности определяет как множества отображений бесконечно близких слоев расслоения, соответствующих касательным векторам базисного многообразия; эти отображения должны быть согласованы с действием структурной группы на расслоении (теорема Картана — Лаптева).

Связность, определяемую в нормальном расслоении подмногообразия евклидова пространства или пространства постоянной кривизны, ввел Э. Картан в 1926-1927 гг. Подмногообразия с нулевым кручением (то есть с плоской нормальной связностью) исследовали почти одновременно Д. И. Перепелкин [63] и Фабрициус-Бьерре [102], а также Э. Картан в 1936 г. Нормальная связность привлекла внимание в связи с исследованиями подмногообразий с параллельным полем вектора средней кривизны в пространстве постоянной кривизны. Одним из дополнительных условий, которое часто ставили при этом, являлось условие, чтобы нормальная связность была плоская. Получены далеко идущие результаты об изучаемых подмногообразиях. Обзор исследований этого направления дан в [44], [45].

Понятие нормальной связности нормализованного подмногообразия в проективном пространстве ввели А. П. Норден в работе [55] (внешняя связность) и А. В. Чакмазян [91]. Большой вклад в развитие теории нормальных связностей внес А. В. Чакмазян [88]; в указанной работе он изучает локальное строение подмногообразия в одном из классических однородных пространств (именно, в проективном, аффинном и проективно-метрическом пространствах) с привлечением связностей в нормальных расслоениях.

В отечественной и зарубежной математической литературе появилось много работ, в которых изучаются вопросы теории связностей в нормальных расслоениях подмногообразий в пространствах постоянной кривизны; обзор исследований подмногообразий с плоской нормальной связностью в пространствах постоянной кривизны дан в работах Чена [99] и Ю. Г. Лумисте [44]. В работах [45], [46] дается сводное изложение результатов Ю. Г. Лумисте и А. В. Чакмазяна, относящихся к изучению строения подмногообразия пространства постоянной кривизны, допускающего поле нормальных ^-направлений, параллельное в нормальной связности подмногообразия. Чен и Яно [100] изучают подмногообразия ¥т риманова пространства Уп с параллельным /7-мерным подрасслоением нормального расслоения; М. А. Аки-вис и А. В. Чакмазян [4] исследуют геометрию Ут с плоской нормальной связностью в евклидовом пространстве Еп.

1. Акивис М. А. Инвариантное построение геометрии гиперповерхности конформного пространства / М. А. Акивис // Матем. сб. -М., 1952.-Т. 31.-№ 1.-С. 43-75.

2. Акивис М. А. К конформно-дифференциальной геометрии многомерных поверхностей / М. А. Акивис // Матем. сб. — М., 1961. -Т. 53.-№ 1.-С. 53-72.

3. Акивис М. А. О гиперполосах кривизны в евклидовом пространстве/ М. А. Акивис, М. А. Василян // Ткани и квазигруппы. -Калинин: Калининский госун-т, 1980. С. 104-109.

4. Акивис М. А. О подмногообразиях евклидова пространства с плоской нормальной связностью / М. А. Акивис, А. В. Чакмазян // Докл. АН АрмССР. 1976. - Т. 62. - № 2. - С. 75-81.

5. Акивис М. А. Конформно дифференциальная геометрия / М. А. Акивис // Итоги науки. Геометрия (1963) / ВИНИТИ АН СССР. - М.,1965.-С. 108-137.

6. Базылев В. Т. К геометрии плоских многомерных сетей / В. Т. Базылев // Уч. зап. Моск. гос. пед. ин-та им. В. И. Ленина, 1965. — JVb 243. — С. 29-37.

7. Базылев В. Т. О сетях на многомерных поверхностях проективного пространства / В. Т. Базылев // Изв. вузов. Математика.1966.-№2.-С. 9-19.

8. Бушманова Г. В. Элементы конформной геометрии / Г. В. Бушманова, А. П. Норден. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1972. -178 с.

9. Вагнер В. В. Теория поля локальных гиперполос / В. В. Вагнер // Тр. семин. по векторн. и тензорн. анализу. МГУ, 1950. - Вып. 8. -С. 197-272.

10. Вагнер В. В. Обобщенные тождества Риччи и Бианки для связности в составном многообразии / В. В. Вагнер // ДАН СССР. 1945. -№> 8.-С. 335-338.

11. Вагнер В. В. Теория составного многообразия / В. В. Вагнер // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. — М.: МГУ, 1950. — Вып. 8.-С. 11-72.

12. Василян М. А. Об инвариантном оснащении гиперполосы / М. А. Василян 11 Докл. АН АрмССР. 1970. - Т. 50. - № 2. - С. 65-70.

13. Василян М. А. Проективная теория многомерных гиперполос / М. А. Василян // Изв. АН Арм. ССР. Матем. 1971. - Т. 6. - № 6. -С. 477-481.

14. Глухова (Андреева) Т. Н. Аффинные связности на нормально оснащенной гиперповерхности конформного пространства / Т. Н. Глухова (Андреева) // Вестник Чувашек, гос. пед. ун-та им. И. Я. Яковлева. -Чебоксары, 2004. № 1. - С. 3-9.н

15. Глухова (Андреева) Т. Н. Конформно-дифференциальная геометрия сетей на гиперповерхности / Т. Н. Глухова (Андреева) // ВИНИТИ РАН. М., 2004. - № 744. - В2004. - 18 с.

16. Глухова (Андреева) Т. Н. Конформные и аффинные связности, индуцируемые полным оснащением гиперповерхности конформного пространства / Т. Н. Глухова (Андреева) // ВИНИТИ РАН. М., 2004. -№ 1369. - В2004. — 18 с.

17. Глухова (Андреева) Т. Н. Нормальные связности на гиперповерхности конформного пространства / Т. Н. Глухова (Андреева) // ВИНИТИ РАН. М., 2005. - № 379. - В2005. - 23 с.

18. Глухова (Андреева) Т. Н. Внутренняя геометрия сетей на гиперповерхности конформного пространства / Т. Н. Глухова (Андреева) // Изв. вузов. Математика. -2005. № 10. - С. 78-82.

19. Глухова Т. Н. Линейные связности, индуцируемые полным оснащением гиперповерхности конформного пространства / Т. Н. Глухова // Изв. вузов. Математика. 2005. - № 11. - С. 74-77.

20. Глухова (Андреева) Т. Н. Нормальные связности, индуцируемые оснащенной гиперповерхностью конформного пространства / Т. Н. Глухова // Изв. вузов. Математика. 2008. - № 6. - С. 84-87.

21. Евтушик Л. Е. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях / Л. Е. Евтушик и др. // Итоги науки и техн. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. М., 1979. - Т. 9. - 246 с.

22. Зверева Т. В. Аффинные связности, индуцируемые нормальным оснащением гиперповерхности пространства конформной связности / Т. В. Зверева // ВИНИТИ РАН. М., 2009. - 14 с. - № 144 - В2009Деп.

23. Зверева Т. В. Конформные связности, индуцируемые касательным оснащением гиперповерхности пространства конформной связности / Т. В. Зверева // ВИНИТИ РАН. М., 2009. - 12 с. - № 231 - В2009Деп.

24. Зверева Т. В. Нормальные связности на гиперповерхности в пространстве конформной связности / Т. В. Зверева // ВИНИТИ РАН. М., 2009.-10 с.-№331 — В2009Деп.

25. Зверева Т. В. Аффинные связности на гиперповерхности пространства конформной связности / Т. В. Зверева // Материалы XLVII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика. — Новосибирск, 2009. С. 96-97.

26. Зверева Т. В. Нормальные связности, индуцируемые нормальным оснащением гиперповерхности F„, cz Спм / Т. В. Зверева // Научноинформационный вестник докторантов, аспирантов, студентов. — Чебоксары: ЧГПУ им. И. Я. Яковлева. 2009. - №1(13). - С. 8-15.

27. Зверева Т. В. Сети на поверхностях в конформном пространстве / Т. В. Зверева // ВИНИТИ РАН. М., 2009. - 24 с. - № 722 - В2009Деп.

28. Зверева Т. В. Внутренняя геометрия сетей на многомерной поверхности конформного пространства / Т. В. Зверева // Известия вузов. Матем. Казань, 2010. - № 5. - С. 83-87.

29. Зверева Т. В. Нормальные связности, индуцируемые оснащением поверхности конформного пространства / Т. В. Зверева // ВИНИТИ РАН. -М., 2010. 22 с. - № 236 - В2010Деп.

30. Картан Э. Пространства аффинной, проективной и конформной связности / Э. Картан. — Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1962. 210 с.

31. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий / Г. Ф. Лаптев // Труды Моск. матем. о-ва. 1953. - Т. 2. -С. 275-382.

32. Лаптев Г. Ф. Многообразия, погруженные в обобщенные пространства / Г. Ф. Лаптев // Труды 4-го Всес. матем. съезда (1961). -Ленинград, 1964. Т. 2. - С. 226-233.

33. Лаптев Г. Ф. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований / Г. Ф. Лаптев // Труды 3-го Всес. матем. съезда. М., 1958. - Т. 3. - С. 409^118.

34. Лумисте Ю. Г. Теория связностей в расслоенных пространствах / Ю. Г. Лумисте // Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия / ВИНИТИ АН СССР. — М., 1971.-С. 123-168.

35. Лумисте Ю. Г. Подмногообразия с параллельным нормальным векторным полем / Ю. Г. Лумисте, А. В. Чакмазян // Известия вузов. Матем. Казань, 1974. - № 5. - С. 148-157.

36. Матвеева А. М. Линейные связности на оснащенном распределении гиперплоскостных элементов в конформном пространстве / А. М. Матвеева // Известия вузов. Матем. Казань, 2008. - № 7. - С. 79-84.

37. Матвеева А. М. Поля фундаментальных геометрических объектов и аффинные связности на гиперполосном распределении конформногопространства / A. M. Матвеева // ВИНИТИ РАН. М., 2007. - № 972. -В2007. —17 с.

38. Матвеева А. М. Аффинные связности, индуцируемые полным оснащением взаимно ортогональных распределений конформного пространства / А. М. Матвеева // ВИНИТИ РАН. М., 2006. - 16 с. -№ 395. - В2006Деп.

39. Матвеева А. М. Линейные связности на оснащенной неголономной гиперполосе конформного пространства / А. М. Матвеева // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Чебоксары, 2007. - Т. 1. - № 3 (55). - С. 48-55.

40. Михайлова А. Н. Аффинные связности и сети на нормально оснащенной гиперполосе конформного пространства / А. Н. Михайлова // ВИНИТИ РАН. -М., 2001. -№ 1950.-В2001. 14 с.

41. Михайлова А. Н. Линейные связности на частично оснащенной гиперполосе конформного пространства / А. Н. Михайлова // ВИНИТИ РАН. М, 2001. - № 719. - В2001. - 19 с.

42. Норден А. П. Пространства аффинной связности / А. П. Норден. — М.: Наука, 1976.-432 с.

43. Норден А. П. О нормализованных поверхностях конформного пространства / А. П. Норден // Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1950. -Т. 14.-№2.-С. 105-122."

44. Норден А. П. Аффинная связность на поверхностях проективного пространства / А. П. Норден // Матем. сб. М., 1947. - Т. 20. - № 2. -С. 263-280.

45. Норден А. П. О нормализованных поверхностях пространства Мебиуса / А. П. Норден // ДАН СССР. 1948. - Т. 61. - № 2. - С. 207-210.

46. Норден А. П. Конформная интерпретация пространства Вейля / А. П. Норден // Матем. сб. М., 1949. - Т. 24. - № 1. - С. 75-85.

47. Остиану H. М. О канонизации подвижного репера погруженного многообразия / H. М. Остиану // Rev. math, pures et appl. (RPR). — 1962. -T. 7. — № 2. C. 231-240.

48. Парнасский И. В. Об одном аналоге пространства конформной связности / И. В. Парнасский // Изв. вузов. Математика. — 1971. — № 12. — С. 109-114.

49. Парнасский И. В. Связность на /«-поверхностях полуконформного пространства / И. В. Парнасский // В сб. «Геометрия». —Л., 1976. — Вып. 5 — С. 95-100.

50. Перепелкин Д. И. О параллельных подмногообразиях в евклидовом (или римановом) пространстве / Д. И. Перепелкин // ДАН СССР. 1935. - С. 593-598.

51. Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ / П. К. Рашевский. М.: Наука, 1967. - 664 с.

52. Розенфельд Б. А. Многомерные пространства / Б. А. Розенфельд — М.: Наука, 1966.-648 с.

53. Розенфельд Б. А. Дифференциальная геометрия образов симметрии / Б. А. Розенфельд // ДАН СССР. 1948. - Т. 59. - № 6. -С. 1057-1060.

54. Розенфельд Б. А. Метрика и аффинная связность в пространствах плоскостей, сфер и квадрик / Б. А. Розенфельд // ДАН СССР. 1947." -Т. 57.-№6.-С. 543-546.

55. Розенфельд Б. А. Неевклидовы пространства / Б. А. Розенфельд. — М.: Наука, 1969.-549 с.

56. Смирнов Р. В. Преобразования Лапласа р-сопряженных систем / Р. В. Смирнов // ДАН АН СССР. 1950. - Т. 71. -№ 3. - С. 437-439.

57. Столяров А. В. Пространство проективной связности Р„/г+1,снабженное полем локальных гиперквадрик Дарбу / А. В. Столяров // Тр. Калинингр. ун-та «Дифф. геом. многообразий фигур». — 2005. Вып. 36. -С. 79-84.

58. Столяров А. В. Конформно-дифференциальная геометрия оснащенных многообразий / А. В. Столяров, Т. Н. Глухова. — Чебоксары: Чувашек, гос. пед. ун-т, 2007. — 180 с.

59. Столяров А. В. Пространство конформной связности / А. В. Столяров // Известия вузов. Матем. Казань, 2006. — № 11. -С. 42-54.

60. Столяров А. В. Внутренняя геометрия нормализованного конформного пространства / А. В. Столяров // Известия вузов. Матем. -Казань, 2002. № 11. - С. 61-70.

61. Столяров А. В. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований и его приложения / А. В. Столяров — Чебоксары: Чувашский гос. пед. ун-т, 2002. — 204 с.

62. Столяров А. В. Линейные связности на распределениях конформного пространства / А. В. Столяров // Известия вузов. Матем. — Казань, 2001. № 3. - С. 60-72.

63. Столяров А. В. Оснащения и аффинные связности на распределениях конформного пространства / А. В. Столяров // Известия вузов. Матем. Казань, 2002. - № 5. - С. 52-60.

64. Столяров А. В. Нормализованное конформное пространство / А. В. Столяров // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. — Калининград: Калинингр. гос. ун-т, 2002. Вып. 33. - С. 93-99.

65. Столяров А. В. Линейные связности, индуцируемые нормализацией конформного пространства / А. В. Столяров // Вестник Чувашек, гос. пед. ун-та. 2002. - № 6. - С.3-10.

66. Столяров А. В. Конформно дифференциальная геометрия плоских ортогональных сетей / А. В. Столяров // Изв. вузов. Математика. — 2004.-№10.-С. 61-70.

67. Столяров А. В. Внутренняя геометрия плоских сетей в конформном пространстве / А. В. Столяров // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград: Калинингр. гос. ун-т, 2004. - Вып. 35. - С. 129-136.

68. Столяров А. В. Внутренняя геометрия нормализованного пространства конформной связности / А. В. Столяров // Вестник. Чуваше к. гос. пед. ун-та. 2005. - № 2. - С.55-62.

69. Столяров А. В. Исследования по конформно-дифференциальной геометрии за 40 лет (1969-2008 гг.) / А. В. Столяров // ВИНИТИ РАН. М., 2008. - 54 с. - № 855. - В2008Деп.

70. Схоутен И. А. Введение в новые методы дифференциальной геометрии / И. А. Схоутен, Д. Дж. Стройк. Т. 2. (Геометрия). - М.: ИЛ., 1948.-348 с.

71. Третьяков В. Д. К вопросу о гармонических нормализациях поверхностей в конформно-евклидовых пространствах / В. Д. Третьяков // Волжск, матем. сб. 1968. - Вып. 6. - С. 247-253.

72. Филоненко Л. Ф. Квадратичная гиперполоса и нормальные связности подмногообразия конформного пространства: Ученые записки Тарт. ун-та/Л. Ф. Филоненко. 1988. - № 803.-С. 115-131.

73. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии / С. П. Фиников // ГИТТЛ. — 1948. 432 с.

74. Чакмазян А. В. Нормальная связность в геометрии подмногообразий: Монография / А. В. Чакмазян. — Ереван: Армянск. пед. ин-т, 1990.-116 с.

75. Чакмазян А. В. Двойственная нормализация / А. В. Чакмазян // ДАН Арм. ССР. 1959. - Т. 28. - № 4. - С. 151-157.

76. Чакмазян А. В. Связность в нормальных расслоениях нормализованного подмногообразия Vm в Р„ / А. В. Чакмазян // Пробл. геом.: Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР. М., 1978. - Т. 10. -С. 55-74.

77. Чакмазян А. В. Подмногообразия проективного пространства с параллельным подрасслоением нормального расслоения / А. В. Чакмазян / Казанское мат. об-во. 150 лет неевклидовой геометрии // Материалы Всес. геометр, конференции. — Казань, 1976. С. 209.

78. Широков П. А. Аффинная дифференциальная геометрия / П. А. Широков, А. П. Широков. М.: ГИФ-МЛ, 1959. - 320 с.

79. Akivis М. A. Conformal differential geometry and its generalizations / M. A. Akivis, V. V. Goldberg. USA, 1996. - 384 p.

80. Bervald L. Differential invarianten in der Geometrie. Enzuclopädie der Mathematischen Wissenschaften / L. Bervald. 1927. - Bd. III. - Heft 7. -S. 73-121.

81. Blaschke W. Vorlesungen über Differentialgeometrie. III / W. Blaschke // Differential-geometrie der Kriese und Kügeln. Berlin, 1929.

82. Bortolotti E. Connessioni nelle varieta luogo di spazi; applicazione alia geometria metrica differenziale delle congruanze di rette / E. Bortolotti // Rond. Semin. Fac. Sei Univ. Cagliari. 1933. - V. 3. - P. 81-89.

83. Cartan E. Les espases ä connexion projective / E. Cartan // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. — М.: МГУ; 1937. — Вып. 4.-С. 147-159.

84. Cartan Е. Les espaces ä connexion conforme / Е. Cartan // Ann. Soc. Polon.math.- 1923.-2.-P. 171-211.

85. Chen Bang Yen. Geometry of submanifolds / Chen Bang - Yen. — New york, Marseille, Dakar, 1973. - X. - 308 p.

86. Chen Bang Yen. Submanifolds umbilical with respect to a nonparallel normal subbundle / Chen Bang - Yen, Yano Kentaro // Ködai Math. Semin. Repts. - 1973. - 25. - № 3. - P. 289-296.

87. Ehresmann С. Les connections infinitesimales dans un espace fibre differentiable / C. Ehresmann // Collque de Topologie. — Bruxelles, 1950. — P. 29-55.

88. Fabricius-Bierre F. Sur varietes a torsion nulle / F. Fabricius-Bierre // Acta math. 1936. - S. 49-77.

89. Fialkov A. Conformal differential geometry of a subspace / A. Fialkov // Trans, Amer. Math. Soc. 1944. - 56. - 309^33.

90. König R Beiträge zu einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehr / R. König // Jahresb. D. Deutsch. Math. Ver. 1920. - 28. - 28. - P. 213-228.

91. Levi-Civita T. Nozioni di parallelismo in una varieta qualunque e conseguente speeifieazione geometrica della curvature Riemanniana / T. Levi-Civita // Rend. circ. Matern. Palermo, 1917. - P. 173-205.

92. Sasaki S. On the theory of curves in a curved conformal space / S. Sasaki 11 Sei. Repts. Töhoku-Univ. -1939. 27. - P. 392-409.

93. Sasaki S. On the theory of surfaces in a curved conformal space / S. Sasaki // Sei. Repts. Tohoku Univ. 1940. - 28. - P. 261-285.

94. Takasu T. Differentialgeometrien in der Kugelräumen. I. / Т. Takasu // Konforme Differentialgeometrie von Lioville und Möbius. Tokyo, 1938.tr

95. Thomsen G. Uber konforme Geometrie I. Grundlagen der konformen Flachentheorie / G. Thomsen //Abhandl math. Semin. Univ. Humburg, 1924. — 3.-P. 31-56.

96. Vessiot E. Contribution ä la geometrie conforme. Theorie des surfaces / E. Vessiot // Buii. Soc. Math. France. 1926. - 54. - P. 139-179; - 1927. - 55. -P. 39-79.

97. Weyl H. Raum. Zeit, Materie. Berlin : Springer, 1923.

98. Yano K. Sur les equation de Gauss dans la geometrie conforme des espaces de Riemann / K. Yano // Proc. Imp. Akad. Japan. 1939. - 15. - 247-252.

99. Yano K. Sur les equation de Codazzi dans la geometrie conforme des espaces de Riemann / K. Yano // Proc. Imp. Akad. Japan. 1939. - 15. — 340—344.

100. Zvereva T. Translated directions in the normal connection on the surface of the conformal space / T. Zvereva // Тезисы докладов международной конференции «Геометрия в Одессе 2010». — Одесса. — 2010.-С. 95.