Основы двойственной теории регулярного гиперполосного распределения в проектно-метрическом пространстве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ
|
Смирнова, Елена Николаевна
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Чебоксары
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2012
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.04
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
Смирнова Елена Николаевна
ОСНОВЫ ДВОЙСТВЕННОЙ ТЕОРИИ РЕГУЛЯРНОГО ГИПЕРПОЛОСНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В ПРОЕКТИВНО-МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ
01.01.04 - геометрия и топология
Автореферат
диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук
3 МАЙ 2012
Казань-2012
005018848
005018848
Работа выполнена на кафедре геометрии ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева»
Научный руководитель: доктор физико-математических наук,
профессор
Столяров Алексей Васильевич
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профессор
Малаховский Владислав Степанович
кандидат физико-математических наук, профессор
Султанов Адгам Яхиевич
Ведущая организация:
Тверской государственный уни: ^рситет
Защита состоится 24 мая 2012 г. в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д. 212. 081. 10 при Казанском (Приволжском) федеральном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37, ауд.337.
С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке имени Н. И. Лобачевского Казанского (Приволжского) федерального университета (г. Казань, ул. Кремлевская, 18).
Автореферат разослан « » апреля 2012 г.
Учёный секретарь диссертационного совета канд. физ.-мат. наук, доцент
Линачёв Е. К.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ
Постановка вопроса и актуальность темы.
Известно, что геометрия распределений m-мерных линейных элементов (неголономная геометрия) тесно связана с проблемой Пфаффа [39], то есть с проблемой описания интегральных многообразий максимальной размерности для системы уравнений Пфаффа
в" =0,а =\,п-т, (*)
задаваемой набором п-т форм Пфаффа в" в некоторой области U однородного пространства М„, линейно независимых в каждой точке х 6 U; с геометрической точки зрения система (*) определяет распределение m-мерных линейных элементов Лх [17], [18]:
Важность проблемы Пфаффа, а следовательно, и актуальность изучения геометрии распределений определяется тем, что систему дифференциальных уравнений в частных производных всегда можно трактовать как пфаффову систему [12], [27], то есть задача об интегрировании любой конечной системы дифференциальных уравнений с частными производными эквивалентна задаче об интегрировании некоторой системы Пфаффа.
Некоторые задачи движения механических систем, подчиненных добавочным линейным неголономным связям, задаваемым, например, неинтегрируемой системой уравнений Пфаффа, в пространстве конфигураций механической системы приводят к понятию неголономного многообразия (см., например, работы ВВ. Вагнера [4], [5], A.B. Гохмана [10], П.К. Рашевского [27], С.А. Чаплыгина
[35])-
Наряду с этим к понятию неголономного многообразия математики пришли и независимо от задач механики путем обобщения основных положений геометрии подпространств на случай, когда поле /и-мерных пучков направлений не задает семейства /w-мерных подпространств (см. работы В.В. Вагнера [3], [б], Д.М. Синцова [28], Схоутена [40], монографии Врэнчану [41] и Михэйлеску [38]).
В 70-х годах прошлого века теория распределений от-мерных касательных элементов в пространстве представления некоторой группы Ли, а также обобщенная теория распределений от-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности Рп „ (в частности, в проективном пространстве Рп) получили дальнейшее развитие в инвариантной аналитической форме в работах Г.Ф. Лаптева, Н.М. Остиану (см. [16], [17], [23], [24]); в случае распределений гиперплоскостных элементов в пространствах со связностью без кручения эта теория получила свое отражение в работах В.И. Близникаса [1], [2]. Ю.Г. Луми-сте [18] исследует распределения на однородных пространствах, названных им пространствами проективного типа. А.П. Норден [21], [22] устанавливает связь теории многочленных композиций с теорией распределений.
A.B. Столяров [30] впервые ввёл понятие гиперполосного распределения в и-мерном проективном пространстве Рп как пары распределений первого рода -распределение от-мерных линейных элементов {.1,яш} (т<п-1) и распределение
гиперплоскостных элементов {А, к„л} с полем общего центра А и отношением инцидентности соответствующих элементов: А е жт с= кп_х.
В исследовании оснащенных подмногообразий, погруженных в однородные и обобщенные пространства, важное место занимает теория связностей в различных расслоенных пространствах.
История теории связностей начинается с 1917 года с работы Т. Леви-Чивита [37] о параллельном перенесении вектора в римановой геометрии. В 1918 году Г. Вейль [42] для построения единой теории поля ввел понятие пространства аффинной связности.
Новый этап в развитии теории связностей открыли работы Э. Картана [11] в 20-х годах XX века, в которых касательные векторные пространства заменялись аффинными, проективными или конформными пространствами. В 1950 году В. В. Вагнер [8] и Ш. Эресман [36] независимо друг от друга ввели общее понятие связности в расслоенном пространстве.
А. П. Норден [19], [20] разработал метод нормализации, позволяющий в касательных расслоениях подмногообразий проективного пространства индуцировать аффинные связности без кручения. Г. Ф. Лаптев [14], следуя идеям Э. Картана, линейные связности определяет как множества отображений бесконечно близких слоев расслоения, соответствующих касательным векторам базисного многообразия.
Используя двойственный характер геометрии проективного пространства Р„, А. П. Норден [20], В. В. Вагнер [7], А. В. Чакмазян [34], Ю. И. Попов [26], М. А. Василян [9] и другие получили ряд глубоких результатов по изучению некоторых вопросов двойственной геометрии нормализованной гиперповерхности \'п л с Р„, гиперполосы Нт а Рп, нормализованного пространства Рп.
В работе A.B. Столярова [31], используя данное им определение двойственных пространств с линейной связностью с точки зрения инволютивных преобразований структурных форм их связностей, значительно расширена двойственная теория оснащенных многообразий, погруженных в пространство проективной связности Рп п.
Согласно А. П. Нордену [20], пространством п измерений с проективной метрикой или пространством Кп называется такое пространство, образом точки которого является точка проективного пространства, а фундаментальной группой - подгруппа проективных преобразований, сохраняющих некоторый поляритет (абсолют). Этот поляритет называется абсолютным поляритетом пространства Кп. В монографии А. П. Нордена изучаются некоторые вопросы геометрии пространства Кп с невырожденным абсолютом QnA. В случае, когда абсолют <2„ч овального типа, поляритет называется гиперболическим.
Гиперболическое пространство К„ имеет особое значение в геометрии, ибо оно представляет собой проективную интерпретацию геометрии Лобачевского. С помощью этой интерпретации Ф. Клейн дал строгое доказательство её непротиворечивости.
Г.Ф. Лаптев [13] вводит понятие пространства проективно-метрической связности К \ пространство Кпп есть пространссм проективной связности
Pnfl, обладающее инвариантным полем локальных гиперквадрик Ql_x (локальных абсолютов). A.B. Столяровым [32] найдено инвариантное аналитическое условие, при выполнении которого пространство Рпп становится пространством Кп/1.
Объектом исследования настоящей работы являются:
1) гиперполосное распределение ;м-мерных линейных элементов Н, побуженное в проективно-метрическое пространство Кп (глава I);
2) гиперполоса в пространстве Кп (глава I);
3) квадратичное гиперполосное распределение «/-мерных линейных элементов, погруженное в проективно-метрическое пространство Кп (глава II).
Эти исследования являются актуальными и представляют большой научный интерес, ибо:
1) изучение двойственной геометрии неголономной гиперполосы (то есть гиперполосного распределения т -мерных линейных элементов) в проективно-метрическом пространстве Кп до настоящего времени находилось в начальной стадии;
2) исследования по разработке двойственной теории квадратичных неголо-номных гиперполос, вложенных в пространство Кп, ранее геометрами не проводились.
Цель работы. Целью настоящего диссертационного исследования является разработка теории гиперполос и гиперполосных распределений /я-мерных линейных элементов, в частности, теории квадратичных гиперполосных распределений, погруженных в проективно-метрическое пространство Кп. Достижение поставленной цели включает в себя решение следующих ключевых задач:
1) внутренним инвариантным образом построить основы двойственной и полярной геометрий регулярного гиперполосного распределения m-мерных линейных элементов Н и m-мерной гиперполосы Нт в Кп, при исследовании иг-мерной гиперполосы Нт в Кп изучаются те факты геометрии распределения Н, которые определяются подпоследовательностью фундаментальных подобъ-ектов {^Н^У многоо°Разия Н (с привлечением полей объектов {ty,, ^ } (v; });
2) в проективно-метрическом пространстве Кп построить основы двойственной геометрии регулярного гиперполосного распределения m-мерных линейных элементов, центр А которого принадлежит абсолюту пространства Кп (квадратичное гиперполосное распределение).
Методы исследования. В диссертационной работе используются инвариантные методы дифференциально-геометрических исследований, а именно, метод продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева [13], метод внешних дифференциальных форм Э. Картана [33] и метод нормализации А. П. Нордена [20]. Использование указанных методов позволило:
1) исследование геометрии оснащенных подмногообразий пространства К„ провести инвариантным образом путем построения и изучения полей геометрических объектов, охваченных полями фундаментальных и оснащающих объектов;
2) изучать дифференциально-геометрические факты исследуемых подмногообразий, связанные с дифференциальными окрестностями до третьего порядка включительно.
Все исследования проведены в минимально специализированных системах отнесения, что позволило получить результаты в инвариантной форме.
Результаты по геометрии связностей получены с применением теории связностей в расслоенных пространствах в форме, данной Г. Ф. Лаптевым [13],
[15], [25].
Научная новшна. Все результаты, полученные в диссертационном исследовании в ходе решения поставленных задач, являются новыми. Научная новизна обусловлена тем, что до настоящего времени в математической литературе геометрия гиперполосного распределения и гиперполос, погруженных в проективно-метрическое пространство Кп, оставалась практически не разработанной. Кроме того, впервые рассмотрено квадратичное гиперполосное распределение т-мерных линейных элементов.
Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа имеет теоретическое значение. Полученные в ней результаты дополняют исследования по изучению оснащенных подмногообразий, погруженных в проектив-но-метрическое пространство Кп, и могут быть использованы при дальнейшем изучении различных подмногообразий (как голономных, так и неголономных), погруженных в пространство проективно-метрической связности А'„„ [32].
Теория, разработанная в диссертации, может быть использована в качестве специальных и факультативных лекционных курсов для студентов старших курсов и аспирантов математических факультетов, а также при выполнении ими курсовых, дипломных и научных работ.
Апробация. Основные результаты диссертации доказывались и обсуждались на следующих семинарах и конференциях по современным проблемам геометрии:
- на заседаниях научно-исследовательского семинара молодых исследователей при кафедре геометрии Чувашского государственного педагогического университета имени И. Я. Яковлева (г. Чебоксары, 2005 - 2012 гг.);
- на научных конференциях аспирантов, докторантов и научных сотрудников Чувашского государственного педагогического университета имени И. Я. Яковлева (г. Чебоксары, 2005 - 2011 гг.);
- на 4-ой, 6-ой, 7-ой, 8-ой, 9-ой молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения» (г. Казань, 2005-2010 гг.);
- на V Республиканском конкурсе научно-исследовательских работ студентов, аспирантов, молодых учёных и научно-технических работников (Чебоксары, 2008 г.);
- на XVII Международной конференции « Математика. Образование » (Чебоксары, 2009 г.);
- на международной конференции "Геометрия в Одессе - 2010" (Одесса, 2010г.).
Публикации. Основные научные результаты, включенные в диссертационную работу, опубликованы в 21 печатной работе автора (см. [1] - [21]).
Вклад автора в разработку избранных проблем. Диссертация является самостоятельным исследованием автора. Все опубликованные научные работы по теме исследования выполнены без соавторов.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения (исторический обзор, общая характеристика и содержание диссертации), двух глав и списка литературы, включающего 123 наименования. Полный объем диссертации составляет 127 страниц машинописного текста.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
В первой главе строятся основы двойственной теории регулярного гиперполосного распределения т-мерных линейных элементов Н и регулярной т-мерной гиперполосы Нт в проективно-метрическом пространстве Кп.
В § 1 приводится материал реферативного характера, необходимый в дальнейшем изложении. Здесь приведены определение проективно-метрического пространства и уравнение его абсолюта.
В §2, п. 1 приведены понятия гиперполосного распределения Я «¡-мерных линейных элементов, регулярного и взаимного гиперполосных распределений, а также дана их геометрическая характеристика.
В п.2 §2 методом продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева [13] в первых трех дифференциальных окрестностях элемента распределения Я пространства Кп построены поля геометрических объектов, необходимых в дальнейшем исследовании.
В § 3 найдено поле соприкасающихся гиперквадрик для гиперполосного распределения Я ив случае симметрии тензора доказано, что обращение в
нуль тензора Дарбу есть условие соприкосновения третьего порядка поля соприкасающихся гиперквадрик с базисным распределением гиперполосного распределения Н в К„ (теорема II).
В § 4 (п. 1, 2) получен один из центральных результатов первой главы (теорема 1.3):
в проективно-метрическом пространстве Кп с абсолютом регулярное гиперполосное распределение »/-мерных линейных элементов Я инвариантным внутренним образом индуцирует:
1) в третьей дифференциальной окрестности проективно-метрическое пространство Кп, двойственное ^„относительно инволютивного преобразования структурных форм;
2) во 2-й дифференциальной окрестности образующего элемента распределения многообразие Я в Кп, двойственное исходному распределению Н.
В §4, п.4 в разных дифференциальных окрестностях найдены внутренние инвариантные оснащения в смысле Нордена- Чакмазяна гиперполосного рас-
7
пределения Я, в п.5 во второй дифференциальной окрестности приводятся примеры построения полей инвариантных двойственных нормалей распределения НвК„.
Для регулярного гиперполосного распределения Я, нормализованного
полями квазитензоров а'„, G,, найдены (§5) двойственные аффинные связности 1 1 12 V и V, индуцируемые нормализацией причем связности V и V обоб-
щенно сопряжены относительно поля основного тензора A"j вдоль любой кривой, принадлежащей базисному распределению многообразия Я. Пространство аффинной связности Д, „, (пространство Лип) имеет нулевое кручение тогда и только тогда, когда распределение нормалей первого рода JV„_w(i') (второго рода #и1_,(г)) является голономным (теорема 1.8).
§6 посвящен нахождению полярного образа гиперполосного распределения Я m-мерных линейных элементов относительно абсолюта проективно-метрического пространства К„. Доказано центральное утверждение этого параграфа (теорема 1.9):
при задании в проективно-метрическом пространстве К„ с абсолютом
Ql_x регулярного гиперполосного распределения m-мерных линейных элементов Я (т < п-1) индуцируются полярные исходному гиперполосные распределения Я и Я, базисными распределениями которых являются распределение m-мерных линейных элементов или распределение (п-т-1)-мсриых линейных элементов соответственно, а оснащающее распределение представляет собой распределение гиперплоскостных элементов, у которого текущий элемент есть поляра центра Л,, исходного подмногообразия Я.
Кроме того, в случае обращения в нуль тензора ah, справедливы следующие утверждения (теорема 1.11,1.11*, 1.12):
1) если исходное распределение Я является регулярным, то и полярные
распределения Я и Я также регулярные;
2) если гиперполосное распределение Я взаимное, то и полярное
распределение Я также будет взаимным;
3) распределение Я взаимное;
4) если исходное распределение Я является голономным, то и полярное
распределение Я также голономное.
В §7 исследуется связь между нормалями первого и второго родов, заданных на полярных гиперполосных распределениях m-мерных линейных элементов Я и Н и доказывается следующее важное утверждение (теорема 1.15):
двойственная нормализация исходного регулярного гиперполосного распределения Я m-мерных линейных элементов, заданного в проективно-метрическом пространстве К„ с абсолютом и допускающего обращение в нуль тензора я,.„, определяет двойственную нормализацию полярного относительно абсолюта распределения Я m-мерных линейных элементов.
В п. 1 §8 приведены основные понятия и уравнения, связанные с гиперполосой; в п.2 доказано утверждение (теорема 1.16), аналогичное теореме 1.2 (§4п.1):
регулярная гиперполоса Нт проективно-метрического пространства Кп с абсолютом индуцирует:
1) в третьей дифференциальной окрестности проективное пространство Рп (!'„,), двойственное А'„(Г„,) относительно инволютивного преобразования структурных форм;
2) во второй дифференциальной окрестности двойственную м-мерную гиперполосу Нт.
Найдены аффинные связности (§8 п.З), индуцируемые на двойственно нормализованной регулярной гиперполосе HulczKn и доказаны следующие утверждения:
1. на двойственно нормализованной регулярной гиперполосе Нт с: А.',, в касательном расслоении Т1П(НШ) индуцируются две двойственные аффшшые
1 2
связности V и V без кручения, причем эти связности сопряжены относительно поля главного фундаментального тензора Л?. гиперполосы (теорема 1.17);
о 1 г
2. связность V, средняя по отношению к V и V, является вейлевой с полем невырожденного метрического тензора . ; связность V является римано-
вой тогда и только тогда, когда обращается в нуль кососимметричный тензор Tsl (теорема 1.18) ;
1 с
3. аффинные связности V и V одновременно эквиаффинны тогда и только тогда, когда кососимметричный тензор Tsl обращается в нуль. Средняя связность V в этом случав является римановой (теорема 1.19) ;
1 2
4. аффинные связности V и V совпадают тогда и только тогда, когда нормализация гииерполосы HmaKn полями квазитензоров {г,',«',} является полярной относительно поля соприкасающихся гиперквадрик и гиперполоса Н ш имеет соприкосновение третьего порядка с гиперквадриками этого поля (теорема 1.20).
В п.п.4,5 §8 для гиперполосы Н m в К„ найдена полярная относительно абсолюта гиперполоса Нш.
В главе II диссертации изучается двойственная геометрия квадратичного гиперполосного распределения m -мерных линейных элементов Н, погруженного в проективно-метрическое пространство Кн.
В § 1 введено понятие квадратичного гиперполосного распределения, выведены дифференциальные уравнения подмногообразия Н, приведены поля его фундаментальных и некоторых охваченных геометрических объектов. Параллельно с квадратичным гиперполосным распределением m-мерных линей-
ных элементов Н вводится в рассмотрение квадратичное гиперполосное распределение Я с базисным распределением (и-т-^-мерных характеристик.
§2 посвящен доказательству существования двойственных образов квадратичных гиперполосных распределений. Центральным результатом §2 является утверждение (объединение теорем П.1 и 11.2):
квадратичное гиперполосное распределение т-мерных линейных элементов Я, погруженное в проективно-метрическое пространство Кп, в 1-й дифференциальной окрестности его образующего элемента индуцирует^
1) тангенциальное проективно-метрическое пространство Кп, двойственное исходному Кп относительно инволютивного преобразования структурных форм; __
2) квадратичные гиперполосные распределения // в К п и Н в Кп, двойственные исходным распределениям Я и Н соответственно.
В §3 строятся и изучаются инвариантные оснащения квадратичных распределений Я и Я в смысле А.П. Нордена (п.1), Э. Картана (п. 2) и Э. Борто-лотги (п.З).
В п. 1 доказано, что для нормализованных в смысле А.П. Нордена полями квазитензоров квадратичных гиперполосных распределений Я и
Я соответственно справедливы следующие предложения:
1. в каждом центре А0 нормали первого рода и N ,„+1 полярно сопряженных квадратичных гиперполосных распределений соответственно Я и Я пересекаются по прямой И = [Л0Л,Г„ ], где
2. нормализация одного из регулярных квадратичных распределений Я в К„ и Я в К„ равносильна нормализации другого;
3. условием взаимности (полярной сопряженности) относительно абсолюта полей нормалей I и II родов на распределении Я в К„ является выполнение следующих соотношений:
4. аналогично, если на квадратичном гиперполосном распределении Я в Кп заданы поля инвариантных нормалей первого рода М,„+1 =з ж1пи второго рода N с определяемые соответственно полями квазитензоров \'1 и 1'°, то условие их взаимности относительно абсолюта проективно-метрического пространства имеет вид:
,/°=-(е ,<'' + ? V
* и \<5 и\> N о Ш1 />
5. нормализация Нордена-Чакмазяна квадратичного распределения Я в К„ (Н в Г„) взаимна относительно абсолюта 01_{ пространства Кп тогда и
только тогда, когда взаимна нормализация двойственного образа Я в К„(Н в £и) относительно абсолюта пространства К„.
Относительно оснащения в смысле Э. Картана (§3 п. 2) квадратичного гиперполосного распределения справедливы следующие предложения:
1. нормаль второго рода N„_„,_-,(-40) на квадратичном гиперполосном распределении Я можно принять за ось оснащающей плоскости Картана N„-,„-î(-^o) на квадратичном распределении Я;
2. оснащение квадратичного гиперполосного распределения Я в смысле Э. Картана влечет за собой оснащение подмногообразия H полем нормалей первого рода, а также нормализацию в смысле Нордена-Чакмазяна квадратичного распределения H ;
3. если на распределении H задано поле нормалей первого рода, индуцируемое полем нормалей i , то такое оснащение подмногообразия Я определяет его оснащение в смысле Э. Картана, так как в качестве одного из возможных охватов функции vjj можно взять:
m
при таком охвате функции i оснащающая плоскость называется плоскостью Кёнигса нормали i .
В п.З доказаны утверждения относительно оснащения в смысле Борто-лотти квадратичного гиперполосного распределения:
1. на квадратичном гиперполосном распределении m-мерных линейных элементов Я (ш>1) оснащающая гиперплоскость Бортолотти Af ^(Д,) неподвижна тогда и только тогда, когда она "вращается" вокруг нормали второго рода ЛгиМ(Д)) (теорема II .6);
2. если на квадратичном гиперполосном распределении Я оснащающая гиперплоскость Бортолотти Л^^Д-,) неподвижна, то она в каждом центре Д-,
является гиперплоскостью Кёнигса нормали я" второго рода (теорема П .7).
Центральным предложением §4, посвященного изучению аффинных связностей на квадратичных гиперполосных распределениях Я и Я , является теорема И.8:
на нормализованном квадратичном гиперполосном распределении ш-мерных линейных элементов Я в Кп индуцируются две двойственные аф-1 2
финные связности V и V, причем эти связности:
1) совпадают тогда и только тогда, когда нормализация |г,', » *r° j подмногообразия Я является взаимной относительно абсолюта ;
2) имеют нулевое кручение тогда и только тогда, когда квадратичное гиперполосное распределение Я голономно, т.е. N'[m,j=0.
Доказано, что:
1 2
1. двойственные аффинные связности V и V на нормализованном квадратичном гиперполосном распределении Я сопряжены относительно поля тен-
зора g вдоль любой кривой /, принадлежащей базисному распределению многообразия Я (теорема II .9);
2. взаимная нормализация квадратичного гиперполосного распределения
1 2
Я в Ки индуцирует вейлево пространство ,„ = A„_Un вдоль любой кривой /, принадлежащей базисному распределению подмногообразия Я (теорема 11.10).
Для квадратичного гиперполосного распределения (п-т-1)-мерных линейных элементов Я, нормализованного в смысле Нордена-Чакмазяна полями квазитензоров г*, г,°, с точностью до замены индексов {/,_/,А,...}<-> {v,v,ir,.-.) и до замены функций А!а «-> N'ua справедливы аналогичные предложения.
В §5 на оснащенном в смысле Нордена-Картана квадратичном гиперполосном распределении Я в расслоении нормалей первого рода найдены шесть 1-6
нормальных связностей V (теорема 11.11).
Имеет место теорема 11.12: если на оснащенном в смысле Нордена-Картана квадратичном гиперполосном распределении Я оснащающая плоскость Картана iV„_m_, неподвижна, то индуцируемая в расслоении нормалей
1
I
первого рода связность V = V является плоской тогда и только тогда, когда она полуплоская.
На оснащенном в смысле Нордена-Бортолотти квадратичном гиперполосном распределении Н в расслоении нормалей второго рода найдена нормальная связность Vх и доказано, что если на оснащенном в смысле Нордена-Бортолотти квадратичном гиперполосном распределении Я оснащающая гиперплоскость Бортолотти неподвижна, то индуцируемая в расслоении
нормалей второго рода связность Vх является плоской тогда и только тогда, когда она полуплоская (теорема П. 12 *).
Доказано, что поле характеристик хп_т_у подмногообразия Н параллельно в нормальной связности V1, поле m-мерных плоскостей жт базисного распределения параллельно в нормальной связности V1 (п.З).
§6 посвящен рассмотрению автополярной нормализации невырожденного абсолюта 0},А проективно-метрического пространства Кп. Доказано, что абсолют Опроективно-метрического пространства К п нормализован автополяр-но тогда и только тогда, когда двойственные аффинные связности V и V, индуцируемые на нормализованном абсолюте, совпадают (теорема II. 13).
Автополярная нормализация невырожденного абсолюта О^ проективно-
метрического пространства К„ индуцирует вейлеву связность V с полем мет° f'L'f а п Ос с п
рического тензора gob и с дополнительной формой <9 = со0 -a"„ - \'со)сй -ус„(в" (теорема 11.14 ).
Заметим, что в случае одновременного выполнения двух условий:
12
1) сопряженность поля нормалей первого рода абсолюту
2) гармоничность поля нормалей второго рода абсолюту О^ 0), согласно А.П. Нордену [20], нормализация называется вполне гармоничной абсолюту о\_х.
Показано, что автополярная нормализация невырожденного абсолюта 0,1 | проективно-метрического пространства Кп индуцирует риманову связность V с полем метрического тензора '¿аЬ тогда и только тогда, когда нормализация вполне гармонична гиперквадрике 01А (теорема II. 15).
В §7 главы II вводятся в рассмотрение ткани на квадратичном гиперполосном распределении и найдены некоторые приложения двойственных аффинных евязностей к рассмотрению их частных классов.
Если на базисном распределении многообразия Я в Кп задано т( т> 2) линейно независимых гладких полей допустимых направлений А0Вп где = а{АJ, ¡а/| * 0, то линии, огибающие эти направления, принадлежат базисному распределению т-мерных линейных элементов и образуют на нем т-ткань .Г. Доказаны следующие предложения:
Теорема П. 18. Квадратичное гиперполосное распределение Я в А'„, несущее сопряженную относительно поля тензора g¡¡ голономную ш-ткань .Г (ш > 3), является т -сопряженной системой в смысле Р.В.Смирнова [29].
Теорема 11.19. Для квадратичного гиперполосного распределения Я в Кп, несущего сопряженную относительно поля тензора ткань И, принадлежащую распределению Я , поля её инвариантных гармонических плоскостей и нормализуют многообразие Я взаимно.
Теорема 11.20. Сопряженная относительно поля тензора g.s т -ткань на квадратичном гиперполосном распределении Я в Кп есть ткань с совпавшими псевдофокусами Р/ (с совпавшими псевдофокальными гиперплоскостями ;;/) тогда и только тогда, когда относительно поля её гармонических плоскостей 4? ((/';) она является геодезической тканью второго (первого) рода.
Теорема 11.21. Сопряженная относительно поля тензора gjs чебышевская т -ткань £ первого (второго) рода, принадлежащая распределению Я в Кп, является геодезической второго (первого) рода.
Следствие. Сопряженная относительно поля тензора gl. чебышевская да -ткань -Г первого (второго) рода, принадлежащая распределению Я в Кп, относится к классу тканей с совпавшими псевдофокусами /7/ (псевдофокальными гиперплоскостями т;/).
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ
1. В проективно-метрическом пространстве К„ с абсолютом 0;_, регулярное гиперполосное распределение т-мерных линейных элементов Я (ш < и -1) инвариантным внутренним образом индуцирует:
1) в третьей дифференциальной окрестности проективно-метрическое пространство К двойственное К„ относительно инволютивного преобразования
структурных форм,
2) во 2-й дифференциальной окрестности образующего элемента распределения многообразие Я в Кп, двойственное исходному подмногообразию Я.
2. Найдены две двойственные аффинные связности V и V, индуцируемые на гиперполосном распределении, нормализованном полями квазитензоров
}; получен ряд свойств этих связностей.
3. При некоторых условиях найдены гиперполосные распределения Я т-мерных линейных элементов и Я (п-т-1)-ыеуиых линейных элементов полярные относительно абсолюта 0,1; исходному распределению Я в Кп, доказано, что двойственная нормализация исходного регулярного гиперполосного распределения Я определяет двойственную нормализацию полярного распределения Я.
4. На двойственно нормализованной регулярной гиперполосе Я„, с К„ (?п<п -1) в касательном расслоении Тт{Н,„) индуцируются две двойственные
1 2
аффинные связности V и V без кручения; получен ряд свойств по изучению
геометрии этих связностей.
5. Построены основы двойственной теории оснащенного квадратичного гиперполосного распределения иг-мерных линейных элементов Я , погруженного в проективно-метрическое пространство К„: двойственные аффинные связ-
1 2
ности V и V и их приложения к изучению геометрии ш-тканей на Я (чебышев-ские и геодезические ткани первого и второго родов), двойственные нормальные связности V1 и Vх и т.д.
Список литературы
[1] Близникас В. И. Дифференциальная геометрия неголономной гиперповерхности риманова пространства / В. И. Близникас // та1. гтктуз: лит. мат. сб., 1971. - Т. 11. - № 1. - С. 63-74.
[2] Близникас В. Я. О неголономной поверхности трёхмерного пространства проективной связности / В. И. Близникас // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. -М„ 1971. - Т. 3. - С. 115-124.
[3] Вагнер В.В. Дифференциальная геометрия неголономных многообразий/ В.В.Вагнер // Сб. 8-го Межд. конкурса на соискание премий им. Лобачевского,-Казань, 1940.-С. 195-262.
[4] Вагнер В.В. Теория конгруэнций кругов и геометрия неголономного Г'3" в Л, / В.В.Вагнер // Тр. семин. по векторному и тензорному анализу / МГУ. -1941.-Вып. 5.-С. 271-283.
[5] Вагнер В.В. Геометрическая интерпретация движения неголономных динамических систем / В.В.Вагнер // Тр. семин. по векторному и тензорному анализу / МГУ. - 1941. - Вып. 5. - С. 301-327.
[6] Вагнер В.В. Геометрия (;;-1)-мерного неголономного многообразия в и -мерном пространстве / В.В.Вагнер // Тр. семин. по векторному и тензорному анализу / МГУ. - 1941. - Вып. 5. - С. 173-225.
[7] Вагнер В.В. Теория поля локальных гиперполос / В.В.Вагнер // Тр. семин. по векторному и тензорному анализу. - 1950. - В. 8. - С. 197-272.
[8] Вагнер В. В. Теория составного многообразия / В. В. Вагнер // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. - 1950. - Вып. 8. - С. 1172.
[9] Василян М.А. Об инвариантном оснащении гиперполосы / М.А. Васи-лян. // Докл. АрмССР. - 1970. - Т.50. - №2. - С.65-70.
[10] Гохлтн А. В. Дифференциальная геометрия и классическая динамика систем / А. В. Гохман // Труды Геометр, семинара / ВИНИТИ АН СССР. - М., 1966.-Т. 1.-С. 111-138.
[11] Картан Э. Пространства аффинной, проективной и конформной связности / Э. Картан. - Казань: Изд. Казанск. ун-та, 1962. - 210 с.
[12] Картан Э. Внешние дифференциальные системы и их геометрические приложения / Э. Картан. - М.: МГУ, 1962. - 237 с.
[13] Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий / Г. Ф. Лаптев // Труды Моск. матем. о-ва. - 1953. - Т.2. - С.275-382.
[14] Лаптев Г. Ф. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований / Г. Ф. Лаптев // Труды 3-го Всес. матем. съезда. -М„ 1958. - Т. 3. - С. 409-418.
[15] Лаптев Г. Ф. Многообразия, погруженные в обобщенные пространства. / Г. Ф. Лаптев // В сб. "Труды 4-го Всес. матем. съезда (1961)". - Ленинград, 1964.-Т. 2.-С. 226-238.
[16] Лаптев Г.Ф. Распределения /п-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. I / Г.Ф. Лаптев, Н.М. Остиану //.Труды Геометрического семинара - М., 1971. - Т.З. - С.49-94.
[17] Лаптев Г. Ф. Распределения касательных элементов / Г. Ф. Лаптев // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. -М., 1971. - Т. 3. - С. 2948.
[18] Лумисте Ю. Г. Распределения на однородных пространствах / Ю. Г. Лумисте // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. - М., 1977. - Т. 8. - С. 5-24.
[19] Норден А. П. О внутренних геометриях поверхностей проективного пространства / А. П. Норден // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. -М., 1948. -Вып. 6. - С. 125-224; Вып. 7. - С. 31-64.
[20] Норден А. П. Пространства аффинной связности / А. П. Норден. - М.: Наука, 1976.-432 с.
[21] НорденА. П. Теория композиций / А. П. Норден // Итоги науки и техн. Проблемы геометрии/ВИНИТИ АН СССР.-М„ 1978.-Т. 10.-С. 117-145.
[22] Норден А. П. Многочленные композиции и теория распределений / А. П. Норден//Известия вузов. Матем. - 1978. -№11. -С. 87-97.
[23] Остиану Н. М. Распределения /»-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. П / Н. М. Остиану // Тр. Геом. семинара/ Ин-т научн. информ. АН СССР. - М., 1971. - Т. 3. - С. 95-114.
[24] Остиану Н. М. Распределение гиперплоскостных элементов в проективном пространстве / Н. М. Остиану // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. -М„ 1973. - Т. 4. - С. 71-120.
[25] Остиану Н. М. Очерк научных исследований Германа Федоровича Лаптева. / Н. М. Остиану, В.В. Рыжков, П.И. Швейкин // Тр. Геом. семинара/ Ин-т научи, информ. АН СССР. -М., 1973. - Т. 4. - С. 7-70.
[26] Попов Ю. II. О двойственности трёхсоставных распределений / Ю. И. Попов // Калинингр. гос. ун-т. - Калининград, 2004. - 17 с. - Деп. в ВИНИТИ 26.01.2004, №131-В2004Деп.
[27] Рашевский П. К. Геометрическая теория уравнений с частными производными / П.К. Рашевский. - М.: Гостехиздат, 1947. - 354 с.
[28] Синцов Д. М. Работы по неголономной геометрии / Д.М. Синцов. - Киев: Вшца школа, 1972- 294 с.
[29] Смирнов Р.В. Преобразования Лапласа /»-сопряженных систем / Р.В. Смирнов//ДАН СССР. - 1950. -Т.71. - №3. - С.437-439.
[30] Столяров А. В. Проекгивно-дифференциальная геометрия регулярного гиперполосного распределения w-мерных линейных элементов / А. В. Столяров// Проблемы геометрии / Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР. - 1975. -Т.7. - С.117-151.
[31] Столяров А. В. Двойственная теория оснащенных многообразий: Монография / А. В. Столяров. - Чебоксары: Чувашский гос. пед. институт им. И.Я. Яковлева, 1994. - 290 с.
[32] Столяров .4. В. Пространство проективно-метрической связности / А. В. Столяров // Известия вузов. Математика. - 2003. - №11. - С. 70-76.
[33] Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии / С. П. Фиников - М. - Л.: ГИТТЛ, 1948. - 432 с.
[34] Чакмазян А.В. Двойственная нормализация / А.В. Чакмазян // Докл. АН АрмССР. - 1959. - Т.28. -№4.-С. 151-157.
[35] Чаплыгин С. А. К теории движения неголономных систем. Теорема о приводящем множителе. / С.А. Чаплыгин. - Л.: Полн. собр. соч., 1933. - Т.1. -С.212-214.
[36] Ehresmann С. Les connexions infinitesimals dans un espace fibre differen-tiable / C. Ehresmann // Collque de Topologie (Bruxelles, 1950). - Paris, 1951. -P. 29-55.
[37] Levi-Civita T. Nozioni di parallelismo in una varieta qualunque e conse-guente specificazione geometrica della curvature Riemanniana / T. Levi-Civita // Rend. circ. matem. -Palermo, 1917, 42. -P. 173-205.
[38] Michailescu T. Geometrie differentials projectiva / T. Michailescu // Bucur-e?tiAcad. RPR, 1958. -394 p.
[39] PfaffJ. -Berl. Abh. / J. Pfaff - 1814. - S. 76-135.
[40] Schonten J. Л. Ricci Calculus / J. A. Schouten. - Berlin. 2nd ed. - 1954.
[41] Vranceanu L. Les espaces non-holonomes / L. Vranceanu // Memorial des Sei Math., fasc. LXXXV. - Paris, 1936.
[42] iVeyl H. Raum, Zeit, Materie / H. Weyl. - Berlin, 1918.
РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
[1] Смирнова E.H. Оснащения по А.П.Нордену взаимно-полярных неголо-номных гиперполос в проективно-метрическом пространстве / E.H. Смирнова // ВИНИТИ РАН. - М„ 2005. - №746 - В2005 - 11 с.
[2] Смирнова E.H. Номализация взаимно-полярных гиперполосных распределений в проективно-метрическом пространстве / E.H. Смирнова // Научно -информационный вестник докторантов, аспирантов, студентов. №1 (5): в 2 т. Т.1. - Чебоксары : ЧГПУ им. И.Я. Яковлева, 2005. - С. 10-14.
[3] Смирнова E.H. Оснащения по А.П.Нордену взаимно-полярных неголо-номных гиперполос в проективно-метрическом пространстве / E.H. Смирнова // Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского. Т. 31: материалы Четвёртой молодёжной науч. школы-конф. - Казань: Изд-во Казанского мат. об-ва, 2005 .-С. 60-63.
[4] Смирнова E.H. Тангенциальное проективно-метрическое пространство, индуцируемое взаимной неголономной гиперполосой / E.H. Смирнова // ВИНИТИ РАН. - М„ 2007. - №1015 - В2007 - 18с.
[5] Смирнова E.H. Двойственная геометрия взаимной регулярной неголономной гиперполосы в проективно-метрическом пространстве / E.H. Смирнова// Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского. Т.36: материалы Шестой молодёжной науч. школы-конф. - Казань: Изд-во Казанского мат. об-ва, 2007 .-С. 199-202.
[6] Смирнова E.H. Двойственные поля геометрических объектов на регулярной неголономной гиперполосе в проективно-метрическом пространстве / E.H. Смирнова // ВИНИТИ РАН. - М., 2008. - №283 - В2008 - 25 с.
[7] Смирнова E.H. E.H. Двойственность квадратичного гиперполосного распределения в проективно-метрическом пространстве / E.H. Смирнова // Научно - информационный вестник докторантов, аспирантов, студентов. №1 (11): в 2 т. Т.I. - Чебоксары : ЧГПУ им. И.Я. Яковлева, 2008. - С. 24-29.
[8] Смирнова E.H. Квадратичное гиперполосное распределение в проективно-метрическом пространстве / E.H. Смирнова // Межвузовский тематический сб. науч. тр. - Калининград: Изд-во Российского гос. университета им. И. Канта, 2008. - Вып. 39 - С. 124-129.
[8] Смирнова E.H. Двойственность неголономной квадратичной гиперполосы в проективно-метрическом пространстве / E.H. Смирнова // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. Т.37: материалы Седьмой молодежной науч. школы-конф. - Казань: Изд-во Казанского мат. об-ва, 2008. -С. 164-167.
[10] Смирнова E.H. Двойственные аффинные связности на квадратичном гиперполосном распределении в проективно-метрическом пространстве и их
приложения. / E.H. Смирнова // Наука XXI века. Сборник статей по материалам V Республиканского конкурса научно-исследовательских работ студентов, аспирантов, молодых ученых и научно-технических работников (в области ес-теств.-матем. йтех. наук). - Чебоксары: ЧГИГН, 2008. - С. 14-18.
[11] Смирнова E.H. Внутренняя геометрия квадратичного гиперполосного распределения в проективно-метрическом пространстве / E.H. Смирнова // ВИНИТИ РАН. - М„ 2009. - №4 - В2009. - 24 с.
[12] Смирнова E.H. Двойственные аффинные связности на квадратичном гиперполосном распределении в проективно-метрическом пространстве и их приложения / E.H. Смирнова // Известия высших учебных заведений. Математика. - Казань: Издательство Казанского государственного университета им. В.И. Ульянова-Ленина, 2009. - №5. - С. 73-77.
[13] Смирнова E.H. Нормальные связности на квадратичном гиперполосном распределении / E.H. Смирнова // ВИНИТИ РАН. - М., 2009. - №333-В2009. - 27 с.
[14] Смирнова E.H. Инвариантные оснащения квадратичного гиперполосного распределения / E.H. Смирнова И Математика. Образование: Материалы XVII международной конференции- Чебоксары: Изд-во Чуваш, гос. ун-та,
2009.-С. 306.
[15] Смирнова E.H. Полярные гиперполосы в проективно-метрическом пространстве / E.H. Смирнова // ВИНИТИ РАН. - М„ 2009. - №524 - В2009,-14 с.
[16] Смирнова E.H. Нормализация полярных гиперполос в проективно-метрическом пространстве / E.H. Смирнова // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. Т.39 : материалы Восьмой молодежной науч. школы-конф. - Казань: Изд-во Казанского мат. об-ва, 2009. - С. 344-347.
[17] Смирнова E.H. Аффинные связности на полярных пшерполосах в про-ективно-метрическом пространстве / E.H. Смирнова // ВИНИТИ РАН. - М.,
2010. - №299 - В2010. - 27 с.
[18] Смирнова E.H. Оснащение полярной гиперполосы в проективно-метрическом пространстве. / E.H. Смирнова // Геометрия в Одессе - 2010: Тезисы докладов международной конференции. - Одесса: Фонд "Наука", 2010. -С. 56.
[19] Смирнова E.H. Двойственные аффинные связности на гиперполосе в проективно-метрическом пространстве / E.H. Смирнова // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. Т.40 : материалы Девятой молодежной науч. школы-конф. - Казань: Изд-во Казанского мат. об-ва, 2010. - С.312-315.
[20] Смирнова E.H. Двойственная нормализация полярных неголономных гиперполос в проективно-метрическом пространстве / E.H. Смирнова // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева. - Чебоксары: ЧГПУ им. И.Я. Яковлева, 2011. - №2(70) - 4.1. - С. 140-144.
[21] Смирнова E.H. Двойственность гиперполосного распределения в про-ективно-метрическом пространстве / E.H. Смирнова // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева. - Чебоксары: ЧГПУ им. И.Я. Яковлева, 2011. -№2(70)-4.1. - С. 145-149.
Подписано к печати 06.04.2012. Формат 60 х 84/16. Бумага писчая. Печать оперативная. Усл. печ. л. 1,1. Тираж 100 эй. Заказ №67.
Отдел полиграфии
ФГБОУ ВПО «Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева» 428000, Чебоксары, ул. К. Маркса, 38.
61 12-1/1118
ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет
имени И. Я. Яковлева»
На правах рукописи
Смирнова Елена Николаевна
ОСНОВЫ ДВОЙСТВЕННОЙ ТЕОРИИ РЕГУЛЯРНОГО ГИПЕРПОЛОСНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В ПРОЕКТИВНО-МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ
01.01.04 - геометрия и топология
Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
профессор Столяров А. В.
Чебоксары 2012
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ..............................................................................5
1. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР......................................................5
2. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ.........................8
1. Постановка вопроса и актуальность темы...............................8
2. Цель работы...................................................................9
3. Методы исследования.......................................................10
4. Научная новизна.............................................................10
5. Теоретическая и практическая значимость.............................10
6. Апробация.....................................................................10
7. Публикации...................................................................11
8. Вклад автора в разработку избранных проблем......................11
9. Структура и объем работы.................................................11
10.Некоторые замечания.......................................................11
3. СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ..........................................12
ГЛАВА 1. Двойственная теория регулярного гиперполосного распределения ш-мерных линейных элементов в проективно-метрическом пространстве............................................................................21
§1. Проективно-метрическое пространство.....................................21
§2. Гиперполосное распределение т-мерных линейных элементов...........23
1. Гиперполосное распределение т-мерных линейных элементов...23
2. Поля фундаментальных и охваченных геометрических объектов на регулярном гиперполосном распределении........................28
§3. Поле соприкасающихся гиперквадрик..........................................33
§4. Тангенциальное проективно-метрическое пространство, индуцируемое неголономной гиперполосой..........................................................36
1. Двойственный образ регулярного гиперполосного распределения и тангенциальное проективное пространство.........................36
2. Двойственные проективно-метрические пространства.............39
3. Двойственные поля геометрических объектов на регулярном гиперполосном распределении..............................................43
4. Нормализация в смысле А.П. Нордена гиперполосного распределения...........................................................................44
5. Применение двойственной теории гиперполосного распределения Н в Кп к построению его инвариантных нормализаций...........47
6. Двойственная нормализация неголономной гиперполосы, индуцируемая абсолютом........................................................49
£5. Аффинные связности на гиперполосном распределении Н...............51
§6. Взаимно-полярные гиперполосные распределения в проективно-
метрическом пространстве.........................................................54
§7. Оснащения по А.П. Нор дену полярного гиперполосного распределения
Н..........................................................................................61
§8. т-мерная гиперполоса в проективно-метрическом пространстве.....63
1. т-мерная гиперполоса в проективно-метрическом пространстве....................................................................................63
2. Двойственный образ регулярной гиперполосы Нт в Кп...........67
3. Двойственные аффинные связности на нормализованной регулярной гиперполосе................................................................69
4. Полярный образ т-мерной гиперполосы.............................74
5. Аффинная связность на полярной гиперполосе......................76
ГЛАВА 2. Квадратичное гиперполосное распределение га-мерных линейных элементов в проективно-метрическом пространстве............79
§1. Квадратичное гиперполосное распределение т-мерных линейных элементов....................................................................................79
§2.Двойственность теории квадратичного гиперполосного распределения..........................................................................................83
1. Двойственный образ квадратичного гиперполосного распределения и тангенциальное проективное пространство........................83
2. Двойственные проективно-метрические пространства.............84
§3. Инвариантные оснащения квадратичного гиперполосного распределения..........................................................................................85
1. Нормализация в смысле А.П. Нордена двойственных квадратич ных гиперполосных распределений.....................................85
2. Инвариантное оснащение квадратичного гиперполосного распре деления в смысле Э. Картана.............................................88
3. Инвариантное оснащение квадратичного гиперполосного распределения в смысле Э. Бортолотти.........................................91
§4. Аффинные связности на квадратичном гиперполосном распределении.......................................................................................................................95
1. Двойственные аффинные связности на квадратичном гиперполосном распределении т-мерных линейных элементов.................95
2. Двойственные аффинные связности на квадратичном гиперполосном распределении (п-т-1)-шщых характеристик..................97
§5. Нормальные связности на квадратичном гиперполосном распределении
т-мерных линейных элементов.......................................................99
1. Нормальные связности, индуцируемые в расслоении нормалей первого рода на квадратичном гиперполосном распределении.......................................................................................................99
2. Нормальные связности, индуцируемые в расслоении нормалей второго рода на квадратичном гиперполосном распределении.............................................................................104
3. Поля плоскостей, параллельные в нормальных связностях.......105
§6. Автополярная нормализация абсолюта j проективно-метрического пространства Кп.....................................................................108
1. Нормализация абсолюта QnA...........................................108
2. Автополярная нормализация абсолюта Ql_{ .........................110
§7. Ткани на квадратичном гиперполосном распределении..................111
1. Ткани на квадратичном гиперполосном распределении...........111
2. Некоторые приложения двойственных аффинных связностей к изучению внутренней геометрии w-тканей..............................115
ЛИТЕРАТУРА....................................................................118
ВВЕДЕНИЕ 1. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР
Известно, что геометрия распределений m-мерных линейных элементов (неголономная геометрия) тесно связана с проблемой Пфаффа [118], то есть с проблемой описания интегральных многообразий максимальной размерности для системы уравнений Пфаффа
ва - 0,а - \,п - т, (*)
задаваемой набором п-т форм Пфаффа в" в некоторой области U однородного пространства Мп, линейно независимых в каждой точке х е U ; с геометрической точки зрения система (*) определяет распределение m-мерных линейных элементов Ах [34], [39]:
Важность проблемы Пфаффа, а следовательно, и актуальность изучения геометрии распределений определяется тем, что систему дифференциальных уравнений в частных производных всегда можно трактовать как пфаффову систему [28], [56], то есть задача об интегрировании любой конечной системы дифференциальных уравнений с частными производными эквивалентна задаче об интегрировании некоторой системы Пфаффа.
Некоторые задачи движения механических систем, подчиненных добавочным линейным неголономным связям, задаваемым, например, неинтег-рируемой системой уравнений Пфаффа, в пространстве конфигураций механической системы приводят к понятию неголономного многообразия (см., например, работы В.В. Вагнера [12], [13], A.B. Гохмана [22], П.К. Ра-шевского [56], С.А. Чаплыгина [104]).
Наряду с этим к понятию неголономного многообразия математики пришли и независимо от задач механики путем обобщения основных положений геометрии подпространств на случай, когда поле m-мерных пучков направлений не задает семейства m-мерных подпространств (см. работы В.В. Вагнера [11], [14], Д.М. Синцова [59], Схоутена [121], монографии Врэнчану [122] и Михэйлеску [117]).
В 70-х годах прошлого века теория распределений m-мерных касательных элементов в пространстве представления некоторой группы Ли, а также обобщенная теория распределений m-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности Рп п (в частности, в проективном пространстве Рп) получили дальнейшее развитие в инвариантной аналитической форме в работах Г.Ф. Лаптева, Н.М. Остиану (см. [33], [34], [49], [50]); в случае распределений гиперплоскостных элементов в пространствах со связностью без кручения эта теория получила свое отражение в работах В.И. Близникаса [5], [6]. Ю.Г. Лумисте [39] исследует распределения на од-
нородных пространствах, названных им пространствами проективного типа. А.П. Норден [46], [47] устанавливает связь теории многочленных композиций с теорией распределений.
A.B. Столяров [82] впервые ввёл понятие гиперполосного распределения в n-мерном проективном пространстве Рп как пары распределений первого рода - распределение m-мерных линейных элементов {Л,7тт} (.т<п-1) и распределение гиперплоскостных элементов {А,лп_х} с полем общего центра А и отношением инцидентности соответствующих элементов: А & 7iт а 71п_х.
В исследовании оснащенных подмногообразий, погруженных в однородные и обобщенные пространства, важное место занимает теория связ-ностей в различных расслоенных пространствах.
История теории связностей начинается с 1917 года с работы Т. Леви-Чивита [116] о параллельном перенесении вектора в римановой геометрии. Эта идея была обобщена в различных направлениях, например, в общей теории относительности. Для построения единой теории поля в 1918 году Г. Вейль [123] ввёл понятие пространства аффинной связности. Дальнейшее обобщение дал в 1920 году Р. Кэниг [115], рассматривая линейную связность в векторном расслоении над областью числового пространства.
Новый этап в развитии теории связностей открыли работы Э. Картана [27] в 20-х годах XX века, в которых касательные векторные пространства заменялись аффинными, проективными или конформными пространствами. В 1924 году И. А. Схоутен [119], [120] установил взаимосвязь между концепциями Кэнига и Картана.
В 1950 году В. В. Вагнер [15], [17] и Ш. Эресман [114] независимо друг от друга ввели общее понятие связности в расслоенном пространстве.
А. П. Норден [43], [45] разработал метод нормализации, позволяющий в касательных расслоениях подмногообразий проективного пространства индуцировать аффинные связности без кручения. Согласно работе А. П. Нордена [45], нормализация п -мерного проективного пространства Рп состоит в задании некоторого однозначного, непрерывного и дифференцируемого соответствия «точка А0 - гиперплоскость », где А0 g . При этом, принимая гиперплоскость за образующий элемент пространства, автор строит проективное пространство Рп, двойственное исходному пространству Рп. Нормализации А0 —> отвечает внутренняя проектив-но-евклидова геометрия (первого рода). Применение принципа двойственности к нормализованному пространству Рп позволило принять гиперплоскость за нормализуемый элемент проективного пространства Рп, а связку гиперплоскостей с центром в точке А0 - за нормализующее многообразие и связать с тем же двойственным соответствием внутреннюю аффинную связность второго рода (без кручения), также принадлежащую к
классу проективно-евклидовых пространств. В силу двойственности пространств Рп и Рп индуцируемые аффинные связности первого и второго родов А. П. Норденом также названы двойственными.
А. В. Столяров [84] метод Г. Ф. Лаптева использовал для построения основ двойственной теории оснащенных многообразий, погруженных в пространство проективной связности Рп п. При этом определение двойственных пространств с линейной связностью дано с точки зрения инволю-тивных преобразований форм их связностей. Такое определение позволило А. В. Столярову при изучении двойственной геометрии подмногообразий расширить объемлющее пространство (проективное) до пространства проективной связности, привлечь к изучению геометрии подмногообразия его двойственный образ, рассматривать двойственные вопросы не только при нормализации [45] подмногообразия, но и при различных других его оснащениях, впервые проводить изучение двойственной геометрии неголоном-ных многообразий (распределений). В частности, А. В. Столяров строит [84] инвариантную двойственную теорию нормализованного пространства проективной связности Рпп, регулярного гиперполосного распределения
Н а Рпп, а также регулярного распределения гиперплоскостных элементов , погруженного в пространство проективной связности Рп п.
Развивая идеи A.B. Столярова, изучением двойственной геометрии различных распределений занимались Д.А. Абруков [1], С.В.Фисунова [97], [98], П.А. Фисунов [96]. Ю.И. Попов исследует трёхсоставные распределения пространства Рп (см. [52]—[54]).
Используя двойственный характер геометрии проективного пространства Рп, А. П. Норден [45], В. В. Вагнер [16], А.П.Широков [111], A.B. Чакмазян [102], Ю. И. Попов [55], Г. В. Бушманова [10], Г. Н. Тевзадзе [91], М. А. Василян [18] - [20] и другие получили ряд глубоких результатов по изучению некоторых вопросов двойственной геометрии нормализованной гиперповерхности Vn_x сРя, гиперполосы Нт cz Рп, нормализованного пространства Рп.
В работе A.B. Столярова [84], используя данное им определение двойственных пространств с линейной связностью с точки зрения инволютив-ных преобразований структурных форм их связностей, значительно расширена двойственная теория оснащенных многообразий, погруженных в пространство проективной связности Рп п.
Согласно А. П. Нордену [45], пространством п измерений с проективной метрикой или пространством Кп называется такое пространство, образом точки которого является точка проективного пространства, а фундаментальной группой - подгруппа проективных преобразований, сохраняющих некоторый поляритет (абсолют). Этот поляритет называется абсо-
лютным поляритетом пространства Кп. В монографии А. П. Нордена изучаются некоторые вопросы геометрии пространства Кп с невырожденным абсолютом Qn_x. В случае, когда абсолют Qn_x овального типа, поляритет называется гиперболическим.
Гиперболическое пространство Ки представляет собой проективную интерпретацию геометрии Лобачевского. С помощью этой интерпретации Ф. Клейн дал строгое доказательство ее непротиворечивости.
Г.Ф. Лаптев [30] вводит понятие пространства проективно-метрической связности Кп п: пространство Кп п есть пространство проективной связности Рп п, обладающее инвариантным полем локальных гипер-
■л
квадрик Qn_, (локальных абсолютов). A.B. Столяровым [90] найдено инвариантное аналитическое условие, при выполнении которого пространство Рп п становится пространством Кп п.
Кривые и поверхности в евклидовом и проективном пространствах с вырожденным (невырожденным) абсолютом рассматриваются в работах А. Э. Хатипова [99] - [101], Р. Г. Бухараева [9], А. П. Нордена [44], И.Н. Мигалевой [41].
2. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ
1. Постановка вопроса и актуальность темы.
Теория различных дифференцируемых подмногообразий в однородных и обобщенных пространствах составляет одно из основных направлений исследований современной дифференциальной геометрии. Актуальным разделом этой теории является дифференциальная геометрия оснащенных многообразий, погруженных как в пространства с фундаментальными группами, так и в обобщенные пространства.
Дифференцируемое многообразие, погруженное в пространство с фундаментально-групповой связностью, называется оснащенным [30], если на нём определено поле некоторого геометрического объекта gx (поле оснащающего объекта многообразия):
где о)'ь - главные (первичные) формы, а со"2 - вторичные формы Пфаффа на многообразии. Тип оснащения погруженного многообразия характеризуется строением основных функций у* (g), определяющих оснащающий
объект gx; в зависимости от их строения получаем различные оснащения многообразия (например, в смысле А.П. Нордена [45], Э. Картана [113] и ДР-)-
Отметим, что задачи, возникающие при изучении оснащенных многообразий, в зависимости от типа оснащения, характера объемлющего пространства и исходного погруженного многообразия, оказываются весьма разнообразными, что, по-видимому, делает проблему построения дифференциальной геометрии оснащенных многообразий неисчерпаемой.
Объектом исследования настоящей работы являются:
1) гиперполосное распределение т -мерных линейных элементов Н , погруженное в проективно-метрическое пространство Кп (глава I);
2) гиперполоса в пространстве Кп (глава I);
3) квадратичное гиперполосное распределение т -мерных линейных элементов, погруженное в проективно-метрическое пространство Кп (глава II).
Эти исследования являются актуальными и представляют большой научный интерес, ибо:
1) изучение двойственной геометрии неголономной гиперполосы (то есть гиперполосного распределения т -мерных линейных элементов) в проективно-метрическом пространстве Кп до настоящего времени находилось в начальной стадии;
2) исследования по разработке двойственной теории квадратичных не-голономных гиперполос, вложенных в пространство Кп, ранее геометрами не проводились.
2. Цель работы.
