Метрические пространства с ограниченной кривизной и классические римановы многообразия тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК СССР СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи УДК 514.764.2

Николаев Игорь Георгиевич

МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА С ОГРАНИЧЕННОЙ КРИВИЗНОЙ И КЛАССИЧЕСКИЕ РИШНОВЫ МНОГООБРАЗИЯ

01.01.04 - геометрия и топология

Автореферат на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск - 1989

Работа выполнена в Институте математики Сибирского отделения АН СССР,

Официальны^ оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор А.Т.Фоменко,

доктор физико-математических наук, профессор Ю.Д.Бураго,

доктор физико-математических наук А.К.Гуц

Ведущая организация - Физико-технический институт

низких температур Академии наук Украинской ССР

• Защита состоится "_"_19 г. в_

часов на заседании Специализированного совета Д 002.23.02 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Институте математики СО АН СССР по адресу: 630090, Новосибирск 90, Университетский проспект, 4.

С диссертацией мошо ознакомиться в библиотеке Института математики СО АН СССР; Новосибирск, Университетский проспект, 4.

Автореферат разослан "_"_ 19 г.

Учений секретарь Специализированного совета

доктор физико-математических наук В.С.Белоноеов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию обобщенных римановых пространств. В работе дается решение некоторых известных и сравнительно давно поставленны задач.

Фундамент теории обобщенных римановых пространств был заложен в работах А.Д.Александрова, связанных с изу^нием внутренней геометрии произвольных двумерных выпуклых поверхностей (см. Александров А.Д. Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей. - М.-Л.: Гостехиздат, 1948. - 383 е.). Основные идеи и методы этих исследований легли в основу теории двумерных многообразий ограниченной интегральной кривизны (см. Александров А.Д., Залгаллгр В.А. Двумерные многообразия ограниченной кривизны // Труда мат. ин-та им. В.А.Стеклова АН СССР, 1962, т. 63. - С. 1-262). В работе А.Д.Александрова "Одна теорема о треугольниках в метрическом пространстве и некоторые ее приложения" (Труды мат. ин-та им. В.А.Стеклова АН СССР, 1951, т. 38. - С. 5-23) был введен класс метрических пространств односторонне ограниченной кривизны и среди них были выделены метрические пространства с двусторонне ограниченной кривизной. Условие ограниченности кривизны определяется чисто синтетически, без использования какого-либо аналитического аппарата, аналогичного тому, который обычно применяется в римановой геометрия.

Класс пространств с двусторонне ограниченной кривизной -пространств кривизны К. и ^ К' является основным

объектом исследования диссерта да. Бри этом ж аксиомам, первоначально предложенным А.Д.Александровым, добавляются еще две, которые, в частности, позволяют заключить, что рассматриваемые пространства являются топологическими многообразиям! конечной размерности.

Эти пространства далее для краткости называются пространствами с ограниченной кривизной.

В двумерном случае пространства с ограниченной кривизно) являются частнш случаем двумерных многообразий ограниченной интегральной кривизны, которые интенсивно изучались в 50-х -60-х годах.

В результате исследований ленинградской школы геометров были получены ответы практически на все принципиальные вопро' еы двумерной теории. В связи с этим следует отметить прежде всего работы А.Д.Александрова, В.А.Залгалле[.з и Ю.Г.Решетняк.

В многомерном случае, который представляет особый интерес для римановой геометрии, после основополагающих работ А.Д-.Алексачдрова (кроме цитированных выше см. также ДвеХ<т4 row A©- OSex есле \г£га.££$ете(петцп£ Rieminnscken. Geomtttie//$<kxcf4.Inst. Wa.th.S.33- ) долгое время не было заметного прогресса. Первое существенно продвижение тут было получено в работе В.Н.Берестовского "О введении римановой структуры в некоторых метрических пространствах" (Сиб. мат. журн., 1975, т. 16, № 4. - С. 651-662 который доказал, что внутренняя метрика пространства с ограниченной кривизной может быть задана с помощью непрерывного метрического тензора. Однако вопрос о дифференциальных свойствах метрического тензора, задающего метрику ограниченной кривизны, оставался открытым.

Изучение пространств с ограниченной кривизной, определя емых для произвольных размерностей, оказалось важным и с точ ки зрения классической римановой геометрии.

Во-первых, изучение этих пространств позволило решить старую задачу о синтетическом описании римановой геометрии. Более точно речь идет об условиях на расстояние в метрическс пространстве, при выполнении которых данное пространство ок£ зывается изомегричным Сz или, в общем случае (Г^-глад-

-сому риманову многообразию ( 2 < m. ^ + =*=> ), .

Во-вторых, имеются примеры, когда обобщенные римзновы пространства существенно используются при решении задач классической римзновой геометрии.

Наиболее важные из имеющихся применений обобщенных рима-•10вых пространств в зада их многомерной римановой геометрии ¡вязаны именно с использованием пространств с ограниченной сривизной и основаны на теореме компактности М.Громова : Grtomov У>1. Structures m* че« рекх <йг s v-zx<«fek Rc'emaafi:eiass. pzt '■< <>c ['•>:<.-

sa P. - Para: СЫгс /'fc-'-.яп^ JVdébxa , t 3,?. 1 . -ISO p. y. /v.,s

Эта теорема утверждает, что множество XRCn^ijS/.Л) всех Т- -мерных компактных бесконечно дифференцируемых римановнх шогообразий Л. , для которых: выполнены условия: dc.hrL J'J. ~ < d, V* Л/. :> / > о , m ос { I K<r | \ ~ Л ,

:вляется предкомпактным подмножеством по отношению к расетоя-:чю Липшица d. ^ в множестве всех a -мерных компактных С1'1 -гладких многообразий с непрерывным метрическим тензо-юм.

Предельные метрики в теореме компактности Громова, как егко показать, являются пространствами с ограниченной кривиэ-' ой. Изучение свойств таких пространств поэтому представляет-я важным в тех вопросах, где применяется теорема компактнос-и. В качестве примера приложения теоремы М.Грог за, в кото-ом существе'-чую роль играет свойство предельного прострзн-тва быть пространством с ограниченной кривизной, отметим еорему М.Берже об устойчивости в теореме яееткоети (см, ier^ex Ж. Sut ¿es va-cCetes Rcemannceлмз pcnceff j4ste ли- dessous de ±/<i// Лпп. Imî. F»ut«.'ct: , G-xenogee, i3&3, т. 33, M2. . - P. ISO),

Цель работы состоит в том, чтобы

I. Получить описание пространства с ограниченной кривиз-эЯ как нерегулярного риманова многообразия и как предела эследовательности классических римановых пространств: опи-зть дифференциальные свойства метрического тензора, задаю-:го метрику ограниченной кривизны, исследовать возможность 1проксимаиии таких метрик классическими римановыми.

2. Получить синтетическое описание классических римано-вых пространств.

Общая методика исследований. Методы, используемые в диссертации, носят смешанный синтетико-аналитический характер. Геометрическая часть основана на использовании различных конструкций синтетического ха^ :\ктера, геометрических оценок и т.д. В аналитической части используются методы и результаты теории эллиптических уравнений, теорки функций с обобщенными производными, теории обобщенных функций. .

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являютсл новыми как по содержанию, так и по методам доказательств.

К основным результатам диссертации относятся:

1. Описание дифференциальных свойств метрики пространства с ограниченной кривизной;

2. Описание класса пространств с ограниченной кривизной как замыкания множества классических римановых многообразий;

3. Геометрическое описание тензора кривизны пространства с ограниченной кривизной;

4. Решение задачи Л.Д.Александрова о синтетическом описании классических римановых пространств;

5. Решение задачи А.Д.Александрова об описании изотропных метрических пространств.

Практическое и теоретическое значение. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в исследованиях ло геометрии "в целом", а также в дистанционной геометрии.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались:

на республиканской конференции по геометрии (Симферополь, 1980), на советско-венгерском симпозиуме (Новосибирск, 1981),на симпозиуме по геометрии "в целом" и основаниям теории относительности (Новосибирск, 1982), на расширенном заседании Московского математического общества, посвященном 75-детлю со дня рождения Н.В.Ефимова (Москва, 1985, совместный доклад с А.Д.Александровым и В.Н.Берестовским), на ыен-дународной конференции по геометрии и приложениям.(НРБ, г. Смолян, 1986), на Всесоюзной конференции по геометрии "в це-

лом" (Новосибирск, 1987), на IX Всесоюзной геометрической конференции (Кишинев, 1988), на Всесоюзном геометрическом семинаре им. Г.Ф.Лаптева (Москва, 1989), а такжи на семинаре "Хроногеометрия" при НГУ (руководитель проф. D.'5.Борисов), на семинаре по геометрич и анализу отдела анализа и геометрии ИМ СО АН СССР (руководитель академик Ю.Г.Решетняк), на семинаре кафедры геометрии ОГУ (руководитель проф. Н.С.Синюков), на семинаре по тензорному анализу и приложениям (кафедра высшей геометрии и топологии МГУ).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [I - III .Из совместной работы с А.Д.Александровым и В.Н.Берестовским [ 53 включены только результаты главы У, принадлежащие автору.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех глав, развитых на 12 параграфов. Параграфы разбиты на пункты и подпункты, снабженные заголовками. Нумерация формул, теорем, леи.! и т.д. в каждом параграфе -автономная.

Диссертация занимает 277 страниц (в том числе 24 рис.). Библиография содержит 65 наименований.

• ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

Сведения, собранные в первой главе диссертации "Основные понятия" играют важную роль на протяжении всей работы.

Для удобства читателя в §§ 1,2 мы привели сведения предварительного характера, в.основном по работам А.Д.Александрова. Центральным из излагаемых здесь понятий является определение ограниченности кривизны по А.Д.Александрову. Это определение основано на известной формуле риманопой геометрии, позволяющей вычислять секционную кривизну риманова многообразия с помощью пределов отн лений "избытков" геодезических треугольников, соответствующие образом стягивающихся к точке риманова многообразия, к их"площади".

§§ 3,4 посвящены изложению вопросов, связанных с определением существования и непрерывности кривизны метрического пространства. Эти вопросы мы обсудим позже.

Прежде, чем привести определение пространства с ограни-

чанной кривизной» напомним основные понятия теории Александрова, содержащиеся в §§ 1,2.

Кривая ¿С в метрическом пространстве (УК., р ) , соединяющая точки X , X £ « называется кратчайшей, если её длина, вычисленная в метрике , равна (> (X , V" ) •

В случаях, когда это не вызывает недоразумений, условимся через X У обозначать кратчайшую, соединяющую точки X. и У • а через X У ~ ее Длину.

Треугольником /} $ С (обозначение Т~ /¡ВС ) называется фигура, состоящая из трех различных точек Л , В , С (вершин треугольника) и трех кратчайших &, С (сторок треугольника), попарно соединяющих эти точки. .

Площадью треугольника Т= ЛВС называется число ■& ( Т )' Равное площади евклидова треугольника с теми же длинами сторон.

Для произвольной пары кривых ¿Те (М, С) с общим началом О £ у/А определено число оС - "верхний угол в смысле А.Д.Александрова". Верхний угол вводится следующим образом.

На кривых выберем точки X, У ( ХФо

ГФ о ). Пусть ЗС=ОХ = с У ,Г= XV. Через У0 с' СС , ^ ) обозначим угол в евклидовом треугольнике со сторонами длины X. , ^ , , лежащий против стороны длины ^ . Тогда ¿с полагается равным:

= ё^к ЧГ0 , ж>у — о .

Избытком треугольника

авс называется величина !г <ГТ) - г+.Д + зг-ог,

где ¿С , « есть верхние углы треугольника I при вершинах /} , В , С соответственно. "

Пусть У - треугольник в метрическом пространстве (»Ж. р) . Определим "усредненную" кривизну треугольника:

К СП = ? СТ)/-5 (Т ) при х5 (Т)_ф О ,

КГП = + оо при ¿СТ) = ои \СТ)уо ,

К СТ)= - оо при -6 Ст) = о И 2"СТ)^ о .

Аналогично определяется "усредненная" кривизна К СТ) :

кггь ксг)

при 4(Т) фо ,

к ст)= + оо при & ст) = о и &ст) ^ о ,

к ет)= -оо при ¿ст) = о и а-ст; ^ о .

Пусть Р - точка из . Предположим, что любые две достаточно близкие точки (уМ, соединены кратчайшей.

Верхнюю и нижнюю кривизны метрического пространства С ЛА. в точке Р определим как

К,. (Р)=ЩК(Г). = КСТ),

где пределы рассматриваются по всевозможным последовательностям треугольников, стягивающихся к точке Р .

Метрическое пространство У1/1 с внутренней метрикой р называется пространством с ограниченной кривизной, если для

С ) выполнены условия:

1) (М, f) - локально компактное метрическое пространство;

2) в (Л, г)

выполнено условие локальной продолжаемости кратчайшей: для каждой точки Р £ ЛС некоторый открытый шар 3 С Р, г р ) обладает тем свойством, что всякую кратчайшую ОС. Ъ/ с концами X , У" £ 8 ( Р, Ур ) можно продолжить до кратчайшей ОСх 3/* 3 (Ж, . внутренними точками которой будут точки X" и ;

3) Для каждой точки Р ЛА, имеют место неравенства:

КЛ(Р) , КМ(Р) > - со .

Глава П "Пространства с ограниченной кривизной" посвящена изучению дифференциальных свойств метрики этих пространств и их описанию как "замыкания" множества классических римано-вых.

Исследованию дифференциальных свойств метрики предшествует введение в § 5 с помощью геометрической конструкции операции параллельного переноса векторов вдоль произвольной спрямляемой кривой, являющегося изометрическим отображением соответствующих касательных пространств.

Введение параллельного переноса в пространстве с ограниченной кривизной и изучение его свойств имеет самостоятельный

интерес. Важно также, что его свойства, полученные исходя из геометрической конструкции параллельного переноса, лежат в основе доказательства одной из основных теорем главы П - теоремы о гладкости метрики пространства с ограниченной кривизной.

Центральная теорема, доказанная о введенном параллельном переносе, состоит в формулировке ограниченности кривизны в терминах параллельного переноса: при параллельном переносе вектора вдоль произвольного достаточно малого контура он получает приращение л р , допускающее оценку

! Л }] \ ^ /■(.-■&• ,

где р>\ - постоянная, зависящая от "границ кривизны" области, Ь - площадь "линейчатой" поверхности, образованной кратчайшими, соединяющими фиксированную точку на контуре с остальными.

Введенный параллельный перенос позволяет доказать, что в рассматриваемых В.Н.Берестовским координатах компоненты метрического тензора пространства с ограниченной кривизной удовлетворяют условию Липшица и тем самым "почта всюду" обладают первыми обобщенными производными.

Координаты, о которых ила речь выше, строились В.Н.Берестовским специальным образом по метрике пространства и называются "дистанционными координатами" (термин принадлежит А.Д.Александрову).

Таким образом, в пространстве с ограниченной кривизной оказывается возможным ввести параллельный перенос аналитически. Именно поле векторов )§ (-¿) назовем параллельным вдоль непрерывно дифференцируемой кривой Г (О , если

где ^ с/ - символы Кристоффеля, вычисленные "почти всюду" вдоль х I в дистанционной системе координат.

§ 6 посвящен изучению свойств связности V , определяемой геометрически введенным параллельным переносом.-Основной результат § 6 состоит в том, что V - связность Леви-Чивита, т.е. риманова связность с нулевым кручением. Тем самьм связность V совпадает со связностью, определяемой аналитически

введен»™ параллельным переносом и мы можем переписать условие ограниченности кривизны пространства через обобщенные производные метрического тензора.

Наличие ограниченных первых производных у метрического тензора в дистанционных координатах позволяет рассмотреть в пространстве с ограниченной кривизной гармонические системы

координат, т.е. такие системы координат £ ___ , |5 |г-_

для которых а , где А ^ оператор Лапласа,

определяемый метрикой пространства с ограниченной кривизной.

Один из центральных результатов о пространстве с ограниченной кривизной - формулируемая гаше теорема о гладкости метрики (§7).

Теорема I. Пусть - пространство с ограниченной кривизной. Тогда в окрестности каждой точки Рб можно ввести гармоническую систему координат. Гармонические системы координат задают на J\K. атлас класса С , где в качестве может быть выбрано произвольное положительное число, меньшее единицы. Компоненты метрического тензора^^' во всякой гармонической системе координат есть непрерывные функции класса , с . где в качестве р может быть взято произвольное число, не меньшее единицы (т.е. компоненты метрического тензора обладают вторыми обобщенными производными, локально суммируемыми в сколь угодно высокой степени).

Замечание I. Из теоремы вложения следует, что в гармонических координатах ^.с} € С при любом < е (О, 1) .

Замечание 2. Компоненты метрического тензора в гармонических координатах почти всюду обладают вторил дифференциалом .

Гармонические системы координат первоначально возникли в физике. В римановой геометрии в связи с исследованием различных вопросов, связанных с гладкостью метрики, они впервые были использованы в работе И.Х.Сабитова и С.З.Шефеля "О связях между порядками гладкости поверхности и ее метрики" (Сиб. мат. «урн., 1976, т. 17, },*• 4. - С. 916-925), идеи которой играют важную роль в диссертации. Позже основные результаты работы И.Х.Сабитова и С.З.Шефеля были передоказаны Д.Детур-ком и Ж.Кажданом.

Отметим также, что частные случаи теоремы I передоказывались спустя 5 лет и более после ее опубликования по крайней мере трижды (см. Peiexs S, Коnvergen-г R<.'emannsckeп. mannitjS-aeic^keCien. . - Вола , 19 8S.-(<8 S.-(Bonnet УКа1к. Sckn/ien ; У 1G9 ); 3) icturnezc'c О. О. Ве-гче? 'S -Lheottm on aCmoit

1/Ъ - pinched mo.n£$ofc(s-. и// У. с/г//, aeom. i V. А/1 P. iOi-133; Greene R?£.,Wu Н.' ^¿psckcis сотГекаепсе о/ Riema.nnta.n. таги-

Jo^s // Pacifcc У. Tilcdk ., i3 88 л v.i3i,Ml-

P. ii°> - iH i J .

Результаты, связанные с исследованием гладкости метрики пространства с ограниченной кривизной содержались в работе автора "Об обобщенных риманоьых пространствах с ограничениями на кривизну (Дисс. канд. физ.-мат. наук: 01.01.04. - Новосибирск, 1980. - 139 е.).

Заключительный параграф главы П - § 8 посвящен описанию множества пространств с ограниченной кривизной как "замыкания" множества классических римановых. Прежде, чем привести формулировку одного из основных утверждений этой главы - теоремы об аппроксимации, напомним необходимые для этого понятия.

Пусть (jK 'л) , (J1/, fa ) ~ метрические пространства. Отклонением липшицева отображения У3: jbt — N/V' называется величина:

J.ev> = (г(Р),ут/Гл1 <-pj(?)|

где Sap рассматривается по всем несовпадающим Р

Расстояние Липшица между метрическими пространствами

(М, £М ) и (jV3 fA/) есть

< (м. ю= ¿«f 11 M-^i+1 endcey~li ],

где ¿"f рассматривается по всем билипшицевым отображениям j{{ на У/ . Б случае отсутствия таких отображений, полагается раьным + оо и ■>

Определим теперь понятно верхней и нижней границы кри-

визны метрического пространства.

Пусть () - метрическое пространство, любые две достаточно близкие точки которого допускают соединение кратчайшей. Верхняя граница кривизны метрического пространства (М,{>) есть: _

К(М) = *«г{Км (Р)] , Р^М,

аналогично определяется нижняя граница кривизны:

к(м)= с?)], р^ ж,

Замечание I. Для К (Ж), К () допускаются бесконечные значения. _

Замечание 2. Для риманова многообразия К(М)

совпадает с { К<г <£) ],а К (Ж) с ¿л£[ К? ($)},

рассматриваемым по всем Р € >Я/С и двумерным площадкам б" с Лр ( К- секционная кривизна ркманоЕа многообразия < М. ( ).

Внутреннюю метрику связного риманова многообразия К хМ., • построенную по метрическому тензору ^ , обозначим через (.

Для пространства (</М, С с ограниченной кривиз-

ной через ^Т обозначим С3 -гладкую дифференциальную структуру на Ж. , содержащую атлас ^ , образованный гармоническими системами координат на пространстве (Я{, • В силу георемы Уитни, в Т" можно выбрать С°° -гладкий атлас ¡} .

Сформулируем теперь теорему об аппроксимации.

Теорема 2. Пусть (Ж,?С$о)) - пространство с ограниченной кривизной. Тогда на дифференцируемом многообразии ЛА. с атласом ^ можно задать последовательность бес-<онечно дифференцируемых римановых метрик ] т= 1Д--- » обладающих свойствами:

1) Метрические пространства (Ж, С С^-сходятся к метрическому пространству ( Л, р

2) Имеют место оценки для границ кривизны:

^ кт(М)* КоШ, е^ КгП(м)>Кс(м),

т —* оо .__т —» ^

■\це через п. ^ (М), Кт (Л) обозначены верхняя и нижняя

границы кривизны пространств К. JU., ^ , m = О, i, .....

Следствие. Если (t р быяо полным метрическим пространством, то,, начиная с некоторого номера, таковыми окажутся v пространства ( Jtf, ) ) •

Доказательство теоремы об аппроксимации опирается на теорему о гладкости метрики прс гранства с ограниченной кривизной, па формулируемую низке теорему & (теорегу о геометрическом смысле тензора кривизны пространства с ограниченной кривизной) и использует процедуру усреднения де-Рама.

Теорема оС аппроксимации позволяет механически переносить некоторые теоремы риыановой геометрии в целом на случай пространств с ограниченной кривизной и тем самым придавать формулировал этих теорем чисто метрический характер, исключая из них велкие априорные предположения о дифференциальных свойствах метрики и даже предположение о том, что рассматриваемое пространство я.эляе-тск многообразием. В качестве примера такого рода мы приводим метрический вариант известной теорем л о сфере;

Теорема 3. Пусть - полное односвяэное локально компактное метрическое пространство с внутренней метрикой, в котором выполнено условие локальной продолжаемости кратчайшей. Тогда, если верхняя и нижняя граница кривизны ( Ja , С) допускают оценку _

1/4 ^ К (Л) ^ К (¿0 ^ i ,

то (М, f) гомеоморфно сфере S ^ при некотором натуральном ft .

Пользуясь теоремой об аппроксимации, мы получаем описание згмыканил множества классических римановых пространств. С целью упрощения формулировок ьы ограничиваемся рассмотрением компактных метрических пространств. Именно этот случай важен в связи с теоремой компактности М.Громова.

Прежде, чем привести формулировку теоремы о замыкании, дадим необходимые понятия.

Через ~У}{ с обозначим множество компактных метрических пространств с внутренней метрикой, а через УУ1с Си) - подмножество в УУС с , состоящее из гг. -мерных -гладких компактных р шновьх многообразий ( и. Я. ).

В мы вводил секвенциальную топологию.

Скажем, что последовательность метрических пространств (Ж к 5 ^к ) 113 УК с сходится, с ограниченной кривизной к метрическому пространству оо 3 (обозначение:

(в-с.) С если:

а) Верхняя и штап границы кривизны СуСС.к , {'к ) • начиная с некоторого номера К о , равномерно огракичены:

- С К СМ) £ КСМХ) ¿с, о -= с ^ 4 >

б) Метрические пространства (М-к^к) -сходятся к метрическому пространству ( ¿1А(ч>3 С) .

Через с о(!означим секвенциальную топологию в

, ивдуцированную С4. С.) Сет . Для подмножестга 1Л с- 2У(с его замыканке в (УКс > Т¿.с. ) получается при добавлении к всех (сходящихся с ограниченной кривизной последовательностей из //{ .

Теорема о замыкании утверждает:

Теорема 4. Замыкание множества У1'{с ( I) в топологическом пространстве (71Сс , )в точности состоит из -мерных компактных пространств с ограниченной кривизной.

Теорема 4 позволяет сделать следующие добавления к теореме компактности М.Громов-:.

Напомним, что М.Громов рассматривал пространство У^С ( 1 > д "V, А ) "-мерных компактных С ""-гладких римановых многообразий ЛИ., для которых выпол эны оценки:

¿^гпМ^сС, УоСМ !^СР)|] ¿А.

Теорема компактности М.Громова утверждает,, что пространство УУ! ( п, <1, Д ) с топологией, задаваемой расстоянием Липшица с^ , является относительно компактным подмножеством пространства п. -мерных шмановых многообразий с непрерывным метрически тензором. —,

Рассмотрим множество являющееся замыкание э (УКс , .)_множества 'УКСг^с^Л^Л). или

более общо - множество "УУ( К. К")» которое являет-

ся замыканием б С"УУ(с множества у}?(п1-{,\г, К3К)

П. -мерных компактных '"•мановых многообразий класса

!

0е0 , для которых выполнены условия: ¿СатМ ¿с/, М. У О,

к - КС^О ^ ^ К.

Из теоремы о замыкании следует, что УИ(п,с1, У^ К К) состоит в точности из всевозможных -мерных компактных пространств с ограниченной кривизной, для которых выполнены выписанные выше условия.

Приведем следствие теоремы о замыкании, дополняющее теорему компактности ГpoмoвaJ___

Следствие. уу( ( п Ю ~ компактно -от-

носительно топологии, задаваемой в нем функцией■расстояния •

Поскольку компоненты метрического тензора пространства с ограниченной кривизной "почти вскщу" дважды дифференцируемы (см. замечания I, 2 к теореме I), то чисто формально можно почти во всех точках задать тензор кривизны, который в каждой 153 указанных точек устроен также, как и тензор кривизны в точке классического риманова многообразия. Следовательно, для него будут выполняться основные тождества, основанные на точечном строении тензора кривизны риманова многообразия.

С другой стороны, геометрический способ, с помощью которого следует вводить секционную кривизну, должен быть основан на известной формуле римановой геометрии, выражающей секционную кривизну риманова пространства через избытки малых геодезических треугольников.

Заранее не ясно, тождественны ли формальная и геометрическая точка зрения на кривизну пространства с ограниченной кривизной. "Мостом" между формальной и -геометрической точками зрения является формулируемая ниже теорема 5, которая существенно используется при доказательстве основных утверждений диссертации.

Предварительно напомним понятие пространства направлений в точке метрического пространства.

Пусть Р - точка метрического пространства (>Л(, ') . Кривая оС > выходящая из точки Р , имеет в этой

точке определенное направление, если верхний угол, который

она образует сама с собой в точке Р , равен нулю (для кривой ¿С в евклидовом пространстве это значит, что в точке Р У¿С существует полукасательная).

Через _Др (хА() обозначим множество всех кривых в м, с началом в точке Р , имеющих в этой точке определенное направление. . .

Для ¿С € /1р (<М) полагаем:

X ЛЛ<Ь=> ¿Г (<£, >ЛО = о .

Поскольку в произвольном метрическом пространстве для верхних углов выполнено неравенство треугольника, то -отношение эквивалентности. Множество направлений в точке Р есть фактор-пространствоЛр (М.) = Ар (Л/.) / .

Пространством направлений метрического пространства (ЛМ,^) в точке Р называется метрическое пространство (Лр(М), ЫГ) ■

Пусть ^ £ С<М)" паР® направлений, удовлетворяющих условию: о ^ сГСё> • Такую пару направлений мы назовем допустимой.

Скажем, что последовательность (Тщ^ треугольников из С^М.^) » каждый из которых имеет одной из своих вершин, точку Р , сходится к точке Р по паре направлений (*£, Й) > если:

а) Вершины треугольников 'Пп сходятся (в смысле метрики ) к точке Р при ш ©о ;

б) Направления , € Л. рОЮ» задаваемые сторонами о. т , треугольника Тт , выходящими из вершины Р , сходятся (в смысле метрики ы! ) к направлениям

0 и ^ соответственно.

Обозначение для такой сходимости: Тт 1-г—Р.

Теорема 5. Пусть (ЛЦ^^ - пространство с ограниченной кривизной. Тогда существует такое множество О'^ ^АЛ. нулевой л.-мерной'меры Хаусдорфа ( п. = с^СтиК), что в каждой точке Р&ЛА\0* выполнено:

Для произвольной допустимой пары направлений £ ,

найдется такая последовательность {Тт= РбтОп] треугольников в , стягивающихся к точке Р по паре

направлений (Д , £ ) , что существует предел отношений •{Г СТт) /-5 С Тт ) и имеет место равенство:

Кг(Р)= *СТт)/4Ст„\

171 О0

где черс:з ^ С СР) обозначена секционная кривизне ЛА, формально вычисленная а точке Р по метрическому тензору Л/, в направлении двумерной площадки С* <с ^/¡Ар, задаваемой направлениями л .

Доказательство теоремы 5 опирается на формулу Синга (второй вариации длины геодезической), специально выведенную в § 9. Эта формула выводится для "геодезических вариаций" в малой области пространства с ограниченной кривизной. Поскольку метрический тензор пространства с ограниченной кривизной дважды дифференцируем лишь "почти всюду", соответственно и формула второй вариации доказывается лишь для "почти всех" вариаций рассматриваемого вида.

. Заключительная глава диссертации - глава 1У посвяще з синтетическому описанию римансвой геометрии.

Точка зрения на риманово пространство, идущая от самого Римака, заключается в его понмианн" как объекта, состоящего из пары < Л/. » где Л/. - С г -гладкое дифференцируемое многообразие, а ^ - симметрическое положительно определенное С ^"-гладкое тензорное поле типа (2,0), причем предполагается, что £ ъ 2 » а z 1 .

Таким образом, такое понимание римачовой геометрии соответствует "полевой" тсмке зрения, когда ее основные понятия '.длина, угол и т.д.) определяются с помощью голя величин (.метрического тензор' 1.

Говоря о синтетическом описании классических римановых пространств, мы имеем в виду таки усховия на расстояние метрического пространства (выраженные через 'евклидовы понятия" угла, треугольника, избытка треугольника и т.д.), при выполне ши которых данное метрическое пространство окажется нзометричным С^ -гладкому риманову мноюобразию при € ^ 2. , т.е. метрика будет задаваться с помощью "гладкой полевой величины".

Ответим, что пространства с ограниченной кривизной дают

синтетическое описание замыкания множестЕа римановых многообразий' с равномерно дзусгоронне ограниченными кривизнами. Крлйке важной яш.яется также задача синтетического описания риу.аловой геометр/.и. В двумерном случае эта задач!, фактически решена А.Д.Александровым еще з 40-х года«. Несколько о других позиций она рассмотрена пркмерно в то не время Л.Т'адь-дом, который описьчзал двеерную риланову геометрию в рамках понятий дистанционной геометрии.

Задача синтетического описания многомерной римановой геометрии была поставлена А.Д.Александровым в 1982 году ча симпозиуме по геометрии "в целом" к основаниям теории относительности.

Дзгя того, чтобы получить такое описание, очевидно, необходимо новое понятие для метрических пространств, явллюще-еся аналогом секционной кривизны риманоЕа многообразия. Соответствующее понятие (в тексте - "неизотропная ришнова кривизна") копируется из рмановой геометрии. При этом роль двумерной площадки играет пара направлений.

Пусть Р - точка метрического пространства (jU,,f) , ,

Si p CvK) - допуотжая пара направлений. Скажем, что в точке Р л направлении пары Сß, ig.) У метричоского пространства (uUjf) существует неизотропная римансва кривкзна К(Р• J? , 'эО » если выполнены следующие условия: .

а) Существуем последовательность ( Тт ~ Р В m Cmj регулярных невырожденных треугольников в > ''•е.

-fem mqX {PB^/PCm.PCm/PBmj * <*>

m —г* со

И "5 (Tm .) ф Ссходящихся w точке i по паре направлений (р ¿j) , для которой существует предел:

К С Р; = ^ А СТ.

гт '

б) Если для последовательности треугольников i • m =

= Р ß Д С m j » сходящихся к точке Р т паре направлений , существует предел величин Ч5Г С Tm')/-S СТ^) то он совпадает с К ( Р; ).

Замечание. В приведенном выше определении мы не исключали из рассмотрения вырожденные треугольники Тт . В том случае, когда последовательность { Тт ] при сколь угодно больших номерах содержит_ вырожденные треугольники, существование предела величин ЪСТт) / & (Тт') следует понимать как выполнение оценки:

^ С .*,*) + *»» 7 ■ бСТ^)

при некотором £ т % стремящемся к нулю при т ог> .

Пример выпуклого конуса в евклидовом пространстве показывает, что одного требования существования неизотропной ри-мановой кривизны в точке для всех допустимых пар направлений недостаточно для "существования кривизны" в этой точке. Поэтому мы даем следующее определение.

Скажем, что у метрического пространства

(Же) в точке Р £ ЛМ- существует кривизна, если выполнены условия:

а) В точке р верхняя и нижняя_кривизны удовлетворяют неравенствам: &мСР)>-°°> ¡¿<А( ( Р) 00 •

б) Для произвольных доцустимых пар направлений £ ,

€ Л р С<Л0Ь точке Р в направлении пары (0 существует неизотропная риманова кривизна К С Р; ^ Ъ .

Замечание. В случае, когда не существует ни одной допустимой пары направлений £ , ¡§. € Лр (<АО* мы полагаем, что в точке Р у (М,р) кривизна не существует.

Классическое риманово пространство имеет "непрерывную кривизну". Поэтому нам необходимо определить в каком смысле следует понимать непрерывность кривизны метрического пространства. Для этого, очевидно, надо уметь измерять расстояние между направлениями, заданными в разных точках метрического пространства. В римановом пространстве расстояние между направлениями, задаваемыми единичными векторами и б Л/р, измеряется с помощью параллельного переноса. Если точки Р , (Ц достаточно близки, то расстояние между и полагается равным:

где 9(и,а~ ) есть угол между вектором U. и вектором J"', являющимся результатом параллельного переноса вектора Vвдоль кратчайшей Р Q .

Для произвольного метрического пространства нельзя определить функцию G (js Ю. Поэтому мы вводим функцию к С £ , & ) (§3), которая обладает двумя важными свойствами: для направлений метрического пространства в одной точке h (}? , Й.) совпадает с косинусом верхнего угла А.Д.Александрова между этими направлениями, а в случае риманова пространства для направлений в разных точках JiCjr й) с точностью до квадрата расстояния между началами этих направлений не отличается от cos & С

В основу определения A. (jt ¿j)положено следующее легко проверяемое обобщенно фориулы косинусов евклидовой геометрии.

Для любой четверки точек Л , Q , О евклидова

пространстса косинус угла между векторами JJ С vt Q3) может быть вычислен по формуле:

с«* )/С2ЛС-ва>).

Пусть Хе£,Х*Р , Yf/Y^, где /бЛр (М\ AfdAq (jii). Функцию А^^д/ (XjY') полагаем равной:

hw (Х,У)= (XQiYP^-XY')/&PXQY).

Определим теперь it-f^f :

Для направлений )s & Slp(jU) , S е функцию

полагаем равной

kc&§)= Щ { >

где cnf рассматривается по всем кривым

¿еА рОЮ,

JCZAq задающим направления и ^ соответ-

ственно.

По функции А строится функция ct , задающая расстояние между направлениями. Доказывается, что в случае С^-

гладкого риманова многообразия с^ОыО отличается от сС'СМ; ^О на квадрат расстояния между началами и £ . Отсюда, в частности, следует, что расстояние с{ как и расстояние сС' индуцирует в множестве направлений риманова многообразия () стандартную риманову метрику - метрику Сасаки.

С помощью расстояния определяется непрерывность кривизны метрического пространства.

Скажем, что кривизна ш.р) непрерывна в точке Р из Л , если:

а) Существует такое Гр > О , что для всех точек из шара В (Р,*р) у (^Ы,^) в точке б? существует кривизна.

б) Для произвольного £ > О можно указать такое положительное ^ , меньшее р , что для всех точек С] , принадлежащих В (Р, и всех допустимых пар направлений

Д , & €Лр(М) , удовлетворяю-

щих неравенству: '

выполнено, что

| К(Р; *

Непрерывность кривизны на подмножестве "Ф^^ЛС

означает ее непрерывность в каждой точке . Кривизна

удовлетворяет условию Гёльдера с показателем оС ( О °<- ^ 1 ) и постоянной 1л на подмножестве ^ ЛЛ s если она непрерывна в каждой точке

А и,

если неизотропная риманова кривизна допускает оценку:

1«(Р; ЬЮ-КСв;*'. ) ^

для произвольных Р , С} £ и всех допустимых пар нап-

равлзний ^ , & € ЛрШ " М', Л а (М) •

Приведем теорему, дающто синтетическое описание ~

гладких римановых пространств.

i е о р е м а 6. Пусть (jU,f) - метрическое пространство, для которого выполнены следующие условия:

а) f - внутренняя метрика,

б) ( Jbi; С) является локально компактным метрическим пространством,

в) В (iAf>f) выполнено условие локальной продолжаемости кратчайшей,

г) У метрического пространства (jlf.fj в каждой точке существует кривизна,

д) Кривизна (Jlt.f) удовлетворяет условию Гёльдера с показателем об ( о ci. I ) а малой окрестности произвольной точки из л.

Тогда на Jh{ можно задать структуру С -гладкого дифференцируемого многообразия, а метрику относительно карт зтой структуры можно задать с помощью С2j^-гладкого метрического тензора.

Замечание I. Выписанные выше условия, очевидно, являются и необходимыми для того, чтобы данное метрическое пространство являлось СajЛ -гладким римановым многообразием.

Замечание 2. С -гладкая дифференциальная структура на Ж » о которой шла речь в теореме 6, содержит атлас, образованный всевозможными гар.юническими системами координат на (M,f). т ы. сю

При построении синтетической аксиоматики С ' и С -гладких римановых пространств важную роль играют t -е касательные пространства метрического пространства, которые мы вводим в п. 3.4 диссертации.

Предварительно напомним понятие множества касательных

элементов метрического пространства (ЛА, f) в его точке р .

Рассмотрим множество sip (Ж) *to,+<*>). В этом множестве отождествим в точку "нижнее основание" цилиндра над Jlp(jU)t Т.е. множество {(£,0)1 SIр(Ж)1 . Получившееся множество обозначим через j\/{ р и назовем множеством касательных элементов метрического пространства (jU,f) в точке Р .

Множеством касательных элементов метрического пространства (jM,f ) есть:

Т(м)= УМр , Ре Ж .

С помощью функции Ь. в ТШ) вводится полу-

метрика с (см. п. 3.4 диссертации). Касательным пространством метрического пространства СЛ(,С) называется полуметрическое пространство (Т(Л/()> с). —

Параметризованной кривой (~Мгс1) можно сопо-

ставить ее "длину", при условии, что выписанный ниже предел существует;

е^ оо = ее** Е сСС^ао, ,

/» -*- Оа С- 1

где ¿с'т рассматривается по всевозможным разбиениям отрезка С й, точками = £ &, таким, что

ГОЧК { | -6 С - ^ I 3 —— О , т —* Оа .

Известно, что длина кривой в полуметрическом пространстве может обладать свойствами весьма далекими от обычных свойств длины. Тем не менее можно рассмотреть расстояние

, индуцированное полуметрикой сI : если точки X , У £ ЛС соединимы спрямляемой кривой в полуметрическом пространстве

ГЖсГ ) , то

<4. г/.у;-

где «ч/ рассматривается по всевозможным спрямляемым кривым в СМ} <1) , соединяющим точки X и У . В противном случае полагается равным ■+ оо

Функция может обладать даже худшими свойствами

по сравнению с , например, может не быть полу-

метрикой. В том же случае, когда оС(н. оказывается метрикой, мы говорим, что полуметрика индуцирует метрику лен- .

Опишем теперь конструкцию построения пространств

Ти)(М). '•= о, .....

Через ТГо>(^) обозначим

м , а через Со = С о = С • Через ( Т(<1(Л(), С1 3 обозначим полуметрическое пространство СТ (уМ)} с) • Предположим, что полуметрика сг индуцирует метрику С; . Тогда для метрического пространства

(т«ХЖ), С1) можно рассмотреть полуметрическое пространство , где Т СЯ)(М)= Т(ТСМ)) , а полуметрика с я строится по метрике С^ в соответствии со сказанным вьете.

Если полуметрика Сд индуцирует метрику Сг> , вновь можно определить пространство Т ^ (Л{) и Т-Я»

Одним из основных утверждений § 3 является доказательство того, что в случае С^-гладкого риманова многообразия Л полуметрика индуцирует в метрику Сасаки

С± . Поэтому, если для метрического пространства вы-

полнены условия теоремы 6, то из этой теоремы следует, что полуметрика С1_ индуцирует в (Ж) стандартную метрику Сасаки ^ . Если же для метрического пространства (Та\М) С5*) Еыгшл,1ены условия г), д) теоремы б (в этом случае мы говорим, что это пространство имеет непрерывную по Гёльдеру кривизну с показателем «х. ), то снова, в силу теоремы б, полуметрика С я. индуцирует в Т •"•"етри!Ог

С% И т.д. ^

Так™ образом, для метрического пространства (Д^^) , удовлетворяющего условия;.) теоремы б, можно дать следующие определения.

{ есть последовательность прост-

ранств с непрерывной по Гёльдеру кривизной с показателем ее ( О ^ сС ), если существует последовательность чисел

ос С сСо,!) , с = , оСт ясС , гаких, что

метрические пространства (Т ) с= ±,2,.., , щ

имеют непрерывную по Гёльдеру кривизну с показателем оС( •

Аналогичным образом определяется, что значит, что бесконечная последовательность пространств /Т ^бШ./-есть последовательность пространств с непрерывной по Гёльдеру кривизной.

Формулируемая ниже теорема даёт синтетическое описание Ст,сСи С^-гладких римановых многообразий.

Теорема 7. Пусть СМ, - метрическое пространство, для которого выполнены условия а) - д) теоремы б. Пусть, кроме того, выполнена условие:

е) (Т< ^(М)} поесть последовательность

пространств с непрерывной по Гёльдеру кривизной с показате-

лем" сС £ ео,Л . Ы.

Тогда на М. можно задать структуру С * -гладкого дифференцируемого многообразия, а метрику^ относительно карт этой структуры можно задать с помощью -гладкого

метрического тензора.

Следствие. Если в теореме .7 условие е) заменить на условие

в') {Т (Л()\ с - 1,^... , есть бесконечная последовательность пространств с непрерывной по Гёльдеру кривизной, то тогда на ЛА. можно задать структуру С00 -гладкого дифференцируемого многообразия, а метрику относительно карт этой структуры можно задать с помощью бесконечно дифференцируемого метрического тензора.

К теореме-7 и ее следствию можно, очевидно, сделать замечания, аналогичные замечаниям I, 2 к теореме 6.

В заключительном параграфе диссертации - § 12 мы приводим решение задачи А.Д.Александрова об описаний изотропных метрических пространств, поставленной им в 1982 году на сг I-позиуме по геометрии "в целом" и основаниям теории относительности.

Теорема 8. Пусть - локально компактное

метрическое пространство с внутренней метрикой, размерность которого по Урысону - Менгеру больше, чем два. Предположим, что в СЛ(, С) выполнено условие локальной продолжаемости кратчайшей и что (ЛЛ, ^) изотропно ьо всех своих точках, т.е. для каадой точки Рб 1А1 существует предел К СР) = = ^ СТ) (ТУ при условии, что треугольники Т стягиваются к точке р произвольным образом. Тогда (Л/, изометрично риманову многообразию постоянной кривизны.

Замечание I. При определении К(Р) к рассмотрению допускаются и вырожденные треугольники. По этому поводу см. замечание к определению неизотропной рямановой кривизны.

Замечание 2. Теорема 8 представляет собой 'метрический вариант" классической теоремы Шура.

Замечание 3. Доказательство теоремы 8 основано на выводимом нами обобщенном тождестве Бианки в пространстве с*ограниченной кривизной, для выписывания которого не требуется

трехкратной дифференцируемое™ метрического тензора,

В дистанционной геометрии ванную роль играет кривизна Л.Вальда К\х/ (Р) • Л.Вальд доказал, что двумерное метрическое пространство, в каддой точке которого существует кривизна К W ( Р) изометрично двумерному риманову многообразию с непрерывной кривизной. f .

В многомерном случае кривизне соответствует

ее многомерный аналог - кривизна А.Вальда К ( Р ) .

В качестве следствия теоремы 8 в п. 12.2 диссертации м" даем ответ на вопрос В.Кирка о том, что представляют собой "многомерные" метрические пространства, в каждой тоаде которых существует кривизна Л.Вальда К СР)-

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Параллельный перенос и гладкость метрики пространств с ограниченной кривизной // Докл. АН СССР, 1980, т. 250, № 5, - С. 1056-1058.

2. Параллельный перэное и гладкость метрики пространств с ограниченной кривизной. - Новосибирск,'19ЁО. - 31 с. -(Препринт/ АН СССР. Сиб. отд-ние, Ин-т математики).

3. 0 параллельном переносе векторов в пространствах

с двусторонне ограниченной по А.Д.Александрову кривизной // • Сиб. мат.. дурн., 1983, т. 24, № I. - С. 130-145..

4. О гладкости метрики пространств с двусторонне ограниченной по А.Д.Александрову кривизной // Сиб. мат. журн.', 1983, f. 24, № 2. - С. П4-132.

5. Обобщенные римановы пространства // Успехи мат. наук, 1986, т. 41, вып. 3. - С. 3-44. Совместно с А.Д.Александровым и В.Н.Еерестовским.

6. Кривизна метрического пространства в точке // Всесоюз. конф. по геометрии "в целом", Новосибирск, сент. 1987 г.: Тез. докл. - Новосибирск, 1987. - С. 90'.

7. Об одном обобщении теоремы Щура // Всесоюз. конф. по геометрии "в целом", Новосибирск, сент. I91F г.; Тез. донл.-Новосибирск, 1987. - С. 91.

8. "Многомерные" метрические пространства, в каждой точке которых существует'кривизна А.Е. 1ьда К СР) // IX

Всесоюз. геометрическая комф., сент. 1983 г.: Тез. докл. -Кишинев, 1988. - С. 225.

9. Замыкание множества риыановых многообразий с ограниченными секционными кривизнами // Всесоюз. скола "Оптимальное управление. Геометрия и анализ", Кемерово, сент. 1988 г.:

^ Тез. докл. - Кемерово, 1988. - С. 38.

10. Формула Синга для геодезических вариаций в пространстве с ограниченной по А.Д.Александрову кривизной. - Новосибирск, 1983. - 50 с. - (Препринт/ АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т математики; № 35).

11. Синтетическое описание классических римановых пространств. - Новосибирск, 1983. - 28 с. - (Препринт/ АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т математики; №41).

о