Вероятностный критерий многогранности метрики двумерного многообразия ограниченной кривизны тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

1 Вспомогательные сведения

1.1 Определение двумерного многообразия ограниченной кривизны.

1.2 Необходимые сведения из теории многогранников

1.3 Необходимые сведения из теории случайных процессов

1.4 Необходимые сведения из теории форм Дирихле

1.5 Необходимые сведения из теории распределений

1.6 Обобщённые однородные функции.

2 Построение генератора

2.1 Построение специального атласа на многообразии Т

2.2 Запись формы Дирихле в локальных координатах и построение генератора диффузии

2.2.1 Формулировка результата.

2.2.2 Вспомогательные результаты.

2.2.3 Доказательство теоремы 2.2.1.

2.2.4 Доказательство теоремы 2.2.2.

3 Вероятностный критерий

•3.1 Обозначения, используемые в этой главе

3.2 Формулировка результатов.

3.3 Вспомогательные результаты.

3.4 Доказательство теоремы 3.2.1.

В последнее десятилетие достигнуты определённые успехи в изучении случайных процессов на гладких римановых многообразиях и более общих метрических пространствах, см. например [33], [38] -[42], [18] и [19]. Основными вопросами в этой области являются построение диффузионных процессов на рассматриваемых пространствах, а в случае гладких римановых многообразий также характе-ризация их геометрических свойств через вероятностные свойства диффузионного процесса.

В настоящее время широко распространены три основных способа конструирования диффузионного процесса.

Первый способ основан на связи теории случайных процессов с теорией дифференциальных уравнений в частных производных и восходит к классической работе А.Н. Колмогорова [20]. Этот метод позволяет свести исследование случайного процесса на М" к исследи, . XI, . ,х„) =

1 " о'>

1 V С/-И . ч = - > . ■ • • ,х„) ■ —жь . ,хп)+

2 ОХ; ОХ; га ^^

2:ь . ,жп) —(£. . ,ж„), г=1 г

1) где жь . ,х„) и х\, . ,х„), ¿,.7 = 1,. ,п, — не менее двух раз непрерывно дифференцируемые функции, причём матрица {а1 ¿{Ь, Х\, . ,хп))"^=1 положительно определена. С некоторыми модификациями этот метод применим и к гладким п - мерным многообразиям [7], [23].

Второй метод был развит К. Ито в [35] и усовершенствован П. Мал-ливэном в [37], а также в целом ряде последующих работ японских математиков (дополнительную библиографию см. например в [5]). Этот способ базируется на стохастическом дифференциальном исчислении и диффузионный процесс строится с помощью аппарата стохастических дифференциальных уравнений. Стохастическое исчисление позволяет легко обобщать результаты на пространства высокой размерности.

Применение обоих вышеприведённых методов в чистом виде ограничивается, к сожалению, гладкими многообразиями.

Третий способ построения диффузионного процесса с помощью форм Дирихле. Подробное изложение основ этого способа можно найти в [34]. Этот метод основан на связи между (бесконечномерными) квадратичными формами и дифференциальными операторами второго порядка. В случае гладкого риманова многообразия М каноническая форма Дирихле 6 задаётся формулой [34] где т — риманов объём, (•, •) — внутреннее произведение, индуцированное римановой структурой. Х7и — градиент скалярного поля и.

Применение метода форм Дирихле позволяет, в сдучае явного вычисление генератора диффузионного процесса, использовать и первые два способа изучения диффузии: вопрос о существовании решения дифференциального уравнения (1) решается исходя из общих теорем о формах Дирихле, а более тонкое исследование свойств диффузии проводится методами теории дифференциальных уравнений.

В работах [38] - [42] немецкого математика К.Т. Штурма метод форм Дирихле был распространён на достаточно широкий класс метрических пространств с мерой. Штурм требовал, чтобы метрика пространства была внутренней (см. определение 1.1.5 на с. 16), и мера т на этом пространстве удовлетворяла требованию: существуют константы Я > 0 и М > 0 такие, что м т{В2г(х)) < М ■т(Вг{х))

2) для всех х из нашего пространства и всех г £ (О, Я). Здесь Вг(х) — шар радиуса г с центром в точке х.

При конструировании диффузионного процесса использовалась форма Дирихле [42] тг((1х) тг((1у), (3) т в;(х)

Т/7. ( (Ьц\ где тг(д,у) = . =, В*(у) — проколотый круг радиуса г с у/т(Вг{у)) центром в точке у, т мера (в случае риманова многообразия т — риманов объём), Л/" (ж) — некая положительная функция, называемая локальной размерностью, и Е Ь2. Отметим, что в случае многообразия функция Ы(х) тождественно равна размерности многообразия.

В работе [42] была сконструирована диффузия (см. определение 1.3.20 на с. 33), являющаяся строго феллеровской (см. определение 1.3.13 на с. 30), однозначно определённой для каждой стартовой точки. Также было доказано существование и гёльдеровость переходной плотности (см. определение 1.3.11 на с. 29), верхняя и нижняя гауссовские оценки для переходной плотности. Все эти свойства являлись следствием из неравенств Пуанкаре и Гарнака, которые вытекали из выполнения свойства (2).

Однако, на столь важном геометрическом объекте как пространства Александрова (в частности на двумерных многообразиях ограниченной кривизны), методика Штурма была неприменима. В 1998

8 = 1^1 М(х) I и(х) - и(у) Ф- у) . году в работе японских математиков [36] был построен диффузионный процесс на пространстве Александрова и было показано, что результаты Штурма верны и для таких метрических пространств.

На фоне результатов о восстановлении геометрических свойств гладкого риманова многообразия по свойствам диффузионного процесса на нём и упомянутых результатах о диффузиях на нерегулярных пространствах становится естественной задача: по свойствам случайного процесса на нерегулярном метрическом пространстве восстановить свойства метрики.

Целью данной работы является получение стохастического критерия многогранности метрики на двумерном многообразии ограниченной кривизны. Это, на настоящий момент, единственный результат по восстановлению геометрических свойств нерегулярных геометрических объектов по свойствам диффузионных процессов на нём.

Основной трудностью здесь является исследование дифференциальных уравнений параболического типа на многообразии с взрывами и вырождениями у коэффициентов. Если рассматривать такие уравнения обособлено, то имеет смысл говорить только о решениях в обобщённом смысле (см. [22]), а потому применение первого метода построения диффузионного процесса не вполне удобно. Однако, если известно о существовании и свойствах решения из каких-либо вероятностных соображений, исследование таких уравнений становится несколько проще.

Перейдём к обзору диссертации по главам.

Работа состоит из оглавления, введения, трёх глав и списка литературы. Основным методом исследования является метод форм Дирихле построения случайного процесса на двумерном многообразии ограниченной кривизны [36]. и дальнейший анализ уравнения теплопроводности др! 1 ^ дЬ А (ж, у) где Л — линейный изотермический элемент многообразия, Д — обычный лапласиан.1

В первой главе приводятся вспомогательные факты из теории двумерных многообразий ограниченной кривизны, теории случайных процессов, теории форм Дирихле и теориии распределений.

В пункте 1.1 приводятся классическое определение двумерного многообразия ограниченной кривизны и определение двумерного многообразия ограниченной кривизны Ю.Г. Решетняка, формулии «и <• руется теорема о существовании хорошей окрестности у всякой точки на двумерном многообразии ограниченной кривизны.

Пункт 1.2 посвящён важному частному случаю двумерных многообразий ограниченной кривизны: двумерным многообразиям с многогранной метрикой.

В пункте 1.3 приведены определения и теоремы из теории слу

1 Точные определения будут приведены в главе 1 чайных процессов.

В пункте 1.4 рассматриваются основные факты из теории форм Дирихле, приводятся теоремы, позволяющие строить диффузионный процесс на двумерном многообразии ограниченной кривизны.

В пункте 1.5 приводятся некоторые сведения из теории распределений.

Во второй главе вычисляется генератор диффузионного процесса XI, ассоциированного с формой Дирихле Е на двумерном многообразии Т с многогранной метрикой.

В пункте 2.1 вводится специальный конформный атлас на многообразии Т. В этом атласе генератор диффузии имеет наиболее простой вид, и почти все последующие вычисления производятся в этом атласе.

Приведём некоторые обозначения (см. главы 2 и 3): А/,, к = 1,. , п, 1,. , тп — вершины многогранной метрки с/, Шк, к = 1,. , п, 1,. ,т — кривизна вершины Ак (см. определение 1.2.3 на с. 23), а/,., к — 1,. , го, 1,. , т — полный угол вокруг вершины А/, (см. определение 1.2.2 на с. 23), у) — переходная плотность диффузионного процесса X^ (см. определение 1.3.11 на с. 29), — мера Дирака, сосредоточенная в точке Ак (см. определение 1.5.4 на с. 42), Д. =-

7Г

Основными результатами второй главы являются следующие теоремы:

Теорема 2.2.1. В окрестности вершины метрики генератор случайного прогресса X/. ассоциированный с формой Дирихле (?)). прочитанный в изотермической системе координат, имеет вид где С — некоторая констант,а.

Теорема 2.2.2. Пусть нам дано многообразие Т с многогранной метрикой (I.

Для отрицательности кривизны вершины метрики необходимо и достаточно вырождение в этой точке генератора. Для положительности кривизны вершины необходима и достаточна неограниченность коэффициента генератора в этой точке.

В третьей главе излагается критерий многогранности метрики на двумерном многообразии ограниченной кривизны.

В пункте 3.3 формулируются и доказываются несколько вспомогательных лемм. Все леммы доказываются в предположении, что переходная плотность диффузии XI, ассоциированной с формой Дирихле (3) четыре раза непрерывно дифференцируема по пространственным переменным и один раз непрерывно дифференцируема по переменной

Самостоятельный интерес здесь представляет лемма 3.3.5. Лемма 3.3.5. Пусть на многообразии Т задана многогранная метрика с вершинами к = 1,. , п, 1,. , га. Тогда, в достаточно малой окрестности вершины Ак, имеет место равенство

А1п^ = -2 щ6(Ак), д1 к = 1,. ,п, 1,. , т.

Эта лемма позволяет вычислять кривизну вершины метрики через характеристики диффузии X/.

В пункте 3.2 формулируется критерий многогранности метрики на двумерном многообразии ограниченной кривизны:

Теорема 3.2.1. Пусть диффузионный процесс Xассоциированный с формой Дирихле (3), имеет нулевые коэффициенты сноса и нулевые плотности вероятности обрыва, и пусть его переходная плотность непрерывно дифференцируема четыре раза по пространственным переменным и каждая из частных производных по пространственным переменным непрерывно дифференцируема один раз по переменной I, на Т\{С\,. ,С„, ИI,. ,От}, где С\,. , Сп — точки, в которых генератор диффузионного процесса Х{ неограничен, ,. , Бт — точки, в которых генератор диффузионного процесса ^ вырождается.

Для того, чтобы многообразие Т было многообразием с многогранной метрикой с вершинами к — 1,. , п. 1. ,т кривизны к = 1,. • ,71, 1 . . . .771 д . Ск1 к = 1,.

Дь, к = 1,. ,га у необходимо и достаточно, чтобы переходная плотность pt диффузионного прогресса X/ на Т удовлетворяла соотношению д п+т д1 к= 1 гб?е последнее равенство понимается в смысле Шварца.

Результаты диссертации докладывались автором на следующих конференциях: Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова, Абрау - Дюрсо, 5-11.09.1998;

• 3-я Международная конференция по геометрии "в целом", Черкассы, 29.06-04.07.1999; в Международная школа-семинар по геометрии и анализу, посвященная 90-летию Н.В. Ефимова, Абрау - Дюрсо, 5-11.09.2000;

• Всероссийская научная конференция "Математическое моделирование в научных исследованиях", Ставрополь, 27-30.09 2000;

• Internetional Conference Stochastic Analysis and Related Topics, 4-10 June, 2001, St. Peterburg;

• 4 Международная конференция по геометрии и топологии, 1014.09.2001, Черкассы.

• 9 Школа - коллоквиум по стохастическим методам, Ростов - на-Дону, 14 - 20.05.02

• Международная школа семинар по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова, Абрау - Дюрсо, 5-11.09. 2002;

Результаты диссертации докладывались на семинаре кафедры геометрии Ростовского государственного университета (1998-2002 г.г.), руководитель профессор С.Б. Климентов, на семинаре по стохастическим проблемам Ростовского государственного строительного университета (1999-2002 г.г.), руководитель доцент И.В. Павлов, на семинаре кафедры алгебры и геометрии Таганрогского государственного педагогического института (2002 г.), руководитель профессор В.Т. Фоменко.

Результаты диссертации опубликованы в работах [9] - [17].

Автор приносит искреннюю благодарность своему научному руководителю А.Д. Бендикову за постановку задачи и постоянную помощь в работе.