Полиномиальные интегралы геодезических потоков на компактных поверхностях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ПО ИМПУЛЬСАМ ИНТЕГРАЛОВ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА АНАЛИТИЧЕСКОЙ НЕИНТЕГРИРУЕМОСТИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ПОТОКОВ НА КОМПАКТНЫХ МНОГООБРАЗИЯХ РОДА

§( > /

§ I. Голоморфная I-форма полиномиального по скоростям интеграла

§ 2. Топологические препятствия к интегрируемости геодезических потоков

§ 3. Квадратичные по скоростям интегралы

ГЛАВА П. ОПИСАНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ПОТОКОВ ДВУМЕРНОЙ СФЕРЫ И ТОРА С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМ КВАДРАТИЧНЫМ ПО СКОРОСТЯМ ИНТЕГРАЛОМ

§ I. Свойства определяющего многочлена

§ 2. Основная теорема. Классические примеры

§ 3. Теорема единственности геодезического потока с двумя дополнительными квадратичными интегралами

ГЛАВА Ш. НОВЫЕ ПРИМЕРЫ РИМАНОВЫХ МЕТРИК НА Sа С ЗАМКНУТЫМИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИМИ

§ I. Геометрия геодезического потока с дополнительным квадратичным интегралом. Условие замкнутости

§ 2. Построение решений

В этой работе исследуются вопросы, связанные с полной интегрируемостью гамильтоновых систем с двумя степенями свободы.

Гамильтонова система с h степенями свободы называется вполне интегрируемой, если существует in независимых интегралов движения этой системы, коммутирующих относительно скобки Пуассона.

Методы, применяемые при исследовании вопроса о существовании интегралов движения (в частности, полного инволютивного набора интегралов), определяются выбором того функционального класса, в котором разыскиваются интегралы. В соответствии с этим говорят об аналитической или гладкой интегрируемости (или неинтегрируемости) гамильто новых систем.

Эффективные методы, восходящие к работам Пуанкаре [ IJ , развиты для обнаружения аналитической неинтегрируемости (см. f2J). В.М.Алексеев Гз7отметил связь аналитической неинтегрируемости и существования топологически транзитивного гиперболического множества в фазовом пространстве системы. В.В.Козлов [4] доказал, что в сис теме, описывающей движение тяжелого твердого тела, имеет место эффект расщепления сепаратрис и, как следствие, аналитическая, неинтегрируемость. Говоря о гладкой неинтегрируемости, следует отметить работу Маркуса и Мейера [5 J , в которой для системы с двумя степенями свободы типичность гладкой неинтегрируемости,доказана с использованием теории возмущений условно периодических движений Колмогорова, Арнольда и Мозера. Алгебраическим конструкциям аналитически'.интегрируемых систем посвящен обзор [б J .

В случае, когда фазовое пространство системы представляет собой кокасательное расслоение конфигурационного многообразия, с различных точек зрения (см. [v]) представляет интерес изучение гамильтоновых систем, имеющих полиномиальные по импульсам интегралы движения. Так, многочисленные примеры гамильтоновых систем, интегрируемых методом лаксовой пары, принадлежат этому классу. Динамические системы с тремя степенями свободы, имеющие дополнительный квадратичный по импульсам интеграл, находят применения к проблемам, касающимся эволюции звездных систем [ 8 ] . Описание потенциалов взаимодействия V, для которых система h частиц на прямой с гамильтонианом Л, /о* +Z, v (X£-Xj) и с < j имеет независимый с энергией полиномиальный по импульсам интеграл в общем положении, дано в работе £ 9 j•

Простейшим полиномиальным интегралом является линейный по импульсам интеграл, который, как известно (см., например, [I0J), существует тогда и только тогда, когда гамильтониан выдерживает однопараметрическую группу симметрий конфигурационного многообразия. Простой и эффективный критерий существования локального линейного интеграла у геодезического потока, определяемого римановой метрикой на двумерном многообразии, дает теорема Бьянки (см. [ 10J ); геодезический поток двумерной метрики имеет линейный по импульсам интеграл в том и только том случав, когда гауссова кривизна этой метрики и модуль ее градиента являются функционально зависимыми функциями на конфигурационном многообразии.

Квадратичные по импульсам интегралы, которым в настоящей работе уделено особое внимание, возникают, обычно, при интегрировании га-мильтоновых систем методом разделения переменных (см. [II] или [12] ) По теореме Штеккеля натуральная система в кокасательном расслоении

Т *U открытого подмножества U в {ft.* , задаваемая "ортогональным" гамильтонианом И <?) - £ 2L "Су) тогда и только тогда допускает полное интегрирование уравнения Гамильтона - Якоби методом разделения переменных, когда Н имеет т.н. штеккелеву форму, то есть когда существует такая функциональная матрица (иКгп ) , К -ая строчка которой состоит из функций от переменной , что набор коэффициентов гамильтониана ($ f, является первой строкой матрицы, обратной к при этом штеккелева гамильтонова система обладает полным набором квадратичных по импульсам интегралов в инволюции, которые можно вычислять по явным формулам через функции U. к т (f) • Интересную геометрическую характеристику штеккеле-вых систем предложили Бляшке и Цвирнер (см., например, [ 12]): гамильтониан Н геодезического потока в T*U имеет штеккелеву форму, если у любого достаточно малого -мерного куба в У , стороны которого лежат на координатных гиперплоскостях, все геодезические диагонали имеют одинаковую длину.

Однако, проблема отыскания наиболее общей формы гамильтоновых систем с полным набором квадратичных интегралов в инволюции, еще не решена. Даже в случае двух степеней свободы, в котором уже давно (см.L 13] ) доказана приводимость к лиувиллевой форме clx а + сСуг) римановых метрик, геодезический поток которых обладает дополнительным квадратичным интегралом (и, следовательно, имеется возможность в некоторых координатах проинтегрировать уравнения движения методом разделения переменных), остается открытым важный вопрос об отыскании эффективного критерия распознавания таких метрик, аналогичного критерию Бьянки в случав линейного интеграл. Единый подход к изучению линейных и квадратичных интегралов с точки зрения римановой геометрии в целом разработан Я.В.Татариновым в статьях L14 ] .

Отметим здесь другие ситуации, в которых естественно возникают квадратичные интегралы: I) Если риманово многообразие А| является прямым произведением римановых многообразий /f/1*- и Е^ обозначает кинетическую энергию движений в Alj , то £к определяют набор квадратичных интегралов в инволюции, почти всюду независимых в . 2) Пусть - риманова метрика на Ifc fil

Требуется найти условия, при которых существует некоторая другая метрика d на U , геодезические которой совпадают с геодезическими, определяемыми метрикой dt2 . Эту задачу решил Леви - Чиви-та в работе [15 J , где показано, что такая метрика di f существует тогда и только тогда, когда ds.* и d I? можно привести к некоторым специальным нормальным формам. При этом оказывается, что геодезический поток метрики Ы-t2 с необходимостью обладает полным набором квадратичных по импульсам интегралов.

Вопросом существования квадратичных интегралов движения для различных классов гамильтонианов посвящены работы классиков: Пенлеве, Леви-Чивиты и его учеников. Методы, используемые в этих работах, и полученные результаты - локальные. Подробное обсуждение этих результатов имеется в статье [16] .

В настоящей работе основное внимание уделяется исследованию свойств полиномиальных и,в частности,квадратичных интегралов, за данных глобально на кокасательном расслоении Т*/Ч к компактному многообразию. Ясно, что в таком исследовании играет роль топология конфигурационного многообразия.

На возможность топологических препятствий к интегрируемости некоторых классов гамильтоновых систем указывает результат Д.В.Ано

- 4 v сова об эргодичности потоков на компактных многообразиях отрицательной кривизны. Топологические препятствия к аналитической интегрируемости натуральных систем с двумя степенями свободы нашел В.В.Козлов. В его работе [ 17 ] доказано, что в кокасательном расслоении Г ориентируемого двумерного компактного аналитического многообразия Л1 рода §[ > / не существует натуральных систем, задаваемых аналитическим в Г гамильтонианом, обладающих дополнительным аналитическим же (и по импульсам и -по координатам в А) ) интегралом. Доказательство этого результата основано на изучении критических значений аналитического интеграла и покрытии группы гомологий Hi (М) образами групп гомологий торов, задаваемых некритическими уровнями интегралов. Развитие проблематики на случай многообразий с краем предложил С.В.Болотин(см. обзор [6*]).

Основным результатом первой главы диссертации является теорема о топологических препятствиях к интегрируемости геодезических потоков с двумя степенями свободы в классе аналитических по импульсам интегралов. Доказательство этого результата основано на проведенном в § I локальном исследовании полиномиальных по импульсам интегралов, свойства которых собраны в теореме I. Сформулируем эти утверждения.

Теорема I. Предположим, что в области ^ с (Я 3 задана такая риманова метрика d t 2 = Л (c/xz+c/pa.J класса гладкости

С 1 , что определяемый ею локальный геодезический поток, то есть гамильтонова система в Т*У с гамильтонианом

Н , имеет однородный степени ю полиномиальный по импульсам интеграл ч, s Z, ё* f rib? м -о

Тогда функция

Ул- о является голоморфной функцией комплексного переменного Кроме того, если в некоторых других изотермических координатах связанных с голоморфным преобразованием (, где ит~ и + i if , интеграл f-* выражается формулой

J? . , h-m , г*

Гй - С* («> и) Ри Pit , то голоморфные функции R (ъ) и g Ы) = (с,-сг+.)ь L см связаны формулой

S(*J)= (24/'г 2» и Л (2)

Отсюда следует, что выражение *Jfta) инвариантно и задает голоморфную I-форму на V в комплексно-аналитической структуре, определяемой римановой метрикой (картами этой структуры являются карты изотермических для этой метрики координат)• Эта форма имеет первостепенное значение для доказательства теоремы о неинтегрируемости. Отметим еще, что аналогично можно построить форму, соответствующую полиномиальному интегралу произвольной натуральной системы в 7"* U .

Теорема 2. Непрерывно дифференцируемый геодезический поток на компактном ориентируемом двумерном многообразии М рода д> 1 не может обладать дополнительным аналитическим по импульсам первым интегралом (класса гладкости С ), независимым с интегралом энергии.

Для произвольных натуральных систем в Т *Л1 из этой теоремы следует отсутствие дополнительного полиномиального по импульсам первого интеграла.

В связи с теоремой 2 уломяним один простой, но интересный пример, рассказанный автору И.К.Бабенко. Как заметил И.Х.Сабитов, легко построить такую С 00 гладкую метрику на любом компактном двумерном ориентируемом многообразии А) , чтобы в окрестности каждой точки /Л геодезический поток обладал линейным интегралом. Для этого следует g стандартных сфер гладко соединить некоторым количеством трубок (стандартных цилиндров).

§ 3 главы I содержит некоторые подготовительные материалы, необходимые для главы П. В нем обсуждаются'локальные свойства квадратичных по импульсам интегралов сводезических потоков на двумерных многообразиях.

Глава П настоящей работы посвящена исследованию глобальных свойств таких интегралов для геодезических потоков на сфере и торе размерности 2. Оказывается, что упомянутая выше I-форма квадратичного интеграла в случав движений на сфере задается на самом деле многочленом четвертой степени R (ъ), а условие на асимптотическое поведение коэффициентов римановой метрики, записанной в изотермической карте, покрывающей всю сферу без точки, накладывает дополнительные ограничения на этот многочлен, который в общем случав оказывается определяющим многочленом некоторой {Э -функции Вейерш-трасса с вещественными инвариантами, причем нули и полюса производной этой fi -функции естественно связаны с нулями функций / , /? , задающих метрику в лиувиллевых координатах. Обсуждению свойств многочлена & посвящен § I главы П, а в § 2 доказана основная теорема 4, описывающая геодезические потоки на двумерной сфере с дополнительным квадратичным по импульсам интегралом.

Теорема 4. Риманова метрика на В 3 класса гладкости С5- t геодезический поток которой имеет дополнительный квадратичный по импульсам интеграл, в некоторых изотермических координатах заданных на сфере без точки, определяется формулой A^j;) Ыэс*+с(уг), причем А имеет один из двух видов:

I) Л (ос, у) = f (ос * + у*-) ,где f - такая положительная функция класса гладкости С* что £ ft)= а + ° при а > О ; соответствующий геодезический поток имеет в этом случав линейный по импульсам первый интеграл; (и h (if (ос, у))

I V 2 3 - fc а - 1 гДе » " такие вещественные постоянные, что и t гг - вещественная и мнимая части функции JO~T (г), где jo (га) - р -функция Вейерштрасса с инвариантами ^ , <j/3 и парой периодов вида оО, и t 00ц с вещественными U)i , coz , a J? и А - такие положительные функции класса £ г , что а) /ЛО= (л* o(D) при и

Л ('гг- + при ^ для любого фиксированного целого К , где а > О , в) функции / ( и + ^^J и ^ /гг + ^ ^ являются четными при любом целом К (ясно, что при выполнении условия в) значение / ( и (%))+ h ( гг (ъ)) не зависит от выбора значения многозначной функции /Э ~ 1 (г ) f и поэтому формула для Л коррект на).

Обратно, положительная функция ' IR*R , имеющая один из двух указанных видов, определяет метрику на 53 , геодезический поток которой имеет дополнительный квадратичный по импульсам интеграл (формулы, выражающие коэффициенты этого интеграла через функции Д и = V 2 3 ~ ^ г - ^з , приведены в § 3 главы I). Кроме того, необходимым и достаточным условием С 00 гладкости этой метрики является выполнение следующих равенств при всех п <г /V : (K, h + <«* i '*»> f-'j = - A (КЛ для любых целых , .

Далее в работе показано, как укладываются в общую схему теоремы 4 классические геодезические потоки на $2 с дополнительным квадратичным интегралом, а именно потоки, порождаемые стандартной метрикой на эллипсоиде и так называемой фактор-метрикой на сфере Пуассона. § 2 главы П завершается описанием геодезических потоков на торе с квадратичным интегралом. Третий параграф посвящен доказательству следующего утверждения.

Теорема 5. Существует единственная риманова метрика на S 2, геодезический поток которой обладает двумя дополнительными независимыми интегралами, квадратичными по скоростям. Это стандартная метрика сферы радиуса Я , определяемая в изотермических координатах, которш заданы на сфере без точки, формулой А. 2 с/г* =

Из этой теоремы вытекает важное следствие о неэквивалентности метрик из теоремы 4, отвечающих различным парам функций / , h под действием группы диффеоморфизмов.

Отметим здесь интересный, пока остающийся открытым вопрос о возможности вложения в R 3 построенных в теореме 4 римановых многообразий. Ясно; что те из них, которые получаются малым возмущением метрики эллипсоида допускают токое вложение, ибо, согласно классическому результату Погорелова-Александрова (см. П81) любое гомео-морфное Sа риманово многообразие со всюду положительной гауссовой кривизной может быть изоморфически вложено в R3 • Однако, как показал Я.В.Татаринов (см. £ 14 J ), при некоторых значениях параметров, задающих фактор-метрику сферы Пуассона,на возникают области, где гауссова кривизна отрицательна, и проблему вложения не удается пока окончательно решить даже для классических метрик, геодезический поток которых обладает дополнительным квадратичным интегралом.

Важно подчеркнуть, что благодаря тесной связи между свойствами полиномиальных интегралов геодезических потоков и произвольных натуральных гамильтоновых систем, сформулированные выше результаты о геодезических потоках допускают обобщение на натуральные системы. Так, например, из описания геодезических потоков на с дополнительным квадратичным интегралом непосредственно вытекает описание натуральных систем в 7* 53 с квадратичным интегралом.

Третья глава диссертации посвящена качественному описанию поведения геодезических, отвечающих метрикам на S а из теоремы 4, и вытекающему отсюда построению новых примеров римановых многообразий, у которых все геодезические замкнуты.

Впервые вопрос о построении нетривиальных поверхностей с замкнутыми геодезическими обсуждался, по-видимому, у Дарбу (cm.IisJ). Будем говорить, что риманово многообразие удовлетворяет S С свойству (или является $ С многообразием), если существует такое число

-С > О , что любая геодезическая на Л] является простой замкнутой кривой длины € . Дарбу установил условие, которому должно удовлетворять уравнение плоской кривой, для того чтобы получаемая вращением этой кривой поверхность обладала свойством ВСт Он предложил также красивый геометрический критерий, характеризующий такие кривые. Пусть

П - выпуклая поверхность, образованная вращением плоской кривой К вокруг оси L , где К и L принадлежат некоторой плоскости и максимальное расстояние от К до L равно Д. . Дарбу показал, что Л тогда и только тогда удовлетворяет $ С условию, когда длина дуги кривой К , отсекаемой прямой А , параллельной L , равна длине дуги окружности радиуса R. , отсекаемой такой прямой оС , что расстояние от сК до параллельного ей диаметра равно расстоянию между А и L . У Дарбу, однако, не доказано существование глобально определенной на метрики, удовлетворяющей S С свойству.

Следующий шаг был сделан в конце прошлого века Таннери, который построил "грушу", на которой все геодезические замкнуты и имеют наименьший период б , за исключением экватора, наименьший период которого равен £/2. • Эта груша является алгебраической поверхностью, но не является гладким многообразием, потому что в одной точке имеет особенность.

Вопрос о построении нетривиальной гладкой S С метрики на S* был решен в 1903 году Цоллем (см. Г19Jf), который в явном виде сконструировал вещественно-аналитическую SC поверхность вращения, гомеоморфную S* . Несложное обобщение конструкции Цолля приводит к построению зависящего от функционального параметра семейства гладких SC метрик на S* , инвариантных относительно вращений вокруг некоторой оси (см.[20 J). В своей книгеf21 ] Бляшке предложил изящную модификацию конструкции Цолля, позволяющую строить гомеоморфные S * $С многообразия, не являющиеся поверхностями вращения. Поверхности Бляшке "склеиваются" из кусков различных поверхностей вращения с помощью пленок, изометричных частям стандартной сферы.

В 1913 году в статье! 22 J функ попытался построить однопарамет-рическое свмейство SC римановых метрик вида tf(t)g. на , где jjf - стандартная метрика, в виде суммы ряда с начальными условиями у>(0)~ 1 и dy (~i) /cbt. 11-0 — h (для произвольной нечетной функции А на S2, то есть такой функции, что А * - - h для антиподального отображения сферы 3* ). Ему, однако, не удалось доказать сходимость построенных рядов. Существование деформаций этого вида для каждой нечетной производной недавно доказал Гийемин в работе [ 23 ] , используя мощные средства современного глобального анализа. Из результата Гийемина вытекает, в частности, что в достаточно малой окрестности стандартной метрики на существует весьма богатое семейство гладких метрик, удовлетворяющих S С условию, но не допускающих никаких изометрий, кроме тождественного отображения. Отметим здесь, что это по-существу лишь теорема существования. Никаких явных формул для этих метрик в [23 J не имеется. Это и понятно, поскольку доказательство Гийемина основано на применении теоремы о неявных функциях (для функциональных многообразий типа Фреше).

Современное состояние проблемы описания многообразий с замкнутыми геодезическими наиболее полное представлено в книге А.БессэГ20].

Опуская здесь обсуждение проблемы для многообразий размерности > 2 , где имеется много красивых результатов, но, как отмечает А.Бессэ, почти все основные вопросы остаются открытыми, укажем лишь на единственное общее условие, необходимое для того, чтобы риманово многообразие удовлетворяло S С условию. А именно, как показал Вейн-стейн (см. [24] ), полный объем риманова d -мерного SC многообразия с периодом 2.7Г равен целому кратному объема стандартной Ы -мерной сферы. Целое число, равное отношению этих объемов, называется числом Вейнстейна SC многообразия.

Важно подчеркнуть, что даже в размерности 2 проблема классификации и описания SC многообразий еще далека от полного разрешения. Хотя многое уже сделано. Из общей теоремы Ботта - Самельсона о топологии SC™ многообразий, то есть таких многообразий, у которых все геодезические, выходящие из некоторой точки М , являются замкнутыми, вытекает, что среди двумерных многообразий лишь на сфере и на проективном пространстве 1ЯРг существуют римановы метрики, удовлетворяющие SC свойству. Кроме того, в 1961 году, используя методы интегральной геометрии расслоения единичных касательных векторов, Л.Грин доказал в работе [25] гипотезу Бляшке, согласно которой всякая SC риманова метрика на изометрична. стандартной. Поэтому среди двумерных многообразий лишь на сфере существуют нетривиальные SC структуры. Про них известно два общих результата Вейн-стейна, доказательство которых приведено, например, в упомянутой выше книге А.Бессэ. Первый из них заключается в том, что геодезические потоки, порожденные двумя метриками на , обладающими £С свойством, сопряжены посредством симцлектического диффеоморфизма, а из второго следует, что число Вейнстейна любого гомеоморфного $* ЗС многообразия с периодом Ш равно единице, иными словами, о объем такого многообразия равен з Л - объему стандартной сферы.

Наиболее простыми метриками на после метрик, задающих поверхности вращения, являются метрики, геодезический поток которых имеет дополнительный квадратичный интеграл. Существование такого интеграла как уже отмечалось выше, позволяет проинтегрировать уравнения движения методом разделения переменных и провести качественное описание геометрии геодезического потока. На основе такого исследования в главе 3 настоящей работы доказывается следующее утверждение.

Теорема б. Пусть задана такая риманова метрика на что ее геодезический поток имеет дополнительный квадратичный по импульсам интеграл, не являющийся квадратом линейного интеграла. Тогда эквивалентны следующие условия; а) все геодезические замкнуты; б) соответствующее риманово многообразие является S С многообразием ; в) функции /^^и h (v), задающие метрику согласно теореме удовлетворяют условиям: I) если UQ € [о, if о 6 £ О, J

- точки, в которых / и А принимают' соответственно свои максималь ныв значения /о и , то у функции / на интервалах и f J , а У функции А на интервалах (О, и0) и г/о, Щ-3- ) существуют/непрерывные дифференцируемые монотшнные обратные функции; 2) / и А удовлетворяют систаме интегральных уравнений: с/зс

V*, f — lCt(fl, ho) vO, Cx;-c j //Сэс)+ с

Г - С j J ^

DC)+C

LLf (C)

Здесь и (О - такие точки, что / f ^е* и h С (О) — С.

Следует обратить внимание на то, что необходимость 5С свойства для метрик из теоремы 4 с замкнутыми геодезическими, является фактом, не имеющим места в случав геодезических потоков с линейным интегралом, ибо не трудно построить такую поверхность вращения, у которой все геодезические замкнуты, но не существует такого > О которое являлось бы наименьшим периодом для всех геодезических одновременно. Отметим, однако, что в силу результата Уодсли (см. С20J), общий период (не обязательно наименьший) у всех геодезических непреmqhho существует, копь скоро все они замкнуты.

Выписанные выше интегральные уравнения на функции /и h можно несколько преобразовать и с помощью введения некоторых других неизвестных функций привести к значительно более простому виду. Для полученной таким образом системы линейных сингулярна интегральных уравнений удается в явных формулах построить некоторые частные решения, выражаемые через функции Лежандра первого рода, которые, как оказывается, удовлетворяют необходимым асимптотическим условиям, возникающим из теоремы 4. Этих решений хватает для построения зависящего от функционального параметра семейства метрик на S* , обладающих SC свойством.

В связи с результатом Гийемина отметим тот факт, что построенные $ С метрики аналитичны всюду на 53 , за исключением 4-х точек, где они лишь непрерывны.

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю A.M.Стопину за постановки задач и полезные обсуждения.

- 18

1. Пуанкаре А. О проблеме трех тел и об уравнениях динамики. - В кн.: А.Пуанкаре. Избр. труды, т.2. - М.: Наука. 1972.2. С. L. On ofАж.МаЛЬ^ 1<b<tf, 92, />. 806

2. Алексеев B.M. Квазислучайные динамические системы 1,П,Ш. Матем. сб. 1968, 76:1, с. 72-134; 1968, 77:4, с. 545-601; 1969, 78:1, с. 3-59.

3. Трофимов В.В., Фоменко А.Т. Интегрируемость по йиувиллю гамильтот новых систем на алгебрах Ли. УМН, 1984, 39:2, с.3-56.

4. Козлов В.В. Расщепление сепаратрис возмущенной задачи Эйлера--Пуансо. Вестн. МГУ, сер. матем.,мех., 1976, № 6.

5. MasiJoyji, /Ллцлл К, G-e-fue/wlcen^&cUc. П^оОщ Ыл /l.Af. 7УУ,

6. Степин A.M. Интегрируемые гамильтоновы системы. В кн.: Качественные методы исследования нелинейных дифференциальных уравнений и нелинейных колебаний. Киев, Ин-т математики АН УССР.1981.

7. Чандрасекаран С. Принципы звездной динамики, Москва. ИЛ, 1948.

8. Пидкуйко С.И., Степин A.M. Полиномиальные интегралы гамильтоно-вых- систем . ДАН, 1978. 239:1, с. 50-53.Ю.Татаринов Я.В. Лекции по классической динамике. М.: МГУ, 1981.

9. Парс Л. Аналитическая динамика. М.: Наука, 1971.12. ТРи^гтп A, б^игл

10. Q. SUA Са t&J^ybd* o&L се* et с/мceJbbuJL С^^и^и^все. flcubU. СгсьиМлл 1/<Жоиг, v. 3

11. Татаринов Я.В. Геометрический формализм классической динамики. -- Вестн. МГУ, сер.матем. мех., 1978, № 3, с.109-118Глобальный взгляд на динамику твердого тела. Вести.МГУ. Сер. матем.,мех., 1978, № 4, с.101-109; Ш 5, с. 93-98.

12. Лелл С*лгСЛс< Т. trijajy^abrruiub^ e^UoLr^Co^' - A oU McU. 2:29, /83 6

13. Переломов A.M. Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли. ИТЭФ 149, 1981.

14. Козлов В.В. Топологические препятствия к интегрируемости натуральных механических систем. ДАН, 1979, 249:6,с. 1299-1302.

15. Погорелов А.В. Регулярность выпуклой поверхности с данной гауссовской кривизной. Матем.сб., т.31, 1952, с. 88-103.19. £<у€е О. РвакМям fruA1.mmm- MtUfa. An* 5?, 13031 а 708-73 3

16. Бессэ А. Многообразия с замкнутыми геодезическими. М.:Мир,1981

17. Бляшке В. Введение в дифференциальную геометрию. М.;Гостех-издат, 1957.

18. Fu*v4< А йЛяп F€cU4uiJH rrUst €си**А*гЛMcUb.Atu* /о. 292-300

19. G-bU£jCnryUr\ I/ ft* RonjcUm оЫл <т24. t А- erf/па^ДсШ. of -иrkoW. соъя Э. £>СЦ. Geov*., 9, 1Э?9Л25. бътп /. IV. CUxJ ^^(^г^гАг^е^ЬЛ^ /Wi. Mcvtb. ?St fS63; />. 2S9-233

20. Шиффер M., Спенсер Д.К. Функционалы на конечных римановых поверхностях. М.; ИЛ, 1957.

21. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций . М.: Наука, 1968.

22. Илиев И.П., Семерджиев Х.И. О голономных механических системахс двумя степенями свободы, допускающие квадратические интегралы. Изв. в зов, Математика, 1972, № 2, с. 51-53.

23. Смирнов В.И. Курс высшей математики, т.З, ч.2, 1958.

24. Крейн М.Г. Интегральные уравнения на прямой с ядром, зависящим от разности аргументов. Успехи мат.наук, н.с., 1958, т.13, вып.5, с. 3-120.

25. Уиттекер Э.Т., Ватсон Д.Н. Курс современного анализа. М. Физ-матгиз, 1963.

26. WCoUm И. НоииЖе£ Гпл^ОъцагЛ ."Р^. Ауг^гл.McUA. £oc.t 13 66, v. 1211 Ж/, A J-3SРаботы автора по теме диссертации.

27. Колокольцов В. Н. Геодезические потоки на двумерных многообразиях с дополнительным квадратичным по скоростям первым интегралом. Изв. АН СССР, т. 46, № 5, 1982,с. 994-1010.

28. Колокольцов В. Н. Новые примеры многообразий с замкнутыми геодезическими. Вестн. МГУ, мат. мех. № 4, 1984, с. 80-82.

29. Колокомьцов В. Н. -геодезические потоки на сфере с дополнительным квадратичным по скоростям интегралом, копись депонирована в ВИНИТИ 20.УШ.84, № 5924-84.