Геодезические потоки инвариантных метрик на однородных пространствах групп Ли тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

□□347Э32Б

На правах рукописи УДК 517.938.5

Логачев Александр Александрович

ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ПОТОКИ ИНВАРИАНТНЫХ МЕТРИК НА ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

ГРУПП ЛИ

01.01.01 — математический анализ

1 5 ОКТ ГЧ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2009

003479926

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа Механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

профессор Анатолий Михайлович Степин

кандидат физико-математических наук Сергей Викторович Тихонов

Официальные оппоненты:доктор физико-математических наук

Александр Николаевич Старков

кандидат физико-математических наук Михаил Сергеевич Куликов

Ведущая организация: Математический институт

им. В. А. Стеклова РАН

Защита диссертации состоится 30 октября 2009 г. в 16 ч. 40 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 29 сентября 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор

И. Н. Сергеев

Общая характеристика работы Актуальность темы

Изучение вопроса о лиувиллевой интегрируемости гамильто-новых систем, и в частности геодезических потоков, имеет давнюю историю. Интегрируемость означает, что существует максимальный набор функционально независимых интегралов движения, попарные скобки Пуассона которых обращаются в нуль. Одним из наиболее известных примеров интегрируемых систем является геодезический поток инвариантной метрики на й^З), связанный с задачей о вращении твердого тела; эта задача впервые была рассмотрена Эйлером в 1758 году1. С появлением метода (L, Л)-пары в теории гамильтоновых систем, список интегрируемых геодезических потоков был существенно расширен2,3.

Полная классификация вполне интегрируемых G-инвариант-ных гамильтоновых систем с транзитивной простой группой Ли G конфигурационных симметрий получена И. В. Микитюком и А. М. Степиным (см. УМН, 1987, 42:4 и работу4). Динамические системы, исследованные в упомянутых выше работах, обладают полным инволютивным набором аналитических интегралов движения.

Проблема топологических препятствий к интегрируемости была поставлена В. В. Козловым5,6; он также обнаружил первое известное препятствие, доказав, что если на ориентированном замкнутом двумерном многообразии существует аналитически

1П. Уиттекер. Аналитическая механика. Москва, "Мир", 1966.

2С. В. Манаков. О полной интегрируемости и стохастизации в дискретных динамических системах // ЖЭТФ, 1974, 67(2), 543-555.

3А. С. Мищенко, А. Т. Фоменко. Интегрируемость уравнений Эйлера на лолупростых алгебрах Ли.// Труды семинара по векторному и тензорному анализу, 1979, 19, 3-94.

4I. V. Mikytyuk, А. М. Stepin. Classification of almost spherical pairs of compact simple lie groups.// Poisson Geometry, Banach Center Publications, 2000, 21, 231-241

5B. В. Козлов. Топологические препятствия к интегрируемости натуральных механических систем.// ДАН СССР, 1979, 249(6), 1299-1302.

6В. В. Козлов. Интегрируемость и неинтегрируемость в гамильтоновой механике.// Успехи Мат. Наук, 1983, 38(1), 1-76.

интегрируемый геодезический поток, то это многообразие гомео-морфно либо сфере, либо тору. Как было показано В. Н. Ко-локольцовым7, это верно также для геодезических потоков на двумерных многообразиях, интегрируемых при помощи гладких интегралов, являющихся вещественно-аналитическими функциями от импульсов. Обобщение теоремы Козлова на многообразия большей размерности было получено И. А. Таймановым8'9. Ряд работ Г. П. Патернайна10,11 посвящен изучению топологической энтропии интегрируемых геодезических потоков. Патернайн доказал, что если геодезический поток на гладком компактном ри-мановом многообразии интегрируем, то фундаментальная группа такого многообразия имеет субэкспоненциальный рост.

Патернайн предложил использовать топологическую энтропию для поиска топологических препятствий к интегрируемости, разделив задачу на две: 1) доказательство обращения в нуль топологической энтропии интегрируемых геодезических потоков и 2) нахождение топологических препятствий для обращения в нуль топологической энтропии потока. По второй задаче уже имелись результаты М. JI. Громова12 и И. Н. Иомдина13, а также Е. И. Динабурга14, который доказал, что если фундаментальная группа многообразия имеет экспоненциальный рост, то топологи-

7В. Н. Колокольцов. Геодезические потоки на двумерных многообразиях с дополнительным полиномиальным по скоростям первым интегралом.// Изв. АН СССР, 1982, 46(5), 994-1010.

8И. А. Тайманов. Топологические препягсвия к интегрируемости геодезических потоков на неодносвязных многообразиях.// Изв. АН СССР. Сер. мат.,1987, 51(2), 429-435.

9И. А. Тайманов. Топология римановых многообразий с интегрируемыми геодезическими потоками.// Тр. МИАН, 1994, 205,150-163.

10G. Р. Paternain. On the topology of manifolds with completely integrable geodesic flows.// Ergodic Theory and Dinamical Systems, 1992,12, 109-121.

nG. P. Paternain. On the topology of manifolds with completely integrable geodesic flows, ii.// J. Geom. and Phys, 1994,13, 289-298.

12M. Gromov. Entropy, homology and semialgebraic geometry. //Séminaire Bourbaki 38ёте année, 1985-86, 663, 225-240.

13Y. Yomdin. Volume growth and entropy.// Israel J. Mathematics, 1987, 57, 287-300.

14E. И, Динабург. Связь между различными энтропийными характеристиками динамических систем.// Известия АН СССР, 1971, 35(2), 324-366.

ческая энтропия геодезического потока любой гладкой метрики на многообразии положительна.

Другое направление — это построение полного набора интегралов для гамильтоновых систем и, в частности для геодезических потоков. А. Тимм15 предложил метод нахождения набора интегралов в инволюции, используя инвариантность гамильто-новой системы под действием группы G. Серия примеров интегрируемых геодезических потоков на однородных нильмного-образиях с нулевой топологической энтропией была построена JI. Т. Батлером16. Используя "трюк" Батлера, А. В. Болсинов и И. А. Тайманов17 опровергли гипотезу Патернайна и построили первый пример интегрируемого геодезического потока с положительной топологической энтропией. В работе18 приведена серия таких потоков для некоторых метрик и групп Ли любой размерности. Батлер19 расширил класс нильпотентных примеров и рассмотрел n-ступенно нильпотентные группы вида КкК", также доказав обращение в нуль топологической энтропии. В работе20 были построены примеры геодезических потоков на нильмного-образиях с положительной топологической энтропией, которые, однако, не являются интегрируемыми.

В связи с этим отметим, что Огепин высказал предположение о связи положительности топологической энтропии интегрируемых геодезических потоков на однородных пространствах групп Ли с существованием гиперболической компоненты присоеди-

15А. Thimm. Integrable geodesic flows on homogeneous spaces.// Ergodic Theory and Dynamical Systems, 1981, 1, 495-517.

16L. T. Butler. A new class of homogeneous manifolds with Liouville-integrable geodesic flows.// C. R. Math. Acad. Sci. Soc. R. Can., 1999, 21(4), 127-131.

17A. V. Bolsinov and I. A. Taimanov. Integrable geodesic flow with positive topological entropy.// Invent. Math, 2000, 140, 639-650.

18А. В. Болсинов and И. А. Тайманов. Интегрируемые геодезические потоки на надстройках автоморфизмов торов.// Труды Математического Института им. В.А. Стеклова, 2000, 231, 46-63.

19L. Т. Butler. Integrable geodesic flows on n-step nilmanifolds.// Journal of Geometry and Physics, 2000, 36, 315-323.

20L. T. Butler. Invariant metrics on nilmanifolds with positive topological entropy.// Geometriae Dedicata, 2003, 100, 173-185.

ненного представления группы Ли. Цель работы

Данная диссертация посвящена изучению геодезических потоков на однородных пространствах групп Ли с точки зрения интегрируемости и энтропийной теории. Также изучается свойство батлеровской интегрируемости. Основная цель данной работы - исследовать свойства геодезических потоков на трех- и четырехмерных однородных пространствах.

Научная новизна

В работе получен ряд новых результатов, основными из которых являются следующие:

1. Разработана техника обнаружения гладкой интегрируемости гамильтоновых систем.

2. Исследован вопрос об интегрируемости (неинтегрируемости) потоков геодезических на однородных пространствах групп Ли размерности 3 и 4.

3. Найдены пример интегрируемой системы с многозначным интегралом движения, а также случай неинтегрируемости по Батлеру.

Основные методы исследования

В работе были использованы метод редукции гамильтоновых систем с симметриями, подход Батлера для изучения интегрируемости и соображения Болсинова и Тайманова при доказательстве положительности топологической энтропии, а также другие методы и результаты теории гамильтоновых систем и энтропийной теории.

Практическая и теоретическая ценность

Диссертация носит теоретический характер. Ее методы и результаты могут найти применение в дальнейшем исследовании связи вопросов интегрируемости и топологической энтропии, нахождении препятствий к интегрируемости, а также в теории га-мильтоновых систем.

Апробация результатов

Основные результаты работы неоднократно докладывались на семинаре "Динамические системы и эргодическая теория" кафедры теории функций и функционального анализа механико-математического факультета МГУ под руководством акад. РАН, проф. Д. В. Аносова, д. ф.-м. н., проф. А. М. Степина (2007, 2008 гг. и ранее). А также на III международной конференции "Математические идеи П. Л. Чебышева и их приложения к современным проблемам естествознания", Обнинск, 2006 и на XXVII конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ, 2005.

Публикации

Результаты опубликованы в 3 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации

Диссертация состоит из оглавления, введения, двух частей и списка литературы, который включает 38 наименований. Общий объем диссертации - 100 страниц.

Краткое содержание работы

Работа состоит из двух частей и введения. Во введении дан обзор работ, в которых изучаются препятствия к интегрируемости гамильтоновых систем, приведены основные определения,

а также излагаются основные результаты. Первая часть посвящена изучению геодезических потоков на однородных пространствах трехмерных групп Ли. Во второй части исследуются геодезические потоки на однородных пространствах четырехмерных групп Ли. Использовано описание трехмерных и четырехмерных

1Л 11

групп и их дискретных подгрупп из источников .

В параграфе 1.1 дан перечень рассматриваемых трехмерных групп Ли и соответствующих дискретных кокомпактных подгрупп Г в них. Случай 1 — нильпотентная группа Гейзенберга #1. Случай 2 — разрешимая группа = М к Е2, где К действует гиперболическими поворотами на К2. Случай 3 — разрешимая группа ¿>2 = М х К2, где К действует поворотами на М2. И, наконец, случай 4 — 8Ь(2, Е). Далее приводится описание левоин-вариантных римановых метрик на этих группах. Во всех случаях кроме 8Ь(2, К) приводится описание всех левоинвариантных метрик, а для 8Ь(2, К) доказывается следующее утверждение.

Утверждение 1.1.2 Для случая 8Ь(2,К) левоинвариант-ные метрики, имеющие однопараметрическую группу присоединенных симметрий, состоят из метрик, инвариантных относительно правых сдвигов на элементы подгруппы сопряженной с = 50(2, К).

В параграфе 1.2 исследуется интегрируемость соответствующих геодезических потоков. Геодезическому потоку на ГС соответствует гамильтонова система на Т*С с функцией Гамильтона Я, получаемая с помощью преобразования Лежандра. Приводятся нетеровские интегралы для действия группы б левыми сдвигами на самой себе, из них строятся наборы интегралов движения /3 = Я для гамильтоновых систем на Т*(3. Также доказывается для всех случаев, кроме 8Ь(2,М), что гамильтоно-вы системы и, следовательно, геодезические потоки интегрируемы на ТС?.

21 Л. Ауслендер, Л. Грин, Ф. Хан. Потоки на однородных пространствах. Москва, "Мир", 1966.

22 А. В. Сафонов. Группы преобразований и в-индуцированные потоки. Диссертация, 1982.

Определение 1.2.1(Butler23) Пусть (Ь2п,ш) симплектиче-ское многообразие и Хц — гамильтоново векторное поле на L2n с гладкой функцией Гамильтона Н. Пусть (Ь2п,ш) — накрытие L такое, что: (1) й = 7Г*аг, где 7г — проектор; (2) на L задано пуассоновское действие группы Ли S. Пусть Р : L —»• S* отображение момента для действия S. Предположим, что функция Н = 7г*Н является 5-инвариантной. Если существует ин-волютивный набор п — 1 функционально независимых функций fu---, /п-1 е C°°(S*) такой, что /: О Р,..., /„_! о Р "опускается" на L2n и вместе с функцией Гамильтона Н является функционально независимым набором на всюду плотном, открытом подмножестве L2n, тогда говорят, что векторное поле X¡¡ почти полностью совместно интегрируемо (almost completely collectively integrable [AC CI]). Мы будем называть данное свойство батлеров-ской интегрируемостью.

Приводится модифицированный алгоритм изучения батле-ровской интегрируемости с использованием конструкции фундаментальной области действия Г на пространстве интегралов движения.

Определение 1.2.2 Фундаментальной областью для действия Г в Rfc мы будем называть такую область U, что TU U U' = Rfc, где мера U' равна нулю, и 7\U П 72Í7 = 0 для V7x ф 72 G Г.

Для доказательства интегрируемости геодезических потоков на TT\G строятся интегралы движения соответствующих га-мильтоновых систем на T*G, инвариантные относительно действия Г, и описываются критические множества для этих интегралов (множества точек, где нарушается условие функциональной независимости первых интегралов), тем самым устанавливается интегрируемость гамильтоновых систем на T*T\G. В доказательстве интегрируемости для произвольной дискретной кокомпактной подгруппы используется следующее следствие.

Следствие 1.2.7 Пусть Д,/2,.../п-1 инвариантный относительно Г набор первых интегралов в инволюции такой, что для любой левоинвариантной метрики соответствующая ей га-

23 L. Т. Butler. A new class of homogeneous manifolds with liouville integrable geodesic flows. Preprint, 8, November 1998.

мильтонова система с функцией Гамильтона Я интегрируема и Ii, I2, ■ ■ ■, In-1) Н — полный набор интегралов в инволюции. Тогда для произвольного автоморфизма <р : G —* G существует набор интегралов в инволюции Д, /2,..., 1п-\ инвариантный относительно </?_1(Г) такой, что для любой левоинвариантной метрики соответствующая ей гамильтонова система интегрируема и ii, /2, • • • i ¡n-\iH - полный набор интегралов в инволюции. Утверждение 1.2.9 Рассмотрим

h = fipz) sin - х)У, h = h= pz-, h = h = H,

h = f(pxpy) sin (2тг^); I2 = h = ад; h = h = я, h = pIípI-Щ+ Py))2; h = h = p\+P2y] I3 = h = H,

где f(x) = exp — ^. Для любой левоинвариантной метрики и дискретной кокомпактной подгруппы Г специального вида группы G в случаях 1, 2 и 3 (соответственно) функции 1\, 1%, /3 являются интегралами движения в инволюции гамильтоновых систем соответственно и инвариантны относительно естественного действия подгруппы Г С G в пространстве интегралов.

Под специальным видом Г в данном утверждении имеется в виду такие подгруппы, что для любой дискретной кокомпактной подгруппы существует автоморфизм группы, переводящий ее в специальный вид.

Для случаев 1 и 2 имеет место интегрируемость в классе С°°-функций, а геодезический поток в случае 3 интегрируем в классе аналитических функций.

"Утверждение 1.2.10 Множества критических точек для интегралов движения i¡> — (/1, I2, /3) таковы

сгй{ф) = {Н'рх = О, Н'х = 0} U {pz = 0} U {cos 27г— = 0} - случай 1

Pz

crit(ij>) С {Н'Рг = 0} и {рхру = 0} и {cos (27Г—= 0} - случай 2,

— Л/

сгй(ф) С {Н'ря = 0} U {рх = 0} 0 {ру = 0}U и (Рх = 3Р2У} и {р2х = 3р2у} - случай 3.

В параграфе 1.3 вычисляется топологическая энтропия для геодезических потоков, а также исследуются геодезические потоки на однородных пространствах ЭЬ(2, М). Здесь и в дальнейшем под 5(Г\Ст) понимается пространство единичных линейных элементов на Г\С.

Утверждение 1.3.1 Для каждой левоинвариантной рима-новой метрики на Н\ и произвольной кокомпактной дискретной подгруппы Г С #1 соответствующий геодезический поток на 5(Г\771) интегрируем в классе С°°-функций и имеет нулевую топологическую энтропию.

Для доказательства положительности топологической энтропии достаточно найти инвариантное подмножество, на котором поток обладает положительной топологической энтропией, в то время как для доказательства нулевой топологической энтропии необходимо рассмотреть что происходит с потоком на всем критическом множестве (в силу компактности конфигурационного пространства из теоремы Лиувилля следует, что вне критического множества топологическая энтропия нулевая).

Утверждение 1.3.2 Для каждой левоинвариантной рима-новой метрики на 51 и произвольной кокомпактной дискретной подгруппы Г С £1 соответствующий геодезический поток на 5,(Г\5'1) интегрируем в классе С°°-функций и имеет положительную топологическую энтропию.

Утверждение 1.3.3 Для каждой левоинвариантной рима-новой метрики на ¿>2 и произвольной кокомпактной дискретной подгруппы Г С ¿>2 соответствующий геодезический поток на 5,(Г\52) интегрируем в классе аналитических функций и имеет нулевую топологическую энтропию.

Утверждение 1.3.5 Существует левоинвариантная метрика на 8Ь(2, Е) такая, что для каждой равномерной решетки Г С ЭЬ(2, К) соответствующий геодезический поток на 5(Г\8Ь(2,М)) имеет положительную топологическую энтропию и не является интегрируемым в классе С°°-функций.

В параграфе 2.1 приводится перечень четырехмерных групп Ли С и их дискретных кокомпактных подгрупп Г. Случай 1 — разрешимая группа = I к К3, где три собственных значения действия К вещественные. Случай 2 — разрешимая группа

= К к К3, где одно собственное значение для действия М вещественное, а два — комплексно сопряженных. Случай 3 — разрешимая группа = К к где действие М гиперболическое. Случай 4 — разрешимая группа С?з = К к Н\, где действие М эллиптическое. Случай 5 и 5' — нильпотентные группы и С^-Ёк К3. Случай б - К х ЭЬ(2, К).

В параграфе 2.2 дано описание левоинвариантных метрик и выписаны дифференциальные уравнения задающие соответствующие геодезические потоки.

В параграфе 2.3 исследуется интегрируемость соответствующих гамильтоновых потоков на Т*С и Т"Т\(7. Приводятся нете-ровские интегралы для всех случаев, кроме случая 6 (рассмотрен отдельно). Строятся функции от них и устанавливается интегрируемость потоков на Т*С (параграф 2.3.1). Затем для случаев 1, 2(при к = 0), 4, 5 и 5' строятся интегралы Д, /г, /3 такие, что они инварианты относительно естественного действия специальных подгрупп Г и устанавливается интегрируемость в классе С°°-функций на Т*Г\£ (параграф 2.3.2).

Под подгруппами Г специального вида, как и в трехмерных случаях, имеются в виду такие подгруппы, что для любой дискретной кокомпактной подгруппы существует автоморфизм группы, переводящий ее в специальный вид.

Исследована многозначная интегрируемость в случае 2 (параграф 2.3.3).

Утверждение 2.3.11 Для каждой левоинвариантной метрики на Сгб(А;), к ф 0 соответствующая гамильтонова система на Т*Се(А;) аналитически интегрируема, а для дискретных коком-пактных подгрупп Г специального вида гамильтонова система на Т*Т\С1(к) обладает многозначным С°°-интегралом и интегрируема на открытой непустой части фазового пространства.

Там же приведен пример неинтегрируемости по Батлеру.

Утверждение 2.3.13 Для каждой левоинвариантной метрики на С1, соответствующая гамильтонова система на Т*С\ аналитически интегрируема, а для дискретных кокомпактных подгрупп Г специального вида гамильтонова система на Т*Т\0\ не является интегрируемой по Батлеру (для группы симметрий

В параграфе 2.4 исследуется топологическая энтропия га-мильтоновых потоков на Т"Т\(3.

Утверждение 2.4.1 Для каждой левоинвариантной рима-новой метрики на С?6 и произвольной кокомпактной дискретной подгруппы Г С соответствующий геодезический поток на 5(Г\(5б) интегрируем в классе С°°-функций и имеет положительную топологическую энтропию.

Утверждение 2.4.2 Для каждой левоинвариантной римано-вой метрики на , к ф 0 и произвольной кокомпактной дискретной подгруппы Г С С?б (к) соответствующий геодезический поток на 5(Г\(?б(А;)) обладает многозначным С°°-интегралом, интегрируем на открытой части фазового пространства и имеет положительную топологическую энтропию.

Утверждение 2.4.3 Для каждой левоинвариантной римано-вой метрики на С|(0) и произвольной кокомпактной дискретной подгруппы Г с соответствующий геодезический поток на

5,(Г\С!б(0)) аналитически интегрируем и имеет нулевую топологическую энтропию.

Утверждение 2.4.4 Для каждой левоинвариантной рима-новой метрики на и произвольной кокомпактной дискретной подгруппы Г С С?? соответствующий геодезический поток на 5(Г\С°) не интегрируем по Батлеру (для группы симметрий С?) и имеет положительную топологическую энтропию.

Утверждение 2.4.5 Для левоинвариантной римановой метрики ¿в2 = с1х2 + с1у2 + (с1г — х<1у)2 + с1т2 на С?3 и некоторых коком-пактных дискретных подгрупп Г с (?з соответствующий геодезический поток на 5(Г\Сз) интегрируем в классе С°°-функций и имеет нулевую топологическую энтропию.

Утверждение 2.4.6 Для каждой левоинвариантной римановой метрики на и произвольной кокомпактной дискретной подгруппы Г С (?й соответствующий геодезический поток на 5(Г\(?б) интегрируем в классе С°°-функций и имеет нулевую топологическую энтропию.

Утверждение 2.4.7 Для каждой левоинвариантной римановой метрики на и произвольной кокомпактной дискретной подгруппы Г с соответствующий геодезический поток на 5(Г\(Зд) интегрируем в классе С°°-функций и имеет нулевую

топологическую энтропию.

"Утверждение 2.4.8 Для каждой левоинвариантной метрики на (7 = К х ЭЬ(2, Е) и произвольной равномерной решетки Г С О соответствующий геодезический поток на 5(Г\С) не интегрируем в классе аналитических функций.

Утверждение 2.4.9 Существует левоинвариантная римано-ва метрика на С = К х ЭЬ(2, Е.) и существует дискретная коком-пактная подгруппа Г С <7 такие, что соответствующий геодезический поток на 5(Г\С) имеет положительную топологическую энтропию и не является интегрируемым в классе С°°-функций.

Автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям — доктору физико-математических наук, профессору Анатолию Михайловичу Степину за постановку задач, ценные обсуждения и постоянное внимание к работе, и кандидату физико-математических наук Сергею Викторовичу Тихонову за полезные обсуждения и содействие в научной работе.

Работы автора по теме диссертации

1. А. А. Логачев, "О геодезических потоках инвариантных метрик на группах Ли размерности 3", Вестник МГУ. Сер.1. Математика, механика., 2006, N2, стр. 54-56.

2. А. А. Логачев, "Энтропия геодезических потоков на однородных пространствах групп Ли", Деп. в ВИНИТИ 09.12.08, №934-В2008.

3. А. А. Логачев, "О трюке Батлера и редукции для геодезических потоков", Труды XXVII конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова, 2005, стр. 85-90.

Подписано в печать 25. О9.09 Форма г 60x90 1/16. Усл. new. л. -¿¿7 Тираж iOOэкз. Заказ Je*

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова

Введение (постановка задачи, обзор литературы и формулировка полученных результатов).

Часть 1 Потоки геодезических инвариантных метрик на однородных пространствах 3-мерных групп Ли.

1.1 Равномерные решетки Г в трехмерных группах Ли

1.2 Интегрируемость потоков геодезических на однородных пространствах групп К к К

1.3 Топологическая энтропия геодезических потоков на Т*Г\С и их неитегрируемость в случае <2 = 8Ь(2, К).

Часть 2 Четырехмерные группы Ли и потоки геодезических на их однородных пространствах.

2.1 Равномерные решетки в 4-мерных группах Ли.

2.2 Левоинвариантные метрики и соответствующие геодезические потоки.

2.3 Интегрируемость геодезических потоков на Х"Т\С.

2.3.1 Интегралы движения геодезических потоков Т*й

2.3.2 Интегрируемость геодезических потоков на Т*Г\(2 в случае разрешимых групп С?.

2.3.3 Многозначная интегрируемость и неинтегрируемость по

Батлеру.

2.4 Топологическая энтропия геодезических потоков на Т*Г\С и их неинтегрируемость в случае полупростой симметрий . 85 Список литературы.

Изучение вопроса о лиувиллевой интегрируемости гамильтоновых систем, и в частности геодезических потоков, имеет давнюю историю. Интегрируемость означает, что существует максимальный набор функционально независимых интегралов движения, попарные скобки Пуассона которых обращаются в нуль. Одним из наиболее известных примеров интегрируемых систем является геодезический поток инвариантной метрики на 30(3), связанный с задачей о вращении твердого тела; эта задача впервые была рассмотрена Эйлером в 1758 году (см. [24]). В связи с появлением метода (Ь, А)-пары в теории гамильтоновых систем, список интегрируемых геодезических потоков был существенно расширен (см. [14,15]). Полная классификация вполне интегрируемых (^-инвариантных гамильтоновых систем с транзитивной простой группой Ли С конфигурационных симметрий получена И. В. Микитюком и А. М. Степиным (см. семинар им. И. Г. Петровского и [34]). Динамические системы, исследованные в упомянутых выше работах, обладают полным ин-волютивным набором аналитических интегралов движения.

Проблема топологических препятствий к интегрируемости была поставлена В. В. Козловым; он также обнаружил первое известное препятствие, доказав, что если на ориентированном замкнутом двумерном многообразии существует аналитически интегрируемый геодезический поток, то это многообразие гомеоморфно либо сфере §2, либо тору Т2 (см. [6,7]). Как было показано

В. Н. Колокольцовым (см. [8]), это верно также для геодезических потоков на двумерных многообразиях, интегрируемых при помощи гладких интегралов, являющихся вещественно-аналитическими функциями от импульсов. Обобщение теоремы Козлова на многообразия большей размерности было получено И. А. Таймановым (см. [22,23]). Ряд работ Г. П. Патернайна (см. [35,36]) посвящен изучению топологической энтропии интегрируемых геодезических потоков. В работе [36] Патернайн доказал, что если геодезический поток на компактном односвязном римановом многообразии интегрируем, то фундаментальная группа такого многообразия имеет субэкспоненциальный рост; некоторые другие аналогичные условия были описаны в [23].

Патернайн предложил использовать топологическую энтропию для поиска топологических препятствий к интегрируемости, разделив задачу на две: 1) доказательство обращения в нуль топологической энтропии интегрируемых геодезических потоков и 2) нахождение топологических препятствий для обращения в нуль топологической энтропии потока. По второй задаче уже имелись результаты М. Л. Громова и И. Н. Иомдина (см. [33, 38]), а также Е. И. Динабурга, который доказал, что если фундаментальная группа многообразия имеет экспоненциальный рост, то топологическая энтропия геодезического потока любой гладкой метрики на многообразии положительна (см. [5]).

Другое направление — это построение полного набора интегралов для гамильтоновых систем, и в частности для геодезических потоков. А. Тимм(ТЫтт) в работе [37] предложил метод нахождения набора интегралов в инволюции, используя инвариантность гамильтоновой системы под действием группы Так же имеется связь между интегрируемостью гамильтоновой системы с группой симметрий £ и полным коммутативным набором функций на дуальной алгебре 0* к алгебре Ли группы (7. С. Т. Садэтов (см. [18]) доказал гипотезу Мищенко-Фоменко, а именно, на любой вещественной или комплексной алгебре Ли существует полный коммутативный набор полиномов.

Серия примеров интегрируемых геодезических потоков на однородных нильмногообразиях с нулевой топологической энтропией была построена Л. Т. Батлером (см. [30]). Используя "трюк" Батлера, А. В. Болсинов и Тай-манов опровергли гипотезу Патерпайна и построили первый пример интегрируемого геодезического потока с положительной топологической энтропией (см. [27]). В [4] приведена серия таких потоков для некоторых метрик и любой размерности группы Ли. Батлер расширил класс нильпотентных примеров и рассмотрел п-ступенно нильпотентные группы вида К ix Мп, также доказав обращение в нуль топологической энтропии (см. [31]). Батлером в работе [32] были построены примеры геодезических потоков на нильмногообразиях с положительной топологической энтропией, которые, однако, не являются интегрируемыми.

В связи с этим отметим, что А. М. Степин высказал предположение о связи топологической энтропии интегрируемых геодезических потоков на однородных пространствах групп Ли с существованием гиперболической компоненты присоединенного представления у этой группы Ли.

В работах [11,12] исследована интегрируемость и топологическая энтропия геодезических потоков на однородных пространствах трехмерных групп Ли. В работе [13] исследована топологическая энтропия геодезических потоков на однородных пространствах четырехмерных групп Ли.

Основная цель данной диссертации — исследование геодезических потоков на однородных пространствах трехмерных и четырехмерных групп Ли, установление их интегрируемости, вычисление топологической энтропии.

Автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям доктору физико-математических наук, профессору Анатолию Михайловичу Степину за постановку задач, ценные обсуждения и постоянное внимание к работе, и кандидату физико-математических наук Сергею Викторовичу Тихонову за полезные обсуждения и содействие в научной работе.

Краткое содержание работы

Работа состоит из двух частей и введения. Во введении дан обзор работ, в которых изучаются препятствия к интегрируемости гамильтоновых систем, приведены основные определения, а также излагаются основные результаты. Первая часть посвящена изучению геодезических потоков на однородных пространствах трехмерных групп Ли. Во второй части исследуются геодезические потоки на однородных пространствах четырехмерных групп Ли. Использовано описание трехмерных и четырехмерных групп и их дискретных подгрупп из [3,19].

В параграфе 1.1 дан перечень рассматриваемых трехмерных групп Ли и соответствующих дискретных кокомпактных подгрупп Г в них. Случай 1 нильпотентная группа Гейзенберга Н\. Случай 2 — разрешимая группа ¿1 = Ж. к М2, где К действует гиперболическими поворотами на М2. Случай 3 — разрешимая группа = К х М2, где Е действует поворотами на М2. И, наконец, случай 4 — 8Ь(2,М). Далее приводится описание левоинвариантных римановых метрик на этих группах. Во всех случаях кроме 8Ь(2, М) приводится описание всех левоинвариантных метрик, а для SL(2, R) доказывается следующее утверждение.

Утверждение 1.1.2 Для случая SL(2,M) левоинвариантные метрики, имеющие однопараметрическую группу присоединенных симметрий, состоят из метрик, инвариантных относительно правых сдвигов на элементы подгруппы сопряженной с S1 = SO (2, R).

В параграфе 1.2 исследуется интегрируемость соответствующих геодезических потоков. Геодезическому потоку на TG соответствует гамильтонова система на T*G с функцией Гамильтона Н, получаемая с помощью преобразования Лежандра. Приводятся нетеровские интегралы для действия группы G левыми сдвигами на самой себе, из них строятся наборы интегралов движения Д, /2, /3 = Н для гамильтоновых систем на T*G. Также доказывается для всех случаев, кроме SL(2,K), что гамильтоновы системы и, следовательно, геодезические потоки интегрируемы на TG.

Определение 1.2.1(Butler, [29]) Пусть (Ь2п,ш) симплектическое многообразие и Хн — гамильтоново векторное поле на

L2 п с гладкой функцией

Гамильтона Н. Пусть (L2n,cu) — накрытие L такое, что: (1) Со = тт*и, где 7г — проектор; (2) на L задано пуассоновское действие группы Ли S. Пусть Р : L —> S* отображение момента для действия S. Предположим, что функция Н = тг*Н является ¿/-инвариантной. Если существует инволютивный набор п — 1 функционально независимых функций Д,., /пi 6 C°°(«S*) такой, что /1 оР,., /„] оР "опускается" на

Ь2п и вместе с функцией Гамильтона Н является функционально независимым набором на всюду плотном, открытом подмножестве L2n, тогда говорят, что векторное поле Хн почти полностью совместно интегрируемо (almost completely collectively integrablefACCI]). Мы будем называть данное свойство батлеровской интегрируемостью.

Приводится модифицированный алгоритм изучения батлеровской интегрируемости (см. [29-31]) с использованием конструкции фундаментальной области действия Г на пространстве интегралов движения.

Определение 1.2.2 Фундаментальной областью для действия Г в мы будем называть такую область С/, что VII и V = где мера V равна нулю, и 71^7 П 72и = 0 для \Ау1 т^ 72 £ Г.

Для доказательства интегрируемости геодезических потоков на ТГ\0 строятся интегралы движения соответствующих гамильтоновых систем на Т*С, инвариантные относительно действия. Г, и описываются критические множества для этих интегралов (множества точек, где нарушается условие функциональной независимости первых интегралов), тем самым устанавливается интегрируемость гамильтоновых систем на Т*Г\^. В доказательстве интегрируемости для произвольной дискретной кокомпактной подгруппы используется следующее следствие.

Следствие 1.2.7 Пусть Д, /2,. 1п-\ инвариантный относительно Г набор первых интегралов в инволюции такой, что для любой левоинвариантной метрики соответствующая ей гамильтонова система с функцией Гамильтона Н интегрируема и Д, /2,., /п-ъ Н — полный набор интегралов в инволюции. Тогда для произвольного автоморфизма ср : С —> С существует набор интегралов в инволюции Д, /2, • • • 51п-1 инвариантный относительно (/?-1(Г) такой, что для любой левоинвариантной метрики соответствующая ей гамильтонова система интегрируема и Д, /2,., /п-ъ Н - полный набор интегралов в инволюции.

Утверждение 1.2.9 Рассмотрим h = fÍPz) sin (2тг(^±р - re)); Í2 = I2 = pz; J3 = J3 = #, Л = /(Prfjy) sin (2тг^); í2 = h= pxpy] /3 = /3 = #, h = pkpi - f (й +Py))2; Л = /2 = й + p?; h = h = #, где f{x) = exp —^. Для любой левоинвариантной метрики и дискретной ко-компактной подгруппы Г специального вида группы G в случаях 1, 2 и 3 (соответственно) функции I3 являются интегралами движения в инволюции гамильтоновых систем соответственно и инвариантны относительно естественного действия подгруппы Г С G в пространстве интегралов.

Под специальным видом Г в данном утверждении имеется в виду такие подгруппы, что для любой дискретной кокомпактной подгруппы существует автоморфизм группы, переводящий ее в специальный вид.

Для случаев 1 и 2 имеет место интегрируемость в классе С°°-функций, а геодезический поток в случае 3 интегрируем в классе аналитических функций.

Утверждение 1.2.10 Множества критических точек для интегралов движения ф = (/i, /2, /3) таковы сгй(^) = {Н'Рх = О, Н'х = 0} и {pz = 0} и {cos 27г— - 0} - случай 1,

Pz crit(ip) С {H'Pz = 0} и {рхру = 0} и {cos (27Г—= 0} — случай 2, с cHt$) С {H'Pz = 0} и {рх = 0} и {ру = 0}и и {р1 = зр2у} и {pi = 3р2у} - случай 3.

В параграфе 1.3 вычисляется топологическая энтропия для геодезических потоков, а также исследуются геодезические потоки на однородных пространствах SL(2,M). Здесь и в дальнейшем под S(T\G) понимается пространство единичных линейных элементов на Г\С.

Утверждение 1.3.1 Для каждой левоинвариантной римановой метрики на Н\ и произвольной кокомпактной дискретной подгруппы Г С Н\ соответствующий геодезический поток на ¿'(ГД^) интегрируем в классе С°°-функций и имеет нулевую топологическую энтропию.

Для доказательства положительности топологической энтропии достаточно найти инвариантное подмножество, на котором поток обладает положительной топологической энтропией, в то время как для доказательства нулевой топологической энтропии необходимо рассмотреть что происходит с потоком на всем критическом множестве (в силу компактности конфигурационного пространства из теоремы Лиувилля следует, что вне критического множества топологическая энтропия нулевая).

Утверждение 1.3.2 Для каждой левоинвариантной римановой метрики на ¿>1 и произвольной кокомпактной дискретной подгруппы Г С ^ соответствующий геодезический поток на б^ГДбх) интегрируем в классе С°°-функций и имеет положительную топологическую энтропию.

Утверждение 1.3.3 Для каждой левоинвариантной римановой метрики на £2 и произвольной кокомпактной дискретной подгруппы Г С ¿>2 соответствующий геодезический поток на 5,(Г\5,2) интегрируем в классе аналитических функций и имеет нулевую топологическую энтропию.

Утверждение 1.3.5 Существует левоинвариантная метрика на 8Ь(2,М) такая, что для каждой равномерной решетки Г с 8Ь(2, М) соответствующий геодезический поток на ¿>(Г\8Ь(2, М)) имеет положительную топологическую энтропию и не является интегрируемым в классе С°°-функций.

В параграфе 2.1 приводится перечень четырехмерных групп Ли С и их дискретных кокомпактных подгрупп Г. Случай 1 — разрешимая группа = М к К3, где три собственных значения действия М вещественные. Случай 2 разрешимая группа (?§(£;) = 1к М3, где одно собственное значение для действия М вещественное, а два — комплексно сопряженных. Случай 3 — разрешимая группа С? = К к где действие К гиперболическое. Случай 4 разрешимая группа = К к где действие М эллиптическое. Случай 5 и 5' — нильпотентные группы и — М * М3. Случай 6-Кх ЭЬ(2, М).

В параграфе 2.2 дано описание левоинвариантных метрик и выписаны дифференциальные уравнения задающие соответствующие геодезические потоки.

В параграфе 2.3 исследуется интегрируемость соответствующих гамиль-тоновых потоков на Т*С и Т*Г\С. Приводятся нетеровские интегралы для всех случаев, кроме случая 6 (рассмотрен отдельно). Строятся функции от них и устанавливается интегрируемость потоков на Т*С (параграф 2.3.1). Затем для случаев 1, 2(при к = 0), 4, 5 и 5' строятся интегралы /ь/гДз такие, что они инварианты относительно естественного действия специальных подгрупп Г и устанавливается интегрируемость в классе С°°-функций на Т"Т\(? (параграф 2.3.2).

Под подгруппами Г специального вида, как и в трехмерных случаях, имеются в виду такие подгруппы, что для любой дискретной кокомпактной подгруппы существует автоморфизм группы, переводящий ее в специальный вид.

Исследована многозначная интегрируемость в случае 2 (параграф 2.3.3).

Утверждение 2.3.11 Для каждой левоинвариантной метрики на 0§{к), к ф 0 соответствующая гамильтонова система на Т*С\{к) аналитически интегрируема, а для дискретных кокомпактных подгрупп Г специального вида гамильтонова система на Т*Г\С?д(&) обладает многозначным С°° интегралом и интегрируема на открытой части фазового пространства.

Там же приведен пример неинтегрируемости по Батлеру.

Утверждение 2.3.13 Для каждой левоинвариантной метрики на С??, соответствующая гамильтонова система на Т*С\ аналитически интегрируема, а для дискретных кокомпактных подгрупп Г специального вида гамильтонова система на Т*Т\0\ не является интегрируемой по Батлеру (для группы симметрий С^).

В параграфе 2.4 исследуется топологическая энтропия гамильтоновых потоков на тт\а

Утверждение 2.4.1 Для каждой левоинвариантной римановой метрики на и произвольной кокомпактной дискретной подгруппы Г С соответствующий геодезический поток на 5(Г\(?б) интегрируем в классе С°°-функций и имеет положительную топологическую энтропию.

Утверждение 2.4.2 Для каждой левоинвариантной римановой метрики на к ф 0 и произвольной кокомпактной дискретной подгруппы Г С С\{к) соответствующий геодезический поток на обладает многозначным С°°-интегралом, интегрируем на открытой части фазового пространства и имеет положительную топологическую энтропию.

Утверждение 2.4.3 Для каждой левоинвариантной римановой метрики на и произвольной кокомпактной дискретной подгруппы Г с С?б(0) соответствующий геодезический поток на ¿>(Г\(7|(0)) аналитически интегрируем и имеет нулевую топологическую энтропию.

Утверждение 2.4.4 Для каждой левоинвариантной римановой метрики на и произвольной кокомпактной дискретной подгруппы Г С С? соответствующий геодезический поток на 5'(Г\С!5) не интегрируем по Батлеру (для группы симметрий О) и имеет положительную топологическую энтропию.

Утверждение 2.4.5 Для левоинвариантной римановой метрики ¿в2 = 4х2 + (1у2 + {¿г — х(1у)2 + ¿т2 на Сз и некоторых кокомпактных дискретных подгрупп Г С (Уз соответствующий геодезический поток на 5(Г\С?з) интегрируем в классе С°°-функций и имеет нулевую топологическую энтропию.

Утверждение 2.4.6 Для каждой левоинвариантной римановой метрики на и произвольной кокомпактной дискретной подгруппы Г С соответствующий геодезический поток на ¿>(Г\Стд) интегрируем в классе С°°-функций и имеет нулевую топологическую энтропию.

Утверждение 2.4.7 Для каждой левоинвариантной римановой метрики на и произвольной кокомпактной дискретной подгруппы Г С С?! соответствующий геодезический поток на 5'(Г\(?|) интегрируем в классе С°°-функций и имеет нулевую топологическую энтропию.

Утверждение 2.4.8 Для каждой левоинвариантной метрики на С? = М х 81/(2, К) и произвольной равномерной решетки Г С С соответствующий геодезический поток на »^(ГДС?) не интегрируем в классе аналитических функций.

Утверждение 2.4.9 Существует левоинвариантная риманова метрика на (? = Кх 8Ь(2, М) и существует дискретная кокомпактная подгруппа Г С О такие, что соответствующий геодезический поток на 3(Г\0) имеет положительную топологическую энтропию и не является интегрируемым в классе С°°-функций.

Определения и используемые теоремы

Пара (М2п,и), многообразие и 2-форма на нем, называется симплекти-ческим многообразием, если и — кососимметрическая, замкнутая и не вырожденная форма. Говорят, что векторное поле X гамильтоново с гладкой функцией Гамильтона Н : М2п —> М, если ^(Х, •) = еШ"(-). Симплектиче-ская форма ш задает изоморфизм / : ТхМ2п —> Т*М2п, каждому вектору £ ставится в соответствие 1-форма по следующему правилу = ?у), где г} € ТхМ2п. Функция ^ на М2п называется интегралом движения (или первым интегралом), если 1~1с1Н) = 0.

Определение. Гамильтоново векторное поле Хц на 2п мерном симплектиче-ском многообразии (М2и,ш) называется интегрируемым (по Лиувиллю или вполне интегрируемым), если существуют п интегралов движения (или по другому — первых интегралов движения) /1, /2,., /п = Н такие, что

1) Эти интегралы находятся в инволюции: = О, У] ф к

2) Интегралы функционально независимы на всюду плотном подмножестве в М2п: ранг отображения (с?Д(р),., сНп(р)) : ТрМ2тг —> Мп равен п на открытом всюду плотном подмножестве в М2п.

Такой набор интегралов Д,., 1П называют полным набором. Если интегралы /ь/2, • • •, 1П являются вещественно-аналитическими (С°°-функциями), то говорят, что поток интегрируем аналитически (в классе С°°-функций).

Пусть Ьп — риманово многообразие с метрикой д^. Пусть (д1, qn, Ръ • ■ ■ 5 Рп) локальные координаты на кокасательном расслоении Т*Ьп, £>1, ., рп определены через касательные векторы при помощи преобразования Лежандра pi = дцср. На T*Ln определена симплектическая форма п ш = dql A dp^ i=1

Форма ш задает скобку Пуассона: в локальных координатах

Геодезический поток является гамильтоновой системой на симплектиче-ском многообразии (М2п = Т*Ьп, ш) с функцией Гамильтона

Ограничения геодезического потока на различные уровни Н = const -ф О гладко траекторно эквивалентны, и эта эквивалентность устанавливается путем естественной замены времени зависящей лишь от значений Н. Поэтому достаточно рассматривать поток только на SLn (касательные векторы единичной длины).

Действие группы G на симплектическом многообразии М называется пуассоновским, если функции Гамильтона для однопараметрических групп однозначны и выбраны так, что функция Гамильтона линейно зависит от элемента алгебры Ли и функция Гамильтона коммутатора равна скобке Пуассона функций Гамильтона:

Теорема (Нетер). Если функция Гамильтона Н, заданная на симплектическом многообразии (М2т\ш), выдерживает однопараметрическую группу канонических преобразований, заданную гамильтонианом Р, то Р есть первый интеграл системы с функцией Гамильтона Н. df dg df дд. dq{ dpi dpi dql

Н[а,ь] = {Ha, Hb}

Для любого действия С симплектическими диффеоморфизмами на М можно построить пуассоновское действие этой группы. А именно, однопара-метрическая группа {дг} группы С задает на М2п фазовый поток с функцией Гамильтона п д1х), где ш = с1а, т. е. а = У~]р1(1дг.

Н(Х) = а(|

0 г—1

Пуассоновское действие группы О на симплектическом многообразии М определяет отображение многообразия М в дуальное пространство алгебры Ли группы Р : М О*. А именно, зафиксируем точку х Е М и рассмотрим функцию на алгебре Ли, сопоставляющую каждому элементу а алгебры С/, значение гамильтониана На в фиксированной точке х: рх(а) = На(х). Отображение Р{х) — рх называется моментом. Можно рассмотреть множество Мр = Р~1(р), р £ 0*. Если р — регулярное значение момента, то Мр многообразие. Рассмотрим Ср = {д : А(1*р = р] подгруппа в (7. Тогда при некоторых предположениях(см. [2] добавление 5) Рр = Мр/Ср будет симплектическим многообразием и называется приведенным фазовым пространством, соответствующим уровню момента р.

Теорема 1. ( [2] с. 344) Если пуассоновское действие на Т*Ь задано группой 51, то приведенное фазовое пространство 1<о симплектически диффео-морфно кокасателъному расслоению профакторизованного конфигурационного пространства Ш = Ь/в1; Рр диффеоморфно ^о

Пусть X — компактное пространство. Топологическая энтропия открытого покрытия и — есть логарифм инфимума наименьшего числа элементов подпокрытий X в II.

Н{и) = 1оёт!{\и'\ : V С II, V покрытие X}

Пусть U и V покрытия X, тогда определим UW = {u (lv : и G U, г> Е V} покрытие X. Пусть Т : X —>• X — гомеоморфизм. h(T\U) = lim -h(U V T~lU V . V T~nU) n—»oo n

Определение. Топологическая энтропия гомеоморфизма Т есть

ЫоР{Т) = sup {h(T\U) : U покрытие X}. Топологическая энтропия потока Tt есть энтропия отображения Т\.

Теорема 2. (Bowen, [28]). Пусть (X,d) компактное сепарабелъное метрическое пространство, компактная группа Ли G действует непрерывно на X и пусть У — X/G и 7Г : X —» Y проекция на Y. Пусть St ■ X —» X и Tt : Y —» Y однопараметрические группы гомеоморфизмов такие, что St коммутирует с действием G на X и 7г о St = Tt о тт. Тогда htop{St\X) = htop(Tt\Y).

ПОТОКИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИНВАРИАНТНЫХ МЕТРИК НА ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 3-МЕРНЫХ ГРУПП ЛИ

1. Аносов, Д. В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны / Д. В. Аносов // Труды математического института им В. А. Стеклова.— 1967.-— Т. 90.

2. Арнольд, В. И. Математические методы классической механики /B. И. Арнольд. — Москва: Издательство "Наука", 1989.

3. Ауслендер, Л. Потоки на однородных пространствах / Л. Ауслендер, Л. Грин, Ф. Хан. — Москва: Издательство "Мир", 1966.

4. Б олеинов, А. В. Интегрируемые геодезические потоки на надстройках автоморфизмов торов / А. В. Болсинов, И. А. Тайманов // Труды Математического Института им. В.А. Стеклова.— 2000.— Т. 231. —C. 46-63.

5. Динабург, Е. И. Связь между различными энтропийными характеристиками динамических систем / Е. И. Динабург // Известия АН СССР. — 1971. Т. 35, № 2. - С. 324-366.

6. Козлов, В. В. Топологические препятствия к интегрируемости натуральных механических систем / В. В. Козлов // ДАН СССР. — 1979. — Т. 249, № 6. С. 1299-1302.

7. Козлов, В. В. Интегрируемость и неинтегрируемость в гамильтоновоймеханике / В. В. Козлов // Успехи Мат. Наук. — 1983.— Т. 38, № 1.— С. 1-76.

8. Колоколъцов, В. Н. Геодезические потоки на двумерных многообразиях с дополнительным полиномиальным по скоростям первым интегралом /B. Н. Колокольцов // Изв. АН СССР. 1982. - Т. 46, № 5. - С. 994-1010.

9. Корнфельд, И. П. Эргодическая теория / И. П. Корнфельд, Я. Г. Синай,C. В. Фомин. — Москва: Издательство "Наука", 1980.

10. Кручкович, Г. И. Классификация трехмерных римановых пространств по группам движений / Г. И. Кручкович // Успехи математических наук. 1954. - Т. 9, № 1. - С. 3-40.

11. Логачев, А. А. О трюке батлера и редукции для геодезических потоков / А. А. Логачев // Труды XXVII конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова. — 2005. — С. 85-90.

12. Логачев, А. А. О геодезических потоках инвариантных метрик на группах ли размерности 3 / А. А. Логачев // Вестник МГУ. Сер.1. Математика, механика. — 2006. — Т. 2. — С. 54-56.

13. Логачев, А. А. Энтропия геодезических потоков на однородных пространствах групп ли / А. А. Логачев // Деп. в ВИНИТИ 09.12.08, №934-В2008. 2008.

14. Манаков, С. В. О полной интегрируемости и стохастизации в дискретных динамических системах / С. В. Манаков. — ЖЭТФ, 1974. — Т. 67 вып. 2. С. 543-555.

15. Мищенко, А. С. Интегрируемость уравнений эйлера на полупростых алгебрах ли / А. С. Мищенко, А. Т. Фоменко // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. — 1979. — Т. 19. — С. 3-94.

16. Понтрягин, Л. С. Непрерывные группы / Л. С. Понтрягин. — Москва: Издательство "Наука", 1973.

17. Рагунатан, М. Дискретные подгруппы групп Ли / М. Рагунатан. — Москва: Издательство "Мир", 1977.

18. Садэтов, С. Т. Доказательство гипотезы мищенко-фоменко / С. Т. Сад-этов // Доклады РАН. 2004. - Т. 397, № 6. - С. 751-754.

19. Сафонов, А. В. Группы преобразований и С-индуцированные потоки: Диссертация. — 1982.

20. Спеньер, Э. Алгебраическая топология / Э. Спеньер. — Москва: Издательство "Мир", 1971.

21. Старков, А. Н. Динамические системы на однородных пространствах / А. Н. Старков. Москва: Издательство "ФАЗИС", 1999.

22. Тайманов, И. А. Топологические препятсвия к интегрируемости геодезических потоков на неодносвязных многообразиях / И. А. Тайманов // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1987. - Т. 51, № 2. - С. 429-435.

23. Тайманов, И. А. Топология римановых многообразий с интегрируемыми геодезическими потоками / И. А. Тайманов // Тр. МИАН. — 1994. — Т. 205. С. 150-163.

24. Уиттекер, П. Аналитическая механика / П. Уиттекер. — Москва: Издательство "Мир", 1966.

25. Хопф, Э. Статистика геодезических линий на многообразиях отрицательной кривизны / Э. Хопф // УМЕ. 1949. - Т. 4, № 2(30). - С. 129-170.

26. Auslender, L. An exposition of structure of solvmanifolds. part i: Algebraic theory / L. Auslender // Bull. Amer. Math. Soc. — 1973. — Vol. 79, no. 2. — Pp. 227-261.

27. Bolsinov, A. V. Integrable geodesic flow with positive topological entropy / A. V. Bolsinov, I. A. Taimanov // Invent. Math.— 2000,— Vol. 140.— Pp. 639-650.

28. Bowen, R. Entropy for group endomorphisms and homogeneous spaces / R. Bowen // Trans. Amer. Math. Soc. — 1971. Vol. 153. - Pp. 401-414.

29. Butler, L. T. A new class of homogeneous manifolds with liouville integrable geodesic flows / L. T. Butler.— 1998. — November. — no. 8.— ¿45 pp.— Preprint — Queen's University at Kingston.

30. Butler, L. T. A new class of homogeneous manifolds with Liouville-integrable geodesic flows / L. T. Butler // C. R. Math. Acad. Sci. Soc. R. Can.— 1999. Vol. 21, no. 4. - Pp. 127-131.

31. Butler, L. T. Integrable geodesic flows on n-step nilmanifolds / L. T. Butler // Journal of Geometry and Physics. — 2000. — Vol. 36. — Pp. 315-323.

32. Butler, L. T. Invariant metrics on nilmanifolds with positive topological entropy / L. T. Butler // Geometriae Dedicata. — 2003. — Vol. 100. — Pp. 173-185.

33. Gromov, M. Entropy, homology and semialgebraic geometry / M. Gromov // Séminaire Bourbaki 38ème année. — 1985-86. — Vol. 663. — Pp. 225-240.

34. Mikytyuk, I. V. Classification of almost spherical pairs of compact simple lie groups / I. V. Mikytyuk, A. M. Stepin // Poisson Geometry, Banach Center Publications. 2000. - Vol. 21. - Pp. 231-241.

35. Paternain, G. P. On the topology of manifolds with completely integrable geodesic flows / G. P. Paternain // Ergodic Theory and Dinamical Systems. — 1992. Vol. 12. - Pp. 109-121.

36. Paternain, G. P. On the topology of manifolds with completely integrable geodesic flows, ii / G. P. Paternain // J. Geom. and Phys. — 1994. — Vol. 13. Pp. 289-298.

37. Thimm, A. Integrable geodesic flows on homogeneous spaces / A. Thimm // Ergodic Theory and Dynamical Systems. — 1981. — Vol. 1. — Pp. 495-517.

38. Yomdin, Y. Volume growth and entropy / Y. Yomdin // Israel J. Mathematics. 1987. - Vol. 57. - Pp. 287-300.