Инвариантные вариационные задачи на специальных однородных пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Файзуллин Рамиль Рашитович

Инвариантные вариационные задачи на специальных однородных пространствах

01 01 04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ООЗ163022

Омск - 2007

003163022

Работа выполнена на кафедре вычислительных методов алгебры и логики Омского филиала Института математики им С Л Соболева

СО РАН

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор

Верестовский Валерий Николаевич

Официальные доктор физико-математических наук,

оппоненты

профессор

Широков Игорь Викторович,

кандидат физико-математических наук Вазайкин Ярослав Владимирович

Ведущая организация Барнаульский государственный

педагогический университет

Защита состоится 14 ноября 2007 г в 16 00 на заседании диссертационного совета Д 003 015 03 при Институте математики им С JI Соболева СО РАН по адресу 630090, г Новосибирск, пр Академика Коптюга, 4

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им С JI Соболева СО РАН

Автореферат разослан 13 октября 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета А Е Гутман

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Актуальность темы. Задачи оптимального управления на группах Ли имеют прикладное и теоретическое значение в первую очередь в плане выбора экстремальных (оптимальных) решений проблем Реальные проблемы очень часто ведут к поиску наилучших решений в непрерывном множестве допустимых

Определение 1. Метрическое пространство называется

пространством с внутренней метрикой, если расстояние между двумя ого точками есть точная нижняя грань длин спрямляемых кривых соединяющих эти точки

Определение 2. Пространство М с внутренней метрикой р называется однородным, если группа всех движений (изометрий) О пространства М действует транзитивно на М

Любая точка х однородного пространства М определяет подгруппу Сх = {д £ С? | дх — х} группы движений О Она называется стабилизатором точки х Стабилизаторы разных точек сопряжены в группе б с помощью внутренних автоморфизмов С замкнутой подгруппой Н вида Сх группы С? связано некоторое однородное пространство с группой изометрии О — множество

М =С/Я

левых классов смежности группы С по подгруппе Н, на котором в действует по формуле

д(аН) = (да)Н, д,аеС

Это однородное пространство называется фактор-пространством группы в по подгруппе Н, а подгруппа Н становится стабилизатором точки еН = II этого пространства, где е — единица группы С

Любое однородное пространство М с группой изометрии С можно отождествить с фактор-пространством группы С по подгруппе Н = Сх, являющейся стабилизатором фиксированной точки х 6 М

Вариационные задачи имеют обширную предысторию, поэтому здесь мы ограничимся упоминанием недавних работ, связанных с решавшейся проблемой Так, в работах [5, 4] изучение метрического строения однородных многообразии с внутренней метрикой доставило следующий результат однородные пространства М с внутренней метрикой — это в точности фактор-пространства С/Н связных групп Ли б по их компактным подгруппам Н, снабженные некоторой инвариантной относительно канонического действия группы С на С/Н метрикой Карно — Каратеодори — Финслера Всякая такая метрика с1с задается вполне неголономным С-инвариантным распределением Д на

з

пространстве M = G/H и G-инвариантной (финслеровой) нормой

F = F(p,), ре G/H,

на линейном подпространстве А(р) касательного к M в точке р пространства Мр

Условие вполне неголономности распределения Д вследствие теоремы Рашевского — Чжоу можно выразить требованием того, чтобы любые две точки из M можно было соединить кусочно непрерывно дифференцируемым путем, касающимся распределения Д Такой путь также называется горизонтальным

В иной формулировке это требование означает, что бесконечно дифференцируемые касательные к распределению Д векторные поля своими линейными комбинациями и коммутаторами порождают алгебру L = Х°°(М) бесконечно дифференцируемых касательных к M векторных полей, а их линейная оболочка L' отлична от L, т е Д не совпадает с Т(М), касательным распределением над M На языке алгебры это требование можно выразить совпадением наименьшего модуля над С°°(М), содержащего бесконечно дифференцируемые касательные к расслоению Д векторные поля и их скобки Ли, с Х°°{М) — при том, что Д ф Т(М) Метрика dc определяется формулой

dc(p, q) = mï^J F(w(t)) dt, w €Ct

где Cpg — множество всех кусочно непрерывно дифференцируемых горизонтальных путей в M = G/H, заданных на отрезке [0,1] и соединяющих точки p,q из M Финслеровы метрики dc характеризуются дополнительным условием спрямляемости регулярных С1-путей в G/H относительно метрики dc Если, кроме того, любые два таких пути с общим началом имеют между собой угол по Александрову, то (G/H,dc) изометрично однородному риманову многообразию с внутренней метрикой

Инвариантность вариационной задачи означает, что соответствующий функционал инвариантен относительно некоторой транзитивной группы движений рассматриваемого однородного риманова пространства, см [14, 10, 8]

Условия применимости методов теории оптимального управления на группах Ли исследовались в работе В H Берестовского [3], где также перечислены все (связные) группы Ли, на которых всякая левоинвариантная внутренняя метрика будет финслеровой Из упомянутых результатов следует, что левоинвариантные внутренние метрики групп Ли в точности являются левоинвариантнымн метриками Карно — Каратеодори — Финслера

Не исключено, что всякое однородное локально компактное пространство с внутренней метрикой, удовлетворяющее условию локальной единственности кратчайших, представляет собой однородное финслерово многообразие Этот результат установлен по крайней мере для компактных пространств

В недавних работах [21, 11] решены задачи, связанные с проблемами дифференциальных уравнений, однородных пространств и группового анализа В частности, в [11] исследовалась задача о геодезических потоках на однородных пространствах В работе [12] исследовалась задача нахождения минимума функционала /д Е(х, у, ух) йх в пространстве гладких функций, удовлетворяющих некоторым граничным условиям

Группы Ли с левоинвариантнои неголономнои метрикой, порождающейся квадратичной формой на касательном вполне неголономном подрасслоении, рассматривались в работах Р С Стричардса [22], А М Вершика и В Я Гершковича [8, 23], В Н Берестовского [7]

В работах [6, 7] В Н Берестовским исследовались геодезические неголономных левоинвариантных метрик на группе Геизенберга и на группе движений евклидовой плоскости Е2 Был проведен поиск экстремалей вариационной задачи для функционала

на плоскости Е2, где к — геодезическая кривизна регулярной непрерывно дифференцируемой кусочно дважды непрерывно дифференцируемой кривой ж (а), параметризованной длиной дуги в При этом поиск осуществлялся с помощью построения левоинвариантной неголономной римановой метрики на группе Ли собственных движений рассматриваемого пространства, нахождения ее геодезических и установления соответствия между ними и искомыми экстремалями Также было высказано мнение о целесообразности подобного исследования для плоскости Лобачевского

В свое время А М Вершик указал, что естественные вариационные задачи для гладких кривых с функционалом, зависящим от высших производных, могут привести к однородным многообразиям с внутренней метрикой

Сложности, возникающие при решении задач с производными высших порядков в исследуемых функционалах, снимаются тем, что естественной областью определения вышеупомянутой метрики является подмногообразие касательного расслоения первого и высшего порядков над исходным многообразием, и, принимая производные за новые переменные, удается получить новый функционал от производных не выше первого порядка и метрической функцией

Финслера на упомянутом подмногообразии при описании однородного многообразия Вероятно, необходимым является неголономный характер получаемой метрики

Вариационные задачи на многих пространствах интересны возможностью применения методов, связанных в первую очередь с принципом максимума Понтрягина

Цель работы.

1 Изучить вопрос о связях геодезических и сфер группы Гейзенберга с геодезическими и сферами плоскости Грушина, исследуются их свойства (Плоскость Грушина — это двумерное пространство с метрическим элементом <£в2 = с?х2 + (1у2/х2 )

2 Исследовать инвариантную вариационную задачу на расслоенном пространстве единичных касательных векторов над плоскостью Лобачевского, связанную с поиском экстремальных кривых х(в) (с заданными направлениями в начальной и конечной точках) функционалов Д/1 + к2(в) и /(1 + к2(в))

3 С помощью принципа максимума Понтрягина осуществить поиск экстремалей х(з) (с заданными направлениями в начальной и конечной точках) функционала Д/1 + к2 (в) на расслоенном пространстве единичных касательных векторов над плоскостью Евклида

4 Осуществить проверку уравнения Эйлера — Пуассона на решении инвариантной вариационной задачи для функционала /у/1 + к2 (в) с1э на кривых плоскости Евклида

Методы исследования. В доказательствах использовались методы метрической геометрии принцип максимума Понтрягина, свойства неголономных метрик, методы теории дифференциальных уравнений

Научная новизна работы состоит в следующем

1 С помощью нахождения уравнений Эйлера — Лагранжа для экстремалей функционала /(1 + к2(в)) йв на расслоении единичных касательных векторов над плоскостью Лобачевского получена в явном виде часть решений

2 Проведено исследование свойств семейства экстремалей, включающего подмножество экстремалей, найденных в явном виде

3 С помощью принципа максимума Понтрягина проведено исследование вариационной задачи для функционала /у/1 + «2(в) йв на расслоении единичных касательных векторов над евклидовой плоскостью

4 Найдены геодезические плоскости Грушина

5 Установлена субметричность проекции группы Гейзенберга на модифицированную плоскость Грушина с метрикой ¿в2 = йг2 + 4¿г2/г2, показано сохранение проекцией длин спрямляемых кривых

б

6 Доказано, что геодезические группы Гейзенберга Н с началом в центре группы отображаются проекцией на геодезические модифицированной плоскости Грушина

7 Установлено, что сферы группы Гейзенберга с центром в единице группы доставляются вращением сфер модифицированной метрики (¿в2 = йг2 + 4с/22/г2 Грушина с центром в нуле плоскости

Теоретическая и практическая ценность работы. Работа имеет теоретическое значение Результаты могут быть использованы в исследованиях вариационных задач на однородных пространствах с определенными свойствами

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 5 печатных работах [17, 18, 20, 15, 19] Одна работа опубликована издательством Челябинского научного центра [16|

Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих конференциях 37-й региональной молодежной конференции (30 января - 3 февраля 2006 г, Урал), ХЫН международной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирский государственный университет, 2005 г), Международной школе-конференции по анализу и геометрии, посвященной 75-летию академика Ю Г Решетника (23 августа - 2 сентября 2004 г, Новосибирск, Институт математики им С Л Соболева СО РАН)

Структура и объем работы Диссертационная работа имеет объем 61 стр, состоит из введения, четырех глав и списка использованной литературы, включающего 39 наименований

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Во введении и первой главе вводятся определения, анализируются работы исследователей рассматриваемой проблемы, конкретизируется круг проблем, решаемых в диссертации, и дается описание основных результатов

Во второй главе доказаны следующие теоремы

Теорема 1. Параметризованные длиной дуги геодезические на полуплоскости (х > 0) с метрикой da2 — dx2 + ф^цз имеют вид либо

sin(ty/c) f t sin(2iVc)\

x(t) = —7=-, = const,

где с > 0, либо

x(t) = t, y(t) = const, i€K При этом каждый отрезок геодезической (первого вида) длины не более ^ является кратчайшей Каждый отрезок прямой (геодезической второго вида) является кратчайшей

Теорема 3. В цилиндрических координатах (z,r,ip) проекция р (z, г, (р) I—► (z, г) группы Гейзенберга Н с левоинвариантной субримановой метрикой р на пространство орбит относительно группы вращений вокруг оси z является субметрией на полуплоскость (г > 0) с метрикой Грушина ds2 = dr2 + Кроме того, проекция р сохраняет длины всех спрямляемых кривых на группе (Н, р)

Группа Гейзенберга состоит из вещественных верхнетреугольных матриц с единицами на главной диагонали Ее цилиндрическая параметризация имеет вид

1 rcos(yj) z + г2 sin(2<^)/4 \ 0 1 г sm(<^) I

0 0 1 J

В точке (0,0,0) метрика группы имеет вид ds2 = dx2 + dy2, расслоение описывается формулой dz = 0 В остальные элементы группы метрика и расслоение распространяются левыми сдвигами

Теорема 4. Проекция р отображает геодезические группы Н с началом на оси z на геодезические модифицированной плоскости Грушина с сохранением длины дуги

Теорема 5. Сферы группы Гейзенберга с центром в единице группы доставляются вращением сфер модифицированной метрики Грушина с центром в нуле плоскости

В третьей главе приводится краткий обзор структуры расслоенного пространства единичных касательных векторов над плоскостью

Лобачевского, ее связей с группой движений, генераторами ее однопараметрических подгрупп, показана их роль в порождении интересующего нас неголономного распределения на этой группе, определяемого соотношением г = ±|г| ехр(гуг)

Получены уравнения Эйлера — Лагранжа для функционала

У(1 + «2(5)) ds

на плоскости Лобачевского, где л — геодезическая кривизна, показано, как одна из их форм

<р' — 2-\J Ci + cos(2<^(s))

связывает характеристику к = ^Схл-1 экстРемалп с константой интегрирования, после чего доказаны следующие теоремы о свойствах экстремалей

Теорема 6. При 0 < к < 1 функция у{1) как функция длины дуги является периодической с периодом

г2п кЛ<р

-г

J о

у/1 - к2 sin2(<^) '

y(t) > 0, x(t) обладает периодической производной, ее изменение за период х(Т) — х(0) меньше нуля

Теорема 7. При k = 1 я <ро е (—тг/2,7г/2) по крайней мере в некоторой окрестности точки t = 0 экстремаль описывается уравнениями

„2i+C4 _ 1 , с .

e2t+C4 + 1 ,л,с 4\

У^ = И> 2е1+сф = Уо ch + 2 )'

x(t) —Xo+f y{v) cos(<p(d)) dv = xо + Vot Jo

Теорема 8. Если k > 1, то y(t) > 0 ив случае, когда начальное значение угла между осью Ох и касательным вектором экстремали лежит в пределах [— arcsm(l/fc), arcsm(l//c)], выполняется неравенство х(Т\) — х(0) > 0, если же ср о лежит в пределах [7г — arcsin(l/fc), я + arcsin(l/fc)] выполняется неравенство x(Ti) — х(0) < 0, где в обоих случаях

/arcsm(l/к) ^

. dip - arcsm(l/fc) \/l — fc2sin (97)

В четвертой главе с помощью принципа максимума Понтрягина на евклидовой плоскости найдены уравнения геодезических левоинвариантной неголономной метрики на группе собственных движений евклидовой плоскости, связанной с функционалом /у/1 + к2(в) ¿в, показана их тождественность с уравнениями геодезических из работы [7], полученными посредством уравнений Гамильтона — Якоби из работы [22]

Показано, что проекция на Е2 одной из геодезических, найденных в работе [7], удовлетворяет уравнению Эйлера — Пуассона (см [1]) для функционала 1 + к2(з)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Ахиезер Н И Лекции по вариационному исчислению М Гос издат тех -теор лит, 1955

[2] Берестовский В Н Субметрии пространственных форм неотрицательной кривизны // Сиб мат журн 1987 Т 28, № 4 С 45-49

[3] Берестовский В Н Однородные многообразия с внутренней метрикой I // Сиб мат журн 1988 Т 29 № 6 С 17-29

[4] Берестовский В Н Однородные пространства с внутренней метрикой // Докл АН СССР 1988 Т 301, № 2 С 268-271

[5] Берестовский В Н Однородные многообразия с внутренней метрикой II // Сиб мат журн 1989 Т 30, № 2 С 14-28

[6] Берестовский В Н Геодезические неголопомных левоинвариантных внутрен, их метрик на группе Гейзенберга и изопериметриксы пространства Мипковского // Сиб мат журн 1994 Т 35, № 1 С 3-12

[7] Берестовский В Н Геодезические левоинвариантной неголономной римаповой метрики на группе движений евклидовой плоскости Ц Сиб мат журн 1994 Т 35, № 6 С 1223-1230

[8] Вершик А М , Гершкович В Я Неголономные динамические системы Геометрия распределений и вариационные задачи Современные проблемы математики Фундаментальные направления // М ВИНИТИ 1987

[9] Гельфанд И М , Фомин С В Вариационное исчисление // М Физматгиз, 1961

[10] Ибрагимов Н X Групповой анализ дифф уравнений // М Знание, 1989

[11| Магазев А А , Широков И В Интегрирование геодезических потоков на однородных пространствах Случай дикой группы Ли // Теор и мат физ 2003 Т 136, № 3 С 365-379

[12] Зеленяк Т И , Люлько Н А Об одном методе решения классической вариационной задачи // Сиб мат журн 2000 Т 41, № 5 С 1060-1075

[13] Бересговский В Н Зубарева И Л Формы сфер специальные пеголономпыт левоинвариантных внутренних метрик на некоторых группах Ли // Сиб мат журн 2001 Т 42, К» 4 С 731-748

[14] Курант Р , Гильберт Д Методы математической физики Т 1 М-Л Гос тех теор изд-во, 1933

[15] Файзуллин Р Р, Берестовский В Н Проблемы теоретической и прикладной математики // Труды 37-й региональной молодежной конференции (30 января - 3 февраля 2006 г) Екатеринбург Ин-т механики и математики УрО РАН, 2006 С 88

[16] Берестовский В Н, Файзуллин Р Р Расслоение над плоскостью Лобачевского // Известия Челябинского научного центра Январь-март 2007 Вып 1 (35) С 2732

[17] Файзуллин РР О связи неголономной метрики на группе Гейзенберга с метрикой Грушина // Сиб мат журнал 2003 Т 44, № 6 С 1377-1384

[18] Файзулчин РР О связи неголономной метрики на группе Гейзенберга с метрикой Грушина // Международная школа-конференция по анализу и геометрии, посвященная 75-летию академика Юрия Григорьевича Решетняка 23 августа - 2 сентября 2004 г Тезисы докладов Новосибирск Институт математики им С JI Соболева СО РАН, 2004 С 255

[19] Файзуллин Р Р Инвариантные вариационные задачи на некоторых однородных пространствах // Вестник Омского университета 2007 № 3 С 17—21

[20] Файзуллин Р Р О расслоении над плоскостью Лобачевского // Материалы XLIII международной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» Новосибирск Изд-во Новосиб ун-та, 2005 С 87

[21] Широков И В Применение метода орбит для интегрирования уравнений на гриппах Ли и однородных пространствах // Международная летняя школа-семинар по современным проблемам теоретической и математической физики «Волга-15 ' 2003» (XV Петровские чтения) Тезисы докладов Казань, 2003

[22] Strichartz R S Sub-Riemanman Geometry Ц J Diff Geom 1986 N 24 P 221-264

[23] Vershik A M , Berestovskn V N Manifolds with intrinsic metric and nonholonomic spaces // Advances in Soviet Mathematics 1992 N 9 P 253-267

Подписано в печать 11 10 07 Формат 60x84/16 Бумага писчая Оперативный способ печати Уел печ л 0,75 Тираж 120 экз Заказ №110

Отпечатано в «Полиграфическом центре КАН» тел (3812)65-23-73 644050, г Омск, пр Мира, 11А Лицензия ПЛД № 58-47 от 21 04 97

Содержание Введение Общие сведения

1 Прямые методы решения вариационных задач.

2 Метод вариаций для функционалов.

3 Условный экстремум.

I Связи неголономной метрики группы Гейзенберга и плоскости Грушина.

1.1 Геодезические плоскости Грушина.

1.2 Сферы метрики Грушина.

1.3 Дополнительные исследования плоскости Грушина.

1.4 Связь метрик группы Гейзенберга и плоскости Грушина

1.5 Доказательства теорем.

II Вариационная задача на плоскости Лобачевского

II. 1 Неголономное распределение на расслоенном пространстве единичных касательных векторов.

11.2 Нахождение уравнений Эйлера-Лагранжа функционала для плоскости Лобачевского.

11.3 Исследование решений уравнений Эйлера-Лагранжа.

V Уравнения для экстремалей функционала / на евклидовой плоскости.

IV.1 Выполнимость уравнений Эйлера-Пуассона для экстремали.

1У.2 Экстремали на расслоении единичных касательных векторов над евклидовой плоскостью.

Актуальность темы. Задачи оптимального управления на группах Ли имеют прикладное и теоретическое значение, в первую очередь в плане выбора экстремальных (оптимальных) решений проблем. Реальные проблемы очень часто ведут к поиску наилучших решений в непрерывном множестве допустимых.

Определение 1. Метрическое пространство называется пространством с внутренней метрикой, если расстояние между двумя его точками есть точная нижняя грань длин спрямляемых кривых, соединяющих эти точки

Определение 2. Пространство М с внутренней метрикой р называется однородным, если группа всех дви'жений(изомет.рий) С пространства М действует транзитивно на М.

Любая точка х однородного пространства М определяет подгруппу = {дг € СУ|дх = х} группы движений С. Она называется стабилизатором точки х. Стабилизаторы разных точек сопряжены в группе С с помощью внутренних автоморфизмов. С замкнутой подгруппой Я вида группы С связано некоторое однородное пространство с группой изометрий С? - множество

М = С/Я левых классов смежности группы С по подгруппе Я, на котором С действует по формуле д(аН) = (да)Н\д,а £ С

Это однородное пространство называется фактор-пространством группы С по подгруппе Я, а подгруппа Я становится стабилизатором точки еН = Я этого пространства, где е - единица группы С.

Любое однородное пространство М с группой изометрий С можно отождествить с фактор-пространством группы С по подгруппе Я = С^., являющейся стабилизатором фиксированной точки х е М.

Вариационные задачи имеют обширную предысторию, потому здесь ограничимся упоминанием недавних работ, связанных с решавшейся проблемой. Так в работах [7, б] изучение метрического строения однородных многообразий с внутренней метрикой доставило следующий результат: однородные пространства М с внутренней метрикой - это в точности фактор-пространства С/Я связных групп Ли (7 по их компактным подгруппам Я, снабженные некоторой инвариантной относительно канонического действия группы G на G/Я метрикой Карно-Каратеодори-Финслера. Всякая такая метрика dc задается вполне неголономным G-инвариантным распределением Д на пространстве M = G/H и G-инвариантной (финслеровой) нормой на линейном подпространстве Д(р) касательного к Л/ в точке р пространства Мр.

Условие вполне неголономности распределения Л вследствие теоремы Рашевского-Чжоу можно выразить требованием, того чтобы любые две точки из М можно было соединить кусочно непрерывно дифференцируемым путем, касающимся распределения Л, также такой путь называется горизонтальным.

В иной формулировке это требование означает, что бесконечно дифференцируемые касательные к распределению Л векторные поля своими линейными комбинациями и коммутаторами порождают алгебру Ь = Х°°{М) бесконечно дифференцируемых касательных к М векторных полей, а их линейная оболочка И ф Ь, т.е. Д ф Т(М), тривиальному касательному распределению над М. На языке алгебры это требование можно выразить совпадением наименьшего модуля над С°°(М), содержащего бесконечно дифференцируемые касательные к расслоению Д векторные поля и их скобки Ли, с Х°°(М) , при том, что Д ф Т(М).

Метрика Лс определяется формулой где Срд -множество всех кусочно непрерывно дифференцируемых горизонтальных путей в М = С?/Я, заданных на отрезке [0,1] и соединяющих точки р, д из М. Финслеровы метрики йс характеризуются дополнительным условием спрямляемости регулярных СЯ-путей в С/Я относительно метрики (1С. Если, кроме того, любые два таких пути с общим началом имеют между собой угол по Александрову, то (С?/Я,с?с) изометрично однородному риманову многообразию с внутренней метрикой.

Инвариантность вариационной задачи означает, что соответствующий функционал инвариантен относительно некоторой транзитивной группы движений рассматриваемого однородного риманова пространства, см. [10], [19], [13].

F = F(p,-)-,peG/H 5

Условия применимости методов теории оптимального управления на группах Ли исследовались в работе В.Н. Берестовского [5], где также перечислены все (связные) группы Ли, на которых всякая левоинвариантная внутренняя метрика будет финслеровой. Как следствие упомянутых результатов, левоинвариантные внутренние метрики групп Ли в точности являются левоиивариаитиыми метриками

Карно-Каратсодори-Финслера.

Возможно, всякое однородное локально компактное пространство с внутренней метрикой, удовлетворяющее условию локальной единственности кратчайших - однородное финслерово многообразие. Этот результат установлен по крайней мере для компактных пространств.

В недавних работах [35, 24] решены задачи, связанные с проблемами дифференциальных уравнений, однородных пространств и группового анализа. В частности в [24] исследовалась задача о геодезических потоках на однородных пространствах. В работе [25] исследовалась задача нахождения минимума функционала f* F(x,y,yx)dx в пространстве гладких функций, удовлетворяющих некоторым граничным условиям.

Группы Ли с левоиивариаитной иеголономной метрикой, порождающейся квадратичной формой на касательном вполне неголономном подрасслоении рассматривались в работах P.C. Стричардса [38], А.М.Вершика и В.Я.Гершковича [13, 39], В.Н.Берестовского [9].

В работах [8], [9] В.Н.Берестовским исследовались геодезические неголономных левоинвариантных метрик на группе Гейзенберга и на группе движений евклидовой плоскости Е2. Был проведен поиск экстремалей вариационной задачи для функционала: на плоскости Е2, где к-геодсзическая кривизна кусочно регулярной кривой х(з) , параметризованной длиной дуги , с помощью построения левоиивариаитной пеголоиомной римановой метрики на группе Ли собственных движений рассматриваемого пространства, нахождения её геодезических и установления соответствия между ними и искомыми экстремалями. Также высказано было мнение о целесообразности подобного исследования для плоскости Лобачевского. е

В свое время А.М.Вершик указал, что естественные вариационные задачи для гладких кривых с функционалом, зависящим от высших производных, могут привести к однородным многообразиям с внутренней метрикой.

Сложности, возникающие при решении задач с производными высших порядков в исследуемых функционалах, снимаются тем, что естественной областью определения вышеупомянутой метрики является подмногообразие касательного расслоения первого и высшего порядков над исходным многообразием, и, принимая производные за новые переменные, удается получить новый функционал от производных не выше первого порядка и метрической функцией Финслера на упомянутом подмногообразии при описании однородного многообразия. Вероятно, необходимым является неголономный характер получаемой метрики.

Вариационные задачи на многих пространствах интересны возможностью применения методов, связанных в первую очередь с принципом максимума Понтрягина.

Цель работы.

1. Ставится вопрос о связях геодезических группы Гейзенберга с геодезическими и сферами плоскости Грушина, исследуются их свойства. Плоскость Грушина, двумерное пространство с метрическим элементом хг

2. Также исследуются две инвариантные вариационные задачи -на расслоенном пространстве единичных касательных векторов над плоскостями Лобачевского и Евклида , связанные с поисками экстремальных кривых х(э) (с заданными направлениями в начальной и конечной точках) функционалов § у/1+ кЦ{})с1з и /(1+ «*(*))&.

3. Проводится проверка уравнением Эйлера-Пуассона решения инвариантной вариационной задачи для функционала / у/1+ «2(5)6^ на кривых плоскости Евклида.

Методы исследования. В доказательствах использовались методы метрической геометрии, принцип максимума Понтрягина, свойства неголономных метрик, методы теории дифференциальных уравнений.

Научная новизна работы состоит в следующем: 7

1. Найдены в явном виде уравнения Эйлера-Лагранжа для экстремалей функционала на расслоении над плоскостью Лобачевского.

2. Проведено исследование свойств решений, часть их найдена в явном виде.

3. Проведено методом принципа максимума Понтрягина исследование вариациоиной задачи для функционала jyi + «2(s)ds

4. Найдены геодезические плоскости Грушина,

5. Показана субметричность проекции группы Гейзенберга на модифицированную плоскость Грушина с метрикой ds2 = dr2 4- Adz21 г2, сохранение проекцией длин спрямляемых кривых.

6. Доказано, что геодезические группы Гейзенберга Н с началом на оси z отображаются проекцией на геодезические модифицированной плоскости Грушина.

7. Сферы группы Гейзенберга с центром в единице группы доставляются вращением сфер модифицированной метрики ds2 = dr2 + Adz2/г2 Грушина с центром в нуле плоскости.

Теоретическая и практическая ценность работы. Работа имеет теоретическое значение. Результаты могут быть использованы для исследований вариационных задач на пространствах с определенными свойствами.

Публикации.

Результаты диссертации опубликованы в 5-и печатных работах [31], [29], [33], [32],[34]. Одна работа опубликована издательством Челябинского научного центра [30].

Апробация работы проведена на следующих конференциях: 37-й региональной молодёжной конференции ( ЗО-янв.-З февр. 2006 , Урал ) , XLIII международной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (НГУ, 2005) , Международной школе-конференции по анализу и геометрии, посвященной 75-летию академика Ю. Г. Решетняка (30 авг. - 3 сент. 2004, Новосибирск, Ин-т математики СО РАН ) .

Структура и объем работы.

Диссертационная работа , содержащая 61 страницу, состоит из введения, четырех глав и списка использованной литературы, составляющего 39 наименований.

1.. Ахиезер Н.И. Лекции по вариационному исчислению. М.: Гос. издат. тех.-теор. лит. ,1955

2. Беллман Р.Процессы регулирования с адаптацией. М. Наука 1964

3. Беллман Р.,Кук. К. Дифференциально-разностные уравнения //М. 1967

4. В.Н. Берестовский Субметрии пространственных форм неотрицательной кривизны //Сиб.мат. журн. 1987 т. 28, N 4, С. 45-49

5. Берестовский В.Н. Однородные многообразия с внутренней метрикой. I // Сиб. мат. журн. 1988. Т. 29, № 6. С. 17-29.

6. Берестовский В.Н. Однородные пространства с внутренней метрикой // Докл. АН СССР. 1988. Т. 301, № 2. С. 268-271.

7. Берестовский В.Н. Однородные многообразия с внутренней метрикой. II // Сиб. мат. журн. 1989. Т. 30, № 2. С. 14-28.

8. Берестовский В.Н. Геодезические иеголономных левоинвариантных внутренних метрик на группе Гейзенберга и изопериметриксы пространства Минковского // Сиб. мат. журн. 1994. Т. 35, № 1. С. 3-12.

9. Берестовский В.Н. Геодезические левоипвариантной неголономной римановой метрики на группе движений евклидовой плоскости // Сиб. мат. журн. 1994. Т. 35, № 6. С. 1223- 1230.

10. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 1. M.-JL: Гос. тех. теор. изд-во, 1933.

11. Математическая энциклопедия //т.4 изд-во М. Наука

12. Л.С.Понтрягин , В.Г. Болтянский,Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко Математическая теория оптимальных процессов Ц М. Наука, 1969

13. Вершик А.М., Гершкович В.Я. Неголономные динамические системы. Геометрия распределений и вариационные задачи. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления // М.: ВИНИТИ. 1987.

14. Гельфанд И.М., Фомин C.B. Вариационное исчисление // М.: Физматгиз, 1961.

15. Файзуллин P.P., Берестовский В.Н. Проблемы теоретической и прикладной математики. // Труды 37-й региональной молодежной конференции (30 января 3 февраля 2006 г.). Екатеринбург: Ин-т механики и математики УрО РАН, 2006. С. 88.

16. Берестовский В.Н, Файзуллин P.P. Расслоение над плоскостью Лобачевского // Известия Челябинского научного центра. Январь-март 2007. Вып. 1 (35). С. 27-32.go

17. Файзуллин P.P. О связи неголономной метрики на группе Гейзенберга с метрикой Грушина // Сиб. мат. журнал. 2003. Т. 44, № 6. С. 1377-1384.

18. Файзуллин P.P. О расслоении над плоскостью Лобачевского // Материалы XLIII международной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 2005. С. 87.

19. Файзуллин P.P. Инвариантные вариационные задачи на некоторых однородных пространствах. // Вестник Омского университета. 2007. № 3. С. 17-21.

20. Bellaiche A.The tangent space in Sub-Riemannian geometry //Progress in Mathematics. V.144: Sub-Riemannian Geometry (ed. Bellaiche A., Risler J.-J.) .Basel; Boston; Berlin:Birkhauscr, 1996. P. 1-78.

21. Sasaki S. On the differential geometry of tangent bundles of Rie-mannian manifolds // Tohoki Math. J. (2) 1958. V. 10 P. 338-345;II 1962. V. 14 P. 146-155

22. Strichartz R.S. Sub-Riemannian Geometry // J. Diff. Geom. 1986. N 24. P. 221-264.

23. Vershik A.M., Berestovskii V.N. Manifolds with intrinsic metric and nonholonomic spaces // Advances in Soviet Mathematics. 1992. N 9. P. 253-267.6i