Аналитические методы в теории однородных эйнштейновых многообразий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Введение

1 Функционал скалярной кривизны

1.1 Функционал скалярной кривизны и вариационный принцип для метрик Эйнштейна.

1.2 О характеризации критических точек функционала скалярной кривизны.

1.3 Об однородных метриках положительной кривизны Риччи на компактных однородных пространствах

2 Применение вариационного принципа

2.1 Эйнштейновы левоинвариантные метрики на группах Ли.

2.2 Инвариантные эйнштейновы метрики на пространствах Леджера-Обаты.

2.3 Об одном классе однородных-компактных многообразий Эйнштейна.

2.4 Новые серии эйнштейновых инвариантных метрик

2.5 О кривизне Риччи инвариантных метрик на некомпактных однородных пространствах с полупростой группой движений.

2.6 Об одном классе однородных эйнштейновых многообразий с унимодулярной группой движений

3 Компактные однородные многообразия Эйнштейна малой размерности

3.1 Компактные шестимерные однородные многообразия Эйнштейна.

3.2 Компактные семимерные однородные многообразия Эйнштейна.

4 Стандартные однородные эйнштейновы многообразия

4.1 Стандартные однородные эйнштейновы многообразия и диофантовы уравнения

4.2 Алгебраическая структура стандартных однородных эйнштейновых многообразий.

Данная диссертация посвящена исследованию однородных римановых многообразий (М,р), риманова метрика которых является эйнштейновой, то есть удовлетворяет уравнению Ric(p) = С • р для некоторой константы С.

Рассматриваемая задача является логичным продолжением задачи исследования римановых многообразий постоянной секционной кривизны, полностью решенной Дж. Вольфом [10]. К настоящему времени известны частичные классификации однородных эйнштейновых многообразий. Достаточно давно Э. Кар-таном найдена классификация симметрических пространств [G3], О.В. Манту-ровым [17, 18, 19] и Дж. Вольфом [106] независимо получена классификация строго изотропно неприводимых пространств, М. Ваном и В. Циллером классифицированы стандартные однородные эйнштейновы многообразия с простой группой движений [102], Е.Д. Родионовым получена классификация стандартных однородных эйнштейновых многообразий с простой группой изотро-ппн [57]. Кроме того большие успехи достигнуты в классификации однородных эйнштейновых многообразий с различными ограничениями на алгебраическую структуру соответствующих однородных пространств. Подробное изложение этих вопросов можно найти в энциклопедическом издании по эйнштейновым многообразиям [9]. Здесь мы отметим некоторые из работ, авторам которых мы обязаны разработкой методов исследования инвариантных эйнштейновых метрик, это работы Дж. Вольфа [10G, 107], Э. Калаби [72], С.Т. Яу [108, 109, 110], Г. Иенсена [82, 83, 84, 85], М. Громова [79], М. Вана и В. Циллера [101, 102, 103, 104, 111, 112, 100], Н. Хитчина [81], Д.В. Алексеевского и Б.Н. Ки-мельфельда [1,2, 3, 4, 5, G, 7], О.В. Мантурова [17, 18, 19], Е.Д. Родионова [49]-[5G] и многих других математиков.

Отмстим, что в последнее время появилось много новых работ по вопросам, близким к обсуждаемому. В частности, была получена классификация пятимерных однородных эйнштейновых многообразий [66] и достигнут существенный прогресс в изучении эйнштейновых солвмногообразий [86].

Методика исследований во многом ориентирована на использование аналитичсских средств. Основы такого подхода заложены в работах Г. Йенсена [83], М. Вана и В. Циллера [103].

Первая глава диссертации посвящена обоснованию вариационного принципа для инвариантных метрик Эйнштейна. В первом параграфе рассматривается унимодулярная группа Ли G и две ее подгруппы Н, К, Н С К С G, где Я — компактная группа Ли. Объектом исследования являются adk -инвариантные эйнштейновы метрики на однородном пространстве М = G/H. Пусть р — некоторое adk -инвариантное дополнение к h в д и пусть М — множество adh -инвариантных скалярных произведений объема 1 на р относительно некоторого выделенного скалярного произведения. Рассмотрим также М* — множество adk -инвариантных метрик объема 1 на р относительно того же выделенного скалярного произведения. Основным результатом первого параграфа является

Теорема 1.1.1 Пусть (•, •) Е Мк, тогда следующие условия эквивалентны:

1) (•,•) является критической тонкой функционала скалярной кривизны S на множестве М;

2) (•, •) является критической точкой функционала скалярной кривизны S на множестве Л/*;

3) (•, •) является инвариантной эйнштейновой метрикой.

Отметим, что утверждение данной теоремы в случае унимодулярных групп было получено Г. Йенсеном [83]. В случае однородных пространств с компактной группой движений это утверждение также хорошо известно [9].

Второй параграф посвящен изучению аналитических характеристик эйнштейновых метрик (как критических точек функционала скалярной кривизны). В частности, доказана

Теорема 1.2.2 Пусть (•, •) — стандартная однородная эйнштейнова метрика, причем константа Казимира удовлетворяет условию с > 3/10, тогда метрика, как критическая точка функционала скалярной кривизны, является точкой локального минимума функционала S на множестве М.

Во третьем параграфе первой главы исследуется устойчивость положительной определенности нормальной метрики на компактных однородных пространствах. В частности, доказывается

Теорема 1.3.2 Пусть G/H — односвязное компактное однородное пространство, (•, •) — некоторая нормальная, а (•, •) — некоторая adь-инвариантная метрики на р. Пусть к тому же все айн-инвариантные неприводимые подмодули в р попарно неизоморфны. Тогда, если минимальное и максимальное собственные числа квадратичной формы (•,•) относительно (-,-) связаны соотношением 2xjnin > хтах, то кривизна Риччи метрики (•, •) положительна.

Вторая глава посвящена применению доказанного в первой главе вариационного принципа к нахождению инвариантных эйнштейновых метрик на некоторых специальных однородных пространствах. Также в пятом параграфе затронуты вопросы существования инвариантных эйнштейновых метрик на некомпактных однородных пространствах с полупростой группой движений.

В первом параграфе исследуются левоинвариантные метрики специального вида на группах Ли на предмет обнаружения среди них метрик Эйнштейна. Пусть F — простая компактная группа Ли. Рассмотрим G = FxF с подгруппой К, являющейся образом диагонального вложения F в G и Н — {с}. Рассмотрим все а(4-инвариантные метрики на G. Отметим, что среди таких метрик известны две эйнштейновы метрики: стандартная метрика на G и метрика, найденная Г. Йенсеном [83]. Мы доказываем следующую теорему.

Теорема 2.1.1 Для любой компактной простой группы F группа G = F х F допускает ровно две пеизометричные и негомотетичные adk-инвариантные метрики Эйнштейна.

Во втором параграфе объектом нашего исследования являются G-инвариант-ные эйнштейновы метрики на пространстве Леджера-Обаты G/II = F х F. х F/diag(F), где F - простая компактная группа Ли, G = F х F х . х F (п множителей в произведении, п > 2), Я = diag(F). Основными результатами являются следующие.

Теорема 2.2.1 На пространстве Леджера-Обаты G/H = Fx Fx F/diag(F) существует ровно две с точностью до изометрии и гомотетии G-инвариантные эйнштейновы метрики.

Теорема 2.2.2 При п > 3 на пространстве Леджера-Обаты G/II = Fx F. х F/diag(F) существует по крайней мере две с точностью до изометрий и подобия G-инвариантные эйнштейновы метрики.

В третьем параграфе второй главы рассматривается однородное компактное пространство G/H с полупростой группой движений G. Рассмотрим р — ортогональное дополнение к h в g относительно стандартной метрики. Допустим, что пространство G/H таково, что модуль р представим в виде прямой суммы трех попарно ортогональных относительно {•,•) ас/^-инвариантных и неприводимых модулей, т.е. р = Pl © Р2 ® Рз, удовлетворяющих соотношениям \j>i,Pi] С h для г G {1,2,3}. Примерами таких однородных пространств могут служить группа SU{2), пространства Уоллача, пространства SO(a + b + c)/(SO(a) х 50(6) х SO(c)) или Sp(a + b + c)/(Sp{a) х Sp(b) х Sp(c)). Справедлива следующая

Теорема 2.3.1 Все пространства G/H, удовлетворяющие вышеприведенному условию, допускают инвариантную метрику Эйнштейна.

В этом же параграфе более подробно рассмотрены пространства SO(n)/SO(n— 2). Ш Кобалси [9, 90] показал существование инвариантной метрики Эйнштейна Рк на таком пространстве. Доказывается

Теорема 2.3.2 При п = 3 и п > 5 пространство М = SO(n)/SO(n — 2) допускает ровно одну, с точностью до изометрии и пропорциональности, инвариантную метрику Эйнштейна. При п = 4 на пространстве М существует ровно две, с точностью до изометрии и пропорциональности, инвариантные эйнштейновы метрики.

Целыо четвертого параграфа второй главы является построение новых примеров инвариантных эйнштейновых метрик с использованием хорошо известного факта из анализа — устойчивостью невырожденной точки гладкой функции на некотором многообразии.

Пусть G1, Gz,., Gn — тг (п > 2) экземпляров компактной вещественной полупростой группы Ли G, Т С G — фиксированный максимальный тор в G, д и t являются соответственно алгебрами групп G и Т, р — ортогональное дополнение к t в д относительно В = J5(-, •) — минус формы Киллинга, через gi мы обозначим алгебры Ли групп (7,-. Рассмотрим группу

G = Gi х G2 х . х Gn и ее алгебру Ли

0 = 01®02® . ©0п» которая снабжена скалярным произведением

-)=В\п+В\п + . + В\9я.

Рассмотрим также Т* - максимальный тор в G,-, который идентифицируется с Т посредством естественного изоморфизма между С, и G, t{ — соответствующие подалгебры Ли алгебр gj.

Т = Ti х Т2 х . х Тп максимальный тор в группе G и t = ti@t2® .@tn максимальная коммутативная подалгебра.

Фиксируем вектор Л = (Ai, А2,., А„) G Rn, ||А|| = 1 с рациональными координатами и подгруппу S С Т, алгебра Ли которой s состоит из элементов вида {Airr, Х2х,А„х}, где х € t, \х G U (мы используем изоморфизм между и t).

Обозначим через h\ (•, ^-ортогональное дополнение к s в t и через Яд — соответствующую подгруппу Ли в G. Объектом нашего исследования являются инвариантные эйнштейновы метрики на однородном пространстве

MX = G/HX.

Доказывается следующая

Теорема 2.4.1 Пусть G — компактная полупростая группа Ли иТ — максимальная коммутативная подгруппа в G, g и t являются соответствующими 7 алгебрами Ли, р — ортогональное дополнение к t в g относительно формы Миллима, М — множество adt-инвариантных метрик объема 1 на р, Mi — множество adt-инвариантных метрик объема 1 на д. Если функционал скалярной кривизны S имеет невырожденные критические точки на М и М\, то существует бесконечно много попарно неизометричных и негомотетичных эйнштейновых инвариантных метрик на однородных пространствах М\ = G/H\.

Пятый параграф второй главы посвящен исследованию кривизны Риччи инвариантных метрик специального вида на некомпактных однородных пространствах с полупростой группой движения.

Рассмотрим полупростую некомпактную группу Ли G, ее компактную подгруппу Я такую, что Н С К С G, где К — максимальная компактная подгруппа группы G, Н -ф К. Пусть [•,•] — скобка Ли, а £(•,•) — форма Ниллиига алгебры g и пусть g = k© р' = /1 ® р" ® р\ где первое равенство есть разложение Картана алгебры g группы G, и к — h(Bp", р" ортогонален h относительно В.

Рассмотрим класс Ыд-инвариантных метрик М на р = р" © р' ( ас/д-ппварнантном дополнении к h) такой, что для любой метрики (•,•) € М р" ортогонален // относительно (•,•)• Пусть (•,•) = Б\р> — В\р", метрики (•,•) и {•,•) одновременно приводятся к диагональному виду, т.е. имеют место следующие разложения: р' = pi ф . ® ри, р" = ри+1 ®. © pv, где pi — попарно ортогональные относительно обеих метрик аг/д-инвариаитные неприводимые модули, и (•, -)|Pi = • (-,-)|р< для некоторых х* > 0. Можно считать, что xi < хг < . < хи и xu+i < . < xv.

Форма кривизны Риччи Ric(-,-) для метрики (•,•) является также adh-инвариантной на р, поэтому Ric(',-)\Pi = -)|Pi для некоторых вещественных г,-. Основным результатом рассматриваемого параграфа является следующая

Теорема 2.5.1 Если г\ > ги, то rv > 0.

В частности, из этой теоремы выводится утверждение об отсутствии среди метрик класса М эйнштейновых. Учитывая, что для ряда однородных пространств метриками класса Л/ исчерпываются все ас/л-инвариантные метрики на р, доказывается отсутствие метрик Эйнштейна на соответствующих однородных пространствах. Приводятся конкретные примеры некомпактных однородных пространств с полупростой группой движений, не допускающих инвариантных метрик Эйнштейна. Такими пространствами являются G/H, где (G,H) = (SO(a + b,c + d),SO(a) x SO(b) x SO(c) x SO(d)), (G,H) = (Sp(a + b,c + d),Sp{a) x Sp{b) x Sp(c) x Sp(d)), (<G,H) = (SL(n + l),SO(n)). Вложения подгрупп во всех рассматриваемых примерах стандартные.

В шестом параграфе второй главы описаны инвариантные эйнштейновы метрики на однородных пространствах Мг = G/Hr, где

G = SU(mi) х SU(m2) х . х SU(mk),

Hr = SU(mi - 1) х SU(m2 - 1) х . х SU(mk - 1) х Т*"1, к > 2, гщ > 2 (1 < I < к), г = (и,гг,ri — целые числа с наибольшим общим делителем 1, а к — 1-ный тор Т*-1 описаи ниже.

Рассмотрим вложения & : SU{mi — 1) xSl -» SU(mi), определяющие симметрические пары (SU(mt),£i(SU(mi — 1) х f/(l))). Пусть окружность Sj: пложена в тор Т = (S1)т матрицами вида mf;(c2'rГli^.,e2'rrl'^e-2(m,-1)'rr^,<,) х .х xdiag{c2*Tki0,., e2nrki\ е"2^*-1 )7rr*,<?).

Пусть М = m\ + Ш2 + . + гпк, тогда размерность пространств Мг равна 2М -2к + 1.

Представим алгебру Ли su(mi) как алгебру косоэрмитовых матриц с нулевым следом. Зафиксируем биинвариантнос скалярное произведение (X,Y)i = ^Retr(XY) на этой алгебре. Скалярное произведение на алгебре Ли д группы G определим по формуле

В алгебре Ли su(m{) (1 < I < к) рассмотрим векторы Ер Fj (1 < j < mi — 1) и Zi, определяемые ниже. Пусть Elj — матрица, у которой па пересечении j-oi\ строки и mi-го столбца (на пересечении mi-ой строки и j-го столбца) находится 1 (—1), а остальные элементы равны 0; Fj — матрица, у которой на пересечении j-ой строки и mi-го столбца, а также на пересечении тщ-ой строки и j-го столбца находится i (мнимая единица), а остальные элементы равны 0;

Определим тор Т*-1 как группу Ли, соответствующую подалгебре t — ортогональному дополнению к Z в Lin(Zy, Z2,Zk) (алгебре Ли группы Ли Т = (S1)*) относительно (•, •). Тогда Тг*-1 удовлетворяет условию Т = Trfc1 х SI. Таким образом определяется класс однородных пространств Mr = G/Hr, где

Основным результатом параграфа б является следующая Теорема 2.6.1. Каждое пространство Мг при М = mi + .+mjt > 4 и ri ф 0 (\ < I < к) допускает ровно одну, с точностью до изометрии и гомотетии, инвариантную метрику Эйнштейна.

Отметим, что существование инвариантной эйнштейновой метрики на каждом из описанных пространств доказано ранее М. Ваном и В. Циллером в работе

•,-) = (v)i + -+ (•.•)*-! + (•.•)*•

Рассмотрим также вектор

G = SU{mx) х SU(m2) х . х SU(mk), Hr = SU(m\ - 1) x SU(m2 - 1) x . x SU{mk - 1) x Trfc1,

Третья глава диссертации посвящена классификации компактных однородных эйнштейновых многообразий размерностей б и 7. Хорошо известно, что любое однородное многообразие Эйнштейна Мп размерности 2 или 3 изомет-рично пространству постоянной секционной кривизны. Для размерности п = 4 Г. Йсиссн доказал, что односвязное Мп (в компактном и некомпактном случаях) является симметрическим пространством [82]. Для некомпактных пространств большего числа измерений проблема классификации осложняется из-за отсутствия классификации некомпактных однородных пространств (и даже алгебр Ли). В размерности п = 5 полная классификация компактных однородных многообразий Эйнштейна была получена Д.В. Алексеевским, И.-Д. Миа-телло, С. Феррарисом [66]. Ранее часть инвариантных метрик Эйнштейна на компактных пятимерных однородных пространствах была найдена М. Ваном и В. Цпллсром [101], а также Е.Д. Родионовым [49]. Д.В. Алексеевским получена также классификация некомпактных однородных эйнштейновых многообразий отрицательной секционной кривизны для размерности п < 5 [5].

Основные результаты первого параграфа основаны на совместной работе автора с Е.Д. Родионовым [48], в частности, доказывается следующая классификационная

Теорема 3.1.1 Пусть G - компактная связная полупростая группа Ли, действующая почти эффективно на шестимерном одиосвязном однородном пространстве Л/6 = G/H, Н - замкнутая подгруппа G. Если (G/II,p) - однородное эйнштейново многообразие, то оно изометрично, с точностью до умножения метрики р на константу, одному из следующих многообразий, указанных в таблице 1.

Некоторые из этих многообразий были ранее найдены Г. Йенссном [83], Й.Д' Атри и X. Никерсоном [7G], В. Циллером [112].

Во втором параграфе доказывается

Теорема 3.2.1 Пусть G - компактная связная полупростая группа Ли, действующая почти эффективно на семимерном односвязном однородном пространстве М7 = G/H, Н - замкнутая подгруппа G. Если (G/H,p) - однородное эйн

N М6 Метрики Эйнштейна

1 SO{7) SO (6) симметрическое пространство Симметрическая

2 51/(4) S(l/(l)xl/(3)) симметрическое пространство Симметрическая

3 ЗД . 1/(2) симметрическое пространство Симметрическая

4 5р(2) .SXUxi/fl) Две метрики Эйнштейна

5 SU(2)xSU(2) SU(2)xSU(2) diagSU(2) X diagSU(2) произведение симметрических, где <im<7 - диагональное вложение Произведение симметрических

6 Лг сб 64/(3) ~ ° Стандартная

7 Sf (Ю х - диффеоморфно S3 х 53, где diag - диагональное вложение Произведение стандартных с условием равенства кривизн Риччи

8 = S2 х S2 х S2 Произведение стандартных с условием равенства кривизн Риччи

9 'Щ^- - пространство Уоллача Две метрики Эйнштейна

10 SU(2) х SU(2) = S3 х S3 Не менее двух метрик Эйнштейна

11 St/(2)xSt/(2)xSf/(2) diag S U (2) пространство Леджсра-Обаты Две метрики Эйнштейна штейпово многообразие, то оно изометрично, с точностью до умножения метрики р на константу, одному из многообразий, перечисленных в таблице 2.

Многие из перечисленных в таблице 2 эйнштейновых многообразий были найдены Ш. Нобаяси [90], Г. Йенссном [84], М. Ваном [100], JI. Кастеллани и JI. Романсом [73], Д. Пейджем и К. Поупом [97], J1. Кастеллаии, Р. Д'Аурия и П. Фрс [74], Р. Д'Аурия, П. Фре и П. ваи Ньювенхьюзеном [78], М. Ваном и В. Циллсром [104]. В процессе нласси(|)инации нам удалось найти новую метрику Эйнштейна на одном из пространств Алоффа-Уоллача.

Четвертая глава посвящена изучению стандартных однородных эйнштейновых многообразий. Известно множество примеров стандартных эйнштейновых метрик на компактных однородных пространствах G/H как для простых групп G и Я, так и для групп, не являющихся простыми. Классификация стандартных однородных эйнштейновых пространств в случае простой группы G проведена в статье [102], в случае простой группы Я в работе [55]. В свете сказанного естественно ставится вопрос о классификации стандартных однородных эйнштейновых многообразий с полупростыми группами движения и изотропии.

В работах [102, G0, 45] исследованы семейства однородных пространств, условия эйнштейновости стандартной метрики на которых сводятся к решению систем диофантовых уравнений. В первом параграфе четвертой главы мы исследуем достаточно подробно подобные семейства однородных пространств и решения соответствующих диофантовых систем. Таким образом строятся примеры стандартных однородных эйнштейновых многообразий (G/H,pst) с полупростыми группами движений G и изотропии II. В частности, рассматриваются вложения вида

Я = SO(k) х SO(n) х SO(m) С SO(k) х [SO(n) х . х SO{n)] х SO{m) С С SO{k + п) х [50(п) х . х S0(n)] х SO(n + т) =G , где первое вложение имеет вид Id х diag х Id (SO(n) берется t раз), и второе вложение имеет вид 7Ti х Id х . х тг2 (SO(n) берется (t — 2) раз); вложения 7Гх : SO(k)xSO(n) С SO(k+n),7T2 ■ SO(n)xSO(m) С SO(n+m) предполагаются стандартными.

N А/7 Метрики Эйнштейна

1 fgffi- симметрическое пространство Симметрическая

2 SO<6> SO(3) SO( 5) SO(2) Произведение произведение симметрических симметрических

3 SO(5) St/(2) х SU(2) SO(4) X 51/(2) произведение симметрических Произведение симметрических

4 5t/(3) SO(3) SO(3) л SO(2) " произведение симметрических Произведение симметрических

5 $pin(7) G3 ~ строго изотропио неприводимое Pet

С sPm Sp(l) 2 псизомстричпыс метрики Эйнштейна, Рн и pj

7 sP( 2)xsPm Sp(l)xSp(l) 2псизомстричпыс метрики Эйнштейна, Pat и PJ

8 Sp(2)xum Sp(l)x(/(l) 2 псизомстричные метрики Эйнштейна, Pst и pj

9 IS Pst

10 рк или стандартная

11 ЛХЧЗ)хЛШ2) 61/ (2) xS' 1 метрика при каждом вложении

12 SU(3)xSU(2) Hiaq(SUl2))xUil) 2 метрики

13 3SU(2) , f .SO(2)xi(j(2) — (o.b.c) ' 2 метрики при (а,Ь,с)=(1,1,0) и 1 метрика при остальных вложениях

14 60(2) 2 метрики при каждом вложении

Случаи Уравнение Эйнштейна (п, 7п, t)

Ортогональный (п - 2т - 1 )(m + п - 2) = = (т — l)(n — 2)(t — 2) , к — т GfS+^-^.'+O' где у, z - натуральные решения диофантового уравнения: у2 - (а2 + 8)г2 = 8(s2 - 1) (а € N)

Унитарный т(п2 + 1) (т + п) = = (т2 — l)n(2m + nt) , k=m Нет решений для всех п,тп,t € N

Симплек-тичсский (2п — 4rn + 1)(т + п + 1) = = (2т + 1)(п + 1)(«-2) , k=in где у, z - натуральные решения диофантового уравнения: у2 (s2 + s)z2 = g(a2 !) е N)

Рассматриваются также аналогичные конструкции для унитарного и сим-плектического случаев:

Н = SU(k)xSU{n)xSU(7ii) С SU{k+n)x[SU(n)x.xSU(n)]xSU(n+m) =G ,

II = Sp(k) х Sp(n) x Sp(m) С Sp(k + n) x [SP(n) x . x Sp(n)] x Sp(n + rn) =G .

Справедлива следующая

Теорема 4.1.2 Пусть (g,h) является одной из пар (so(k + тг) © (t - 2) • so(n) © so(n + т), so(k) © so(n) © so(ra)), (su(k + n) ®(t — 2) • su(n) © su(n + m), su(k) © su(n) © su(m)), (sp(k + n)®(t — 2)-sp(n)®sp(n + m), sp(k)®sp(n)Qsp(m)). Тогда пространство (G/H,pu) будет эйнштейновым многообразием, если и только если тройка (n,m,t) содержится в списке таблицы 7. .

Значительная часть первого параграфа посвящена нахождению натуральных решений диофантовых уравнений, подобных тем, что приведены в таблице 7. В

15 частности, находятся бесконечные серии таких решений для ортогонального и симплектического случаев из вышеприведенной таблицы.

Второй параграф четвертой главы посвящен получению некоторых алгебраических ограничений для стандартного однородного эйнштейнового многообразия и классификации некоторых эйнштейновых многообразий специального вида. Отметим, что удалось найти примеры стандартных однородных эйнштейновых многообразий с тремя попарно неэквивалентными неприводимыми модулями, что дает контрпример к гипотезе Д.В. Алексеевского о существовании не более двух неэквивалентных модулей для стандартных однородных эйнштейновых многообразий.

Рассматривается компактное односвязное однородное пространство М = G/H, где G — связная компактная полупростая группа Ли, а Я — се замкнутая подгруппа.

Как принято, через р мы обозначаем ортогональное дополнение к подалгебре h в алгебре Ли д относительно формы Киллинга В алгебры д.

Пусть алгебра д разложена в сумму простых алгебр gj, 1 < j < n, д = д\ ©. Ф дп, а алгебра h — в сумму центра h0 и простых алгебр 1 < i < т, h = ho 0 hi © . © hm.

Пусть 7Vj : h gj — ортогональная относительно Б проекция h на gj.

В частности, в рассматриваемом параграфе доказывается

Теорема 4.2.3 Пусть (G/II,pn) — стандартное однородное эйнштейново многообразие с полупростой группой изотропии Н, h = hi © . © hm. Обозначим через к количество слагаемых gj в разложении g = ©"=,gj таких, что 7Tj (/г) ф gj. Тогда т > к. Если к тому же (G/II, рп) неприводимо как риманово многообразие и к > 1, то тп> к.

Доказывается также следующая классификационная

N Gi К Li (n, ra) A

1 SO{p + q) SO{p) SO(q) (m — n)(p — 2)(q — 1)+ +n(p + q-2)(q- 1) = = (p-3)(p + q-2) (р-ЗНр+ч-2) (p-2)(q-1)

2 Sp(p + q) Sp(p) Sp(q) (m — ri)(p + 1)(2<7 + 1)4-n{p + q + l){2q + I) = = (2p + 3)(p + g+l) (2p+3)(p+?+l) (p+l)(2? + l)

3 SO{AP) Sp(p) 5p( 1) (6s+ 2,9s+ 2) (6e + 2)(4e+l) 2e+l

4 SO (Ар) Sp(p) 5p(l) (2s, 2s) 2s(4«-l) 2»+l

5 E6 G2 SU(3) (1,2) 4

G Es Ej SU{ 2) (2,7) 9

Теорема 4.2.7 Пусть (G/H,pb) — связное неприводимое стандартное однородное эйнштейново многообразие, задающееся вложениями

II = К х L\. х Ln С К х . х K xLi х . х Ln С т

С К х . X К xGi X . xGn = G, т—п где К, L{, и Gi — простые группы Ли, первое вложение имеет вид diag(K) х Id. х Id, второе —

Id х . х Id xiTi х . х 7гп,

V V ' т—п где-Ki: KxLi > Gi — некоторые вложения такие, что пары являются либо неприводимыми симметрическими, либо несимметрическими строго изотропно неприводимыми. Тогда для (G/H,po) выполняется одно из следующих условий:

1) (G/II,po) — симметрическое неприводимое с простой группой G;

17

2) (G/H, pa) — несимметрическое строго изотропно неприводимое с простой группой G;

3) (G/H,ps) определяется вложениями

II = Sp{ 1) х Sp{3) х Sp(3) С (Sp[l) х Sp( 1)) x Sp(3) x Sp(3) С

С Sp(4) x 50(12) = G, где первое вложение имеет вид diag(K) xldx Id, второе — 7Ti Х7Г2, причем вложение 7Ti : 5р(1) х Sp(3) —> 5/>(4) определяет симметрическую пару, а вложение яг : 5р(1) х 5р(3) 50(12) — строго изотропно неприводимую;

4) (G/II,po) — одно из пространств, перечисленных в таблице 11.

Через Л d таблице 11 обозначена величина с~1, где с — константа Казимира для соответствующего стандартного эйнштейнового многообразия.

Нумерация каждого утверждения в диссертации состоит из трех цифр, первая цифра обозначает номер главы, вторая - номер параграфа, третья - номер утверждения данного типа. Используется также сплошная нумерация формул и таблиц.

Автор считает своим долгом отметить огромное влияние, которое оказали на него идеи и методы, разработанные Д.В. Алсксеевским, В.И. Берестовским, В.А. Топоноговым, Е.Д. Родионовым, М. Ваном и В. Циллером, Г. Йенсеном, О. Ковальским и многими другими математиками.

1. Алсксссвский Д.В. Римановы многообразия с необычными группами го-лономий // Функцион. анализ и его прил.- 19G8.- Т.2, N 2.- С.1-10.

2. Алексеевский Д.В. Компактные кватернионные пространства // Функцион. анализ и его прил.- 1968.- Т.2, N 2.- С.11-20.

3. Алексеевский Д.В. Кватернионные римановы пространства с транзитивной редуктивной или разрешимой группой движений // Функцион. анализ и его прил.- 1970.-Т.4, N 4.- С.68-69.

4. Алексеевский Д.В. Классификация кватернионных пространств с транзитивной разрешимой группой движений // Изв. АН СССР. Сер мат.- 1975.-Т.39, N 2.- С.315-362.

5. Алексеевский Д.В. Однородные римановы пространства отрицательной кривизны // Мат. сборник.- 1975.- Т.96.- С.93-117.

6. Алексеевский Д.В., Кимельфельд Б.Н. Структура однородных римановых пространств с нулевой кривизной Риччи // Функцион. анализ и его прил.-1975.- Т.9, N 2.- С.5-11.

7. Алексеевский Д.В., Кимельфельд Б.Н. Классификация однородных конформно плоских римановых многообразий // Мат. заметки.- 1978.- Т.24.-С.103-110.

8. Берестовский В.Р. Однородные многообразия положительной кривизны Риччи // Мат. заметки.- 1995.- Т.58.- С.334-340.

9. Бессе A.JI. Многообразия Эйнштейна. М.: Мир, 1990.

10. Вольф Дж. Пространства постоянной кривизны. М.: Наука, 1982.

11. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988.

12. Дыпкин Е.Б. Полупростые подалгебры полупростых алгебр Ли // Мат. сб. 1952.- Т.ЗО, N 2.- С.349-462.

13. Дынкин Е.Б. Максимальные подгруппы классических групп // Тр. моек, мат. об-ва.- 1952.- Т.1.- С.39-166.

14. Желобенко Д.П., Штерн А.И. Представления групп Ли. М.: Наука, 1983.

15. Картан Э. Геометрия групп Ли и симметрические пространства. М.: ИЛ, 1949.

16. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. М.: Наука, 1981.- Т. 1-2.

17. Мантуров О.В. Однородные несимметрические римановы пространства с неприводимой группой вращений // Докл. АН СССР.- 1961.- Т. 141.- С.792-795.

18. Мантуров О.В. Римановы пространства с ортогональными и симплекти-ческими группами движений и неприводимой группой вращений // Докл. АН СССР.- 1961.- Т. 141.- С.1034-1037.

19. Мантуров О.В. Однородные римановы многообразия с неприводимой группой изотропии// Тр. сем. по вект. и тенз. анализу,- 1966.- Т.13.- С.68-145.

20. Nikonorov Yu.G. New series of Einstein homogeneous metrics// Второй Сибирский Конгресс по Прикладной и Индустриальной Математике, посвященный памяти А.А. Ляпунова, А.П. Ершова и И.А. Полетаева: Тез. докл. Новосибирск. 1996. Ч. 1. С. 89-90.

21. Никоноров Ю.Г. Функционал скалярной кривизны и эйнштейновы однородные метрики на группах Ли // Геометрическая школа-семинар памяти Н.В.Ефимова: Тез. докл. Ростов-на-Дону. 1996. С. 60.

22. Никоноров Ю.Г. Функционал скалярной кривизны и однородные эйнштейновы метрики на группах Ли // Сиб. мат. журнал.- 1998.- Т.39, N 3.- С.583-589.

23. Никоноров Ю.Г. О кривизне Риччи однородных метрик на некомпактных однородных пространствах // Материалы 3-го Сибирского конгресса по прикл. и индустриальной математике. Новосибирск. Июль 1998. 4.4. С.ЗО.

24. Никоноров Ю.Г. Об однородных метриках на обобщенных симметрических пространствах // Материалы второй краевой конференции по математике. Барнаул. Март 1999. С.18.

25. Никоноров Ю.Г. Об инвариантных эйнштейновых метриках на обобщенных симметрических пространствах // Известия Алтайского университета.- 1999.- N 1.- С. 24-25.

26. Никоноров Ю.Г. Однородные эйнштейновы метрики на обобщенных симметрических пространствах: Тез. докл. научно-технической конф. "Вузовская наука в современном мире". Рубцовск. Сентябрь 1999. С. 6-7.

27. Nikonorov Yu.G. New series of Einstein homogeneous netrics// Diff. Geom. and its Appl.- 2000.- V. 12.- P. 25-34.

28. Никоноров 10.Г. Об одном классе однородных компактных многообразий Эйнштейна // Сиб. мат. журнал.- 2000.- Т. 41, N 1.- С. 200-205.

29. Никоноров Ю.Г. О кривизне Риччи однородных метрик на некомпактных однородных пространствах // Сиб. мат. журнал.- 2000.- Т. 41, N 2.- С.421-429.

30. Никоноров Ю.Г. Алгебраическая структура стандартных однородных эйнштейновых многообразий // Математические труды.- 2000.- Т. 3, N 1.-С.119-143.

31. Никоноров Ю.Г. Об однородных многообразиях Эйнштейна // Докл. РА 11.2000.- Т. 372, N 1.- С.21-24.

32. Никоноров Ю.Г. О характеризации критических точек функционала скалярной кривизны // Тр. Рубцовского инд-го ин-та. Т. 7. Рубцовск.- 2000.-С. 211-217.

33. Никоноров Ю.Г. Компактные семимсрные однородные многообразия Эйнштейна // Докл. РАН.- 2000,- Т. 372, N 5.- С.589-592.

34. Nikonorov Yu.G. On compact 7-dimensional Einstein homogeneous manifolds // Материалы международной конференции по геометрии, поев. 70-летшо проф. В.А.Топоногова. Новосибирск. Март 2000. С. 69.

35. Никоноров Ю.Г. О проблеме конечности инвариантных эйнштейновых метрик на компактных однородных пространствах // Материалы краевой конференции по математическому образованию на Алтае. Барнаул. Апрель 2000. С. 6-7.

36. Никоноров Ю.Г. Алгебраический подход к исследованию однородных эйнштейновых многообразий // Материалы 4-го Сибирского конгресса по прикл. и индустриальной математике. Новосибирск. Июль 2000. 4.1. С.132.204

37. Никоноров Ю.Г. Аналитические методы в теории однородных эйнштейновых многообразий. Барнаул: Изд-во АГУ, 2000, 184 с.

38. Никоноров Ю.Г. Классификация инвариантных эйнштейновых метрик на пространствах Алоффа-Уоллача // Труды конференции "Геометрия и приложения", поев. 70-летию В.А.Топоногова. Новосибирск. 2001. С.128-145.

39. Никоноров Ю.Г. Об эйнштейновых метриках на многообразиях Штифеля // Труды коференции МОНА-2001. Барнаул. 2001.- С.69-73.

40. Никоноров Ю.Г. Об одном классе однородных эйнштейновых многообразий с полупростой группой движений // Вестник БГПУ.- 2001. N 1.- С.30-32.

41. Никоноров Ю.Г. Инвариантные метрики Эйнштейна на пространствах Леджера-Обаты // Алгебра и анализ.- 2002 Т.14, N 3.- С.169-185.

42. Никоноров Ю.Г, Родионов Е.Д. Однородные многообразия Эйнштейна малых размерностей // Материалы международной конференции по анализу и геометрии, поев. 70-летию акад. Ю.Г.Решстника. Новосибирск. Август-сентябрь 1999. С. 80-81.

43. Никоноров Ю.Г., Родионов Е.Д. Компактные шестимерные однородные многообразия Эйнштейна // Докл. РАН.- 1999.- Т.366. N 5.- С. 599-G01.

44. Rodionov E.D. Einstein metrics on a class of 5-dimensional homogeneous spaces // Comm. Math. Univ. Carolinae.- 1991.- V.32. N 2.- P.389-393.

45. Родионов Е.Д. Эйнштейновы метрики на четномерных однородных пространствах, допускающих однородную риманову метрику положительной секционной кривизны // Сиб. мат. жури.- 1991.- Т.32, N 3.- С.126-131.

46. Родионов Е.Д. Компактные периодические стандартные многообразия Эйнштейна // Докл. АН СССР.- 1991.- Т.316, N 4.- С.819-822.

47. Родионов Е.Д. Однородные эйнштейновы метрики на одном исключительном пространстве Берже // Сиб. мат. журн.- 1992.- Т.ЗЗ, N 1.- С.208-211.

48. Rodionov E.D. On a new family of homogeneous Einstein manifolds // Archivum Math.- 1992.- V.28, N 3-4.-P.199-204.

49. Родионов Е.Д. Односвлзныс компактные стандартные однородные эйнштейновы многообразия // Сиб. мат. журн.- 1992.- Т.ЗЗ, N 4.- С.104-119.

50. Родионов Е.Д. Компактные стандартные периодические эйнштейновы многообразия // Сиб. мат. журн.- 1992.- Т.ЗЗ, N 5.- С.127-144.

51. Родионов Е.Д. Компактные пятимерные однородные многообразия Эйнштейна // Докл. РАН.- 1992.- Т.327, N 4-6.-С.442-445.

52. Родионов Е.Д. Строение стандартных однородных эйнштейновых многообразий с простой группой изотропии // Сиб. мат. журн.- 1992.- Т.ЗЗ, N 4.- С.104-119.

53. Родионов Е.Д. Стандартные однородные эйнштейновы многообразия // Докл. РАН.- 1993.- Т.328, N 2.- С.147-149.

54. Родионов Е.Д. Односвязные компактные пятимерные однородные многообразия Эйнштейна // Сиб. мат. журн.- 1994.- Т.35, N 1.- С.163-168.

55. Родионов Е.Д. Однородные римановы многообразия с метрикой Эйнштейна. Дис. д.ф.-м.н./ Институт математики СО РАН: Новосибирск, 1994.

56. Серр Ж-П. Алгебры Ли и группы Ли. М.: Мир, 1969.206G2. Феденко Л.С. Пространства с симметриями. Минск: Изд-во БГУ, 1977.

57. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. М.: Мир, 1964.

58. Arvanitoyergos A. 50(n)-invariant Einsten metrics on Stiefel manifolds // Diff. Geom. Appl. Proc. Conf. Aug.-Sept. 1995, Brno. P.l-5

59. Arvanitoyergos A. Einstein equations for invariant metric on generalized flag manifolds and inner automorphism // Balkan J. Geom. Appl.- 1996.- V.I.-P. 17-22.

60. Back A. and Hsiang W.Y. Equivariant geometry and Kervaire Spheres // Transac. A.M.S.- 1987.- V.304.- P.207-27.

61. L.Berard-Bcrgcry et ai. Geometric rieinannienne en dimension 4 (Sem. Arthur Besse, Paris, 1978/79), CEDIC, Paris, 1981.

62. Boycr C., Galicki K. and Mann B. The geometry and topology of 3-Sasakian manifolds // Jour, reine angew. Math.- 1994.- V.455.- P.183-220.

63. Borcl A., Siebenthal J. Les sous-groups fermes de rang maximum des groupes de Lie clos // Comment. Math. Helv.- 1949.- V.23.- P.200-221.

64. Calabi E. On Kahler manifolds with vanishing canonical class, in Algebraic geometry and topology // Symposium in honor of S. Lefschetz, Princeton, 1955.- Princeton Univ. Press, 1955.- P.78-89.

65. Castellani L. and Romans L.J. N = 3 and N = 1 supersymmetry in a new class of solutions for D = 11 supergravity // Nuclear Physics -1984.-V.241B.-P.683-701.

66. Castellani L., D'Auria R. and Fre P. SU(3)QSU(2)QU{1) for D = 11 supergravity // Nuclear Physics 1984.- V.239B.- P.610-652.

67. Castellani L., Romans L.J. and Warner N.P. A classification of compactifying solutions for d = 11 supergravity // Nuclear Physics.- 1984- V.241B.- P.429-462.

68. D'Atri J.E., Nickerson U.K. Geodesic symmetries in spaces with special curvature tensor // J. Diff. Geom.- 1974.- V.9.- P.251-262.

69. D'Atri J.E., Ziller W. Naturally reductive metrics and Einstein metrics on compact.Lie groups // Memoirs Amer.Math. Soc.- 1979.- V.18, N 215.- P.l-72.

70. D'Auria R., Fre P. and van Nieuwenhuisen P. N = 2 matter coupled supergravity from compactification on a coset G/H possessing an additional Killing vector // Phys. Lett.- 1984- V.136B.- P.347-353.

71. Groinov M. Volume bounded cohomology // Publ. Math. I.H.E.S.- 1982.-V.56.- P.5-99.

72. Ireland K., Rosen M. Classical introduction to Modern Number Theory, Berlin: Springer-Verlag, 1993.

73. Hitchin N. On compact four-dimensional Einstein manifolds // J. Diff. Gcoin.-1974.- V.9.- P.435-442.

74. Jensen G.R. Homogeneous Einstein spaces of dimension 4 // J. Diff. Geom.-1969,- V.3.- P.309-349.

75. Jensen G.R. The scalar curvature of left invariant Rieinannian metrics // Indiana Univ. Math. J.- 1971.- V.20.- P. 1125-1143.

76. Jensen G.R. Einstein metrics on principal fibre bundles // J. Diff. Geoin.-1973.- V.8.- P.599-G14.

77. Jensen G.R. Imbeddings of Stiefel manifolds into Grassinanians // Duke Math. J.- 1975.- V.42.- P.397-407.8G. Heber J. Noncoinpact homogeneous Einstein spases // Invent. Math.- 1998.-V.133.- P.279-352.

78. Kerr M. Some new homogeneous Einstein metrics on symmetric spaces // Trans. Amer. Math. Soc.- 1996.- V.348.- P.153-171.

79. Kerr M. New examples of homogeneous Einstein metrics // Michigan J. Math.-1998.-V.45.-P.l 15-134.

80. Klaus S., Einfach-zusainincnhangcnge Kompakte Homogene Riiume bis zur Dimension Neun, Diplomarbeit am Fachbereich Matthernatik, Johannes Gutenberg Univcrsitat, 1988.

81. Kobayashi S. Topology of positively pinched Kaler manifolds // Tohoku Math. J. 1963.- V.15.- P.121-139.

82. Kowalski 0., Vlasek Z. Homogeneous Einstein metrics on Aloff-Wallach spaces // DifT. Gcoin. and its Appl.- 1993.- V.3.- P.157-1G7.

83. Kreck M., Stolz S. Some nondiffemorphic hoineomorphic 7-manifolds with positive scctional curvature // J. Diff. Gcom.- 1991.- V.33.- P.465-468.

84. Leite M.L., Miatello I.D. Metrics of negative Ricci curvature on SL(n,R)f n > 3 // J. Diff. Gcom.- 1982.- V.17.- P.635-641.

85. Ledger A.J, Obata M. Affine and Riemannian s-manifolds // J. Diff. Geoin.-1968.- V.4.- P.451-459.

86. Miatello I.D. Transitive group actions and Ricci curvature properties // Michigan Math. J.- 1988.- V.35.- P.427-434.9G. Page D. A compact rotating gravitational instanton // Phys. Lett.- 1979.-V.79B.- P.235-238.

87. Page D. and Pope C. New squashed solutions of d=ll supergravity // Phys. Lett.- 1984.-V.147B.- P.55-60.

88. Page D.N., Pope C.N. Einstein metrics on quaternionic line bundles // Class. Quantum Grav.- 1986.- V.3.- P.249-259.

89. Page D.N., Pope C.N. Inhomogeneous Einstein metrics on complex line bundles // Class. Quantum Grav.- 1987.- V.4.- P.213-225.

90. Wang M. Some examples of homogeneous Einstein manifolds in dimension seven // Duke Math. J.- 1982.- V.49.- P.23-28.

91. Wang M., Ziller W. On the isotropy representation of a symmetric space, in Proc. Conf." Differential geometry on homogeneous spaces, Torino (1983)" // Rend. Sem. Mat. Univ. Politcc. Torino, 1983.- P.253-261.

92. Wang M., Ziller W. On normal homogeneous Einstein manifolds // Ann. Sci. Ecole Norm. Super.- 1985.- V.18.- P.563-633.

93. Wang M., Ziller W. Existence and Non-existence of Homogeneous Einstein Metrics // Invent. Math.- 1986.- V.84.- P.177-194.

94. Wang M., Ziller W. Einstein metrics on principal torus bundles // J. Diff. Geom.- 1990.- V.31.- P.215-248.

95. Wang M., Ziller W. On isotropy irreducible Riemannian manifolds // Acta Math.- 1991.- V.166.- P.223-261.

96. Wolf J.A. The geometry and structure of isotropy irreducible homogeneous spaces // Acta Math.- 1968.- V.120.- P.59-148.

97. Wolf J.A. On Calabi's inhomogeneous Einstein-Kahlcr manifolds // Proc. Amer. Math. Soc.- 1977.- V.63.- P.287-288.

98. Yau S.T. On Calabi's conjecture and some new results in algebraic geometry // Proc. Nat. Acad. Sci. USA.- 1977.- V.74.- P.1798-1799.

99. Yau S.T. On the Ricci Curvature of a compact Kahler manifold and the complex Monge-Ampere equation I // Comm. Pure and Appl. Math.- 1978.-V.31.- P.339-411.

100. Yau S.T. Problem section, in Seminar on Differential Geometry, ed. S.T. Yau, Ann. of Math. Study N 102, Princeton Univ. Press, 1982.- Princeton.- P.669-706.

101. Zillcr W. The Jacobi equation of naturally reductive compact Riemannian homogeneous spaces // Comment. Math. Helv.- 1977.- V.50.- P.573-590.

102. Ziller W. Homogeneous Einstein metrics on Spheres and Projective spaccs // Math. Ann.- 1982,- V.259.- P.351-358.

103. Zillcr W. Homogeneous Einstein metrics, in "Global Riemannian Geometry", ed. N. Hitchin and T. Willinorc, Ellis Horwood, Chichester, 1984.