Группы ЛИ с левоинвариантными связностями и группы конформных преобразований псевдоримановых многообразий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК СССР СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ Институт математики

На правах рукописи

ПОДОКСЕНОВ Михаил Николаевич

УДК 512.816 + 514.765

ГРУШЫ Ж С ЛЕВОИНВАРЛАНТНЫМИ СВЯЗКОСТЯМИ И ГРУППЫ КОНФОРМНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПШДОРШАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЯ

01.01.04 - геометрия и топология

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук 0

Новосибгчск - 1989

Работа выполнена на кафедре геометрии и топологии Новосибирского государственного университета им. Ленинского комсомола

Научны.", руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Борисов Ю.Ф.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Гуц А. К. ,

кандидат физико-математических наук Улановский М.А.

Ведушая организация - Ленинградское*отделение Математического института им. В.А.Стеклова

Защита состоится "__"__19 года в "

__часов на заседании специализированного. совета

002.23.02 в Институте математики СО АЛ СССР ПО' адресу: 630 090, V. Новосибирск, 90, Университетский проспект, 4.

С диссертацией можно ознакомиться I библиотеке Института математики СО АН СССР.

г

Автореферат разослан "_"___ 1989 г.

о

Ученый секретарь специа- -зированного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. Десятки работ в 1955 - 1971 годах бшш посвящены решению с различными дополнительными предположениями известной гипотезы А.Лихнеэовича о том, что связное риманово многообразие, допускающее связную существенную группу конформных преобразований, конформгь деЦэо-морфно либо евклидову пространству, либо сфере. С наименьшим предположениями эта гипотеза была доказана Д.В.Але1:-сеерским [1] в 19' 2 г. В настоящее время предпринимаются попытки изучения псевдоримановых многообразий, допускающих связью существенную группу конформных преобразований. Некоторые результат» в этом направлении получены и в диссертация, Кроме того, в диссертации дополнен один из результатов Д.В.Алексеевского [5] , касающийся самоподобных ло-рекцевнх многообразий.

В работах С.П.Гаврилова, А.В.Левичева и других авторов широко изучаются группы Ли с левоинвариантной лоренце-вой метрикой в,качестве однородных космологических моделей При этом физически значимыми являются лишь.такие метрики, для которых выполнено так называемое "энергетическое условие". В диссертации доказывается,.что на любой группа Лл можно ввести левоннвариактнуа доренцеву метрику так, чтобы энергетическое-условие выполнялось; найдены все' конформно плоские левоинваркавшгее метрики на трехмерных группах Ли и среди них выделены метрики постоянной кривизны.

Хорошо известен классический результат о том, что любое аффинное преобразование евклидова пространства разлагается в композицию параллельного переноса, вращения, растяжения по координатным осям а , возможно, отражения. Естественным обобщением этой задачи является вопрос, поставленный А.]З.Левичевым: что можно сказать про преобразования групп Ли, переводящие одномерные смежные классы в о^.имер-ные смежные классы. Реяеюш этой задачи посвящена одна из глав диссертации.

Цель работы. Диссертация посвящена: - изучению гладких преобразований вещественных конечномерных групп Ли, переводящих дномерные сме.-гше классы в

одномерные смежные классы;

- изучению псевдоримановых июгообразкй, допускавших существенную группу конформных преобразований;

- к„учёнию свойств левоинваркантных лоренцевых метрик на группах Ли.

Методика исследования. Работа основана на применении дифференадаЯьН^-геометрическкс и алгебраических, методов, трад1Щио1шо чрпользуемых в теории групп Ли и групп гладких преобраз'ощий; по мере необходимости привлекаются методы линейной алгебра и дифференциальных уравнений.

Новизна и'практическая ценность работы. В диссертации получена"''следующие основные результаты: .

а) отписаны гладкие преобразования вещественных конечномерных групп Ли, переводящее одномерные смекные классы в одномерные смежна® классы; дан ответ на вопрос: в каком случае такир преобразования разлагаются в композицию лс лого сдвига, аряоморфизма и инверсии; '.,

б) найдены все конформно плоскле левоинвариантные метрики н^ трехмерных группах Ли " сред;и них .выделены мет-: рыки постойной кривизны; тем самым доказано,что левоинвариантные лорещевы метрики постоянной кривизны на трехмерных групрах Ли исчерпывается метриками , найденными: С.П.Гаврилорнм [2] ,и Х.Номвдзу [7]. ■ - ■•

в} доказано, что на любой группе Ли мо.кно ввести ле-воинвариант|1ую лоренцеву метрику так , чтобы энергет"чес-кое условие выполнялось; более подробно исследована " шгол-ш'д-.ость энергетичес .их условий для групп Ли,, содержащих коммутати^рую подгруппу коразмерности один;

г) опираны лоренцевы многоос^азкя с.однопараметричес-кой группой гомотетий, обладающей замкнутой изотропной орбитой; тем самым дополнен результат Д.В.Алегсеевского [5], касаюп»' Лея лоренцевых многообразий с огнопараметрической группо!. гомотетий, действующе1? бзз неподвижных точек;

д) доказано, что лоренцевы многообразия, допускающие существенную-'транзитивную группу конформных преоб-азований, являются конформно плоскими, кроме многообразий из одного вес-.ла узкого класса; каЛдз;;:: необходимые и достаточные

условия для того, чтобн такие многообразия допускали существенную однопараметри*.:скуга группу конформных преобразований.

Все основные результаты диссертации являются новлмл и могут быть использованы, для дальнейшего изучения псевдори-мановых многообразий с существенной группой конформных преобразований и групп Ли с левогнвариантн.ми лоренцевнтн метриками в качестве однородных космологических моделей.

Апробация раб о" ;. Результаты диссертации докладывались на Всесоюзной' конференции по геометрия "в целом"С Новосибирск, 1987) , на IX Всесоюзной геометрической конференции (Кишинев, 1988) , Международной конференции по алгебре (Новосибирск, 1985) и на семинарах кафедры геоматри*л и топологии Новосибирского государственного университета. ;

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [8] - [14] .

Объем работы. Диссертация изложена на 136 страницах машинописного текста и состоит из введения, пяти глав, списка литература, включающего 55 наименований, предметного указателя и указателя обозначений.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ. РАБОТЫ

Назовем группопрямыш или -прямыми одномерные смежные классы группы Ли (л , а преобразования |: С-— {£ ,

переводящие С -прямые в С, -прямые, мы назовем группоар- ; финнкми или • С-аффинными. Группы Ли всюду подразумевается конечномерными и вещественными.

В диссертаций приводится пример, показывающий, что группоаффишое преобразование может не быть непрерывным. Далее рассматриваются только гладкие преобразования V. под

С<Ю

.. _______________________________________________ . ;

Иззестно, что на группе Ли существует [3] единственная левоинварлантная связность без кручения, для которой

С—прягдыа, и только они, является геодезическими. Назове! ; ее естественной. .Проективные преобразования группы Ли .о „: естественной связностью, и только они, будут ...э гладкими

грутгоаффинными преобразованиями. Обозначим через (V) и соответственно группы проективных и аффинных пре-образ аний группы Ли С с естественной связностью V . Без ограничения общности можно считать, что С связна.

Говорим, что линейное преобразование А алгебры Ли -?/ сохраняет скобку [IX,У 1,2 3 , если выполнено

ЦАХ,/\Ч11А21=А11Х,Ч121 .(1)

для всех X , У , 2 & .

Т о о р е м а 1 , Пусть С? - связная группа Ли с естественной связность» V . Тогда

1) любоб группоаффинное преобразование £ : С-— £

является аффинные, лреобразованием естественной связности;

2) если 11 - нормальная окрестность точки ре G и

Ав(У), то

и $(!>))•/<'*.-(» (2)

где 1.(<Х) - левый сдвиг на элемент , »

^ ех/> • А • ех/>"' з

л Л - линейное преобразование алгебры Ли ^А группы Ли С , сохраняющее скобку С [ X , У ], 21 .

3) Обратно, если - аналитическое преобразование группы Ли (2 , и в некоторой окрестности 1С точки р & (л £ определяется формулами (1) - (3) , т;> | е /¿(V).

Будем говорить, что группа Ли 6' является аффинно простой, если любое ее G -аффинное греобразорение разлагается в композицию левого сдвиге., автоморфизма и .возможно инверсю. Назовем алгебру Ли аффинно -ростой, если для любого ее линейного преобразо: шия А , удовлетворяющего (1) , выполнено одно из следующих условий: [АХ , А У1 ~ '~АСХ,У] для всех или

для ?сех X, У & ^ .

Теорема 2. Если алгебра Ли связкой группы Ли С?

гффинно проста, то груши Ли С аффинно проста. Односзяз-яая группа Ли яьляетсл Выслано простой тогда и только тогда, когда ее алгебра Ли является аффинно простой.

Классификацию трехмерных алгебр Ли мояно найти в [41.

ТеоремаЗ. Все трехмерные алгебры Ли, кроме алгебр II и VIII типов и подтипов . классификации Биаюта, являются аффинно простыми. Связная трехмерная группа Ли является аффинно простой тогда и только тогда, когда оз алгебра Ли является аффинно простой.

3 главе 2 работы Д.В.Алексеевскою [5] изучаются ло-ренцены многообразия (М>Я) » допускающие эднопарамэтри-чесчую группу гомотетий ф - {^] .действующую без неподвижных точек. При этом предполагается, что (М, ££) - причинное лоренцево .многообразие. На самом дело используется лишь то, что'?5 не имеет замкнутых изотропных орбит.

Теорема 4. Пусть (Л/,-гладкое лоренцево многообразие» обладающее однопараметрической группой гомотетий ф ~ [ $ ) . Если ф не имеет неподвижных точек и обладает нетривиальной замкнутой изотропной орбитой &*(•£•),то

1) орбита является геодезической в М ; 4

2) существует такое гладкое расслоение- Л /V--—о ,

что каддый слой — # "{319 ¿¡"{¿)) диффеоморфен ¡к и является вполне геодезическим подмногообразием в 14 , индуцированная метрика на котором.вкрозздена и является полуевклидовой; при этом & отображает диффеоморфно 1т на базу расслоения 3 , а отображает диффеоморфно и го-г мототично

на Рц+Ь •

3) если М ориентируемо, то расслоение Л тривиа'хь-но; в этом случае существует такая глобально определенная система координат (X, , у" ,3 ) на N , где координата "Ж - циклическая с периодом 6„ > О , что

а) действие группы Ф определяется по формула "

СX,^,2-)«С, )У(г¿)(тосСЬ,)),

где ) - однопараметрическая подгруппа магриц из '! ■

О(л-г) , и , ;

?

б) ¡¿еурика ^ определяется формулой

где £ р?^ , а Г2) и ¿2) = % С2) , ,/ =

' - 2,..., п ~ * - произвольные гладкие функции, периодичные с периодом 1С >0 , удовлетворяющие условию Р(2 + —

4) если А/ неориентируемо, то существует такое гладкое двулистное изометрическое накрытие с1 '• М--- /Ч , что

/С/ ориентируемо, удовлетворяет всем условиям теоремы, и соответствующее расслоение . тривиально. .

Обозначим ч роз 71 класс многообразий с глобально определенной системой координат (.Х - X*, у' - Xе, X'1-I —2,... }П"( , метрика в которой определяется формулой (4) . К этому классу принадлежат такие ьшогообразия,рассмотренные в §7 из [5]. В диссертации изучается геодезическая полнота многообразий из класса 'Д. , вычислены тензоры кривизны, Риччи и Вейля и найдено условие необходимое и достаточное для того, чтобы такие многообразия являлись конформно плоскими.

Группа С конформных преобразований псевдориманова многообразия (Ж,^) называется несущественной, если существует такая метрика ^ на М , конформно эквивалратная $ , что (г будет группой изометрий многообраз' а (А/, , и существенной - з противном случае, '.¡окне считать, что многообразие А/ связно. Будем обозначать через (¿р и соответственно стационарную подгрупп:" группы С в точке р €. А/ и компоненту связности -единичного а;, эмекта группы С . Назовем элемент (2 существенным, если ^ е для не> оторого р<£ А/ и не из^ме?рично . Группу

конформных преобразований б удом называть сильно существенной, если она содержит существенный элемент. Обозначай через Ъ£((л) масс псевдориглановых многообразий со сеязной трг-'зитквной группой 0 конфорулих преобразований.

Лемма 1 . Если ГА/, 9) е ¿f^) , то группа Ли G

конформных преобразовании является существенной тогда и только тогда, когда она является сильно существенной.

£.В.Алексеевским Ш было доказано, что, если связная группа С? конформных преобразований риманова многообразия (М,д) существенна, то G допускает существенную одно-параметрическую группу конформных преобразований, имеющую неподвижную точку и являющуюся подгруппой в С .Примеру, приведенные в диссертации, показывают, что в случае лорен-цевих многообразий с нарушением условия причинности такое утверждение неверно дане, если G транзптивна на М . Эт же примеры показывают, что на случай, таких многообразий не переносится и лемма 4 из (1) , утверждающая, что, если { ржаново многообразие и (Gр )„ несущественна для некоторого р е. М , то и группа ¿ несущественна. Будем называть псевдориманово многообразие причинным, если оно не содержит замкнутых изотропных кривых.

Л е м м а 2 . Пусть G - сильно существенная группа конформных преобразований многообразия (M,Cj) и ^е. И -~Gf> - существенный элемент.

а) Если tf<£ Не , то в Q найдется сильно существенная однопараметрическая подгрзтша конформных преобразований.

б) Вели (М,а) -причинное псевдориманово многообразие, то любая сильно существенная однопараметрическая подгруппа ф из С* имеет неподвижную точку р е. М . . т.е. ( Д/, д ) допускает сильно существенную однопараме^ричеекую подгруп-' пу Фс(х конформных преобразований тогда и только тогда, когда найдется существенный элемент, принадлежащий Нс .

Теорема 5» Пусть - однородное псевдорима-

ново многообразие, обладающее группой S конформных преобразований. Тогда 1 ,

а) (l4,Cj) допускает существенную транзитивную группу конфоршнх преобразований;

б) если группа S связна, го допускает связную существенную транзитивную группу ь конформных преоб- 1 разований, которая содержит" сильно судественную одноrapa- : метрическую подгрут , обладая^ j неподвижной лочксй.

Теорема 6 . Пусть (M,gU ¡¿(G) и п - «/>• для некоторого р<£ Д-/ . Если груш . Н/Ие конечна( в частности, если фундаментальная группа конечна) , то (М допускает сильно существенную однопараметрическую группу преобразований.

Пусть F - гомотетичное преобразование пространства' Мянкснекого ^ размерности и с естественным скалярным произведением , > . Если F не является ни сжимавшим, ни растягивающим, то в подходящем базисе В из L преобразование определяется матрицей

S, 4е1*), -0 >0 is)

где S е. О(к-2)ъ 4 - i 1 .Будем говорить, что гомотетия F: L-, ;еот характеристику

если в некотором базисе В преобразование F определяется матрицей (5) с 2jh/t}-cL при К >£ , и матрицей (5) с 3ju/i)-o(. при п =3 . Если JH — -0—0 , то считаем, что *l(F)**0 .Заметим, что . Если ,

то F является иземетрией.

Теорема 7. Если псеадориманово многообразие (IU, Cj) обладает существенной транзитивной группой G конформных преобразований, то скалярный квад;ят тензора Вейля многообразия (№,<$) равен нулю. Если при этом -лоренцева метрика, то (М} является конформно плоским, кроме, может быть, случая, когда для всех ре/Ц выполнено уловка СА)G {0,4,2} для всех рё Д/ и <| £ Gp . Предложение 1. Пусть (М, Cf) <£ аС (G ) .где группа Ли G существенна и (JLi.rn. fH ~ П >3 . Пусть . р -произвольная точка из {Ц и Н - (?,> . Тогда кошонента связности" Нс является сильно существенно;., кроме, может быть, случая, когда для всех р £ N выполнено условие (А, Е /сть - риманово гли псев^риманово многооб-

разие, а { X1,,,., Кл} -нбкоторыЗ базис векторных полей б " -окрестности Мс.М . Известно, что, если dim M = то тензор Во.Ъчя многообразия (' А/, тоадествеьно равен ну. В этос,! случае ого роль выполняет тензор W тепа

1.0

(0.3), определяемый равенством

где -

компоненты ковариантного дифференциала тензора Рич-

чи 5 и £ • —Х^ . Многообразие размерности

3 является конформно плоским тогда и только тогда, когда тензор V/ является нулевым. Если в качестве СУ, рассмотреть группу Ли С с левоинвариантной метрикой ^ , то относительно базиса /Х,,Х2,Х3 ] левознвариантных векторных полей на (а виполк чо

Будем говорить, чтс в базисе кашутаци-

. онные соотношения трехмерной разрешимой алгебры Ли определяются матрицей

'л У ~ > о

■ если выполнено

[•Х„Х43= р.

Кроме Т'„ о, нам понадобятся следующие виды коммутационных соотношений: ■

£*1.х>л,х<, г1КМ-АЛ;

11

.Теорема 8. Есе конформно плоские лесоишзариентные ! метрика ва трехмерных некоммутативных грушах Ли определяются следующими таблицами. 1. Римановы метрики.

ТАП Биаяки коммутационные соотношения в ортонормированном базисе примечания

111 0 С _ •

V " • ' оС £? _ О оС эйнштейнова

УПС Го Л " 1 -Л 0 плоская

VII об А эйнштейнова

IX (7) при Л, = = бни-вариантная эйнштейнова

2. Лоренцевы метрики

™ил Кианки коммутационные соотношения в ортонормированном базисе времени-шдобный вектор примечания

II (8) при = X, плоская

111 аС 00 О или Х2или л

III оС оС об Ы- эйнштейнова

С о(, __ 0 (А, _ х,

(8) при 0 X, плоская

(8) при § = X.,

IV (8) при оС~ & — С, р ~0 х, плоская

V " А 0 " _0 0С _ X, или Хз э1Ьлвтейнов£1

(.0) при оС~6ф о,р=$=о X, плоска

VI. П/+А 4-х . а / , . 4 Хе.С-1,4) 4-Х 4+А X, эйнштейнова

У • X/

(8) "ри оС-Ь>0,с1*6 X,

Ч о р Р с _ X, плоская

(дУпрп X,

VII сС Р ~Р аС X, эйнштейнова

Щ 0 А -А 0 X, плоская

X. .

УЛГ (•?) при -А^А^Л-д биинвариантная эйнштейнова

Любая метрика постоянной кривизны является конформно таоско?. Поэтому из теоремы.8 вытекает» что все левоинвари-антные лоревдевы метрики постоянной кривизны на трехмерных .. группах-Ли .исчерпываются пр1. ..ерами, приведенными в работах [21 и [71 о В диссертации доказывается, что трехмерные груп-''. - т Ля II , IX типов Бланки и VII типа с инвариантом Мил-нора [61 ф > Ц являются единственными некоммутативными .'■ грушпия: Ли, для которых существуют ограничения на возможные значения скалярной кривизны левоинвариантных лоревде-вык метрик»

Пусть ( М, (£) - пространство-время, т.е. лоренцево многообразие, допускающее ориентацию во времени. Пусть (£* -тензор Ркчче метрики ^ , а ^ - скалярная кривизна. Тогда тензор Эйнштейна определяется по формуле Т(К, У) У)"

$(Х, У) • . Физически значимыми являются лишь такие лоренцевы метрики, для которых выполняется "энергетическое условие"; Тр (Х,Х) ^ О для любого и любого вре-

мешподобного вектора Л<£ ТрМ - _

Теорема 9, На любой некоммутативной группе Ли 6 . можно задать левоинвариантную лоренцеву метрику так, что энергетическое условие будет выполняться; при ""том , если ,. сИт С? > 2 , то дая любого времениподобного векторного . лоля X тензор Эйнштейна , будет строго положителен:

,('\Т{Х,Х)>/с-$(Х,Х) . . с-сам-Ь .

V 'д. В диссертации более подробно рассматривается случай

• 'групп Ли, содержащих коммутативную,подгруппу коразмерности

• одга. Кроме того, получен ряд утверздений о кривизнах ле-воннвариантных лоренцевых метрик на группах Ли и произведено сравнение с аналогичными ¿лззультатами из обзора [63 . для случая римановых метрик.

ЛИТЗРАТ7РА.

1. Алексеевский Д.1З. Группы конформных преобразований римановнх пространств // Мат.сб.- 1972.- Т.39, В2.~ С.280-296.

2. Гаврилов С.П. Левсинвариантнш метрики на одноо-вязных трехмерных разрешимых группах Ли // Гравит. и теор. относит. Казань 1935.- Был.22.- С,31~<54 .

3. Кобаяси Ш., Номадзу К. Основы дифференциально?, .геометрия.- М.: Наука, 1983.- Т.2.

4. Петров А.З. НоЕые методы в общей теории относ:*-тельности.- М.: Наука, 1963 .

5. йкЬиок/д^ £>. М£к.гш£аъ (¿пе/Жссм. тс*ги£о&-и // а,т. Ша£ йпа?. %от. - /т. -КЗ, //* /. -Р.

6. ПШпСк X Сюгиа1ылШг ^¿'¿ыГа.'ист{ тЫсь сп }&г %*си(&//СШ. т^к. -т9,-У-2<--Р. 293-329.

7. ¡Ъггй^и К. т&ЬлйА- оп. & рси^ // От&г У. Шк.

Работы автора по теме диссертации

8. Подоксенов М.Н. Кривизны девоинварианть^х лоранцо-ёьх метрик на группах Ли/'/Всес. конф. по геометрии ив целом", Новосибирск, 28-30 сент. 1987. Тезисы докладов,- Новосибирск, 1987.- С.97.

Э. Подоксенов М.Н. О выполнимости энергетических условий при левоинвариантных лоренцевых метриках на группах Ли //Матем.анализ и дискр.узгеуатика.- Новосибирск, 1-38.-С.53-58.

Ю. Подоксенов М.Н. Об овдом классе преобразований групп Ж.//Ж Всес.геом.конф., Кишинев, 20-22 сент. 1988. Тезисы сообщений.- Кишинев, 1983.- С.249-250.

11. Подоксенов М.Н. Об одном классе преобразо" аний групп Ли//Сиб.мат.ж.- 1^39— Т.30, №3,- С.97-102.

12. подоксено^ М.Н. Лоренцево многообразие с одкопа-раметрической группе4 гомотетий,обладающей замкнутой изот--

ропной орбитоЙ.//Сиб.мат.н.- 1989.- Т.ЗО, С.135-137.

13.' Подоксенов II. Н. Псевдорикановы многообразия с существенной группой конформных преобразований; Ред."Сиб. мат.ж."- Новосибирск, 1988.- 26с.- Деп. в ВИНИТИ 26.05.89, & 4201-В89.

14. PodofnyonotX fll.TL. Tuim^ccmaiten^ p^'stie tzxcup-S-, that map cm-dwiznitiorud ccseU into cnz-ctimz, iCcncI cacfe // Мсжсщкар. ¡¿GKp. ¡u> cut'idfx. , 21-25 ahffcrria i9$9. Te^iwt- ru> теории ксиец, ажгеёр

U, bOcffifYt&t.-, 1989. ~c. 205.