Уравнения Янга-Миллса на 4-мерных многообразиях конформной связности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи

ЛУКЬЯНОВ Вячеслав Анатольевич

УРАВНЕНИЯ ЯНГА-МИЛЛСА НА 4-МЕРНЫХ МНОГООБРАЗИЯХ КОНФОРМНОЙ СВЯЗНОСТИ

01.01.04- геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

15 ЯНВ 2015

Казань - 2015

005557163

Работа выполнена на кафедре «Информатика и общепрофессиональные дисциплины» Заволжского филиала ФГБОУВПО «Нижегородский государственный технический университет им. Р. Е. Алексеева»

Кривоносов Леонид Николаевич,

Научный руководитель: кандидат физико-математических

наук, доцент

Официальные оппоненты:

Фролов Борис Николаевич,

доктор физико-математических наук, профессор кафедры теоретической физики ФГБОУ ВПО «Московский педагогический государственный университет»

Балащенко Виталий Владимирович,

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры геометрии, топологии и методики преподавания математики Белорусского государственного университета, г. Минск

ФГАОУВО «Нижегородский Ведущая организация: государственный университет

им. Н.И. Лобачевского»

Защита диссертации состоится 19.02.2015 в 16.00 на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 при ФГАОУВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет» по адресу: 420008, Казань, ул. Кремлевская, 35, ауд. 610.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н. И. Лобачевского по адресу: 420008, Казань, ул. Кремлёвская, 35 и на сайте \wvw.kpfii.ru. Автореферат разослан_ _2015 г.

Учёный секретарь диссертационного совета Д 212.081.10, кандидат физико-математических наук, доцент

Липачёв Евгений Константинович

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования

Пространства конформной связности были введены Э. КартаномИ в 1923 году вскоре после создания общей теории относительности, где А. Эйнштейн объяснил гравитационное взаимодействие с помощью тензора кривизны псевдориманова 4-мерного многообразия. В 1918 году Г. Вейль для моделирования не только гравитационного, но и электромагнитного взаимодействия рассмотрел более общую геометрическую схему: 4-мерное многообразие, в касательном слое которого вместо группы Пуанкаре движения квадратичной формы действует более широкая группа подобияЕВ. Конформная группа, рассматриваемая в данной работе, также более широкая, чем группа Пуанкаре.

Геометрически близкими к теме диссертации являются работы М. Павшичай и P.JL ИнгрэхемаШ Как и в настоящей работе, они рассматривают более широкую группу, чем группа Пуанкаре, 15-параметрическую группу ортогональных преобразований 50(4,2). Павшич назвал такую модель «конформным релятивизмом». Однако у Павшича и Ингрэхема уравнений Янга-Миллса не возникает. В работах А. В. СтоляроваЕБ изучается геометрия пространств конформной связности, также без уравнений Янга-Миллса.

В диссертации показано, что, в отличие от псевдориманова многообразия или многообразия Вейля, на 4-мерном .многообразии М конформной связности П имеется лишь один инвариантный функционал действия, квадратичный по кривизне Ф, — это функционал Янга-Миллса. Равенство нулю его вариации равносильно уравнениям Янга-Миллса d * Ф + ПА * Ф -* ФАП = О,

где * - оператор Ходжа.

1. Картин, Э. Пространства аффинной, проективной и конформной связности / Э. Картан - Издательство Казанского

университета, 1962. - 210 с.

2. В Вейль. Г. Гравитация и электричество / Г. Вейль // Альберт Эйнштейн и теория гравитации. - М: Мир, 1979. - С.

513-523.

3. Вейль, Г. Пространство. Время. Материя / Г. Вейль // Лекции по общей теории относительности. - М.: Эднторнал

УРСС, 2004.

4. Pavsic, М. Unified Theory of Gravitaticn and Electromagnetism, Based on Confcrmal Group SO(4,2) / M Pavsic // Nuovo

Cim. - 1977. - Vol. 41B. -N2. - P. 397-427.

5. Ingraham, R.L. Ccnfcrmal Relativity / K.L. Ingraham // Nuovo Cim. - 1978. - Vol. 46B. - N 1. - P. 1 -15; 1978. - Vol. 46B. -

N 1. - P. 16-32; 1978. - Vol. 46B. - N 2. - P. 217-260, 1978. - Vol. 46B. - N 2. - P. 261-286; 1978. - Vol. 47B. - N 2. - P. 151-191; 1979. - Vol. 50B. -N 2. - P. 233-270.

6. Ingraham, R.L. Free Field Equations of Confcrmal Relativity in Riemannian Formalism. 1-П / R.L. Ingraham // Nuovo Cim. -

1982. Vol. 68B. - N 2. - P. 203-217; 1982. - Vol. 68B.-N2. - P. 218-234.

7. Столяров, A.B. Внутренняя геометрия норм алтее энного конформного пространства / A.B. Столяров // Извесшя вузов. Ма-гематтпса. - 2002 -№11. -С. 61-70.

8. Столяров, A.B. Пространство конформной связности / A.B. Столяре» // Известия вузе®. Математика. - 2006. - №11. -С. 42-54.

9. Постников, М.М Лекции по геометрии. Семестр IV. Дифференциальная геометрия: Учебное пособие для вузов / ММ. Постнике» -М.: Наука, 1988. -496 с.

Заметим, что первоначально уравнения такого вида назывались уравнениями Янга-Мшшса только для SU(2)-связностей, однако в последние десятилетия в математической литературе такое название используют и для любых других связностей (см., например, учебник M. М. Постникова!! с.381). Связности, удовлетворяющие уравнению Янга-Миллса, называются там калибровочными полями. В случае 51/(2) калибровочные поля называются полями Янга-Мшшса.

Уравнения Янга-Миллса на 4-мерных многообразиях конформной связности - это система из 60 дифференциальных уравнений 2-го порядка на 60 неизвестных функций от 4 переменных. Решение уравнений Янга-Миллса ввиду их нелинейности - процесс сложный и трудно алгоритмизируемый. В пространстве конформной связности при решении уравнений Янга-Мшшса возникает дополнительная трудность: отсутствие автодуальных и антиавтодуальных решений.

Дело в том, что большая часть современных исследований посвящена изучению пространств, где оператор Ходжа инволютивен, т.е. ** Ф = Ф. В таких пространствах возможна ситуация, когда * Ф = Ф или * Ф = —Ф. В этом случае уравнения Янга-Миллса будут выполняться автоматически, в силу тождеств Бианки. Такие решения уравнений Янга-Миллса называются соответственно инстантонами и антиинстантонами. Отысканию такого рода решений посвящена значительная часть современной литературы по уравнениям Янга-МиллсаьТЗЗЗ. На многообразии, рассматриваемом в данной работе, оператор Ходжа не является инволютивным, здесь ** Ф = — Ф, что приводит к отсутствию автодуальных и антиавтодуальных решений.

Близкими к теме данного исследования являются работыРВД где уравнения Янга-Миллса рассматриваются на 4-многообразии, оснащённом конформным классом эквивалентности метрик [</]. Во всех этих работах рассматривается так называемая нормальная конформная связность Картона, на компоненты которой с самого начала накладываются условия, равносильные уравнениям Эйнштейна. И у самого КартанаО в понятие нор-

10. Агуароог, M Self-dual Yang-Mills Equations in Split Signature / M. Aryapocr // arXiv: 0902 0633vl [math.DO], - 2009.

11. Harland, D. Instantons and Killing Spinors / D. Harland, C. Noll // arXiv: 1109.3552v2 [hep-th]. - 2011.

12. Ivanova, T.A. Instantcn.4 and Yang-Mills flows cïl coset spaces / T.A. Ivanova, О. Lechtenfeld, A.D. Popov, T. Rahn //Lett.

Math. Phys. - 2009. - N 89. - C. 231 -247.

13. J Brodel, J. Construction of noncommutative instantons in 4k dimensions / J. Brodel, T.A Ivanova, О. Lechtenfeld // Mod

Phys. Lett - 2008. -№ A23. - C. 179-189.

14. Merkulov, S.A. A conformally invariant theory of gravitation and electromagnetism / S.A. Merkulov //Class. Quantum Grav.

- 1984. - VoL 1. -P. 349.

15. Меркулов, C.A. Твистсрная связность и конформная гравитация / С.А. Меркулов // ТМФ. -1984. - Т. 60. - N"2 - С.

311-316.

16. Kcrzyjnski, M The Normal Conformai Cartan Connection and the Bach Tenser / M. Korzyjnski, J. Levandowski // arXiv: gr-

qc/0301096v3. - 2003.

мальной конформной связности включено условие = 0, равносильное уравнениям Эйнштейна (с. 178).

В статье С. А. Меркулова!"] без вывода указаны уравнения Янга-Миллса, сводящиеся к равенству нулю тензора Баха. Кроме того, у Меркулова в спинорную связность включён другой вид условий, содержащий тензор электромагнитного поляН. Для этого случая также записан вид уравнений Янга-Миллса. В 2003 году Коржинский и ЛевандовскийНЗ продолжили исследования, начатые Меркуловым, приведя вывод уравнений Янга-Миллса, и найдя их решения в случае метрики Феффермана.

В отличие от предшественников, в диссертации не требуется выполнения условий Картана = 0. Кроме того, здесь рассматривается многообразие конформной связности в первоначальном (более широком) смысле, в том, который ему придал Картан. В этом случае метрики на всём многообразии не существует, она существует лишь локально, а в областях пересечения координатных окрестностей эти метрики конформны друг другу. Всё это существенно отличает результаты диссертации от результатов указанных выше работ.

Пространство, рассматриваемое Меркуловым, Коржинским, Левандов-ским и другимии] — это псевдориманово многообразие, являющееся всего лишь одной локальной картой пространства, рассматриваемого в данной работе. Здесь показано, что на 4-многообразии конформной связности имеется единственный функционал действия - функционал Янга-Миллса. Уравнения его экстремалей - уравнения Янга-Миллса — при отсутствии кручения без всяких дополнительных условий распадаются на уравнения Эйнштейна, уравнения Максвелла и уравнения Баха. В работах же Меркулова, Коржинского и Левандовского уравнения Эйнштейна фактически постулируются. Другие работы, в которых бы уравнения Эйнштейна и Максвелла получались как составные части уравнений Янга-Миллса, автору не известны.

Цели и задачи исследования:

1) получение уравнений Янга-Миллса на 4-многообразии конформной связности, доказательство их единственности;

2) упрощение (редукция) системы уравнений Янга-Миллса для двух частных случаев: пространства конформной связности без кручения с дополнительным условием Ф° = 0 и без него;

3) нахождение решений уравнений Янга-Миллса для некоторых видов метрик.

17. Gallo, Т. Cartan Normal Ccnformal Connections frcm Pairs of 2nd Order PDEs / T. Gallo, С. Kozameh, E.T. Newman, K. Perkins // arXiv:gr-qc/0404072vl. - 2004.

Объект исследовании

Диссертация посвящена изучению геометрии 4-мерного многообразия, конформная связность которого удовлетворяет уравнениям Янга-Миллса.

Методы исследования:

1) метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии;

2) методы вариационного исчисления;

3) методы решения дифференциальных уравнений.

Научная новизна

В диссертации доказаны следующие утверждения.

1. На 4-мерном многообразии конформной связности имеется лишь один инвариантный функционал действия, квадратичный по кривизне — функционал Янга-Миллса.

2. Уравнения Янга-Миллса в пространстве конформной связности без кручения при дополнительном условии = 0 сводятся к системе из двух групп дифференциальных уравнений: 10 уравнений Эйнштейна и 9 уравнений, представляющих собой равенство нулю тензора Баха.

3. В пространстве конформной связности без кручения при дополнительном условии Ф§ = 0 получено полное (общее) решение уравнений Янга-Миллса для центрально-симметрической метрики. Оно выражается через эллиптическую -функцию Вейерштрасса. Приведён ряд частных решений, выражающихся через элементарные функции и обобщающих известные решения Коттлера и Шварцшильда.

4. Уравнения Янга-Миллса в пространстве конформной связности без кручения без дополнительного условия сводятся к трём группам. Кроме уже известных двух групп уравнений появляется третья - уравнения Максвелла. В таком пространстве получены уравнения Янга-Миллса для чисто временной метрики. Приведено два класса частных решений.

Степень обоснованности результатов обусловлена корректностью построения математической модели, основанной на теории расслоённых пространств, строгим использованием математического аппарата внешних форм Картана и решения дифференциальных уравнений.

Апробация результатов

Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались на научных семинарах:

• кафедры прикладной математики Нижегородского государственного технического университета им. Р. Е. Алексеева (15 апреля 2010 года);

• кафедры геометрии Казанского (Приволжского) федерального университета (4 мая 2010 года);

• кафедры общей теории относительности и гравитации Казанского (Приволжского) федерального университета (28 мая 2010 года);

• Российского гравитационного общества (МГУ, 02 декабря 2010 года);

• кафедры геометрии и математического моделирования Казанского (Приволжского) федерального университета (7 декабря 2011 года);

• кафедры геометрии и высшей алгебры Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского (23 марта 2012 года);

• кафедры геометрии, топологии и методики преподавания математики Белорусского государственного университета (25 марта 2014 года);

и научных конференциях:

• IX конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения в математическом моделировании» (Саранск, 1-3 июля 2010 года);

• вторая международная конференция «Математическая физика и её приложения» (Самара, 29 августа - 4 сентября 2010 года);

• международная конференция «Petrov 2010 Anniversary Symposium on General Relativity and Gravitation» (Казань, 1-6 ноября 2010 года);

• международная конференция «Нелинейные поля в теории гравитации и космологию) (Казань, 21-26 октября 2013 года).

Публикации

Основные результаты диссертационной работы содержатся в 4 статьях, опубликованных в журналах, входящих в перечень ВАК РФ. Названия этих статей (первые 4 в списке), а также других публикаций автора по теме диссертации приведены в конце автореферата. В сжатом виде некоторые результаты опубликованы в тезисах упомянутых выше конференции.

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из Введения, четырёх глав, Заключения и списка литературы. Общий объём работы - 92 страницы. Список литературы содержит 55 наименований.

Содержание диссертации

Во Введении даётся обоснование темы диссертации и её актуальности, а также определены основные цели диссертации.

В I главе данной работы рассматриваются квадрики 5-мерного проективного пространства Р5 с различной сигнатурой. Группой инвариантности любой из этих квадрик является 15-параметрическая конформная группа С(р, ц) где р + q = 4. Приводится описание её 11-параметрической подгруппы стационарности, т.е. подгруппы, оставляющей на месте фиксированную точку квадрики. Эта подгруппа состоит из преобразований перенормировки, нормализации и преобразования Лоренца. Вводится понятие конформной связности

П =

и кривизны

/"8 0>! 0)2 С03 <У4 0 \

w1 0 со* / .3 а>1 (йг

Ü)? 0 , ,3 —0)2 —OJ2

(t)3 со{ О»! 0 -0)1 -CÖ3

а>4 <0*1 Сх)\ 6J3 0 —со 4

V 0 О)1 -6J2 -w3 -со4 -о>\У

/Фо° Фг Ф2 Фз ф4 0

ф1 0 Ф? фЗ Ф1

ПАП = ф2 ф2 0 -фЗ ~Ф42 -Ф2

ф3 фЗ фЗ 0 -Фз

Ф4 Ф? Ф2 Ф| 0 -ф4

V о ф1 —ф2 —фЗ -Ф4 -Ф°о/

на дифференцируемом 4-мерном многообразии (матрицы связности и кривизны здесь приведены для случая С(3,1), рассматриваемого в следующих главах).

В п. п. 2 и 3 диссертации доказано, что существуют лишь две внешние 4-формы, являющиеся инвариантами конформной связности П - это следы

Сг(ФДФ) и £т(* ФДФ). Однако лишь вторая из них в общем случае не имеет глобальной первообразной 3-формы и может быть использована для составления функционала действия

I = / tr(* ФДФ).

В п. 4 доказано, что требование равенства нулю вариации этого функционала,

51 = О,

равносильно уравнениям Янга-Миллса

с* * Ф + ПА * Ф -# ФДП = 0.

В развёрнутой записи уравнения Янга-Миллса на 4-мерном многообразии конформной связности представляют собой систему из 60 нелинейных дифференциальных уравнешш 2-го порядка в частных производных на 60 неизвестных функций от 4 переменных. Эти 60 искомых функций есть не что иное, как компоненты 15-ти различных пфаффовых форм со®, й>(> (>Н и со1 связности П (здесь и везде далее все индексы принимают значения от 1 до 4, по одноимённым верхним и нижним индексам предполагается суммирование). Каждая из этих 15-ти 1-форм раскладывается по дифференциалам локальных координат с^, йх, с1у, йг, следовательно, имеет 4 компоненты.

Система чрезвычайно сложная, поэтому для её решения необходимо накладывать некоторые упрощающие условия. Однако эти условия должны быть конформно-инвариантными, иначе (после трудоёмкой вычислительной работы) получится лишь тривиальное решение, то есть когда кривизна Ф = 0. В пространстве нулевой конформной кривизны (конформно-плоском пространстве) уравнения Янга-Миллса выполняются тривиальным образом, однако, даже для получети такого тривиального (конформно-плоского) решения иногда нужно решить достаточно сложную систему.

В п. 5 приведены простейшие примеры многообразий конформной связности: квадрики в проективном пространстве Р5. В зависимости от сигнатуры квадрик получаются три различных примера. Действие оператора Ходжа, вообще говоря, является локальным, т.е. в пределах одной координатной окрестности. Доказывается, что даже на этих простейших многообразиях конформной связности оператор Ходжа глобально определён лишь с точностью до знака.

Результаты, полученные в I главе данной работы, опубликованы в [11!].

Во II главе диссертации рассматривается частный случай пространств, введённых в I главе, а именно, расслоённое пространство со структурной группой С(3,1). Только такая сигнатура структурной группы приводит к метрике

-(ш1)2 + (со2)2 + (ш3)2 + (со4)2 = циш1о}1,

0 0 0\

1 0 0 \_

0 1 0

0 0 1/

где

ы=

тензор Минковского. В этой главе разобран простейший случай, в котором можно получить нетривиальные решения уравнений Янга-Миллса. Здесь накладываются следующие упрощающие условия.

Во-первых, предполагается, что <±>о = 0. Этого всегда можно добиться благодаря существованию конформного преобразования нормализации. Тем самым количество искомых функций уменьшается на 4. Во-вторых, предполагается, что Ф1 = 0, / = 1,2,3,4 (такое пространство конформной связности называется пространством без кручения). Это требование является конформно-инвариантным, так как при любых конформных преобразованиях компоненты тензора кручения Ф1 преобразуются только через самих себя. Наконец, в-третьих, накладывается требование Ф° — 0. Это также конформно-инвариантное условие, так как в пространстве без кручения 2-форма Ф° не меняется при конформных преобразованиях.

Доказывается (п. 10), что при этих дополнительных условиях 6 пфаффовых форм <о{ связности П перестают играть самостоятельную роль и выражаются через со1 с помощью формул Кристоффеля. Тем самым количество искомых функций в системе уравнений Янга-Миллса сокращается на 24. В п. 10 также показано, что функции (коэффициенты разложения форм o)i по базисным формам 6j') являются симметричными, т.е.

(öi = bijö)1, Ьи = bji. Это означает, что неизвестных функций уже не 16, а только 10.

Количество уравнений Янга-Миллса также можно существенно уменьшить. В п. 9 доказано, что уравнения Янга-Миллса вида

d* ф/ + Щ\ * Ф/ -* Ф/ДП = 0 являются следствиями остальных уравнений, поэтому их можно отбросить.

В итоге проведённых во II главе вычислений оказалось, что число искомых функций сокращается до 20, а число независимых уравнений системы - до 19. Это 10 уравнений Эйнштейна

1

Rij = 2bij+~Rtlij, R = r]lJRij и 9 уравнений, состоящих в равенстве нулю тензора Баха

1тп (-ь(Ш.т„ + Vn)K(P0)n) ~lRkij) + bxm = о (индексы после запятой обозначают ковариантные производные, Rfjn — компоненты тензора Римана).

Если из первой группы уравнений выразить функции и подставить полученное выражение во вторую группу уравнений, то все уравнения Ян-

га-Миллса сведутся к 9 дифференциальным уравнениям, но уже не 2-го, а 4-го порядка. Искомыми функциями в этом случае являются только 10 функций gij, компонент метрики

r¡ijü)lojj = gijdxldx^, записанной в голономном базисе. Поэтому уравнения Янга-Миллса в пространстве конформной связности без кручения полностью определяются метрикой, т.е. пфаффовыми формами ш1. Принципиально иная ситуация возникает в пространстве с кручением, где 1-формы cúf не выражаются через о/ по формулам Кристоффеля, а начинают играть самостоятельную роль.

Во II главе диссертации также доказаны следующие результаты.

1. Метрика любого пространства Эйнштейна (когда R¡j = xrjij, Rij - тензор Риччи, х = const) может быть принята за метрику пространства конформной связности без кручения, где = 0 и выполняются уравнения Янга-Миллса. При этом форма конформной кривизны Ф выражается только через тензор Вейля кривизны метрики пространства Эйнштейна.

2. Любая метрика Фридмана-Робертсона-Уокера в пространстве конформной связности без кручения даёт лишь конформно-плоское решение уравнений Янга-Миллса. При этом для тензора энергии-импульса получается диагональная матрица с двумя параметрами, р и р, трактуемыми в космологии как плотность энергии и давление. Тензор энергии-импульса, получившийся в результате решения уравнений Янга-Миллса (т.е. геометрическим способом), совпадает с тем, что получается из физических соображений.

Результаты, полученные во II главе данной работы, опубликованы в [$].

В Ш главе диссертации найдено полное решение уравнений Янга-Миллса в пространстве конформной связности без кручения при условии Ф° = 0 для центрально-симметрической метрики

гр = —e2vdt2 + e2Xdr2 + e2"(d02 + o2{e)d<p2), где Л,¡i,v (искомые функции в системе уравнений Янга-Миллса) зависят только от / и г, а а" ' —xa, х = const.

Эта метрика по многим причинам является объектом пристального внимания учёных, начиная с 1916 года (когда Шварцшильд привёл своё решение уравнений Эйнштейна) и до наших дней. В общепринятом понятии центрально-симметрической метрики считается, что х = 1, т.е. а (в) = sin в, однако, не увеличивая трудоёмкость вычислений, можно рас-

смотреть и более общий случай, к = const, что и сделано в данной диссертационной работе.

Для упрощения уравнений Янга-Миллса существенно используется то, что в пространстве конформной связности метрика определена с точностью до множителя (благодаря преобразованию перенормировки). Поэтому делением центрально-симметрической метрики на е2(1 её можно привести к виду

гр = (—e2vdt2 + e2Xdr2) + (■de2 + a2{e)dcp2), когда она является прямой суммой двух бинарных квадратичных форм, первая из которых зависит только от t и г, а вторая - только от в и ср. При этом введённая ранее константа я является гауссовой кривизной второго слагаемого метрики.

Путём выбора подходящей системы координат (t, г) получившуюся метрику можно привести либо к виду

Xр = (-dt2 + e2Xdr2) + {de2 + a2{d)d<p2),

либо к виду

гр = {—e2vdt2 + dr2) + {dB2 + o2{e)d<p2).

Поэтому количество искомых функций становится ещё на 1 меньше.

Для каждого из получившихся представлений центрально-симметрической метрики приведено общее решение уравнений Янга-Миллса, выражающееся через эллиптическую £>-функцию Вейерштрасса (п. 15). Для нескольких частных случаев получены решения, выражающиеся через элементарные функции (п. 17). Указано, какие из них приводят к известным решениям Шварцшильда и Коттлера. В п. 16 доказаны критерии того, что метрика, являющаяся прямой суммой двух бинарных квадратичных форм, является эйнштейновой метрикой и конформно-плоской метрикой.

Результаты, полученные в III главе данной работы, опубликованы в [Е].

В статье [6f] были продолжены исследования, начатые в III главе. Были найдены некоторые решения уравнений Янга-Миллса для центрально-симметрической метрики при отсутствии дополнительного условия = 0.

В IV главе диссертации рассматривается более общий по сравнению со второй и третьей главами случай. Теперь нет требования = 0, но, по-прежнему, Ф1 = 0. Получается пространство конформной связности без кручения. При этом, как и во II главе, считается, что 0)° = 0.

В п. 23 показано, что, в отличие от случая, рассмотренного во II главе диссертации, в пространстве конформной связности без кручения уравне-

ния Янга-Миллса распадаются не на две группы, а на три. Это происходит из-за того, что уравнения Янга-Миллса вида

а * Ф{ + пд * Ф/ -* Ф/АП = О

теперь уже не являются следствием всех остальных уравнений системы, а превращаются в 8 уравнений Максвелла (п. 23)

¿Ф8 = 0, й * Ф§ = 0.

Первоначально получаются 44 уравнений Янга-Миллса на 26 неизвестных функций, система сильно переопределённая. Дополнительные (по сравнению со случаем, рассмотренным во II и III главах) 6 функций возникают из-за того, что тензор Ь^ при условии Ф§ ^ 0 не является симметричным. В следующих трёх пунктах проводится упрощение этой системы.

В п. 24 доказано, что среди этих 44 уравнений имеются 4 уравнения, совпадающие с одной из групп уравнений Максвелла, поэтому число уравнений сокращается до 40.

В п. 25 показано, что кососимметрнчная часть группы из 16-ти уравнений, аналогичных уравнениям Баха из главы П, выполняется тождественно, поэтому ещё 6 уравнений Янга-Миллса можно отбросить.

Наконец, в п. 26 доказано, что система уравнений Янга-Миллса в пространстве конформной связности без кручения сводится всего лишь к 27 уравнениям на 26 неизвестных функций. Система всё равно переопределённая, но это не означает её несовместность.

В п. 29 рассматривается чисто временное решение этой системы, т.е. случай, когда искомые функции зависят только от переменной I. Иными словами, уравнения Янга-Миллса решаются для метрики вида

-йь2 + а2Шх2 + Ь2ШУ2 + с2Шг2. Приводится развёрнутая запись всех уравнений Янга-Миллса, которые сводятся к 3 дифференциальным уравнениям на 3 неизвестных функции а, Ь и с, т.е. переопределённость системы исчезает. Система получилась очень сложной, и найти её общее решение не удалось. Приводятся два класса частных решений, записанных в явном виде. Любопытно, что одно из этих частных решений снова (так же, как и в главе П1, для центрально-симметрической метрики) выражается через эллиптическую ¿»-функцию Вейерштрасса.

Результаты, полученные в IV главе данной работы, опубликованы в [&]]. В статье [Ё]] приводятся ещё несколько частных решений уравнений Янга-Миллса для чисто временной метрики.

В Заключении сформулированы основные результаты диссертации:

1. На 4-мерном многообразии конформной связности (с кручением) имеется лишь один инвариантный функционал действия, квадратичный по кривизне — функционал Янга-Миллса. Равенство нулю вариации этого функционала приводит к уравнениям Янга-Миллса. Это 60 нелинейных дифференциальных уравнений 2-го порядка на 60 неизвестных функций от четырёх переменных.

2. Уравнения Янга-Миллса в пространстве конформной связности без кручения при дополнительном условии Ф° = 0 сводятся к 10-ти уравнениям Эйнштейна и 9-ти уравнениям, представляющим собой равенство нулю тензора Баха. Всего 19 уравнений на 20 неизвестных функций.

3. В таком пространстве получена в явном виде система уравнений Янга-Миллса для центрально-симметрической метрики. Найдено полное решение этой системы, выражающееся через эллиптическую ^»-функцию Вейерштрасса. Приведены некоторые частные решения в элементарных функциях, среди которых есть и известные решения Шварцшильда и Коттлера.

4. Уравнения Янга-Миллса в 4-мерном пространстве конформной связности без кручения (без всяких дополнительных условий) сводятся к трём группам из 10 + 9 + 8 = 27 уравнений на 26 неизвестных функций. Новая (по сравнению с п. 2 Заключения) группа уравнений - это уравнения Максвелла. В этом пространстве для чисто временной метрики выписана вся система уравнений Янга-Миллса. Приведены два класса частных решений.

Публикации автора по теме диссертации

1. Лукьянов, В.А. Уравнения Янга-Миллса на 4-мерных многообразиях

конформной связности / В.А. Лукьянов // Известия вузов. Математика. -2009. -№3. - С. 67-72.

2. Лукьянов, В.А. Связь уравнений Янга-Миллса с уравнениями Эйнштейна / Л.Н. Кривоносов, В.А. Лукьянов // Известия вузов. Математика. - 2009. - №9. - С. 69-74.

3. Лукьянов, В.А Полное решение уравнений Янга-Миллса для центрально-симметрической метрики / Л.Н. Кривоносов, В.А. Лукьянов // Журнал Сибирского федерального университета. Серия Математика и физика. -2011.-Т. 4. -№3. С. 350-362.

4. Лукьянов, В.А. Связь уравнений Янга-Миллса с уравнениями Эйнштейна и Максвелла / Л.Н. Кривоносов, В.А. Лукьянов // Журнал Сибирского

федерального университета. Серия Математика и физика. - 2009. - Т. 2. -№4. - С. 432-448.

5. Luk'yanov V.A. Purely time-dependent solutions to the Yang-Mills equations on a 4-dimensional manifold with conformai torsion-free connection / V.A. Luk'yanov, L.N. Krivonosov // Журнал Сибирского федерального университета. Серия Математика и физика. - 2013. - Т. 6. - №1. - С. 40-52.

6. Лукьянов, В.А. Решение уравнений Янга-Миллса для центрально-симметрической метрики при наличии электромагнитного поля / Л.Н. Кривоносов, В.А. Лукьянов // Пространство, время и фундаментальные взаимодействия. - 2013. -№3. - С. 54-63.