Автодуальные связности Янга-Миллса и некоторые интегрируемые системы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В.ЛОМОНОСОВА Механико-математический факультет

На правах рукописи

5-92-373

УДК 514.765.2:517.913:517.953

ИВАНОВА Татьяна Алексеевна

АВТОДУАЛЬНЫЕ СВЯЗНОСТИ ЯНГА-МИЛЛСА И НЕКОТОРЫЕ ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СИСТЕМЫ

Специальность: 01.01.04. - геометрия и топология

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1992

Ubauoio^

Работа выполнена на кафедре дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета московского государственного университета им.М.В.Ломоносова.

Научный руководитель — кандидат физико-математических

наук, доцент В.В.Трофимов Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор О.В,Мантуров кандидат физико-математических наук, А.И.Плужников Ведущая организация — Математический институт

им.В.А.Стеклова РАН Защита диссертации состоится Й^Я 199 2-Г.

в 16 час. оо мин. на заседании специализированного сочета (Д.053.05.05) по математике при Московском государстве-ном университете им.м.в.Ломоносова по адресу: 119899, Москва, ленинские горы , механико-математический факультет, ауд.14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ.

Автореферат разослан О 199 2.Г.'

Ученый секретарь специализированного совета по математике д.053.05.05 при МГУ доктор физико-

математических наук, доцент в.н.Чубариков

! В" п

РОСС'^СКА* '

гл(■ V >\ .'<

ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Вариационные задачи - один из наиболее важных классов математических задач, имеющих непосредственное приложение к различным областям знания, в последнее время был достигнут значительный прогресс в изучении многомерных вариационных задач, связанных с функционалами многомерного римано-го объема, с функционалами действия типа функционала Дирихле 1,г'3, с функционалом Янга-Миллса для формы кривизны Г связности А в главном а-рааслоении над четырехмерным римано-вым многообразием м 4>£>6'7, современный математический аппарат многомерных вариационных задач включает в себя мощные методы алгебраической топологии, функционального анализа, теории дифференциальных уравнений, теории групп и алгебр Ли. Геометрические методы построения многомерных экстремалей, методы вычисления топологических свойств экстремалей и их явного построения для задач типа Плато (минимизация многомерного функционала объема) детально разработаны А.Т.Фоменко и его учениками.1-3,3 в работе 8 раскрыты глубокие связи качественной картины поведения функционала Дирихле с топологическими свойствами многообразий.

1 Фоменко А. Т. Вариационные методы в топологии. М. : Наука,

1982.

2 Фоменко А.Т. Топологические вариационные задачи. М.: Изд-во

Моск. ун-та, 1984.

3 Дао Чонг Тхи, Фоменко А. Т. Минимальные поверхности и проблема Плато. М.: Наука, 1987.

4 Славнов A.A., Фаддеев Л. Д. Введение в квантовую теорию

калибровочных полей, м.: Наука, 1988.

5 Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: Методы и приложения, м.: Наука, 1986.

6 Монополи: топологические и вариационные методы. Сборник статей. М.: Мир, 1989.

7 Фрид д. , Уленбек К. инстантоны и четырехмерные многообразия. М.: Мир, 1988.

8 Плужников А.И: О минимумах функционала Дирихле// ДАН СССР.

1986. Т.290. №2. С.289-293.

Функционал Янга-Миллса привлек к себе особенно пристальное внимание математиков после того, как в 1983 году Саймон До-

9

нальдсон доказал несглаживаемость некоторых четырехмерных топологических многообразий, изучая пространство решений уравнений Эйлера-Лагранжа для экстремалей функционала Янга--Миллса, называемых уравнениями Янга-Миллса? Теорема Дональ-дсона показывает, что гладкие структуры в размерности 4 нельзя описать в терминах характеристических классов. Теорема доказывается путем изучения решений системы нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка, которые дают абсолютный минимум функционала Янга-Миллса с С=31Д2) и образуют подмножество множества решений уравнений Янга-Миллса. Такая система была введена А.А.Белавиным, А.М.Поляковым, А.С.Шварцем и Ю.С.Тюпкиным 10 и называется уравнениями автодуальности или автодуальными уравнениями Янга-Миллса.

Не меньший интерес представляют уравнения Янга-Миллса в сочетании с "внешними полями материи" (уравнения Янга-Миллса--хиггса).6'11 Они привлекательны не только физической мотивировкой, но и богатым геометрическим и топологическим содержа-12 ,

нием (см.также ).

Пространства решений автодуальных уравнений Янга-Миллса и Янга-Миллса-Хиггса разбиваются на классы относительно некоторого естественного отношения эквивалентности; в результате получается так называемое пространство модулей.7,12 Наряду с

Donaldson S.К. An application of Gauge theory to the topo-

logy of 4-manifolds// J.Diff.Geom. 1983. V.18. P.269-316.

10 Belavin A.A., PolyaXov A.M., Schwarz A.S., Tyupkin Yu.S. Pseudoparticle solutions of the Yang-Hills equations.// Phys.Lett. 1975. V.59B.N1. P.85-87.

11 Раджараман P. Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля. М.: Мир, 1985.

12 , ,

Atiyah M., Hitclun N. The geometry and dynamics of magnetic

monopoles. Princeton, 1988.

аправлением, где исследуется топология четырехмерного рима-ова многообразия И путем изучения пространства модулей, по-прежнему представляет интерес построение нетривиальных реше-ий уравнений Янга-Миллса и Янга-Миллса-Хиггса (см., напри-

13,14 ,

Первые нетривиальные решения автодуальных уравнений Янга-Миллса в случае, когда м=34, С=ЗШ2), так называемые инстан-оны, были получены в 10. Полное описание решений на М=Б4 в :лучае группы С=Би( 2) было получено в работе 15. Представляют акже интерес статические решения уравнений Янга-Миллса-Хиг-•са типа монополей, полная классификация которых на к3 для :алибровочной группы С=зи(п) приводится в работе Нама 16. Важ-[ую роль при нахождении решений указанных уравнений играет требование инвариантности полей относительно той или иной ■руппы симметрий. обсуждение условий симметрии полей можно 1айти, например, в монографиях 17,18 ,

В последнее время немало работ было посвящено построению 1втодуальных решений уравнений Янга-Миллса в тривиальном

13 Actor A. Classical solutions of SU(2) Yang-Mills theories //Rev.Mod. Phys. 1979. V.51. N 3. P.461-525.

14 Филиппов А.Т. Нетривиальные решения нелинейных задач теории ПОЛЯ.// ЭЧАЯ. 1980. Т.П. ВЫП.3. С.735-801.

15 Atiyah M.F., Drinfeld V.G., Hitchin N.J., Manin Yu.I. Construction of instantons// Phys.Lett.A. 1978. V. 65. P.185-187.

16 Nahm W. All self-dual multimonopoles for arbitrary gauge groups // Preprint CERN TH-3172, 1981.

17 Лезнов A.H., Савельев M.В. Групповые методы интегрирования нелинейных динамических систем. М.: Наука, 1985.

18 Шварц А.С. Квантовая теория поля и топология. М.: Hayка,1989.

главном G-расслоении над Rd (da4) (см., например, 19>20>21-22 # а также работы автора [1]-[7] и ссылки там).

Известны анзацы (= подстановки для компонент А связности

4 2 2

А), сводящие уравнения автодуальности в R и ER ' к уравнению

23

Кортевега-де Фриза, нелинейному уравнению Шредингера , к уравнениям sin-Gordon, sh-Gordon, Лиувилля 24, к уравнениям конечной непериодической цепочки Тода (см., например, 2S), Эйлера 26, обобщенного волчка Ковалевской 27, к уравнениям модели N-волн 28. Многие интегрируемые уравнения в пространствах IRZ'0

11 4 2 2

и R можно вложить в уравнения автодуальности в к и к ' . Соответственно, каждое решение интегрируемых нелинейных уравнений в d=2 дает решение d=4 уравнений Янга-Миллса или Янга-

19 Ward R.S. Completely solvable gauge field equations in dimension greater than four// Nucl.Phys. 1984. V.236B. №2. P.381-396.

20 .

Corrigan E. , Devchand C. , Fairlie D.B., Nuyts J. Firstorder equations for gauge fields in spaces of dimension greater than four// Nucl.Phys. 1983. V.B214. P.452-464.

21.. .

Fairlie D.B., Nuyts J. Spherically-symmetric solutions of

gauge theories in eight dimensions//J.Phys.A.:Math.Gen.198

V.17. N14. P.2867-2872.

Fubini S. , Nicolai H. The octonionic instanton// Phys. Lett. 1985. V.155B. P.369-372.

22 Попов А. Д. о решениях уравнений Янга-Миллса и янга-Мил-лса-Хиггса//Теор. Мат.Физ. 1991. Т.89.№3. с.402-412.

2 з

Mason L.J., Sparling G.A.J. Nonlinear Schrodmger and Kor-teweg-de Vries are reductions of Self-Dual Yang-Mills // Phys. Lett.A. 1989.V.137. №1,2. P.29-33.

24 •

Ward R.S. Integrable and solvable system, and relations among them//Phil.Trans.R.Soc.Lond. 1985. V.A315. P.451-457

25 Ward R.S. Generalized Nahm equations and classical Yang-Baxter equations// Phys. Lett. 1985. V.112A. P.3-5.

26 Ward R.S. Multi-dimensional integrable systems// Lect.Notes

Phys.1987. V.280. P. 106-116.

27 Ablowitz M.J., Chakravarty S., Clarkson P.A. Reductions of Self-Dual Yang-Mills Fields and Classical Systems// Phys. Rev.Lett. 1990. V.65. P.1085-1087.

28 Ablowitz M.J., Chakravarty S. On Reductions of Self-Dual Yang-Mills Equations//Painlevé Transcendents. Plenum Press New York, 1992.

-Миллса-хиггса. Наложение условий симметрии на калибровочные поля также редуцирует уравнения автодуальности к интегрируемым системам. Так, условие цилиндрической симметрии полей, например, редуцирует к уравнениям двумеризованной цепочки "Года 17, условие инвариантности полей относительно сдвигов вдоль одной, двух и трех координат редуцирует уравнения автодуальности в IR4 к уравнениям Богомольного, двумерной кираль-ной модели, к уравнениям Нама, а уравнения автодуальности в к2'2 —к уравнениям трехмерной киральной модели, к уравнению двумерной главной киральной модели в R1'1 и к модифицированным уравнениям Нама соответственно. Это также дает большой запас решений d=4 уравнений Янга-миллса и Янга-Миллса-Хиггса.

отметим, что в отличие от d=4, явных решений уравнений Ян-га-Миллса в ff?d с d>4 к настоящему моменту известно очень мало. это решение в IR8 с калибровочной группой S0(8)21, решение в к7 с калибровочной группой SO(7) 29 и решение в R3 с калибровочной группой SU(2)19 .

Цель работы :

1) Описать новые случаи редукции уравнений автодуальности для полей Янга-Миллса в d>4 к интегрируемым уравнениям в d=i.

2) Получить классы точных автодуальных решений уравнений Янга-Миллса в Rd (da4) с произвольной калибровочной группой.

Методы исследования. В работе используются:

1) Вариационное исчисление.

2) теория расслоенных пространств.

3) Тензорная алгебра.

4) Теория групп и алгебр Ли.

5) Дифференциальное исчисление тензоров.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:

1) На множестве связностей специального вида уравнения ав-

Семихатов A.M. Октонионы и твисторы в высших размерно-стях//В кн.: "Теоретико-групповые методы в физике.Труды 3 Межд.семинара". И.: Наука, 1985. Т.1. с.156-164.

тодуальности в К4 и К2,2 редуцированы к системам обыкновенных дифференциальных уравнений - к уравнениям Нама и к модифицированным уравнениям Нама соответственно, что позволяет получить классы точных автодуальных решений модели Янга-Миллса в

4 2 2

К и К ' для произвольной калибровочной группы в. Показано, что модифицированные уравнения Нама могут быть редуцированы к гамильтоновым системам, связанным с эрмитовыми симметрическими пространствами. Выписаны классы точных решений для уравне-

4 2 2

нии, получаемых из уравнении автодуальности в К и К ' размерной редукцией к трем и двум координатам.

2) Уравнения автодуальности модели Янга-Миллса в К8 редуцированы к обобщенным уравнениям Нама (уравнениям Уорда) на алгебре Ли #=5о(8). Такая редукция дает возможность строить автодуальные решения модели Янга-Миллса в К8 с произвольной калибровочной группой, используя решения уравнений Уорда.

3) Введены уравнения автодуальности для калибровочных полей в пространстве где П - произвольная простая компактная алгебра Ли. Показано, что уравнения автодуальности модели Янга-Миллса в с произвольной калибровочной группой в для связностей, зависящих от хА, совпадают с уравнениями Уорда на К. Это позволяет построить космологические решения уравнений Янга-Миллса в ка=?<®к, используя решения уравнений Уорда.

4) Введен анзац для компонент связности, позволяющий редуцировать уравнения Янга-Миллса в КРЧ (р,я=2,з,...) к уравнениям Янга-Миллса в Кр. Это дает возможность строить новые классы решений уравнений Янга-Миллса в Крс< из решений уравнений Янга-Миллса в Кр.

Научная и практическая ценность. Работа носит теоретический характер, однако построенные решения могут найти применение в физике элементарных частиц, теоретической основой которой является теория полей Янга-Миллса. Результаты диссертации могут быть полезны специалистам, работающим в области приложения методов дифференциальной геометрии к задачам математической и теоретической физики (МГУ, ЛГУ, МИРАН, ЛТФ ОИЯИ,

1ТФ им.л.Д.Ландау и др.).

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Московском семинаре по тензорному и векторному анализу (1989 г.), на конференции молодых ученых МГУ (1990 г.), на семинаре ИГУ по современным геометрическим методам под руководством профессора А.Т.Фоменко (1991 г., 1992 г.), на научном семинаре в ЛТФ ОИЯИ (Дубна 1992 г. ) и на Восьмой Международной Конференции "Nonlinear Evolution Equations and Dynamical Systems" (Дубна 1992 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ ([1]--[7]).

Структура работы. Диссертация состоит из введения и четырех глав. Текст изложен на 79 страницах, список литературы содержит 66 наименований.

Содержание работы.

В первой главе приводятся определения и обозначения, используемые в работе: вводятся понятия главного G-расслоения над многообразием М, 1-формы связности А в главном G-расслоении над многообразием M (локально А-А^(х)dxu, с

M), 2-формы кривизны F связности А (локально F =

= ~ х)dxßAdxv= \ О V dvAu+LÄß' Ли] )d*'MAdx'i;- Здесь же

выводятся тождества Бьянки для тензора кривизны и уравнения экстремалей для функционала Янга-Миллса (т.е. уравнения Янга--Миллса). Мы рассматриваем пространство M=tRd. Связности янга--Миллса определяются как решения уравнений Янга-Миллса в ¡Rd с произвольной калибровочной группой G. Уравнения автодуальности вводятся как линейные уравнения на тензор кривизны связности в тривиальном главном G-расслоении над решения которых в силу тождеств Бьянки образуют подмножество множества решений уравнений Янга-Миллса в Rd. В случае d=4 уравнения автодуальности, определенные таким образом, совпадают с уравнениями, введенными в 10.

Вторая глава содержит подробное описание моделей, к уравнениям которых приводят d=4 уравнения автодуальности при раз-

мерной редукции. Этот материал можно найти в современной монографической литературе 11,12 и в оригинальных статьях. Не основании представления нулевой кривизны со спектральным па-

30 . „2,2

раметром для уравнении автодуальности в [R приводится ряд анзацев, редуцирующих эти уравнения к интегрируемым уравнениям в d=2 и в d=l: к уравнениям модели N-волн 28, уравнении Буссинеска 31, к уравнениям Эйлера-Арнольда 26 и к уравнения* алгебраических аналогов системы Вольтерра. Описана редукци? уравнений Нама — уравнений автодуальности для компонент связности, зависящих от одной переменной—к уравнениям цепочк1 Тода, а также модифицированных уравнений нама — к уравнениям цепочки Тода и к обобщенным уравнениям волчка Ковалевской.г£ В последнем параграфе второй главы приводится обобщение Уор-

2 5

да уравнений Нама. Таким образом, вторая глава представляв" собой описание результатов, уже полученных в данной области, которые автор обобщает, дополняет или на которые в последующих главах существенно опирается.

В первом параграфе третьей главы (п.1.3) доказывается Теорема 1 о редукции уравнений автодуальности в евклидовом пространстве R4 для произвольной калибровочной группы G (G — полупростая группа Ли с алгеброй Ли &) к уравнениям Нама нг множестве связностей специального вида:

Теорема 1. Любое решение 2* (т) уравнений Нама с fi + [Г ,Т ]| = [Г ,Т ]

abc le с 4 J а Ъ

на Ç-значные функции Т (г), Т (т), Т =dT /dr (a, b, с=1, 2, 3.

" а 4 ce

дает решение вида

VX) = ~2V T*(t) ' ZXU Т4(Т)

30 • •

Belavin A.A., Zakharov V.E. Yang-Mills equations as mversi scattering problem// Phys.Lett. 1978. V.B73. P. 53-57.

31 BaKas I., Depieux D. A fractional KdV hierarchy//

Mod. Phys.Lett.1991.V.A6.P.1561-1573.

с (¡л, V, . . . =1,. . . , 4) уравнений автодуальности

^ С ^

2 Цир(Г рСГ~ ЦР

модели Янга-Миллса в К4 с произвольной калибровочной группой Здесь т)* — постоянные тензоры т'Хофта: т/а =са , 7}®.=

11Ш г Ъс Ьс Ц 4

а _а

= -Т) = 5 .

4Ц Ь

В п.2.1 §2 третьей главы формулируется следствие Теоремы 1 Следствие, для связностей вида

аI <*> = ^

где

Г (г) = О при aft, г|(т) = ct^Cr), Г*(т) = «2P2(r), Г3(т) = «з(Рз(т),

o^ , az> аз — некоторые вещественные параметры, tpç>2, tp3 — вещественные функции от х-х^х^, уравнения автодуальности SU(2)-модели янга-миллса в R4 совпадают с уравнениями Эйлера на пространстве

Далее строится автодуальное решение зи(2)-модели Янга-Мил-лса.

Редукция SU(п)-уравнений нама к уравнениям конечной непериодической цепочки Тода на sl(n,lF) позволяет построить класс новых автодуальных решений SU(n)-модели Янга-Миллса (см. п.2.б. главы III), в п.2.7 главы III выписывается явный вид решения уравнений автодуальности с G=SU(3).

Редукция уравнений автодуальности в R4 к уравнениям Богомольного в R3 позволяет сформулировать Утверждение 1 (см. п.2.2 главы III):

Утверждение 1. любое решение уравнений Нама дает

решение вида

X X

А = 2 е u --—- TJx) + 2 -2—- TJx) ,

abc (х X )3/z b (x x ;3/2 4

q q чч

* = 7~~з/г TJX) (xx) ч 4

с х=2/{хг2 + х2 + ф1/а уравнений Богомольного

F = с D х

ab abc с

в R3 с произвольной калибровочной группой G.

В п.2.3 главы III приводится решение SU(2)-уравнений Богомольного, т.е. статическое решение модели Джорджи-Глэшоу. Для G = SU(n) класс точных решений уравнений Богомольного указанного в Утверждении 1 вида можно получить, используя редукцию уравнений Нама к уравнениям конечной непериодической цепочки Тода (см.п.2.б главы III).

Редукция уравнений автодуальности в 1R4 к уравнениям G /G киральной модели в Rz приводит к Утверждению 2 (см. п. 2.4 гл.III).

Утверждение 2. Существует взаимно-однозначное соответствие между сферически-симметричными решениями уравнений Gc/G киральной модели в IR2

Focß = -'V V' Dl*?ß1 = V« - 0

(a,ß,. . . ,2) и решениями уравнений Нама с х= -~-1п(х2 +

Далее рассматриваются уравнения автодуальности в псевдоев-

2 2 1 клидовом пространстве IR ' с метрикой g =diag(1,1, -1, -1). В

§3 третьей главы вводится анзац для компонент связности, аналогичный анзацу Теоремы 1 из §1 и формулируется

Теорема 2. Любое решение Г (г) модифицированных уравнений Нама

fc (т + [Г ,Т ]) = [Г ,Т ]

ab ^ с с 4 J ab

на *§-значные функции Т (г), т (т), Г =<хт /ах Са,Ь,с=1,2,з;

а 4 с с

дает решение вида

Vх* = "2 V " Г4(Т)

с т= Ящ/^1*^ (,...=1,. . . ,4) у равнений авто дуальности

1? = -у , г = -Г , К = Г

12 3 4 13 24 ' 14 23

одели Янга-Миллса в В?2'2 с произвольной калибровочной ■руппой в.

десь т}* —аналоги тензоров т'Хофта в К2'2: т5" = , 9)" ='

Ц V Ьс Ьс Д4

-7)" = 5*. Г* —структурные константы алгебры 52(2,И): =

4 [л Ь Ьс 1 2

-г2 = -г1 = -1.

3 1 23

2 2

С помощью редукции уравнении автодуальности в К ' к урав-ениям модифицированной главной киральной модели в К2,1, опи-анной в п.2.2 второй главы, как следствие теоремы 2, получа-м следующее утверждение

Утверждение 3. Любое решение Т^Сх) модифицированных равнений Нама дает решение вида

Ь ус *

Л = -2 Г --- Г (х) - 2 -^- х (Х)

а ас . о .3/2 Ь . <\ ,3/2 4 •

(XX) (XX)

Ч Ч

а

X = 2 --- Т (X)

(X X4)3'2 л

ч

х=2/(хг+х2-х2)1 /2 уравнений модифицированной главной кира-ьной модели в К2,1 с произвольной калибровочной группой

Редукция уравнений автодуальности в К2,2 к уравнениям дву-;ерной главной киральной модели в к2'0 и в К1'1, описанная в .2.3 §2 главы II, позволяет получить

Утверждение 4. Каждому решению 7^(х) с х= 1п{х^хс) модифицированных уравнений Нам а можно взаимно-однозначно сопо-тавигь сферически-симметричное решение у равнений главной иральной модели в к2'° или в к1 ' 1 следующего вида:

" Т7 * Т7 т ■

о с

в = 2 „ \с0х®т(х)-х т (т; ] . а х х 1 а 21 у J

<х

В свою очередь, редукция модифицированных уравнений Нама к равнениям конечной непериодической цепочки Тода на алгебре ;и Э позволяет выписать классы точных решений уравнений моде-

ли Янга-Миллса в К2, г, модифицированной главной киральной модели в К2'1, двумерных главных киральных моделей в к2'0 и в К1'1 указанного в Теореме 2 и Утверждениях 3,4 вида.

Кроме уравнений цепочки Тода и уравнений обобщенного волчка Ковалевской, модифицированные уравнения Нама могут быть редуцированы к уравнениям гамильтоновых систем с потенциалом четвертой степени (п.3.5 §3 главы III).

В заключительной четвертой главе рассматриваются уравнения автодуальности модели Янга-Миллса в R8 и в IRd вида K©R, где Я - простая компактная алгебра Ли, а также уравнения Янга-Мил-лса в !RP4 ,■ р, q=2,3, .. . .

В §1 четвертой главы строится анзац, редуцирующий уравнения автодуальности в R8 к обобщенным уравнениям Нама (уравнениям Уорда) на алгебре H=so(8) и доказывается Теорема 3:

Теорема 3. любое решение T^Ju) уравнений Уорда

S Т = [ Г , Т ],

a b с d n п шп а Ь cd

где sabcdBn ~ структурные константы алгебры ли so(8), на 2i элементов Т Си) (а ,Ъ,с,. . . =1,. . . , 7 и Т = -Т ) из полу-

а b abba

простой алгебры Ли 6* дает решение уравнений автодуальноеTf модели Янга-Миллса в IR8 следующего вида

А = - — Q Т (Uj X

а 3 ebeded b

С U=l+X X .

а а

Определение тензора Qabcd приводится в п.1.2 главы IV. В §2 главы IV формулируется Теорема 4:

Теорема 4. Для Rd=3(@lR, где a - простая компактная алгебрi Ли, уравнения автодуальности модели Янга-Миллса в ¡Rd=Jf@lR дл: A^=A^(tJ, где t=xd, совпадают с уравнениями Уорда на алгебрi Ли Н.

Последний параграф главы IV посвящен редукции уравнени] Янга-Миллса в евклидовом пространстве Крч к уравнениям Янга -Миллса в пространстве Rp:

Теорема 5. Любому решению Ауравнений Янга-Миллса

евклидовой пространстве кр можно сопоставить решение

А<дп = ЛЛ>

уравнений Янга-Миллса в пространстве Кря.

Здесь ... = 1, . . . , р; 1, л", . . . =1, . . . ^^сопэг.

В п.3.3 последней главы приводятся примеры решений уравнений Янга-Миллса в пространствах к44, К84, построенные с помощью указанной выше редукции из автодуальных решений уравнений

4 8

Янга-Миллса в пространствах кик соответственно.

В заключение автор выражает благодарность своему научному

руководителю доц.В.В.Трофимову и проф.А.Т.Фоменко за постановку задачи и внимание к работе.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМБ ДИССЕРТАЦИИ

1. Иванова Т. А. Уравнения Нама и автодуальные связности// УМН. 1991. Т.46, ВЫП.4. С.149-150.

2. Иванова Т. А. Солитоны некоторых моделей теоретической физики и уравнения Эйлера// Алгебра, геометрия и дискретная математика в нелинейных задачах. М. : Изд-во МГУ, 1991. С.71-81.

3. Иванова Т.А. Уравнения Эйлера и сферически-симметричные решения уравнений Янга-Миллса// Управляемые динамические системы. Саранск: Изд-во мордовского ун-та. 1991. с.94-98.

4. Иванова Т.А. Эйнштейновские метрики на семимерной сфере// Труды семинара по тензорному и векторному анализу. М.:Изд--во МГУ, 1991. С.81-86.

5. Иванова Т.А. Уравнения Уорда и автодуальные связности в К8// УМН. 1992. Т.47, ВЫП.2. С.191-192.

6. Иванова Т.А. Уравнения типа Эйлера в модели Янга-Миллса и в модели киральных полей// Вестн.МГУ. Сер.1. Матем.Мех. 1992. №3.С.10-14.

7. Иванова Т. А. Об уравнениях Эйлера в моделях теоретической физики // Мат.заметки. 1992. Т.52. Вып.2. С.43-51.

Рукопись поступила в издательский отдел 3 сентября 1992 года.