Точные решения полевых уравнений в классических калибровочных теориях поля тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

« 1 О С ..

1 1 НОЯ 1385

АСЛАНЯН АРТУР МИХАЙЛОВИЧ

ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ ПОЛЕВЫХ УРАВНЕНИЙ В КЛАССИЧЕСКИХ КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЯХ ПОЛЯ.

01.04.02 - теоретическая и математическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ - 1996

Работа выполнена на кафедре Теории относительности и гравитации Казанского госуниверситета.

Научные руководители:

доктор физико-математических наук, профессор Кайгородов В.Р.

кандидат физико-математических наук, доцент Гаврилов С.П.

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Багров В.Г. (Томский госуниверситет)

кандидат физико-математических наук, доцент Червой C.B. (Ульяновский госуниверситет)

каф. Теоретической физики Московского госуниверситета

Защита состоится "¿1" 1996 г. в часов

на заседании диссертационного совета Д 053.29.02 при Казанском государственном университете им. В.И. Ульянова-Ленина (420008, Казань, ул. Ленина, 18).

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке университета.

Автореферат разослан ЯеГЙг^Я 1996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

профессор У П / М.В. Еремин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Согласно современным представлениям физические модели фундаментальных взаимодействий описываются лагранжевыми теориями, инвариантными относительно действия некоторой группы Ли, по всей вероятности, универсальной как для внутренних симметрии так и для симметрпй на базовом пространстве. Во всяком случае, современные варианты расширенных калибровочных теорий дают удовлетворительные результаты на уровне микромира (наиболее уязвимыми моделями являются калибровочные теории гравитации).

Несмотря на несомненный успех, калибровочные теории не содержат в своих основаниях информацию о выборе калибровочной группы, чем и вызван широкий спектр калибровочных групп в современной литературе. При этом квантовые эффекты приводят к трудно проверяемый различиям, что, по всей вероятности, связано с тем, что соответствующая теория возмущений строится на основе тривиальных решений классических уравнений. После открытия целого ряда нетривиальных классических решений в квантовых моделях появились заметные результаты, например, на основе сфалеронных решений специального типа удается объяснить конфаймент кварков, а электромагнитный спектр соответствующих теорий свободен от сингуляриостей, присущих теории Максвелла. С этих позиций представляется разумным дальнейшее исследование полевых уравнешгай на классическом уровне.

Очень важным является информация о влиянии сильных гравитационных волн на характер фундаментальных взаимодействий. Возможно эти эффекты выражены сильнее, чем в максвелловской электродинав-мике и могут привести к измеряемым на эксперименте предсказаниям. Для получения подробной информации необходимо предъявить точные решения с гравитационным полем волнового типа (поскольку теория возмущений для нелинейных систем может привести к неверным выводам).

Также лажной для физики микромира представляется информация об эффективном радиусе явлений описываемых на основе монопольных решений.

В данной работе приведено частичное решние указанных выше задач, и предложены эффективные методы для дальнейшего развития и обобщения соответствующих результатов.

Целью работы является анализ классических калибровочных теорий как с компактными, так и разрешимыми калибровочными группами, на основе калибровочпо инвариантных методов. Основной задачей является отыскание точных решений соответствующих полевых уравнений и анализ асимптотически плоских полевых конфигураций. Особый интерес уделяется самогравитирующим решениям.

Научная новизна. В настоящей работе корректно сформулированы и систематически развиты калибровочные теории с некоторыми классами разрешимых калибровочных групп (кваэиабелевы и квазшшль-потентные группы Ли). Предложены калибровочпо инвариантные аи-затцы, в рамках которых произведена соответствующая редукция полевых уравнений. Доказана теорема об отсутствии монопольных решений уравнений Богомольного с калибровочной группой гармонического осциллятора. Для этой же группы получено самогравитирующее решение в классе плосковолновых метрик, обобщающее решение С.П. Гаврилова.

Для теорий с компактными калибровочными группами предложена калибровочпо инвариантная классификация решений, состоящая из четырех калибровочных классов, произведена редукция полевых уравнений для всехз классов. Указана связь первых двух классов с известными решениями, и для четвертого класса получено точное решение сфалеронного типа. Во втором калибровочном классе получено новое самогравитирующее решение в классе плосковолновых метрик. Для известного монопольного решения Прасада-Соммерфильда получен гравитационный потенциал (в ньютоновском приближении) и оценен эффективный радиус монополя, который несущественной константой отличается от классического.

Для калибровочных теорий на трехмерной сфере указана связь ле-воинвариантных решений нелинейных уравнений Богомольного с некоторым линейными уравнением.

Практическая применимость. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего исследования и развития калибровочных теорий с разрешимыми калибровочными группами. Использованные в работе методы теории глобальных групп Ли позволяют получить аналогичные результаты для других некомпактных калибровочных групп.

Редуцированные полевые уравнения с компактными калибровочными группами, в рамках приведенной в работе классификации, представляются перспективными для отыскания целых серий точных решений

с произвольной симметрией на базе. Найденные самогравитиругошие решения можно использовать для анализа влияния сильных гравитационных волн на характер электрослабых взаимодействий.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на международных конференциях "Геометризация физики" (Казань, 1993) и "Геометризация физики И" (Казань, 1995), на летней школе Шотландских университетов по физике (Абердин, Великобритания, 1995), на семинаре "Современные проблемы теории гравитации" (Дубна, 1995), на международном семинаре по топологии памяти П.С. Александрова (Москва, 1996), на Всероссийском семинаре по современным проблемам гравитации (Новгород, 1996).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 5 статей и 6 тезисов докладов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы (120 наименований). Содержание работы изложено иа 120 страницах, включая два рисунка.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении диссертации представлен исторический ход создания калибровочных теорий, их основных недостатков и способов их устранения в современных модификациях. Описаны известпые решения, приведен их анапиз и приведен обзор современных результатов. Особое внимание уделено самодуалызым и антисамодуальным калибровочным полям, т.е. полям, удовлетворяющим (анти-) автодуальным уравнениям Янга-Миллса:

Faß = *Faß,

где *F„ß — ^aßysFys— дуальное сопряжение тензора Fnß. Описано представление Янга для автодуальных калибровочных полей в комплексной системе координат. Дана строгая формулировка теории Эйнштейна-Янга-Миллса и статической теории Эйнштейна-Янга-Миллса для самогравитирующих калибровочных полей в случае ла-гранжевых калибровочных теорий (т.е. допускающих тензор энергии-ш пульса).

Первая глава диссертации посвящена изучению на произвольном г- мерном многообразии М калибровочных теорий с квазиабелевы-ш калибровочными группами, алгебра Ли qa(N,R) =< е,,...,ёд- >

которых имеет следующий закон умножения:

[ер,ея] = 0, p,q... = (l,N- 1) [ел,ёг] = D*ep.

Для алгебры Ли с тривиальным центром состроена матричная группа Ли QA(N,R) с помощью экспоненциального отоброажения ее подалгебр и явно выписаны калибровочные преобразования:

А — Ü~lÄÜ +■ Ü~xdÜ.

первого типа

( Аа„-+А% -ANa(Dl\b) + daZ«, 1 Аа ~~~*

и второго типа

(е~А*х,)Мо.

\ А%А»+ daz»,

где (zl(x),..., zN{x)) — параметры калибровочных преобразований.

Поскольку на алгебре qa(N, R) инвариантная форма невырождена, то соответствующая калибровочная теория допускает лаграюке-вую формулировку.

Произведена редукция уравнений Янга-Миллса к уравнениям Максвелла для следующих калибровочно инвариантиых анзатцев:

1. F^ß = 0 a,ß,... = (1, п) (эта компонента тензора кривизны Faß инвариантна относительно калибровочных преобразований)

2. Расщепленного тензора кривизны Faß(х) = jaß(x)R(x). Исследованы автодуальные калибровочные поля в калибровке Янга

и доказана теорема о тривиальности асимптотически плоских автодуальных калибровочных полях.

Вторая глава диссертации посвящена изучению калибровочных теорий с квазинильпотентными калибровочными группами специального вида, алгебра Ли gho(N, R) —< ё|,... ,e;v > JV = 2/с+ 2 которых имеет следующий закон умножения:

|[ei,ep] = [ё],ёлг] = 0, p,q... = (2,2к) \ер, e,j = upqei, [ejv,e3] = Qpgep.

В случае алгебры Ли собственно гармонического осциллятора предъявлена матричная реализация и построена матричная группа Ли

HO(N,R) с помощью экспоненциального отображения ее подалгебр и явно выписаны калибровочные преобразования:

Л1 —> Л1 + VA1 +aipi(VA,')A'/ + {hpqA?\*)AN, Аs As + V\s + QstXtAN,

AN - А",

и

f А1-у A\

А* - (e-^)lA', l AN ^ A»+V\N, где (А'(x),..., A'v(:r))— параметры калибровочных преобразований.

Поскольку на алгебре gho(N, R) инвариантная форма невырождена, то соотевтствующая калибровочная теория допускает лаграгокевую формулировку с лагранжианом вида:

Lyn = \gaS9ßy < Faß,Fiy >,

где <,> — инвариантная форма на калибровочной алгебре gho(N,R).

Произведена редукция уравнений Янга-Миллса к уравнениям Максвелла для следующих калибровочно инвариантных анзатцев:

1.' F^ß = 0 (эта компонента тензора кривизны Faß инвариантна относительно калибровочных преобразований)

2. Расщепленного тензора кривизны Faß(x) = fap(x)R(x).

Исследованы автодуальные калибровочные поля в калибровке Янга

и доказана теорема о тривиальности асимптотически плоских автодуальных калибровочных полях.

Хотя технически сформулированные выше утверждения доказать сложнее, чем в случае квазиабелевых алгебр Ли, результаты оказываются совершенно аналогичными. С этой точки зрения, теории с квази-абелевыми алгебрами Ли (хотя и будучи нелаграшкевыми) являются модельными для всех теорий с разрешимыми калибровочными группами. В частности, выдвигается гипотеза о тривиальности асимптотически плоских автодуальных калибровочных полей для произвольных разрешимых групп, доказательство которой подсказывается тем фактом, что любая разрешимая алгебра Ли представима в виде полупрямой суммы разрешимого идеала коразмерности 1 и одномерной подалгебры.

В классе плосковолновых метрик

ds2 = 2dxldxn + gpq(xn)dxpdx4 + ß(dxn)'\ a, b, с,... = (2,..., n - 1).

где fj. = Маь(хп)хаxl, и gak~ невырожденная положительно-определенная метрика, det(gaß) = <let(/ycjil) = g, получено точное решение

= (4 = 0,^=0,41), = (Л? = 0,А'а = 0, Л« = /е'(г")«е + if{x\хп)) ■ 1^ = 0.

Функции /*(#") и (/"(а;1, г") (с точностью до аддитивной функции аргумента ж"), определяющие компоненту Л* произвольны. Компонента Л' находиться из гиперболического уравнения

M^liA}, = АЛ^ + ^[\ng)'diA\,

где

| ц = МаЬ{хп)хах\

а компоненты Маь(хп) метрики находятся из алгебраических соотношений:

-Kga\xn)tpqra{xnW) = gaiMab(x") + i(lns)" + ^Ь&еЛ.,

где компоненты даь{хп) задают произвольную невырожденную положительно-определенную матрицу.

Третья глава диссертации посвящена калибровочно инвариантной классификации решений уравнений Янга-Миллса-Хиггса с компактными калибровочными группами. Для модельного примера с группой 50(3) приведена редукция полевых уравнений для всех четырех калибровочных классов. Первый калибровочный класс соответствует решениям уравнений Богомольного. Второй класс при соответствующем выборе калибровке совпадает с классом параллельных калибровочных полей (или расщепленных калибровочных полей). Третий класс приводит к переопределненой системе нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка, большинство известных аизатцев для которой приводит либо к тривиальным решениям, либо к противоречию. Для четвертого класса в рамках анзатца т'Хоофта получено семейство точных решений, зависящее от одной функции д(х), удовлетворяющей нелинейному эллиптическому уравнению

Лд(х) + ед3(х), где е = const.

Предъявлено точное одномерное решение.

Семейство содержит решение ефалеронного типа, определяемое радиальной функцией /(г):

г

>А2/(г

¿г2

В классе плосковолновых метрик получено точное самогравитиру-ющее решение уравнений Янга-Миллса:

А, = О,

Ла = о, а,6... = (1,2,3),

К = + + П*")*1 + ФЧ*"), я, < • • • = (1, 2, 3),

где р^(х"),д®(хп),«/)(:сп),0(а;")- произвольные функции переменной х". Матрица Маь(хп) находится (причем с большим произволом) из алгебраических соотношений:

к(-»г!>шР = -9"ЬМаЬ(хп) - ~(1пдУ -

Метрика даь(яп)— произиольнн. Полученные результаты можно применить для анализа влияния гравитационного поля на взаимодействия, инвариантные относительно группы 50(3) (например, слабые взаимодействия).

В последнем параграфе главы приведен расчет гравитационного потенциала монополя Прасада-Соммерфильда в ньютоновском приближении

после чего можно произвести оценку эффективного гравитационного радиуса монополя, который равен

Ч2

теИ = \,2—.

" тс

и лишь множителем 1.2 отличается от классического радиуса заряженной частицы

Г

ГС1 = -•

тс

Это указывает на заметную роль гравитационного взаимодействия элементарных частиц на расстояниях порядка классического радиуса заряженных частиц, определяемого электромагнитным полем.

Четвертая глава диссертации посвящена построению левоинвари-антных калибровочных полей в базисе левоинвариантных векторных и ковекторных ш[а\2) полей

I еаф) = Щь) = - Щ - *** +

14а) = Зас йС) = + !)"2 [(*е*е - 1)*? - + 2б«И •

на фоне биинвариантной (относительно групповой структуры 5С/(2)) метрики

9аЬ = 6ы4сЧ'1> = (2еге+1Г2Ъь на трехмерной сфере 53. Доказана теорема о взаимосвязи регулярных левоинвариантных решений линейных конформных уравнений Богомольного

Иф(х) = А (х)*Г(я)

и монопольных решений стандартных уравнений Богомольного в евклидовом пространстве.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Построена универсальная накрывающая для ряда квазиабелевых групп Ли.

2. Представлен анализ калибровочных теорий с квазиабелевыми калибровочными группами. Установлена связь с теорией Максвелла. Предъявлены точные решения самосогласованной системы уравнений Янга-Миллса-Эйнштейна. Исследованы решения с расщепленным тензором кривизны.

3. Предъявлена матричная реализация алгебры Ли обобщенного гармонического осциллятора. В случае алгебры Ли собственно гармонического осциллятора построена универсальная накрывающая соответствующих групп Ли.

4. Предъявлена удовлетворительная с физической точки зрения полевая модель с калибровочной группой гармонического осциллятора.

5. Доказано отсутствие монопольных решений уравнений Богомольного. Исследованы решения системы уравнений Янга-Миллса-Хиггса с расщепленным тензором кривизны. Получены точные самогравитирующие решения.

5. Предъявлена инвариантная классификация калибровочных полей для компактных калибровочных групп. Проведено исследование соответствующих классов и получены новые точные решения на примере трехмерной ортогональной группы.

7. Предложена новая схема получения точных решений калибровоч-но инвариантных уравнений, путем сведениях их к решениям на группах Ли.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Асланян А. М., Левоинварнантные метрики на разрешимых одно-связных четырехмерных группах Ли класса (С). // Труды межд. конф. "Геометризация физики", 1993. - стр. 53-65.

2. Асланяп A.M., Асимптотически плоские решения уравнений Богомольного с калибровочной группой обобщенного гармонического осциллятора. // Изв. Вузов. Математика, Казань, - N10, 1996. -Р-

3. Aslanyan A.M., Kaigorodov V.R., On primary classification

of SO(3)~ Yaug-Mills-Higgs fields.// Gravitation & Cosmology, Vol. 3, 1996. - p.

4. Aslanyan A.M., Gauge invariant types of 50(3)- Yang-Mills-Higgs fields.// Proc. Int. Conf. "Geometrizatkm of physics II", Kazan State University, 1995.- p.33-36.

5. Aslanyan A.M., Gauge fields with sjilitted curvature tensor.// Proc. Int. Conf. "Geometrization of physics II", Kazan State University, 1995 - p. 37-40.

6. Асланян A.M., О существовании монопольных решений, не удовлетворяющих уравнениям Богомольного.// Тезисы семинара "Современные проблемы теории гравитации", Дубна, 1995.

7. Aslanyan A.M., Gauge fields with quazinilpotent gauge group.// Poster in Proc. of Scotish Universities Summer School in Physics, Aberdeen, 1995.

8. Асланян A.M., Калибровочные поля с расщепленным тензором кривизны и калибровочной группой гармонического осциллятора.// Тезисы IX Всероссийского семинара гк> ..иьреыеипьт проблема гравитации, Новгород, 1996.

9. Асланян A.M., Классификация калибровочных полей с компактными калибровочными группами.// Тезисы IX Всероссийского семинара по современным проблема гравитации, Новгород, 1996.

10. Асланян A.M., Тривиальность монополей Богомольного для калибровочной группы гармонического осциллятора.// Тезисы межд. семинара по топологии памяти А. С. Александрова, Москва, 1996.

11. Асланян A.M., Калибровочные поля с расщепленным тензором кривизны.// Тезисы копф. молодых ученых, Волга-Казань, 1996.