Калибровочные модели Весса-Зумино-Виттена и струнные теории гравитации тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

московский государственный университет

имени М.В.ЛОМОНОСОВА

физический факультет

На правах рукописи

Пандо Запяс Лоопольдо Авелпно

КАЛИБРОВОЧНЫЕ МОДЕЛИ ВЕССА-ЗУМИНО-ВИТТЕНА II СТРУННЫЕ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ

Специальность 01.04.02 - теоретическая фпзпка

АВТОРЕФЕРАТ

дпссертацпп на сопсканпе ученой степенп кандидата физпко-математпчеекпх наук

Москва 1998

Работа выполнена на кафедре квантовой ет;п;:гтпкп и теории по.г физического факультета М'.'.копского Государственного Университет имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель: доктср фшико-математичес^пх наук

профессор В.В.Белокуров

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

И.П.Волобуев

доктор физико-математических наук Ю.В.Грац

Ведущая организация : ЛТФ ОИЯИ, г.Дубна

.у ¿7 о

Защита состоится " " МЖ-^ 1998 г. в (Р час, на зас( данпн Дпссертационного Совета К 053.05.18 при Московском Госуда] ственном Университете им. М.В.Ломоносова ( г. Москва, Ленш ские горы, физический факультет, ауд. ).

С дпссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан "Ж "

1998г.

Ученый секретарь

Диссертационного Совета К 053.05.18

д.ф.-ы.н. П.А. Поляков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Важное преимущество струнных теорий по сравнению с другими подходами к построению теорий великого объединения главным образом заключается в возможности описания в их рамках квантовой гравитации. В этой связи исследования гравитационных свойств струнных теории весьма актуальны. При низких энергиях теории струн с большой точностью определяются своими безмассовымп секторами. В большинстве случаев эти сектора состоят из симметрического тензора второго ранга (гравитона), антиспмметрпческого тензора второго ранга и скалярного поля (дплатона). Оказывается, что этот безмассовый сектор может быть описан с помощью двумерной нелинейной а— модели. В этом подходе необходимым условием для построения последовательной квантовой теории струн является конформная инвариантность соответствующей двумерной нелинейной а— модели. Условия конформной инвариантности можно интерпретировать как некоторые геометрические условия на пространство-мишень. Вид условий конформной инвариантности усложняется при учете петлевых поправок, где теория возмущений ведется по константы связи нелинейной <т— модели, которая, в свою очередь, связана с натяженпем струны. В этой связи вполне понятно, почему конформные теории представляют такую большую ценность: их можно естественно интерпретировать как точные (во всех порядках по теории возмущении) решения струны.

На сегодняшний день большинство исследованных точных решений струнных теорий, полученных с помощью конформных теории, называемых калибровочными моделями Весса-Зумпно-Внттена (ВЗВ) имеют ряд ограничений: а) их пространство-мишень является произведением двух двумерных пространств, что сильно ограничивает класс, допускаемых пространственно-временных спнгулярностей, так как в этом случае все сингулярности имеют двумерную структуру; б) поведенпе струнной константы связи (дилатона) тоже ограничивается в случае, когда пространство-мишень является произведением двух двумерных пространств, более того поведенпе струнной константы связи в большинстве двумерных теорпй не позволяет вычислить квантовые эффекты по теории возмущений, так как значение константы связи не явлеяется малым; в) в классе точных решений струн, полученных с помощью калпбро-

ночных моделей ВЗВ, известно всего одно космологическое решение; в) известно только одно точное решение с пространственно временными калибровочными полямп, н вообще не известны решения с неабелевымп калибровочными полями.

Одной из нерешенных и весьма важных проблем в изучении гравитационных свойств калибровочных моделей ВЗВ является определенпе их низкоэнергетического предела в общем случае. В частности, проблема определения низкоэнергетического (однопетлевого) предела в случае, когда калибруется неабелевая подгруппа, играет ключевую роль в определении неабелевой дуальности. Задача формулировки неабелевой дуальности очень интенсивно изучается и в квантовой статистике.

Целями диссертационного исследования являются: исследование однопетлевоп структуры различных вариантов калибровочных моделей ВЗВ; построение точных решений струнных теории, имеющих более богатую пространственно-временную структур)' н содержащих пространственно-временные калибровочные поля, в том числе и неабе-левы.

Научная новизна. В диссертационной работе впервые получены точные решения теории струн, имеющие структуру пространства-времени типа космологической модели Кантовского-Сакса; получены решения тппа антн-де-Ситтера с неабелевымп калибровочными полями. Построены однопетлевые контрчлены калибровочных моделей ВЗВ двух типов в различных классически эквивалентных описаниях.

Научная и практическая ценность работы. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего исследования гравитационных свойств струнных теории. Однопетлевоп анализ связывает алгебраический подход к конформным теориям с лагранжевым.

Результаты могут быть использованы в работах, проводимых на физическом факультете МГУ, НИИЯФ МГУ, ИЯИРАН, ЛТФ ОИЯИ, ФИ-РАН, ИТЭФ, МИРАН.

Апробация работы. Основные результаты диссертации доклады-

алпсь на семинарах физического факультета МГУ, на семпнаре отдела еоретической фпзнкн высоких энергий НИИЯФ МГУ а также на семп-арс весенней школы по непертурбативньш эффектам в струнных теорп-х Международного ппстптута теоретической физики, Триесте, Италия, прель 1997.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ.

Структура диссертации. Диссертация состоит пз введения, четы-сх глав основного текста, заключения и списка цитируемой лптерату-ы. Объем диссертации составляет 93 страницы текста, набранного в здательской системе LATEX.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении формулируются мотивации и целп исследования а так--íc описывается структура диссертационной работы.

В главе 1 даются все необходимые сведения по калибровочным мо-(елям ВЗВ, показывается, как модели ВЗВ естественным образом обобщают теорпп струн в плоском пространстве, указываются простейшие равптацпонные фоны, получающиеся с помощью некоторых элементарных групп; в частности, приводится пример решения, соответствующего (вумерной дплатонной черной дыре.

В параграфе 1 введена некалпбровочная модель ВЗВ, указаны ее спм-1стрпп и построена вся структура конформной теорпп. В частности, грпведены алгебры Впрасоро и Каца-Мудп с соответствующими цен--ральньш зарядом п уровнем.

Параграф 2 содержит описание всех калибровочных моделей ВЗВ, кпользуемых в диссертации. Здесь показана их алгебраическая структура конформной теории. В частности, показано, что они являются ла--ранжевой реализацией конструкции Годдарда-Кента-Олпва.

Параграф 3 посвящен оппсанпю того, как аксиальная калибровочная модель ВЗВ, определенная на SL(2,R)/U(1), описывает двумерную дп-татонную черную дыру. Проведена также классификация всех однород-

ных пространств, которые б принципе могут описать распространешк струны в физически интересных пространствах.

Глава 2 посвящена однопетлевому анализу различных классически эквивалентных калибровочных моделей ВЗВ. Основными ее результатами являются: установление однопетлевой эквивалентности дву> классически эквивалентных описаний модели Гуадагнинп-Мартеллпни-Мпнтчева, т. е., описание с калибровочными полями па мировой поверхности и в модслп где эти калибровочные поля исключены с помощью ш уравнений движения; доказательство конечность векторной калибровочной моделп ВЗВ в описании, где присутствуют калибровочные поля на мировой поверхности.

В параграфе 1 рассматриваются однопетлевые контрчлены в разных классически эквивалентных описаниях калибровочной моделп ВЗВ. В подпараграфе 1 с помощью метода фонового поля п используя размерную регуляризацию вычислены однопетлевые контрчлены для векторной калибровочной моделп ВЗВ в описании, где присутствует калибровочное поле на мировой поверхности. Стандартный вклад в контрчлены, идущей от некалпбровочной частп равен

Д/ = 1бЬ/^""Тгд.дд.д-1, (1]

где т]>"/ -разница между метрическим тензором в пространстве размерности (<1 = 2 — 2е) и метрическим тензором двумерного мпнковского пространства. Этот контрчлен исчезает прп снятии регуляризации (е —► оо) Для вычисления контрчленов, связанных с калибровочной части удобнее всего прп применении метода фонового поля учитывать, что и ддд~х принадлежат алгебре группы С. Более того, они представляют собой лево и правопнварпантные токи на группе соответственно. Пс определению элемента алгебры, и считая тт(х)а квантовым возмущением

д-%д = Ъе%жа

д»дд~1 = Т&др тг°, (2]

где Т{ генераторы алгебры. Эти выражения служат определением е\ е которые определяют метрику на б согласно даЬ = е'ае\ = ё'аё\. В аксиальной калибровке (Лг = 0), единственный вклад в контрчлены имеет

:пд

/У"/Z"7Т'Т1 с'аr'IЛ*"«"A* OJtt^O^K , (3)

де />''" = if" — f'"\ Вклад от этого члена равен нулю в силу свойств оответствующих тензоров.

В подпараграфс 2 анализируется вопрос о восстановлении однопетле-¡ой конформной инвариантности, которая нарушается если просто за-1енпть калибровочное поле решением его уравнений движения. Здесь голучены все двумерные метрики для которых существует дплатонное юле, обеспечивающее однопетлевую конформную инвариантность. В лучае, когда двумерная метрика имеет впд

dl2 = dr2 + f(r)de2, (4)

де /(г) произвольная функппя от г, условие существования дплатонно-о поля, обеспечивающего конформную инвариантность имеет впд

fin tu fil о fl

Т-{7)2 J+ bl)2 = 0- (5)

)то уравнение не позволяет решить вседга ли существует дплатон с по-ющью которого можно сделать конформной инвариантной нелинейную :пгма-модель, результирующую из замены калибровочного поля реше-шем своего уравнения движения в калибровочной модели ВЗВ. Этот !Ывод сделан на основе анализа групповых свойств этого уравнения.

В параграфе 2 рассматривается задача об однопетлевой конформной шварпантностп векторной калибровочной моделп ВЗВ в общем случае. 5десь показано, что с помощью одних только групповых соотношений не-юзможно доказать однопетлевую конформную пнварпантность в общем лучае для калибровочной моделп ВЗВ после исключения калпбровоч-гого поля мировой поверхности. Препятсвпем на этом пути являются :вопства матрицы

MtJ = l-TrTigTj9-\ (6)

'де g элемент группы а Т, генераторы калибровочной подгруппы, с помо-цью этой матрицы можно показать, что полученная метрика в нелейной :игма-моделп после исключения калибровочного поля сингулярна если ;е определить с помощью групповых пндексов.

Наконец, в параграфе 3 проведен однопетлевой анализ расходпмо-;тей модели Гуадагнини-Мартеллпни-Мпнтчева. Устанавливается, что

теория конечна, если сс записать с помощью калибровочных полей i мировой поверхности. Проводится сравнение указанного однопетлев* го результата с существующими в литературе результатами однопетл вых контрчленов при исключенном калибровочном поле. Однопетлевс контрчлен в модели где присутсвуст калибровочное поле на мирово поверхности равен

гГ+ndvVV-1}, (',

и обращается в нуль при выборе кг = т п кг' = п где пит уровни мод< лей ВЗВ невзаимодействующей части. Здесь же обсуждаются причти отличия в поведениях калибровочной модели ВЗВ и моделп ГММ.

В главе 3 изучаются космологпческпе моделп, полученные с пс мощью калибровочной модели ВЗВ, определенной на 50(2,2)/50(2) : 50(1,1) и £0(2,2)/50(2). Эти однородные пространства не являютс произведением однородных пространств меньшей размерности и допус кают более физическое поведение струнной константы связи (дплатона

В параграфе 1 изучен низкоэнергетпческий предел калибровочно: векторной моделп ВЗВ, определенной на 50(2,2)/50(2) х 50(1,1). Фо: представляет собой вселенную, которая в начале анпзотроппческн рас ширяется и в конечной стадии достигает статического предела. Пр. малых значениях времени t метрика имеет следующий вид

ds2 = dt2 - -dr2 - 12Ш2 + sinh2 edif ) 4

- t2 (sin ipdOdr-\---— cos ipdipdr). (8

Первая строка описывает метрику Кантовского-Сакса с отрицатель ной кривизной, вторая строка интерпретируется как поправка. Метрп ка описывает расширяющуюся вселенную, поскольку элемент объем; у/—д = |<2sinh# постоянно увеличивается в пределах рассмотрении: значений t. Расстояние между двумя наблюдателями равно tAO, ест их положения отличаются только по координате в, и равно Дг, еслз положения отличаются только по координате г. Хотя метрика имее1 начальную сингулярность t = 0, в этом моменте дплатон имеет виол не определенное значение равное Ф = 2lasinh(r/2). Такого поведение нельзя встретить в двумерных теориях. Это является чисто струнныг

ффектом, дающим возможность анализировать космологические модс-:п в сингулярной области.

В параграфе 2 анализируется один из пятпмсрных косетов "0(2,2)/50(2), имеющих одну временную координату. Показано, что :ри размерной редукции до четырех измерений, появляются разные годпфпцированные космологпческпе модели типа Кантовского-Сакса в апнси стадии развития вселенной, а в более поздней стадии модель ппсывает статическую вселенную. Все модели можно локально пред-тавпть как вселенную Каптовского-Сакса с отрицательной кривизной. 5 этом параграфе фон имеет абелевые калибровочные поля, возникающие при проведении размерной редукции.

Глава 4 посвящена построению решений, включающих неабелевы ¡ространственно-временные калибровочные поля. В качестве явно-о примера приводятся вычисления для конформной теории на косее 50(4)/50(3), которая является естественным обобщением двумерной юнопольнои теорип на косете 50(3)/50(2). Так же рассмотрены гете-ютпческпе косетные модели на 50(3,2)/50(3,1) и 50(2,1)/50(1,1).

В параграфе 1 коротко оппсана конструкция гетеротпческой ко-етноп модели на примере косета 50(3)/50(2) и обсуждены проблеем, появляющиеся для неабелевых подгрупп, нужных для введения [ространственно-временных неабелевых полей как части фона.

В параграфе 2 приводятся все вычисления, соответствующие одно-юдному пространству 50(4)/50(3). На примере 50(3) описаны все [роблемы, возникающие для неабелвых подгрупп. Калибровочное поле смеет следующий вид

--т БШ Ф БШ 29,

1 + г2

г'

--, сое ф БШ 29,

1

а1 = о,

А'г = О,

здесь г - 1,2,З-индексы в алгебре во(3) а (г,6,ф)— координаты ш однородном пространстве 50(4)/50(3), которые отождествляются ( пространственно-временными координатами.

Параграф 3 описывает конструкцию в случае некомпактных однородных пространств 50(2,1)/50(1,1) и 50(3,2)/50(3,1). Первая модель описывает двумерную черную дыру с электрическим зарядом. Втора! модель описывает вселенную анти-де-Ситтера и магнитными неабеле-вымп полями. Представленная конструкция является единственной I литературе где модель, построенной на 50(3,2)/50(3,1) допускает прозрачную физическую интерпретацию. Калибровочные поля в этой модели пренадлежат алгебре ао(3,1).

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Вычислены однопетлевые контрчлены до п после исключения калибровочного поля в двух классах конформных теорий: в калибровочной модели ВЗВ и модель ГММ. Установлена причина нарушения однопетлевоп конформной инвариантности для калибровочной модели ВЗВ. Для калибровочной модели ВЗВ получено препятствие доказательству однопетлевоп конформной инвариантности, исполь-зущему только групповые соотношения.

2. Построена векторная калибровочная модель ВЗВ на однородном пространстве 50(2,2)/50(2) х 50(1,1). Показано, что она описывает космологическую модель вселенной, которая вначале анпзо-тропически расширяется по сценарию вселенной анти-де-Ситтера и в конце временной эволюции достигает статического предела. С помощью гетеротической косетпой модели включены электромагнитные поля в эту модель.

3. Построены различные модификации космологии Кантовского-Сакса, возникающие в четырехмерном пространстве в результате

размерной редукцпп аксиальной калибровочной модели ВЗВ на однородном пространстве 50(2,2)/50(2).

4. Показано, что для фонов, полученных с помощью однородных пространств размерности четыре, не являющихся произведением двух двумерных однородных пространств, структура спнгулярностеп существенно отличается от известной в литературе. Более того, поведение струнной константы связи становится более гладким.

5. Построены с помощью гстеротпческоп косетной модели точные струнные решения, содержащие неабелевы поля. В частности, построена теория, обобщающая двумерный монополь и теория, имеющая пространственно-временную структуру вселенной антп-де-Ситтера и калибровочные поля, принадлежащие группе 50(3,1).

ПУБЛИКАЦИИ

Результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. В.В. Белокуров и JI.A. Пандо Запяс, Однопетлевоп анализ эквивалентности различных описании калибровочной модели ВЗВ, ДАН 349 N6 (1996) 752.

2. L.A. Pando Zayas, Cosmological Theories From 50(2,2)/50(2) x 50(1,1), Phys. Lett. B398 (1997) 274.

3. L.A. Pando Zayas, Modified Kantowski-Sachs Cosmologies From Coset Models, Phys. Lett. B407 (1997) 121.

4. М.З. Иофа и JI.A. Пандо Запяс, Неабелевы поля в гетеротпческой косетной модели, Ядерная Физика 60 N11 (1997) 2104.

5. M.Z. Iofa and L.A. Pando Zayas, Nonabelian Fields in Exact String Solutions, Mod. Phys. Lett. A12 (1997) 913.