Структура расходимостей и свойства рядов теории возмущений в моделях квантовой теории поля тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В.ЛОМОНОСОВА

На. правах рукописи

Белокуров Владимир Викторович

СТРУКТУРА РАСХОДИМОСТЕЙ И СВОЙСТВА РЯДОВ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ В МОДЕЛЯХ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ.

01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат

диссертации ва соискание ученой степени доктора фнзихо-ыатематических наук

Москва 1995

Работа выполнена в Научно-исследовательском институте ядерной

физики имени Д.В. Скобельцына Московского Государственного

»

Университета имени М.В.Ломоносова.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

член-корреспондент РАН, профессор В.Г.Кадшпевский (ОИЯИ); доктор физико-математических наук, профессор Д.А. Славнов (Физфак МГУ); доктор физико-математических наук, профессор Р.Н.Фаустов (НСК РАН).

Ведущая организация : Институт Ядерных Исследований РАН.

Защита состоится 1996 г. в У\ - час. на засе-

дании Специализированного Ученого Совета Д 053.05.41 при Московском Государственном Университете им. М.В .Ломоносова по адресу: 119899, г. Москва, Воробьевы горы, МГУ, физический факультет, луп. ^ .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан "

1995г.

Ученый секретарь Специализированного Совета доцент

И.А. Квасников

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В настоящее время фундаментальные взаимодействия, проявляемые в микромире, получили адекватное описание в рамках квантовой теории поля - концептуально и технически наиболее передового раздела современной теоретической физики.

Основным инструментом исследований в квантовой теории поля является теория возмущений, в которой различным физическим величинам ставятся в соответствие разложения по степеням константы связи д -малого параметра, характеризующего интенсивность взаимодействия.

Как известпо, члены таких разложений, вообще говоря, содержат так называемые ультрафиолетовые расходимости, обусловленные локальностью элементарного акта взаимодействия квантовых полей.

Математическая причина появления ультрафиолетовых расходимо-стей состоит в том, что в коэффициенты разложения матрицы рассеяния по теории возмущений входят произведения функций Грина, являющихся обобщенными функциями, а такие произведения не определены в случае, когда особенности сомножителей совпадают. Правила доопределения произведений сингулярных функций Грина квантовой теории поля устанавливаются Д-операцией Боголюбова, которая служит действенным средством получения конечных и однозначных ответов в пер-турбативных вычислениях в передармируемых моделях квантовой теории поля. Результат действия А-операции эффективно можно представить как добавление к лагранжиану некоторых операторных структур с бесконечными коэффициентами. В перенормируемых теориях количество операторных структур, содержащих ультрафиолетовые расходимости, конечно, и они имеют тот же вид, что и отдельные слагаемые полного лагранжиана. Поэтому введение конечного числа сингулярных контрчленов позволяет в перенормируемых теориях устранить все ультрафиолетовые расходимости.

Процедура перенормировки привносит дополнительные степени свободы, соответствующие выбору разных схем и масштабов перенормировки. Ренорминвариантность физических величин, т.е., независимость их от произвола, содержащегося в условиях перенормировки, составляет концептуальную основу метода ренормгруппы. В этом методе результаты вычислений в конечных порядках теории возмущений, вообще говоря, не являющиеся ренорминвариантными, модифицируются по некоторым специальным правилам так, чтобы получились ренорминва-риаытные выражения, при разложении которых по степеням константы связи воспроизводятся исходные пертурбативные выражения.

В настоящее время метод ренормгруппы представляет собой регулярный метод улучшения квантовополевои теории возмущений, с помощью которого находятся многие важные физические характеристики и, в частности, различные асимптотики, играющие определяющую роль в выборе модели для описания того или иного фундаментального взаимодействия. В связи с этим, значительный интерес представляет изучение различных сторон этого метода, включая и исследование области его применимости.

В развитии современной квантовой теории поля отчетливо прослеживается тенденция создания все более сложных моделей, описывающих одновременно разные взаимодействия полей. Такие модели могут содержать набор различных полей, в том числе взаимодействующих друг с другом сложным нелинейным образом, и, как правило, обладают достаточно высокой симметрией. При этом, наличие в теории симметрии может оказывать влияние на характер возникающих ультрафиолетовых расходимостей, приводя даже к их сокращению.

Компенсацию расходимостей можно наблюдать, в частности, в ка-либровачно инвариантных теориях, в которых из-за локальной симметрии между различными функциями Грина существуют определенные соотношения, что накладывает ограничения на структуру возможных расходящихся контрчленов. В результате калибровочные теории оказываются перенормируемыми, что выделяет их из всех квантовополевых моделей, содержащих векторные поля.

Возможные обобщения симметрии в квантовополевых моделях связаны с рассмотрением теорий с неполиномиальным взаимодействием, полевые функции в которых принимают значения в пространствах с

нетривиальной геометрической структурой. Одним из примеров таких теорий могут служить так называемые нелинейные сигма-модели. Интерес к ним вызван, в частности, и потребностями теории струн, в которых идея объединения взаимодействий реализуется в наиболее радикальном виде. Как известно, возможность построения непротиворечивой квантовой теории струн обеспечивается ультрафиолетовой конечностью соответствующей нелинейной двумерной сигма-модели. В свою очередь конечность нелинейных двумерных теорий связана со геометрическими свойствами их полевых многообразий. В связи с этим, изучение структуры расходимостей в нелинейных двумерных теориях с различными типами полевых многообразий представляет собой чрезвычайно важную задачу.

Вызывают также большой интерес и различные обобщения калибровочных теорий, в которых проявляется инвариантность, связанная с бесконечномерными алгебрами Вирасоро и Каца - Муди.

Важное значение имеет понимание характера реализации идеи теории возмущений в моделях квантовой теории поля. В различных кван-товополевых моделях расчеты, выполненные в нескольких первых порядках разложения по степеням константы связи, находятся в хорошем согласии с результатами экспериментов. Подтверждаются экспериментально и предсказания, полученные методом ренормгруппы, относительно асимптотического поведения различных квантовополевых функций при больших значениях динамических переменных (высокоэнергетическая асимптотика и т.п.).

Вместе с тем, почти сразу же после создания основ пертурбативпого подхода в квантовой теории поля было замечено, что вклада высоких порядков в силу роста коэффициентов при больших степенях дп могут оказаться очень большими и ряд теории возмущений, вообще говоря, расходится.

Это означает, что степенные ряды, возникающие при применении теории возмущений в квантовой теории поля, представляют собой асимптотические разложения в смысле Пуанкаре, которые служат хорошим приближением для исследуемых величин лишь в области достаточно малых значений д.

Итак, в квантовополевой теории возмущений приближенное вычисление изучаемых величин, задаваемых, например, в виде континуальных

интегралов, сводится к вычислению конечного (и, как правило, небольшого) числа членов асимптотического разложения по степеням константы связи. В рамках такого подхода невозможно провести вычисление с произвольной заданной точностью и, более того, из-за расходимости ряда невозможно, вообще говоря, даже установить точность сделанного приближения.

Поэтому значительный интерес представляет разработка альтернативных пертурбативных методов, в которых указанные трудности были бы преодолены.

Целью диссертации является развитие метода ренормгруппы и применение его для нахождения некоторых асимптотик, исследование структуры расходимостей в различных квантовополевых моделях и изучение влияния на их вид существующих в теории симметрии, а также разработка новых подходов в теории возмущений для приближенного вычисления континуальных интегралов квантовой теории поля с любой точностью.

Научная новизна и практическая ценность. В диссертации изучена возможность применения метода ренормгруппы для исследования квантовополевых функций, зависящих от многих аргументов. Показано, что, вообще говоря, с помощью метода ренормгруппы невозможно установить вид зависимости квантовополевых функций от отношения двух или более безразмерных комбинаций размерных переменных типа импульсов и масс.

Предложен новый способ построения приближенных решений, соответствующих нескольким первым членам ^-функции. Для этого получено операторное представление уравнений ренормгруппы и их решений, в котором уравнение ренормгруппы для инвариантного заряда записывается как совокупность соотношений между векторами некоторого абстрактного гильбертова пространства, а решение этого уравнения выражается в виде значения некоторого линейного функционала.

Особое место в диссертации занимает задача вычисления /3-функции в модели дф4 в двух- и трехпетлевом приближении. Полученные здесь результаты нашли многочисленные применения и послужили началом развития важного направления в пергурбативяой квантовой теории поля, связанного с многопетлевыми вычислениями.

В диссертации развит метод вычисления расходящихся квантовых поправок в нелинейных двумерных теориях поля. Для этого в рамках ковариантного метода фонового поля предложена новая схема инвариантной инфракрасной регуляризации, эффективная при вычислении большого количества диаграмм невысокого порядка. В двухпетлевом приближении вычислены контрчлены в двумерной нелинейной сигма-модели с членом Весса - Зумино, и показано, что ультрафиолетово конечными оказываются лишь сигма-модели с лараллелиэуемыми полевыми многообразиями. Впервые рассмотрено вычисление контрчленов в двумерной нелинейной сигма-модели с произвольным аффинно -метрическим полевым многообразием, в котором связность и метрика не согласованы. Найденные в двухпетлевом приближении контрчлены позволяют указать примеры ультрафиолетово конечных аффинно

- метрических сигма-моделей с ненулевым тензором Римана полевого многообразия.

Изучена связь между наличием симметрии в теории и сокращением расходимостей в различных квантовополевых моделях. Установлено, что из условия инвариантности действия сигма-модели с членом Весса

- Зумино относительно полного набора преобразований координат полевого многообразия следует, что обобщенный тензор кривизны, включающий вклады от кручения, тождественно равен нулю на всем полевом многообразии. Для нелинейной двумерной теории, действие которой есть сумма действий двух моделей Весса - Зумино - Виттена и некоторого определенного взаимодействия между ними, впервые показано, что, несмотря на существование в теории сохраняющихся токов, теория оказывается конечной только при специальном выборе параметров, при котором данная нелинейная модель калибровочно инвариантна и определена на однородном пространстве. Впервые показано, что Кац

- Муди калибровочно инвариантные теории конечны в однопетлевом приближения. Найден класс ультрафиолетово конечных пятимерных калибровочных теорий, содержащих высшие производные.

Вместо асимптотических разложений стандартной теории возмущений, справедливых лишь в области достаточно малых значений констант связи, предложен новый подход к построению теории возмущений, в рамках которого исследуемые ветчины могут быть вычислены с произвольной точностью для любых значений констант связи. В

основе этого подхода лежит возможность приблизить сколь угодно точно континуальные интегралы квантовой теории поля некоторыми другими (регуляризованными) континуальными интегралами, допускающими разложение в сходящиеся ряды. Это достигается за счет регуляризации подынтегрального выражения в исходном континуальном интеграле, при сохранении формы самого континуального интеграла, поэтому члены нового (сходящегося) ряда находятся с использованием приемов традиционной теории возмущений (теоремы Вика, диаграммная техника Фейнмана и т.д.). При этом для любого конечного числа членов ряда, выбрав соответствующее значение параметра регуляризации, можно добиться того, чтобы эти члены нового (сходящегося) ряда практически совпадали с соответствующими членами ряда традиционной теории возмущений. Новый подход к теории возмущений, ставящий в соответствие вычисляемым объектам сходящиеся ряды, обоснован в диссертации для конечномерных интегралов и континуальных интегралов евклидовой квантовой теории поля, если гауссовская мера задается с помощью некоторого ядерного оператора. В отличие от традиционной теории возмущений, в которой существуют принципиально невычислимые "непертурбативные" вклады, новый метод позволяет вычислять и их с любой точностью.

Таким образом, в диссертации исследованы свойства ренормгруппо-вой перестройки рядов теории возмущений, определена структура расходящихся квантовых поправок в некоторых важных квантовополевых моделях и устанавлена ее связь с существующими в модели симметри-ями, развит новый подход к квантовополевой теории возмущений. Исследования, лежащие в основе диссертации, дают важную информацию о свойствах различных квантовополевых моделей и расширяют вычислительные возможности нертурбативной квантовой теории поля. Результаты этих исследований, часть из которых уже нашла широкое применение, могут быть использованы во многих задачах, в том числе и не входящих в круг проблем, рассматриваемых в диссертации.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научных семинарах НИИ ядерной физики МГУ, Лаборатории теоретической физики ОИЯИ, Института ядерных исследований РАН, Математического института РАН, Физического института РАН,

Института теоретической физики Пекинского университета (Китай), Международного центра теоретической физики в Триесте (Италия), Института теоретической физики университета в Стони Брук (США), на научных сессиях Отделения ядерной физики РАН, а также на всероссийских и международных конференциях "Хромодинамика - 82" (Новороссийск, 1982 г.), "Структура адронов - 85" (Братислава, 1985 г.), "Кварки - 88" (Тбилиси, 1988 г.), VI и VII Ломоносовских коференциях по физике элементарных частиц (Москва, 1993 г., 1995 г.)

Публикации. По результатам диссертации опубликовано 19 работ, указанных в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения; ее объем составляет 197 страницы; список литературы содержит 189 наименований.

Содержание работы

Во введении дается краткий обзор истории развития и современного состояния некоторых принципиальных аспектов пертурбативной квантовой теории поля, формулируются проблемы, решение которых содержится в диссертации, и обосновывается их актуальность, а также приводится распределение материала по главам.

В главе I исследуются решения уравнений ренормгрудпы, зависящие от двух или более безразмерных комбинаций некоторых размерных переменных. Показано, что в общем случае вид функциональной зависимости от отношения безразмерных аргументов методом ренормгруп-пы определен быть не может.

В §1 дается краткий обзор основных положений ренормгрушхового подхода, излагается схема получения ренормгруштавых уравнений и построения их решений.

В §2 изучается возможность использования метода ренормгрудпы для получения вида зависимости функций д{х, у, д) и Г(ж, у, д) от отношения двух аргументов: - .

Общий вывод, который может быть сделан в результате этого рассмотрения, состоит в том, что вид зависимости от отношения двух аргументов не может быть определен с помощью уравнений ренормгруяпы без введения дополнительных предположений.

Это связано с тем, что из множества решений, задаваемых некоторой формулой общего решения уравнения ренормгрунпы невозможно выделить единственное решение, поскольку нет условия, типа условия однородности в безмассовой теории, благодаря которому зависимость от х решения уравнения ренормгрушшг в безмассовой теории в каждом порядке теории возмущений задается некоторыми степенями Ina;. Так, например, если взять в качестве исходного приближения для инвариантного заряда первый порядок теории возмущений:

то не все из коэффициентов могут быть найдены из уравнения ренормгрунпы. Так, для коэффициентов ащ^ц и йцк-1)о получаемые соотношения вырождаются в бессодержательные тождества. В результате получается целое семейство решений уравнений ренормгруппы.

Произвол в решении уравнения ренормгруппы связан с тем, что добавление в каждом порядке слагаемых

с произвольными с к не нарушает ренорминвариантность решения , но меняет коэффициенты а^-^о и ам(к-1) • Отсюда, в частности, следует, что с помощью уравнения ренормгруппы, исходя из информации, полученной в некотором порядке теории возмущений, невозможно определить асимптотику квантовополевых функций в области, где принимает большие значения, поскольку неопределенность в решении содержится именно в члене со старшей в каждом порядке степенью /.

В §3 на примере вершинных функций, зависящих от двух аргументов, получены единственные решения в некоторых специальных случаях. В частности, из общего решения функционального уравнения ренормгруппы для вершинной функции, привлекал дополнительную информацию относительно ее зависимости от одного из аргументов, можно

9{Рт(х,у,д) = д + д2 [/ (-)"/(")

и искать решение в виде

получить вид ее асимптотической зависимости от отношения квадрата переданного импульса к квадрату массового параметра. Например, если в теории известны какие-то дополнительные свойства, позволяющие связать решения уравнений ренормгруппы для функций, зависящих от двух аргументов х, у, с решениями, зависящими от одного аргумента а;, то это позволяет получить однозначные решения и в двух-аргументном случае.

Единственное решение уравнения ренормгруппы для функций, зависящих от двух аргументов, выделяется также и в случае, когда существенная зависимость от одного из них отфакторизовывается известным образом. Так, при известном инфракрасном поведении с помощью уравнения ренормгруппы удается установить асимптотическую зависимость вершинной функции от отношения квадрата переданного импульса к квадрату массового параметра. Однако определить вид зависимости от отношения двух импульсных аргументов х и г таким способом уже не удается. Соответствующее уравнение ренормгруппы для произвольной функции F вырождается в тривиальное тождество.

Глава II посвящена приближенным решениям ренормгрушювых уравнений, найденным с использованием информации, полученной в нескольких первых порядках теории возмущений.

В §4 с помощью соотношений для коэффициентов разложения инвариантного заряда по степеням константы связи и логарифма безразмерной динамической переменной

д(*,д) = Е аъ......•,..5(1+1'2+2,'5+-+(4-1)1Ч+-)(1^)(,2+-+!'+-),

которые следуют из уравнения ренормгруппы для инвариантного заряда, получается решение этого уравнения в виде значения некоторого линейного функционала

д(г,<7)=дГ[<7].

Здесь

<7= Е о,-,,..., {1г „1д(|2, ...,»*,...)

- специальный вектор в тензорном произведении некоторых бесконечномерных линейных пространств (го(г2,... ,п,...) - векторы базиса в этом произведении пространств).

В §5 рассматривается задача получения приближенных решений уравнений ренормгруппы для инвариантного заряда, когда (3 - функция задается конечным числом членов ряда теории возмущений. Приближенные решения правильно (с точки зрения ренормгруппы) воспроизводят все члены ряда теории возмущений, которые связаны с известными слагаемыми Д-функции соотношениями, вытекающими из уравнений ренормгруппы, при этом, остальные члены произвольны. Так, если взять в качестве функции ¡3(д) выражение

Р{2)(9) = Ь2192 + Ъпд3 + ...1-Ьк1дк,

полученное в результате вычисления всех фейнмановских диаграмм, содержащих не более к — 1 петли, то решение уравнения ренормгруппы правильно определит слагаемые вида

д(д]пх)\ д\д\пх)\...Лк-хХдЫх)\

Если суммировать в каждом порядке только такие слагаемые, полагая остальные равными нулю, то получатся некоторые приближенные решения уравнений ренормгруппы. Для построения приближенных решений в этом параграфе используются операторные методы, развитые в предыдущем параграфе.

В частности, если известны Ью,Ь^1,Ь31,Ьц , то приближенное решение для этого случая имеет вид

д (хд)= 9 - 6213 ж) |

3 ' 1-Ь21д1пх &21 (1 - ¿»210Ья)2

3Ьи Ь21дЪх &2х (1 - Ь21д1ва)3

3 (6зЛ2 ¿>210+ 1п(1 - й21д1пз;) - 1п2(1 - 621д1пзр 9 (1 - 62151паг)3 "

В §0 обсуждается вопрос о том, насколько полученные методом ренормгруппы результаты, которые основаны на информации, учитывающей конечное число порядков теории возмущений, зависят от числа взятых членов ряда теории возмущений и от выбранных параметров разложения. Как пример зависимости от порядка теории возмущений

(т.е., от числа петель вычисляемых диаграмм) рассмотрены результаты вычисления Д-функции в модели дф1 в нескольких первых порядках, приводящие к разному типу асимптотического поведения эффективной константы связи.

В качестве примера первого результата, положившего начало исследованиям, связанным с многопетлевыми вычислениями, приводится полученное в схеме импульсных вычитаний выражение для /^-функции

На примере описания в рамках квантовой хромодинамики процессов рождения адронов с большими поперечными импульсами как результата кварк-кваркового рассеяния на большие углы продемонстрировано, что выбор в качестве параметра разложения эффективной константы связи улучшает согласие получаемых выражений с экспериментом. В этом случае инклюзивные сечения процессов рождения адронов с большими поперечными импульсами имеют почти степенное поведение

В зависимости от числа задействованных кварков для 2N получается величина, лежащая в интервале от 6,4 до 10, что согласуется с экспериментальными данными.

Глава III посвящена анализу структуры расходимостей в нелинейных двумерных сигма-моделях.

В §7 обосновывается важность изучения структуры ультрафиолетовых расходимостей двумерных теорий для построения непротиворечивой теории струн. Показывается, что играющая фундаментальную роль в квантовой теории вейлевская инвариантность обеспечивается ультрафиолетовой конечностью соответствующей нелинейной двумерной сигма-модели.

Напоминаются определения основных геометрических структур, характеризующих полевое многообразие сигма-модели, и приводятся некоторые соотношения между ними. Также напоминаются идеи метода фонового поля и получаются основные формулы, позволяющие применить его для вычисления контрчленов в нелинейных двумерных сигма-моделях.

0мом(9) = 3д>- у153,65 g4.

В §8 обсуждается структура возможных ультрафиолетовых контрчленов в нелинейных двумерных сигма-моделях, задаваемых действием, включающим член Весса - Зумино,

Б = У <?х{аф] гГ + .

Л/ о

Показано, что можно рассматривать данную модель как перенормируемую в обобщенном смысле, считая, что происходит перенормировка геометрии полевого многообразия:

+ , Д; Д; + Цщ •

В силу этого оказывается возможным определить ренормгрулповые функции и записать уравнения ренормгруппы, подобные тем, какие существуют в обычной ренормируемой теории шля,

Рассмотрена также проблема разделения ультрафиолетовых и инфракрасных расходимостей в двумерных теориях и предложен способ инвариантной инфракрасной регуляризации, особенно удобный для вычисления в невысоких порядках большого количества разных вкладов. Этот способ состоит в добавлении в каждом порядке выражения (отражающего структуру ^'-операции), которое имеет вид

где для каждого конкретного порядка теории возмущений в качестве С?,у и Сн подставляются величины, перенормированные с точностью до предыдущего порядка.

В §9 проводится вычисление в двухпетлевом приближении контрчленов в двумерной нелинейной сигма-модели с членом Весса - Зумино, геометрия полевого многообразия которой удовлетворяет условиями:

Щ;ы;п = — 0.

Найденные двухпетлевые контрчлены (коэффициенты при простом и двойном полюсах по параметру ультрафиолетовой регуляризации) имеют вид

ТШ = + + + аД^Г^.

гтЧ2) _ п а-ас с-' о с4 (2)0' - - ¿э у •

При этом получаются следующие /^-функции рассматриваемой модели в двухпетлевом приближении:

А^ =0 •

Отсюда следует, что ультрафиолетово конечными являются лишь сигма-модели с параллелизуемыми полевыми многообразиями (многообразиями, для которых выполняется условие — 0).

В §10 рассмотривается обобщение метода вычисления контрчленов двумерной нелинейной сигма-модели с действием

1(<р) = I

на случай, когда ее пространство - мишень представляет собой аффин-но - метрическое многообразие, для которого не предполагается согласованности связности с метрикой. В этом случае связность имеет вид

где

г(о).о- = + - д*си)

— символ Кристоффеля,

= + - Кцр) + +

— дефект связности, Яу^С?у — тензор неметричности, — Г^ — тензор кручения.

В двухпетлевом приближении вычислена ^-функция и указаны примеры ультрафиолетово конечных сигма-моделей с ненулевым тензором Римала полевого многообразия. В частности, модель будет конечной при

фу к = 0, Кцк — Кщк), — —~У(кКщ.

В этом случае тензор Римана отличен от нуля и равен

1 т 1 Ъы; = -K i{iKj]mk - -v(kKVjij ■

В главе IV изучается влияние симметрии на сокращение расходи-мостей в некоторых квантовополевых моделях.

В §11 исследуется вопрос о связи инвариантности действия двумерной нелинейной сигма-модели и структуры геометрии полевого многообразия. Показано, что если действие бозонной или суперсимметричной сигма-модели с членом Весса - Зумино инвариантно относительно полного набора преобразований координат полевого многообразия

¿Фа = Ф)6Х,

то обобщенный тензор кривизны, включающий вклады от кручения, тождественно равен нулю на всем полевом многообразии. Следствием этого является ультрафиолетовая конечность теории.

В §12 исследуется роль калибровочной инвариантности в сокращении расходящихся контрчленов в калибровочно инвариантных двумерных нелинейных теориях. Рассматривается нелинейная двумерная теория, действие которой есть сумма действий двух моделей Весса - Зумино - Виттена и некоторого определенного взаимодействия между ними.

I = IwMU; п) + IWZW{V; т) + h{U,V-,k).

Здесь

Iww(V;n) =-£-[/ d2xTr(dliUd^U-')+

107Г L

2

- /<?yziikTr{U-ldiU U~ldjU и~1д)Д)

3

При этом II(ж) принадлежит фундаментальному представлению некоторой компактной группы С.

Аналогичный вид имеет гп)> принадлежит фунда-

ментальному представлению другой группы <3.

Предполагается, что группы б и О имеют общую подгруппу Н. Действие

к г

1х(и,У;к) =--/ (12хТг(Каи-1д.и)Тг(Пад+УУ-1),

87Г

д± = д0 ± дг.

КоцКа — генераторы представленной группы Н, относительно которых преобразуются поля 1Г(х) и У(х) :

■и-^иЩП), V -» (П(«)€Я),

нормированные условиями

ТгЯаЩ = г6а0 , ТтТ1аЩ = ?6аР.

Непосредственным вычислением одно- и двухдетлевых контрчленов показано, что, несмотря на существование в теории сохраняющихся токов, теория оказывается конечной только при специальном выборе параметров:

кг = тг, кг =■ т,

при котором данная нелинейная модель калибровочно инвариантна и определена на однородном пространстве М = (С? х £7)/Н.

Проводится сравнение однопетлевых контрчленов и устанавливается их совпадение в классически эквивалентных теориях, соответствующих двумерной нелинейной калибровочной модели, в которой присутствует калибровочное поле

Ллугиг(<7> А) = 1ткш{д) + Тл, 1а=~~/<РхТг(А+д_дд-1 - А„д~1д+д + д-'А+дА- - Л_А+),

47Г

и в которой оно исключено с помощью получаемых отсюда уравнений движения.

Для проведения вычислений необходимо модифицировать ковариант-ный метод фонового поля. Если поле д раскладывается по степеням квантового поля описанным в предыдущей главе нелинейным образом, то как для полей А+ и А_, так и для их выражений через поля д, поскольку калибровочное поле принадлежит алгебре Ли калибровочной группы, необходимо использовать обычное линейное разложение поля на классическую и квантовую части (А = АКЛ + Акв).

В §13 продолжается изучение примеров сокращения расходимостей в силу симметрийных свойств теории. Рассмотрена теория,

= £- -(ад-чад"},

где

С = - + 5 Г5с К{л'п), = ¿^ + з Г {сЛа/У("~я° - »КА™,

инвариантная относительно локальных преобразований, образующих алгебру Каца - Муди,

6аА™ = -- д,аая + ГЬс аЬт А° (п~т),

9

¿а1р™ = -» - п" + ¡аЬс аы ус (я"т), Я

где <7 — константа связи, а Л — некоторый размерный параметр.

Установлено, что с точки зрения ее ультрафиолетовых свойств эта теория эквивалентна теории поля Янга - Миллса в пятимерном пространстве - времени. Оказывается, что такие теории конечны в одно-петлевом приближении, что является следствием нечетной размерности пространства - времени (или проявления Кац - Муди инвариантности), но, вообще говоря, неиеренормируемы в старших порядках теории возмущений. Однако, калибровочно инвариантные пятимерные теории, содержащие достаточно высокие степени производных,

С, = (д + А)2'А2; з > 3,

конечны во всех порядках.

Глава V посвящена построению новой теории возмущений для вычисления континуалных интегралов квантовой теории поля.

В §14 предложен метод построения новой теории возмущений, в которой, вместо асимптотических разложений, используемых в квантовой физике в качестве рядов теории возмущений, и возникающих в результате представления континуальных интегралов в виде рядов по степеням константы связи, каждому объекту, записываемому в виде некоторого континуального интеграла, ставится в соответствие сходящийся ряд. Идея метода состоит в том, что исходный континуальный интеграл приближается некоторым другим континуальным интегралом, зависящим от дополнительного вспомогательного параметра. Точность такого приближения соответствующим выбором этого параметра может быть сделана сколь угодно высокой. Новый континуальный интеграл разлагается в абсолютно сходящийся ряд. В результате, чтобы

вычислить значение исходного континуального интеграла с произвольной точностью, достаточно взять конечное число членов ряда.

В качестве модельного примера в этом параграфе рассмотрен нульмерный аналог континуального интеграла квантовой теории поля с потенциалом V = дер* — однократный интеграл (д > 0)

+0О —00

При этом интеграл

+Я / +оо 1 \

Дд,В)= / т [ / е-*У«4>*Аг Ц>,

-Л V—оо )

„ .n i -tn -+00

00 t a* г г 2

JM= Е -7- / v(p)pndp / е-* xndx,

. TI.' J

который может быть разложен в абсолютно сходящийся ряд,

»-О п: -к

при достаточно больших R приближает интеграл 1(д) с точностью е :

Аналогично строится новая теория возмущений для кратного интеграла

/(,)= fe-W-'^dx.

RN

Р(х) — однородный неотрицательный полином четвертой степени (P(e) > О, Vx Е Rw). Этот

интеграл приближается с любой точностью

интегралом

+я i , \

J(g,R) = / <Жр) / dp,

-r \tN '

разложимым в сходящийся ряд

J = J1 + J2,

Ji = Е -±-9kAik(R) / Pk(x)e~^dx, *=о НА)!

J^tj-^—r/^A^iR) J Pk+Hx)e~W3dx.

fe—о + ан

В §15 дается доказательство справедливости предложенного в предыдущем параграфе метода для вычисления с произвольной точностью интеграла вида

/ V(h)e~sF^Mdh), и

V(h) - непрерывный однородный полином, Т - ядерный оператор. Здесь

+я / \

J(g, R) = J ф{р) jj exp (ig<PQ{h)) T(h)Mdh)j dp.

приближает исходный интеграл с любой точностью и раскладывается в абсолютно сходящийся рад:

J(g,R) = Е ~gkAik(R) / (P(h))kP(h)Mdh)+ к=о (4fc)l и

2 / VWMdh).

ь=о С« + ¿у- ц

Коэффициенты

An(R) = i* / ф(р)рЧ> -а

те же самые, что и для обычного конечномерного интеграла.

В итоге оказывается, что континуальным интегралам евклидовой квантовой теории поля можно поставить в соответствие абсолютно сходящиеся ряды, каждый член которых представляет собой континуальный интеграл от полинома по некоторой гауссовской мере:

/ T(h)Pl(h)e<^-1^afiT(dh).

н

При этом в силу абсолютной сходимости ряда задача вычисления с произвольной точностью исходного континуального интеграла сводится к вычислению конечного числа квазигауссовых континуальных интегралов.

1.8

Поскольку регуляризация затрагивает только подынтегральное выражение в исходном континуальном интеграле, а форма самого континуального интеграла сохраняется без изменений, члены нового (сходящегося) ряда могут быть найдены с использованием вычислительных приемов традиционной теории возмущений (теоремы Вика, диаграммная техника Фейнмана и т.д.).

Более того, для любого конечного числа членов ряда, выбрав достаточно большое значение параметра регуляризации, можно добиться того, чтобы эти члены нового (сходящегося) ряда практически совпадали с соответствующими членами ряда традиционной теории возмущений.

В заключении подведены итоги и сформулированы основные результаты, представленные в диссертации.

К основным результатам диссертации относятся следующие положения.

1. Показано, что в общем случае методом ренормгруппы невозможно определить функциональную зависимость квантовополевых функций от отношения двух или более безразмерных комбинаций размерных переменных типа импульсов и масс.

2. В специальных случаях, когда отсутствует перенормировка эффективного заряда, с использованием дополнительной информации об их зависимости от одного из аргументов, получены решения уравнений ренормгруппы, однозначно определяющие вид асимптотической зависимости вершинных функций от отношения квадрата переданного импульса к квадрату массового параметра.

3. Получено операторное представление уравнений ренормгруппы и их решений, в котором уравнение ренормгруппы для инвариантпо-го заряда записывается как совокупность соотношений между векторами некоторого абстрактного гильбертова пространства. При этом, решение уравнения ренормгруппы для инвариантного заряда представляется в виде некоторого линейного функционала в этом пространстве. Найдены приближенные решения, соответствующие нескольким первым членам /^-функции.

4. Получено выражение для /^-функции в модели дф"" в двух- и трех-

петлевом приближении, что впоследствии послужило началом развития многопетлевых вычислений ренормгрупповых функций.

5. В рамках ковариантного метода фонового поля предложена схема инвариантной инфракрасной регуляризации нелинейных двумерных теорий, эффективная при вычислении большого количества диаграмм невысокого порядка.

6. В двухлетлевом приближении вычислены контр члены в двумерной нелинейной сигма-модели с членом Весса - Зумино, и показано, что ультрафиолетово конечными оказываются лишь сигма-модели с параллелизуемыми полевыми многообразиями.

7. Дано обобщение метода вычисления контрчленов двумерной нелинейной сигма-модели на случай, когда ее пространство - мишень является произвольным аффинно - метрическим многообразием, в котором связность и метрика не согласованы. Вычислены контрчлены в доухпетлевом приближении аффинно - метрической сигма-модели, и указан пример ультрафиолетово конечных сигма-моделей с ненулевым тензором Римана полевого многообразия.

8. Показано, что из условия инвариантности действия сигма-модели с членом Весса - Зумино относительно полного набора преобразований координат полевого многообразия следует, что обобщенный тензор кривизны, включающий вклады от кручения, тождественно равен нулю на всем полевом многообразии.

9. Изучена связь между калибровочной инвариантностью и конечностью в нелинейной двумерной теории, действие которой есть сумма действий двух моделей Весса - Зумино - Виттена и некоторого определенного взаимодействия между ними. Непосредственным вычислением одно- и двухпетлевых контрчленов показано, что, несмотря на существование в теории сохраняющихся токов, теория оказывается конечной только при специальном выборе параметров, при котором данная нелинейная модель калибровочно инвариантна и определена на однородном пространстве.

10. Показало, что свойства ультрафиолетовой сходимости Кац - Муди калибровочно инвариантных теорий и обычных калибровочных те-

орий в пятимерном пространстве - времени эквивалентны и что эти теории конечны в однопетлевом приближении. Установлен класс ультрафиолетово конечных пятимерных калибровочных теорий, содержащих высшие производные.

11. Предложен метод приближенного вычисления континуальных интегралов с произвольной заданной точностью, который основан на том, что континуальному интегралу ставится в соответствие некоторый абсолютно сходящийся ряд. Это достигается за счет регуляризации подынтегрального выражения в континуальном интеграле, при сохранении формы самого континуального интеграла. В результате, члены нового (сходящегося) ряда находятся с использованием приемов традиционной теории возмущений (теоремы Вика, диаграммная техника Фейнмана и т.д.).

12. Доказано, что, если гауссовская мера задается с помощью некоторого ядерного оператора, то континуальным интегралам евклидовой квантовой теории поля можно поставить в соответствие абсолютно сходящийся ряд, каждый член которого представляет собой континуальный интеграл от полинома по некоторой гауссовской мере.

Результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Белокуров В.В. и Камчатный В.В. Насколько эффективен метод ренормгруппы для функций, зависящих от многих аргументов. Препринт НИИЯФ МГУ 95-20/384, Москва, (1995) 12 с.

2. Belokurov V.V., Kazakov D.I., Sbirkov D.V., Slavnov A.A. and Vladimirov A.A. Ultraviolet asymptotics in spontaneously broken gauge theories. Phys.Lett. В v.47 (1973) N 4, 359-361.

(JINR preprint E2-7320, Dubna, (1973) 7 p.)

3. Белокуров B.B., Владимиров A.A., Казаков Д.И., Славнов A.A. и Ширков Д.В. Ультрафиолетовые асимптотики в присутствии не-абелевых калибровочных полей. Теор.Мат.Физ. т.19 (1974) N 2, 149-165.

(JINR preprint Е2-7562, Dubna, (1973) 28 p.)

4. Белокуров В.В. и Камчатный В.В. Операторный метод решения уравнений ренормгруппы. Фунд.Прикл.Мат. т.1 (1995) N 3, 613621.

5. Белокуров В.В. и Камчатный В.В. Структура решений уравнений ренормгруппы. Препринт НИИЯФ МГУ 95-21/385, Москва, (1995) 10 с.

6. Белокуров В.В. Рождение частиц с большими поперечными импульсами и квантовая хромодинамика. Вестн.Моск.Ун-та, Сер.З (Физика и Астрономия) т.20 (1979) N 3, 74-77.

7. Белокуров В.В. и Иофа М.З. Параллелизуемость многообразия суперсимметричной сигма-модели как следствие сохранения токов. Вестн.Моск.Ун-та, Сер.З (Физика и Астрономия) т.29 (1988) N 2, 7-11.

8. Белокуров В.В. и Иофа М.З. Бета-функция нелинейной двумерной сигма-модели. Препринт НИИЯФ МГУ 88-006/27, Москва, (1988) 15 с.

9. Белокуров В.В. и Казаков Д.И. Расходимости в двумерных нелинейных сигма-моделях. ЭЧАЯ т.23 (1992) вып.5, 1322-1386.

10. Белокуров В.В. н Тарасов В.Е. Ультрафиолетовая конечность нелинейных двумерных сигма-моделей на аффинно-метрическом многообразии. Теор.Мат.Физ. г.78 (1989) N 3, 471-474.

11. Belokurov V.V. and Tarasov V.E. The corrélation between the connection and the metric as ultraviolet fmiteness condition. ICTP preprint IC-90-168. Trieste, (1990) 22 p.

12. Белокуров В.В. и Тарасов В.Е. Инвариантная регуляризация инфракрасных расхсщимостей в методе фонового поля для двумерных нелинейных теорий. Вестн.Моск.Ун-та, Сер. 3 (Физика и Астрономия) т.32 (1991) N 6, 14-18.

13. Белокуров В.В. иде СаП.М. Ультрафиолетовая конечность калибровочной модели Весса - Зумино - Виттена на однородных многообразиях. Вестн.Моск.Ун-та, Сер.З (Физика и Астрономия) т.31 (1990) N 3, 13-19.

14. Belokurov V.V. and Iofa M.Z. Does the Kac-Moody gauge invariance lead to renormalizable or finite theory? In Proceedings of the 6th Lomonosov Conference on Particle Physics, Gauge Fields and Astrophysics. 1993. (Published by Accademia Nazionale dei Lincei. 1994. Ed. A.Studenikin) 194-199.

15. Belokurov V.V. and Iofa M.Z. Ultraviolet finite gauge theories in the five-dimensional space time. Mod.Phys.Lett. A v.8 (1993) N 35, 33453349.

16. Белокуров B.B., Соловьев Ю.П. и Шавгулидзе Е.Т. Метод построения квантовополевой теории возмущений со сходящимися рядами. Препринт НИИЯФ МГУ 95-31/395, Москва, (1995) 17 с.

17. Белокуров В.В., Соловьев Ю.П. и Шавгулидзе Е.Т. Теория возмущений со сходящимися рядами в евклидовой квантовой теории поля. Препринт НИИЯФ МГУ 95-32/396, Москва, (1995) 12 с.

18. Belokurov V.V., Shavgulidze Е.Т. and Solovyov Yu.P. Perturbation theory with convergent series: I. Toy models. Leipzig Univ. preprint - NTZ 21/95, Leipzig, (1995) 9 p.

19. Belokurov V.V., Shavgulidze E.T. and Solovyov Yu.P. Perturbation theory with convergent series: II. Functional integrals in Hilbert space. Leipzig Univ. preprint - NTZ 22/95, Leipzig, (1995) 9 p.