Стохастический подход в топологических теория типа Черна-Саймонса тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ШВЕРСИТЕТ имени ¡Л.З.ЛОМОНОСОВА

НАУЧНО-ИССЛЕЩОВАТЕЯВСКИЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ

На правах рукописи УДК 530.145; 539.12.01

МУСАЕВ САМИР БАДИРХАН оглн

СТОХАСТИЧЕСКИЙ ПОДХОД В ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ТЕОРИЯХ ! ТИПА ЧЕРНА - САЯЫОНСА

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

)

Москва - 1992

Работа Еыподнена на кафедре квантовой теории и физики высоких энергии физического факультета Московского государственного университета лиеяи М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математически наук, ;

профессор Б.Я.Файнберг.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Р.Н.Фаустов;

доктор физико-математических наук, профессор Л.А.Шелепин.

Бедугоя организация - отделение ядерной физики ФИРАН

им. П.Н.Лебедева.

Защита состоится " " _ 1992г. в < ча

на заседании специализированного'совета К.053.05.24 в Московско государственном университете имени (Л.З.Ломоносова по адресу: 117234, Москва, Ленинские торы, ШШ5 МГУ, 19 корпус, аудитория ¿-15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИ® «ПТУ. Автореферат разослан " "_1992г.

Учений секретарь Специализированного Совета доктор сизико-математических наук

Ю.А.^ошн

шс

)

У.

- 3 -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теми. В последние годы шиоокое применение в

(

зличных областях квантовой теории поля получил метод стохасти-зкого квантования. Одной из примечательных черт этого метода пяется наличие ЗЯ5Т- симметрии в эффективном лагранжиане зтемы. Наличие такой симметри играет важную роль при доказа-аьствв существования и устойчивости основного (вакуумного) сос-шия квантовой системы.

С другой стороны, в последнее время привлекают большое вни-тв различные топологические методы и теории поля с непростой юлогией. С ниш, в частности, связывают надежды описать процес-рассеяния струн при больших энергиях на большие углы в пределе гсоких температур; построить теорию протяженных объектов более :оких размерностей; найдя подходящий механизм для спонтанного зушения "ковариактной" симметрии, построить теорию квантовой ¡витации; описать высокотемпературную сверхпроводимость; про-юсифицировать конформные теории,. Кроме этого топологические )1)ии имеют и чисто математическую ценность (исследование тополо-гаских инвариантов многообразий и т.д.).

■ К топологическим теориям относятся,прежде всего, неабелевы шбровочные теории поля, где в инстантонной физике получен ий ряд интересных и ванных результатов. В более общем смысле апологическим теориям можно отнести любую теорию о нетривиаль-[ топологией, либо группа симметрии полей, либо самого прост-[ства, где определены поля.

Существенным толчком к развитию топологических теорий яви-ь работа Виттена (1988), где он попытался соединить ковариант-

1 - 4 -

I

кув формулировку с наличием £/257~ - симметрии исходного лагранжиана, что позволяет сделать далеко идущие выводы о свойствах, ' наблюдаешх вне теории возмущений.

Наличие в топологических теориях ВЯ£7~ - симметрии наводит на мысль о том, что метод стохастического квантования таких теорий может автоматически привести к появлению такой симметрии в эффективном действии и более того, мокет облегчить построение топологических моделей, обладающих как так к анти-

/'/¿¿У - симметрией, что значительно облегчает построение наблюдаешх (вакуум, гамильтониан и т.д.) и ковариантной теории! возмущений. .

цель работы состоит в корректном построении стохастических процессов, описывающих ряд топологических теорий, в частности, трехмерную модель Черна - Саймонса и топологическую (У -модель.

Научная новизна и практическая ценность.

1. В работе впервые путем введения специального квазилокального ядра в уравнение 'Ланлсевена для Черн - Саймонсовского действия корректно построен свободных от духов Фадеева - Попова стохастический процесс, имеющий сходимость при бесконечно больших фиктивных временах и в равновесном пределе, описывающий квантовую трехмерную теорию Черна - Саймонса в некоторой нелокальной калибровке. Построенная неравновесная теория оказывается/С>Л£7~ -инвариантной и является калибровочно-ннвариантно перенормируемой в пределах теории возмущений в схеме размерной регуляризации.

2. Впервые построен ковариантным образом стохастический процесс на римановых многообразиях в случае некоторой одномерной полевой модели. Уравнения для динамических переменных этой модели выведены из условия ковариантности построенной схемы.

'Получено эффективное действие указанной модели и оно является полностью ковариантннм. Благодаря наличию Q -симметрии, действие переписано в терминах суперполей.

3, Произведено исследование однопетлевых расходимостей в построенной теории. Перенормировки метрического тензора и почти кошлексной структуры совпадают с результата!®, полученными ранее для топологической Ö -модели. Построенная модель обладает некоторой свободой, которую необходимо фиксировать. Из-за наличия члена, фиксирующего такую свободу, перенормировка является немультипликативной.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международной конференции по гравитации (февраль, 1991г.) в г.Москве, на международной Сахарэвскэй конференции в 1991г., . в г.Москве, а также на семинарах теоретического отдела ФМАН СССР шл. П.Н.Лебедева.

Публикации. Основные-результаты диссертации опубликованы в 3-х статьях.

Структура и обьем паботы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, иллюстраций и списка литературы. Полный обьем диссертации 115 страниц, включая 9 рисунков; список литературы содержит 105 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сделано краткое ознакомление с основами метода стохастического квантования и топологических теорий поля, а также в хронологическом порядке приведены главные достижения е этих областях. Обоснована актуальность проделанной работы, сформулирована главная цель. Дано краткое содержание диссертации по главам.

Глава первая "Стохастическое квантование трехмерной модели Черна - Саймонса" посвящена непротиворечивому построению стохастического процесса адекватного в равновесном пределе квантовой трехмерной модели Черна - Саймонса.

В § I изложены основные проблемы, возникающие при попытках стохастически проквантовать топологические теории и актуальность такого рода задач. Б частности, показано, что стохастически про-

I

квантованная скалярная теория поля в неравновесной фазе является

топологической теорией,в которой инвариантность относительно изменения метрики фиксирована. В таких теориях возникает аналог

симметрии. Показано, что для суперсимметричных теорий существуют адекватные им в неравновесной фазе стохастические процессы с переменными Николаи в качестве уравнения Ланжевена. Обоснована необходимость введения ядер в стохастические уравнени. описывающие топологические теории.

В § 2 предложена система уравнений Ланжевена с квазилокальным ковариантным ядром |

(Ъ

а/ 7

где - ковариантная производная, а о^ - действие

Черна - Саймонса, и доказано, что, во-первых, на уровне теории возмущений такой процесс имеет равновесное стационарное распределение и, во-вторых, в равновесном пределе построенная схема адекватна трехмерной квантовой теории Черна - Саймонса. Показано, что Черн - Саймоновская теория воспроизводится в слоя; -ной нелокальной калибровке, которую нелегко найти. Развита диаграммная техника для решения уравнения Ланкевена методом итераций.

В § 3 построенная стохастическая теория сформулирована в калибровочно-инвариантной форме в неравновесной фазе (4-х керии). В калиброЕке

А -ЯЛ;

I

в случае размерной регуляризации, показано, что на уровне теории возмущений такая теория полностью эквивалентна стохастическому квантованию трехмерной модели Черна - Саймонса с добавкой цван-цигеровского члена в уравнение Ланжевена [/) . В размерной регуляризации детерминант, идущий от духовой части,равен единице из-за удачного выбора калибровочного члена. Эффективное действие построенной неравновесной теории обладает -.симметрией,

из которой были выведены тоздества Уорда - Славнова - Тейлора -Фрадкина - Тахакаши, которые связывают константы перенормировок полей и вершин. Построенная модель свободна от духовых полей.

Подсчетом степеней расходимости к доказательством того, что диаграммы с внешними квантовыми полями зануляются (следствие

симметрии) показана калибровсчно-инвариантная перенормируемость построенной модели в неравновесной фазе в случае размерной регуляризации. !

Доказано отсутствие ультрафиолетовых расходамостей в одно-петлевом приближении, как это и имеет место в квантовой трехмерной теории Черна - СаЁшнса.

Предложена другая схема стохастического квантования трехмерной модели Черна - Саймонса, когда отсутствует мнимая единица, как в ядре ¿^^а-^л , так и I действии <5^ . В простейшем абелевом случае такой процесс имеет ясную физическую интерпретацию. Он описывает два независимых друг от друга случайных процесса, которые эволюционируют в противоположных направлениях по времени и сходятся к равновесным пределам каждый.

Вторая глава "Стохастическое квантование к топологические модели" посвяшена корректному построению стохастического процесса на римановом многообразии адеквантного в неравновесной фазе топологической О - модели Виттена,

В § 4 кратко описаны существующие О - модели и показано, вкратце, как поставленная нами задача до этого была решена в квантовой механике.

В § 5 показано, что прямое обобщение результатов уже решенной е квантовой механике задачи в случае полевых теорий неприемлимо. Для решения поставленной задачи необходимо изменить уравнение для реперов .¿Гл/^у - дополнительных динамических переменных1 теории, которые необходимо ввести для построения ковариангной стохастической схема. Уравнение Ланжевена для самих полей

такое же как и в топологической С - модели Виттена с добавлением случайных флуктуаций

ф^П Л* Ъ V " ГЛ)

где - гауссовые шумы.

Уравнение на репера однозначно следуют из условия

самосогласованности системы ^) и ковариантности построенной схемы. Они имеют вид

. . к)

где

Если в начальный момент времени выбрать репера таким образом,что

то такое условие в среднем будет..сохраняться в каэдый момент времени

- N

где ¿'¿/А/, Х^УА) - решения системы /Л)^)

В выборе реперов имеется произвол с точностью

до ортогонального вращения по индексам, а система уравнений

этот произвол фиксирует.

В § 6 после сложных выкладок осуществлен переход от схемы уравнений Ланжевена ('З) к функционально-интегральному

представлению. Полученное в результате эффективное действие оказывается полностью ковариантным (в схеме Стратановича), чем и достигается одна из главных целей диссертации. Кроме того,

теория обладает (р - симметрией как это обычно имеет место в стохастически проквантованных моделях." Полная суперсишетрия отсутствует. Это объясняется тек, что репера не являются ковариантно постоянными

, V О \

Присутствие - симметрии дает возможность переписать эффективное действие в терминах суперполей с одной грассмановой переменной 0 ,

что существенно облегчает анализ построенной схемы, е частности, козариантную диаграммную технику.

Л полученной модели стохастическое время неотличимо от координаты и не имеет смысла говорить о равновесном пределе. Построенная теория воспроизводит топологическую б - модель в неравновесной ¿азе.

Третья глава "Теория возмущений и перенормировки" посвящена исследованию построенной модели методами ковариантной теории возмущений.

В § 7 дано строгое введение в метод'фонового поля предназн наченный для расчетов по теории возмущений, а также ковариантный метод фонового поля, являющийся его нетривиальным обобщением для топологических теорий.

3 § 8 произведено разложение действия .5" по фоновым полям, получены свободные функции Грина с использованием условий само-

I

дуальности. Развита фейнмановская диаграммная техника и расчиганы

однопетлевые ульрайиолетовые расходимости, причем благодаря

(? -симметрии большая часть ''подозрительных" диаграмм отбрасн-вается.

3 § 9 расчитанн константы перенормировок метрического тензора 11 почти комплексной структуры' У'"* . Полученный результат полностью совпал с таковым полученным для топологической С/ - модели ранее. Однако перенормировка члена в эффективном действии, обязанного своим появлением уравнению не является мультипликативной.; Так как такой член фиксирует свободу выбора /Е^р/'-/-) » то ситуация здесь идентична той, которая возникает в теории Янга - Миллса: в калибровке ё>И~(? при учете радиационных поправок появляется, контрчлен .На языке уравнений Ланжевена учет контрчленов, появляющихся в теории, эквивалентен введению шумов и добавочной "силы трения" е уравнения для реперов ¿а

Равенство - функций для и являет-.

ся пертурбативным подтверждением общего равенства

I

В заключении подведен итог того, что сделано в диссертации.

В иллюстрациях приведены рисунки, поясняющие такст диссертации .

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛВТАТЫ

I. Предложена система уравнений Ланяевена для трехмерной теории Черна - Сайыонса, которая имеет равновесное стационарное распределение. Доказано, что в пределе бесконечных фиктивных времен такая стохастическая система адекватна трехмерной квантовой теории Черна - Саймонса в некоторой нелокальной калибровке.

Развита диаграммная техника для расчетов по теории возмущений. Показано, что благодаря удачному выбору члена фиксирующего калибровку в размерной регуляризации, теория свободна от духовых полей.

Построенная стохастическая модель, сформулирована в кали-бровочно-инвариантном виде в 4-х мерш (4 полевые компоненты; 4х мерное "пространство-время (фиктивное )"). При наложении локального калибровочного условия

Л/=44*

в размерной регуляризации, на уровне теории возмущений показана эквивалентность такой теории стохастически квантованной трехмерной теории Черна - Саймонса с цванцигеровским членом и специальным ядром

Учу ~ 'ф*'^ 1

3. Построенная модель обладает ¿'Л2Т- симметрией и получены соответствующие тождества Уорда. Использованием такой сшлмет-рии и подсчетом степеней расходимости доказана калибровочно-инва-риантная переноршруемость предложенной теории в неравновесной фазе в размерной регуляризации.Непосредственно доказано отсутствие ультрафиолетовых расходимостей на однопетлевом уровне в равновесной фазе.

4. Предложена модифицированная,по сравнению с вышеописанной, схема стохастического квантования трехмерной модели Черна - Саймонса. Показано, что в абелевом случае она описывает динамику двух независимых случайных процессов, эволюционирующих в двух противоположных направлениях по времени и сходящихся к равновесному распределению каждый.

5. Построено ковариантное стохастическое уравнение Ланжевена для некоторой одномерной полевод теории. В качестве уравнения Ланжевена предложено уравнение для полей в топологической О - модели с добавлением ковариантной случайной силы. Ковариантная случайная сила определена посредством введешь дополнительных переменных - реперов ¿Е'^'С^ . динамика которых однозначно выводится из условий ковариантности и самосогласованности уравнений Ланжевена. Построенная система уравнений полностью ковариантна.

6. Осуществлен переход от системы уравнений Ланжевена к функционально-интегральному представлен™. Полученное в результате эффективное действие является ковариантным.Построенная модель обладает (р ~ - симметрией, чго позволяет переписать действие в терминах суперполей с одной грассмановой переменной.

7. Развита диаграммная техника в суперполевом виде ]! насчитаны однопетлевые ультрафиолетовые расходимости. Перенормировки метрического тензора и почти комплексной структуры совпадают с таковыми, полученными ранее для топологической с/ - модели. Однако для устранения однопеглевых расходимостей необходимо произ-весги немультипликативную перенормировку, что в нашем случае означает переход к другой "калибровке". Сделано указание на то, что для построения мультипликативно перенормируемой стохастической теории в неравновесной фазе, адекватной топологической С5 -модели, необходимо ввести шуми в уравнение для реперов

Публикации

t

1. "Стохастические ядоа в теориях Чеина - Саймонса",

" I

Субботин А., Мусаев С.Б., А/ТСУС СУ//£/'/ГР том I04A, № 3, стр.453.

2. "О стохастическом квантовании теорий на римановых многообразиях", Мусаев С.Б., Субботин А., Краткие сообщения по физике

ФИАН, JÉ 8, 1992.

3. "Перенормировки в стохастически квантованных теориях на многообразиях. Мусаев С.Б., Субботин А., Краткие сообщения по : физике ФИАН, № 9, 1992.