Теория поля Черна-Саймонса и ее редукции тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

;НСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ II ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ФИЗИКИ

на правах рукописи

Фок Владимир Владимирович

ТЕОРИЯ ПОЛЯ ЧЕРНА-САЙМОИСА II ЕЕ РЕДУКЦИИ

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

■ ДИССЕРТАЦИЯ в виде научного дриада на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1992

УДК 530.145

Работа выполнена в институте теоретической к экспериментальной фланга.

Научный руководитель —дохтор фиоико-математнческпх наук

профессор А.М.Перелоыов. (ИТЭФ)

Официальные оппоненты —дохтор физико-математических наук

профессор А.А.Кирнллов.(МГУ)

—доктор физико-математических наук вед.н.с. М.А.Ольшанецкип. (ИТЭФ)

Ведущая организация:

Физический институт им. П.НЛебедева РАН

Защита диссертации состоится^^ 1992^. в 11 часов 00 минут на оасе£

наи специализированного совета Д.034.01.01 по защите кандидатских диссертац при Институте теоретической и экспериментальной физики по адресу: Моси 117259, Б.Черемушкинская ,25, жонференц-зал Института.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИТЭФ. Диссертация разослана '¿¿б'" 1992г.

Ученый секретарь специализированного совета

Ю.В.Терез

3

Введение

Квантовал теория поля с действием Черна-Саймонса является топологической очно решаемой теорией калибровочного поля в пространстве нечетного числа ио-герепий. Сама по себе теория Черна-Саймонса возникает как некоторая предельная ффективпая Теория при описании квантового эффекта Холла и в некоторых моде-:«х великого объединения, а также как математический инструмент для описания [екоторых инвариантов оацеплений и трехмерных многообразий. Однако оспов-гым свойством этой теории, привлекающим к ней интерес является ее связь с суще-:твенио нелинейными теориями поля в пространстве с на единицу меньшим числом юмерений, для которых она является в некотором смысле теорией с "пятым време-1ем". В наиболее полно исследованном трехмерном случае теория Черна-Саймонса жазывается связанной с двумерной конформной теорией Весса-Зумино-Новикова-Зиттена (\VZNW), которая в свою очередь гипотетически является универсальной эацноналыюй конформной теорией в том смысле, что любая другая теория может Зыть выражена через теорию \VZ\V с помощью так называемой косет-копструкции Годдарда-Кента-Олива (СКО). .

Интерес к рассмотрению теории \VZNW с точки оренпя теории Чсрна-Саймонса связан прежде всего <; тем, что он позволяет выделить "топологическую" часть этой

I ^

теории, которая собственно составляет основу возможных приложений к теории струи. Можно надеяться, что описание, модели \VZNW з таких терминах позволит найти адекватный язык для описания конформных теорий с единой геометрической, даже топологической, точки зрения.

Помимо этого, теория Черна-Саймонса, как и модель \VZNW, имеет самостоятельный математический интерес. Классическое фаэсвое пространство теории Черла-Саймонса - пространство модулей плоских свяэностен на двумерном многообразии - является естественным обобщением многообразии Якоби и возникает в различных областях алгебраической геометрии, теории интегрируемых систем и других областях математики. С'т.гтсумма теории Чериа-Санмонса, после придания ей строгого смысла, дает инварианты узлов и трехмерных многообразий. Связь

теории Черна-Саймонса и четырехмерной теории Янга-Мпллса была использовала для построения шшариадтоз трехмерных гомологических сфер. Модель WZNW обычпо воспринимается с математической точки зрения кал алгебраическая теория представлений алгебр Каца-Муди. Взгляд на нее со стороны теорпн Чериа-Сапмонса может позволить вогляпуть на нее с более геометрической точки зрения, а также пролить свет на вопрос о природе много численных параллелей мелсду моделью WZNW и теорией представлений квантовых групп. Вытекающий по теории Черна-Саимопса подход к конформным теориям при котором на поверхности не требуется вводить дополнительных структур, таких как выделенные координаты, переменные светового конуса п.т.д. позволяет существенно упростить и придать более строгий смысл многим конструкциям конформных теорий, а также их обобщений - теорий с W-сиыиетрия-чп.

Обзор литературы

Форма Черна-Саймонса была введена в работе [1] в чисто топологических целях при изучении так называемых вторичных характеристических классов векторных расслоений, определенных когда обычные характеристические классы равны нулю, ц нумерующих топологические классы тривиалиоащш. В дальнейшем классы Черна-Саймонса многократно изучались с этой точки зрения [2]. Однако наибольший интерес к функционалу Черна-Саймонса для расслоений на трехмерных многообразиях проявился после работы А.С.Шварца [3], в которой было показано, что статсумма соответствующей квантовой теории в абелевом случае может быть точно вычислена в совпадает с кручением Рея-Зшзгера [4] т.е. с чисто топо-логчесшш инвариантом. Тем самым было показано, что теория Черна-Саймонса является примером (причем единственным известным на настоящее время несу-перснмметричиым примером) топологической квантовой теории. В дальнейшем теория Черна-Саймонса исследовалась с двух воаимосвяааных точек орения. Во-первых, путем вычисления ее статсумм и корреляционных функций, удалось интерпретировать известные из работ [5, 6, 7, И] инварианты зацеплений И трехмерных

многообразий:, а также получить их обобщения [8. 10, 17]. В частности функциональный интеграл Черна-Саймонса удалось свести к статсумме некоторой теошш на решетке, действие в которой определяется через косффицненты Клебша-Гордона соответствующей квантовой группы [13]. Вторым направлением исследовании является гамильтоново квантование теории поля на трехмерных многообразиях как с действием Черна-Саймонса [3, 14, 16], так и с действием, равным сумме действий Янга-Мпллса л Черна-Сапмопсл [18, 19, 20]. В последнем случае интерес был, в частности, вызван надеждой на возможность описать в подобных терминах высокотемпературную сверхпроводимость и квантовый эффект Холла. В работе [8], а затем более строго в работе [15], было доказано, что пространство геометрического квантования классического фазового пространства теории Черна-Саймонса. отре-дуцпрованпого по калибровочной группе - пространство голоморфных сечений некоторого линейного расслоения на пространстве модулей голоморфных векторных расслоений - изоморфно пространству вакуумных конформных блоков соответствующей теории Весса-Зумино-Новшсова-Внттепа (\VZNW). В этой конструкции важную роль играет изоморфном между пространствами модулей голоморфных расслоений и плоских унитарных расслоений, установленный в [23],а также геометрия пространства модулей плоских свгэностей, исследованная в [24]. Аналитические и геометрические свойства этого пространства ц. в частности, г.роективио плоскал связность на пространстве модулей рнмановых повехностей подробно изучались в [2С, 44, 25]. С точки зрения конформной теории.итот вопрос исследовался в [27]. К этому же сюжету можно отнести классическую работу В.Г.Книжника и А.Б. Замо-лодчикова [28]. В [29] была обнаружена связь представлений модулярной группы на конформных блоках и преставлении квантовых групп [30]. Эта же связь на языке теории Черна-Саймонса исследовлась в [31].

Представления калибровочной группы в пространствах размерности > 1 сравнительно мало исследовались. Здесь следует отметить работу [30], в которой приведены многие формулы, перготкрытые затем в связи с конформной теорией, в частности формула Поллкова-Внгыана [37].

Сама по себе теория Черна-Саймонса в свою очередь является в некотором смы-

■ • ' 6 '

■ еле результатом "высаживания па границу" четырехмерной самодуальной теории Янга-Миллса. Эта связь была использована в [32] для построения когомологической теории пространства свяэностей на трехмерных многообразиях. Рассуждениям о тесной взаимосвязи теорий в размерностях 2,3 н 4 посвящена программная работа М.Атьи [33].

Расширенные конформные симметрии (И^-спмметрцп) в квантовой теории были впервые введены А.Б.Заыо.тодчиковьш [34]. Классический предел алгебры К'-симметряй был. известен в математике как скобка Гельфанда-Днкого [35] на пространстве дифференциальных операторов на окружности. Скобка Гельфанда-Дикогс интенсивно исследовалась в теории интегрируемых уравнений (см. ссылки в обзоре [33]). В частности была обнаружена [39, 2Э] структура биалгебры Ли на пространстве псевдодифференциальных операторов (расширенных с помощью коцикла [40]), индуцирующая эту скобку. Связь скобок Гельфаида-Дикого и кирилловской скобки дм аффинных алгебр Ли была обнаружена и исследована в [42]. Квантовые 1Г-аигебры били определены и систематически изучены в [43]. Большое число работ посвящено определению разнообразных алгебр типа РК». (см. ссылки в работе [45]). В то время, как геометрический смысл 1У-алгебр на окружности можно счи-, тать выясненным, геометрический смысл двумерных И'-преобразовангщ, несмотря на десятки работ (см. обзор [46]), остается совершенно неясным. Следует, впрочем, отмстить работу [47], в которой исследуется связь И'-геометрии и внешней геометрии двумерных поверхностен в п-мерном проективном пространстве. Наш подход к Ш-геометрии частично близок к подходу [48]. Связь проективных структур, И^-геометрни и действии Лнувшшя (без упоминания термина "проективная структура") обсуждается в [49, 51, 50]. В последней работе схема квантования близка к нашей. 'В связи с аналогией между минимальными моделями [52] и моделью \VZNW отметим классическую работу [53], в которой установлена связь между конформными блоками и сечениями расслоений на пространстве модулей римапо-вых поверхностей — аналогами пространства модулей голоморфных расслоений. В работах [22, 54] специальный случаи квантовых Ж-алгебр применяется для исследования дифференциальных операторов на пространстве модулей плоских связностей

i для изучения так называемого геометрического соответствия Ленглендса. В по-леднее время U'-алгебры бы.'ш обнаружены также в топологических матричных лоделях теории поля [55, 56].

Теория поля с действием Черна-Санмопса на многообразиях размерности боль-лей трех исследовалась лишь в работе [57], к сожалению содержащей ошибочные результаты.

Краткая характеристика работ, включенных в диссертацию

В работах, вошедших в диссертацию, решались следующие задачи:

1. Проквактовать теорию Черна-Сацмонса явно ковариантным образом с помощью метода когерентных состояний.

2. Построить соответствие между объектами трехмерной теории Черна-Саймонса и двумерной конформной теории WZW.

3. Описать IV-симметрию в терминах калибровочной симметрии.

4. Описать и исследовать классическое фазовое пространство теории Черпа-Саймонса па пятимерных многообразиях.

Из полученных результатов следующие могли рассматриваться как ноягле н актуальные на момент их публикации:

1. Явно ковариаитное (относительно трех- и двумерных дифеоморфизмов) квантование теории Чсриа-Оапыонса. Геометрическая интерпретация конструкции Сугавари [А.1] (совм. с Я.И.Когаиои). Геометрическая интерпретация операторного разложения для алгебры Кааз-Мудн. конструкция фундаментального представления калибровочной группы, содержащего конформные бло'ьИ модели W2W а качестве неприводимых компонент [А.2].

2. Развит (сов.м. с А.Бплалом а Я.И.Коганом) формализм описания тождеств Уорда (операторного разложения) для IP-алгсСр в терминах условия сивмест-

ностн дифференциальных операторов на римановой поверхности. Описав способ получения этого условия по условия нулево.' кривизны с помощью процедуры гамштьтоновои редукции по параболической подгруппе. Предложен способ вычисления эффективного действия дия двумерной 1У-гравнтащш. Указанный подход позволяет установить явную связь между И'-структурами и обобщенными проективными структурами (структурами Телемана) на римановой поверхности [А.З]. Описано вложение (на классическом уровне) И^-алгебры в алгебру Каца-Муди (совм. с Н.Хвингия) [А.4].

3. Совм. с Н.Л.Некрасовым, А.А.Рослым и К.Г.Селивановым исследована теория Черна-Саймонса на пятпмеряых многообразиях. Изучено классическое фазовое пространство, описаны наблюдаемые теории [А.5].

В диссертации отражены результаты 5 статей, опублцковаЕгаых в советских и зарубежных журналах и в виде препрпнтоз ИТЭФ. Они апробированы и докладывались на теоретических семинарах ИТЭФ, МИАН, ФИАН, на школах физики, созетсхих и международных конференциях.

К защите представляется:

1. Конструкция фундаментального модуля — представления полупрямого произведения калибровочной группы и группы диффеоморфизмов двумерной поверхности, полученного путем коварнантвого квантования теории Черна-Сайиопса.

2. Формулы, описывающие конформные блоки модели \VZNW в терминах фуп-дамеят£1Ьного модуля.

3. Интерпретация операторного разложения для алгебры Каца-Муди и И^-алгебр как некоторого коноотроаного многообразия в пространстве свяоностей на римановой поверхности.

4. Конструкция производящего многообразия для И^-алгебры путем гамильто-возоп редукции производящего многообразия для алгебры 5Х„.

5. Формулы, описывающие вложение на классическом уровне УУ„-алгебры в алгебру Каца-Муди.

6. Формулы для получения эффективного действия двумерной И''п-гравитапп1'.

7. Описание фазового пространства и наблюдаемых в теории Черна-Сапмовса на пятимерных многообразиях.

Гйава 1. Корреляторы модели WZNW по теории Черна-Саймонса.

Теория Черна-Саймонса на трехмерном многообразии М с краем есть калибро ючнал теория с действием:

Scs=£tr { МА+\лг, (1)

4ir Ju J

•де А — калибровочное поле (связность}.

Классическое фазовое пространство теории есть пространство калибровочных

золей ограниченных на край дМ многообразия М. Действие индуцирует симпяек-

гическую структуру:

ß«£ir/" SA Л SA, (2)'

2* Jan

инвариантную относительно калибровочных преобразований вслдствие калибровочной инвариантности действия. .

Для квантования выбираем поляризацию фазового пространства, связанную с некоторой комплексной структурой па многообразии Sil/, а имеипо, в качестве координат выбираем (1,0) компоненту А связности А- При этом пространством квантования оказывается пространство голоморфных функционалов от А. Калнбровоч-' ные преобразования задаются гамильтонианами

H.=tTj t(dA + A)bA (3)

где е — инфинитеэнмальное калибровочное преобразование.

При квантовании в результате замены А —> ¿ они переходят' в операторы-.

Ä-ir/^fc + M^ + jAL ■ ' W

Эти операторы реализуют представление калибровочной группы, называемое фундаментальным модулем.-

10 ' .

Вышеописанная процедура квантования, также как и другие процедуры квапто аання {14, 16, 8], требуют фиксации комплекс^! структуры, поэтому оказываете: необходимым доказывать независимость результата от этого произвола [44]. Для того, чтобы сделать независимость от комплексной структуры хвной, заметим,что в нашем представлении пространства кваптовання основное состояние х(г-е- функционал тождественно равпый единице) уже связано с комплексной структурой т.к. задается условием = 0. .

Введем состояния х(м> с) удовлетворяющие аналогичным условиям, отвечающим другим комплексным структурам: ■ . .

= (5)

задаваемым дифференциалом Бельтрами р. Эти состояния легко вычисляются:

+ (б)

Рассмотрим пространство голоморфных функционалов от ^ ц £ и отображение, ставящее а соответствие функционалу от А функционал от р и £ по правилу:

•>ам

При этом в новом представлении операторы Я, примут вид:

(8)

В /1 - ¿-представлении оказывается возможный определить действие алгебры Ли группы диффеоморфизмов т.е. векторных полей:

где V +дг/ При этом вз требования коммутативности вариационных производных ' • £ и : ^т: вытекает, что с в МтС/(к + с.(С)).

Тем самым получено представление для полупрямого произведения групп диффеоморфизмов я калибровочных проеобраоовашш.

Связь теории Черна-Саймоиса а модели \VZ\4 неоднократно обсуждалась в литературе [8,14, Эта связь состоит во-первых в том, что действие Черпа-Саймонса. проинтегрированное (в некотором смысле) по пространству связностец на многообразии с краем с данными граничными условиями дает действие модели \iVZNW, а, во-вторых, в том, что пространство квантования отредуцированной по хали-бровочной группе теории Черна-Саймонса изоморфно пространству конфромяых блоков соответствующей модели \VZNW. В работах этим утверждениям

придан следующий строгий смысл.

А. В классическом фазовом пространстве теории Черна-Саймонса выделено ла-гранжево подмногообразие граничных значений классических решений - пространство плоских свяоностей на границе трехмерного многообразия М, продолжающихся до плоской связности на все М. Это лаграижево подмногообразие может быть задано с помощью производящей функции 5, т.е. может- быть аадано уравнением Л = Ц. В частности,если многообразие М является трехмерным шаром, функция Я прнимает вид:

• 3{А) = 5яг2хгг(д), (10)

где А == д~х<1д, а есть действие модели \VZNW.

Б. Представление полупрямого произведения калибровочной группы и группы диффеоморфизмов, построенное в [А.1], является приводимым. Его неприводимые компоненты индуцированы с "наивных" неприводимых представлений калибровочной группы, являющихся тензорными произведениями неприводимых представлений Т™ калибровочной группы, суженной на отдельные точки Пусть <¡>¡,...¿,(¿1,£) суть набор функшш, реализующих такое представление, т.е.

/~ дщ ^ = Е ^...¿.^(^('(^»г:- . а«

Тогда

КМм.О !<,«=< > (12)

где о— коррелятор, а ф^ — примарные поля модели WZNW.

Как видно из уравнений (12), ^ =: 1Тем самым воспроизводится конструкция Сугавары. Операторы £ и -ц, примененные к Ф удовлетворяют оператор-

пому разложению для полупрямого произведения алгебр Вирасоро и Каца-Муди.

Классическими аналогами квантовых состояний Ф являются многообразия плоских связностей на римановых поверхностях с выколотыми точками, заданными классами сопряженности монодромий вокруг этих точек и заданной проективной структурой, по модулю калибровочных преобразований и диффеоморфизмов. По-. дробннеес^этцх многообразиях [58].

Глава 2. й^-симметржп

В работах [А.2,А.З] предъявлены я исследованы конструкции, аналогичные описанным вьше, в которых роль алгебры Каца-Муди и калибровочных симметрии' играет ТУ-алгебры и И'-симметрии.

. Назовем £Ь(п, С)-связнос-гь на римановой поверхности невырожденной, если ее (1,0)-*омпоненту А локально в окрестности каждой точки можно привести к виду:

/О 1 0 0\

А =

О О

V И'п цг_,

О 1

о;

(13)

с помощью калибровочного преобразования сохраняющего одномерное подрасслое-яие т.е. преобразования, в матричных обозначениях имеющего вид:

/ X •- х 0 \

X

V *

(14)

х О XX/

Условие невырожденности задает открытое подмножество в пространстве всех свяэ-ностев.

Результатом гамильтоновой редукции пространства невырожденных связностей но подгруппе калибровочной группы сохраняющей одномерное подрасслоение является аффинное пространство обобщенных дифференциалов Бельтрами щ и обобщенных проективных связностей IV, (» — },..., п) с сиыплехтнческой формой О = И^. Образом плоских связностей при такой редукции оказывается коизо-тропное многообразие Т, которое можно отождествить с пространством обобщен-

пых проективных структур на поверхности. Пространство Т задается в терминах щ и W¡ системой дифференциальных уравнений Я,- = 0, где И, — ненулевые компоненты формы кривизны на Т. ^-преобразования, действующие на Т можно определить как преобразования, генерируемые гамильтонианами с плотностью Я;. В [А.2,А.З] покасапо,что условия Л,- = 0 являются тождествами. Уорда п задают операторное разложение дли ^/„-алгебры. Пространство модулей 5У-структур определяется как факторпространство многообразия Т по ядру ограниченной на него симплектической формы П. В случае, когда многообразие М является трехмерным шаром, многообразие Т лаграцжево и может быть задано производящей функцией В [А.'2] праведен способ вычисления этой фупкшгаи в явном

виде основанный на соотношении:

5г(Ы)=тш5(Л), (15)

где А({[ч}) — множество (1,0)-компонецт ЗЦп)-свизпостей, переходящих в при редукции.

В случае п — 2 оппсакная процедура дает тождества Уорда для алгебры Ви-расоро, гамильтониан действия алгебры векторных полей, пространство модулей проективных структур и производящий функционал 5г,

5Г = Ц дф{д-?д)ф, ■ (16)

'де ф = 1пЭи, а и является решением уравнения {д — = 0.

К сожалению, явные формулы в общем случае весьма сложны [А.З]. Для алгебры ¥з полученные тождества Уорда имеют вид:

= (17)

(В-ргд-2дц,Щг = 2(13д\Уь + Жгдр3-293112-8г(8г-\У3)рь (18)

которые являются условием совместности для системы уравнений

(Э - ^д 4- ЭМ2 - р3дг - др3д - - Иг,)н*)Ф = 0 (9® - Шгд - \У3)ф = О

Конструкция Дринфельда-Соколова представляет пространство дифферпнциаль-

ых операторов степени п со скобкой Гельфанда-Дихого С как результат гамиль-

ововой редукции орбиты О копрпсоедаяенного представления алгебры Каца-Муди

SL(n) по .нижнетреугольной подгруппе над нетривиальной орбитой. В работе [А.4] доказано, что каноническая проекция открытого подмножества О в С под действием вдвое большей чем нижнетреугольная параболической подалгебры есть пуассо-ново отображение на С. Это отображение оадает вложение алгебры Ли функций на С в алгебру Ли функций на О и позволяет высказать гипотезу, что коммутант параболической подалгебры в алгебре Каца-Мудн изоморфен lV-алгебре.

Глава 3. Теория Черна-Саймонса на пятпмерпом многообразии

Теория Черна-Сайыонса на пятимерном многообразии M с краем есть калибровочная теория с действием:

Ses =tr ( А (A4)' + \аЧА + (20)

• Ai л 0.

На пространстве связностеп на границе дМ многообразия M действие 20 ив) '

дуцирует замкнутую 2-форму

U = tr [ SAaSAaT, (21)

JBM

где F — dA + A Л A - кривизна связности A.

Эта 2-форма является вырожденной, тем не менее можно определить гамильтонианы иифшштезималышх калибровочных преобразований с:

И.

'.-trJ^F ЛЛ _ (22)

Классическое фазовое пространство теории --сть многообразие, задаваемое условием Я, — 0 для любого П|"л||.1кто])!1зо»ашк>о ни дейстыш калибровочной группы а вдоль ядра фирмы П.

Рассмотрим теперь случай аОгаевон калибровочной группы. Для этого случая в [Л.5] показано. что результат факторизации вдоль ядра формы П совпадает с результатом факторизации пи действию групп« диффеоморфизмов. Кроме того, условие .У А .Я = 0 определяет в этом случае интегрируемое распределение (слоение) на многообрлзии сШ, вещественно*.-, если шдибровочная группа вещественна

15 ■-.':■' ' Л .

и, вообще говоря, комплексное, если мы рассматриваем-комплексную калибровочную группу. Таким образом показано, что для пятимерпоп теории Черна-Саймонса классическим фазовым пространством является пространстве двумерных слоений на четырехмерном многообразии дМ, рассматриваемых с точностью до диффеоморфизма. В случае комплексной калибровочной группы открытое подуюжество этого пространства, задаваемое условием ? ф 0 совпадает с пространством модулей комплексных структур на дМ, причем ото подмножество нетривиально лишь тогда, когда на дМ можно ввести структуру многообразия Калабн-Яо, что указывает на возможную связь цятимерной теорий Черна-Саймонса 31 четырехмерной гравитации.

Заключение

Повторим основные результаты диссертации:

1. Представлена процедура квантования теории Черна-Саймонса, при которой поомрфизм между пространтвом квантовых состояний и пространством конформных блоков имеет явный вид и сформулирован в терминах теории представлений калибровочной группы.

'2. Построено представление группы диффеоморфизмов римановой- поверхности в универсальном пространстве конформных блоков.

3. Тождества Уорда для И^-алгебр получены с помощью гамильтоновой редукции пространства связностей и исследован их геометрический смысл. Предложена конструкция лагранжианов И^-гравитацин.

4. Построено пуассоново отображение открытого подмножества орбиты алгебры Капа-Муди в пространство дифференциальных операторов со скобкой Гельфанда-Дикого. • , ■

5. Показано, что классическое фазовое постранство теории Черпа-Саймонса с

, абелевои группой на пятимерном многообразии является пространством мо-

дудей двумерных интегрируемых слоений па четырехмерном многообразии.

Описанные исследования преследовали две основные цели. Во-первых, исследовалась процедура "высаживания на край" квантовой теории поля. Мы видим, что имеется весьма нетривиальное соответствие между объектами теории поля, заданными: на многообразиях размерности п и и — 1. Второй целью являлась 2 + 1-мерная формулировка модели WZW и попытка аналогичным образом сформулировать W-гравнтаиию. Мы видим, что эта задача свелась к исследованию некоторых представлений групп и алгебр, связанных с двумерной поверхностью — калибровочной группы, группы диффеоморфизмов и алгебр ^-преобразований. Показано, что задача определения структуры этих представлении тесно связаны с геометрией различных пространств модулей. Удалось, ну?срайней мере неявно, определить пространство модулей проективных ^'-структур. Интересным вопросом является вычисление коммутанта этш представлений, т.е. алгебры, действующей на пространствах конформных блошь. (IIa классическом уровне эта задача решена в [58].) Подобная алгебра содержала бы всю топгоогическую информацию о модели YVZNW и давала бы возможность описать так называемую универсальную конформную теорию. Онисашк- таких перспектив, однако, выходит за рамки настоящей диссертации.

Автор выраи.оет глубокую благодарность всем, с кем ему посчастливилось учиться и работать. Автор особенно благодарен своим научном руководителям А.М.Переломо и Я.Л.Когану, своим учте.тм Б.М.Лавидовнчу, В.И.Арно.чьду, Л.А.Кириллову и Д.В.Ллеьгеемному. А также И.А.Гинзбургу, А.МЛевину. А.С.Лосеву, А.Ю.Морозову, Н.Л.Некрасову, А.Л.Рос.то.му, К.Г.Селинапову, Б.А.Хесину, Ю.В.Чеканову и многим другим людям, б<'о обшеш. j с которыми его научная деятельность вряд лн была

бы KO'IMUAIU.

Список работ соискателя, обобщенных в данном докладе

1. V.V.Fock and I.I.Kogan, Generating function for 2D WZW model from the 2 + 1 ' Chern-Simoms theory. Mod.Phys.Lett. A5(1990)17,I3G5-1372.

2. V.V.Fock, Towards the geometrical sense of operator expansions for chiral currents and W-algebras. Accepted for publication in Mod.Phys.Lett.A. in april 1092.

3. A.Bilal, V.V.Fock and I.I.Kogan, On the origin of W-algebras. Nucl.Phys. B359(1991)2-3,635-G72.

4. V.V.Fock, N.Khvengia, Once more about lV3-a]gebras. Preprint ITEP-75-91.

5. V.V.Fock, N.A.Nekrasov; A.A.Rosly and K.G.Selivanov, What we think about the higher dimensional Chern-Simons theories. Preprint ITEP 70-91.

Список литературы

[1] S.S.Chern and J.Simons, Ann.Math.99(1974)l,48-69.

[2] D.Quillen, Funkt.Anal.Appl. 19(1985)1,37-45.

[3] A.S.Schwarz, Lett.Math.Phys., 2(1978),217.

[4] A.Ray, I.Singer, Ann.Math, 994(1972),541.

[5] V.F.R.Jones, Bull.AMS, 12(1985),103-110.

[6] L.H.Kauffman, Topology, 26(1987),395-407.

[7] P.Freud, D.Yetter, J.Hoste, W.B.R.Licorich, K.Millet and A.Ocneanu, Bull.AMS, 12(1985)2,239-246.

[8] E.Witten, Comm.Math.Phys., 121(1989)3,351-399.

[9] G.Moore and N.Seiberg, Phys.Lett. B223(1989),422

[JO] M.Kontsevich, preprint CFT, Luminy 1989. :

[11] V.A.Vassiliev, Adv.Sov.Matb., 1(1990),23-69.

[12] D.Bar-Natan, preprint. XASSN-HEP-90/e

[13] N.Yu.R.eslietikhin and V.C.Turaev, Inv.Math., 103(1991),517.

[14] S.Elitsur, G.Moore, A.Shwimmer.and N.Sieberg, preprint IASSN-HEP-89/20.

[15] S.Axelrod, S.Della-Pietra and E.Witten, preprint IASSNS-HEP-89/57.

[16] L.Alvarez-Gaume, J.M.F.Ubastida and A.V.R&mallo, NucLPhys. B344(1990),103. {17] M.Bos and V.P.Nair, Int.J.Mod.Phys, A5(1990),959.

[18] S.Deser, R.Jakiv and S.Templeton, Phys.Rev.Lett., 48(1982),975; Ann.Phys.(N.Y.), 140(19S2),372.

f '

[19] il.KoraH n A.IO.MopoaoB, >!OT<J>, 61(1)(19S5),1.

[20] J.Fiolich, F.Gabbiaui ami P.-A.Marchetti, preprint ETH-TH/89-36.

[21] D.EIic-zer, GAV.Senienofi and S.S.Wu, preprint UBC-45/91.

[22] N.llitchin, Duke Math.J., ./1(1937),91.

[23] M.S.Narasimiian and SJiamanau, Aun.Matli. )01 (1975),31 -34. [21] M.Atiyali and R.Iiott, I'hil.Trajis.Roy.Soc.Lcmd. A30S(19S2),523. frj] A.A.BciliiiMiti, V.G.Drinl'cld and V.A.Ginzburg, picprint VIN-5-91-T. [2Gj E.Witten, preprint IASSNS-IIKP-91/3.

[27] D.Bernard, N'url.Ph vs., B2SS(19S7)C28-G4S.

[2S] V.G Knizhnik a/id A.H.Zauiolodcliikov, fiucl.Pliys. B247(19S6),83-103. [29] A.Tsurliia, Y.Kanie, Adv.Snidies in Pure Math. ]0(19SS),297.

[30] V.G.Drinfeld, Proc.Int.C0115r.Math., Berkeley, 1(1986)798-820.

[31] G.Moore and N.Yu.Reshetikhin, preprint IASSAS-HEP-89/18.

[32] G.Floer, Comm.Math.Phys. ,116(1987),437.

[33] M.F.Atiyah, in The Mathematical Heritage of Hermann Weyl, ed. R.Wells, Proc.Symp.Pure Math. 16(J9S8),297.

[34]' А.Б.Замолодчиков, Теор.Мат.Физ., 65(1985),1205.

[35] И.М.Геяьфйнд и Л.А.Дикип, Препринт ИПМ АН СССР, 136(1978).

[36[ I.M.Gel'fand, M.S.Graev and A.M.Vershik, Compositio Math., 35(1977)3,299-345.

[37] A.M.Polyakov and P.B.Wigman, Phys.Lett. B123(1987),45.

[38] А.О.Радул, Функц.аяал. и его прнл. (1991)

[39] A.O.Kadul, preprint 1СР-Т-12-91.

[40]. А.О.Радул, Письма в ЖЭТФ, 50(1989)8,341-343.

[41] B.A.Khesin and I.A.Zacharevich, preprint IHES/M/92/71. - ,

[42] В.Г-Дринфельд л В.В.Соколов, Совр.пробя.мат., т,24-М.:ВИНИТИ, стр.81-180.

[43] V.A.Fateev and S.Lykianov, IntJ.Mod.Phys., А3(1988)507.

[44] N.ffitchm, Comm.Math.Phys. (1990)2,-

[45] E.Bergshoeff, C.N.Pope, L.J.Romans, E.Sezgin X.Shen and K.S.Steele, prepint CERN-TH.5703/90.

[45] P.Gervais, Y.Matsuo, preprint LPTENS-91/35.

[47] G.Sotkov and M.Stanishkov, preprint ISAS(SISSA) 70/90/EP(June 1990).

[48] A.A.Gerasimov, A.M.Levin and A.V.Marshakov, Nucl.Phye. B360(1991)537.

[49] A.M.PoIyakov, IntJ.Mod.Phys., A5(1990)5,S33.

¡50] ir.Verlincle, preprint PUTP-S9/1140.

[51] A.Alexeev,L.Faddeev and S.Shatashvilli, J.Gf om.. 11,(1989),23.

[52] A.A.Belavin, A.M.Polyakov and A.B.Zamoldcliikov Nucl.Pbys. B241(19S4),333.

[53] D.Friedan and A.Shenker, Nucl.Pbys. B2S1(19S7),509.

[54] V.A.Ginzburg, preprint VIN-5-90/16.

[55] M.Kontsevidi, Max Planck Institute preprint (1991).

[56] M.Fukuma, H.Kawai and R.Nakayama, Int.J.Mod.Phys., 6(1991),13S5.

[57] R.Floreanini and R.Percacci, PhysXett., B224( 1989),291

[58] V.V.Fock and A.A.Rosly, preprint ITEP-72/92.

/ 1

ncunrncairo k ne^aTE 2T.iO.S2 ''omiaT 60x90 I/I6 O'ooerH.ne1?.

1,25. TupaK TOO 3K3~. 3aica3 403. Hhbskc 3649

OTneiaTano b HT3i>, II7259, 'v'ocKBa, E.HepeMyEKi!HCKaH,25