Калибровочная зависимость и точные решения в квантовой гравитации с высшими производными тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

?ть 011

, ц

На правах рукописи

Жексенаев Аскар Гылымбекович

Калибровочная зависимость и точные решения в квантовой гравитации с высшими производными.

01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск - 1998

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Томского государственного педагогического университета.

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

профессор Бухбиндер И.Л., доктор физико-математических наук, профессор Шапиро И.Л.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Федосов Н.И. кандидат физико-математических наУк)

доцент Крыхтин В.А.,

Ведущая организация: Томский государственный университет

Защита состоится "_"_1998 г. в_час__мин.

на заседании диссертационного совета К.113.77.01. по присуждению ученых степеней по специальности 01.04.02 (теоретическая физика) в Томском государственном педагогическом университете (634041, Томск, Комсомольский пр. 75, ауд. 335).

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного педагогического университета.

Автореферат разослан "_"_ 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук доцент

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации

Объединение электромагнитного и слабого взаимодействий, которое привело к созданию стандартной электрослабой теории и развитие теории Великого Объединения всех негравитационных взаимодействий явились значительным успехом в понимании и описании фундаментальных сил в природе. При этом были продемонстрированы ведущая роль и возможности калибровочного подхода, лежащего в основе всех объединенных теорий. Однако, попытки построить последовательную квантовую гравитацию путем квантования стандартной классической гравитационной теории - эйнштейновской общей теории относительности и объединив ее с остальными фундаментальными негравитационными силами на квантовом уровне, сталкиваются со значительными трудностями.

Как хорошо известно, эйнштейновская общая теория относительности содержит размерную константу связи и, значит, ведет к пертурбативно неперепормируемой квантовой теории. Попытки развить непертурбатив-ные подходы пока не привели к заметным результатам. В этой ситуации, единственный путь продвижения в понимании квантовых аспектов гравитации связан с построением моделей, направленных на исследование отдельных свойств гравитации на квантовом уровне и не претендующих на роль общей теории. Можно однако надеяться, что построение моделей квантовой гравитации и их изучение будет способствовать продвижению к последовательной квантовой теории гравитации.

Одной из основных моделей квантовой гравитации, привлекающих значительное внимание и остающихся актуальными в течение ряда лет, является так называемая теория гравитации с высшими производными. Лагранжиан этой модели содержит, по - мимо эйнштейновского вклада, геометрические инварианты, квадратичные по кривизне. Установлено, что гакая модель является перенормируемой и асимптотически свободной, гатя и обладает известным дефектом, связанным с тахионами и духами з спектре. В рамках данной модели оказывается возможным проведение последовательного анализа многих квантово - полевых аспектов, связанных со структурой перенормировок, асимптотическим поведением эффек-гивных констант связи, индуцированием эйнштейновской гравитации в тазкоэнергитическом пределе.

Дальнейшим развитием теории гравитации с высшими производными 1вилась идея четырехмерной дилатонной теории гравитации. Эта идея >ыла инспирирована успехами теории струн, в которой предсказывалось существование специфического скалярного поля, ответственного за гра-штационное взаимодействие вместе с метрикой пространства - времени. Развитие модели дилатонной гравитации во - многом еще не завершено,

однако в ряде своих вариантов она описывается лагранжианами с высшими производными. Среди моделей гравитации с высшими производными, как с дилатоном так и без него, определенное внимание привлекают модели, обладающие, по - мимо общекоординатной инвариантностью, еще и вейлевской инвариантностью. Простейшей моделью подобного вида является вейлевская теория гравитации, лагранжиан которой представляет собой квадрат тензора Вейля. При построении квантовой теории в моделях, обладающих вейлевской инвариантностью на классическом уровне, возникает известная проблема конформных аномалий, ведущая к тому, что подобные модели внутренне противоречивы на квантовом уровне. Как нам представляется, проблема конформных аномалий в гравитационных теориях недостаточно исследована.

Как известно, центральным объектом квантовой теории поля является эффективное действие. Значительная часть работ, посвященных моделям квантовой гравитации непосредственно связана именно с изучением структуры эффективного действия. Поскольку любая модель квантовой гравитации является калибровочной теорией, то соответствующее эффективное действие зависит от выбора калибровочных условий или, в конкретных примерах, от параметров, с помощью которых формулируются калибровочные условия. Очевидно, что проблема нахождения явной зависимости эффективного действия от калибровочных параметров имеет принципиальное значение, по-существу определяющее структуру эффективного действия в целом. Решение этой проблемы, особенно в теории гравитации с высшими производными и в гравитации, обладающей вейлевской инвариантностью, требует развитие адекватной вычислительной техники.

Предлагаемая диссертация посвящена исследованию актуальных проблем современной квантовой теории гравитации, связанных с построением техники вычисления однопетлевых контрчленов в моделях теории гравитации с высшими производными в калибровках зависящих от параметров, исследованием общих аспектов конформной аномалии, построением новых моделей дилатонной гравитации и изучением их структуры на квантовом уровне.

Цель работы

Цель диссертационной работы заключалась в решении следующих задач:

- Развитие техники вычисления однопетлевого эффективного действия в моделях теории гравитации с высшими производными, где калибровочные условия зависят от параметров и соответствующий дифференциальный оператор, функциональный детерминант которого определяет одно-петлевое эффективное действие, имеет так называемый неминемальный

вид.

- Нахождение однопетлевых контрчленов в модели квантовой гравитации с высшими производными, связанной со скалярным полем в калибровках, зависящих от параметров. Вычисление 7 - функции скалярного поля, /3 - функции константы скалярной связи и однопетлевого эффективного потенциала скалярного поля с учетом зависимости от калибровочных параметров.

- Исследование влияния формы калибровочного условия на возможность нарушения конформной симметрии в вейлевской теории гравитации. Изучение зависимости однопетлевого эффективного действия в модели индуцированной четырехмерной конформной квантовой гравитации от выбора калибровочных параметров.

- Построение наиболее общей модели дилатонной гравитации с четвертыми производными. Вычисление однопетлевых контрчленов в этой модели, нахождение уравнений ренормализационной группы и исследование их решений. Изучение возможностей построения конечных в однопет-левом приближении, конформных и неконформных моделей дилатонной гравитации.

Научная новизна и практическая ценность работы

В рассмотренной теории квантовой гравитации с высшими производными со скалярным полем исследована проблема вычислений у и /3 - функций скалярного поля в однопетлевом приближении с учетом зависимости от калибровочных параметров. Получены соотношения необходимые для приведения неминимального оператора к минимальному. Найдены выражения для однопетлевых расходимостей эффективного действия, содержащие зависимость от калибровочных параметров. С учетом этой зависимости найден явный вид и проведен анализ у и /3 - функций для скалярного поля. Получена явная зависимость однопетлевого эффективного потенциала скалярного поля от калибровки.

В формализме функционального интеграла рассмотрена вейлевская теория гравитации, действие которой представляется квадратом тензора Вейля. Проведен общий анализ возможных причин возникновения конформной аномалии, одна из которых нарушение конформной инвариантности в однопетлевом эффективном действии, связанное с возникновением конформно нековариантного оператора при вычислении однопетлевых расходимостей. В рамках метода универсальных следов получена общая формула зависимости однопетлевого эффективного действия от двух произвольных параметров в калибровочном условии и весовом операторе. Этот результат позволяет найти изменение однопетлевого эффективного действия при изменении калибровочных параметров. Отсюда следует, что если известно эффективное действие при одних фиксированных зна-

чениях этих параметров, то можно найти эффективное действие при других значениях в явном виде. Из полученного соотношения вытекает, что изменение калибровочного условия в квантовой гравитации с высшими производными эквивалентно конформному сдвигу классического действия. Исследуется калибровочная зависимость однопетлевых расходимос-тей эффективного действия в индуцированной конформной гравитации. Показано, что изменение калибровочного условия соответствует изменению однопетлевого эффективного действия на некоторый конформно инвариантный функционал. Показано, что невозможно исключение неконформных однопетлевых расходимостей выбором определенной калибровки.

Предложено наиболее общее действие сигма - модельного типа безразмерного скалярного поля в четырехмерном пространстве времени с кривизной. Показано, что данная теория является перенормируемой. В предложенной дилатонной теории с высшими производными получены однопетлевые контрчлены с использованием метода фонового поля и обобщенной техники Швингера - Де Витта. Проведен анализ структуры перенормировки констант связи. Показано, что эффективные константы связи можно разделить на три группы, отражающие структуру перенормировки. Получены ренормгрупповые уравнения для констант связи. Рассмотрена наиболее общая перенормируемая конформно инвариантная версия дилатонной теории, в которой найдены однопетлевые расходимости. В результате решения уравнений для эффективных констант связи получены три конформные и три неконформные версии общей модели дилатонной гравитации, конечные в однопетлевом приближении.

Публикации

Материалы, изложенные в диссертации, опубликованы в 6 работах.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из Введения, трех глав, Заключения и списка литературы. Общий объем составляет 110 страниц.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность выбранной темы, изложен краткий обзор литературы по проблемам квантовой гравитации, дано описание структуры диссертации.

В первой главе диссертации "Калибровочная зависимость эффективного потенциала в квантовой гравитации с высшими производными со скалярным полем" проведен общий анализ проблемы вычислений 7 - функции для скалярного поля и ¡3 - функции константы скалярной связи в од-

нопетлевом приближении в неминимальной калибровке (здесь и далее неминимальная калибровка понимается как калибровка, которая приводит при вычислении расходимостей к неминимальному оператору). В общей линейной калибровке вычислен однопетлевой эффективный потенциал, зависящий от калибровочного параметра.

В первом разделе предлагается краткий обзор статей и постановка задачи.

Во втором разделе "Однопетлевое эффективное действие и неминимальная калибровка" рассмотрена теория гравитации с высшими производными, взаимодействующая со скалярным полем. Классическое действие теории имеет вид

5 = +

+ (1)

где - тензор Вейля. Для вычислений используется метод фонового

поля и обобщенная техника Швингера - Де Витта, развитая А.О.Бар-винским и Г.А.Вилковыским. При вычислениях учитывается, что 7 и /? не зависят от фоновой метрики и поэтому в дальнейшем будем считать ее плоской.

Для исследования операторной структуры и учета влияния калибровочного условия на однопетлевые контрчлены разумно выбрать калибровочное условие Xv и весовой оператор С" для калибровочного условия в форме, которая не нарушает локальности и не вводит размерных параметров в действии Sgf, фиксирующем калибровку и действии для гостов Sgh. Используем действие Sgf следующего вида:

Sff = I ,

= + = (2)

С" = -(-g^a + (1 - ,

a

где a, p, S - калибровочные параметры. Необходимая для вычисления расходимостей квадратичная форма действия S'2' + определяется из выражения, зависящего от фонового поля д^ и квантового поля h^:

s® + s$ = \jd'x{h^\ip){n){h^\tp)T . (3)

Неминимальность матричного оператора "Н проявляется в секторе квантовых гравитационных полей Hhh, в составном дифференциальном one-

V 0/ а3

раторе, высшие производные в котором имеют вид:

= (4)

1=1

_ Т{ = [Т^ц^ро , Т\ = дцдудрдо ,

Г2 = {дрд^ро + дрда^а ,Тз = Г]раг)^и2 , (5)

где коэффициенты а,- определены следующим образом:

/1-2« ¿-1\ /1 + 4о> ¿(р+1/4)\

= - = ---5—) '

1 11

а* = ТГ ' °5 =--т •

2А ал

Полученное выражение для оператора Ц, зависящего от калибровочных параметров, приводит в силу его неминимальности к общей проблеме вычисления эффективного действия с учетом зависимости от калибровочных параметров.

В третьем разделе "Выражения для однопетлевых контрчленов" приводятся составляющие функциональные коэффициенты для универсальных следов.

Оператор К представляет собой неминимальный оператор четвертого порядка, что не дает непосредственно воспользоваться наиболее эффективным явно ковариантным методом вычисления, основанным на так называемой таблице универсальных следов. Для устранения этой трудности воспользуемся теми соображениями, что произвольный оператор не содержащий фонового поля не дает вклада в однопетлевые контрчлены, зависящие от этого поля. Исходя из этого, введем дополнительный оператор К, который не содержит скалярного фонового поля и удовлетворяет следующему соотношению:

[БМЬЬЭьдьдМ

х[кх>х^дх,дх2дхздх<г'*е = (7)

В результате умножения, исходного квадратичного оператора четвертого порядка и найденного дополнительного, получено явное выражение для минимального оператора восьмого порядка и общие выражения для однопетлевых расходимостей следа. Описанный метод возможно обобщить на случай произвольной фоновой метрики.

В четвертом разделе "Формула суммирования по внешним индексам" представлен вывод формулы для получения коэфициентов, необходимых для приведения неминимального оператора к минимальному.

Получение однопетлевых контрчленов, соответствующих схалярному юлю, в неминимальной калибровке приводит к значительному увели-1ению объема вычислений, по сравнению с минимальным случаем. Не-тосредственно это выражается в введении дополнительного матричного шератора К и соответственно в увеличении различных сочетаний для метрического тензора г]^, входящего в полностью симметричный тензор ?Аь..л2. ранга 2п, который можно представить в виде:

Произвольные сочетания набора т)х,х> с и (8х*"-1 ф)(дХз'ф) оказыва-

ется возможным всегда привести к следующим выражениям:

(2п + 2)(2п)... (4 + 2(п - Ь))ЙГ+1да. (8)

(2п + 2)(2п)... 8 • 6(д"ф)(д1,ф). (9)

Количество множителей перед (д"ф)(д^ф) равно количеству метрических тензоров, свернутых с 5а"!..а2«?т,е- (п — !)• Таким образом, зная значение суммы по внешним индексам, достаточно определить свертку выражений, стоящих перед струхтурным элементом д\1п1\3л, по внутренним индексам.

В пятом разделе "Вычисление констант перенормировки. Однопет-левой эффективный потенциал" получены явные выражения для однопетлевых контрчленов, /?, у - функций и однопетлевого эффективного потенциала. Для упрощения вычислений ограничимся двухпараметрической калибровкой, положив а = А в (2). Очевидно, сокращение членов в /3 -функции, зависящих от калибровочных параметров, служит контролем правильности вычислений значений ренормгрупповых функций. С учетом выражений для однопетлевых контрчленов /3, 7 - функций можно представить в виде

(ю)

(4тг)27 = ¿А

2 4о> 44/5— 3/ 8(4р — З)2 3 /4р- 1\ 3(2о;-1) а аЛ4р-3/? 4 ы С '

(И)

Полученное выражение для 7 позволяет установить явную зависимость от калибровочных параметров эффективного потенциала У(ф). С учетом выражений для /3 и 7 имеем

где = /3 и -уф = 7. Очевидно, эффективный потенциал зависит от калибровочных параметров одновременно с 7.

Во второй главе диссертации "Калибровочная зависимость однопет-левых расходимостей и конформная аномалия в вейлевской гравитации" на основании вейлевской теории, действие которой представляется квадратом тензора Вейля, проведен анализ причин возникновения конформной аномалии. Получена общая формула зависимости однопетлевого эффективного действия от двух калибровочных параметров. Исследуется калибровочная зависимость однопетлевых расходимостей эффективного действия в индуцированной конформной гравитации. Предлагается конформно инвариантная модель квантовой гравитации с безмассовым скалярным полем.

В первом разделе "О возможных причинах возникновения конформной аномалии в вейлевской гравитации" предлагаемый материал связан с изучением вопроса о калибровочной зависимости однопетлевых контрчленов и анализом проблемы аномалии в конформной версии теории квантовой гравитации с высшими производными, которая известна как вейлевская гравитация. Классическое действие этой модели можно представить в виде

где Са01игтензор Вейля.

Наличие двух, общекоординатной и конформной, симметрии указывает на возможное появление в теории аномалии, нарушающей одну из сим-метрий на квантовом уровне. В то же время, причины возникновения аномалий изучены не полностью. Не исключено, что источником аномалии является выбранный метод вычисления расходимостей, который требует определенной схемы регуляризации. Существует и другое возможное объяснение появления неконформного контрчлена I (14Ху/^дЛ,2 в вейлевской гравитации.

Для квантования теории (13) необходимо дополнительное условие, фиксирующее конформную симметрию, обычно для этого используется условие Л = О, где К = Последовательное использование метода фонового

ПФ) = У? - + - 47ФЛФ* [ь (£) - |

(12)

(13)

•оля требует, чтобы калибровочное условие сохраняло симметрии по фо-ювым полям. В случае рассмотренного условия Л = 0 фоновая конформ-яая инвариантность не нарушается, тем не менее, мы не можем ожидать конформно - инвариантного результата из-за появления в вычислениях яеконформных операторов, что связанно с особенностями метода фонового поля в квантовой гравитации.

Таким образом, существуют две конкурирующие причины для появ-пения неконформного контр члена ! с14Хл/—дЯ2 в вейлевской гравитации. Здесь предлагается к рассмотрению вторая возможность появления неконформного контрчлена, связанного с нарушением фоновой конформной симметрии квадратичным дифференциальным оператором.

Во втором разделе "Калибровочная зависимость однопетлевых расходимостей в вейлевской гравитации" приведены прямое вычисление и явный вид калибровочной зависимости однопетлевых расходимостей эффективного действия для вейлевской теории гравитации, классическое действие которое представляется в виде (13).

Используя тождество Уорда, связывающее пропагаторы полей Ср ( здесь и далее в этом разделе индексы обозначенные латинскими буквами являются конденсированными, явный вид которых зависит от рассматриваемых калибровочных полей ) и гостов и тождества Нетер для калибровочного поля, можно получить следующее выражение для производной однопетлевого эффективного действия по калибровочному параметру:

гТ' = + (14)

где д" - калибровочное поле, - генератор инфинитезимальных калибровочных преобразований, ер - классическое уравнение движения, х" -калибровочное условие, У^ - весовой оператор, а штрих означает дифференцирование по калибровочному параметру Предположим теперь, что нам известно выражение Гт, отвечающее некоторым фиксированным значениям калибровочных параметров ск,- " Гт — Г(а|0)). Тогда

.ты=.тк»)+£ ..........(15)

I

где производные вычисляются по формуле (14).

Соотношения (14),(15) дают общее выражение для зависимости однопетлевого эффективного действия от калибровочных параметров а,-.

Рассмотрим зависимость от калибровки однопетлевых расходимостей в вейлевской гравитации, где калибровочное выражение и весовой оператор имеют вид (2). Выполняя интегрирование в (15), получим

¿Г (а,7) = гТ(а(°>,7(0))7). (16)

Здесь /м„(а, -у) - некоторая функция калибровочных параметров. Но для вейлевской гравитации следует е^д^ = 0, что с учетом (16) приводит к выводу о независимости однопетлевого эффективного действия от выбора калибровочного условия. Но поскольку 7*0)) в вейлевской теории гравитации, как было сказано, выше, содержит неконформный контрчлен приведенный результат служить аргументом против гипотезы о калибровочном происхождении конформно - неинвариантного контрчлена у/—дВ? в вейлевской гравитации.

Можно показать, что приведенное выше рассмотрение может быть применена для произвольной мультипликативно перенормируемой теории, где генераторы калибровочных преобразований образуют алгебру Ли.

В третьем разделе "Калибровочная зависимость однопетлевых контрчленов в квантовой гравитации с высшими производными" приводятся анализ и вывод выражения для калибровочной зависимости однопетлевого эффективного действия. Обозначим Г(а,) однопетлевое эффективное действие, которое соответвествует произвольным значениям калибровочных параметров а,-, и Гт = Г (а-0') - (минимальное) однопетлевое эффективное дейстие, соответствующее определенным фиксированным параметрам а,-

Наша цель установить явный вид калибровочной зависимости однопетлевого эффективного действия Г(а,). Можно заметить, что этот результат можно получить без специальных вычислений. Хорошо известно, что калибровочная зависимость эффективного действия пропадает на массовой поверхности, и этот факт является основным для понимания проблемы. В результате можно получить выражение:

Г(а.) = Ги +/«^х^Ла,-)^—, (И)

где бв/бд^ = е^ — классические уравнения движения, /^(а,) - некоторая неизвестная функция. Из выражения следует, что изменение калибровочного условия в квантовой гравитации с высшими производными эквивалентно конформному сдвигу классического действия.

Так как конформные ( и возможные поверхностные ) члены не дают вклада в калибровочную зависимость, мы получим следующее выражение Г(а,-) для квантовой гравитации с высшими производными:

Г(а,) = Гт + /<14х^/(а1){~(11 - 4А) - уОЯ}. (18)

Аналогичные рассуждения можно провести для индуцированной конформной гравитации.

В четвертом разделе "Калибровочная зависимость в индуцированной конформной гравитации" исследуется калибровочная зависимость од-нопетлевых расходимостей эффективного действия в модели индуцированной конформной квантовой гравитации с действием

5С = /¿4ху/^Ы<р)С* + ±<рА<р}, (19)

где Д - конформно инвариантный оператор четвертого порядка, введенный Ригертом, а q(<p) - произвольная функция дилатонного поля <р.

Применяя к данной теории рассуждения развитые в предедущей главе, получим

Г(а.) = Гт+ / с14х^[/(сч)А<р + Я'(<р)С2], (20)

где д' = dq/dlp,f(a¡) - некоторая функция от калибровочных параметров.

Из окончательного выражения (20) видно, что изменения калибровочного условия соответствуют изменению однопетлевого эффективного действия на некоторый конформно-инвариантный функционал. В результате, возможные контрчлены, нарушающие конформную инвариантность, не возможно сократить за счет специального выбора калибровочных параметров.

В третьей главе "Конформные и неконформные решения для квантовой гравитации с высшими производными" исследуется калибровочная зависимость однопетлевых расходимостей эффективного действия в модели дилатонной гравитации. Предложено наиболее общее действие сигма - модельного типа безразмерного скалярного поля в четырехмерном пространстве времени с кривизной. В представленной дилатонной теории с высшими производными получены однопетлевые контрчлены, ре-нормгрупповые уравнения для констант связи, три конформных и три неконформных, конечных в однопетлевом приближении, модели дилатонной теории.

В первом разделе "Дилатонная теория с высшими производными в четырехмерном пространстве времени" предлагается общая модель для дилатонной гравитации. Рассмотрено действие сг - модельного типа, которой соответствует перенормируемая теория. Общий размерный анализ теории, содержащий безразмерное скалярное и гравитационное поля, приводит к наиболее общему действию вида

5 = I ^х^4[ьл<р)(°<р)2 □*>) +

+ Цу>)(У^)(^¥>) + Ш + (21)

+ а1{<р) я2а(ьт + а2(у>)Я^ + азМД2 + а4(у>)Д]

где Ь|(¥>), с,'(у)> а.'(у) - произвольные функции дилатонного поля у. Все константы связи являются безразмерными, кроме Ь4, а4, которым соответствуют размерности: [64(9?)] = 2, [65(V5)] = 4, [04(9)] = 2. Все другие возможные четырехмерные структуры, содержащие скалярное поле, можно получить интегрированием по частям и отличаются от основных выражений действия на поверхностные члены, которые здесь не учитываются.

Во втором разделе "Однопетлевые контрчлены" представлено вычисление однопетлевых контрчленов для теории с дилатоном во внешнем гравитационном поле. Для предложенных расчетов расходимостей используются метод фонового поля и обобщенная техника Швингера - Де Витта.

Полученные выражения для расходимостей имеют ту же структуру, что исходное действие. Данный результат соответствует общему анализу расходимостей однопетлевого эффективного действия, проведенному на основе подсчета индекса расходимости диаграмм. Зависимость эффективных констант связи можно представить в общем виде:

А\ = А^Ь, а"), А2 = А2(Ъи 02,0.2),

Аз = Лз(б1,с1,с2,аз,сз,),Л4 = А4{Ь\, Ь4,сис2,а'^,Ь4,с'3),

В1 = £1(61, Ьг, Ь\, У{), В2 = В2(Ьь ¿»2,Ь3, Ь[, Ь'2, У[, Ц), (22)

Вз = В3(Ь„ Ь", 62, Ьз, Ь\, Ь'2. Ь'3, Ь", Ь"),

В4 = В4(Ьи Ьг, Ьз, Ь4, Ь\. Ь'2. Ь\, У{, Ь'[), В5 = В5(Ъи Ь4, Ь£),

С\ = С^Ьь г>2, Ь3, сь с2, ь\, Ь'2, с\, с?, с'3, Ь", с")

С2 = Сг(Ь1, Ьг, Ь3, с2, Ь\, ¿2,4'), Сз = Сз(Ь1, Ьг, сг, с2, Ь[, с'3, с3).

Все расходимости возможно исключить перенормировкой функций а{<р), Ь(<р), с(<р), по аналогии с двумерными сигма - моделями. Важно отметить, что перенормировка констант связи а(<р), {<р). с(<р) соответствует свойствам, проявляющимся в произвольной квантовой теории во внешнем гравитационном поле. Все константы связи могут быть разделены на три группы, различающиеся структурой перенормировки. Первую группу образуют Ь((р) функции. Перенормировка этих функций не зависит от других функций а(<р), с(<р) и аналогично перенормировке констант связи полей материи в хорошо известных моделях, подобных ф4 - теории. Вторая группа состоит из с(ф) функций, перенормировка которых аналогична перенормировке неминимальной константы £ в взаимодействии. Это означает независимость перенормировочных преобразований от функций а(<р), но зависимость от Ь(<р). Коэффициенты а (у) входят в третью группу и аналогичны параметрам вакуумного действия для материальных полей. Кроме того, безразмерные константы не зависят от размерных констант, что согласуется с известной теоремой в квантовой

теории поля.

Таким образом, данная теория соответствует всем стандартным свойствам модели, рассматриваемой на классическом искривленном фоне. Отличительной чертой данной теории является наличие высших производных, а так же взаимодействие сигма - модельного типа, что можно интерпретировать как присутствие бесконечного набора констант связи.

Третий раздел: "Конформно инвариантная теория и некоторые точные решения".

Рассмотрена наиболее общая конформно - инвариантная версия дила-тонной теории гравитации:

5е = /¿'х^Гд {/(<р)<рАр + д(<р)С^т , (23)

где /(V), д(<р) и р(<р) произвольные функции, Д - конформно-инвариантный оператор четвертого порядка.

Используя выражения (22) и (23), были получены расходимости исходной конформной теории. В результате решения уравнений для эффективных констант связи:

М/(р),9(р),р(р)) = Щ/(р),я(<р),р(р)) = ,94)

ск(Яч>),я(<р),р(<р)) = о, V*)

получены в явном виде три конечные, конформно инвариантные модели безмассового скалярного поля.

Четвертый раздел: "Точные, неконформные решения". Рассмотрены точные решения общей теории (21), с соответствующими однопет-левыми константами связи. Поскольку исследуются неконформные решения, коэффициент Ь\ должен быть отличен от 6г- С математической точки зрения, нахождение решений общей системы (24), представляет значительную трудность, потому что уравнение Вз = 0 не фактаризу-ется. Таким образом, уже на первом этапе мы сталкиваемся с проблемой решения системы нелинейных дифференциальных уравнений. Однако можно показать, что уравнения обладают некоторыми свойствами однородности, это позволяет искать решения в экспотенциальной форме Ь]((р) = к]ехр[(у— ¥?о)А;], и в виде степенной функции 6;-(ср) = <ро)х',

где к{ и А;- некоторые константы.

В результате решения уравнений было получено три конечные неконформные версии общей дилатонной теории (21).

В Заключении кратко сформулированы основные результаты, полученные в диссертации и выносимые на защиту.

Новые научные результаты, выносимые на защиту

1. В квантовой теории гравитации с высшими производными и скалярным полем исследована проблема вычислений 7 - функции для скалярно-

го поля и /3 - функции константы скалярной связи в однопетлевом приближении с учетом зависимости от калибровочных параметров. Развита техника вычисления однопетлевых расходимостей в неминимальных калибровках, получены соотношения необходимые для приведения неминимального оператора к минимальному. Найдены выражения для однопетлевых расходимостей эффективного действия, содержащие зависимость от калибровочных параметров.

2. Получены однопетлевые контрчлены в модели квантовой гравитации с высшими производными, связанной со скалярным полем в калибровках, зависящих от двух параметров. Продемонстрировано на основе прямых вычислений, что хотя однопетлевые контрчлены зависят от калибровки в явном виде, соответствующая /3 - функция от калибровочных параметров не зависит. Данный результат подтверждает: а) правильность метода вычисления однопетлевых расходимостей; б) правильность вычисления 7 и /3 функций скалярного поля. Получено выражение, которое показывает явную зависимость эффективного потенциала скалярного поля от двух калибровочных параметров.

3. В вейлевской теории гравитации проведен анализ возможных причин нарушения конформной симметрии на однопетлевом уровне: а) появление конформной аномалии как результат применения метода вычисления расходимостей, который требует определенной схемы регуляризации; б) нарушение конформной инвариантности в однопетлевом эффективном действии для вейлевской гравитации, связанное с возникновением конформно - нековариантного оператора в калибровочном секторе. Получена общая формула зависимости однопетлевого эффективного действия от двух калибровочных параметров. Показано, что появление конформно неинвариантного контрчлена в вейлевской гравитации не связано с выбором калибровочного условия.

4. В квантовой теории гравитации с высшими производными получена общ ал формула зависимости однопетлевого эффективного действия от двух калибровочных параметров. Этот результат позволяет найти изменение однопетлевого эффективного действия при изменении калибровочных параметров. Это означает, что если известно эффективное действие при одних фиксированных значениях этих параметров, то можно найти эффективное действие при других значениях в явном виде. Из полученного соотношения для однопетлевого эффективного действия, зависящего от двух калибровочных параметров следует, что изменение калибровочного условия в квантовой гравитации с высшими производными эквивалентно конформному сдвигу классического действия.

5. Исследуется калибровочная зависимость однопетлевых расходимостей эффективного действия в индуцированной конформной гравитации. Предлагается конформно инвариантная модель квантовой гравитации с

безмассовым скалярным полем. Показано, что изменения калибровочных параметров в линейном калибровочном условии соответствует изменению однопетлевого эффективного действия на некоторый конформно инвариантный функционал, что указывает на невозможность устранения неконформных однопетлевых расходимостей выбором определенной калибровки.

6. Предложено наиболее общее действие сигма - модельного типа для скалярного поля в искривленном четырехмерном пространстве времени. Проведен размерный анализ и показано, что теория является перенормируемой в обобщенном смысле.

7. В предложенной дилатонной теории с высшими производными получены однопетлевые контрчлены с использованием метода фонового поля и обобщенной техники Швингера - Де Витта. Проведен анализ структуры перенормировки констант связи. Показано, что константы связи можно разделить на три группы, отражающие структуру перенормировки. Получены ренормгрупповые уравнения для констант связи.

8. Рассмотрена наиболее общая конформно инвариантная версия дилатонной теории. Вычислены однопетлевые контрчлены конформной теории. В результате решения уравнений для эффективных констант связи получено три конформных и три неконформных конечных в однопетлевом приближении версии общей дилатонной теории.

Апробация материалов диссертационной работы

Результаты, положенные в основу диссертации, обсуждались на

— научных семинарах кафедры теоретической физики Томского государственного педагогического университета,

— научных семинарах физического факультета Барселонского университета (Испания),

— научных семинарах физического факультета Хиросимского университета (Япония),

— научных семинарах физического факультета Токийского университета (Япония),

— научном семинаре в Институте теоретической физики РАН им. Л.Д.Ландау.

А также докладывались на конференции:

- Первая международная конференция Quantum Field Theory and Gravity, Томск, август 22 - 27, 1994.

Основные результаты диссертации

опубликованы в следующих работах:

1. A.G.Jacksenaev, I.L.Shapiro. Gauge fixing dependence of the one-loop divergences in higher-derivative quantum gravity with scalar field and the effective potential. // Classicall and Quantum Gravity, vol.11, N5, pp.1677-1685, 1994.

2. E.Elizalde, A.G.Jackeenaev, S.D.Odintsov, I.L.Shapiro.

One-loop renormalizajion and asymptotic behavior of a higher-derivative scalar theory in curved spacetime. // Physics Letter B, vol.328, N2, pp.297-306, 1994.

3. I.L.Shapiro,A.G.Jacksenaev . Gauge dependence in higher derivative quantum gravity and the conformai anomaly problem. // Physics Letter B, vol.324, N2, pp.286-292, 1994.

4. И.Л.Шапиро,А.Г.Жексенаев. Калибровочная зависимость эффективного потенциала в квантовой Д2-гравитации со скалярним полем. // Ядерная Физика, т.56, N10, стр. 238-246, 1993.

5. А.Г.Жексенаев,И.Л.Шапиро. Калибровочная зависимость в квантовой гравитации с высшими производними: явное вычисление. // Ядерная Физика, т.57, N11, стр. 2103-2104, 1994.

6. E.Elizalde,A.G.Jacksenaev,S.D.Odintsov,I.L.Shapiro.

A four - dimensional theory for quantum gravity with conformai and nonconformal explicit solutions. // Classical and Quantum Gravity, vol.12, N4, pp.1385 - 1400, 1995.

А' --Т Г У г"» л М / I V

Л / ; - ■ ч - 7 / ^ и и - Л

V/ I ' чУ V « / I I:-

ГОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

9 л.....

Жексенаев Аскар Гылымбекович

КАЛИБРОВОЧНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ В КВАНТОВОЙ ГРАВИТАЦИИ С ВЫСШИМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

01.04.02 - теоретическая физика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научные руководители: доктор физико-математических наук, профессор И. Л. Бухбиндер доктор физико-математических наук, профессор И.Л.Шапиро

Томск - 1998

Содержание

Введение. 3

1. Калибровочная зависимость эффективного потенциала в квантовой гравитации с высшими производными, взаимодействующей со скалярным полем. 25

1.1. Предворителные сведения и постановка задачи. . . 25

1.2. Однопетлевое эффективное действие и неминимальная калибровка......................28

1.3. Выражения для однопетлевых контрчленов.....36

1.4. Формула суммирования по внешним индексам. ... 42

1.5. Вычисление констант перенормировки. Эффективный потенциал в однопет левом приблежении.....44

2. Калибровочная зависимость однопетлевых расхо-димостей и конформная аномалия в вейлевской гравитации. 48

2.1. О причинах возникновения конформной аномалии

в вейлевской гравитации.................48

2.2. Калибровочная зависимость однопетлевых расхо-димостей в вейлевской гравитации........... 52

2.3. Калибровочная зависимость однопетлевых контрчленов в квантовой гравитации с высшими производными..........................58

2.4. Калибровочная зависимость в индуцированной конформной гравитации...................60

3. Конформные и неконформные решения в квантовой гравитации с высшими производными. 65

3.1. Дилатонная модель с высшими производными в четырехмерном пространстве времени..........65

3.2. Однопетлевые контрчлены...............68

3.3. Конформно инвариантная теория и некоторые точные решения........................77

3.4. Точные неконформные решения............80

Заключение. 84

Приложение А. 88

Список литературы. 91

Введение

Бурное развитие квантовой теории поля за последние десятилетия во многом связано с прогрессом в понимании основополагающей роли калибровочных полей. Применение калибровочного принципа в различных квантовых моделях, описывающих фундаментальные силы, открывают новые возможности для более последовательного описания взаимоимодействия элементарных частиц в рамках квантовой теории поля.

Одним из подтверждений фундаментальной роли калибровочного принципа явилось создание в 60 - х годах квантополевой теории, объединяющей слабое и электромагнитное взаимодействия ( см., напр. [1, 2, 4, 9] ). Успех квантовой теории электрослабого взаимодействия предопределил дальнейшее направление исследований в квантовой теории поля, которые заключаются в поисках общей квантовой теории четырех взаимодействий: слабого, элетромагнитного, сильного и гравитационного. Дальнейшим этапом в развитии единого квантового описания фундаментальных взаимодействий в физике элементарных частиц явилось построение общей теории электрослабого и сильного взаимодействия, получившего название теории Великого объединения (см., напр. [1, 3, 4, 7] ). Применение основополагающих принципов спе-

циальной теории относительности, квантовой механики и принципа калибровочной инвариантности в теории электрослабых и сильных взаимодействий привело к последовательному описанию природы взаимодействия элементарных частиц. Правильность данного подхода утвердила себя в экспериментальном подтверждении следствий теории электрослабых взаимодействий. Почти не вызывает сомнения верность схемы построения квантовой теории, объединяющей электромагнитные, слабые и сильные взаимодействия, основанной на тех же принципах, что и теория электрослабых сил. Но полное эксперементальное подтверждение теории Великого объединения сталкивается с трудностями, которые проявляются в том, что модели Великого объединения предсказывают возможность представления электрослабого и сильного взаимодействия с верхней границей порядка 1015 ГЭВ [16], не достижимого в экпериментальных установках на сегодняшний день.

В основе теории электрослабого взаимодействия и теории Великого объединения лежит важное свойство калибровочной симметрии. При расширенном толковании принципа калибровочной инвариантности гравитационное взаимодействие, определяющее структуру пространства - времени, на ряду с известными фундаментальными силами позволяет интерпретировать его как калибровочное поле. Таким образом, калибровочный принцип выступает как важное свойство фундаментальных взаимодействий, на основе которого возможно создание единой квантовой теории. Успехи в описании квантовых свойств электрических, слабых и сильных взаимодействий повлекло за собой стремление получить

непротиворечивую квантовую теорию гравитационных сил. Однако последовательное применение принципа калибровочной симметрии, который ярко проявил себя в теории Великого объединения, и известных методов квантования к общей теории относительности не дал предполагаемого положительного результата. Наличие размерной константы взаимодействия влечет за собой неперенормируемость квантовой модели. Попытки получить квантовую гравитацию в рамках общей модели, соединяющей теорию Великого объединения и общую теорию относительности, так же не привели к непротиворечивой квантовой теории. Предложенный другой общий принцип, который получил название суперсимметрии, позволил объединить пространственно временную и внутреннюю симетрии и послужил развитию целой области исследований как супергравитационные и суперструнные модели ( см., напр. [17] ) . Данное направление хотя и является перспективным, но не решает на настоящий момент всех проблем в получении непротиворечивой квантовой гравитационной теории и объединении всех фундаментальных взаимодействий.

Таким образом в существующей ситуации единственно возможным подходом к квантовой гравитации является построение и исследование различных моделей. В этой связи определенный интерес представляет изучение более простых возможностей включения квантовой гравитации в общую схему единых взаимодействий. В этом смысле привлекает внимание теория, в которой действие гравитационного поля включает на ряду с эйнштейновским и космологическим членами, квадратичных по кривизне. Такая модель является перенормируемой [22, 26] и асимптотичес-

ки свободной [23, 24, 25, 28, 29, 30, 42]. Так же был рассмотрен вопрос канонического квантования данных моделей [121-126]. Надо отметить, что при пертурбативном подходе в рамках данной теории нарушается принцип унитарности. Возможному разрешению этой проблемы посвящены многочисленные попытки найти ответ вне рамок теории возмущения [25, 27, 31, 32, 63, 64]. Кроме того, гравитацию с высшими производными можно рассматривать как низкоэнергитическое приближение в более фундаментальной теории. И это может означать, что проблема унитарности возможно удасться разрешить в рамках более общей теории. Хорошо известно, что квантовая гравитация с высшими производными возникает как низкоэнергитическое приближение в теории суперструн [65]. Кроме того можно предположить, что если некоторую теорию рассматривать как эффективную, возникающую как низкоэнергитическое приближение в более общем подходе, то она не обязательно должна удовлетворять всем требованиям, предъявляемых к фундаментальной квантовой теории поля. В частности, возможно при изучении некоторых конкретных вопросов не обращать внимание на проблему унитарности, считая, что она решена в исходной фундаментальной теории

Определенной проблемой в квантовой гравитации с высшими производными без эйнштейновского члена является нарушение принципа соответствия - отсутствие удовлетворительного приближения к ньютоновскому пределу. Для решения проблемы, получения ньютоновского предела в квантовой гравитации с высшими производными, было предложено рассмотреть гравитацию совместно с некоторыми полями материи (см., напр. [35, 37] ).

Было показано, что при мультипликативной перенормируемости можно получить размерные параметры: для гравитационной константы взаимодействия и космологической постоянной. При таком подходе общая теория относительности возникает как индуцированная низкоэнергитическая теория для квантовой гравитации с высшими производными и полями материи. Причем параметром порядка при фазовом переходе по кривизне является скалярное поле. Недостатком предложенного подхода является то, что значения индуцированных постоянных, как и эффективный потенциал, зависят от выбора калибровочного условия для квантовых полей. На ряду с рассмотрением чисто гравитационных аспектов, в структуре данной теории возможно изучение взаимодействия квантовой гравитации и полей материи, исследование проблемы космологической постоянной, фазовых переходов, асимптотической свободы по различным константам связи.

Изучение структуры теории возмущений позволило выявить характерную особенность ряда калибровочных моделей. А именно, теория, изучающая взаимодействие квантовых полей может обладать замечательным свойством так называемой асимптотической свободой по всем константам связи ( см., напр. [4, 13] ). Явление асимптотической свободы открытое [68, 67] для чисто калибровочных полей затем было исследовано для широкого класса теорий, включающих спинорные и скалярные поля. Суть явления заключается в следующем. Эффективные константы связи, определяющие интенсивность квантовых взаимодействий, уменьшаются с ростом энергий взаимодействующих частиц, а в асимптотическом ультрофиолетовом пределе - стремятся к нулю. Таким

образом, при наличии асимптотической свободы взаимодействие полей исчезает и при малых расстояниях динамику полей можно эффективно описать свободными полевыми уравнениями. Это явление исключает таким образом проблему нуль - заряда, которая например возникает в квантовой электродинамике, и позволяет последовательно применять разложение по константе взаимодействия в теории возмущений для вычисления различных параметров физических процессов.

Изучение асимптотической свободы в квантовых теориях поля проводится с помощью метода ренормализационной группы ( см., напр [2, 4, 8, 66] ). Ренормгрупповые свойства подразумевают совпадение наблюдаемых физических величин, вычисленных с помощью первоначальных и ренормированных параметров. Переход от одного способа ведения параметров к другому составляют ренормализационную группу. Данные свойства полезны для изучения асимптотического поведения эффективных зарядов, соответствующих определенным константам связи. Так в теориях калибровочных полей на основе ренормгрупповых свойств [69, 70] было исследовано асимптотическое поведение для векторных и хиггсовых (скалярных) полей. Было показано, что асимптотическая свобода по всем константам связи накладывает целый ряд ограничений на структуру теории. Жесткие ограничения на мультиплетный состав и группу симметрии может например исключить возможность использовать механизм Хиггса.

Исследование влияния взаимодействия квантового гравитационного поля с полями материи на асимптотическое поведе-

ние эффективных констант связи было рассмотрено в работах [40,71-78]. Для конформной версии теории гравитации с высшими производными, лагранжиан которой представляет собой квадрат тензора Вейля, было показано, что ограничения на спинорный состав, ряда моделей, накладываемых условием асимптотической свободы по всем константам связи, смягчается по сравнению с этими же моделями без учета влияния гравитационного взаимодействия. Этот же эффект исследовался и для общего неконформного случая квантовой гравитации с высшими производными [40,74-77]. Была продемонстрированна возможность построения асимптотически свободных моделей теории Великого объединения нового класса, объединяющих стандартные модели единого (сильного, электромагнитного и слабого) взаимодействия с квантовой гравитацией. Модели этого класса расширяют область применимости уже созданных стандартных моделей теории Великого объединения на область планковских масштабов и могут использоваться в космологии и физике высоких энергий. Представленные модели раскрыли основные особенности таких теорий. В частности было показано, что асимптотическая свобода моделей теории Великого объединения не страдает от их унифицирования с квантовой гравитацией, а наоборот, новые ограничения, которые возникают при решении уравнений ренормгруп-пы с учетом гравитации, являются менее жесткими и допускают уменьшение мультиплетного набора спинорных полей теории. В связи с этим важно отметить, что учет квантовой гравитации в моделях, сочетающих сильное, электромагнитное и слабое взаимодействия, улучшает их физическое содержание и не противо-

речит асимптотической свободе теории.

Альтернативой асимптотически свободным теориям, сочетающих теорию Великого объединения и квантовую гравитацию, является асимптотически конечные калибровочные модели [7989,92-101]. В конечных калибровочных моделях отсутствуют как ультрофиолетовые, так и инфракрасные расходимости. В исследованиях такого типа моделей было показано, что для теории общего вида, уже в однопетлевом приближении, для обеспечения равенства нулю ß - функций требуется наложит жесткие ограничения на мультиплетный состав теории и на значения констант связи [80-88].

Конечные модели часто оказываются суперсимметричными. Это сязано с сокращением вкладов в ß - функции полей с различной грассмановой четностью. В то же время, как показано в работе [88] однопетлевая конечность не обязательно связана со свойством суперсимметрии. Существенным является также и то, что многие модели рассматриваемые в рамках теории Великого объединения и квантовой гравитации не являются суперсимметричными. В связи с чем представляет некоторый интерес построение конечных несуперсимметричных калибровочных моделей. Возможно, что данная структура моделей окажется более простой и позволит выявить новые свойства конечных моделей вообще. Требование конечности теории фиксирует, как это уже отмечалось выше, не только мультиплетный состав, но и значения констант связи. Нарушение условий на константы связи ведет к тому, что теория автоматически перестает быть ко-

нечной, но может сохранить мультипликативную перенормируемость. Это дает возможность применить метод ренормализаци-онной группы для изучения асимптотического поведения эффективных зарядов. В этом случае конечной модели отвечает ульт-рофиолетовая фиксированная точка - устойчивая или неустойчивая. В случае устойчивой фиксированной точки можно говорить об асимптотической конечности. Асимптотически конечная теория восстанавливает конечность за счет радиационных поправок [89, 92, 96].

Структура перенормировки конечных моделей теории поля в искривленном пространстве времени изучалась в работах [53, 102]. Необходимо отметить, что во внешнем гравитационном поле конечность теории интересующего нас типа в принципе невозможна. Это связано с появлением расходимости, не имеющей аналогов в плоском пространстве. Такие расходимости можно разделить на два типа: а) вакуумные расходимости; б) расходимости, отвечающие неминимальному взаимодействию полей материи с внешним гравитационным полем. Известно [54, 103], что расходимости последнего типа можно устранить перенормировкой параметров неминимальной связи, которые необходимо ввести в исходное действие скалярных полей. Соответствующая /3 - функция на однопетлевом уровне содержит множитель вида (£ — 1/6), где значение £ = 1/6 отвечает конформной теории. Таким образом, достаточно положить все £ = 1/6, чтобы обеспечить однопетлевую конечность в секторе полей материи.

В условиях асимптотической конформной инвариантности

все поля можно описывать свободными конформно инвариантными полевыми уравнениями. При этом значение параметра £ фиксированно радиационными поправками и равно 1/6 [54, 103]. Такая ситуация может представлять определенный интерес в космологических приложениях квантовой теории поля.

В работах [104, 105, 109] были построены конкретные модели, в которых осуществляется асимптотическая конформная инвариантность [103, 106]. Данные модели представляют собой калибровочные теории с группой SU(2), причем асимптотическая свобода реализуется в этих моделях на особых решениях уравнений ренормализационной группы [110]. В работах [111, 112] были исследованы калибровочные теории с группой SU(N), 5 < N < 10, содержащие одип мультиплет скалярных полей, т мультиплетов спинорных полей. Если спиноры взяты в присоединенном представлении группы SU(N), то в этой теории реализуется асимптотическая конформная инвариантность на особых решениях уравнений рено