Калибровочные теории в искривленном пространстве и метод Фока-Швингера Де Витта тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Санкт-Петербургский Государственный Университет

О г.'.и

На правах рукописи

ВАСИЛЕВИЧ Дмитрий Владиславович

КАЛИБРОВОЧНЫЕ ТЕОРИИ В ИСКРИВЛЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ И МЕТОД ФОКА-ШВИНГЕРА-ДЕ ВИТТА

Специальность: 01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург 1998 г.

Работа выполнена в отделе теоретической физики Санкт-Петербургского государственного университета

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук,

И.Я. Арефьес

Доктор физико-математических наук,

А.Г. Изерги

Доктор физико-математических наук,

В.А. Фраш

Ведущая организация - Институт Ядерных Исследований РА

Защита состоится ¿у^/_ 199г? го;

в часов, на заседании Диссертационного сове

Д.063.57.15 по защите диссертаций на соискание ученой степе доктора физико-математических наук в Санкт-Петербургском I сударственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербу] университетская наб., 7/9.

С диссертацией можно ознакомится в библиоте Санкт-Петербургского государственного университета

Автореферат разослан " " _1998]

Ученый секретарь Диссертационного совета

А.Н.Васил!

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время не вызывает сомнений,

0 калибровочные теории составляют основу описания фунда-нтальных взаимодействий. Если в случае плоского пространст--времени калибровочные теории изучены очень хорошо, то в ис-ивленном пространстве или при наличии искривленных границ ществует целый ряд проблем фундаментального характера. С гзической точки зрения подобные ситуации отвечают широко-■ спектру важных моделей и теорий, к которым можно отнести антовую гравитацию, квантовую космологию, эффект Казими-., некоторые модели адронов.

Метод Фока-Швингера-Де Витта составляет основу квантовых [числений в ситуциях с нетривиальной геометрией нространства-емени. Вычисление асимптотик ядра теплопроводности уже [я простейшего оператора типа Лапласа дает существенную (а югда, исчерпывающую) информацию о квантовых эффектах в >льшинстве моделей квантовой теории поля. Одновременно та-:е вычисления дают вклад в область математики, называемую :ектральной геометрией.

Приведенные здесь общие соображения позволяют сделать вы->д о высокой степени актуальности темы диссертации. Цель работы состоит в следующем:

1. Разработать и применить к физически интересным моделям оретико групповой метод построения вакуумных решений и ис-гедования их важнейших свойств, включая группу специальных гффеоморфизмов.

2. Разработать и применить метод построения гармоническо-

1 разложения и вычисления коэффициентов Фока-Швингера-е Витта на однородных пространствах, включая теории с ка-1бровочной симметрией.

3. Разработать подход к индуцированной гравитации, устра-пощий потерю положительной определенности и однозначности адуцированной гравитационной постоянной.

4. Критически рассмотреть имеющиеся подходы к квантовани калибровочных теорий в искривленном пространстве и устрани: противоречия между ними.

5. Найти калибровочно инвариантные граничные условия I искривленных границах. Вычислить коэффициенты Фока-Шви гера-Де Витта.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новь результаты.

1. Сформулирован метод отыскания решений уравнений движ ния, обладающих некоторой группой глобальной инвариан ности, в моделях типа Калуцы-Клейна и теориях протяже; ных объектов. Проведено исследование и найдены новые р шения в ряде многомерных моделей. В теории супермембрг в 11-мерии решения построены для любой компактификацк I? = 11 супергравитации.

2. Группы специальных диффеоморфизмов для поверхностей тз па 52/Г, где Г - дискретная группа, представлены в виде пр делов классических групп.

3. Построено гармоническое разложение и вычислены коэфф] циенты Фока-Швингера-Де Витта для широкого класса одн родных пространств.

4. Теоретико групповой метод исследования спектра распр странен на ковариантные операторы первого порядка. Эт позволило провести вычисления спектра и асимптотик яд^ теплопроводности для калибровочных теории в широких кла сах калибровок, исправить ошибки предшествующих выч; слений. Ядро теплопроводности для неминимальных операт ров на Кэлеровых многообразиях выражено через ту же вел; чину для оператора Лапласа. Найдена топологическая фо мула для а,ф в нечетном числе измерений (I для оператор Лапласа, действующего на дифференциальных формах.

>. Предложен подход к индуцированной гравитации, решающий проблемы потери однозначности и положительной определе-ности индуцированной константы Ньютона. Показана положительность кинетической энергии дилатона. Исследованы некоторые эффекты индуцированной гравитации в приложении к "пятому взаимодействию" и физике кротовых нор.

). Разработана процедура построения гамильтонова функционального интеграла для калибровочных теорий в искривленном пространстве и на многообразиях с искривленными границами, снимающая имевшиеся ранее противоречия с ковари-антными подходами.

1. Проанализирована структура нулевых мод в электродинамике и гравитации на пространстве де Ситтера. Вычислена од-нопетлевая конформная аномалия. Показано, что после устранения ошибок все подходы к квантованию калибровочных теорий на пространстве де Ситтера приводят к идентичному результату.

Показано, что наличие или отсутствие минимума эффективного потенциала в теории взаимодействующих скалярных и спи-норного полей может зависеть от параметризации. Проанализирована калибровочная зависимость эффективного действия в неоднородных калибровках.

Для тензорных полей в шаре спектральная задача со смешанными граничными условиями сведена к скалярным задачам с чистыми граничными условиями. Исправлены аналитические формулы для а2 в случае смешанных граничных условий, что привело к устранению противоречий между прямыми и аналитическими методами вычислений коэффициентов Фока-Швингера-Де Витта для полей ненулевого спина.

Теоретическая и практическая ценность

1. Разработаны математические методы, позволяющие строит] вакуумные решения в многомерных теориях и моделях протя женных объектов, а также, позволяющие исследовать важнейдпк свойства таких решений. Область применимости этих методоз значительно шире круга вопросов, рассмотренных в диссертации

2. Результаты, связанные с разложением Фока-Швингера Де Витта, являются весомым вкладом в спектральную геометрик и привели к новому развитию этой области. С практической точ ки зрения, эти результаты дают однопетлевые расходимости i широчайшем классе моделей квантовой теории поля.

3. Сформулированный в диссертации подход к индуцированшн гравитации позволил устранить ряд существенных недостатко; ранних версий этой перспективной модели.

4. Снятие противоречий, возникавших ранее при квантова нии калибровочных теорий в искривленном пространстве, убра ло препятствие, сдерживавшее прогресс в данном направлении и стимулировало получение ряда новых результатов в квантово] теории поля и квантовой космологии.

Апробация работы. Материалы, вошедшие в диссертацию, до кладывались на научных семинарах кафедры физики высоки: энергий и элементарных частиц СПбГУ, Математического ив ститута РАН им. В.А.Стеклова (Москва), Петербургском отде лении математического института (Санкт-Петербург), Универси тетов Неаполя, Тренто, Флоренции (Италия), Лейпцига (Герма ния), Технического университета Вены (Австрия) и на многих мt ждународных и национальных конференциях, включая междуна родные семинары "Квантовая гравитация" (Москва, 1987, 199( 1995) и совещание по функциональным детерминантам (Обервод фах, Германия, 1996).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликован] в 46 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Объем работы. Диссертация состоит из шести глав (включа введение) и библиографии, содержащей 177 наименований. По:

G

i объем диссертации - 117 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Е первой главе, имеющей вводный характер, определяются ос-ные понятия. Для оператора L типа Лапласа вводится проин-рированное ядро теплопроводности K(t), равное

K(t) = J К(хь х\ t)dx = Тг ехр(—iL) (1)

ществует асимптотическое разложение

п

це d - размерность многообразия, п принимает целые значения многообразиях без границ. На многообразиях с границей п галуцелое. Если L - оператор квадратичной формы действия га его квадрат для фермионов), первые коэффициенты до почительно описывают ультрафиолетовые расходимости в эф-ктивном действии.

Параметр t носит название собственного времени. Матема-ческая теория асимптотик ядра теплопроводности восходит к ¡амару. Ее новейшее развитие тесно связано с именами Сили . Seeley) и Гилки (P. Gilkey), в честь которых коэффициенты а„ сто называют коэффициентами Сили-Гилки. Приоритет в при-нении представления собственного времени в квантовой физи-принадлежит В.А.Фоку [1]. Метод собственного времени полу-л распространение в теоретической физике благодаря усилиям вингера и Де Витта (см. [2, 3]).

Вторая глава посвящена решениям классических уравнений дви-ния в многомерных теориях, с которыми связываются надежды объединение фундаментальных взаимодействий. Сначала рас-:атриваются модели типа Калуцы-Клейна и ищутся решения,

имеющие структуру M4 х G/H, где M4 - обычное пространстве время, a G/H - компактное однородное пространство с xapai терным размером порядка планковской длины. Если группа ( - глобальная группа инвариантности решения, то она дает к; либровочную симметрию эффективной низкоэнергетической те( рии. Хорошим примером теории, обладающей решениями от санного выше свойства (называемого спонтанной компактификг дией), является 11-мернаясупергравитадия. Уравнения движени имеют вид [4]:

^9MNR ~ RMN — ^IFmpqrFNPQR — ^FPQHSFPQRS9MN] G V»FMPQR = ^^F^F^ (-

M,N,P,Q,R = 0,1,...,10

Здесь F - напряженность калибровочного поля. В качестве о( зоров по многомерным супергравитациям смотри [4, 5]. Ране решения уравнений (3), (4) строились таким образом, что напр] женность F выражалась через специальные геометрические обт екты, как, например, ковариантно постоянные спиноры. Это ci жало возможности построения решений. Мы формулируем м< тод, который позволяет найти все решения для некоторой пр( извольной группы G, что является физически наиболее разу! ной постановкой задачи. Метод основан на явном построена G'-инвариантов на G/H по стандартным соотношениям диффере) циальной геометрии [б]. Инвариантные напряженности, метрик; связности представляют собой семейства с конечным числом п; раметров. Действие ковариантной производной на инвариант дается матрицами конечного ранга. Уравнения движения нревр; щаются в нелинейные алгебраические уравнения, допускающк полное полное исследование. На таком пути были найдены новь решения в 11-мерной супергравитации и в нескольких 10-мернк моделях. В некотрых случаях удалось построить полный набо

ешений, обладающих требуемыми свойствами инвариантности ри всех возможных для данной размерности группах G. Са-и решения представляют собой значения всех полей, заданные

0-компонентно, в некоторой точке многообразия с фиксировании способом продолжения на все многообразие. Для 11-мерной /пергравитадии доказывается также критерий суперсимметрии ешения. Для суперсимметрии компактифицированного решения еобходимо, чтобы компоненты F с индексами вдоль внутренних аправлений равнялись нулю.

Следующей моделью является супермембрана в 11 измерени-х [7]. Она представляет собой 2-мерный протяженный объект, аспространяющийся на фоне компактифицированного решения

1-мерной супергравитации. Мы предполагаем, что временная оордината мембраны совпадает с временной координатой в мно-□образии AI4. Для компактифхпсаций с нулевыми компонентами 1 вдоль внутренних направлений уравнения движения мембраны квивалентны минимальности 2-мерного подмногообразия (<ть<72) G/H:

d.iVhV'd^g^ - ^Sh.hijd]xbd1xcda<M - о,

а, Ь, с = 1,..., 7; i,j =1,2 (5)

inj = diX'djX:ьдаь (б)

¡десь даь - метрика на G/H. Тактика построения решений следующая. Сначала мы демонстрируем, что в каждом многообразии г/Н, участвующем в компактификациях, есть вполне геодезиче-кое подмногообразие Т2 или SU(2) х U(l)/U(\). Это достигается редъявлением в каждом случае генераторов группы G, обладающих нужными коммутационннъши соотношениями. На следующем шаге мы предъявляем явную координатную форму мини-гальной 2-мерной поверхности в указанных многообразиях. По войству транзитивности минимальных вложений, это будет таксе минимальная поверхность в G/Н. Таким образом, мы предъ-

являем решение уравнений супермембраны на всякую компакт: фикацию 11-мерной супергравитации расматриваемого типа.

Тем же способом удается построить компактификации супе; мембраны, имеющие вид 52/Г, где Г - дискретная группа, облад ющая фиксированными точками на 52 (это приводит к конически сингулярностям). Важнейшим объектом в теории супермембра исполняющим роль, которая аналогична роли алгебры Вирае ро в теории суперструн, является группа SDiff диффеоморфи мов, сохраняющих площадь 2-мерной поверхности. Известно, чч -»со = )9{7(оо). Мы строим представлен!

БИгУ/ (52/Г) в виде пределов классических групп. Так, наприме если Г - диэдральная группа, имеем

8В1Щ52/Х)2„+1) ~ Нт х гУ(7У)2) ~ £([/(оо)"+2) ('

//-»00

Ж(52/Б2т) ~ 5(и(со)т) (1

Для получения подобного рода соотношений мы строим вложен» порождающих элементов Г в 5{/(ЛГ) и рассматриваем услов! инвариантности относительно действия Г.

В третьей главе рассматривается построение гармоническо1 разложения и вычисление коэффициентов Фока-Швингера-Де В) та на однородных пространствах. Существуют аналитически формулы для этих коэффициентов, выражающие их через инт< гралы от геометрических инвариантов. Однако, заключенной этих формулах информации не достает для приложений к мш гомерным моделям по следующим причинам: (а) не существу«: формул для высших коэффициентов, описывающих расходим< сти в высшем числе измерений; (б) аналитические формулы I всегда правильно учитывают топологические вклады; (в) жел, тельно иметь дополнительную информацию, заключенную в га] моническом разложении (например, для вычисления эффекти! ного потенциала). Поэтому представляется актуальной разр; ботка методов, позволяющих строить гармоническое разлож( ние на однородных пространствах и вычислять коэффициент

>ока-Швингера-Де Витта. Здесь следует отметить соотношения ля скалярного ядра теплопроводности, существующие в частном лучае симметрических пространств [9]. Тактика вычислений следующая. Для всякого однородного ространства GjH размерности d вложение H —+ G задает вло-;ение II —* SO(d), которое позволяет определить представления )(#), соответствующие каждому значению спина. Гармоники a G/H отождествляются с матричными элементами представле-ий D^(G), которые содержат D(H) после редукции на Н. Соб-гвенные значения инвариантных операторов выражаются через ператоры Казимира, а кратности собственных значений даются азмерностями представлений. Таким образом, задача решается еоретико групповыми методами. Возникающие при вычислени-х трудности, хотя и значительны, носят технический характер, 'ам удалось провести описанную выше программу для большин-гва однородных пространств, фигурирующих в компактификаци-х моделей Калуцы-Клейна из предыдущей главы. Как правило, тчения коэффициентов приводятся до «5. Вычисление высших ээффициентов не составляет труда. Отметим, что трудоемкость ругих методов очень быстро возрастает с номером коэффициен-1. Метод удается обобщить также на некоторые многообразия с энической сингулярностью.

Следующим шагом является включение в предложенную схе-у калибровочных теорий и неминимальных операторов. Полное гание гармонического разложения позволяет получить исчерпы-1ющую информацию о действии ковариавтных операторов пер-эго порядка (что значительно сложнее, чем для инвариантных тераторов второго порядка). Как один из примеров, мы рассма-эиваем электродинамику и гравитацию на комплексном проек-îbhom пространстве СР2. Проведены явные вычисления коэффи-1ентов ап. Более того, для гравитации удается получить резуль-iT в 3-параметрическом семействе калибровок и показать оши-эчность работы [10], где утверждалось, что эффективное дей-

ствие в гравитации калибровочно зависимо на массовой оболо^ ке. Чтобы завершить рассмотрение комплексных многообразий здесь же исследуются неминимальные операторы на дифферент альных формах на кэлеровых многообразиях. Нам удалось выр; зить ядро теплопроводности для неминимальных операторов Ч( рез ядро теплопроводности стандартного лапласиана. Наконе] нами выводятся топологические формулы для коэффициета а^ для теории тензорного поля в нечетной размерности й.

В четвертой главе мы обращаемся к проблеме индуцированно гравитации. В основе этого подхода лежит идея Сахарова и Зел1 довича [11, 12], что действие Эйнштейна может быть индуцирс вано вакуумными флуктуациями полей материи. Индуцирова! ные космологическая и ньютоновская постоянные определяютс из конформной аномалии. В 80-х годах подход индуцированно гравитации натолкнулся на трудности, которые казались тогд непреодолимыми. Дело состояло в потере однозначности и поле жительной определенности индуцированной ньютоновской поете янной. Причина реально содержалась в используемых регулярр зациях. Согласно нашей идее, функциональный интеграл долже иметь смысл при конечном параметре регуляризации и обладат унитарностью и всеми необходимыми симметриями. Так мы прзр ходим к концепции низкоэнергетической области в функционал! ном интеграле [13]. Конкретно мы предполагаем, что действи для классического гравитационного поля индуцировано префер мионами и равно

IV = -1п ск^ 1)л

£>л = 1-Рл + РлМ, (9

где £> - оператор Дирака во внешней геометрии, а Рд - проекте; на низкоэнергетическую область,

РЛ = 0(1 -ф- М)2/Л2) (10

Индуцированные константы выражаются через параметры низ

:оэнергетической области Л, Ми хорошо определены. Другой сроблемой индуцированой гравитации является проблема кон-юрмного фактора. Наивно определенная кинетическая энергия онформного фактора, выведенная из действия Эйнштейна, отри-;ательна [14]. Мы показываем, что если интерпретировать ди-:атон как составное состояние элементарных полей, участвующих в формировании индуцированных констант, и ответственное а нарушение масштабной симметрии, то действие дилатона по-ождается конформно неинвариантной частью функционального нтеграла, и кинетическая энергия положительна. Заметим, что тот результат не имеет жесткой связи с подходом индуцированой гравитации. Внутренняя непротиворечивость пока являет-я единственным тестом квантовых моделей гравитации. Однако, нтересно попробовать описать в рамках индуцированной грави-ации некоторые интересные явления, пусть даже и не имеющие еткого экспериментального подтверждения. В качестве таких влений мы рассматриваем кротовые норы и так называемое пя-ое фундаментальное взаимодействие. В последнем случае ги-отеза о формировании взаимодействия за счет вакуумных коя-внсатов приводит к разумному значению кжавовского радиуса, эторый крайне трудно получить в других моделях. В пятой главе рассматриваются квантовые калибровочные те-рии в искривленном пространстве. Общие методы квантования игабровочных теорий известны давно и не вызавают сомнений ]. Однако, их конкретное применение к калибровочным теори-л в искривленном пространстве-времени привело к целой сени противоречивых результатов. Так, например, существовало ^сколько различных значений для однопетлевого скейлингово-> поведения гравитационного поля на пространстве де Ситтера 5, 16, 17, 18, 19]. Расхождения были отмечены как между ко-фиавтным и гамильтоновам подходами, так и внутри ковари-1ТНОГО подхода. В качестве наиболее радикального объяснения лло предложено, что гравитация не может быть одновременно

унитарна и ковариантна. Будь такое объяснение верным, грав1 тацию следовало бы признать неизлечимо патологической, да» если не вдаваться в проблему перенормируемости. Не лучше д< ло обстояло и с электродинамикой на искривленном фоне. Ц< лью Главы 5 диссертации является демонстрация того факта, чт деффект кроется не в самих фундаментальных подходах, а в и конкретном применении. Так в гамильтоновом подходе необходо мо учитывать нетривиальную меру в функциональном интеграл* проявляющуюся в структуре скобок Пуассона. В квантовой эле! тродинамшсе, например, редуцированное фазовое пространств состоит из поперечных пространственных компонент потенциал А[ и поперечных компонент сопряженного импульса Р7]. Канош ческая скобка приобретает форму

{А?(хЛ у/=дРп(у,г)} = Г - ;3')ДУ \ 6(х - у), (11

где величины с индексом "(3)" построены из метрики 3-мерно гиперповерхности. Скобка (11) теперь нетривальна. Это зна чит, что мера Т>А[Т>РТк содержит детерминант функционально: метрики, которая индуцирована на поверхности условий связ и калибровочного условия. Детерминант зависит от геометри пространства-времени, граничных условий и т.д. Вычисление дс терминанта весьма сложно. Им можно пренебречь только в плос ком статическом случае.

В рамках ковариантного подхода необходим тщательный уче нулевых мод. В случае квантовой гравитации наибольшие хлопе ты доставляют конформные вектора Киллинга. Когда все нео£ ходимые ингредиенты приняты во внимание, разлиные подход] приводят к совпадающим результатам. Мы также убеждаемо что разработанные методы работают в рамках БРСТ квантова ния и для гравитации Аштекара.

Здесь же рассматриваются некотрые эффекты вне массово: оболочки. При попытке построения динамической компактифк

ации многомерной гравитации за счет однопетлевых эффектов ыло выяснено, что наличие или отсутствие экстремалей зави-ят от выбранной калибровки. Предполагалось, что подобное введение каким-то образом обусловлено неперенормируемостыо зантовой гравитации. Здесь мы показываем, что точно такая же ятуация возникает в перенормируемой теории взаимодействую-,их скалярных и спинорных полей, где вместо калибровочной мы элучаем параметризационнуго зависимость. Мы также рассма-риваем эффективное действие вне массовой оболочки в неодно-одных калибровках. Напомним, что рассмотрение неоднород-ах калибровок является промежуточным шагом при введешши пена, фиксирующего калибровку в действии. Построение эффектного действия несколько отличается от стандартного пути, так 1К ни на каком этапе вычислений мы не имеем права полагать, го вакуумное среднее квантовых флуктуации, удовлетворяющих ^однородному калибровочному условию, равно нулю. Оказыва-:ся, что вклад неоднородности сокращается по крайней мере в щопетлевом порядке даже вне массовой оболочке. Любопыт-), что "правильный" результат всякий раз совпадает с калибро-»чно и параметризационно независимым эффективным действи-í Вилковыского-Де Витта.

В случае многообразий с границами, которым посвящена шестая ¡ава диссертации, ситуация с квантовыми калибровочными тео-1ями во многом напоминает случай искривленного пространства->емени. Снова можно отметить противоречия мажду гамильто->вым и ковариантным подходами, а также разнобой в резуль-,тах внутри ковариантного подхода. В гамильтоновом подходе [ять необходим учет правильной меры в ф у нкцио н а л ь пом инте-|але. Квантование в терминах физических степеней свободы, (стулирующее тривиальную меру приводит к нековариантньш :зультатам. Во многих отношениях схема рассмотрения кали-ювочных теорий предыдыущей главы переносится на случай югообразий с границами ценой лишь небольших усложнений.

Есть, однако, два аспекта, в которых рассмотрение разнится с; щественным образом.

Первое отличие обусловлено тем, что калибровочные теори: как и все теории полей ненулевого спина, порождают смешаннь граничные условия, при которых часть компонент удовлетвори« условию Дирихле, а часть - условию Неймана. Для всех зада со смешанными граничными условиями прямые вычисления к> эффициентов Фока-Швингера-Де Витта методом суммирован! по спектру давали уже в простейшем случае шара отличия с аналитических формул Вренсона и Гилки (см., например, [20] Поэтому первой задачей являлось пересмотреть технику выч] сления асимптотик ядра теплопроводности. Был рассмотрен л. пласиан, действующий на антисимметричные тензорные поля шаре. Задача была сведена к скалярным операторам Лапласа чистыми граничными условиями вместо смешанных. Полученнь результат давал основания предположить, что ошибка кроется аналитических формулах. Эта ошибка была исправлена, что, к; показали позднее Мосс и Полетти [21], устранило все имевшие« противоречия между прямыми и аналитическими методами.

Вторая особенность относится к квантовой гравитации на мн гообразиях с границей. Легко показать, что если граница не явл ется вполне геодезическим подмногообразием и граничные уел вия инвариантны относительно действия группы диффеоморфи мов, то такие граничные условия должны содержать касател ные производные. Этот факт значительно усложняет исслед вание квантовой гравитации. Инвариантные граничные услов1 для гравитона были предложены несколько лет тому назад Ва винским [22]. Единственность условий Варвинского и однозна ность предсказаний квантовой гравитации до сих по не доказан Поэтому, представляется весьма важным исследовать возможна альтернативы. Так мы предлагаем граничные условия для да мерной гравитации с динамической связностью, обладающие и вариантностью относительно диффеоморфизмов. В случае грав

1С

•ации п более высоком числе измерений предлагается класс ин-1ариантных граничных условий и исследуется эрмитовость опе->атора Лапласа.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих 1аботах:

. Василевич Д.В., Вестник ЛГУ, сер. 4 (1986) вып.4, 77-79. . Василевич Д.В., Ядерная Физика 45 (1987), 1, 282-286. . Василевич Д.В., Теор. Мат. Физика 72 (1987) 1, 89-96. . Василевич Д.В., Ядерная Физика 46 (1987) 5, 1595-1596. . Василевич Д.В., Новожилов Ю.В., Теор. Мат. Физика 73 (1987) , 308-310.

. Novozhilov Yu.V. and Vassilevich D.V., in Proc. IV Semin. on hiantum Gravity, eds. M.A.Markov et al (World Scientific, Singapore, 988) p. 240-251.

. Василевич Д.В., Вестник ЛГУ, сер. 4 (1988) вып. 1, 72-73. . Василевич Д.В., Новожилов Ю.В., Письма в ЖЭТФ 48 (1988) , 472-473.

. Василевич Д.В., Штыков Н.Н., Ядерная Физика 48 (1988) 4, 165-1170.

0. Василевич Д.В., Штыков Н.Н., Ядерная Физика 50 (1989) 8, 56-561.

1. Novozhilov Yu.V. and Vassilevich D.V., Phys. Lett. B220 (1989) 1,2, 36-41.

2. Lyakhovsky V.D. and Vassilevich D.V., Lett. Math. Phys. 17(1989) 39-115.

3. Novozhilov Yu.V. and Vassilevich D.V., in Proc. A.A.Friedmann jntenary conference, eds. M.A.Markov et al (World Scientific, Singapore, 390) p. 296-311.

i. Василевич Д.В., Ляховский В.Д., Штыков Н.Н., Теор. Мат. изика 83 (1990) 1, 3-13.

5. Vassilevich D.V., Class. Quantum Grav. 7 (1990) 4, L83-L87. 3. Василевич Д.В., Вестник ЛГУ, сер. 4 (1990) вып. 3, 88-91. I. Василевич Д.В., Штыков Н.Н., Ядерная Физика 53 (1991) 3,

869-875.

18. Lyakhovsky V.D., Shtykov N.N. and Vassilevich D.V., Lett. Matl Phys. 21 (1991) 89-95.

19. Novozhilov Yu.V. and Vassilevich D.V., Lett. Math. Phys. 21 (1991 253-271.

20. Василевич Д.В., Новожилов Ю.В., Вестник ЛГУ, сер. 4 (1991 вып. 2, 76-78.

21. Novozhilov Yu.V. and Vassilevich D.V., Int. Л. Mod. Phys. A (1991) 19, 3347-3353.

22. Vassilevich D.V., Nuovo Cimento A104 (1991) 5, 743-754.

23. Novozhilov Yu.V. and Vassilevich D.V., in Proc. V Semin. о Quantum Gravity, eds. M.A.Markov et al (World Scientific, Singapore 1991) p. 144-153.

24. Vassilevich D.V., Class. Quamtum Grav. 8 (1991) 12, 2163-2168.

25. Василевич Д.В., Штыков H.H., Теор. Мат. Физика 90 (1992 1, 12-20.

26. Vassilevich D.V., Nuovo Cimento A105 (1992) 5, 649-653.

27. Vassilevich D.V., Nuovo Cimento A105 (1992) 1133-1143.

28. Vassilevich D.V., Nuovo Cimento A105 (1992) 1693-1697.

29. Vassilevich D.V., Lett. Math. Phys. 26 (1992) 147-152.

30. Vassilevich D.V., Int. J. Mod. Phys. A8 (1993) 9, 1637-1652.

31. Vassilevich D.V., Int. J. Mod. Phys. D2 (1993) 135-147.

32. Grigentch I.P. and Vassilevich D.V., Nuovo Cimento A107 (1994) 227-234.

33. Vassilevich D.V., Nuovo Cimento A108 (1995) 123-126.

34. Shtykov N. and Vassilevich D.V., J. Phys. A28 (1995) 1, L37-L43.

35. Vassilevich D.V., Phys. Lett. B348 (1995) 1, 39-43.

36. Vassilevich D.V., J. Math. Phys. 36 (1995) 6, 3174-3182.

37. Shtykov N. and Vassilevich D.V., Mod. Phys. Lett. A10 (1995) 755-760.

38. Vassilevich D.V., Phys. Rev. D52 (1995) 2, 999-1010.

39. Василевич Д.В., Ядерная Физика 58 (1995) 7, 1327-1332.

40. Grigentch I. and Vassilevich D.V., Int. J. Mod. Phys. D4 (199

1-588.

Vassilevich D.V., Mod. Phys. Lett. AlO (1995) 2239-2244. Vassilevicli D.V., Nucl. Phys. В 454 (1995) 685-700. Marachevsky V.N. and Vassilevicli D.V., Class. Quantum Grav. 13 Й6) 645-652.

Alexandrov S. and Vassilevich D.V., J. Math. Phys. 37 (1996) 371518.

Elizalde E., Lygren M. and Vassilevich D.V., J. Math. Phys. 37 >96) 3105-3117.

Elizalde E., Lygren M. and Vassilevich D.V., Commun. Math. Phys. J (1997) 645-660.

итированная литература

] Фок В.А., Известия АН СССР. Физика, 4-5 (1937) 551.

] Де Витт Б.С., Динамическая теория групп и полей, Москва, Наука, 1987.

] Barvinsky А.О., Vilkovisky G.A., Phys. Rep. 119 (1985) 1.

] Duff M.J., Nilsson B.E.V. and Pope C.N., Phys. Rep. 130 (1986) 1.

] Арефьева И.Я., Волович И.В., УФН 185 (1985)

] Кобаяси Ш., Номидзу К., Основы дифференциальной геометрии, т. 2, М.: Наука, 1981.

) Bergshoeff Е., SezginE. and Townsend Р. К., Phys. Lett. 189B (1986) 75.

] Faddeev L.D., Popov V.N., Phys. Lett. 25 В (1967) 29; Фаддеев JI.Д., ТМФ 1 (1969) 3;

Славнов А.А., Фаддеев Л.Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей, М., Наука, 1988,

[9] Харт Н., Геометрическое квантование в действии, М., Мир ; Аvramidi I.G. Phys. Lett. В 336 (1994) 171.

[10] Ichinose S., Nucl. Phys. B395 (1993) 433.

[И] Сахаров А.Д., ДАН 117 (1967) 70; Теор. Мат. Физ. 23 (1975 178.

[12] Зельдович Я.Б. Письма в ЖЭТФ 6 (1967) 883.

[13] Андрианов A.A., Новожилов Ю.В., Теор. Мат. Физ. 67 (1986 198.

[14] Gibbons G.W., Hawking S.W. and Perry M.J., Nucl. Phys. B13 (1978) 1.

[15] Griffin P.A., Kosower D.A., Phys. Lett. B233 (1989) 295.

[16] Gibbons G.W. and Perry M.J., Nucl. Phys. B146 (1978) 90.

[17] Christensen S.M. and Duff M.J., Nucl. Phys. B170 (1980) 480.

[18] Taylor T.R. and Veneziano G., Nucl. Phys. B345 (1990) 210.

[19] Mazur P.O. and Mottola E., Absence of phase in the sum ovi spheres, Univ. of Florida preprint, 1989.

[20] Esposito G., Quantum gravity, quantum cosmology and Lorentzk geometries, Springer, Berlin, 1992;

Esposito G., Ivamenshchik A.Yu. and Poilifrone G., Euclide; quantum gravity on manifolds with boundary, Kiuwer, 1997.

[21] Moss I.G. and Poletti S., Phys. Lett. В 333 (1994) 326.

[22] Barvinsky A.C., Phys. Lett. B195 (1987) 344.

ни

Санкт-Петербургский Государственный Университет

На правах рукописи

//

и /

ВАСИЛЕВИЧ Дмитрий Владиславович

<77

КАЛИБРОВОЧНЫЕ ТЕОРИИ В ИСКРИВЛЕННОМ

ПРОСТРАНСТВЕ И МЕТОД ФОКА-ШВИНГЕРА-ДЕ ВИТТА

Специальность: 01.04.02 - теоретическая физика

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург 1998 г.

Оглавление

1 Введение 4

2 Решение уравнений для фоновых полей 17

2.1 Введение....................................................17

2.2 Модели Калуцы-Клейна................................17

2.2.1 Метод решения и основной пример............17

2.2.2 Обзор решений....................................20

2.2.3 Суперсимметрия решений......................21

2.3 Супермембрана............................................23

2.3.1 Компактификации супермембраны............23

2.3.2 Группа диффеоморфизмов..............25

3 Гармонический анализ и асимптотики уравнения теплопроводности на однородных пространствах 28

3.1 Введение....................................................28

3.2 Метод........................................................28

3.2.1 Обзор результатов................................32

3.3 Калибровочные симметрии и неминимальные операторы ................. ...................33

3.3.1 Неминимальные операторы на кэлеровых многообразиях ........................................40

3.3.2 Топологические эффекты на сферах..........42

4 Индуцированная гравитация 44

4.1 Введение....................................................44

4.2 Индуцирование Эйнштейновской гравитации ... 46

4.3 Проблема конформного фактора ......................51

4.4 Некоторые проблемы индуцированной гравитации 55

4.4.1 Возникновение динамических уравнений . . 55

4.4.2 Пятое фундаментальное взаимодействие? . . 56

4.4.3 Идуцированный потенциал кротовой норы . 56

4.4.4 Дальнейшее развитие............................58

5 Квантовые калибровочные теории в искривленном

пространстве 59

5.1 Введение....................................................59

5.2 Квантовая электродинамика на искривленном фоне 60 5.2.1 БРСТ квантование................................66

5.3 Гравитация на пространстве де Ситтера............66

5.3.1 Геометрический подход..........................67

5.3.2 Гамильтоново квантование......................70

5.3.3 Гравитация Аштекара ..........................74

5.4 Некоторые ошибочные результаты....................75

5.5 Калибровочная инвариантность вне массовой оболочки ........................................................75

5.5.1 Параметризационная зависимость эффекта нарушения симметрии квантовыми поправками ..................................................77

5.5.2 Калибровочная зависимость в теории Янга-Миллса..............................................79

Однопетлевое приближение на многообразиях с границей 84

6.1 Введение....................................................84

6.2 Коэффициенты Фока-Швингера-ДеВитта............85

6.3 Калибровочная инвариантность........................92

6.4 Инвариантные граничные условия в гравитации . 97

6.4.1 Гравитация с динамическим кручением в 2-

х измерениях......................................97

6.4.2 Гравитация в 4-х измерениях.........100

1 Введение

Метод собственного времени, будучи в принципе эквивалентным обычному диаграммному предеставлению, часто обладает значительными преимуществами. Такая ситуация возникает, если мы интересуемся скорее зависимостью функционального интеграла от внешних полей, чем конкретными амплитудами рассеяния. К подобным задачам относятся:

1. Геометрически или топологически нетривиальные фоновые поля. Особо выделяются задачи квановой гравитации и квантовой теории поля в искривленном пространстве.

2. Перенормировка в теориях с неполиномальным взаимодействием или с калибровочной симметрией сложной структуры. Опять же, хорошим примером являются гравитационные теории.

3. Задачи с искривленными границами или со сложными граничными условиями. Простейший пример - квантовая теория поля в шаре.

4. Метод собственного времени значительно упрощает вычисление аномалий.

Напомним, что для эллиптического дифференциального оператора второго порядка Ь ядром теплопроводности называется

с начальными условиями К(х, у; 0) = 6(х, у). Ядро (1) можно выразить через собственные функции фп и собственные значения Ап оператора Ь:

К(х, у; £) =< х\ ехр(—Ш)\у > . К(х,у^) удовлетворяет уравнению теплопроводности

(д, + Ь)К(х, у; {) = 0

(1)

(2)

К(х, у; 4) = ^ ехр(-<А„)фп(х)фп(у).

(3)

Другой интересный объект - проинтегрированное ядро

К {г) = J К(х,х-,г)йх = Тгехр(-1С) (4)

Существует асимптотическое разложение

п

где d - размерность многообразия. Для оператора типа Лапласа, п целое на многообразиях без границ. На многообразиях с границей п - полуцелое.

Разложение (5) имеет многочисленные приложения в математике и физике. Оно, разумеется, связано с теорией уравнения теплопроводности. Коэффициенты ап играют центральную роль в задаче о том, "как услышать форму барабана" [47]. В квантовой теории поля асимптотика при малых t соответствует ультрафиолетовой области в асимптотиках функций Грина, если L - вторая вариация классического действия.

Напомним следующее представление для функционального детерминанта

Г°° dt

In det L = / -K{t). (6)

Jo t

Из (6) ясно, что первые df 2 коэффициентов ап дают ультрафио-летовае расходимости в однопетлевом эффективном действии.

Математическая теория асимптотик ядра теплопроводности восходит к Адамару. Ее новейшее развитие тесно связано с именами Сили (R. Seeley) и Гилки (P. Gilkey), в честь которых коэффициенты ап часто называют коэффициентами Сили-Гилки. Приоритет в применении представления собственного времени в квантовой физике принадлежит В.А.Фоку [48]. Метод собственного времени получил распространение в теоретической физике благодаря усилиям Швингера и Де Витта.

Если Ь является оператором типа Лапласа, то есть представим в виде

+ (7)

при надлежащем выборе метрики, связности и эндоморфизма Е, известно довольно много членов разложения (5). Для многообразий без границ рекордным долгое время был результат Аврамиди [49], вычислившего Этот результат был недавно улучшен ван де Веном [50]. Для многообразий с границами и граничных условий типа Дирихле и Робина коэффициент аь/2 был вычислен Бренсоном, Гилки и Василевичем [51] при некоторых ограничениях на вид метрики, которые были сняты Кир-стеном [52].

Этих результатов, однако, еще не достаточно для всех практических приложений в квантовой теории поля. Одним из таких приложений являются многомерные модели. Вакуумное состояние в них имеет вид прямого произведения пространства Минковского на компактное внутреннее многообразие. Для исследования квантовых эффектов нужно знать высшие коэффициенты в асимптотике ядра теплопроводности, но достаточно ограничиться многообразиями весьма специального вида, имеющими высокую степень симметрии. Кроме того, желательно знать спектр кинетического оператора, а не только коэффициенты ап.

Наше исследование многомерных теорий, на которые возлагаются большие надежды в связи с объединением всех фундаментальных взаимодействий, начнем с классических решений. Чтобы описывать вакуумное состояние, решение должно иметь геометрию прямого произведения М4 х где М4 - 4-мерное

пространство-время эффективной низкоэнергетической теории, а М°~А ~ компактное внутреннее многообразие. Характерным размером является планковская длина ~ 10 см. Соглас-

но идеологии Калуцы-Клейна, изометрии внутреннего многообразия становятся калибровочными симметриями эффектив-

ной низкоэнергетической теории. Таким образом, группа изо-метрий является важнейшей характеристикой вакуумного решения. Существовавшие методы решения были привязаны к какому-либо анзацу для вакуумных значений напряженностей. Например, в В = 11 супергравитации был популярен анзац, в котором четырехиндексная напряженность абелевого калибровочного поля строилась из ковариантно постоянных спиноров.

Во и

настоящей диссертации предлагается метод, основанный на достаточно "лобовой" классификации инвариантных полей и явном построении геометрических объектов в подходящем базисе. Мы полагаем, что внутреннее многообразие имеет структуру однородного пространства С/Н, и является группой инвариантности решения. При фиксированной размерности пространства все пары (С, Н) могут быть найдены простым перебором. Далее, зная свойства представлений при редукции на Н, мы можем представить все инвариантные поля, включая метрику и напряженности, как конечнопараметричесие семейства. С-инвариантность фактически означает постоянство в некотором базисе. Связности и тензор Римана вычислимы по стандартным формулам дифференциальной геометрии. Действие кова-риантной производной на инвариантные объекты сводится к конечномерному (матричному) оператору. Уравнения движения и тождества Бианки превращаются в конечную систему нелинейных алгебраических уравнений, которая может быть явно решена в подавляющем большинстве случаев. В случае 11-мерной супергравитации этим методом нами были воспроизведены все имевшиеся решения и получены новые, выведен критерий суперсимметрии вакуумного решения. Был также проанализирован ряд 10-мерных моделей, получено большое количество новых решений. В части моделей были получены все возможные С-инвариантные решения.

Следующая классическая теория, исследуемая в настоящей диссертации, это теория супермембран, взаимодействующих

с И = 11 супергравитацией. Ставится задача нахождения решений уравнений движения супермембраны на фоне решений 11-мерной супергрвитации, полученных ранее. На основе теоретико-групповой техники удается построить широкий класс решений. Также удается доказать, что такие решения существуют для всех компактификаций 11-мерной супергравитации. Построенные решения в некоторых случаях имеют структуру 52/Г, где Г - дискретная группа, имеющая фиксированные точки на двумерной сфере З2. Следовательно, имеют место конические сингулярности. Это приводит к необходимости исследования структуры группы диффеоморфизмов, сохраняющих пр-лощадь, для 52/Г. Эта группа, иногда называемая группой специальных диффеоморфизмов, играет в теории мембран столь же важную роль, как и группа Вирасоро в теории струн. Специальные диффеоморфизмы важны также в двумерной гтдроди-намике несжимаемой жидкости. Известно, что для сферы 52 специальные диффеоморфизмы составляют группу 5£7(оо), то есть определенным образом построенный предел Нтдг-^оо 5?7(-/V) [53]. В настоящей диссертации исследуются группы специальных диффеоморфизмов для и представляются в виде пределов классических групп.

Теперь можно приступать к анализу однопетлевых эффектов. Мы начнем с коэффициентов Фока-Швингера-Де Витта на однородных пространствах. Как уже отмечалось выше, аналитические формулы для коэффициентов не удовлетворяют требованиям, выдвигаемым физическими моделями. Во-первых, вплоть до недавнего времени аналитические вычисления значительно отставали от нужд моделей Калуцы-Клейна. Напомним, что контрчлены соответствуют ап с п до [П/2]. Это отставание до сих пор не преодолено полностью. Кроме того, аналитические выражения для высших коэффициентов необычайно громоздки. И наконец, что особенно важно для калибровочных теорий, правильный учет нулевых мод требует в любом случае обращения

к геометрии конкретного многообразия. Замкнутые выражения для ядра теплопроводности, соответствующего скалярному лапласиану, существовали для некоторых простейших многообразий [54]. В работах Аврамиди [55] они были распространены на все симметрические пространства (отметим, что эти работы появились примерно в одно время или позже обсуждаемых здесь работ настоящего автора). Таким образом, перед нами стояла задача разработать метод вычисления коэффициентов Фока-Швингера-Де Витта, пригодный для любых однородных пространств и полей любого спина. Отметим, что трудоемкость вычислений практически не зависела от номера коэффициента (в случае аналитических выражений трудоемкость растет экспоненциально с номером коэффициента). В качестве побочного продукта получается полное гармоническое разложение.

Суть метода состоит в следующем. Вложение Н £ С? индуцирует вложение Н Е 30(<Элт0/Н), которое позволяет сопоставить каждому спину набор представлений группы Н. Затем следует отобрать все представления С, которые дают нужные представления Н после редукции Сг | Н. Эти представления С? и дают вклад в гармоническое разложение. Спектр инвариантных операторов выражается через извесный спектр операторов Казимира и геометрические инварианты, определенные на этапе анализа классических решений. Следующий этап состоит в определении асимптотик числовых рядов по параметру собственного времени, которое осуществляется с помощью преобразования Меллина. Нами был проделан большой объем явных вычислений на разнообразных однородных пространствах. Метод также был модифицирован на локально сферические пространства с коническими сингулярностями. Так как мы получали явные формулы для собственных значений, открывалась возможность вычисления эффективного ренормированного потенциала (такая задача в принципе не допускает решения в виде ананлитических выражений от фоновых полей). Конкретные

вычисления потенциала и его анализ, хотя и опубликованы в совместных работах, принадлежат в большей степени H.H. Шты-кову, а потому не включены в настоящую диссертацию.

Особый интерес представляет включение в изложенную схему калибровочных теории и неминимальных операторов. Полное знание гармонического разложения позволяет получить исчерпывающую информацию о действии ковариантных операторов первого порядка (что значительно сложнее, чем для инвариантных операторов второго порядка). Как один из примеров, мы рассматриваем электродинамику и гравитацию на комплексном проективном пространстве СР2. Проведены явные вычисления коэффициентов ап. Более того, для гравитации удается получить результат в 3-параметрическом семействе калибровок и показать ошибочность работы [56], где утверждалось, что эффективное действие в гравитации калибровочно зависимо на массовой оболочке. Чтобы завершить рассмотрение комплексных многообразий, здесь же исследуются неминимальные операторы на дифференциальных формах на кэлеровых многообразиях. Нам удалось выразить ядро теплопроводности для неминимальных операторов через ядро теплопроводности стандартного лапласиана. Наконец, нами выводятся топологические формулы для коэффициета а^/2 Для теории тензорного поля в нечетной размерности d.

Обратимся теперь к проблеме индуцированной гравитации. В основе этого подхода лежит идея Сахарова и Зельдовича [57, 58], что действие Эйнштейна может быть индуцировано вакуумными флуктуациями полей материи. Индуцированные космологическая и ньютоновская постоянные определяются из конформной аномалии. В 80-х годах подход индуцированной гравитации натолкнулся на трудности, которые казались тогда непреодолимыми. Дело состояло в потере однозначности и положительной определенности индуцированной ньютоновской постоянной. Причина реально состояла в используемых регу-

ляризациях. Согласно нашей идее, функциональный интеграл должен иметь смысл при конечном параметре регуляризации и обладать унитарностью и всеми необходимыми симметриями. Так мы приходим к концепции низкоэнергетической области в функциональном интеграле [59]. Индуцированные константы выражаются через параметры низкоэнергетической области и хорошо определены. Другой проблемой индуцированой гравитации является проблема конформного фактора. Наивно определенная кинетическая энергия конформного фактора, выведенная из действия Эйнштейна, отрицательна [60]. Мы показываем, что если интерпретировать дилатон как составное состояние элементарных полей, участвующих в формировании индуцированных констант, и ответственное за нарушение масштабной симметрии, то действие дилатона порождается конформно неинвариантной частью функционального интеграла и кинетическая энергия положительна. Заметим, что этот результат не имеет жесткой связи с подходом индуцированной гравитации. Внутренняя непротиворечивость пока является единственным тестом квантовых моделей гравитации. Однако, интересно попробовать описать в рамках индуцированной гравитации некоторые интересные явления, пусть даже и не имеющие четкого экспериментального подтверждения. В качестве таких явлений мы рассматриваем кротовые норы и так называемое пятое фундаментальное взаимодействие. В последнем случае гипотеза о формировании взаимодействия за счет вакуумных конденсатов приводит к разумному значению юкавовского радиуса, который крайне трудно получить в других моделях.

Общий метод квантования калибровочных теорий известен уже давно [61, 62, 63] и не вызывает сомнений. Однако, его конкретное применение к калибровочным теориям в искривленном пространстве-времени привело к целой серии противоречивых результатов. Так, например, существовало несколько различных значений для однопетлевого скейлингового поведения гра-

витационного поля на пространстве де Ситтера (подробную библиографию см. в Главе 5). Расхождения были отмечены как между ковари�