Граничные эффекты и конфайнмент в теории неабелевых калибровочных полей тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

московский государственный университет

имени М.В.ЛОМОНОСОВА НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ имени Д.В. СКОБЕЛЬЦЫНА

На правах рукописи УДК 530.145

ТИМОШЕНКО Эдуард Георгиевич

ГРАНИЧНЫЕ ЭФФЕКТЫ И КОНФАЙНМЕНТ В ТЕОРИИ НЕАБЕЛЕВЫХ КАЛИБРОВОЧНЫХ ПОЛЕЙ

01.04.02 - теоретическая физика

автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1995

Работа выполнена в Научно-исследовательском институте ядерной

физики им. Д.В. Скобельцына Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент Свешников H.A.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

проф. A.C. Вшивдев кандидат физико-математических наук Ф.В. Ткачев

Ведущая организация - ИФВЭ (г.Протвино)

Защита диссертации состоится "Z.-^2 W 1995 г. в \"чГ~часов на заседании специализированного Совета К-0.53.05.24 в МГУ им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, г. Москва, Ленинские горы, НИ-ИЯФ МГУ, 19-ыи корпус, аз'дигория 2-15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИИЯФ МГУ.

Автореферат разослан 1995 г.

Ученый секретарь .-:-„•■ ■

.<у, "у-. специализированного Совета K-Q..53.05.24J

доктор физико-математических на^к). •

• . ! -TS 1

'/ / 0/7 Ю.А.Фомин

('У °

'J'Cl.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Проблема конфайнмента в неабелевой калибровочной теории уже несколько десятков лет привлекает самый живой интерес исследователей и является одной из самых актуальных для обоснования стандартной модели сильных и электрослабых взаимодействий. До сих пор все попытки поиска свободных кварков приводят к однозначному выводу о том, что они не наблюдаются в экспериментах по рассеянию элементарных частиц при энергиях вплоть до порядка десятков ГэВ. Еще в октетной модели кварков было предположено, что объекты с ненулевым цветным зарядом связаны мощными силами притяжения, которые не позволяют им существовать в свободных асимптотических состояниях, и, следовательно, наблюдаться экспериментально. Квантовая хромодинамика, базирующаяся на теории неабелевых калибровочных полей Янга-Миллса, более двадцати лет считается хорошо установленной моделью для описания сильных взаимодействий. Открытие явления асимптотической свободы привело к заметным успехам в применении теории возмущений для описания процессов при высоких энергиях.

Тем не менее, существенная непертурбативность явлений при низких энергиях до сих пор не. позволила достичь ясного понимания и объяснения ряда проблем, среди которых в первую очередь следу-

ет отметить конфайнмент, спонтанное нарушение киральной инвариантности и спектр масс адронов. Несмотря на значительный прогресс в изучении многих важных аспектов конфайнмента, в научном сообществе до сих пор не существует согласия между различными подходами, которые пытаются вывести конфайнмент из фундаментальных законов КХД.

Теория калибровочных полей на решетке оказалась наиболее мощным средством для изучения проблемы конфайнмента. Было обнаружено, что решеточная теория в приближении сильной связи дает закон площадей в Вильсоновской петле, т.е. обладает конфайнментом. Исследование этого приближения при ненулевой температуре показало, что цвет освобождается при высокой температуре, и что оба режима отделены фазовым переходом. Реальный интерес представляет континуальный предел решеточной теории, который должен осуществляться в окрестности нулевой константы связи. По этой причине приближение сильной связи не позволяет сделать заключения о непрерывной теории. Значительный прогресс при изучении решеточной теории при слабой связи сделан с помощью вычислений методом Монте Карло. Он позволил с помощью применения ренормализаци-онной группы оценить величины температуры фазового перехода и натяжения струны в непрерывном пределе.

Несмотря на поразительный прогресс в вычислительных методах, среди теоретиков все еще существует серьезная неудовлетворенность. Прежде всего, до сих пор нет однозначной уверенности сохранятся ли качественные свойства фазового перехода в непрерывном пределе. Ситуация заметно улучшается с ростом точности вычислений, тем

не менее, основная проблема состоит в том, что численные величины получаются без понимания физики явлений, и до сих пор ни одна из предложенных теоретических схем не смогла продемонстрировать свое полное согласие с решеточными данными.

Таким образом, развитие подхода, объясняющего фазовый переход конфайнменг-деконфайнмент в КХД из первых принципов, является важнейшей задачей теории неабелевых калибровочных полей. В качестве обоснования преимуществ нашего подхода отметим следующие обстоятельства. Наличие конфайнмента означает присутствие в системе дальнодействия, которое является источником линейно растущего потенциала. Причина этого явления в локальной теории хорошо понятна. Действительно, благодаря калибровочной инвариантности, система обладает Гауссовой связью. При выборе физической калибровки, она может быть разрешена, выражая вспомогательную компоненту электрического поля через физические компоненты полей в виде некоторого интегрального оператора. Подстановка последнего выражения в гамильтониан системы приводит к эффективному дальнодействию и нелокальности уравнений движения физических полей.

С другой стороны, нелокальность является источником граничной нетривиальности теории. Поверхностные члены, содержащие вспомогательную компоненту, перестают быть поверхностными после решения связи. Граничное условие на эту компоненту приобретает статус связи, так как оно требует обращения в нуль определенной интегральной конструкции от физических переменных. Поэтому возникает необходимость в развитии последовательной схемы учета поверхностных членов. Присутствие нефизических степеней свободы

в ковариантной формулировке теории Янга-Миллса заметно усложняет анализ проблемы граничных условий благодаря вносимому ими дополнительному произволу. Представляется разумным работать в некоторой физической калибровке, обеспечивал тем самым положительную определенность гильбертова пространства состояний.

• Известно, что ввиду безмассовости глюонов теория Янга-Миллса содержит серьезные инфракрасные расходимости. Для аккуратного обращения с ними на первом этапе необходимо ввести инфракрасную регуляризацию, которая удаляется в окончательном результате. Наиболее простой и физически наглядной является регуляризация системы с помощью заключения ее в конечную область. Заметим, что такая процедура всегда необходима для построения теории при конечной температуре, так как ввиду трансляционной инвариантности логарифм стат. суммы пропорционален объему пространства. Таким образом, мы естественно приходим к формулировке теории Янга-Миллса в конечной области с учетом нетривиальных значений тех переменных на границе, которые в бесконечном пределе должны порождать ненулевые поверхностные члены.

Цель диссертационной работы - развитие теории фазового перехода конфайнмент-деконфайнмент в неабелевой калибровочной теории в физической калибровке, как эффекта дальнодействия порождаемого Гауссовой связью. Практически, она предполагает решение следующих основных задач: построение формулировки теории Янга-Миллса в конечной области с учетом поверхностных членов в обобщенной калибровке Фока-Швингера, вычисление эффективного действия теории в терминах коллективных переменных функционально

сопряженных продольным компонентам полей напряженностей, анализ минимумов эффективного действия и вычисление Вильсоновской петли в фазе конфайнмента.

Научные результаты и новизна работы.

1. Построена формулировка неабелевой калибровочной теории в 3-х мерной калибровке Фока-Швингера. Предложено обобщение данной калибровки на класс калибровок, называемых нами обобщенными калибровками Фока-Швингера, для которых по-прежнему точно разрешима связь Гаусса и калибровочное поле связано с полем напряженности линейным дифференциальным соотношением.

2. Изучен вопрос о группе остаточных калибровочных преобразований, допускаемых данными калибровками, и выборе граничных условий фиксирующих такой произвол. Получены явные формулы связи полей в данных калибровках с полями в произвольной калибровке. Эти формулы подробно проанализированы на примере калибровки Кулона в абелевой теории.

3. Показано, что среди калибровок рассматриваемого нами класса, существует предпочтительная для рассмотрения динамики в компактной области, вид которой согласован с полем нормалей к границе области. Такая калибровка приводит к существенному упрощению поверхностных членов. Построен гамильтонов формализм для теории Янга-Миллса в конечной области, позволяющий учитывать переменные на границе как равноправные гамильтоновы переменные и вклад поверхностных членов, формальное пренебрежение которыми в стандартном подходе является незаконным и приводит к потере существенных физических эффектов.

4. Построена формулировка теории Янга-Миллса в обобщенных калибровках Фока-Швингера в формализме "переменных на бесконечности", предложенном Моркио и Строкки. Получена нетривиальная динамика переменных на бесконечности в теории Янга-Миллса, что является существенным для механизма конфайнмента. В пределе системы бесконечного размера формализм пункта 3 переходит в данный, и таким образом устанавливается их эквивалентность. Рассмотрена реализация алгебры Пуанкаре в калибровке Фока-Швингера.

5. Основным достижением диссертации является проведенный анализ зависимости статистической суммы неабелевой калибровочной теории от граничного значения продольной компоненты электрического поля, и установление связи такой зависимости с механизмом фазового перехода конфайнмент-деконфайнмент.

6. Рассмотрена более простая задача о квантовой электродинамике с внешней плотностью заряда в сферической области при конечной температуре, где зависимость стат. суммы от граничной переменной вычисляется точно.

7. Предложена формулировка квантовой глюодинамики в терминах функционального интеграла по коллективным переменным, сопряженным продольным компонентам хромо- электрического и магнитного полей. Вычислено эффективное действие (плотность свободной энергии) Би(2) и 311(3) глюодинамики в приближении среднего поля для коллективных переменных. Анализ минимумов свободной энергии обнаружил фазовый переход при некоторой температуре, ниже которой среднее значение коллективных переменных отлично от нуля.

8. Установлено, что последний переход может интерпретироваться как фазовый переход конфайнмент-деконфайнмент. В фазе кон-файнмента поток хромо- электрического поля через произвольный элемент границы равен нулю, что является условием синглетности относительно группы остаточных калибровочных преобразования, и физически означает невозможность наблюдения цветных объектов на пространственной бесконечности (в асимптотических состояниях).

9. Показано, что наше условие конфайнмента удовлетворяет традиционным критериям конфайнмента. Во-первых, показано, что в фазе конфайнмента Вильсоновская петля для £'£/(Лг) теории удовлетворяет закону площадей. Отношение температуры фазового перехода к корню из коэффициента натяжения струны не содержит в себе расходимостей и, несмотря на грубость некоторых использованных приближений находится в качественном согласии с результатом, полученным с помощью метода Монте-Карло в вычислениях в решеточной теории.

10. Показано, что в фазе деконфайнмента глобальная 2^/-симметрия относительно центра группы 5?7(ЛГ) спонтанно нарушена поверхностными членами. Фаза конфайнмента характеризуется ненарушенной симметрией. В этой фазе все нетривиальные минимумы эффективного действия имеют одинаковую глубину и преобразуются друг в друга действием преобразований.

Практическая ценность работы. Практическая ценность полученных результатов определяется широким применением квантовой хромодинамики как теории сильных взаимодействий элементарных частиц. Предложенный способ учета фазы конфайнмента с по-

мощью синглетного проектора группы больших калибровочных преобразований на бесконечности является существенно непертурбагив-ным. Его использование в комбинации с традиционными методами (теория возмущений, асимптотические разложения, правила сумм) позволяет ожидать правильных величин конденсатов и инфракрасного поведения функций Грина. Данная нами формулировка теории Янга-Миллса дает возможность развить последовательную схему вычисления термодинамических функций, благодаря существенному улучшению инфракрасного поведения теории при конечной температуре за счет ненулевого среднего Ао- Общие методы гамильтоно-ва формализма в конечной области с учетом поверхностных членов, предложенные в диссертации, могут быть использованы в исследовании любой теории поля, где существенны эффекты дальнодействия.

Апробация работы. Результаты диссертации опубликованы в работах [1-7] и докладывались на "Международных Конференциях по Физике Высоких Энергий и КТП" проводившихся ИФВЭ (Протвино, 1992) и НИИЯФ МГУ (Сочи 1992, Звенигород 1993), на семинарах Отдела теоретической физики высоких энергий НИИЯФ МГУ, кафедры теоретической физики физического факультета МГУ, в ИЯИ РАН, МИАН, ОИЯИ, ИФВЭ.

Структура диссертации. Диссертация состоит из 8 глав и 3 приложений, содержит 5 рисунков, а также список литературы (124 названия). Объем диссертации 116 страниц.

содержание работы

Глава 1 диссертации содержит Введение, в котором обосновывается актуальность работы, дается краткий обзор работ по теме диссертации и предлагается новый подход к решению проблемы кон-файнмента.

В главе 2 вводятся обозначения, излагаются общие свойства и приводятся основные формулы обобщенной калибровки Фока-Швингера

е(1)(х) А(*,х) = О,

где в(!)(х) - гладкое векторное поле совпадающее с полем нормалей на границе конечной области V. Среди них наиболее важными являются: явное решения Гауссовой связи

В(,) = = = {гаЕ(а))'

и линейное дифференциальное соотношение между калибровочными полями и напряженностями,

1 с)

Глава 3 посвящена изложению гамильтонова формализма для теории Янга-Миллса в конечной области с учетом вклада поверхностных членов на основе модифицированной скобки Пуассона

{Г,Н} = ¡уйу:{еА{Р)1лв£в{Н) + д^£\{Р)1АВ£в{Н) + 1лв 4 (я)) + зад(г) 1ав 4(я))),

где Эйлеровы производные нулевого и первого порядков равны соответственно

Данная скобка Пуассона обладает необходимыми свойствами антисимметричности, полноты и удовлетворяет тождествам Якоби. Уравнения движения порождаемые такой скобкой с очевидностью следуют из вариационного принципа действия системы в конечной области при учете поверхностных членов и имеют вид

О = (/х0» - /ду + х°) •

Проводится детальный анализ остаточных преобразований симметрии и проблемы выбора граничных условий. Показано, что граничные условия

где С, = сохраняются во времени, если понимаются как

дополнительные гамильтоновы переменные с канонической скобкой Пуассона равной

{х°(Х),х*(Х')} =ы°*[х]5(Х,Х') = д^хс(Х)6(Х,Х')

10

и нулю с остальными переменными. Тогда уравнение, находимое из условий сохранения связей временной эволюции,

Ха(Х) А>(Л,Х)х<(Х)

является уравнением Гамильтона для данных переменных. Тождество Якоби для рассматриваемой скобки Пуассона следует из тождества Якоби в алгебре Ли. Фазовым пространством Гх данных переменных, согласно симплектической конструкции Березина-Кириллова, являются орбиты коприсоединенного представления калибровочной группы 5?7(ЛГ). На примере группы 5(7(2) отметим, что симплектическими пространствами Гх являются сферы радиуса в коприсоединенном представлении группы. Радиус же сферы является интегралом движения и представляет собой внешний параметр теории, так же как и частота вращений динамики на границе |А0(Д,Х)|.

В главе 4 приведен альтернативный подход к динамике теории Янга-Миллса в формализме переменных на бесконечности.

В параграфе 4.1 приводятся общие сведения из алгебраической КТП п кратко излагается формализм Моркио-Строкки. Этот формализм позволяет построить корректный предел динамики системы в бесконечном объеме как группы автоморфизмов расширенной алгебры наблюдаемых с нетривиальным центром. Последний генерируется слабыми пределами делокализованных переменных, называемых переменными на бесконечности.

Параграф 4.2 содержит формулировку теории Янга-Миллса в формализме переменных на бесконечности. В нем изучаются временная эволюция и группы инвариантности бесконечной системы Янга-

Миллса, получена динамика на бесконечности и показана эквивалентность данного формализма изложенному в главе 3.

Параграф 4.3 рассматривает реализацию алгебры Пуанкаре в калибровке Фока-Швингера.

В главе 5 изучается зависимость статистической суммы абелевой и неабелевой калибровочных теорий от переменной на границе |х|-

В параграфе 5.1 изучается более простая задача об электродинамике с внешним зарядом, где такая зависимость вычисляется точно и имеет вид

В параграфе 5.2 показано как результат предыдущего параграфа может быть получен в терминах коллективной переменной сопряженной Гауссовой связи.

Параграф 5.3 посвящен изучению 811(2) и Б11(3) глюодинами-ки. Выводится формулировка теории в терминах функционального интеграла по коллективным переменным Лиг/, сопряженных продольным компонентам полей напряженностей, и вводимых с помощью интегральных представлений

В дальнейшем удобно рассматривать вместо А переменную а, связанную с ней соотношением,

о

г/?

(х)еЛ0(Дх)+^(х), стл(х) = / йу\(ух),

где Ло(/?х) - поверхностный множитель Лагранжа. Вычисляется эффективное действие теории в приближении среднего поля для коллективных переменных и изучаются его минимумы. Дается интерпретация фазового перехода конфайнмент-деконфайнмент. При температуре ниже критической средние значения переменных я — (д/3/2тг)а, V = (<7/?/27г)2г/ отличны от нуля и равны V = я2 = 1/4. При этом зависимость стат. суммы от |х| приобретает вид

2[Х]=Псо8/М°>|Х(*)|,

х

где = 7Г/др. Таким образом, только значение х(х) = 0 статистически возможно в фазе конфайнмента.

При вычислении средних необходимо учесть меру фазового пространства переменных х ~ орбит присоединенного преобразования группы, а также, либо просуммировать по всем допустимым значениям либо рассматривать "домены" с произвольными значениями этой величины. Следовательно, температурное среднее некоторой наблюдаемой А дается следующей формулой

<л>=((Л)о, Г<ТС,

где

(А)х = -щ! VoVve-w^-iЪ^didi,'x А[а, и].

Вычисление интеграла по всем \ при высокой температуре выдает ¿(сгоо(х)), и следовательно, эффективно удаляет интегрирование по переменной на границе. Напротив, при низкой температуре реализуется только значение х = 0, и интеграл по переменной на границе

в среднем (А)о дает синглетный проектор Рв группы больших калибровочных преобразований

где (¿((Тсо) - генераторы группы больших калибровочных преобразований на бесконечности. С помощью закона Гаусса последнее условие синглетности переписывается как требование равенства нулю потока хромо-электрического поля через любой элемент границы. Дан-нал формулировка конфайнмента, по существу, совпадает с интуитивными физическими представлениями и из нее следует ненаблюдаемость цветных состояний на бесконечности.

В главе 6 показывается, что наш критерий конфайнмента удовлетворяет традиционным критериям: закон площадей в фазе конфайнмента

и спонтанное нарушение Zt¡ симметрии в фазе деконфайнмента. Вычисляется отношение температуры фазового перехода к корню из коэффициента натяжения струны £ = Тс/^/х-

которое для группы 311(2) численно равно £ ~ 0.71. Тогда плотность свободной энергии может быть переписана в терминах натяжения струны как

ас8Я3 _ ^

7Г2Уд 7Г2

что подчеркивает непертурбативный характер рассмотренного нами приближения.

В Заключении сформулированы основные результаты диссертации.

Приложение А содержит интегральное представление для свободного глюонного пропагатора в калибровке Фока-Швингера.

В Приложении Б проводится анализ анзаца общего вида при вычислении эффективного потенциала для группы 51/(2).

Приложение В содержит некоторые формулы со специальными функциями используемые в диссертационной работе.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Sveshnikov N.A., Timoshenko E.G. Confinement phase transition mechanism of SU(2)-gluodynamics. // Препринт ИФВЭ, Протвино -1991 - N 91-140 - 30 с.

2. Sveshnikov N.A., Timoshenko E.G. Confinement phase transition in gluodynamics. // Phys. Lett. - 1992 - т. В 289 - с. 423-428.

3. Sveshnikov N.A., Timoshenko E.G. Confinement phase transition mechanism in gluodynamics. // Препринт ИФВЭ, Протвино - 1992 -N 92-31 - 10 с.

4. Timoshenko E.G. Wilson Loop for SU(N)-gluodynamics. // Препринт НИИЯФ МГУ, Москва - 1992 - N 92-17/266 - 13 с.

5. Тимошенко Э.Г. Algebraic confinement and Wilson loop of SU(N)-gIuodynamics. // Ядерная Физика - 1993 - т. 56, N. И - с. 277287.

6. Timoshenko E.G. Dynamics of gauge fields in finite domain. // Труды VIII Международного Семинара по Физике Высоких Энергий и КТП, 17-23 сент. 1993, Звенигород. - Изд-во МГУ, 1994, под ред. Б.Б. Левченко. - с. 213-217.

7. Sveshnikov N.A., Timoshenko E.G. Boundary effects in the gauge field theories at finite temperature. // Направлено в Int. J. Mod. Phys. - 1995 - 10 c.