Структуры и статистические особенности калибровочного поля в низкоразмерных системах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

и

" /А-

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ ФИЗИКИ

Президиум ВАК .Россгр

вне дт

у присудил ученую степен]

На правах рукописи УДК 539.12.01

'.-Г' • с:- /

^ -----наук

пачальниктшравления ВАК России

Протогенов Александр Павлович

СТРУКТУРЫ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ КАЛИБРОВОЧНОГО ПОЛЯ В НИЗКОРАЗМЕРНЫХ

СИСТЕМАХ

01.04.02 - теоретическая физика

Диссертация на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

Нижний Новгород 1998

Содержание

Введение....................................................................3

Глава 1. Сильные корреляции в 2+1-мерных системах....................16

1.1. Сильные корреляции и структура основного состояния ..........16

1.2. Статистика возбуждений в 2+1-мерных системах ...............23

1.3. Распределение спиновых степеней свободы ......................31

Глава 2. Некоторые свойства фазовых состояний.........................41

2.1. Симметрии черн-саймоновских систем...........................41

2.2. Зависимость критических индексов от ^-параметра .............52

2.3. Причина маргинальных свойств ферми-жидкости ...............72

Глава 3. Особенности неабелевых калибровочных полей...................84

3.1. Статические самодуальные конфигурации........................84

3.2. Распределения поля с полуцелым топологическим зарядом .......95

3.3. Состояния и спектр фермионов в калибровочном поле ..........106

3.4. Дальнодействующие силы между зарядами......................114

Глава 4. Статистические свойства сильно коррелированных систем .....118

4.1. Функция распределения в энионных системах ..................118

4.2. Статистика с обобщённым принципом исключения состояний . 121

4.3. Квантово-групповая диффузия по корням из единицы ..........137

Глава 5. Калибровочные поля в модели (2 + 1 )D нелинейного уравнения

Шрёдингера.....................................................144

5.1. Калибровочно-инвариантное (2 + 1 )D

нелинейное уравнение Шрёдингера .............................144

5.2. Топологические эффекты в непрерывном пределе ...............150

5.3. Дискретная динамика ...........................................156

Заключительные замечания ..............................................178

Литература...............................................................181

Введение

Проблемы теории калибровочного поля занимали одно из центральных мест в исследованиях в области теории поля, проведенных в течении последних тридцати лет. Каждое существенное продвижение в понимании динамики калибровочного поля - перенормируемость, асимптотическая свобода, приводило к новому всплеску интереса и стимулировало появление нового потока работ. Наиболее яркий пример этого явления связан с открытием инстантона, которое инициировало обширные исследования классических конфигураций калибровочного поля, продолжающиеся до настоящего времени. Предметом тщательного изучения были, в частности, статические конфигурации поля в различной геометрии и для различных групп внутренней симметрии. При этом основное внимание было обращено на изучение калибровочных полей в пространственно трёхмерном случае.

В последние годы центр тяжести исследований сместился в область изучения явлений, протекающих в системах с пониженной пространственной размерностью. Во многом это было обусловлено открытием высокотемпературной сверхпроводимости. В результате детальных экспериментальных и теоретических исследований высокотемпературных сверхпроводников возникло убеждение, что сверхпроводящее состояние и многие необычные эффекты в так называемом нормальном состоянии - это существенно пространственно двумерные явления. Существование антиферромагнитного диэлектрического состояния в родительских соединениях и его разрушение из-за допинга послужило основанием для использования модели Хаббарда. Ограничение проблемы изучением основного состояния и структуры низкоэнергетических возбуждений привело при теоретическом анализе к £ — 3 модели. Формально £ — 3 модель может быть получе-

на из модели Хаббарда, как её низкоэнергетический предел, за счёт исключения из пространства состояний дважды оккупированных на узле решётки состояний с различной ориентацией спина.

Наличие связей, исключающих из гильбертова пространства такие состояния, обуславливает, как обычно, существование калибровочного поля. Особенность калибровочных корреляций в пространственно-двумерной системе состоит в разделении спиновых и зарядовых степеней свободы электрона и распределении их между различными возбуждениями, а также оказывается тесно связанной с характерной для этой пространственной размерности промежуточной или дробной статистикой возбуждений.

При развитии калибровочной теории сильных электронных корреляций в пространственно двумерных системах в последнее время использовался опыт, полученный при изучении другого планарно-го явления - квантового эффекта Холла. Учёт в лагранжиане члена Черна-Саймонса в длинноволновом приближении, использование средств, применяемых в точно решаемых решёточных моделях, употребление широкого спектра преобразований симметрии состовляет содержание подходов, использованных при изучении калибровочных корреляций в пространственно двумерных системах. Разработка таких подходов, изложенных в диссертации, представляет собой актуальную задачу как для теоретической физики в целом, так и с точки зрения приложений. Актуальность изучения особенностей калибровочного поля в системах с редуцированной размерностью обусловлена как обнаружением новых фазовых состояний в этих системах, так и общей тенденцией изучать явления в наномасштабной области. В связи с обнаружением квантовой группы в черн-саймоновских системах изучение их представляет собой также актуальную общефизическую задачу. Изложению теоретических результатов, полученных

автором в рамках указанной проблематики в течение двадцати пет, посвящена диссертационная работа.

Цепью работы было:

- разработка модели, описывающей сильные спиновые корреляции в двумерных системах с нарушенным антиферромагнитным порядком; исследование микроскопических причин, обеспечивающих справедливость гипотезы о маргинальном поведении электронной жидкости в пространственно-двумерной системе;

- описание иерархии фазовых переходов в решеточной Д/у-модели, учитывающей топологические ограничения; исследование влияния топологических слагаемых в действии на критические показатели корреляционных функций;

- построение точных решений уравнений само дуальности в статическом случае для различных групп внутренней симметрии; изучение связи таких решений с конфигурациями калибровочного поля, имеющими полуцелый топологический заряд;

- анализ влияния решений с особенностями калибровочного поля на структуру источников поля и движение фермионов, а также изучение синглетных по цвету дальнодействующих потенциалов;

- изучение функции распределения возбуждений в сильно коррелированных (2 + системах; постановка и точное решение задачи о квантово-групповой диффузии в случае параметра деформации, являющемся корнем из единицы;

- рассмотрение динамики калибровочного поля в модели (2 + 1)1) нелинейного уравнения Шрёдингера и свойств коллапсирующих распределений на пространственно-временной решётке при учёте калибровочных полей Черна-Саймонса.

Опишем распределение по главам диссертации задач и их решений, реализующих указанные цели. В работах, посвящённых изучению калибровочного взаимодействия в пространственно двумерных системах, использовались различные подходы. На первом этапе основное внимание было сосредоточено на способах формулировки проблемы в терминах калибровочно-инвариантных средних величин и на введении в теорию топологических характеристик. Основная трудность большинства задач теории сильных калибровочных корреляций состоит в том, что в них отсутствует малый параметр. Поэтому любое обсуждение носит вынужденно качественный характер. Выйти за эти пределы можно лишь с помощью численного эксперимента или точного решения. В таких условиях большое значение приобретают различные качественные методы, позволяющие получить некоторые результаты, не прибегая к детальному решению задачи, а пользуясь знанием средних характеристик. Изложение такого подхода, составляющего содержание первого раздела первой главы диссертации, представляет собой шаг, необходимый для перехода к более полному описанию. Характерной особенностью пространственно двумерных систем является существование сильных длинноволновых корреляций. Они рассматриваются во втором разделе. Формулировка черн-саймоновского калибровочного механизма, обеспечивающего реализацию промежуточной статистики, приводится в третьем разделе. Здесь же приведено решение задачи о квазиклассических конфигурациях полей, которые описывают распределение спиновых степеней свободы.

Фазовое состояние с развитыми движениями калибровочного поля, которые описывают конфигурации с различной раз ориентацией спина как внутри ячейки, так и на больших расстояниях, называют квантовой спиновой жидкостью. При этом имеют в виду, кроме от-

сутствия малого параметра, ещё одно обстоятельство. Характерный размер области с нарушенным антиферромагнитным расположением спина порядка расстояния между такими областями. Он определяется концентрацией созданных, благодаря допингу, дефектов спиновой текстуры и составляет величину порядка 10~7 см. Это всего лишь в несколько раз превышает постоянную решётки.

При переходе к длинноволновому описанию при помощи сглаженных на масштабе решётки полей существенно сохранить основную информацию от динамики на малых расстояниях. Такое наследие от малых расстояний в условиях сильного взаимодействия содержит, в частности, информацию топологического характера, что обсуждается в первом разделе второй главы. Она отражается, прежде всего, в значениях критических показателей корреляционных функций. Анализ этой зависимости содержится во втором разделе второй главы. Топологические особенности проявляются также на виде спектра квазичастиц и в поведении функции Грина. В третьем разделе второй главы приводятся аргументы в пользу справедливости гипотезы о маргинальном поведении спиновой жидкости в пространственно двумерных системах. Термин "маргинальная Ферми-жидкость" означает, что одночастичная функция Грина имеет спектральный вес, который как функция энергии обращается в ноль на поверхности Ферми. Необходимые для такого поведения функции Грина зависимости мнимой части зарядовой и спиновой восприимчивости от частоты можно получить, как показано в третьем разделе, если учесть особенности спектра квазичастиц в фазовых состояниях с потоком калибровочного поля.

В проблемах сильных калибровочных корреляций в пространственно двумерных спиновых системах часто используют подходы, разработанные при изучении классических конфигураций калибровочного

поля. После открытия инстантона основные усилия в этой области были направлены на детальное исследование (и применение) решений уравнений дуальности. В первом разделе третьей главы приводится пример точного решения уравнений дуальности в статическом случае. Они описывают распределения калибровочного поля с ненулевым значением магнитного и электрического зарядов. Такие конфигурации получили название дионов. Знание особенностей поведения дионных конфигураций оказалось очень полезным для анализа решений уравнений движения калибровочных полей с полуцелым значением топологического заряда, так называемых меронов. Особенности меронных распределений обсуждаются во втором разделе третьей главы. Характерные свойства конфигураций калибровочного поля используются для изучения структуры источников поля и движения фермионов в этих полях, а также для исследования дальнодействую-щих сил между синглетными по цвету зарядами. Изложению этих вопросов посвящен третий и четвёртый раздел третьей главы. Отметим здесь же, что несмотря на то, что большинство подходов и результатов калибровочной теории поля нашло применение в теории сильных спиновых корреляций в двумерных системах, использование некоторых из них, например аналога меронных распределений, только начинается.

Калибровочное взаимодействие в планарных системах наряду с Бом-Аароновской спецификой имеет много общего с взаимодействием в пространственно трёхмерных системах. В частности, в том и в другом случаях оно обеспечивает конфайнмент квантовых чисел, о б су ж давшийся во втором разделе второй главы. С точки зрения других возможных фазовых состояний, особая роль пространственно двумерных систем проявляется в том, что в них реализуется высокотемпературная сверхпроводимость. Помещая изучаемую систему

во внешнее попе, мы получаем информацию о свойствах состояний. Различные фазовые состояния проявляют себя различным образом по отношению к внешнему воздействию. Реакция сверхпроводящего состояния например, благодаря жёсткости, весьма специфична в этом отношении. В частности, из-за изменения функции распределения квазичастиц в связи со сдвижкой химпотенциала изменяется и отклик на внешнее поле.

Дальнодействующее калибровочное взаимодействие может быть устранено из гамильтониана с помощью калибровочного преобразования. В результате изменяются трансформационные свойства волновой функции системы частиц отностительно их перестановки. Волновая функция приобретает фазовый множитель, вообще говоря, отличающийся от множителя в Ферми и Бозе случаях. Причина состоит в том, что в пространственно двумерных системах состояния классифицируются в соответствии с неприводимыми представлениями группы кос, а не группы перестановок. Эта альтернатива - взаимодействующие с помощью Бом-Аароновских потенциалов частицы со стандартной статистикой или свободные частицы с промежуточной статистикой, хорошо известна в низкоразмерной теории поля. Однако проблема изучения равновесной статистической функции распределения возбуждений в пространственно-двумерных системах по-прежнему является актуальной задачей. В первом разделе четвёртой главы приводится её решение. Показано, что полученная с использованием виттеновского результата усреднения петлевого оператора Вилсона функция распределения допускает интерпретацию в терминах сдвижки значения химического потенциала. Его значение содержит вклад, происходящий от квантово-групповой деформации статистического веса и, соответственно, энтропии. Появление эффекта деформации размерности неприводимого представления явля-

ется универсальным свойством низкоразмерных систем с внутренними степенями свободы. Во втором разделе четвёртой главы показано, что такая квантово-групповая структура возникает в результате точного решения уравнений для функции распределения в системах с обобщённым принципом исключения состояний, совпадающих в высокотемпературном пределе с уравнениями термодинамического Бете-анзатца.

В последние годы проблемы теории и приложений квантовых групп привлекают большое внимание. Среди областей, где используется аппарат квантовых групп, укажем точно решаемые модели с учётом граничных эффектов, а также важную задачу о движении частицы на двумерной решётке во внешнем магнитном поле. В третьем разделе четвёртой главы рассматривается постановка проблемы о случайном блуждании по узлам, которые распределены как корни из единицы. Она сводится к построению д-деформированного аналога уравнения диффузии для параметра деформации д, являющимся корнем из единицы. В этом разделе приводятся общее решение задачи, которое содержит, в частности, обобщение гауссова распределения вероятностей для рассматриваемой дискретной модели.

Пятая заключительная глава посвящена рассмотрению структуры калибровочного поля в модели (2+1 )Б нелинейного уравнения Шрёдингера и его влиянию на формирование особенностей коллапси-рующих распределений в непрерывном пределе и на пространственно-временной решётке. В первом параграфе поясняется причина включения в рассмотрение Черн-Саймоновских калибровочных полей в "классической" модели (2+1)В нелинейного уравнения Шрёдингера, а также ставится задача о величине топологических эффектов в этой системе. Второй раздел содержит анализ уравнений движения в непрерывном случае и результатов, следующих из его численного инте-

грирования. В третьем параграфе сформулированы уравнения движения в дискретной (2+1)Б модели. Здесь приведены результаты численного решения проблемы.

Приоритет изложенных в диссертации исследований закреплен ссылками на работы автора в статьях, вышедших в нашей стране и за рубежом. Научные результаты, полученные в работах автора, вошли в ряд обзоров. В диссертации развиты новые направления современной калибровочной теории поля в системах с редуцированной размерностью. Одно из них связано с использованием метода стат�