Реализация конформных, некоммутативных и калибровочных симметрий в теории струн тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ им. Л. Д. ЛАНДАУ

На правах рукописи

САРАЙКИН Кирилл Анатольевич

РЕАЛИЗАЦИЯ КОНФОРМНЫХ, НЕКОММУТАТИВНЫХ И КАЛИБРОВОЧНЫХ СИММЕТРИЙ В ТЕОРИИ СТРУН

Специальность 01.04.02 — Теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2004

Работа выполнена в Институте теоретической физики им. Л. Д. Ландау Российской Академии Наук.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

кандидат физ.-мат. наук И. В. Полюбин, ИТФ им. Л.Д. Ландау РАН, г. Черноголовка.

доктор физ.-мат. наук А. Ю. Каменщик, ИТФ им. Л.Д. Ландау РАН, г. Черноголовка,

доктор физ.-мат. наук А. В. Маршаков, ФИАН им. П.Н. Лебедева и ФГУП ГНЦ РФ ИТЭФ, г. Москва.

Ведущая организация:

Математический институт им. В.А Стеклова РАН, г. Москва.

Защита состоится 24 июня 2004 года в 15 часов на заседании Диссертационного совета Д 002.207.01 при Институте теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН по адресу: 142432, Московская обл., Ногинский р-н, пос. Черноголовка, Институт физики твердого тела РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН.

Автореферат разослан

» мая 2004 г.

Ученый секретарь

Диссертационного совета,

доктор физико-математических наук

Фальковский Л. А.

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена изучению конформных, некоммутативных и калибровочных симметрий в квантовой теории поля. Реализация таких симметрии в теории струн дает систематический и эффективный подход к решению поставленной задачи и позволяет не только по-новому взлянуть на известные проблемы, но и упростить их решение.

Актуальность темы.

Роль симметрий в современной теоретической физике трудно переоценить. Классический пример среди теорий, построеных на основе принципа симметрий - это теория гравитации Эйнштейна, инвариантная относительно локальных преобразований координат. В квантовой теории поля симметрия лагранжиана диктует вид взаимодействий, определеляет типы элементарных частиц и их заряды. Фундаментальную роль при описании взаимодействий элементарных частиц играют калибровочные симметрии, например, калибровочная группа и(1) в КЭД и 8Щ3) в КХД. Однако, стандартные методы квантовой теории поля, такие как теория возмущений, зачастую оказываются недостаточными для описания наиболее интересных, непертурба-тивных эффектов в калибровочных теориях, которые требуют знания поведения теории в режиме сильной связи. Здесь на помощь приходит терия струн, предоставляющая целый арсенал новых методов для исследования калибровочных теорий.

Теория струн (суперструн) является самосогласованной квантовой теорией, естественным образом объединяющей терию поля и гравитацию, и в настоящий момент насчитывает более чем тридцатипятилетнюю историю. В 1995 году, после появления работы Польчинского [1], произошла так называния вторая струнная революция. В результате был достигнут впечатляющий прогресс в понимании непертурбативных явлений и поведения теории струн в области сильной связи, основанный на внутренних симметриях, так

называемых дуальностях, теории струн. При этом после работы Виттена [2] калибровочные терии получили простое геометрическое представление в виде конфигураций D-бран разных размерностей. В частности, калибровочной группе ЩЫ) в 4 измерениях соответствует стопка из N параллельных D3-бран. Правильность такого подхода была продемонстрирована в работах Мальдасены [3], Губсера, Клебанова и Полякова [4], и Виттена [5] на примере так называемого AdS/CFT соответствия, позволяющего описывать четырехмерную М = 4 суперсимметричную теорию Янга-Миллса при помощи теории струн типа ИВ на фоне метрики 5 X £5. Естественно, эти примеры - только первые шаги на пути к полной картине, описывающей физику калибровочных теорий на языке теории струн. Таким образом, развитие струнного подхода к калибровочным теориям представляет актуальную и многообещающую проблему для исследования.

Помимо прогресса в описании калибровочных теорий, теория струн возродила интерес к конформным и некоммутативным симметриям. Напомним, что действие теории струн - это двумерная сигма-модель, описывающая отображения римановых поверхностей в ¿-мерное пространство-время. Среди симметрий этого действия есть и инвариантность относительно конформных преобразований. Группа конформных симметрий в двух измерениях бесконечномерна, и это накладывает очень сильные ограничения на теории с такой симметрией. Воспользовавшись этим, в 1984 году Белавин, Поляков и Замолодчиков [6] сформулировали новый подход к конформным теориям, в котором точные ответы, например, корреляционные функции, получаются как решения специальных уравнений, следующих из конформной симметрии. В физике конформная симметрия часто проявляется в точках фазового перехода термодинамических систем, например, в критической точке ферромагнитных систем и более общих спиновых систем на решетках. Огромный интерес конформные теории вызывают у математиков, поскольку приводят к интересным бесконечномерным алгебрам: алгебрам Каца-Муди,

вершинным алгебрам и др. Методы конформной теории поля, разработанные в контексте теории струн, находят здесь обширное применение.

В 1999 году, благодаря работе Зайберга и Виттена [7], стали активно изучаться некоммутативные симметрии в теории поля. Такие симметрии возникают при рассмотрении пространств, координаты на которых не коммутируют. Классической пример некоммутативного пространства - фазовое пространство квантовой механики: обобщенные координаты подчиняются соотношению неопределенности [р, д] = {К. С точки зрения теории струн квантовые теории поля на таких пространствах возникают при выборе специальной регуляризации. Помимо новых нетривиальных свойств теорий с некоммутативной симметрией, представляет непосредственный интерес вопрос об их связи с обычными калибровочными теориями, которые можно получить из теории струн при стандартной регуляризации струнной сигма-модели. Действительно, физические свойства теории не должны зависеть от выбора регуляризации, поэтому можно ожидать, что есть соответствие между некоммутативными и обычными калибровочными симметриями. Оказывается, что в некоторых случаях (например, для квазипериодических граничных условий) можно предъявить примеры, когда такое соответствие удается построить явно. Кроме того, интересно проследить эту связь и на уровне действия струнной сигма-модели.

Целью работы являлось:

1. Изучение корреляционых функций в модели Весса-Зумино-Новикова-Виттена и вычисление конформых блоков - голоморфных составляющих корреляционых функций, при помощи бозонизации.

2. Исследование процессов Швингеровского типа в калибровочных теориях с точки зрения теории струн и представление непетурбативных процессов рождения частиц во внешних полях при помощи конфигураций бран.

3. Изучение связи между регуляризацией сигма модели для открытых струн и калибровочной симметрией ее эффективного низкоэнергетического

лагранжиана.

4. Исследование некоммутативной теории Янга-Миллса на торе. Построение явного преобразования, переводящего поля и наблюдаемые некоммутативной теории в соответствующие поля и наблюдаемые обычной калибровочной теории Янга-Миллса с группой симметрии ЩЯ).

Научная новизна работы заключается в следующих оригинальных результатах, которые выносятся на защиту:

1. Описана двумерная конформная теория поля, позволяющая эффективно вычислять корреляционные функции в модели Весса-Зумино-Новикова-Виттена на сфере. При этом корреляционные функции автоматически представляются в виде комбинаций голоморфных составляющих - конформных блоков, удовлетворяющих уравнениям Книжника-Замолодчикова. Выдвинута гипотеза о виде корреляторов на римановых поверхностях старших родов.

2. Разработано описание непертурбативных процессов рождения частиц во внешних полях в калибровочных теориях поля с точки зрения бранных конфигураций в теории струн.

3. Найдено двухпараметрическое семейство регуляризаций струнной сигма-модели, позволяющее интеполировать между абелевой и некоммутативной калибровочной симметрией в эффективном действии для тахионного и векторного полей.

4. Построено явное преобразование (отображение Мориты), переводящее поля и наблюдаемые некоммутативной теории Янга-Миллса на торе в соответствующие поля и наблюдаемые обычной калибровочной теории на дуальном торе с подкрученными граничными условиями и обратно. Показано, что при этом поляковские петли переходят в некоммутативные вильсонов-ские открытые петли ИИКК [8].

Научная и практическая ценность. Полученные новые результаты и методы повозволяют эффективно решать уравнения Книжника-Замолодчи-

кова для конформных блоков и строить из них корреляционные функции в модели ВЗНВ, позволяют лучше понять физику непертурбативных процессов рождения частиц во внешних полях в калибровочных теориях с точки зрения теории струн, а также устанавливают связь между некоммутативными и неабелевыми калибровочными теориями.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, хорошо известны и неоднократно докладывались на на ученом совете ИТФ им. Л.Д. Ландау, на семинарах теоретических отделов ИТЭФ, ФИАН и ИЯИ; международной школе "Симметрии и интегрируемые системы" (Дубна, 1999), Международной летней школе-семинаре по современым проблемам теоретической и математической физики (Казань, 1999), Бретанской конференции по физике высоких энергий (Гидель, Франция 2000).

Публикации. По теме диссертации опубликовано три научных работы, список которых приведен в конце реферата.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность рассматриваемой темы, научная новизна исследований, а также сформулированы цели и приведены основные результаты работы. Кратко описана структура диссертации.

В главе 1 дается краткий обзор двумерной конформной теории поля с дополнительной алгебраической симметрией Каца-Муди - модели Весса-Зумино-Новикова-Виттена (ВЗНВ). Выделенность модели ВЗНВ обусловлена тем, что все известные рациональные конформные теории поля могут быть получены из нее при помощи косет-конструкции или редукцией по Дринфельду-Соколову, поэтому она является своего рода "генератором" таких теорий. Кроме того, конформные блоки ВЗНВ соответствуют квантовым состояниям трехмерной теории Черн-Саймонса. Действие ВЗНВ выглядит следующим образом:

¡Ьгтг I Ь^д'^д д~%д д~%д)

Поле д принимает значения в полупростой группе Ли О. Символом ^ обозначена инваринтная билинейная форма Киллинга. Интегрирование в первом члене идет по некоторой римановой поверхности Е, а во втором - по объему М, охватываемому поверхностью. Параметр А, который принято называть уровнем, квантуется: £ € N. Модель ВЗНВ инвариантна относительно группы конформных преобразований и алгебры Каца-Муди.

Примарные поля модели ВЗНВ с конформными размерностями

принадлежат тензорному произведению двух конечномерных представлений полупростой группы Ли. "Левому" представлению соответствует индекс а "правому" Корреляторы примарных полей, в соответствии с основными идеями конформной теории поля [6], обладают свойством голоморфной факторизации:

\VZNW

где через обозначены конформные блоки - элементар-

ные кирпичики, из которых строятся все корреляторы в конформной теории. Конформные блоки должны удовлетворять системе дифференциальных уравнений Книжника-Замолодчикова (тождеств Уорда), выражающих наличие конформной и алгебраической симметрии в теории. В диссертации найдено представление для конформных блоков и корреляторов модели ВЗНВ на сфере при помощи вспомогательной конформной теории свободных бозонных полей.

Так, в случае 5/(2)-модели ВЗНВ действие для вспомогательных бозоных полей имеет вид:

где е - повышающий оператор алгебры 5/(2), а выражение для конформных блоков имеет вид:

где коррелятор вычисляется при помощи функционального интеграла с действием (3), различные блоки параметризуются выбором контуров интегрирования вектор соответствует тензорному произведению вакуумных векторов 5/(2), а вставки 5(1) отвечают так называемым экранирующим операторам:

= <[ ¿к... <Йга /5(£х)... 1) • • • Ц„(гм)\ V, (5)

•'Со

Число т экранирующих операторов в этой формуле диктуется законом сохранения заряда: т = + 1.

Полученные таким образом конформные блоки совпадают с интегральным представлением решений уравнений Книжника-Замолодчикова, которые были найдены Шехтманом и Варченко [9]. По сути, для вычисления выражений (5) мы использовали только киральную часть действия (3), и это естественно, поскольку конформные блоки - голоморфные составляющие корреляционных функций. Поэтому для их вычисления полных корреляционных функций надо задействовать и антикиральную часть действия (3). Тогда коррелятор будет даваться следующим континуальным интегралом:

где

¡Ъф £>/? £>7 Т>(3 Х>7 е'^+^п.^ Я* = ехр

Щг, г) = : ехр г)^ : ехр (ф)еь + 7(г)ед).

(8)

(9)

Из такой записи ясно видно, что построенная величина в самом деле обладает требуемыми от коррелятора ВЗНВ конформными (аномальные размерности), аналитическими (тривиальность монодромии, голоморфная факторизация) и алгебраическими (является решением уравнений Книжника-Замолодчикова) свойствами, то есть решает задачу конформного бутстрапа. В простейшем случае 4-точечного коррелятора результат совпадает с известным ответом Замолодчикова и Фатеева.

Полученные выражения для конформных блоков и корреляторов 2)-модели ВЗНВ непосредственно обобщаются на случай других алгебр. Кроме того, выдвинута гипотеза о виде корреляторов для римановых поверхностей старших родов.

и

В главе 2 рассматриваются процессы Швингеровского типа: рождение пар заряженных частиц (^бозонов, монополей и др.) во внешних полях. Эти процессы моделируются при помощи конфигураций Б-бран в теории струн типа ПВ. Например, рождение пар электрически заряженных частиц (^бозонов) в четырехмерной Щ2) калибровочной теории описывается при помощи F-струны, натянутой между двумя D3-бранами. Минимизация эффективного действия, которое в данном случае равно просто площади мировой поверхности струны, дает экспоненциальную зависимость вероятности образования пары:

где д-константа связи, Е- постоянное внешнее электрическое поле, «-расстояние между D3-бранами, а' - натяжение фундаментальной (¥) струны. В полевом пределе это выражение переходит в классический результат

Швингера:

поскольку заряд W-бозона е — 2д, а масса, возникающая в механизме Хиггса, с точки зрения теории струн пропорциональна расстоянию между D3-бра-

этот результатат на случай образования монополь-антимонопольных пар в магнитном поле и дионных пар в присутствии электрического и магнитных полей. Кроме того, после небольших изменений геометрическая картина позволяет описывать рождение материи в фундаментальном представлении и процессы при конечной температуре.

Одним из предсказаний S-дуальности является эффект перехода монополя в дион в магнитном поле, и индуцированный распад W-бозона в магнитном поле (Рис 1.):

(10)

(И)

нами: т = S—дуальность теории струн ПВ позволяет легко обобщить

(1.0)

(а)

(b)

Рис.1: Индуцированный распад ВПС-частиц на языке бранных конфигураций: (а) Переход монополя (0,1) в дион (—1,1) и ^'-бозон (1,0) в постоянном электрическом поле. (Ь) Распад электрически заряженной частицы (1,0) в дион (1,1) и анти-монополь (0,-1) в постоянном магнитном поле.

При этом "вид сверху" (Рис. 2) отвечает полевой фейнмановской диаграмме в калибровочной теории на Б3-бране:

Рис.2: Переход монополя (М) в дион (Б) и ^'-бозон (е~) в постоянном электрическом поле: Поскольку в режиме слабой связи дион гораздо массивней , его траектория -почти прямая линия.

Лё8/СРТ соответствие дает возможность описать непертурбатиные процессы в режиме сильной связи, поскольку оно связывает супергравитацию на фоне метрики X ¿>5 и // = 4 суперсимметричную теорию Янга-Миллса в режиме сильной связи. Радиус кривизны пространства Лё8 связан с константой связи дум следующим образом:

Е

D

time

е

Rms = (WYM<*'2N)1/\

(12)

где N - ранг калибровочной группы БЩЫ). Режим сильной связи дум ОО и больших N соответствует слабо искривленному пространству, в котором справедлива классическая гравитация. При этом эффекты сильной связи проявляются в неоходимости учета нетривиальной метрики пространства AdS при вычислении площади минимальной поверхности. Например, для калибровочной группы и(Ы) X и(1) для вероятности рождения пар при этом получается выражение:

W ОС

(13)

Отметим, что вероятность не зависит от массы W-бозона. Для калибровочной группы и(Ы) X и(2) получено неявное выражение для вероятности рождения пар при помощи эллиптических интегралов.

В главе 3 обсуждается связь между регуляризацией струнной сигма-модели и калибровочными симметриями эффективного низкоэнергетического действия. Действие струны в присутствии Dp-браны имеет вид:

где S(z,z) - мировая поверхность струны с топологией диска, а поля Х^ описывают вложение Е в 26-мерное пространство-время с метрикой и постоянным антисимметричным полем В^и,. Второй член - интеграл по границе диска - описывает взаимодействия струны с полями на бране: тахионом Т, векторным (калибровочным) полем Ац, и полями, отвечающим высшим струнным возбуждениям. Эффективное действие для полей на бране вычисляется при помощи статистической суммы струны:

JсРх С(а'\д,В,Т,А,...) = JVXe-s[a'W'A'-].

(15)

Для вычисления функционального интеграла надо знать регуляризованную

функцию Грина Q^" полей Х^ на границе диска:

Кроме того, необходимо регуляризовать контактные вклады от операторов Х(в) и Х{в') в совпадающих точках на границе. Простейший способ состоит в следующем: при вычислении таких корреляторов необходимо выбрасывать область \9 — 0'\ < 2S из интегрирования по границе. В зависимости от соотношения между параметрами е и S при снятии регуляризации возможны три случая:

1) е > 0, 5 0.

2) е —> 0, S > 0.

3) 6 = е tan <р, (р = const.

В первом случае эффективное действие (15) имеет U(1) калибровочную симметрию: и в простейшем приближении постоянных полей сводится к действию Дирака-Борна-Инфельда:

£вш= . Л ЛЕ±1 Vdet(g + 27to/(F + В)). (17)

В случаях 2 и 3 калибровочная симметрия эффективного действия становится неабелевой [7]. В пределе Зайберга-Виттена1 мы получаем следующие калибровочные преобразования:

{ т -*т+¿[А, т]*+i - i) е^Л. ¿u]* - га'^спЛ, ад*

где звездочка * обозначает некоммутативное произведение Мойяла, определенное для функций / и д как:

с параметром некоммутативности ©'"' = —4<ра'В1"'. Заменой переменных

можно привести

V -+ 0, а"" = const, а'В*™ = const

преобразования (18) к каноническому виду. Поскольку некоммутативное произведение включает производные, эффективное действие можно вычислить только к виде ряда по степеням Рщ, = дцА„ — д„Ац. Например, в приближении квазипостоянных полей

= Т = Т0 = const

лагранжиан, с точностью до членов пятого порядка, имеет вид:

Z[F, Т0] = е2*г° (1 +§ tr(FG)2 - £ tr(FQ)3 + i tr(F9)4+ + ^(tr(F9)2)2 + ^ tr(F9)5 + ^ tr(F©)2 tr(Fe)3 + 0{F*)) .

(20)

(21)

В главе 4 мы исследуем некоммутативные калибровочные симметрии-в рамках квантово-полевого подхода. Как показано в предыдущей главе, с точки зрения теории струн некоммутативные симметрии - артефакт регуляризации, поэтому следует ожидать существования преобразования полей, переводящего некоммутативные калибровочные симметрии в неабелевы. Поэтому крайне интересно построить такое преобразование явно. Оказывается, для этого следует рассмотреть некоммутативную Щ1) теорию Янга-Миллса на торе с периодическими граничными условиями. Действие имеет вид:

5 = —i- [ dx Рщ, * F^

9ncym J

(22)

где Рци = дцАу—диАц—¿[Л,,, Л,,]*. Для простоты рассмотрим двумерный тор Т2. Обобщение на случай старших размерностей не представляет труда благодаря следующему наблюдению: матрицу параметров некоммутативности, определяющую коммутатор координат можно привести к

виду:

где г - ранг матрицы вц,,. Таким образом, некоммутативная алгебра любого тора сводится к произведению некоммутативных алгебр двумерных торов. Далее, рассмотрим рациональные значения параметра некоммутативности для Т2:= Мб/и, Где м и N - взаимо простые целые числа. Любую функцию на некоммутативном торе можно разложить в ряд Фурье:

Экспоненты í/k — е играют роль генераторов некоммутативной алгебры:

[Üa, Ün.} = 2i sin Ün+n, = 2i sin(n x n') 0n+n> (25)

Оказывается , что коммутационные соотношения (25) совпадают с коммутационными соотношениями генераторов группы SU(N). Чтобы это увидеть, введем матрицы

где и = е27"^. Далее, определим набор матриц Jn согласно

Непосредственым вычислением проверяется, что [,/„, <7П/] = 2г sin (n X n') Ja+n' Набор унитарных унимодулярных N X N-матриц (27) достаточен для генерирования группы SU(N). Это позволяет установить соответствие между функциями на некоммутативном торе размера l при и Ц^-значными функциями на дульном торе размером с подкрученными граничными условиями, известное в математике как эквавалентность Мориты:

„mi

eimJa{nun2<N), е'

etNkx 1.

(28)

Воспользовавшись им, можно установить прямое соответствие между кали-бровочно-инвариантными наблюдаемыми ЩЯ) теории Янга-Миллса

на торе с подкрученными граничными условиями:

ЛЛ(х + 1„) = ПДх) Ах(х) + Ш,(х) 5\ П?(х) (30)

и калибровочно-инвариантными наблюдаемыми некоммутативной и(1) калибровочной теории при рациональном значении параметра некоммутативности. В частности, при этом петли Полякова переходят в некоммутативные открытые петли Ишибаши, Исо, Каваи и Кутазава.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

Основные результаты

1. Выведена двумерная конформная теория поля, позволяющая эффективно вычислять корреляционные функции в модели Весса-Зумино-Новико-ва-Виттена на сфере. Конформные блоки, из которых состоят корреляционные функции, совпадают с решениями уравнений Книжника-Замолодчико-ва, найденнными Шехтманом и Варченко. Получены интегральные выражения для корреляторов в случае алгебры 51(2) и описан метод их вычисления для простых алгебр Ли. Выдвинута гипотеза о виде корреляторов на рима-новых поверхностях старших родов.

2. Разработано описание процессов рождения пар заряженных частиц (^бозонов, монополей и др.) во внешних полях при помощи конфигураций D-бран в теории струн типа ПВ. Получено выражение для вероятности процесса с учетом струнных поправок с экспоненциальной точностью. Дано геометрическое представление процессов рождения материи в фундаментальном представлении и при конечной температуре. Описаны процессы индуцированного распада БПС-частиц во внешних полях, например переход W-бозона в дион и анти-монополь в постоянном магнитном поле. Исследовано поведение вероятности рождения пар в режиме сильной связи при помощи AdS/CFT соответствия. Получено неявное выражение для вероятности рождения пар для калибровочной группы в режиме сильной связи в терминах эллиптических интегралов.

3. Найдено двухпараметрическое семейство регуляризаций струнной сигма-модели, позволяющее интеполировать между абелевой и некоммутативной калибровочной симметрией в эффективном действии для тахионного и векторного полей.

4. Построено явное преобразование (отображение Мориты), переводящее поля и наблюдаемые некоммутативной теории Янга-Миллса на торе в со-

ответствующие поля и наблюдаемые обычной калибровочной теории на дуальном торе с подкрученными граничными условиями и обратно. Показано, что при этом поляковские петли переходят в некоммутативные вильсонов-ские петли ИИКК [8].

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. A. S. Gorsky, К. A. Saraikin, К. G. Selivanov, Schwinger typeprocesses via branes and theirgravity duals, Nucl.Phys. В 628 270-294, (2002).

2. К. А. Сарайкин, Комментарии к Морита-эквавалентности, ЖЭТФ 91, 755 (2000).

3. К. А. Сарайкин, Конформные блоки и корреляторы в бозонизованоймодели ВЗНВ, Письма в ЖЭТФ, 70 вып. 10, 648 (1999).

Цитируемая литература:

[1] J. Polchinski, "Dirichlet-Branes and Ramond-Ramond Charges," Phys. Rev. Lett. 75, 4724 (1995).

[2] E. Witten, "Bound states of strings and p-branes," Nucl. Phys. В 460, 335 (1996).

[3] J. M. Maldacena, "The large N limit of superconformal field theories and supergravity," Adv. Theor. Math. Phys. 2, 231 (1998).

[4] S. S. Gubser, I. R. Klebanov and A. M. Polyakov, "Gauge theory correlators from non-critical string theory," Phys. Lett. В 428, 105 (1998).

[5] E. Witten, "Anti-de Sitter space and holography," Adv. Theor. Math. Phys. 2, 253 (1998).

[6] A. A. Belavin, A. M. Polyakov and A. B. Zamolodchikov, "Infinite Conformal Symmetry In Two-Dimensional Quantum Field Theory," Nucl. Phys. В 241, 333 (1984).

[7] N. Seiberg and E. Witten, "String theory and noncommutative geometry," JHEP 9909, 032 (1999).

[8] N. Ishibashi, S. Iso, H. Kawai and Y. Kitazawa, "Wilson loops in noncommutative Yang-Mills," Nucl. Phys. В 573, 573 (2000).

[9] V. Schechtman, A. Varchenko, Hypegeometric solutions of Knizhnik-Zamolodchikov equations, Lett. Math. Phys. 20 279 (1990).

"14613

Введение

1 Двумерные конформные теории как теории свободных по

1.1 Введение.

1.1.1 Общие сведения

1.1.2 Конформный бутстрап.

1.1.3 Уравнения Книжника-Замолодчикова.

1.1.4 Алгебраические уравнения.

1.1.5 Бозонизация: лагранжев подход.

1.1.6 Алгебры Ли: представления со старшим весом.

1.1.7 Свободные поля и алгебры Каца-Муди

1.2 Вычисление корреляторов и конформных блоков.

1.2.1 Производящая функция примарных полей.

1.2.2 Конформные блоки: з1(2)

1.2.3 Конформные блоки: общий случай.

1.2.4 Корреляционные функции. 1.2.5 Тест результатов и новые интегральные тождества

1.3 Обсуждение.

2 Описание швингеровских процессов при помощи конфигураций бран

2.1 Введение.

2.2 Конфигурации бран, описывающие рождение пар во внешнем поле. ф 2.2.1 Предварительные сведения.

2.2.2 Рождение пар Ж-бозонов в 11(2) калибровочной теорий с точки зрения теории струн.

2.2.3 Рождение материи в фундаментальном представлении

2.2.4 Рождение монополь-антимонопольных пар.

2.2.5 Рождение пар при конечной температуре.

2.3 Распад БПС-частиц во внешних полях

2.4 Рождение пар в калибровочных теориях в пределе больших N и АсШ/СРТ соответствие

2.4.1 Режим сильной связи в Л/* = 4 калибровочной теории и

Л супергравитация.

2.4.2 Образование пар в N = 4 теории с калибровочной группой и(Ы)х11(1).

2.4.3 Образование пар в N = 4 теории с калибровочной группой и(Г*)хи(2).

2.5 Обсуждение.

3 Некоммутативные деформации в теории струн и квантовой теории поля

3.1 Введение.

3.2 Неабелева деформация 11(1) калибровочной симметрии.

4 3.2.1 Предел Зайберга-Виттена.

3.2.2 Тест: приближение квадратичных полей.

3.2.3 Переопределение полей.

4 Эквивалентность Мориты

4.1 Обозначения

4.2 Двумерный тор. и(1)\в=м. -»• и(Ы)

4.3 Тё. и(1)\в-+и(Ю х . х и№).

4.4 Т*.и(1)\в->и(1У).

4.5 Некоммутативная и обычная теории Янга-Миллса.

Актуальность темы. Роль симметрий в современной теоретической физике трудно переоценить. Классический пример среди теорий, построеных на основе принципа симметрий - это теория гравитации Эйнштейна, инвариантная относительно локальных преобразований координат. В квантовой теории поля симметрия лагранжиана диктует вид взаимодействий, определяет типы элементарных частиц и их заряды. Фундаментальную роль при описании взаимодействий элементарных частиц играют калибровочные симметрии, например, калибровочная группа 11(1) в КЭД и £77(3) в КХД. Однако, стандартные методы квантовой теории поля, такие как теория возмущений, зачастую оказываются недостаточными для описания наиболее интересных, непертур-бативных эффектов в калибровочных теориях, которые требуют знания поведения теории в режиме сильной связи. Здесь на помощь приходит терия струн, предоставляющая целый арсенал новых методов для исследования калибровочных теорий.

Теория струн (суперструн) является самосогласованной квантовой теорией, естественным образом объединяющей терию поля и гравитацию, и в настоящий момент насчитывает более чем тридцатипятилетнюю историю. В 1995 году, после появления работы Польчинского [1], произошла так называния вторая струнная революция. В результате был достигнут впечатляющий прогресс в понимании непертурбативных явлений и поведения теории струн в области сильной связи, основанный на внутренних симметриях, так называемых дуальностях, теории струн. При этом после появления работы Виттена [2] калибровочные терии получили простое геометрическое представление в виде конфигураций £)-бран разных размерностей. В частности, калибровочной группе £/(ЛГ) в 4 измерениях соответствует стопка из N параллельных .ОЗ-бран. Правильность такого подхода была продемонстрирована в работах Мальдасены [3], Губсера, Клебанова и Полякова [4], и Виттена [5] на примере так называемого АёЭ/СГТ соответствия, позволяющего описывать четырехмерную N = 4 суперсимметричную теорию Янга-Миллса при помощи теории струн типа ИВ на фоне метрики АйБ^ х 55. Естественно, эти примеры -только первые шаги на пути к полной картине, описывающей физику калибровочных теорий на языке теории струн. Таким образом, развитие струнного подхода к калибровочным теориям представляет актуальную и многообещающую проблему для исследования.

Помимо прогресса в описании калибровочных теорий, теория струн возродила интерес к конформным и некоммутативным симметриям. Напомним, что действие теории струн - это двумерная сигма-модель, описывающая отображения римановых поверхностей в ¿-мерное пространство-время. Среди симметрий этого действия есть и инвариантность относительно конформных преобразований. Группа конформных симметрий в двух измерениях бесконечномерна, и это накладывает очень сильные ограничения на теории с такой симметрией. Воспользовавшись этим, в 1984 году Белавин, Поляков и Замолодчиков [6] сформулировали новый подход к конформным теориям, в котором точные ответы, например, корреляционные функции, получаются как решения специальных уравнений, следующих из конформной симметрии. В физике конформная симметрия часто проявляется в точках фазового перехода термодинамических систем, например, в критической точке ферро-магнетных систем и более общих спиновых систем на решетках. Огромный интерес конформные теории вызывают у математиков, поскольку приводят к интересным бесконечномерным алгебрам: алгебрам Каца-Муди, вершинным алгебрам и др. Методы конформной теории поля, разработанные в контексте теории струн, находят здесь обширное применение.

В 1999 году, благодаря работе Зайберга и Виттена [7], стали активно изучаться некоммутативные симметрии в теории поля. Такие симметрии возникают при рассмотрении пространств, координаты на которых не коммутируют. Классической пример некоммутативного пространства - фазовое пространство квантовой механики: обобщенные координаты подчиняются соотношению неопределенности [р, д] = С точки зрения теории струн квантовые теории поля на таких пространствах возникают при выборе специальной регуляризации. Помимо изучения новых нетривиальных свойств теорий с некоммутативной симметрией представляет непосредственный интерес вопрос об их связи с обычными калибровочными теориями, которые можно получить из теории струн при стандартной регуляризации струнной сигма-модели. Действительно, физические свойства теории не должны зависеть от выбора регуляризации, поэтому можно ожидать, что есть соответствие между некоммутативными и обычными калибровочными симметриями. Оказывается, что в некоторых случаях (например, для квазипериодических граничных условий) можно предъявить примеры, когда такое соответствие удается построить явно. Кроме того, интересно проследить эту связь и на уровне действия струнной сигма-модели.

Целью работы являлось:

1. Изучение корреляционых функций в модели Весса-Зумино-Новикова-Виттена и вычисление конформых блоков - голоморфных составляющих корреляционых функций, при помощи бозонизации.

2. Исследование процессов Швингеровского типа в калибровочных теориях с точки зрения теории струн и представление непетурбативных процессов рождения частиц во внешних полях при помощи конфигураций бран.

3. Изучение связи между регуляризацией сигма модели для открытых струн и калибровочной симметрией ее эффективного низкоэнергетического лагранжиана.

4. Исследование некоммутативной теории Янга-Миллса на торе. Построение явного преобразования, переводящего поля и наблюдаемые некоммутативной теории в соответствующие поля и наблюдаемые обычной калибровочной теории Янга-Миллса с группой симметрии II (Ы).

Научная новизна работы заключается в следующих оригинальных результатах, которые выносятся на защиту:

1. Описана двумерная конформная теория поля, позволяющая эффективно вычислять корреляционные функции в модели Весса-Зумино-Новикова-Виттена на сфере. При этом корреляционные функции автоматически представляются в виде комбинаций голоморфных составляющих - конформных блоков, удовлетворяющих уравнениям Книжника-Замолодчикова. Выдвинута гипотеза о виде корреляторов на римановых поверхностях старших родов.

2. Разработано описание непертурбативных процессов рождения частиц в калибровочных теориях поля с точки зрения бранных конфигураций в теории струн.

3. Найдено двухпараметрическое семейство регуляризаций струнной сигма-модели, позволяющее интеполировать между абелевой и некоммутативной калибровочной симметрией в эффективном действии для тахионного и векторного полей.

4. Построено явное преобразование (отображение Мориты), переводящее поля и наблюдаемые некоммутативной теории Янга-Миллса на торе в соответствующие поля и наблюдаемые обычной калибровочной теории на дуальном торе с подкрученными граничными условиями и обратно. Показано, что при этом поляковские петли переходят в некоммутативные вильсоновские открытые петли ИИКК [8].

Структура диссертации такова:

В Главе 1 выведена двумерная конформная теория поля, позволяющая эффективно вычислять корреляционные функции в модели Весса-Зумино-Новикова-Виттена на сфере. Конформные блоки, из которых состоят корреляционные функции, вычислены при помощи бозонизации и совпадают с решениями уравнений Книжника-Замолодчикова, найденнными Шехтманом и Варченко. Получены интегральные выражения для корреляторов в случае алгебры в1(2) и описан метод их вычисления для простых алгебр Ли.

В Главе 2 разработано описание процессов рождения пар заряженных частиц (\¥-бозонов, монополей и др.) во внешних полях припомощи конфигураций £>-бран в теории струн типа ПВ. Получено выражение для вероятности процесса с учетом струнных поправок с экспоненциальной точностью. Дется геометрическое представление процессов рождения материи в фундаментальном представлении и при конечной температуре. Описаны процессы индуцированного распада БПС-частиц во внешних полях, например переход И^-бозона в дион и анти-монополь в постоянном магнитном поле. Исследовано поведение вероятности рождения пар в режиме сильной связи при помощи АсШ/СРТ соответствия. Получено неявное выражение для вероятности рождения пар для калибровочной группы II(Ы) х 11(2) в режиме сильной связи в терминах эллиптических интегралов.

В Главе 3 обсуждается связь между регуляризацией струнной сигма-модели и калибровочными симметриями эффективного низкоэнергетического действия. Найдено двухпараметрическое семейство регуляризаций струнной сигма-модели и переопределение полей, позволяющие интеполировать между абелевой и некоммутативной калибровочной симметрией в эффективном действии для тахионного и векторного полей, описывающем наинизшие возбуждения бозонной струны

В Главе 4 исследованы некоммутативные калибровочные симметрии в рамках квантово-полевого подхода. Построено явное преобразование (отображение Мориты), переводящее поля и наблюдаемые некоммутативной теории Янга-Миллса на торе с периодическими граничными условиями при рациональном значении параметра некоммутативности, в соответствующие поля и наблюдаемые обычной калибровочной теории на дуальном торе с подкрученными граничными условиями и обратно. С точки зрения некоммутативной геометрии эта связь является проявлением эквивалентности Мориты. Показано, что при этом поляковские петли обычной теории Янга-Миллса переходят в некоммутативные вильсоновские петли, введенные Ишибаши, Исо, Каваи и Китазавой [8].

В Заключении сформулированы результаты работы.

Работа выполнена в Институте теоретической физики им. Л. Д. Ландау Российской Академии Наук.

Основные результаты диссертации докладывались на научных семина-« рах ИТФ им. Л.Д. Ландау, ИТЭФ, ФИАН и ИЯИ; международной школе "Симметрии и интегрируемые системы "(Дубна, 1999), Международной летней школе-семинаре по современым проблемам теоретической и математической физики (Казань, 1999), Бретанской конференции по физике высоких энергий (Гидель, Франция 2000). Л По теме диссертации опубликовано три работы, список которых приведен в конце диссертации. т

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

1. Выведена двумерная конформная теория поля, позволяющая эффективно вычислять п-точечные корреляционные функции в модели Весса-Зумино-Новикова-Виттена на сфере при произвольном значении уровня к. Предложено выражение для производящей функции примарных полей. Конформные блоки, из которых состоят корреляционные функции, вычисленные при помощи производящих функций, совпадают с решениями уравнений Книжника-Замолодчикова, найденнными Шехтманом и Варченко. Получены явные интегральные выражения для корреляторов в случае алгебры в1(2) и описан метод их вычисления для простых алгебр Ли. Выдвинута гипотеза о виде корреляторов на римановых поверхностях старших родов.

2. Разработано описание процессов рождения пар заряженных частиц (\¥-бозонов, монополей и др.) во внешних полях при помощи конфигураций И-бран в теории струн типа ПВ. Получено выражение для вероятности процесса с учетом струнных поправок с экспоненциальной точностью. Дано геометрическое представление процессов рождения материи в фундаментальном представлении и при конечной температуре. Описаны процессы индуцированного распада БПС-частиц во внешних полях, например переход И^-бозона в ди-он и анти-монополь в постоянном магнитном поле. Исследовано поведение вероятности рождения пар в режиме сильной связи при помощи Ас18/СРТ соответствия. Получено получено неявное выражение для вероятности рождения пар для калибровочной группы и(./V) х 11(2) в режиме сильной связи в терминах эллиптических интегралов.

3. Найдено двухпараметрическое семейство регуляризаций струнной сигма-модели, позволяющее интеполировать между абелевой и некоммутативной калибровочной симметрией в эффективном действии для тахионного и векторного полей.

4. Построено явное преобразование (отображение Мориты), переводящее поля и наблюдаемые некоммутативной теории Янга-Миллса на торе в соответствующие поля и наблюдаемые обычной калибровочной теории на дуальном торе с подкрученными граничными условиями и обратно. Показано, что при этом поляковские петли переходят в некоммутативные вильсоновские петли ИИКК [8].

Благодарности

Я глубоко благодарен своему научному руководителю И.В. Полюбину за всестороннюю поддержку, без которой было бы невозможным создание дис-. сертации. *

Я многому обязан1 А.Ю. Морозову, постоянное внимание которого и подробное обсуждение многих вопросов, связанных с темой диссертации, оказали сильное влияние на мою работу.

Я признателен своим учителям в ИТФ: A.A. Белавину, С.Н. Вергелесу, A.C. Иоселевичу, A.B. Кашубе, С.А. Крашакову, Е.А.Кузнецову, М.Ю. Дашкевичу, В.В Лебедеву, В.Г. Марихину, В.П. Минееву, М.А. Скворцову, М.А. Фейгельману и Л.Н.Щуру за расширение кругозора в теоретической физике.

Отдельно хочется поблагодарить A.C. Горского и К.Г. Селиванова, в соавторстве с которыми были получены результаты главы 2, а также A.A. Герасимова, А.Д. Миронова и A.C. Лосева за внимание к работе и ценные советы.

Я признателен Э.Т. Ахмедову, Д.М.Белову, И.С. Бурмистрову, С.Г. Гу-кову, В.А. Долгушеву, A.B. Забродину, И.Р. Клебанову, А.Ю. Котову, Д.Р. Лебедеву, A.M. Левину, С.А. Локтеву, Ю.М. Макеенко, H.A. Некрасову, М.А. Олыпанецкому, П.М. Островскому, A.A. Рослому, С.М. Харчеву, С.М. Хо-рошкину, A.B. Червову, и многим другим за интересные научные дискусии.

Мне приятно поблагодарить Е.С. Суслову за техническую поддержку и создание рабочей атмосферы, а также мою жену Ирину за помощь и понимание.

Работа над диссертацией проходила при финансовой поддержке грантов РФФИ №98-02-16575 и №01-02-17488; Президента РФ №00-15-99296; INTAS №99-590; фонда Landau Scholarship от Forschungszentrum Jülich.

Публикации автора по теме диссертации

1. A. S. Gorsky, К. A. Saraikin, К. G. Selivanov, Schwinger type processes via branes and their gravity duals, Nucl.Phys. В 628 270-294, (2002).

2. К. А. Сарайкин, Комментарии к Морита-эквивалентности, ЖЭТФ 91, 755 (2000).

3. К. А. Сарайкин, Конформные блоки и корреляторы в бозонизованой модели ВЗНВ, Письма в ЖЭТФ, 70 вып. 10, 648 (1999).

Заключение

1. J. Polchinski, Phys. Rev. Lett. 75, 4724 (1995).

2. E. Witten, Nucl. Phys. В 460, 335 (1996).

3. J. M. Maldacena, Adv. Theor. Math. Phys. 2, 231 (1998).

4. S. S. Gubser, I. R. Klebanov and А. M. Polyakov, Phys. Lett. В 428, 105 (1998).

5. E. Witten, Adv. Theor. Math. Phys. 2, 253 (1998).

6. А. A. Belavin, А. M. Polyakov and А. B. Zamolodchikov, Nucl. Phys. В 241, 333 (1984).

7. N. Seiberg and E. Witten, JHEP 9909, 032 (1999).

8. N. Ishibashi, S. Iso, H. Kawai and Y. Kitazawa, Nucl. Phys. В 573, 573 (2000).

9. К. А. Сарайкин, Письма в ЖЭТФ, 70 вып.Ю, 648 (1999). 10] А. Polyakov, JETP Lett, 12 538 (1970).

10. И. А. Polyakov, JETP, 66 23 (1974).

11. Е. Witten, Comm. Math. Phys. 92 455 (1984).

12. С. Новиков, УМН 32 3 (1982)

13. А. Polyakov, Р. Wiegmann Phys. Lett. 131В 121 (1983)

14. A. Polyakov, P. Wiegmann, Phys. Lett. 141B 223 (1984)

15. V. Knizhnik, A. Zamolodchikov, Nucl. Phys. B247 83 (1984)

16. P. Goddard, A. Kent, D. Olive, Phys. Lett. 152B 88 (1985)

17. В. Дринфельд, В. Соколов, Соверменные проблемы математики, (ВИНИТИ СССР), с. 24, 81 (1984)

18. G. Мооге, N. Seiberg, Phys. Lett. В220 422 (1989)

19. Е. Witten, Commun. Math. Phys. 121, 351 (1989)

20. K. Gawedzki, Nucl. Phys. B328, 733 (1989).

21. K. Gawedzki, Karpacz 1989, Proc., "Functional integration, geometry and strings", 277-302.

22. D. Gepner, E. Witten, Nucl. Phys. B278 493 (1986)

23. K. Gawedzki, ArXiv: hep-th/9904145.

24. D. Bernard, Nucl. Phys. B303 77 (1988)

25. D. Bernard, Nucl. Phys. B309 145 (1988).

26. D. Ivanov, Int.J.Mod.Phys. A10 (1995) 2507.

27. N. Nekrasov, Commun. Math. Phys. 180 587 (1996)

28. D. Ivanov, ArXiv: hep-th/9610207

29. А. Маршаков, А. Миронов, Двумерные конформные теории 6 лет прогресса (Материалы XXV зимней школы ЛИЯФ), ЛИЯФ, 1990

30. VI. Dotsenko, Adv. Stud, in Pure Math. 16 123 (1988).

31. A. Gerasimov, A. Marshakov, A. Morozov, M. Olshanetskii, S. Shatashvili, Int. J. Mod. Phys. A5 2495 (1990)

32. J. Rasmussen, Ph.D. thesis, ArXiv: hep-th/9610167

33. J. Petersen, J. Rasmussen and M. Yu, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 49 (1996) 27

34. J. Petersen, J. Rasmussen and M. Yu, Nucl. Phys. B502 (1997) 649

35. R. Flume, Proc. of Int. Summer School on Conformal Invariance String Theory, Brasov, Romania, Sep 1-12, 1987.

36. A. Zamolodchikov, V. Fateev, Sov. J. Nucl. Phys. 43 657 (1986), Yad. Fiz. 43 1031 (1986)

37. A. Alekseev, S. Shatashvili, Nucl. Phys. B323, 719 (1989).

38. VI. Dotsenko, V. Fateev, Nucl. Phys. B240 312 (1984)

39. VI. Dotsenko, V. Fateev, Nucl. Phys. B251 691 (1985)

40. B. Feigin, D. Fuks, Funct. Anal. Appl. 17 241 (1983)

41. V. Schechtman, A. Varchenko, Invent. Math., 106 139 (1991)

42. V. Schechtman, A. Varchenko, Lett. Math. Phys. 20 279 (1990).

43. P. Etingof, I. Frenkel, A. Kirillov, Lectures on representation theory and Knizhnik-Zamolodchikov equations

44. H. Awata, Prog. Theor. Phys. Suppl. 110 (1992) 303

45. H. Awata, A. Tsuchiya and Y. Yamada, Nucl. Phys. B365 (1991) 680;

46. G. Felder, R. Silvotti, Phys. Lett. B231 411 (1989)

47. B. Feigin, V. Schechtman, A. Varchenko, Comm. Math. Phys. 163,173 (1994)

48. M. Olshanetsky and A. Perelomov, Inv. Math. 31 (1976) 93.

49. J. Schwinger, Phys. Rev. 82, 664 (1951).

50. I. K. Affleck and N. S. Mantón, Nucl. Phys. B 194, 38 (1982).

51. J. D. Brown and C. Teitelboim, Phys. Lett. B 195 (1987) 177.

52. F. Dowker, J. P. Gauntlett, G. W. Gibbons and G. T. Horowitz, Phys. Rev. D 53, 7115 (1996) ArXiv: hep-th/9512154.

53. C. P. Burgess, Nucl.Phys. B294 (1987) 427.

54. C. Bachas and M. Porrati, Phys. Lett. B 296, 77 (1992)

55. J. Ambjorn, Y. M. Makeenko, G. W. Semenoff and R. J. Szabo, ArXiv: hep-th/0012092.

56. I. K. Affleck and F. De Luccia, Phys. Rev. D 20, 3168 (1979).

57. I. K. Affleck, O. Alvarez and N. S. Manton, Nucl. Phys. B 197, 509 (1982).

58. K.Selivanov and M.Voloshin, ZHETP.Lett. 42 (1985) 422

59. I. Krive and A. Rozhavsky, Sov.J.Low.Temp. 6 (1980) 1272

60. A. Gorsky and V. Kiselev, Phys.Lett. B 304 (1993) 214

61. A. Gorsky and K. Selivanov, Nucl. Phys. B 571, 120 (2000)

62. R. C. Myers, JHEP 9912, 022 (1999)

63. A. S. Gorsky, K. A. Saraikin, K.G. Selivanov, Nucl.Phys. B 628 270-294, (2002).

64. J. Maldacena, Phys. Rev. Lett. 80 (1998) 4859

65. S. J. Rey and J. Yee, ArXiv: hep-th/9803001.

66. J. K. Erickson, G. W. Semenoff and K. Zarembo, Nucl. Phys. B 582, 155 (2000)

67. N. Drukker and D. J. Gross, ArXiv: hep-th/0010274

68. D. J. Gross and H. Ooguri, Phys. Rev. D 58, 106002 (1998)

69. K. Zarembo, Phys. Lett. B 459, 527 (1999)

70. P. Olesen and K. Zarembo, ArXiv: hep-th/0009210,

71. K. Zarembo, JHEP 0103, 042 (2001)

72. J. Polchinski, String Theory, Vol. 1,2. Cambridge, UK: Univ. Pr. (1998).

73. Abouelsaood, A., Callan, C.G., Nappi, C.R., and Yost, S.A. 1987, Nucl. Phys. B, 280 FS 18], 599.

74. S. Gukov, I. R. Klebanov and A. M. Polyakov, Phys. Lett. B 423, 64 (1998)

75. A. Sen, "F-theory and Orientifolds," Nucl. Phys. B 475 (1996) 562

76. A. Hashimoto and N. Itzhaki, Phys. Lett. B 465, 142 (1999)

77. J. M. Maldacena and J. G. Russo, Class. Quant. Grav. 17 (2000) 1189.

78. D. Berenstein, R. Corrado, W. Fischler and J. Maldacena, Phys. Rev. D 59, 105023 (1999)

79. N. Drukker, D. J. Gross and H. Ooguri, Phys. Rev. D 60, 125006 (1999)

80. Chapter 17, "Elliptic Integrals"of M. Abramowitz and I. Stegun, "Handbook of Mathematical Functions." Dover Publications Inc., New York, 1046 p., (1965).

81. A. Connes, M. R. Douglas and A. Schwarz, JHEP 9802, 003 (1998)

82. N. Nekrasov and A. Schwarz, Commun. Math. Phys. 198, 689 (1998)

83. M. Kontsevich, ArXiv: q-alg/9709040.

84. A. S. Cattaneo and G. Felder, Commun. Math. Phys. 212 (2000) 591

85. A. Schwarz, Nucl. Phys. B534, 720 (1998)

86. G. Landi, F. Lizzi and R. J. Szabo, ArXiv: hep-th/991213088 89 [90 [91 [92 [93 [94 [9596