Квантовая аномалия в струнных теориях, взаимодействующих с фоновыми полями тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

2 1 Д^ I-"'

На правах рукописи

Мищук Богдан Ростиславович

Квантовая аномалия в струнных теориях, взаимодействующих с фоновыми полями

01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск - 1998

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Томского государ ственного педагогического университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Бухбиндер И.Л. кандидат физико-математических наук, доцент Першин В.Д.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Лавров П.М. кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Беломытцев С.Я.

Ведущая организация: Томский политехнический университет

Защита состоится "_"_ 1998 г. в_час._мин

на заседании диссертационного совета К.113.77.01. по присуждению ученье степеней по специальности 01.04.02 (теоретическая физика) в Томском госу дарственном педагогическом университете (634041, Томск, Комсомольски] пр. 75, ауд. 335).

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского го сударственного педагогического университета.

Автореферат разослан "_"_ 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук, __ ^—

доцент С'ял и У Разина Г.К

У

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации

Одна из основных проблем теории струн состоит в описании струнного взаимодействия. Известны несколько различных подходов к этой проблеме. Первых и наиболее разработанный - метод древесных амплитуд. В этом методе постулируется вид вершинных операторов и вычисляются амплитуды для произвольных диаграмм. Известен способ изучения взаимодействия струн в рамках полевой теории струн. Такое описание представляет собой вторично-квантованную теорию, которая является расширением известной в квантовой теории поля процедуры построения вторично- квантованной (или полевой) теории для точечных частиц. Также, одним из основных методов изучения струнного взаимодействия является сигма-модельный подход. Этот метод представляет собой по-существу 2-мерную теорию поля, что позволяет использовать для ее описания методы квантовой теории поля.

Известно, что практически все струнные модели являются аномальными. В рамках а—модельного подхода, при функциональном ковариантном кван-тованиии требование сокращения квантовой аномалии является источником эффективных уравнений движения, которые представляют собой ограничения на фоновые поля. Аномалия же возникает как нарушение вейлевской инвариантности квантового эффективного действия.

Другим способом построения квантовой теории является обощенное каноническое квантование (ВНБТ-ВРУ метод). В нем в качестве фундаментального принципа построения квантовой теории используется требование ВПБТ симметрии. Источником аномалии в этом подходе является возможное нарушение квантовых производящих уравнений калибровочной алгебры. Обобщение метода канонического квантования для струны, взаимодействующей с фоновыми полями, является нетривиальной задачей, поскольку теория становится нелинейной и требуется строить адекватную задаче теорию возмущений. При квантовании в рамках ВЕБТ-ВРУ метода струны взаимодействующей с фоновыми полями (дилатоном, тахионом, полями высших массивных уровней) нарушается вейлевская инвариантность классического действия, соответствующие связи первого рода исчезают, становится невозможным построить производящий оператор калибровочной алгебры и, тем самым возникает проблема построения квантовой формулировки теории. Подобных проблем не возникает при квантовании свободной струны, а также теории струны, взаимодействующей с безмассовыми гравитоном и антисимметричным тензором, которая на классическом уровне обладает

тем же набором симметрии, что и свободная струна. Конечно, конкретный механизм возникновения аномалий, а, следовательно, и условий на фоновые поля, зависит от используемого подхода. Естественно полагать, что различные подходы применяемые к одной и той же теории должны приводить к совпадающим или, по крайней мере непротиворечивым результатам.

Данная работа посвящена исследованию алгебраической структуры квантовой аномалии в теориях струн взаимодействующих с фоновыми полями в рамках метода обобщенного канонического квантования и по-существу связана с исследованием ограничений на возможную форму аномалии допустимой общими принципами ВИБТ-ВРУ квантования с учетом возможного произвола.

Цель работы

Цель диссертационной работы заключалась в решении следующих задач:

- Изучить алгебраическую структуру квантовых аномалий в теориях струн, взаимодействующих с фоновыми полями, в рамках метода обобщенного канонического квантования.

- Построить процедуру получения квантовой аномалии для двумерных <7—моделей общего вида, описывающих взаимодействие струн с фоновыми полями.

- Получить в рамках обобщенного канонического квантования формулировку квантовой теории для замкнутой бозонной струны, взаимодействующей с набором безмассовых фоновых полей. Найти в этой теории общий вид аномалии и условия ее отсутствия.

- Исследовать связь между каноническим квантованием струнных моделей в фоновых полях и ковариантным квантованием с помощью метода функционального интегрирования.

- Получить общий вид квантовой аномалии в рамках ВЕБТ-ВРУ метода для теории фермионной струны, взаимодействующей с фоновым гравитационным полем в терминах модели Неве-Шварца-Рамона (N311 модели).

Научная новизна и практическая ценность работы

В работе впервые в максимально общем виде изучена квантовая аномалия теорий струн в фоновых полях в контексте обощенного канонического квантования.

С использованием (супер)тождества Якоби получено новое условие совместности квантовых теорий струн, взаимодействующих с безмассовыми фоновыми полями. Это условие является каноническим аналогом хорошо

известного в ковариантном подходе условия совместности Весса-Зумино. Таким образом продемонстрировано, что, алгебраический подход к аномалии, основанный на (супер)тождестве Якоби, представляет собой альтернативный путь получения и исследования квантовых аномалий в теории струн.

Найдено, что аномалия всегда имеет когомологическую природу и определяется нетривиальным когомологическим классом решений уравнения, установленного в дисертации, которое является полностью независящим от калибровки и выбора регуляризационной схемы. Получены алгебраические соотношения, определяющее однопетлевые и высшие квантовые поправки к аномалии.

К теории струны, взаимодействующей с безмассовыми фоновыми полями, впервые применена схема построения квантовой аномалии максимально общего вида, не апеллирующая к каким-либо пертурбативным методам вычислений, а использующая лишь условия размерности и свойства симметрии теории. Это позволяет записать анзац для квантовой аномалии с точностью до нескольких произвольных функций.

Разработанный подход применен к теории замкнутой бозонной струны взаимодействующей с безмассовыми фоновыми полями, и к N311 модели фермионной струны, взаимодействующей с фоновым гравитационным полем. Изучена взаимосвязь результатов, полученных в предоженном подходе, с с хорошо известной в рамках ковариантного подхода структурой условия квантовой вейлевской инвариантности рассматриваемой модели. На основе предложенного подхода для фермионной струны, взаимодействующей с фоновым гравитационным полем, впервые построен анзац для квантовой аномалии и найдена нетривиальная когомология решений уравнений на аномалию. Тем самым получен общий вид квантовой аномалии для данной теории.

Разработанный в работе общий подход может быть использован для изучения произвольных струнных моделей, в том числе для струн, взаимодействующих с массивными фоновыми полями, а также в любых моделях теории поля, содержащих квантовые аномалии.

Публикации

Материалы, изложенные в диссертации, опубликованы в б работах.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из Введения, трех глав, Заключения, двух приложений и списка литературы, содержащего 108 наименований. Общий объем составляет 106 страниц.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность выбранной темы, изложен литературный обзор и дано краткое описание структуры диссертации.

В первой главе диссертации "Теория струн и квантование" рассмотрены бозонные и фермионные модели струн взаимодействующих с фоновыми полями и приведены основные методы квантования применяемые при из-ученнии подобных теорий.

В первом разделе рассматривается бозонная струна в фоновых полях. Исследуется модель бозонной струны взаимодействующей с набором безмассовых полей - симметричным тензором GtlL/(x) или гравитоном, антисимметричным тензорным полем А^(х) и скалярным полем ф(х) - полем дилатона и действием вида:

5 = -^{¡¿Ч^Ч^дахХдьх'С.Л*),

+ /d^ ^дах'дъх'А^х)

+ а' Jd2Z V4 Я{2)Ф(х)} (1)

где еаЪ - двумерный полностью антисимметричный тензор, Д'2' - скалярная кривизна для метрики g¡¡ь.

В отсутствие дилатона теория является конформно-инвариантной. В общем же случае, классическая конформная инвариантность отсутствует, но может быть восстановлена на квантовом уровне.

Во втором разделе дана классическая формулировка фермионной струны взаимодействующей с безмассовыми фоновыми полями в рамках формализма Неве - Шварца - Района (NSR) и приведены все симметрии для рассматриваемого действия.

В третьем разделе приведены сведения о перенормировке модели замкнутой бозонной струны взаимодействующей с безмассовыми фоновыми полями. Рассмотрена перенормировка соответствующих составных операторов, получение /3-функций и эффективных уравнений движения фоновых полей, следующих из условия квантовой конформной инвариантности.

В четвертом разделе дан краткий обзор общих подходов обобщенного канонического квантования калибровочных теорий со связями. В рамках этого подхода все компоненты поля, включая те которые соответствуют чисто калибровочным степеням свободы, трактуются как равноправные динамические операторы. Для компенсации квантовых эффектов, индуцированных калибровочными операторами, вводятся дополнительные локальные

поля - госты (?,духи"). Основными объектами описываемого подхода являются фермионный производящий оператор П или ВКБТ заряд и бозонный производящий оператор Н или гамильтониан. Уравнения

[П, П] = 0 (2)

[Я, П] = 0 (3)

являются основными соотношениями БРСТ-БФВ метода и называются производящими уравнениями калибровочной алгебры.

В ПЭТ заряд строится по правилу: с каждой связью ассоциируется пара канонически сопряженных гостов (т]а,'Ра) статистика которых противоположна статистике связей. Таким образом

п = (4)

0 * аЪс

где /¿—структурные постоянные, не зависящие от канонических переменных.

Квантовый аналог соотношений (3,3) после подстановки (супер)коммутаторов вместо (градуированных) скобок Пуассона и замены функций операторами в виду возможности появления различных аномалий и имеющей место проблемы упорядочения, требует специального рассмотрения.

Во второй глазе диссертации "Квантовая аномалия в струнных теориях" изучаются общие свойства квантовой аномалии в рамках ВКБТ-ВРУ подхода в контексте струнных теорий взаимодействующих с фоновыми полями.

В первом разделе исследуются общие свойства квантовой аномалии.

При переходе к квантовой теории величины Пи Н должны быть некоторым образом регуляризованы. Однако при этом квантовые расширения производящих уравнений калибровочной алгебры могут быть аномальны

[П, П] = АфО, (5)

Операторы А и Ац называются операторами аномалии.

Аномалия должна удовлетворять определенным алгебраическим условиям, каковыми в ковариантном подходе являются условия совместности Вес-са - Зумино. Для получения канонического аналога условий совместности Весса-Зумино используем (супер)тождество Якоби. В результате егои применения, мы получаем:

[ а [ п, п ]] = о. (6)

[fp П] + [П,[П, Ят]] = 0 (7)

Hj- полный гамильтониан Нт = Нс + [О.. Ф] , здесь Нс - классический гамильтониан, аФ - калибровочный фермион.

Соотношения (6,7) могут быть записаны следующим образом

SA = О (8)

М„ = 1« ,„

где S - оператор BRST преобразования определенный как SB — [ ST2, В ], г В - некоторый произвольный оператор.

Из уравнений (8, 9) следует, что аномалия имеет когомологическую природу и определяется нетривиальными когомологическим классом решении уравнения (8), полностью независящего от калибровки и регуляризационной схемы. Уравнение (8) можно рассматривать как уравнение на оператор А и использовать его для получения общего вида аномалии в рамках BRST-BFV подхода. Заметим, что каноническое квантование теории сталкивается с проблемой упорядочения (перенормировки) операторов интересующю нас велечин. Однако, известен мощный формальный аппарат позволяющих учесть эффект упорядочения операторов при каноническом квантовании Этот аппарат формулируется в терминах символов операторов.

Обозначим как А символ соответствующий оператору аномалии А. Урав нение для символа оператора аномалии, соответствующее операторном} уравнению (8) имеет вид

sa = о, (ю;

где оператор 5 имеет структуру

„ 00

5 = £ hnSn. (И

п=0

Здесь ¿о = S представляет собой оператор классического каноническог* BRST - преобразования 5аС = {С, здесь С - некоторый произвольны! функционал канонических переменных, а /л - постоянный параметр преоб разования. Показано, что уравнение (10) может быть записано в следующеа виде

8А\ = 0, (12

SAn = G„, п > 2 (13

где

Gn = Е ¿mAi-m- (14

га = 1

Уравнение (12) определяет однопетлевую квантовую аномалию, а уравнения (13) позволяют найти высшие квантовые поправки к аномалии.

Во втором разделе исследуется вопрос о структуре высших квантовых поправок к аномалии. Детально исследуется уравнение (13) Сображения локальности позволяют записать это уравнение в виде

JaW=5(»)+^x(B), (15)

где х'"' - некоторая функция. Используя тот факт, что = 0, и при-

нимая во внимание, что гостовская структура для Ja'"' известна, а также извесны расмерность и гостовское число всех необходимых величин показано,что уравнения (13), определяющие высшие квантовые поправки к аномалии, сводятся к уравнению

6Ап = О, (16)

которое как мы видим полностью повторяет уравнение определяющее одно-петлевой вклад.

В третьем разделе формулируются в общем виде метод построения общего вида квантовой аномалии как нетривиальной BRST когомологии в рамках обобщенного канонического квантования.

Поскольку Л является интегралом по пространственной координате струны уравнение (12) можно переписать в виде

Е Sat = д„х, (17)

¡=0

где х - некоторая произвольная функция. Для того, чтобы правильным образом воспроизводить структуру левой части последнего соотношения, функция х должна иметь вид суммы, причем каждое из слагаемых есть произведение некоторой функции только гостов - (ghost) на некоторую функцию -(funс). В результате уравнение (17) приобретает вид

£ Sa; = Z[(ghost)' (/une) + (ghost) (func)']. (18)

¡=0

Для дальнейшего решения уравнения (18) необходимо иметь выражение для общего вида аномалии. В термина символов мы будем иметь следующее соотношение:

00

A = r]arlbYihnKb2- (19)

п=2

х'де Aah - аномалия коммутатора операторов связей теории.

Для конкретной теории возможен более глубокий анализ. Так, основыва-. ясь на симметрийных свойствах алгебры связей и зная размерность основных объектов теории, в теории струн имеет место следующее представление

dim Д

= Е fJ(n){°-°') (20)

п=0

где /„ - произвольные функции координат, импульсов и, возможно, некоторых внешних полей с известной размерностью. Это представление (20) позволяет выписать анзац для аномалии с точностью до нескольких произвольных функций. Более того, знание размерности этих функций дает возможность построить их в общем виде, используя основные размерные обекты рассматриваемой теории. Требование выполнения уравнения (18) резко уменьшает количество имеющихся произвольных функций и тем самым мы можем получить выражение для общего вида квантовой аномалии.

В четвертом разделе разобран метод построения калибровочно инва-риантниой квантовой формулировке по некалибровочно-инвариантной классической теории.

В третьей главе "Структура квантовой аномалии в теории бозонной струны взаимодействующей с безмассовыми фоновыми полями" исследуется проблема квантовой аномалии для теории бозонной струны взаимодействующей с безмассовыми фоновыми полями.

В первом разделе строится классическая формулировка теории бозонной струны взаимодействующей с безмассовыми фоновыми полями.

Бели в модели струны с дилатоном рассматривать компоненты двумерной метрики даь как динамические переменные на равном основании с координатами то уже на классическом уровне в теории появляется дополнительней! физическая степень свободы — конформная мода двумерной гравитации. Только в случае тривиального дилатона ф = const, который по составу симметрии и связей классической теории совпадает с теорией свободной струны, эта мода отсутствует. Для того, чтобы построить каноническую формулировку теории струны в фоновых полях, необходимо считать компоненты двумерной метрики даь внешними полями. Это является каноническим аналогом процедуры Полякова, когда функциональное интегрирование проводится только по струнным координатам (г, <т) полагая д^ постоянной, после чего оставшееся интегрирование по компонентам метрики gab сводится к конечномерному интегралу по параметрам, определяющим топологию струнного мирового листа.

Гамильтониан теории имеет вид:

Я = ЛГТ0 + МТ,. (21)

Здесь

То = + + + (22)

+ АЪА^х'Ь+дпПМф Т, = р^'".

и введены обозначения

м = (23>

В отличие от теории свободной струны величины То, Т\ не являются связями, а гамильтониан явно зависит от времени Н = Н(г, <т) через компоненты метрики.

Введем линейные комбинации То и Т\ по следующему правилу:

Ь = 1 = ±(Т0+Тг) (24)

В присутствие дилатона алгебра объектов Ь, Ь не замкнута уже на классическом уровне,и сводятся к хорошо известной алгебре Вирасоро в случае ф(х) = 0 .

Во втором разделе изучаются условия существования квантовой калиб-ровочно - инвариантной формулировки рассматриваемой теории. Несмотря на то, что объекты Ь, Ь не являются связями первого рода и формально построим функционал Г2. Введем канонические пары гостовских полей (т),Т), (т}, V) соответствующие объектам Ь, Ь, а в качестве соответствующих структурных констант будем использовать константы алгебры связей теории свободной струны - алгебры Вирасоро.

Для исследования структуры оператора А необходимо использовать технику символов операторов. Пусть оператор А записан в некоторой нормальной форме, обозначим соответствующий символ как Л. Поскольку классическая алгебра незамкнута и условие нильпотентности Я не выполнено уже на классическом уровне, то символ оператора состоит из двух слагаемых:

Л = Лс1+Лч, (25)

где А с! — классический вклад, определяемый алгеброй, который имеет вид:

Ла = /¿а[(т, + Ц)(т, - ч)7 + 2(^)7]- (26)

Алгебраическая структура квантового вклада Ад может быть изучена без каких-либо конкретных вычислений, а лишь на основе анализа размерности и гостовского числа, которыми должен обладать символ А. Переходя к символам операторов, мы можем записать квантовый вклад А? как:

где f\,gi, /з,<73) М1 = 0,..., 3) - произвольные функции только лишь х, р известной размерности. Объединяя соотношения (26) и (27), мы, тем самым получаем анзац для аномалии.

В качестве анзаца для функций Л,-, /j. /3. <71, <73 необходимо использовать линейные комбинации всех размерных объектов теории с произвольными коэффициентами. При построении соответствующих разложений, в рассматриваемом случае струны с дилатоном, необходимо учесть наличие в теории дополнительных объектов — компонент двумерной метрики д^, рассматриваемых как внешние поля. Во-первых, это приводит к появлению в качестве дополнительных размерных величин функций от двумерной метрики Zi{gab) (dim Z, — г), а во-вторых, коэффициенты при всех размерных величинах могут зависеть не только от хц но и от даь-

Решая уравнение (18) для полученного анзаца, мы получим

Aq — J dcrjao + Ol + a2 + a3 + Д(?7, ?j)j,

ao = 27777 h0,

ai = W/i +w'9i + (vv'~ VV') hu

a2 = (Tjfj" - щ") h2,

03 = r,v"'h + fjfj,"g3 + (r)rj'"-rjrl'")h3,

(27)

A = i ¡da {fo + rj)(V - а)' [ßM^gW'V" + Z0(g)ß(x) +

(28)

где поля V* и Vß определены как

(29)

(30)

SV" = {-(vV"Y - \ KßVaVß{v + П) + \guR{2)d^(v + 4)) e, SV" = ((fjV"Y - \ KßVaVß(n + fj) + \guR(2)d^{V + *?)) e.

e.

Здесь Г^(х) строятся по фоновой метрике G^ с кручением построенным по полю Aßt/:

ItßW = \G»"(daAßl/ + dßAva + dvAaß), (32)

и Tq^z)— символы, Кристоффеля для метрики Glu,(x).

Функция ßi„, в соотношении (28) может быть представлена в виде суммы симметричной и антисимметричной части

ß^x) = ß{fl,} (х) + = ß% + ßi

Что касается условия сохранения П во времени, то, как, нетрудно показать, оно выполнено тогда и только тогда, когда конформный фактор не зависит от координаты г:

7 = 0.

В итоге полный набор условий, обеспечивающих калибровочную инвариантность рассматриваемой теории, имеет вид:

ßc = Д. = о. 7 = const. (33)

Соотношение (28) представляет собой результат максимально общего вида, не зависящий от конкретной схемы вычислений и основанный только на алгебраических свойствах оператора f1.

Сравним полученные результаты, со структурой условия квантовой вейлевской инвариантности рассматриваемой модели, возникающего в рамках ковариантного подхода. Перенормированный оператор следа тензора энергии-импульса имеет следующую структуру:

W=9 д^дьх^ (®)] + [е^дьх^ (*)] + [V4 R{2)ß*(x)] (34)

Квадратными скобками обозначены перенормированные значения составных операторов, а ßffWy ß* — так называемые модифицированные бета-функции.

Легко увидеть соответствие между выражениями (28) и (34) — их структуры совпадают друг с другом с точностью до произвольных функций ß{iiv) и г - которые представляют собой канонический аналог модернизированных бета-функций.

Возникшее в нашем подходе дополнительное условие 7 = const не содержит принципиального противоречия с соответствующими результатами ковариантного подхода. После вычисления функционального интеграла по Xß

эффективное действие не зависит от конформного фактора 7 при условии, что выполнены эффективные уравнения движения для фоновых полей. Это означает, что физические результаты не зависят от выбора калибровки для 7. В том числе, 7 может быть выбрана постоянной, что и воспроизводится в рассмотренном случае. Следует отметить, что условие 7 = const не означает ограниченности подхода только плоским мировым листом. Квантовая теория может быть сформулирована для любых функций 7, но конформно-инвариантой она является лишь для постоянных 7.

В четвертой гладе "Квантовая аномалия в теории фермионной струны взаимодействущей с фоновым гравитационным полем" получен общий вид квантовой аномалии для фермионной струны в рамках NSR модели,, взаимодействующей с фоновым гравитационным полем.

В первом разделе построена классическая формулировка. Рассматриваемая модель описывается действием:

S = ^ jd^ig^d^dbx'G^+iV^D^G^x)

Здесь xß - бозонные струнные координаты, а ^ - фермионные поля (май-орановские спиноры), А

а - майорановский вектор-спинор, являющийся суперпартнером для двумерной метрики даь> G^(x) - фоновое гравитационное поле. В терминах канонических переменных связи теории имеют вид:

Q± = (35)

где 7г± - канонические импульсы для фермионных координат, а поля V± определены как

VI = G^vu ±

и ~ф± есть однокомпонентные майорано-вейлевские спиноры. Связи теории образуют замкнутую алгебру в терминах градуированных скобок Пуассона, так как подобно теории свободной бозонной струны, все связи являются связями первого рода.

Вводя антикоммутирующие гостовские поля (г/*, Т±) соответствующие бозонным связям L^ и коммутирующие гостовские поля 0± соответствующие фермионным связям Q±, мы строим BRST заряд рассматриваемой теории. Повторяя все рассуждения проведенные нами в бозонном случае,

мы можем записать анзац для аномалии, удовлетворяющей условию нильпотентности:

[П. Г2] = Л = I ¿а а,

где

а = 77+77'+/, + т/+т?'"+/з + Ло + (ЧУ" - v~v'+)h1

+ (>7У~ - + (т?у- - Т,-Т!т+)Н3 + 77-77'-51 + »ГтЛй

+ Г)2*о + + 2^+Гто + -

+ 2(£+£"- - Г^"+)т2 + (Г)2/о + Г£"-'2 + - Ы+)т + ~ ГУ+)«1 + (Г)*?- ~ Ст]"+)12 + («ГГ - £+Т/'>1 + (»ГГ+ - £У>2 + («Г*'" - (36)

В этом выражении все коеффициенты при гостовских полях являются произвольными функциями размерных обьектов теории - У± с известной размерностью.

Во втором разделе в рамках обобщенного канонического квантования найден общий вид квантовой аномалии рассматриваемой теории.

Аналогично рассмотренному случаю бозонной струны, потребуем, чтобы аномалия была БРСТ инвариантна, то есть удовлетворяла соотношению 5 А = I или, что эквивалентно, 8 а должна быть полной пространственной производной. Это требование позволяет существенно уменьшить число произвольных функций в соотношении (36) и в результате символ аномалии приобретает следующий вид:

А = I (1<т(а\ + а2),

+ - С?+)Г+Г- + 2т?+(1^ + 2У№)С + 2т1+г}>1(У!^+ + 27_^'+) - 2тГ(К!мС + 2УЖ -2т,~№(У?С+ (37)

Мы видим, что суперсимметризация струнного взаимодействия с гравитоном не ведет к изменению структуры квантовой аномалии. является полной производной тогда и только тогда, когда /з, дз, /2 константы. Произвольная функция (3^ играет роль аналога бета-функции для гравитона

В Приложении I приведены основные сведения из теории символов операторов необходимые при исследовании вопроса о квантовой аномалии в струнных теориях.

Во Приложении II построен общий вид всех произвольных функций известной размерности возникающих при изучении теории замкнутой бозон-ной струны взаимодействующей с безмассовыми фоновыми полями и выписаны выражения ВЯБТ - преобразований этих функций.

В Заключении кратко сформулированы основные результаты, полученные в диссертации и выносимые на защиту.

Новые научные результаты, выносимые на защиту

1. В рамках метода обобщенного канонического квантования изучена алгебраическая структура квантовых аномалий в теориях струн, взаимодействующих с фоновыми полями. Основываясь на уравнениях совместности, получаемых с использованием (супер)тождества Якоби и применяя технику символов операторов получено соотношение, определяющее аномалию как когомологию нетривиальных решений уравнения на аномалию в пространстве с-числовых функций, зависящих от координат расширенного фазового пространства и, возможно, фононовых полей.

2. Сформулирована процедура получения общего вида квантовой аномалии для струнных теорий в рамках а—модельного подхода. Изучен вопрос о произволе, имеющем место при определении аномалии, а также исследован общий вид поправок к аномалии в высших петлях.

3. Для теории замкнутой бозонной струны, взаимодействующей с безмассовыми фоновыми полями гравитона (симметричного тензора), антисимметричного тензора и дилатона построена непротиворечивая квантовая теория в рамках метода БФВ квантования. Предложен адекватный выбор динамических полей, обеспечивающих правильную размерность рассматриваемой теории, являющийся каноническим аналогом известного подхода Полякова. Найден общий вид квантовой аномалии и приведены условия ее отсутствия, .которые для рассматриваемой теории играют роль условий обеспечивающих ее квантовую калибровочную инвариантность.

4. Изучена взаимосвязь результатов, полученных в рассмотренном подходе, с хорошо известной в рамках ковариантного подхода структурой условия квантовой вейлевской инвариантности рассматриваемой модели.

5. Найдена структура квантовой аномалии для теории фермионной струны в рамках N511 модели фермионной струны, взаимодействующей с фоновым гравитационным полем. На основе предложенного в работе подхода

построен анзац для аномалии и найдена нетривиальная когомология решений уравнений на аномалию.

Апробация материалов диссертационной работы

Результаты, положенные в основу диссертации, обсуждались на

— научных семинарах Института теоретической физики при Ганноверском университете (ФРГ),

— научных семинарах кафедры теоретической физики Томского государственного педагогического университета,

а также докладывались на следующих конференциях:

- Международном рабочем совещании "Constrained Dynamics and Quantum Gravity", Дубна, июль, 1995,

- Третьем рабочем совещании " Quantum Field Theory Under the Influence of External Conditions", Лейпциг, сентябрь, 1996,

- Вторая международная конференция "Quantum Field Theory and Gravity", Томск, июль-август 1997.

Основные результаты диссертации

опубликованы в следующих работах:

1. Buchbinder I.L., Mistchuk B.R., Pershin V.D. BRST-BFV analisys of anomalies in bosonic string theory interacting with background gravitational field // Physics Letters. В.- 1995.- Vol. 353, N 1, P. 457-462

2. Бухбиндер И.Л., Бухбиндер Е.И., Мищук Б.Р., Першин В.Д. Структура аномалии при каноническом квантовании бозонной струны в фоновых полях // Теоретическая и Математическая Физика.- 1996.- том 108, N 2, с. 294-305

3. Buchbinder I.L., Mistchuk B.R., Pershin V.D. General quantization anomaly in bosonic string theory interacting with backgraund gravitational field// Proceeding of the Third Workshop "Quantum Field Theory Under the Influence of External Conditions", Edited by M. Bordag, B.G. Teubner Verlagsgesellschaft, Stuttgart - Leipzig, 1996, p. 210-217

4. Бухбиндер И.Л., Мищук Б.Р., Першин В.Д. Канонический анализ квантовой теории бозонной струны в безмассовых фоновых полях // Ядерна* физика,- 1997,- том 60, N 10, с. 1880-1887

5. Бухбиндер Б.И., Мищук Б.Р. Вирасоровская аномалия в модели струны, взаимодействующей с фоновыми полями // Известия ВУЗов.Физикг 1996,- N 9, с. 223-226

6. Mistchuk B.R. Canonical quantization bosonic string theory in masslesf background fields // Квантовая теория поля и гравитация: Труды второй международной конференции / Под редакцией И.Л. Бухбиндера, К.Е, Осетрина, - Томск; Томский государственный педагогический университет, 1998, с. 211-216.

» »

ч'

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

МИЩУК Богдан Ростиславович

КВАНТОВАЯ АНОМАЛИЯ В СТРУННЫХ ТЕОРИЯХ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С ФОНОВЫМИ ПОЛЯМИ

01.04.02 - теоретическая физика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научные руководители: доктор физико-математических наук, профессор БУХБИНДЕР И.Л.

кандидат физико-математических наук, доцент

ПЕРШИН В.Д. Томск - 1998

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 4 ГЛАВА 1. Теория струн и квантование

1.1. Бозонная струна в фоновых полях 18

1.2. Фермионная N811 - струна в фоновых полях 22

1.3. Ковариантное квантование бозонной струны в безмассовых фоновых полях 25

1.4. ВИЗТ-ВЕУ квантование: общие положения 31 ГЛАВА 2. Квантовая аномалия в струнных теориях

2.1. Квантовая аномалия в рамках БИЭТ-ВГУ квантования 35

2.2. Высшие квантовые поправки к аномалии 42

2.3. Получение общего вида аномалии 44

2.4. Калибровочно-инвариантная квантовая формулировка для некалибровочной классической теории 47

ГЛАВА 3. Структура квантовой аномалии в теории бозонной струны взаимодействующей с фоновыми полями

3.1. Калибровочно-инвариантная формулировка квантовой теории бозонной струны взаимодействующей с безмассовыми фоновыми полями 50

3.2. Условия существования квантовой калибровочно-инва-риантной теории 54

ГЛАВА 4. Квантовая аномалия в теории фермионной струны

взаимодействующей с фоновым гравитационным полем

4.1. N811 - струна взаимодействующая с фоновым гравитационным полем 68

4.2. Квантовая аномалия в теории фермионной струны в фоновых полях 71

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 79

ПРИЛОЖЕНИЕ А 82

ПРИЛОЖЕНИЕ В 85

ЛИТЕРАТУРА 90

ВВЕДЕНИЕ

Вопросы теории струн занимают значительное место в современных исследованиях по теоретической физике высоких энергий. Интерес к теории струн в значительной степени обусловлен тем, что эта теория является в настоящее время единственным реальным кандидатом на роль единой теории всех фундаментальных взаимодействий (см. например [1] - [4]).

Возникнув около двадцати лет назад, теория струн с тех пор неизменно привлекает внимание физиков и математиков. Релятивистские струнные теории первоначально возникли в физике высоких энергий в связи с проблемами описания динамики сильных взаимодействий элементарных частиц. На рубеже 6070 годов был разработан ряд так называемых дуальных моделей, в частности, модель Венециано [5, 6]. В работах [7, 8] было отмечено, что модель Венециано описывает рассеяние одномерных объектов - струн и является унитарной. Несколько позже эта модель была расширена путем ведения в теорию фермионов [9] - [12]. Однако оказалось, что квантовая теория струн содержит аномалии, условия сокращения которых ведут к ограничениям на размерность пространтва-времени и другие параметры теории. Для бозонной струны критическая размерность И — 26, а включение в теорию фермионов ведет к ограничению И = 10. Кроме

этого, существовали и другие проблемы, связанные со струнным спектром, плохо объяснимые с точки зрения теории сильных взаимодействий.

В восьмидесятых годах были построены суперсимметричные обобщения теории бозонных струн (суперструнные модели), в которых было обнаружено сокращение аномалий, приводящее к фиксации не только размерности пространтва-времени, но и типа калибровочной группы [13]-[16], и предложена интерпретация струнных моделей в качестве фундаментальной теории элементарных частиц.

Современная точка зрения на теорию суперструн заключается в том, что она должна описывать все виды частиц и взаимодействий, при этом различным частицам соответствуют различные возбужденные состояния струны, а взаимодействие осуществляется путем разрыва и склеивания отдельных струн. Из всех измерений пространства-времени при низких энергиях наблюдаемы только четыре, остальные - скомпактифицированы, причем теория сама должна определять, каким образом при компакти-фикации возникает известный спектр частиц (см. [1, 3]).

Одна из основных проблем теории струн состоит в описании струнного взаимодействия. Известны различные подходы к этой проблеме. Первый и наиболее разработанный - метод амплитуд. В этом методе постулируется вид вершинных функций и вычисляются амплитуды для произвольных диаграмм. Также известен способ изучения взаимодействия струн в рамках по-

левой теории струн [17, 18]. Такое описание представляет собой вторично-квантованную теорию, которая является расширением известной в квантовой теории поля процедуры построения вторично-квантованной (или полевой) теории для точечных частиц. Одним из основных методов изучения струнного взаимодействия является сигма-модельный подход [36] - [29]. Этот метод представляет собой, по-существу, 2-мерную теорию поля, что позволяет использовать для ее описания методы квантовой теории поля. Для описания струны, взаимодействующей с фоновыми полями было предложено добавить к действию нелинейной двумерной сг—модели члены, описывающие взаимодействие с различными струнными модами [24]-[32], при этом фоновые поля интерпретируются как конденсат различных мод других струн [23]-[37].

Уже упоминалось, что практически все струнные модели являются аномальными. В рамках сигма-модельного подхода, при функциональном ковариантном квантовании требование сокращения квантовой аномалии является источником эффективных уравнений движения, которые представляют собой ограничения на фоновые поля. Аномалия же возникает как нарушение вейлевской инвариантности квантового эффективного действия. Условие отсутствия аномалии строится как условие равенства нулю перенормированного оператора следа тензора энергии-импульса, соответствующие коэффициенты при независимых составных операторах интерпретируются как эффективные уравнения движе-

ния для фоновых полей. При рассмотрении обобщенного действия <7—модели, взаимодействующей с набором безмассовых полей, было показано, что уравнения движения для струнных мод, следующие из эффективного струнного действия, совпадают с условиями сокращения квантовой конформной аномалии, которые, в свою очередь, связаны с (3—функциями и условиями ультрафиолетовой конечности теории [33]-[35]. Реализация этого подхода для теорий бозонных струн, взаимодействующих с безмассовыми фоновыми полями детально изучена в работах [23]-[28] (см. также обзоры [36], [37]).

Дальнейшим обобщением теории является включение взаимодействия и с массивными фоновыми полями. Теория с действием, содержащим члены с размерностью выше двух по двумерным производным и описывающим взаимодействие с массивными полями1, не является конформно-инвариантной уже на классическом уровне. Тем не менее, если потребовать конформной инвариантности теории на квантовом уровне, то на фоновые поля возникнут ограничения, причем их линейная часть будет воспроизводить уравнения Клейна-Гордона с правильным знаком квадрата массы [82]. Случай замкнутой бозонной струны, взаимодействующей с фоновыми полями первого массивного уровня детально изучен в работе [38]. Проанализирован статус различных структур в классическом действии с точки зрения их соот-

1Мы не будем касаться проблемы взаимодействия с тахионной модой, которая также оказывается нетривиальной [83]-[84]

ветствия струнному спектру. В линейном приближении по фоновым полям осуществлена перенормировка полей и соответствующих составных операторов. Из условия квантовой конформной инвариантности получены уравнения для фоновых полей первого массивного уровня и показано, что тензорный состав полученного набора полей согласуется со струнным спектром лишь при некоторых дополнительных ограничениях.

Другим способом изучения действия и—модельного типа, описывающего взаимодействие струны с фоновыми полями, является метод обобщенного канонического квантования Баталина-Фрадкина-Вилковыского (BRST - BFV метод) [45]-[49] (смотрите также работы [40]-[43]). В нем с самого начала используется требование Becci-Rouet-Stora-Тютина (BRST) симметрии [51], [52] в качестве фундаментального принципа построения квантовой теории. Предложен общий рецепт построения производящего функционала калибровочной алгебры О (или BRST-заряда), который является основным объектом, для любой калибровочной теории.

В методе обобщенного канонического квантования источником аномалий является возможное нарушение квантового условия нильпотентности фермионного производящего функционала калибровочной алгебры Q, выполненного на классическом уровне по построению. Оператор О при этом строится по структурным константам алгебры классических связей первого рода, несущих информацию о калибровочных симметриях классической теории. Это существенно отличает каноническое квантование от ковари-

антного, в котором требование вейлевской инвариантности налагается на квантовое действие теории независимо от того, была соответствующая классическая теория вейлевски инвариантна или нет. Поэтому наивное применение процедуры канонического квантования к теориям струн в фоновых полях с вейлевски неинвариантными классическими лагранжианами может привести к противоречию с ковариантным подходом.

Подобных проблем не возникает при квантовании свободной струны, а также теории струны, взаимодействующей с безмассовыми гравитоном и антисимметричным тензором, которая на классическом уровне обладает тем же набором симметрий, что и свободная струна. Включение взаимодействия с другими фоновыми полями (дилатоном, тахионом, полями высших массивных уровней) нарушает вейлевскую инвариантность классического действия и соответствующие связи первого рода исчезают. Таким образом, поскольку симметрия отсутствует уже на классическом уровне, нет смысла говорить о ее нарушении в квантовой области.

Конечно, конкретный механизм возникновения аномалий, а следовательно, и условий на фоновые поля, зависит от используемого подхода. Естественно полагать, что различные подходы применяемые к одной и той же теории должны приводить к совпадающим или, по крайней мере, непротиворечивым результатам.

Для свободной бозонной струны операция БФВ квантования впервые проведена в работах [53]-[56], в которых был построен

оператор £1 и показано, что условие его нильпотентности влечет ограничения на параметры теории, совпадающие с аналогичными условиями, возникающими при использовании других методов.

Обобщение метода канонического квантования для струны, взаимодействующей с фоновыми полями, является нетривиальной задачей, поскольку теория становится нелинейной и требуется строить адекватную задаче теорию возмущений. В существующих работах предлагалось в качестве таковой использовать разложение по слабым фоновым полям , вычислялись квантовые аномалии в алгебре связей различных моделей в линейном приближении [65]-[70].

Так, в работах [65], [66] для теории замкнутой бозонной струны, взаимодействующей с гравитоном и с антисимметричным тензором, была построена алгебра связей в классической области и получена первая по слабым фоновым полям поправка в квантовую алгебру. В таком же приближении для этой теории в работах [67], [68] было показано, что из условия нильпотентности оператора О для фоновых полей следуют уравнения Даламбера и условия поперечности. Аналогичная процедура для суперструны проделана в работах [69], [70]. Однако этот способ не лишен ряда недостатков, в частности, он не ковариантен.

Использовалось также разложение исходного действия и связей теории по степеням нормальных координат, квантовая алгебра связей была получена в низшем порядке по кривизне [71], [72].

Последовательное обобщенное каноническое квантование взаимодействующей струны проведено в работах [73], [74]. В них развита гамильтонова формулировка, вычислены связи и их алгебра. Предложено соответствующее теории свободное приближение, критическя размерность которого равна 25. Квантовая алгебра построена в терминах символов операторов в произвольном порядке. Найден явный вид первой квантовой поправки. Для струны, взаимодействующей с гравитоном и дилатоном, с помощью разложения по степеням нормальных координат получены уравнения движения фоновых полей. Следует, однако, заметить, что рассмотренный случай не вполне соответствует струнной картине, свидетельством чему является равная 25 критическая размерность свободного приближения и вид уравнений движения фоновых полей, не соответствующих ковариантному подходу для струны.

Аналогичные проблемы имеются и при каноническом квантовании теории струны, взаимодействующей с массивными полями, также вейлевски неинвариантной на классическом уровне. Способ разрешения этих трудностей был предложен в работе [75], где рассматривалась принципиальная возможность построения калибровочно-инвариантной квантовой формулировки для некалибровочной классической модели, зависящей от параметров. Предложенная общая схема была использована для построения канонической формулировки теории струны, взаимодействующей с фоновыми тахионом и полями первого массивного уровня,

для которых в линейном приближении были получены эффективные уравнения движения, совпадающие с уравнениями, возникающими в рамках ковариантного подхода.

Таким образом, проблема последовательного канонического квантования струнных теорий, включающих взаимодействие с фоновыми полями, а также вычисления на этой основе общего вида квантовой аномалии в алгебре связей остается открытой и нуждается в дальнейшем изучении.

Для свободной струны исследование общего вида аномалии проводилось в работах [87]-[90]. На основе метода ВРУ-квантования был проведен алгебраический анализ аномалии в расширенном фазовом пространстве. Получен наиболее общий вид вирасоров-ской аномалии, исследуется ее связь с вейлевской аномалией и найден контрчлен, добавление которого к исходному действию для свободной струны, ведет к сдвигу вирасоровской аномалии в вейлевскую.

Общие вопросы, связанные с аномалией в рамках метода обобщенного канонического квантования изучались в работе [91].

Во многом аналогичная поцедура была реализована в работах [94]-[104]. Для заданного набора полей и калибровочных сим-метрий в рамках лагранжевого ВУ - квантования (см. например работы [92], [93]) была найдена квантовая аномалия, как антискобочная когомология на интегрируемых локальных функционалах.

В этом подходе изучались нетривиальные решения уравнения

5А = 0 (1)

где 5 - нильпотентный ВЫ8Т дифференциал и А - интегрируемый локальный функционал А = / в,2х/. Используя лемму Пуанкаре, уравнение (1) переписывается в виде локальных, так называемых, понижающих уравнений:

5ш 2 + с1ш\ = О 5ш 1 + с1шо = О 8ш о = О

где (¿2 - 2 форма, а и>\ и и>о - соответственно 1 и 0 формы. Известно, что эти уравнения для теории (супер)струн в параметризации Бельтрами (смотрите например [101, 102]), ведут к тому, что при нетривиальной 0 - форме ¡.¿о "интегрирование" двух других тривиально. Таким образом, достаточно определить общее решение уравнения

6ш0 = 0 (2)

в пространстве локальных функционалов полей.

Таким образом, можно сделать вывод, что имеет место задача последовательного канонического квантования струнных теорий, взаимодействующих с фоновыми полями, вычисления общего вида квантовой аномалии в алгебре связей и соотнесения полученных результатов с условиями на фоновые поля, полученными в рамках других подходов.

В предлагаемой работе процедура обобщенного канонического квантования осуществляется как для теории замкнутой бо-зонной струны, взаимодействующей с полным набором безмассовых полей, имеющихся в струнном спектре - гравитоном, антисимметричным тензором и скалярным дилатоном, так и для теории фермионной струны, взаимодействующей с фоновым гравитационным полем в рамках N811 модели [57]-[60]. В отличие от работ [94] - [104] все вычисления, связанные с изучением и получением общего вида квантовой аномалии проводятся в рамках ВКБТ-ВРУ квантования. Для получения и исследования соответствующей квантовой: аномалии предлагается использовать формализм символов операторов [79], [80], что дает возможность получать результаты в наиболее общем виде. Тем самым дается общее решение проблемы канонического квантования теории взаимодействующей струны.

Работа состоит из Введения, четырех глав, Заключения и двух приложений.

Глава 1 носит обзорный характер. Рассмотрено действие для теории замкнутой бозонной струны в свободном случае и в случае безмассовых фоновых полей, перечислены соответствующие классические симметрии. Также приведено действие и симметрии для фермионной струны, как в свободном случае, так и на нетривиальном фоне. Дан краткий обзор общих подходов ВРУ-В118Т-квантования калибровочных теорий со связями первого рода. Приведены сведения о перенормировке сг—модели взаимодей-

ствуюгцей с безмассовыми фоновыми полями. Рассматривае