Обобщенное каноническое квантование бозонных струн в фоновых полях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Тодер Георгий Борисович

Обобщенное каноническое квантование бозонных струн в фоновых полях

01.04.02 - теоретическая физика

«V <-Г

V!

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск - 1998

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Томского государственного педагогического университета.

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

профессор Бухбиндер И.Л., кандидат физико-математических наук, доцент Першин В.Д.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Лавров П.М. кандидат физико-математических наук старший научный сотрудник Беломытцев С.Я.

Ведущая организация: Томский политехнический университет

Защита состоится "_"_ 1998 г. в _час.

_мин. на заседании диссертационного совета К.113.77.01. по присуждению

ученых степеней по специальности 01.04.02 (теоретическая физика) в Томском государственном педагогическом университете (634041, Томск, Комсомольский пр. 75, ауд. 335).

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного педагогического университета.

Автореферат разослан "_"_ 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук, ____

доцент ^ <1 Разина Г.К.

Общая характеристика работы Актуальность темы диссертации

Основной задачей современной теоретической физики высо-:их энергий является построение единой теории, описывающей ice виды частиц и фундаментальных взаимодействий. В насто-[щее время единственным реальным кандидатом на роль такой 'еории является теория суперструн.

Несмотря на значительные успехи и прогресс теории супер-трун, до сих пор не существует последовательной схемы, опи-ывающей сильновзаимодействующие струны, хотя в послед-[ие 3-4 года наметилось продвижение в понимании непертур->ативных свойств этой теории. Одним из наиболее разработан-[ых пертурбативных методов анализа струнных теорий явля-тся <г-модельный подход, в котором изучаются струны, взаи-юдействующие с фоновыми полями, принадлежащими их соб-твенному спектру. Фундаментальное достижение, полученное рамках этого подхода состоит в том, что условия кванто-ой конформной инвариантности теории ведут к эффективным равнениям движения для фоновых полей.

Теории струн с безмассовыми фоновыми полями (за исключе-:ием дилатона) классически конформно - инвариантны, то есть сточником эффективных уравнений является условие сокращения квантовой конформной аномалии. Однако, если в дей-твие включены дилатон, тахион и любое массивное фоновое оле высших уровней, теория струн не обладает конформной нвариантностью на классическом уровне, поэтому требование вантовой конформной инвариантности означает, по существу, то некалибровочная классическая теория, зависящая от си-темы параметров, используется для построения квантовой терпи, являющейся калибровочно - инвариантной при некото-ых специальных значениях этих параметров. Следовательно, озникает общая проблема квантования физических систем, в оторых подобное явление может иметь место.

В ковариантном подходе к теории струн с использованием функционального интеграла эта задача решается следующим образом. Согласно общепринятому рецепту, не все динамические переменные играют одинаковую роль. А именно, функциональное интегрирование проводится по набору струнных координат, а компоненты двухмерной метрики трактуются как внешние поля. Далее, от результата интегрирования требуется независимость от конформного фактора метрики, после чего интеграл по двумерной метрике сводится к конечномерному интегралу по струнным мировым листам различной топологии.

Проблема заключается в том, как описать этот механизм в общем виде в рамках канонического квантования — наиболее естественного и последовательного подхода к построению квантовых моделей в современной теоретической физике.

Наиболее общей реализацией процедуры канонического квантования является метод Баталина - Фрадкина - Вилковыского (БФВ-метод), приводящий к унитарной на квантовом уровне теории с согласованными симметрией и динамикой. Согласно стандартному рецепту БФВ - квантования сначала строится гамильтонова формулировка классической теории, выписываются все связи и вычисляется алгебра их скобок Пуассона. Затем определяются фермионный производящий функционал (БРСТ - заряд) П, генерирующий алгебру калибровочных преобразований и бозонный гамильтониан Н, содержащий информацию о динамике теории. Самосогласованность на квантовом уровне обеспечивается требованиями нильпотентности оператора БРСТ - заряда и его сохранения во времени.

В случае струны в массивных фоновых полях конформная инвариантность на классическом уровне отсутствует. Следовательно,, отсутствуют связи, образующие калибровочную алгебру, что приводит к невозможности построения функционала О по стандартным правилам.

Данная работа посвящена проблеме построения общей схемы, позволяющей формулировать в рамках БФВ-квантования

салибровочно-инвариантную квантовую теорию по классиче-жой теории, не обладающей этой инвариантностью, и приме-теншо этой схемы к задаче получения эффективных уравнений движения для массивных фоновых полей из спектра бозонных •трун.

Цель работы

Цель диссертационной работы заключалась в решении следующих задач:

1. Разработать в рамках расширенного канонического кван-ования схему, позволяющую по исходной классической нека-[ибровочной модели строить квантовую калибровочно - инвариантную теорию, не расширяя исходное фазовое простран-тво теории введением вспомогательных нефизических степе-ей свободы.

2. Пользуясь предложенной схемой, получить квантовую кон-)ормно - инвариантную теорию замкнутой бозонной струны, заимодействующей с фоновыми модами низших уровней: основ-ого (тахионного), безмассового и первого массивного.

3. Получить эффективные линейные уравнения для этих фо-овых полей.

4. Опираясь на представленный метод квантования, постро-ть согласованную со свободной моделью квантовую конформ-о - инвариантную теорию открытой бозонной струны, взаимо-ействующей на границе мирового листа с полями собственных изших состояний: тахионного, безмассового и первого массив-эго.

5. Получить линейные эффективные уравнения для этих по-гй.

Научная новизна и практическая ценность работы

В работе впервые получены следующие результаты.

Сформулирована общая задача построения рецепта кван->вания классической некалибровочной теории, приводящего

к квантовой калибровочной. В рамках канонического подхода представлен метод квантования, отвечающий данной цели. Развитая схема квантования имеет общетеоретическое значение и может оказаться полезной не только в теории струн, но и при изучении других моделей.

Предложенный метод применён к теориям замкнутой и открытой бозонных струн, взаимодействующих с фоновыми полями, отвечающими состояниям тахионного, безмассового и первого массивного уровней. В линейном по фоновым полям приближении построены квантовые калибровочные формулировки соответствующих теорий, согласованные со свободным случаем. Получены эффективные линейные уравнения для фоновых полей. Доказана их эквивалентность уравнениям для полей струнного спектра соответствующих уровней.

Предложен общий подход к проблеме выбора упорядочения, позволивший получить ограничения на тип упорядочения операторов осцилляторных мод разложении струнных переменных, следующие из требования согласованности со свободной теорией, и найти семейство допустимых способов упорядочения. При расчётах использовано упорядочение, принадлежащее этому семейству. Вычисления производились в терминах символов операторов. Для этого использовались фундаментальные свёртки операторов динамических переменных, регуляри-зированные предложенным в работе методом.

Изложенные результаты могут быть применены к получению нелинейных уравнений, описывающих взаимодействие фоновых полей; к теориям (супер)струн, взаимодействующих с фоновыми полями различных возбуждённых уровней.

Публикации

Материалы, изложенные в диссертации, опубликованы в 9 работах.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 150 наименований. Общий объем составляет 105 страниц.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность выбранной темы, изложен литературный обзор и дано краткое описание структуры диссертации.

Первая глава диссертации посвящена нахождению рецепта, позволяющего в рамках БФВ-подхода сформулировать квантовую калибровочно-инвариантную теорию по некалибровочной классической. В этой же главе обсуждается проблема упорядочения операторов в квантовой теории и дано краткое описание техники символов операторов.

В разделе 1.1 обсуждается постановка задачи, направленной на получение этого рецепта квантования.

Раздел 1.2 содержит краткий обзор стандартной процедуры БФВ - квантования калибровочных теорий.

В частности, приведена схема построения квантовых фер-мионного Í1 и бозонного Н генераторов квантовой алгебры в расширенном пространстве, содержащем духи. Представлены производящие уравнения квантовой калибровочной алгебры в терминах некоторым образом упорядоченных операторов N{VÍ) и iV(tf):

[N(Ü), N(Ü)} = 0, [N(ü), N(H)] = 0, (1)

где квадратные скобки означают суперкоммутатор.

В разделе 1.3 предложена формулировка версии БФВ -квантования, позволяющая по классической зависящей от параметров некалибровочной теории определенного вида построить некоторые квантовые операторы N(ÍÍ) и N(H), удовлетворяющие при специальных условиях, также найденных в этом разделе, уравнениям (1). Поэтому они могут интерпретироваться как оператор БРСТ-заряда и гамильтониан соответственно в расширенном фазовом пространстве, то есть квантовая теория

становится калибровочно-инвариантной.

Рассматривается теория, описываемая гамильтонианом

Я = Я0(а) + АаТа(а), (2)

зависящим от канонически сопряженных пар динамических переменных, координат пространства-времени и внешних параметров а = (а,-) и А" (в общем случае также зависящих от динамических переменных и координат пространства-времени). Предполагается, что функции Та(а) и Н0(а) имеют вид:

ад = т£»(а) + ТЫ(а), Н0(а) = Я<0)(а) + Я^а), (3)

причём и Но°\а) образуют замкнутую алгебру в терми-

нах суперскобок Пуассона:

= (4)

а Та(а) и Яо(а) — нет, следовательно, классическая теория (2) не является калибровочной.

На квантовом уровне алгебры как операторов N(T^(a)), ДГ(Я^0)(а)) так и операторов Ы(Та(а)), Л^(Яо(а)) в общем случае не замкнуты.

Тем не менее, квантовые операторы и N(11) в расши-

ренном фазовом пространстве с набором

пар гостов са, 'Ра определяются по стандартной схеме, как если бы функции Та(а) являлись связями первого рода и удовлетворяли классической алгебре (4). Квадрат оператора N(0,) и его производная по времени I имеют следующий вид:

¿ЛГ(ГI) Л

- 2 гГг(Е^(а))мЩОм)(са^а

= (Е™(а))„ЩОм)са _ »^Л (5,

где подстрочный индекс N при скобках справа означает, что составной оператор в скобках упорядочен соответствующим образом, индекс Л^ означает подходящее упорядочение гостов. Правые части уравнений (5) включают размыкающие алгебру (4) вклады в суперкоммутаторы операторов Л^(!Г0(а)) и УУ(Я0(а)) и возможные квантовые вклады гостов, которые разлагаются по некоторой неприводимой системе независимых операторов

Щ0М).

В общем случае [ЛГ(П)]2 ф 0, ™ ф 0. Однако, если уравнения

№))* = °> = д{и2/3д\а)и = о (6)

имеют решения а^0) = (а^) то оператор N(0.) нильпотентен и сохраняется во времени для этих специальных значений параметров, а, следовательно, квантовая теория калибровочно -инвариантна.

В разделе 1.4 кратко обсуждаются проблемы, связанные с упорядочением операторов в квантовой теории. Описана техника работы с символами операторов и их связь с упорядочением составных операторов. На языке символов операторов с помощью свёрток канонических переменных (фундаментальных свёрток) сформулирована теорема Вика.

Этот материал необходим для вычислений, представленных в главах 2 и 3, где развитый в разделе 1.3 подход эффективно применяется к конкретным моделям.

Во второй главе изучается теория замкнутой бозонной струны, взаимодействующей с собственными фоновыми полями трёх низших уровней.

В разделе 2.1 в рамках ст-моделыюго подхода сформулировано действие этой теории, не содержащее полей Штюкельбер-га, которое в безразмерных координатах мирового листа £ = (т, а) и фонового пространства - времени ¡л — 0,0 — 1

имеет вид:

5 = ~ h / ^ ^{^daX^dbX^ + Q{X)

+ gabdaX,tdbXuGllv{X) + e^daX^WB^X)

+ Я(2)Ф {X)+gahgaldaXttdbXvdcXxdiXKFlubK{X)

+ <fbecddaX,tdbXvdcXxddXKFll,Xli{X)

+ RWgahdaX,ldbXvWl V{X) + R^e^daX^dbX'WliX)

+ RWRWC(X)}, (7)

Здесь gab, eab, RW - двумерные метрика, антисимметричный тензор Леви-Чивита и скалярная кривизна соответственно, г/Д[/ - метрика фонового D— мерного пространства - времени Мин-ковского. Q - поле тахиона, G, В, Ф - безмассовые поля, F, W, С - поля первого массивного уровня.

Далее показано, что компоненты двумерной метрики необходимо считать внешними параметрами. Тем самым возникает формальное согласование с функциональным подходом, обычно используемым в теории струн.

После стандартной параметризации метрики

даь = (8)

гамильтониан в линейном по полям приближении (в терминах свободных динамических переменных) принимает вид:

Н = I da {Х0Т0 + ХхТг), (9)

Функции То и Ti в выражении (9) естественным образом представляются в форме (3), причём величинам Т^ соответствуют связи свободной теории, образующие в терминах скобок Пуассона замкнутую алгебру со структурными функциями, являющимися константами. Гамильтониан Н0 = 0. Таким образом

ясно, что мы имеем дело с теорией типа (2), (3), роль параметров в которой играют фоновые поля и конформный фактор 7 двумерной метрики.

В разделе 2.2 определяется семейство согласованных со свободным случаем способов упорядочения операторов динамических переменных.И из этого семейства выбирается упорядочение, взятое для дальнейших расчетов в качестве нормального.

Хорошо известно, что различным образом упорядоченные свободные операторы Вирасоро и коммутационные соотношения для них отличаются между собой на константу. Поэтому в свободной теории вычисления проводятся с операторами, для которых используется виковское упорядочение осцилляторных мод разложений канонических переменных, а весь произвол в упорядочении учитывается известными константами а0 и /?о-Значения последних, а0 — ¡30 = 1, находятся из требования конформной инвариантности теории. Поэтому, как показано в работе, при включении взаимодействия должно использоваться упорядочение операторов мод (как осцилляторных, так и нулевых), приводящее к таким же значениям «о и /?о-

Вводится новая процедура упорядочения операторов струнных мод, описываемая параметрами с£, Константы ао и /?о выражаются через эти параметры в явном виде:

"о = Е Е « -1)' & = £Е п(<£ -1) (10)

п>0 ц=0 п>О д=0

Таким образом, соотношение (10) определяет семейство способов упорядочения, согласованных со свободным случаем. Выбором конкретных значений параметров определяются свёртки операторов мод, а, следовательно, и фундаментальные свёртки. Тем самым фиксируется тип упорядочения операторов динамических переменных.

Упорядочению, выбранному в качестве нормального, отвечают следующие значения параметров:

с£ = 1/2, < - 1 = аоЙ^Л»"1

где Л, Л - произвольные комплексные числа, удовлетворяющие условиям |Л| < 1, |Л| < 1.

Такой выбор удобен для дальнейших целей, так как позволяет упростить вычисление фундаментальных свёрток.

В разделе 2.3 вычисляются фундаментальные свертки, отвечающие данному типу упорядочения. Все свёртки являются обобщёнными функциями и представляют собой сумму сходящегося и расходящегося рядов, например (zj = ёа>, ] — 1,2):

Х"(г,*1)У+"(т,г2) =

I_I

= £[(—Г+(—Г]),

1 п>0 2 21 АО п>0 22

где У* = 2тгР" Т X» (X» = д/да) - переменные Фубини.

Сходящиеся ряды содержат параметры Л и Л, а расходящиеся - требуют регуляризации, которая необходима потом для вычисления интегралов, содержащих свёртки. Регуляризация производится путём введения параметра £ в сектор расходящихся рядов следующим образом:

— —>■ е-Е — 22 22

Параметр е приравнивается нулю только после всех вычислений.

В том же разделе вычислены используемые в дальнейшем интегралы, содержащие свёртки и их произведения.

В разделе 2.4 на языке символов операторов вычисляется

квантовая алгебра операторов

2тг 2тг

ЩЬп) = I ¿<те-™-Ы{То-Тх), Л'(Х„) = I ¿ае^-ЩТо + Тг),

о о

(11)

зависящих от операторов Фубини и от операторов струнных координат. Для этого применяются фундаментальные свёртки, вычисленные в разделе 2.3.

Нильпотентность фермионного производящего оператора и его сохранение во времени имеют место, если выполнены следующие условия, соответствующие уравнениям (6):

(I)

(И)

7 = const, (Д(2) = 0)

Это условие означает, что квантовая формулировка конформно - инвариантна только на плоском мировом листе струны, а также что поля Ф(Х), W(X), С(Х) вообще выпадают из рассмотрения.

(32+4)Q(X) = 0, (<92-4)^ = 0, (12)

Я^А« = dxF^ = О, F\д« = FMV\ = 0, (13)

где F^Xk = 2F^w + 2F^ - 2F2Ai/K - 2Уравнения (12) - это уравнения массовой оболочки для фоновых полей Q(X), F^\К(Х). Остальные уравнения показывают, что первый массивный уровень замкнутой бозонной струны описывается тензором четвёртого ранга, который является симметричным и бесследовым по обеим парам индексов и поперечным по всем индексам. Других независимых полей нет. Это в точности соответствует спектру первого массивного уровня замкнутой бозонной струны. Таким образом, рассматриваемый подход даёт полный набор корректных линейных уравнений для массивных фоновых полей Q(X), F^Xk(X).

d2G(tl,(X) = 0, d^G^(X) = О

д2Вр„ = ОрО, д^В^Х) = 0 (14)

Это уравнения для безмассовых симметричного и антисимметричного тензорных полей второго ранга, удовлетворяющих условию поперечности, что соответствует спектру безмассового уровня замкнутой бозонной струны.

(IV)

D = 26, а0 = (1о = 1

Данные условия воспроизводят ограничения, накладываемые на размерность пространства - времени и на тип упорядочения в свободной модели, что обеспечивает согласованность обеих теорий.

В третьей главе изучается теория открытой бозонной струны, взаимодействующей с собственными фоновыми полями первых трёх низших уровней на границе мирового листа дМ.

В разделе 3.1 в рамках а - модельного подхода в безразмерных координатах сформулировано исходное классическое действие теории:

s = ^^З^даХ^дьХ"^

1 г г ИХ^ ИХ11

+ Ww^yz + + *>(<)**)} (15)

Здесь t, dt e(t), K(t) - соответственно параметр, инвариантный элемент объёма и внешняя кривизна на границе мирового листа. В соответствии со струнной идеологией поля даь и e(t) считаются внешними. "Я, А.A^in Г,

фоновые поля. Заметим что член = -~Т(Х) в действии (15) является полной дивергенцией (а Т - полем Штюкельберга), и уравнения

движения не зависят от него. Однако, удаление этого слагаемого отвечает наложению калибровки на поле тогда как мы хотим получить уравнения движения общего вида. Остальные возможные поля Штюкельберга в действие (15) не входят.

Далее показывается, что в качестве параметра на границе может быть выбрана временная координата двумерного многообразия г и все вычисления будут производиться для такого выбора. Обсуждается структура уравнений движения и граничных условий для струнных координат, а также возможные способы определения канонически сопряжённых импульсов для теории с взаимодействием на границе мирового листа. Наиболее адекватным оказывается способ, когда уравнения движения струнных координат определяются также, как в свободной теории, а действие на границе мирового листа влияет только на граничные условия. В гамильтоновом формализме уравнения движения также не должны меняться при добавлении граничных членов в действие, это означает, что канонические импульсы должны строится по свободной теории.

Гамильтониан теории в метрике (8) принимает форму (9). Функции То и Т\ никакой алгебры в терминах скобок Пуассона не образуют, зато, как и в случае замкнутой струны, естественным образом представляются в форме (3), где Т0(0) и Т[0) - связи свободной теории, образующие в терминах скобок Пуассона замкнутую алгебру. Таким образом, классический гамильтониан имеет вид (2), (3) с Но = 0, а роль параметров играют фоновые поля и конформный фактор двумерной метрики 7.

В разделе 3.2 для открытой бозонной струны после анализа, аналогичного проведённому в разделе 2.2 для замкнутой струны, выбрано согласованное со свободным случаем упорядочение операторов мод канонически сопряженных переменных, которому отвечают следующие значения параметров:

= 1/2, с£ - 1 = а0(1 д^Л"-1 п > О, |Л| < 1

В разделе 3.3 вычисляются регуляризированные фунда-

ментальные свертки, отвечающие данному типу упорядочения, подобно тому, как это делалось для замкнутой струны.

В разделе 3.4 в линейном по фоновым полям приближении вычисляются коммутаторы операторов N(Ln), введённых как в первой из формул (11). Требуя нильпотентности оператора БРСТ-заряда и его сохранения во времени, получим, что квантовая конформно-инвариантная теория имеет место, если выполнены следующие условия. (I) Ограничения на размерность пространства-времени и константу упорядочения

D = 26, а0 = 1,

обеспечивающие согласованность рассматриваемой теории со свободным случаем. (II) условие на конформный фактор двумерной метрики

7 = const, (К — 0)

Это условие означает, что квантовая конформно - инвариантна теория открытой бозонной струны, взаимодействующей с фоновыми тахионным полем и полями массивных уровней, возможна только на плоском мировом листе, и поля (р вообще выпадают из рассмотрения.

(III) Эффективные линейные уравнения на фоновые поля основного (тахионного) И(Х) и первого массивного (второго возбуждённого) А^(Х) уровней струны:

(д2 + 1 )К(Х) = 0, (д2 - 1)Ами = 0,

= о, = о (16)

(IV) Корректные линейные уравнения для безмассового поля

первого возбуждённого уровня струны:

д2Ам(Х) - d^AxiX) = 0, д'А^Х) + д2Т(Х) = 0. (17)

совпадающие с уравнениями электродинамики (поле Т(Х) - вспомогательное, его присутствие в теории позволяет выбирать произвольную калибровку для поля А,,).

Таким образом, поля T-L, Аудовлетворяющие уравнениям (16), (17), описывают собственные состояния открытой бозонной струны. Других независимых полей нет. Это полностью соответствует спектру открытой бозонной струны.

Выводы, сделанные в главах 2 и 3, согласуются с известными результатами исследований струн в фоновых полях, проведённых другими методами, что демонстрирует корректность подхода, предложенного в главе 1.

В Заключении кратко сформулированы основные результаты, полученные в диссертации и выносимые на защиту.

Основные результаты работы, выносимые на защиту

1. В рамках расширенного канонического формализма предложена схема, позволяющая в принципе, не расширяя исходное фазовое пространство динамических переменных, строить по классической некалибровочной теории, зависящей от параметров, квантовую калибровочно - инвариантную теорию. Получены общие уравнения, которым должны удовлетворять параметры, обеспечивающие квантовую калибровочную инвариантность.

2. Предложенная схема применена к теориям замкнутой и открытой бозонных струн, взаимодействующих с фоновыми полями низших уровней, построены квантовые конформно - инвариантные формулировки этих теорий.

3. Предложен общий подход к проблеме выбора упорядочения, позволивший найти семейство способов упорядочения операторов струнных мод, допускаемых свободными моделями бозонных струн. Найден явный вид ограничений на параметры упорядочения. Развита техника регуляризации сверток операторов динамических переменных. Определены регуляризованные свертки, соответствующие упорядочению операторов мод струнных переменных, согласованному со свободными теориями.

4. В терминах символов операторов с использованием найденных сверток вычислены квантовые калибровочные алгебры операторов Вирасоро рассмотренных теорий с точностью до членов, линейных по фоновым полям.

5. Построен фермионный производящий оператор алгебры. Из требований нильпотентности и сохранения во времени этого оператора получены уравнения для фоновых полей — тахиона, безмассовых полей и полей первого массивного уровня. Уравнения оказываются согласованными со структурой спектра соответствующих струнных теорий. Тем самым продемонстрировано, что а - модельный подход приводит к корректным эффективным уравнениям для фоновых полей, включая условия поперечности и бесследово-сти. Также показано, что возникает дополнительное условие независимости конформного фактора двумерной метрики от координат мирового листа струны.

Апробация материалов диссертационной работы

Результаты, положенные в основу диссертации, обсуждались

на

— научных семинарах кафедры теоретической физики Томского государственного педагогического университета,

— научном семинаре Института физики при Университете имени Гумбольдта (Берлин, Германия),

— научных семинарах Института теоретической физики РАН имени Л.Д. Ландау по конформной теории поля и интегрируемым моделям в современной физике,

а также докладывались на следующих конференциях:

- Девятая Российская гравитационная конференция "Теоретические и экспериментальные проблемы гравитации", Новгород, июнь 1996,

- Second International Conference "Constrained Dynamics and Quantum Gravity", Italy, Santa Margherita, сентябрь, 1996,

- Second International Sakharov Conference on Physics, Москва, май 1996,

- Вторая международная конференция Quantum Field Theory and Gravity, Томск, июль-август 1997.

- Третья сибирская конференция "Дифференциальная геометрия и математическая физика", Томск, сентябрь 1998.

Основные результаты диссертации

опубликованы в следующих работах:

1. Buchbinder I.L., Pershin V.D., Toder G.B. On a possibility to construct a gauge invariant quantum formulation for non-gauge classical theory. - Preprint Humboldt - Universität zu Berlin, Institut für Physik, HUB-EP-95/24. - Berlin, 1995. -19 p. hep-th/9510113

2. Buchbinder I.L., Pershin V.D., Toder G.B. On gauge invariant quantum formulation for non-gauge classical theory // Modern Physics Letters. - 1996. - Vol.llA, N19. - P.1589-1595.

3. Бухбиндер И.Л., Першин В.Д., Тодер Г.Б. Канонический анализ квантовой аномалии в теории бозонной струны в массивных фоновых полях// Теоретические и экспериментальные проблемы гравитации. Тезисы докладов 9 Российской гравитационной конференции, Новгород, 24-30 июня 1996 г. - Москва, 1996, часть II, стр. 141.

4. Бухбиндер И.Л., Першин В.Д., Тодер Г.Б. Построение конформно инвариантной квантовой теории бозонной струны, взаимодействующей с фоновым тахионом// Теоретические и экспериментальные проблемы гравитации. Тезисы докладов 9 Российской гравитационной конференции, Новгород, 24-30 июня 1996 г. - Москва, 1996, часть II, стр. 142.

5. Buchbinder I.L., Pershin V.D., Toder G.B. On a Canonical Formulation of String Theory in Massive Background Fields // Proceedings of Second International Sakharov Conference on Physics. Edited by I.M. Dremin and A.M. Semikhatov. -World Scientific, 1997. - P. 382-385.

6. Бухбиндер И.JI., Першин В.Д., Тодер Г.Б. О возможности построения калибровочно-инвариантной квантовой формулировки для некалибровочной классической теории / / Известия вузов. Физика. - 1997. - N 6. - стр. 18-24.

7. Buchbinder I.L., Pershin V.D., Toder G.B. Canonical Approach to String Theory in Massive Background Fields // Classical and Quantum Gravity. - 1997.- Vol. 14, N 3. - P. 589-602.

8. Buchbinder I.L., Pershin V.D., Toder G.B. Generalized canonical quantization of bosonic string model in massive background fields // Nuclear Physics В (Proc. Suppl.). - 1997. - Vol. 57. -P. 280-283.

9. Pershin V.D., Toder G.B. On a Canonical Formulation of String Theory in Massive Background Fields // Proceedings of Second International Conference "Quantum Field Theory and Gravity". Ed. I.L. Buchbinder and K.E. Osetrin. - Tomsk State Pedagogical University, 1998. - P. 153-158.