Двумерная нелинейная сигма-модель на аффинно-метрическом многообразии как диссипативная система тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНОЙ V " г: ОД ФИЗИКИ им. Д.В.СКОБЕЛЬЦЫНА

1 ^ т

На правах рукописи УДК 539.12; 530.12

ТАРАСОВ Василий Евгеньевич

ДВУМЕРНАЯ НЕЛИНЕЙНАЯ СИГМА-МОДЕЛЬ НА АФФИННО-МЕТРИЧЕСКОМ МНОГООБРАЗИИ КАК ДИССИПАТИВНАЯ СИСТЕМА.

01.04.02 - теоретическая физика

автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1994

Работа выполнена в Научно-исследовательском институте ядерной

физики им. Д.В.Скобельцына Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

ст.н.с. В.В. Белокуров.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Д.И. Казаков,

доктор физико-математических наук профессор Р.Н. Фаустов

Ведущая организация - ИФВЭ (г. Протвино)

Защита диссертации состоится "¿2" X// 199 г. в / 5* часов на заседании специализированного Совета К-0.53.05.24 в МГУ им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, г. Москва, Воробьевы горы, НИ-ИЯФ МГУ, 19-ый корпус, аудитория 2-15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИИЯФ МГУ.

Автореферат разослан "¿2' 1994 г.

Ученый секретарь специализированного Совета К-0.53.05.24, доктор физико-математических наук

Ю.А.Фомпн

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Центральной проблемой теоретической физики является проблема получения полной непротиворечивой единой теории всех фундаментальных взаимодействий элементарных частиц. Теория струн является наиболее разработанной попыткой решения этой проблемы. Для последовательного квантования струны на искривленном пространстве необходимо, чтобы квантовая нелинейная сигма модель, определенная на этом пространстве, была конформно инвариантной. Конформная инвариантность требует, чтобы усредненные ренормгрупповые бета-функцип нелинейной сигма-модели были равны нулю. Так как ренормгрупповые бета-функции и конформная аномалия нелинейной сигма-модели зависят от геометрических структур на многообразии (от струнных фоновых полей), то требование конформной инвариантности накладывает ограничения на эти структуры (фоновые поля).

В бозонном случае (на вещественном многообразии) используются структуры метрики и связности. Обычно в качестве многомерного искривленного пространства-времени используются римановы многообразия. В этом случае структуры метрики и связности согласованы, то есть связность однозначно строится по метрике. Однако, структуры метрики п связности определяются независимо, и поэтому в общем случае эти структуры не согласованы друг с другом. Автором диссертационной работы было предложено рассматривать нелинейную сигма модель на аффинно- метрическом многообразии, а условия на взаимосвязь и согласование геометрических структур получать только из требования непротиворечивости квантовой теории, то есть, как следствие требования конформной инвариантности (ультрафиолетовой конечности) нелинейной сигма модели.

Уравнения движения струны и нелинейной сигма модели в аффинно-

метрическом искривленном пространстве- времени нельзя представить в виде уравнений Эйлера-Лагранжа и получить из принципа стационарности действия. При этом свободное движение пробного тела (струны) в аффинно- метрическом искривленном пространстве-времени эквивалентно движению тела (струны) в рпмановом пространстве под действием поля диссипативных сил. Поэтому последовательное построение теории струн в искривленном аффинно-метрпческ< пространстве-времени должно производится в рамках днссипативной квантовой схемы.

В теории струн диссипативные модели могут играть более существенную роль, чем отводилась им до спх пор. что обусловленно следующими возможностями:

(1) Струны в пространствах с некритической размерностью (например, в четырехмерном пространстве) являются дпссппативными системами в фазовом пространстве "констант связи". Дпссппатив-ная сила в этом случае определяется ненулевыми бета-функцпями соответствующих констант связи (Эллпс, Мавроматос. Нанопоулос 1992-1994).

(2) Распад чистого квантового состояния в смешанное может происходить на уровне струны из-за квантовых флуктуации метрики являющихся виртуальными черными дырами на двумерной поверхности, заметаемой струной в процессе движения, что приводит к необходимости неунитарного обобщения уравнения фон Неймана.

(3) Закон сохранения энергии и импульса обычно получается как следствие априорного ограничения на свойства пространственно -временной геометрии. Однако, более желательным и последовательным было бы не постулирование геометрии, а получение каких- либо ограничений на геометрию в рамках более общей теории. Например, получение ограничений на свойства и структуры пространства - времени из требования последовательности и самосогласованности квантовой полевой теории, аналочпчно получению калибровочной группы и размерности пространства - времени в теориях струн и суперструн.

(4) Кроме того, замкнутая бозонная струн в искривленном аффпнно-метрпческом пространстве-времени является днссипативной системой.

Отметим некоторые трудности связанные с решением проблем

квантового оппсаныя диссипативных систем:

0. Простейшим примером трудностей, с которыми приходится сталкиваться при построении квантового описания диссипативных систем, является несовместпмость квантовых уравнений Ланжевена (активно используемых в физике лазеров и в моделях глубоконеупру-гого рассеяния) с каноническими коммутационными соотношениями и алгеброй Гейзенберга.

1. Одна из проблем связана с рассмотрением канонического квантования диссипативных систем.

(A) Известно, что уравнения движения диссипативных систем не являются уравнениями Эйлера-Лагранжа, так как для них не выполняются условия Гельмгольца. Теория вариационных множителей позволяет, используя условия Гельмгольца. построить лагранжеву формулировку для некоторого класса уравнений движения диссипативных систем, которые обычно не включаются в лагранжеву и га-мильтонову механику. При этом мы не знаем какую из всех допустимых для данного уравнения функций Лагранжа следует выбрать для квантовой процедуры, то есть каноническое квантование диссипативных систем, задаваемых такимп лагранжианами является либо невозможным, либо произвольным.

(B) Кроме того, хотя существование классического гамильтониана необходимо для канонического квантования, этого недостаточно для построения квантования в удовлетворительном виде. Известно, что гамильтониан должен быть канонически связанным с физической энергией спстемы. Однако, это условие можно удовлетворить только для консервативных систем, что исключает возможность канонического квантования диссипативных систем.

(C) Аналогичное заключение о несовместимости квантовых уравнений движения диссипативных систем с каноническими коммута-цпонннымп соотношениями и алгеброй Гейзенберга можно получить при рассмотрении полных производных по времени от коммутационных соотношений для координат и импульсов, при использовании правила Лейбница и тождество Якобп. Эта несовместпмость связана с тем, что уравнения эволюции во времени для диссипативных систем не только нарушают структуру алгебры Ли, но и не определяют вообще никакой алгебры, так как нарушают закон дистрибутивности.

(Б) Рассмотрение полной производной для самых общих квантовых условий, а именно, коммутационных соотношений для операторов координат, использование правила Лейбница и тождества Яко-бп для операторов координаты и скорости, приводит к тому, что эти квантовые условия подразумевают разрешимость условий Гель-мгольца, то есть эквивалентность уравнений движения уравнениям Эйлера-Лагранжа.

Таким образом, каноническое квантование дпссипативных систем невозможно, если все операторы описывающие диссипативную систему являются ассоциативными лиевыми операторами и если выполняется правило почленного дифференцирования (правило Лейбница) по времени для произведения операторов.

2. Один из способов квантового описания дпссипативных процессов связан с квантовой кинетикой. Известно, что квантовая статистическая механика не описывает дпссипативных и необратимых процессов, так как в рамках гамнльтоновой динамики не существует функции координат, импульсов и времени, обладающей свойствами функции Ляпунова (теорема Пуанкаре-Мпсры). Для описания дпссипативных и необратимых процессов обычно вводят в статистическую механику дополнительные постулаты и гипотезы (например, принцип ослабления корреляций и гипотезу о иерархии времен релаксации, предложенные Боголюбовым, пли гипотнезу крупнозерннсто-стп структуры). Квантовое описание дпссипативных и необратимых процессов строится в рамках квантовой кинетики, представляющей собой квантовую статистику дополненную вспомагательными физическими постулатами.

Квантовое описание дпссипативных систем в рамках квантовой кинетикн является хорошо изученным и активно используемым для многочастичных систем, однако оно не применимо в такой фундаментальной теории как теория струн.

3. Другая трудность квантового динамического описания дпссипативных систем связана с обобщением постулатов квантовой статистики и уравнений фон Неймана. Важным свойством дпссипативных и необратимых процессов является увеличение энтропии. Однако, квантово-механические эволюционные уравнения для статистического оператора (оператора матрицы плотности), называемые уравнени-

ямп фон Неймана, сохраняют энтропию неизменной.

Обобщения уравнения фон Неймана на диссппатпвные и необратимые процессы обычно получаются путем добавления супероператора, действующего на статистический оператор п описывающего диссп-пативную, необратимую часть эволюции системы. :.Линейные обобщения уравнения фон Неймана связанны с управляющим уравнением (уравнением Паули), полученным в рамках квантовой кинетики, или с квантовой динамической полугруппой. Нелинейные обобщения уравнений фон Неймана соответствуют нелинейным уравнениям Шредпнгера, предложенным Костиным (1972-1975). Гнспным (19811983) и другими в последнее десятилетие для описания дпссипатпв-яых систем.

Обычно обобщения уравнений фон Неймана получаются эвристически или за счет введения дополнительных "дпсснпатнвных" постулатов. При этом требования, которые призваны однозначно опреде-гспть супероператор сами не являются единственными, что приводит к произволу в описании или к построению описания в рамках квантовой кпнетикп.

Кроме того, предложенные обобщения уравнений фон Неймана не :вязанны с классическим уравнением Лиувилля для дпссипативных :истем п тем самым не удовлетворяют принципу соответствия.

Цель диссертационной работы.

Развитие методов квантового описания дпссипативных систем. Нахождение основных свойств которыми должно обладать обобщение квантовой механики на диссипатпвные системы.

Получение условий на свойства аффпнно- метрического пскрп-зленного пространств и ограничений на геометрические структуры этого пространства, которые допускают последовательное квантовое эпнсанпе замкнутых бозонных струн на таком аффпнно- метрическом многообразии.

Вычисление двухпетлевой ренормгрупповой бета-функшш для двумерной нелинейной сигма- модели с аффпнно- метрическим полевым многообразием при использовании ковариантного метода фонового золя.

Основные результаты и новизна работы.

.. Основные результаты диссертационной работы являются оригинальными и получены впервые. Сформурцруем основные результаты полученные в диссертации:

1. В данной работе для решения проблемы квантового описания диссцпатнвных моделей предлагается использовать вариационное уравнение Седова, являющееся обобщением принципа стационарности действия на диссилатпвные и необратимые процессы. Отметим, что для включения диссипатпвных процессов в сферу применимости вариационных принципов Седовым рассматривались, помимо голономных функционалов, неголономные. Получены основные свойства которым должно удовлетворять обобщение гамильтоновой механики на диссипативные системы. В рамках этого подхода был введен неголономный объект - обобщение понятия потенциала замкнутой дифференциальной формы на незамкнутые дифференциальные формы. Рассотренны основные свойства (характеристические свойства), которым должен удовлетворять этот объект, прп этом использовалось обобщение скобок Пуассона на незамкнутые дифференциальные формы.

Уравнение движения диссипатпвных систем представляются в виде использующем обобщенные скобки Пуассона. Показано, что полная производная по времени классической скобки Пуассона не удовлетворяет правилу Лейбница в силу уравнений движения.

Получено в случае плоского фазового пространства классическое уравнение Лнувилля для дпсснпативных систем. Показано, что динамика некоторых диссипатпвных систем сопроваждается изменением энтропии. Получено выражение вариационного принципа Седова в фазовом пространстве.

2. Предложенный подход к дпссппатпвноп гамильтоновой механике использован для обобщения канонического квантования и уравнений фон Неймана на диссипативные системы.

Показано, что одним из способов решения проблем квантового описания дпсснпативных спстем является пополнение алгебра Гей-зенберга некоторым оператором Получены основные коммутационные соотношения для операторов физических величин и оператора

в результате замены классических скобок Пуассона этих величин коммутаторами соответствующих операторов. Построенная опера-

торная алгебра является естественным расширением алгебры Геи-зенберга, канонических коммутационных соотношений за счет введения оператора неголономого объекта в дополнение к обычным (ассоциативным) операторам обычных (голономных) функций от координат, импульсов и времени. Показано, что для выполнения всех предложенных коммутационных соотношений, оператор \У должен быть неассоциативным, нелиевым (не удовлетворяющим тождеству Якоби) оператором.

Отметим, что в результате действие полной производной по времени на произведение и коммутатор ассоциативных операторов не удовлетворяет правилу Лейбница, которое деформируется за счет возникновения ассоциатора и алгебраического якобиана оператора не-голономной величины соответственно. Это приводит к снятию противоречия и несовместимости квантовых уравненнй движения дисси-пативных систем с алгеброй Гейзенберга и каноническими коммутационными соотношениями.

Предложено обобщение уравнения фон Неймана, которое является квантовым аналогом классического уравнения Лпувилля для дис-сипативных систем и тем самым удовлетворяют принципу соответствия. Получены дпссппативные аналоги уравнений Гейзенберга и Шредпнгера, функциональный интеграл по путям в фазовом пространстве для диссипатпвных систем. Получено выражение производящего функционала связных функций Грина для негампльтоновых (дпссипативных) моделей теории поля.

Получено выражение для конечной перенормировки метрики плоского конфигурационного пространства гармонического осшхлятора с трением за счет квантовых флуктуации в первом порядке по теории возмущений. Решено стационарное обобщенное уравнение Шредпнгера для гармонического осциллятора с трением в приближении фонового поля и получан энергетический спектр этого осциллятора.

3. Построено обобщение метода нормальных координат и ковари-антного метода фонового поля на аффннно-метрические пространства с кручением. Обобщается на аффпнно-метрические пространства упрощенный алгоритм получения коварпантного фоново-полевого разложения для нелинейной сигма модели.

"4. Было рассмотренно обобщение двумерной нелинейной бозонной

сигма-модели и сигма-модельного подхода к квантовой теории струн на случаи аффшшо-метрического многообразия. Показывается, что замкнутая бозонная струна в искривленном аффинно- метрическом пространстве и двумерная нелинейная сигма модель с аффинно- метрическим полевым многообразием являются диссииативньши системами. Обсуждается способ получения конформной аномалии следа тензора энергии-импульса для замкнутой бозонной струны на аффинно-метрическом многообразии (то есть в поле диссипативных и недисси-пативных безмассовых фоновых полей). Получено, что конформная аномалия следа тензора энергии-импульса бозонной струны на аффинно - метрическом многообразии определяется усредненными метрической и дилатонной бета-функциями. Показывается, что последовательное квантование струны на аффинно - метрическом многообразии возможно лишь в рамках квантовой диссипативной теории и при условии тривиальности усредненных бета-функций соответствующей диссипативной сигма-модели.

5. Ковариантным методом фонового поля вычислены одно-петлевые и двух-петлевые контрчлены к метрике диссипативной двумерной нелинейной сигма модели. Получено выражение двухпетлевой бета-функшш метрики сигма модели на аффинно - метрическом многообразии. Найдены условия при которых бета-функция метрики двумерной нелинейной сигма модели на аффинно - метрическом многообразии в одно-петлевом и двух- петлевом порядках равна нулю. Полученные условия определяют класс аффинно - метрических многообразий допускающих последовательное квантовое описание замкнутых бозон-ных струн на аффинно - метрическом искривленном пространстве -времени.

Практическая ценность работы. Практическая ценность полученных результатов определяется широким применением сигма моделей в теории струн. Предложенный подход к решению проблем квантового описания диссипативных систем обобщение уравнения фон Неймана и производящего функционала связных функций Грина позволяет рассматривать широкий класс диссипативных моделей. Вычисления двухпетлевого вклада в бета -функцию метрики двумерной нелинейной сигма -модели с аффинно -метрическим полевым много-

образием позволяет определить условия на геометрию пространства -времени при выполнении которых возможно последовательное квантовое описание замкнутых бозонных струн на аффпнно- метрическом искривленном пространстве- времени.

Апробация работы. Результаты диссертации опубликованы в работах [1-12] п докладывались на международной летней школе по физике высоких энергий и космологии (Италия, Триест, 1990; Триест 1994), международной конференции "Актуальные проблемы фундаментальных наук" (Москва, 1991), международных семинарах "Физика высоких энергий и квантовая теория поля" (Сочп 1992; Звенигород 1993; Звенигород 1994), на семинарах отдела теоретической физики высоких энергий НИИЯФ МГУ и Отдела теоретической физики ИФ-ВЭ.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, содержит 14 рисунков, а также список литературы (363 названий). Обьем диссертации 128 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность работы и дается краткий обзор работ по теме диссертации.

В первой главе для описания диссипативных моделей предлагается использовать вариационное уравнение Седова, являющееся обобщением принципа стационарности действия на диссппативные системы. Для включения диссипативных процессов в сферу применимости вариационных принципов Седовым рассматривались, помимо голо-номных функционалов, неголономные. В первой главе рассматриваются основные свойства которым должно удовлетворять обобщение гамильтоновой механики на диссппативные системы. В рамках этого подхода вводится неголономный объект являющийся обобщение понятия потенциала замкнутой дифференциальной формы на незамкнутые дифференциальные формы. Рассотренны основные свойства, которым должен удовлетворять этот обьект, при этом использовалось

обобщение скобок Пуассона на незамкнутые дифференциальные формы. . ..,. , Уравнение двшкения диссипативных систем представляются в виде использующем обобщенные скобки Пуассона [ , }:

^ = [<^-«•1 ^ = (1)

Полная производная по времени от физической величины А == ()

записывается в виде

Любой член, который одновременно прибавляется к гамильтониану Л и к неголономному обьекту ьз неизменяет уравнений движения. Этот произвол в определенпие гамильтониана устраяется требованием того, чтобы гамильтониан был канонически связанным с физической энергией системы, которое можно представить в виде [ш, д1] = 0.

Показано, что полная производная по времени классической скобки Пуассона не удовлетворяет правилу Лейбница в силу уравнений движения:

^[а,Ь] = [^а,Ь} + [а,^Ь} + ^а,ю,Ь] (3)

где 7[а,6,с,] = [а, [Ь, с]] + [Ь, [с, а}] + [с, [а,Ь]]. Получено классическое уравнение Лиувилля для диссипативных систем в случае плоского фазового пространства:

(4)

где

п

• «(ър»*) = £ (5)

1=1

Показано, что динамика некоторых диссипативных систем (и ^ 0) сопровождается изменением энтропии. В дополнение к теореме Пуанкаре-Мисры получено утверждение о существовании в дисси-цативной гамильтоновой механике функции координат и импульсов, являющейся функцией Ляпунова.

Рассмотренно выражение вариационного принципа Седова в фа-овом пространстве.

Во второй главе предложенный подход к диссипативной гампль-гоновоп механики использован для обобщения канонического кванто-1анпя и уравнений фон Неймана на дпссипативные системы.

В результате анализа различных методов квантового описания шссипатпвных систем сформулированы требования которым долж-го удовлетворять обобщение квантовой механики на дпссипативные :ястемы.

Показано, что одним из способов решения проблем квантового »писания диссипативных систем является пополнение алгебра Геп-:енберга некоторым оператором W. Получаются основные коммута-шонные соотношения для операторов физических величин и операто->а W в результате замены классических скобок Пуассона этих велп-шн коммутаторами соответствующих операторов. Построенная опе-жторная алгебра является естественным расширением алгебры Ге-пенберга, канонических коммутационных соотношений за счет вве-гения оператора W неголономого объекта в дополнение к обычным ассоциативным) операторам функций от коордннат. импульсов и зременп. Для выполнения всех предложенных коммутационных соотношений. оператор W должен быть неассоцпативным. нелпевым не удовлетворяющим тождеству Якобп) оператором. При этом до-:таточно потребовать, чтобы оператор W удовлетворял следующим уТловиям:

1) Левой и правой ассоциативности:

(Zk. Z1. W) = (IF, Zk. Zl) = 0

2) Лево-правой неассоцпативностн:

(Zk\W,Z')ii 0 если кф1

где (Л, В, С) = (А{ВС'))~({АВ)С) ассоциатор: а к: I = 1. ..,2п ; Z' = Ql и Zn+i = Pr. i = 1.....п.

Полная производная от оператора физической величины A(t)-~ A{Q,P,t) записываются в виде обобщенного уравнения Гейзенберга

dA дА i _ = „ + (6)

Показано, что действие полной производной по времени на пропз-

ведение и коммутатор двух ассоциативных операторов не удовлетворяет правилу почленного дифференцирования (правилу Лейбница).' которое деформируется за счет возникновения ассоциатора и алгебраического якобиана неассоциатпвного оператора W, соответственно:

i.{AB) = {{jA)B) + {A{jB)) + (A,W,B) (7)

В] = [¿Л, В] + [Л, ±В\ + J[A, W, В) (8)

где А и В - ассоциативные операторы (операторы голономных функции), J[A,B,C] = [Л, [В, С]] + [В, [С, Л]] + [С, [А, В]] - алгебраический якобиан; [.4, В] является коммутатором операторов .4 и В. Таким образом; неассоциативность и нелиевость оператора W приводят к тому, что квантовые уравнения движения дпсстшативных систем и канонические коммутационные соотношения не противоречат друг другу. • -

Предлагается обобщение уравнения фон Неймана, которое является квантовым аналогом классического уравнения Лиувилля для днс-сппатпвных систем и тем самым удовлетворяют принципу соответствия:

«•>

= + (10)

~ps(t,tо) = £(/>5, (Я - W)s] - ps}+ (11)

где антикоммутатор [, ]+ возник из-за эрмитовости оператора плотности р п оператора П, а операторы А и As являются гейзенберговским и шредпнгеровским представлением оператора A{t) .

Рассматриваются некоторые важные особенности базисных векторов: Отмечается, что в квантовой дпссипативной механике необходимо учесть, что даже в представлении Гепзенберга операторы состоянии pn(t) = ЕаPa[t'„,t >н< фа^]и и волновые вектора >я эволюционируют с течением времени, то есть в противоположность обычной квантовой механики [г/, t-i >н

Ф [?.*2 >Н ■

Поэтому базисные вектора {[</,' >} определяются в.фшссированных

ременных точках t = Выполняются следующие утверждения: 1) Унитарное преобразование переводит базисный вектор в базис-ый; (2) Для любых двух векторов, определенных в двух разных вре-[енных точках существует унитарное преобразование связывающее х. В результате, шредингеровское представление базисного вектора /,<,<о >5= >н можно рассматривать как унитарное ире-

бразование базисного вектора [с/, t(¡ >н~ I >//= [7./<) >5.

Получено выражение производящий функционал для связанных »ункцнй Грина в виде интеграла по путям в фазовом пространстве ;ля дпссппативных систем.

1{3) = ~гП 1п I ехр 1- / сГ'х /(,?, тг)

де

/(*, х) = - Н(<р, х) + тг) + ж) + .

ат I

4{<р. тг) - гамильтониан системы; IV(¡р. тг) - неголономный обьект. Ис-юльзование этого производящего функционала позволяет вычислить сонтрчлены бозоной нелинейно:! сигма-модели с аффинно-метрическим юлевым многообразием.

Рассмотрен пример гармонпчемского осциллятора с трением. По-1учено выражение для конечной перенормировки метрики плоского сонфигурационного пространства гармонического осцготятора с тре-шем за счет квантовых флуктуации в первом порядке по теории воз-лущении. Решено стационарное обобщенное уравнение Шредингера 1ЛЯ гармонического осциллятора с трением в приближении фонового юля и получается энергетический спектр этого осциллятора. Полуденные собственные значения имеют вид

Еп = П^2 - п

при 0 < ~/2/л2 < \ и непрерывный спектр при у2/л2 > Заметим, что время жизни состояния равно Т = ^ < со. Результаты можно переписать в виде

Д£„(и?) = {Гф2 - 72 при а/2 > 272) Д(0 при л2 < 2у)

Отмечается, что скачек в точке и» = \/2? является чисто квантовым диссипатпвным эффектом.

В третьей главе построено обобщение метода нормальных координат и коварпантного метода фонового поля на аффннно-метрические пространства с кручением. Обобщается на аффннно-метрические пространства упрощенный алгоритм получения коварпантного фоново-полевого разложения для нелинейной сигма модели. Используя этот алгоритм легко получить разложение показателя экспоненты 1(>р, ■к) производящего функционала связных функций Грина нелинейной сигма модели ковариантным методом фонового поля для аффпнно - метрическом многообразии с крученпем.

В четвертой главе рассмотренно обобщение двумерной нелинейной бозонной сигма-модели и сигма-модельного подхода к квантовой теории струн на случай аффинно-метрического многообразия, предложенное в работах автора. Рассматривается замкнутая бозон-ная струна на искривленном аффпнно- метрическом пространстве как пример диссппативной квантовой системы. Мировая поверхность, заметаемая струной в процессе движения, описывается отображением А"(л:) из двумерного параметрического пространства N в п-мерное пространственно-временное многообразие М. Классические уравнения движения для замкнутой бозонной струны на п-мерном аффинно-метрпческом искривленном пространстве-времени

&<Гд<ГдиХ> + Гы{Х)д„Хк^ГдиХ1 = 0 (12)

где д>и/{х) является двумерноным метрическим тензором: Г'и(Л') -коэффициенты аффинной связности, которые можно представить для аффпнно-метрпческнх многообразий в впде

= [-ы] + ЯЦЛ-)

где ['¡.¡} - символы Кристоффеля для метрнхш С'^(Х); Вш(Л') является тензором дефекта связности:

О'ы(Х) = (-1/2А> + Л> - Аи;) + 2<2(Н)'' + О',, (13)

где Кш — Си - тензор неметричностп и (¿'ц = Г'^.;] - тензор кручения.

Уравнения движения (12) являются уравнениями двумерного геодезического потока на аффинно-метрпческом многообразии (двумерным аналогом геодезической линии). Это уравнение нельзя получить из принципа стационарности действия.

Обсуждается способ получения конформной аномалии следа тензора энергии-импульса для замкнутой бозонной струны на аффинно-метрпческом многообразии (то есть в поле диссипативных и недис-сипативных безмассовых фоновых полей). Показывается, что конформная аномалия следа тензора энергии-импульса бозонной струны на аффинно - метрическом многообразии определяется усредненными метрической и дилатонной бета-функцпями, аналогично сигма модели на римановом многообразии. Таким образом, последовательное квантованое описание замкнутой бозонной струны на аффпнко - метрическом многообразии возможно лишь в рамках квантовой дпсси-пативной теории и при условии занулення усредненных бета-функций соответствующей нелинейной сигма-модели с аффинно- метрическим многообразием.

Коварпантным методом фонового поля вычислены одно-петлевые и двух-петлевые метрические контрчлены двумерной нелинейной сигма модели на аффинно- метрическом многообразии. Получено выражение двухпетлевой метрпческой бета-функции этой сигма модели. Найдено, что однопетлевая и двухпетлевая части метрпческой бета-функции нелинейной сигма модели с аффинно- метрическим полевым многообразием исчезают, если корреляция между структурами метрики и связности на аффинно-метрпческом многообразии М задается в виде:

^¡С^ = , = ; С){ч)1 = 0 ; = Л'^.Л^р ; (14)

При этом мы использовали следующие обозначения Щы - : Н'Л; = 2д[1,Гт+2ГашГпт

^,.4, = + Я\{Ап = О,А' - = -4,;,

а - симметричная часть аффинной связности. Многообразия определенные условиями (14, 15} не являются плоскими, так как тензор римановой кривизны (построенной по символам Кристоффеля) не равен нулю.

Полученные условия определяют класс аффпнно- метрических многообразий допускающих последовательное квантовое описание замкнутых бозонных струн в аффинно- метрическом искривленном пространс: времени.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Белокуров В.В., Тарасов В.Е. Ультрафиолетовая конечность нелинейных двумерных снгма-моделей на аффинно-метрнческом многообразии // Теор. мат. физ- 1989 - Т.78. N.3.- С.471-474.

2. Belokurov V. V., Tarasov V.E. The correlation between the connectio and the metric as ultraviolet finiteness condition.- Preprint ICTP.- 1990,-IC-90-168. - 22p.

3. Белокуров B.B., Тарасов В.Е. Инвариантная регуляризация инфракрасных расходимостей в методе фонового поля для двумерных нелинейных теорий // Вестник Московского Университета. Сер. 3. Физика и Астрономия- 1991.- Т.32. N.6.- Р.14-18.

4. Тарасов В.Е. Нелинейная двумерная сигма-модель: неметрич-ность через неголономнып функционал и непостоянное натяжение стру ны // Актуальне проблемы фундаментальных наук: тезисы докладов. Т.З. Секция теоретической н эксперементальной физики. - М.: Изд-во МГТУ, 1991.- С.62-64.

5. Tarasov V.E. Dissipative quantum dynamics and nonlinear sigma-model - Препринт НИИЯФ МГУ - 1992 - N. 92-33/282. - 22c.

6. Tarasov V.E. Quantization, generating functional and conformal anomaly for nonlinear affine-metric sigma-model // Яд. Физ.- 1993.-T.56. N.ll - C.269-276.

7. Tarasov V.E. Phese space path integral for non-hamiltonian systems // Proc. Joint Inter. Workshop on "High Energy Physics and Quantum

Field Theory".- Moscow: Moscow St. Univ. Press, 1994 - P.205-209.

8. Тарасов B.E. Квантовые дисснпативные модели: I. Каноническое квантование и квантовое уравнение Лпувнлля // Теор. ц матем. фпз.- 1994 - Т.100. N.3.- С.402-417.

9. Тарасов В.Е. Квантовые днссппатпвные .модели: II. Струна в искривленном аффинно-метрическом пространстве-времени // Теор. и матем. физ - 1994 - Т.101. N.I.- С.38-46.

10. Tarasov V.E. Bosonic string iu affine- metric curved space // Phys. Lett. B. - 1994.- V.323- N.2/3 - P.296-304.

11. Tarasov V.E. Dissipative quantum mechanics: The generalization of canonical quantizationand von Neumau equation.- Preprint ICTP.-1994.- 1С-94-192. - 23p. (hep-th/9410025)

12. Tarasov V.E. Two-loop beta-function for nonlinear sigma model with affine-metric manifold // Mod. Phys. Lett. A. - 1994 - V.9. N.26-P.2411-2419.