Неевклидовы модели упруго-пластических материалов с дефектами структуры тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Я & ^

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ДАЛЬНЕВОСТОЧНОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

ИНСТИТУТ АВТОМАТИКИ И ПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ

На правах рукописи

ГУЗЕВ Михаил Александрович

НЕЕВКЛИДОВЫ МОДЕЛИ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ С ДЕФЕКТАМИ СТРУКТУРЫ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

о кх

Диссертация на соискание ученой степени

д ? Т"¿КК "россии '"¡1 У

н О „

: ■ от " " 19^г„ № ЗЗЫ^

судил ученую степень ДОКТОРА ь

О

начальник управления ВАК России

Владивосток - 1999

.................................-

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение 4

Глава I. Евклидова модель упругой сплошной среды 26

§ 1. Гипотеза сплошности................... 26

§ 2. Метрическая структура классической модели

сплошной среды...................... 30

§ 3. Структура аффинной связности............. 35

§ 4. Геометрическая замкнутость классической модели

сплошной среды...................... 39

§ 5. Термодинамика упругой сплошной среды....... 43

§ 6. «Скрытые» параметры евклидовой модели упругой

сплошной среды...................... 45

Глава II. Неевклидова модель упруго-пластического материала с дефектами дислокационного и дисклинационного видов 49

§ 1. Неевклидовы свойства упруго-пластической модели . 49 § 2. Выбор модели и некоторые геометрические ограничения 55 § 3. Уравнение переноса для обобщенных дисторсий

и объекта неголономности................ 58

§ 4. Термодинамика материала с дислокациями

и уравнения состояния.................. 60

§ 5. Полная система уравнений материала с дисклинациями 64 § 6. Классическая упруго-пластическая модель и влияние дефектных структур на пластическое поведение

материала......................... 69

Глава III. Аффинно -метрическая структура

упруго-пластической модели сплошной среды 72 § 1. Геометрическая структура моделей упруго-пластических материалов.................... 72

§ 2. Уравнения переноса и геометрическая замкнутость

аффинно-метрической модели............................75

§ 3. Выбор термодинамических переменных................79

§ 4. Термодинамическая схема................................81

§ 5. Полная система уравнений................................85

§ 6. Геометрически замкнутые неевклидовы модели

сплошной среды............................................87

Глава IV. Применение неевклидовой модели сплошной среды для описания зональной дезинтеграции

горных пород 95

§ 1. Постановка задачи........................................95

§ 2. Кинематические соотношения и уравнения состояния 100

§ 3. Уравнение для скалярной кривизны..........103

§ 4. Краевые условия и формулировка решения......105

§ 5. Локализация зон дезинтеграции.............110

Глава V. Калибровочный формализм и описание

структур в сплошной среде 116

§ 1. Уравнения движения и краевые условия........116

§ 2. Постановка краевых условий в задаче описания

структур..........................119

§ 3. Уравнение для структур на плоскости.........120

§ 4. Структуры с нулевой кривизной............122

§ 5. Структуры с ненулевой кривизной...........125

§ 6. Рождение структур....................128

§ 7. Диссипативные свойства калибровочной модели

сплошной среды......................130

Заключение 136

Литература 139

ВВЕДЕНИЕ

Проблема описания упруго-пластического поведения материалов является одной из центральных в механике деформируемого твердого тела. Разделение интересов исследователей в этой области связано, в первую очередь, с необходимостью решать различные по своему качественному уровню задачи, в которых для описания внутренних свойств реальных материалов при деформировании требуется, в общем случае, использование различных математических моделей.

В механике сплошной среды достаточно полно разработана математическая модель упругого деформирования материалов [1, 2]. Допустим, что мы задаем движение среды в переменных Эйлера, тогда в качестве меры полной деформации используется тензор Альманси А^, который, по предположению теории упругости, совпадает с тензором упругой (обратимой) деформации е^. Для того чтобы записать уравнения состояния материала необходимо задать внутреннюю энергию как функцию энтропии и тензора ец. Эти соотношения следует дополнить законами сохранения, сформулировать начальные и краевые условия, тогда получаемая система уравнений является замкнутой и позволяет описать термомеханическую эволюцию материала в рамках модели упругой сплошной среды.

При построении теории упруго-пластического деформирования необходимо расширить число параметров описания, в частности, ввести тензор пластической (необратимой) деформации. Чтобы рассмотреть и 7Гу как термодинамические переменные, необходимо задать соотношения, определяющие связь этих тензоров с другими кинематическими и динамическими характеристиками рассматриваемой модели сплошной среды. В этом случае возникает проблема разделения тензора Альманси А^ на тензор упругой и пластической деформаций. Построение конкретной зависимости А^ от е^ и ща

определяется теми или иными физическими гипотезами о разделении полного отклика материала на внешнее воздействие. Если разбиение деформаций на обратимые и необратимые выполнено, то на основе формализма неравновесной термодинамики можно записать уравнения состояния материала через две экспериментально измеряемые независимые функции - внутреннюю энергию и диссипативный потенциал. В предположении аддитивной зависимости тензора Альманси от тензора упругой и пластической деформации этот подход реализован в [3] для построения класса моделей упруго-пластических материалов при произвольных полных деформациях. Этот класс моделей, охватываемый единым описанием в рамках используемого формализма, достаточно широк и в качестве предельных включает в себя как модель обычной вязкой жидкости, так и идеально пластического тела. Более сложные (нелинейные) зависимости между тензорами используются в [4], здесь также приведены ссылки на более ранние работы по проблеме конечных упруго-пластических деформаций.

Механика деформируемого твердого тела как макроскопическая теория не учитывает внутренних механизмов упруго-пластического деформирования. С точки зрения физики упругая среда является идеальным кристаллом, а механизм пластических деформаций определяется структурными дефектами материала. Поэтому традиционно [5] микроскопический уровень рассмотрения процессов упруго-пластического деформирования принято относить к физике пластичности.

Структурные дефекты кристаллов подразделяют по геометрическим признакам на точечные (нульмерные), линейные (одномерные), поверхностные (двумерные) и объемные (трехмерные) (см., например, [6]). Точечные дефекты создают искажения в области, размеры которой по всем направлениям сравнимы с межатомным расстоянием. К точечным дефектам относятся вакансии, примесные атомы и их

комплексы, межузельные атомы. Линейные дефекты характеризуются тем, что искаженная область кристалла в двух измерениях имеет атомные размеры, а в третьем измерении протяженность дефектной области может быть порядка размера кристалла. К линейным дефектам относятся дислокации, дисклинации, цепочки вакансий и другие. Поверхностные дефекты малы только в одном измерении. К ним относятся границы зерен, дефекты упаковки и т.д. Линейные и поверхностные дефекты локализованы в каком-то из направлений: их протяженность в соответствующем измерении имеет порядок межатомного расстояния. В отличие от них объемные дефекты имеют относительно большие, по сравнению с атомным диаметром, размеры во всех трех измерениях. К объемным дефектам относятся, в частности, поры, трещины. В течение последних шестидесяти лет интенсивно разрабатывалась теория линейных дефектов решетки (таких, как дислокации, дисклинации) и двумерных (планарных) ее дефектов - дефектов упаковки, границ разориентации и границ фаз (см., например, [5] и ссылки в ней).

Однако, в математических моделях, построенных в физике пластичности, и в макроскопической теории пластичности деформируемого твердого тела нет той степени полноты и непротиворечивости, которая достигнута в модели упругой сплошной среды. Такое выделенное положение этой модели определяется, по-видимому, следующими причинами. Дело в том, что картина развития упругой деформации характеризуется более простыми физическими механизмами в отличие от упруго-пластических процессов. Известно, что анализ напряженно-деформированного состояния материалов в рамках модели упругой сплошной среды выполняется при малой деформации. В этом случае внутренние напряжения в материале таковы, что они не приводят к проявлению его структурных свойств, зависящих, в частности, от

характера нагружения, предыстории материала и других факторов. Тогда при введении феноменологических параметров в теорию для описания малой деформации достаточно использовать упругие постоянные, которые можно определить из массового эксперимента. Иная ситуация возникает при описании пластических свойств материала. Экспериментальные исследования показывают [5], что при пластическом течении идут процессы структурной перестройки. В классических моделях теории пластичности (см., например, [7]) учитывается только деформационное упрочнение материалов. Это реализуется в представлении деформаций в виде двухстадийного процесса: упругого и пластического. Для макроскопического уровня их рассмотрения результаты теории находят экспериментальное подтверждение. Тем не менее такой подход вступает в противоречие с экспериментально наблюдаемыми картинами развития пластической деформации на промежуточных - между микроскопическим и макроскопическим - масштабах. Выделение таких масштабов в кристалле определяется тем, что коллективные движения дефектов приводят к появлению в нем нового качественного состояния, характеризуемого существованием так называемых уровней деформации. Это, в частности, подтверждается экспериментально хорошо известным поведением поликристаллических материалов [5], для которых процесс пластического течения является многостадийным.

Другая причина, выделяющая модель упругой сплошной среды, связана с внутренней геометрической структурой модели. Хорошо известно [1, 2], что в системе отсчета наблюдателя в трехмерном евклидовом пространстве тензор полной деформации Агз [1,2]- тензор Аль-манси - определяется через лагранжевы характеристики = Ь)

частиц сплошной среды с помощью соотношения

1/

~ 2 V дхг дхз )' Это представление для тензора Альманси через векторное поле €) справедливо всегда и не зависит от физического механизма процесса деформирования, при этом А^ характеризует форму деформируемого образца. По предположению классической теории упругости тензор упругой деформации Ец совпадает с тензором полной деформации Аг]. С другой стороны, деформирование материала изменяет его термомеханическое состояние, тогда с помощью реологических соотношений тензор упругой деформации е^ вычисляется через тензор напряжений и температуру среды [2]. Следовательно, компоненты е^ можно рассматривать в качестве внутренних характеристик материала, определяющих метрический тензор упругой деформации д^ = 8г] — 2егз (в [2] он называется эффективным метрическим тензором). Согласно предположению классической теории упругости тензор упругой деформации Ец совпадает с тензором Альманси Аг]. Поскольку объект определяется из реологических соотношений способом, независимым от геометрических измерений, то существование векторного поля £а(х, £), порождающего тензор е^, требует выполнения дополнительных условий - условий совместности. Для малых деформаций они известны как условия Сен-Венана, а в общем случае сводятся к обращению в нуль тензора Римана-Кристоффеля Я,1^ [1, 2]. Геометрический смысл этого объекта в том [8], что он является инвариантной характеристикой евклидовости некоторого множества: если ■ = О, то можно ввести евклидовы координаты на этом множестве. Тогда для материала, деформирование которого рассматривается в рамках модели упругой сплошной среды, выполнение условий совместности означает, что его внутренняя геометрическая структура совпадает со

структурой евклидова (внешнего по отношению к среде) пространства. Таким образом, возможные движения среды, определяемые силами, действующими на нее, не выводят из класса евклидовых моделей, то есть модель упругой сплошной среды является геометрически замкнутой евклидовой моделью. В диссертации (глава I) выполнен анализ основных геометрических положений модели упругой сплошной среды и дано доказательство замкнутости этой модели.

С геометрической точки зрения макроскопические модели упруго-пластических процессов не являются евклидово замкнутыми, поскольку в них тензор упругих деформаций Ец не совпадает с тензором полной деформации Ац и, как следствие, условия совместности не выполняются. Поэтому для описания этих процессов необходимо использовать неевклидовы геометрические характеристики.

Проблема расширения модели упругой сплошной среды изучается очень давно. При ее анализе рассматриваются различные подходы в геометрическом описании дефектов структуры материала. Как отмечается в [9, с.751] К.Кондо и Б.Билби [10, 11] сделали великое открытие, предлагая использовать аффинно-метрические объекты для описания дефектных структур. Сплошная среда при этом рассматривается как многообразие М аффинной связности и в качестве характеристик дефектов берутся метрический тензор, тензор кривизны и кручения многообразия. Применение методов дифференциальной геометрии для введения определяющих параметров модели рассматривалось также в работах Э.Кренера, Л.И.Седова, В.И.Кунина [9], [12 - 14]. Классификация теорий пространства-времени, использующих аффинно-метрическую структуру, приведена в [15]. Соответствующие примеры физических систем с дефектами различных типов указаны в работе [16, 17]. Принято сопоставлять дислокациям - тензор кручения, дисклинациям - тензор кривизны, точечным дефектам -

тензор сегментарной кривизны.

В неевклидовой модели сплошной среды, как в любой теории, необходимо установить связь между выбранными геометрическими параметрами описания и экспериментально измеряемыми характеристиками. К.Кондо рассмотрел [10] многообразие М, для которого тензор кручения равен нулю. В этом случае многообразие можно вложить в евклидово пространство большего числа измерений, при этом компоненты вектора перемещения точек многообразия определяют изменение со временем его геометрических характеристик. Соответствующие уравнения для обратимых явлений были получены при помощи вариационного принципа.

В анализе проблемы выбора геометрических параметров для описания эволюции материалов с дефектами структуры необходимо отметить работу В.Л.Бердичевского и Л.И.Седова [18]. Они указали на тот факт, что в отсутствии релятивистских эффектов движение сплошной среды всегда рассматривается наблюдателем в евклидовом трехмерном пространстве и это не связано с выбором геометрической модели, поэтому любые аффинно-метрические объекты, которые используются при моделировании движения сплошной среды, зависят от пространственных координат наблюдателя и времени. Построенный в [18] вариант неевклидовой модели сплошной среды описывает распределение дислокаций и включает известные макроскопические модели пластичности. При этом достаточно ввести девять новых степеней свободы - на три больше, чем в обычной теории пластичности. Необходимо отметить, что в этой работе впервые установлена связь между выбранными геометрическими характеристиками, соответствующими степеням свободы, возникающим при расширении классической модели упругой сплошной среды, и диссипативнои функцией, характеризующей физический процесс необратимого деформирования.

Влияние термомеханического состояния материала при деформировании на его внутреннюю геометрическую структуру исследовалось С.К.Годуновым [2]. Он предложил ввести эффективный метрический тензор, вычисляемый с помощью реологических соотношений через тензор напряжений и температуру среды. В общем случае для этого тензора не выполняются условия совместности, поэтому его можно рассматривать в качестве внутренней геометрической характеристики материала.

Насколько нам известно, проблема построения термомеханической модели сплошной среды, включающей полный набор аффинно-метрических характеристик, что с точки зрения физики соответствует описанию дислокаций, дисклинаций и точечных дефектов, не была решена. Варианты расширения модели упругой сплошной среды с использованием аффинно-метрического подхода, в которых учитываются дислокации или дисклинации, рассматриваются во второй главе диссертации. Построение неевклидовой модели сплошной среды с учетом дислокаций, дисклинаций и точечных дефектов выполнено в третьей главе. Доказана геометрическая замкнутость этой модели при произвольных взаимодействий дефектных структур между собой и полем обратимых деформаций, а также г