Самоуравновешенные поля напряжений тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

УШАКОВ Александр Александрович САМОУРАВНОВЕШЕННЫЕ ПОЛЯ НАПРЯЖЕНИЙ 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Владивосток - 2006

Работа выполнена в Дальневосточном государственном техническом университете

член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор Гузев Михаил Александрович.

доктор физико-математических наук, профессор Сумин Александр Иванович; кандидат физико-математических наук Ковтанюк Лариса Валентиновна.

Институт машиноведения и металлургии ДВО РАН, г. Комсомольск-на-Амуре.

Защита состоится «22» ноября 2006 года в 14 часов на заседании регионального диссертационного совета ДМ 005.007.02 в Институте автоматики и процессов управления (ПАПУ) ДВО РАН по адресу: 690041, г. Владивосток, ул. Радио, 5, комната 510.

*

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИАПУ ДВО РАН. Автореферат разослан « октября 2006 г.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Ученый секретарь диссертационного совета, к.ф.-м.н.

Дудко О.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Экспериментальное изучение материалов и конструкций показывает, что в них при механическом равновесии в отсутствии внешних сил могут существовать ненулевые напряжения. Описание таких напряжений с помощью теории упругости невозможно, поскольку в рамках этой теории их следует полагать равными нулю внутри тела и на его поверхности. Пути решения^ проблемы описания напряжений были предложены в физических теориях прочности и пластичности: отличные от нуля напряжения в условиях равновесия появляются при построении различных моделей дефектов кристаллической структуры материалов. Ненулевые внутренние напряжения, для которых суммарная сила и момент, действующие на произвольный объём внутри тела, равны нулю, называются самоуравновешенными. В общетеоретическом плане основным результатом исследований по построению моделей материалов с дефектами структуры является вывод о необходимости использовать при описании самоуравновешенных полей неевклидовые геометрические объекты (работы К. Кондо, Б. Билби, Э. Кренера, Л.И. Седова, С.К. Годунова, В.П. Мясникова, М.А. Гузева и др.).

Построение самоуравновешенных полей напряжений методами механики сплошной среды выполнялось в работах С.К. Годунова, В.П. Мяс-никова и М.А. Гузева, С.П. Киселёва, но систематического исследования этих полей не было дано.

Все вышесказанное позволяет сделать вывод об актуальности выбранной темы исследований в механике деформируемого твердого тела.

Цель работы: обобщить вариационный формализм механики сплошной среды с учетом самоуравновешенных полей, исследовать их структуру, установить связь с термодинамическими характеристиками. Научная новизна диссертации состоит в следующем:

з

- в рамках вариационного формализма решена задача о структуре поля напряжений в сплошной среде с учетом самоуравновешенных полей;

- получено уравнение для внутренней метрики материала в предположении е§ изотропии;

- решена задача об аномальном распределении поля напряжений в цилиндрических образцах горных пород.

Достоверность полученных результатов определяется использованными подходами и методами механики сплошных сред, основанными на вариационном принципе.

Теоретическая значимость работы состоит в расширении вариационного формализма для модели сплошной среды, содержащей самоуравновешенные поля, построении новых самоуравновешенных полей напряжения.

Практическая значимость работы состоит в применении развитых подходов исследования самоуравновёшенных полей для решения задачи об аномальном распределении поля напряжений в цилиндрических образцах горных пород.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на Дальневосточной математической школе - семинаре имени Е.В. Золотова (Владивосток, 2003, 2006), Международной конференции по механике (Хабаровск, 2003), конференции «Вологдинские чтения»

(Владивосток, 2004), на Всероссийской конференции «Фундаментальные и

*

прикладные вопросы механики», посвященной 70-летию со дня рождения Мясникова В.П. (Владивосток, 2006).

Отдельные результаты работы докладывались на научных семинарах лаборатории механики деформируемого твердого тела под руководством д,ф,-м.н., профессора A.A. Буренина (ИАПУ, Владивосток, 2005). В целом работа докладывалась на заседании кафедры прикладной математики и механики под руководством д,ф.-м.н,, профессора В.В. Пикуля (ДВГТУ, Владивосток, 2006).

Диссертационная работа поддержана программой научных школ России-грант (НИ1-9004.2006.1) и грантами: Президента РФ (И МД 362. 2003.05), РФФИ (И 02-01-01134) и ДВСХОб-И-УО-01-001).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы (75 наименований). Общий объём работы -102 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении содержится краткий обзор литературы по проблеме самоуравновешенных напряжений в механике деформируемого твердого тела, обсуждается актуальность темы, представлено содержание диссертации по главам.

В первой главе диссертационной работы для сплошной среды, с учетом самоуравновешенных полей, построен функционал, получены уравнения механики сплошной среды и установлена связь этих полей с распределением энтропии.

Первый параграф носит вспомогательный характер: в нем показано, что уравнения механики сплошной среды получаются в рамках вариационного подхода, если определенным образом выбрать функционал и приравнять его вариацию нулю. Тогда получаемые уравнения Лагранжа для функционала дают уравнения механики сплошной среды, включая краевые условия. Для модели упругого тела в отсутствие внешних сил соответствующий функционал I имеет вид:

/= / ОУ\рои-роЦ*-*о)1 тЖ (1)

где и - плотность внутренней энергии, - плотность сплошной среды, — Л'О) - отклонение энтропии от некоторого фиксированного значения,

величина Т называется абсолютной температурой.

В этом же. параграфе приводится определение самоуравновешенности произвольного поля напряжений Ту:

/ 7^7,^ = 0, Мь-= | (7}*ху-Тлх^)пк + /(Г,, -Ту)с1У = 0. (2)

Ъа> да> ф

С физической точки зрения первое условие в (2) означает, что суммарная сила, действующая на произвольный объем со, равна нулю. Второе условие означает обращение в нуль суммарного момента всех сил.

Класс самоуравновешенных напряжений достаточно широк. Показано, что компоненты

<Ту = 2 а012£фде}тп —(3)

их

удовлетворяют условиям (2), где величина е^ - символ Леви-Чивита,

постоянные <7$ и / имеют размерности напряжения и длины соответственно, а

- произвольные гладкие функции.

Во втором параграфе строится функционал для сплошной среды с учетом самоуравновешенных полей. С этой целью используется полевой подход. Согласно полевому подходу, полная плотность внутренней энергии II сплошной среды равна

где функция 11 у - удельная внутренняя энергия упругого поля, учитывает дополнительную энергию среды, определяемую наличием в ней самоуравновешенных напряжений, С/|2 характеризует взаимодействие упругих и самоуравновешенных полей напряжений.

б

В качестве полевых переменных рассматриваются термодинамические параметры. Внутренняя энергия С1\ упругой среды полагается квадратичной функцией тензора малых деформаций и энтропии внутренняя энергия

самоуравновешенных напряжений I/2 ~ квадратичной функцией энтропии 5 и дополнительных полевых переменных И у, а функция Ы\2 - квадратичной от полевых переменных е^ и Нц . Полевые переменные Иу совпадают с самоуравновешенным полем (3) при условии

- 2

^¡к , д8]к Щ \

дх3 дх* дхк

и изотропии матрицы : ёу — gд¡j. Тогда поля Ъу равны

В третьем параграфе вычисляется вариация построенного функционала.

При этом варьированию подвергаются компоненты вектора перемещений и1, определяющего тензор малых упругих деформаций £,у, и функция % (4). Из

условий стационарности функционала получены уравнения и граничные условия. Показано, что поле напряжений равно сумме упругого Пц и

самоуравновешенного Иу (4) полей:

+1/2Лу' = Зу{Кхекк + ЛГ,/^) + 2//^.

В отсутствии внешних сил удовлетворяют уравнениям равновесия и

нулевым условиям на границе:

—^ = 0. 2^=0. (5)

дх'

В четвертом параграфе обсуждается связь самоуравновешенных напряжений с энтропией.

В пятом параграфе показано, что если энтропия является неоднородной функцией пространственных координат, то компоненты упругого поля напряжений не удовлетворяют условиям совместности Сен-Венана.

В шестом параграфе получено уравнение для функции £ (4).

Во второй главе построены аналитические решения однородных уравнений механики деформируемого твердого тела при отсутствии внешних сил.

В первом параграфе приведено решение, построенное С.К. Годуновым, и доказано, что компоненты тензора напряжений обладают свойством самоуравновешенности.

В том же параграфе приведено решение С.П. Киселёва для несимметричных самоуравновешенных полей напряжений. Следует отметить, что в обоих решениях самоуравновешенные поля удовлетворяют краевым условиям (5). Это означает, что нет необходимости вводить упругое поле 7Ту,

компенсирующее поверхностную составляющую самоуравновешенного поля напряжений.

Во втором параграфе в цилиндрической системе координат построены самоуравновешенные компоненты напряжения С^, удовлетворяющие однородным уравнениям равновесия механики сплошных сред и однородным граничным условиям (5). Они имеют вид:

Осоэ^, <ТГГ = ^^ СОЬф,

аг

(аг) . г.

7 аг ^

где J^) (от), ^ (от) - функции Бесселя нулевого и первого порядков, коэффициент а совпадает с одним из ненулевых корней уравнения J[ (сиК) — 0»где Я - радиус цилиндра.

В третьем параграфе на основе подхода, развитого в главе 1, построено решение уравнений равновесия в полярной системе координат. Компоненты тензора полных напряжений равны сумме компонент упругого и самоуравновешенного полей напряжения:

где Л - один из ненулевых корней уравнения = О, Я - радиус круга,

В третьей главе решена задача описания аномального поведения образцов горных пород на основе подходов, развитых при исследовании самоуравновешенных полей.

В первом параграфе приводится описание эксперимента по сжатию образов гранодиорита цилиндрической формы по стандартной методике с фиксированием деформаций тензорезистЬрами и использованием необходимой регистрирующей аппаратуры.

Во втором параграфе обсуждается математическая постановка задачи для описания результатов эксперимента.

В третьем параграфе строится приближенное решение задачи.

Т.гг=Арп 2 соя п<р + —тг р

ЛЧ <Цп 2 г 1 Р2К. )

параметр

А = п{п-\УП{ХЯ)/ (лп~2Яп).

В четвертом параграфе вычислены феноменологические параметры модели на основе экспериментальных данных и проведен анализ полученных результатов.

. В заключении сформулированы результаты, полученные в диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Построен вариационный функционал для сплошной среды с учетом самоуравновешенных напряжений, получены уравнения и граничные условия для этой модели. Показано, что полное напряжение в сплошной среде равно сумме упругого и самоуравновешенного полей.

2. Доказано, что неоднородность распределения энтропии в сплошной среде определяет несовместность поля упругих деформаций.

3. Получено уравнение для функции, определяющей структуру внутренней метрики g в сплошной среде с учетом самоуравновешенных напряжений.

4. В цилиндрической системе координат построено самоуравновешенное поле напряжений, удовлетворяющее нулевым краевым условиям.

5. Построено ненулевое решение в полярной системе координат, удовлетворяющее уравнениям равновесия и нулевым граничным условиям. Это решение совпадает с тензором полных напряжений, равным сумме упругого и самоуравиовешенного полей.

6. В рамках предложенной постановки задачи построено решение для описания аномального поведения образцов горных пород, вычислены феноменологические параметры модели на основе экспериментальных данных.

ю

ПУБЛИКАЦИИ ПО МАТЕРИАЛАМ ДИССЕРТАЦИИ

1. Гузев М.А., Мясников В.П., Ушаков A.A. Структурное описание материалов // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. Специальный выпуск. Нелинейные проблемы механики сплошных сред. 2003. С.256-268.

2. Гузев М.А., Мясников В.П., Ушаков A.A. Поля самоуравновешенных напряжений в сплошной среде // ПМТФ. 2004. Т.45, №4. С.121-130.

3. Гузев М.А., Макаров В.В., Ушаков A.A. Моделирование упругого поведения сжатых горных образцов в предразрушающей области // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. 2005. № 6. С.3-13.

4. Гузев М.А., Мясников В.П., Ушаков A.A. Структура поля самоуравновешенных напряжений в сплошной среде // Дальневосточный математический журнал, 2002. Т.З, №2. С.231-241.

5. Гузев М.А., Ушаков A.A. Ненулевые решения однородных уравнений равновесия механики деформируемого твердого тела // Труды Дальневосточной математической школы-семинара им, Е.В. Золотова, Владивосток, 2003. С. 111-112.

6. Гузев М.А., Макаров В.В., Ушаков A.A. и др. Моделирование поведения горных образцов в предразрушающей области // Вологдинские чтения: материалы конференции. Владивосток: ДВГТУ, 2004. С. 88-89.

7. Гузев М.А., Макаров В.В., Ушаков A.A. и др. Исследование закономерностей деформирования образцов сильйо сжатых горных пород И Сборник докладов международной научной конференции «Фундаментальные и прикладные вопросы механики». Хабаровск: Изд-во Хабар, гос. ун-та, 2003. Т.1. С. 10-19.

8. Гузев М.А., Ушаков A.A. Об одном классе ненулевых решений однородных уравнений равновесия механики деформируемого твердого тела И

и

Фундаментальные и прикладные вопросы механики. Сборник трудов конференции, посвященной 70-летию со дня рождения Мясникова В.П. Владивосток: ИАПУ ДВО РАН, 2006. С.43-44.

Личный вклад автора.

В работах [1 - 4, 6 - 7] автор участвовал в обсуждении проблем, построении аналитических решений и необходимых расчетах. В работах [5, 8] участвовал в постановке задач и построении аналитических решений.

УШАКОВ Александр Александрович САМОУРАВНОВЕШЕННЫЕ ПОЛЯ НАПРЯЖЕНИЙ

Автореферат

Подписано к печати 16.10.2006 г. Усл.п.л.0.6. Уч.-изд.л. 0.5. Формат 60X84/16. Тираж 100. Заказ 138

Отпечатано в типографии Издательства ДВГТУ г. Владивосток, Пушкинская, 10

Введение

Глава 1. Модель сплошной среды с учетом самоуравновешенных напряжений

§1.1. Вариационная задача классической теории упругости

§ 1.2. Функционал внутренней энергии с учетом самоуравновешенных полей напряжения

§ 1.3. Уравнения и краевые условия для полных напряжений

§ 1.4. Связь самоуравновешенных полей напряжений с энтропией

§ 1.5. Самоуравновешенные поля напряжений при неоднородном распределении энтропии

§ 1.6. Уравнение на функцию напряжений g

Глава 2. Построение решений для полей самоуравновешенных напряжений

§ 2.1. Самоуравновешенное поле в декартовой системе координат

§ 2.2. Самоуравновешенное поле напряжений в цилиндрической системе координат

§ 2.3. Самоуравновешенное поле в полярной системе координат

Глава 3. Описание аномальных явлений горных образцов на основе построенной модели

§ 3.1. Описание эксперимента над горными образцами

§ 3.2. Постановка задачи

§ 3.3. Поле упругих напряжений в образце

§ 3.4. Выбор параметров модели

Экспериментальное изучение материалов и конструкций показывает, что в них при механическом равновесии в отсутствии внешних сил могут существовать ненулевые напряжения. Описание таких напряжений с помощью теории упругости невозможно, поскольку в рамках этой теории их следует полагать равными нулю внутри тела и на его поверхности. Пути решения проблемы описания напряжений были предложены в физических теориях прочности и пластичности: отличные от нуля напряжения в условиях равновесия появляются при построении различных моделей дефектов кристаллической структуры материалов. Ненулевые внутренние напряжения, для которых суммарная сила и момент, действующие на произвольный объём внутри тела, равны нулю, называются самоуравновешенными.

Технологам хорошо известен факт существования в изделиях из различных материалов самоуравновешенных или остаточных напряжений [7], [68]. Примером могут служить сварные швы. Экспериментальные и натурные исследования показывают, что напряжения в сварных соединениях могут иметь значения, сравнимые с напряжениями, возникающими при внешних воздействиях. Сами эти тела при этом находятся в механическом и термическом равновесии. Для одного и того же материала уровень этих напряжений в изделии различен и определяется предшествующим процессом его изготовления.

Следует заметит, что самоуравновешенные напряжения встречаются в других, кроме механики твердого тела, областях жизни. В частности, самоуравновешенные напряжения важны в струнах музыкальных инструментах, в спицах велосипедных колес, в болтах и гайках, которыми притягиваются крышки к резервуарам с высоким давлением, в длиннопролетных мостах и закаленных стеклах транспортных средств, в элементах техники и сооружений. Они обеспечивают устойчивость деревьев, имеются в костях людей и животных, в листьях, в траве и т.д. Благодаря внутреннему напряженному состоянию, строение растений и организмов животных близки к совершенным. Если освободить тела животных от внутренних напряжений мышц, сосудов, то тела перестанут быть таковыми. Умелое применение внутреннего напряженного состояния различных конструкций и материалов даёт большие выгоды создателям и, конечно же, это широко используется.

Как указано выше, описание самоуравновешенных напряжений оказалось возможным в физических теориях прочности и пластичности при построении различных моделей дефектов кристаллической структуры материалов [33], [49], [55]. Анализ таких физических моделей еще в пятидесятые годы прошлого века привел Кондо [74] и Билби [75] к выводу о необходимости использовать при их описании неевклидовы геометрические объекты, запрещенные в классической теории упругости.

Попытки построить полную термомеханическую модель поведения упруго-пластических материалов, учитывающую взаимодействие различных дефектных структур, были предприняты в восьмидесятые годы XX века, когда наметилась тенденция к использованию калибровочной теории в механике деформируемого твердого тела. К этому времени в применении этой теории для конструирования новых моделей макроскопического описания упруго-пластического деформирования различных материалов сложилось целое направление: за рубежом - А. Кадич, Д. Эделен [33]; в нашей стране - В.Е. Панин [54], Ю.В. Гри-няев, В.И. Данилов [55] и др.

В работах [43-47], [72-73] была успешно реализована идея использовать при построении новых моделей сплошной среды «скрытые» геометрические параметры классической теории упругости. В классической теории эти параметры тождественно равны нулю, что связано с выполнением гипотезы о совпадении внутренней геометрии материала с геометрией евклидова пространства наблюдателя. При отказе от этой гипотезы «скрытые» параметры становятся отличными от нуля и допускают интерпретацию как геометрические объекты аффинно-метрических пространств. Доказано, что этот класс моделей сплошной среды является геометрически замкнутым и описывает эволюцию дефектных структур на различных масштабных уровнях, их взаимодействие между собой. В этих работах указывались методы построения самоуравновешенных полей напряжения и приводились их явные выражения.

В наиболее четкой форме общая идея анализа самоуравновешенных напряжений сформулирована в работе [45]. В ней показано, что класс самоуравновешенных полей напряжений Тц достаточно широк и порождается функциями напряжения. Эти функции допускают интерпретацию как коэффициенты связности на многообразии, порождаемом материалом, содержащим дефекты структуры. При этом для выполнения краевых условий вводится дополнительное упругое поле компенсирующее поверхностную составляющую поля Тц. Полное поле Ejj = Тц + 1Тц удовлетворяет уравнениям равновесия и однородным краевым условиям. Однако доказательства свойства самоуравновешенности поля Тц [45] не было дано, а также не приведено строгого обоснования структуры полного поля напряжения Еу. В диссертации этот пробел ликвидируется: приводится доказательство этого свойства самоуравновешенности полей Тц. И выполнено в рамках вариационного подхода обоснование структуры поля Е^-.

В общетеоретическом плане основным результатом исследований по построению моделей материалов с дефектами структуры является вывод о необходимости использовать при описании самоуравновешенных полей неевклидовые геометрические объекты.

Построение самоуравновешенных полей напряжений методами механики сплошных сред выполнено в [12], [34]. При этом в [12] поле напряжений рассматривалось как пример ненулевого решения системы уравнений в отсутствии внешних сил при нулевых граничных условиях. В [34] показано, что ненулевые самоуравновешенные поля напряжений могут быть несимметричными. Во второй главе диссертации доказано, что поля напряжений [12], [34] являются самоуравновешенными и не удовлетворяют условию совместности Сен-Венана, тем самым имеют неевклидову структуру. Кроме этого, во второй главе приведены примеры полей самоуравновешенных напряжений.

Примером среды с самоуравновешенными напряжениями являются горные породы. В работах [46], [23] решена задача о зональном распределении поля напряжений вокруг горных выработок, расположенных на больших глубинах. Эта задача возникла из наблюдений о характере деформирования и разрушения горных пород вокруг выработок. Наверное, первые экспериментальные данные поступили с золотодобывающих рудников Южной Африки. Золотосодержащую руду часто приходится извлекать с глубины 2000 - 3000 метров, поэтому вокруг выработок образуются области разрушенной горной породы. Для исследования картины зонального разрушения были пробурены скважины перпендикулярно выработке. Перископические наблюдения показали картину разрушения, которая не укладывалась в известные научные представления о поведении горных пород. Оказалось, что разрушенная порода образует дискретные зоны, которые разделены зонами твердой породы. В работах Е.И. Шемякина, Э.А. Троппа, М.А.Розенбаума, В.Н. Ревы [69] и других отечественных исследователей также отмечается зональный характер разрушения пород вокруг горных выработок. Были проведены эксперименты на моделях из подобных материалов, которые подтвердили, что вокруг выработок возникает зональная дезинтеграция пород в виде чередования сильнораздробленных и слабонарушенных зон, которые по форме напоминают форму выработок. На этих реальных наблюдениях была построена [24] модель сплошной среды, в которой не выполняются условия совместности Сен-Венана.

В экспериментальных исследованиях над образцами горных пород в предразрушающем состоянии (при растяжении) замечено, что с ростом нагрузки [31], действующей вдоль оси цилиндрической модели, измеряемые деформации стандартного образца демонстрируют реверсивный характер: до некоторого порогового напряжения деформации имеют обычный растущий вместе с ростом напряжений характер, а затем, при дальнейшем увеличении напряжений, деформации начинают уменьшаться. По-видимому, впервые аномальный характер деформирования образцов горных пород при нагрузках, близких к разрушающим, был установлен в 1972 году при исследовании предвестников землетрясений [67]. Деформационные предвестники землетрясений исследовались в последующих работах [32], [48], [64] Института Физики Земли АН при испытании призматических и специально изготовленных образцов, а также на больших образцах и бетонных моделях [63]. В диссертационной работе применена построенная модель самоуравновешенных напряжений для решения задачи об аномальном поведении образцов горных пород в предразрушающем состоянии.

Приведем краткое содержание работы, состоящей из трех глав.

Первый параграф первой главы диссертационной работы носит вспомогательный характер. В нем показано, как основные соотношения классической теории упругости можно получить в рамках вариационного подхода, если определенным образом выбрать функционал и приравнять его вариацию нулю. Для модели упругого тела в отсутствии внешних сил соответствующий функционал I имеет вид:

1 = dV poll - p0T(s - s0) у где U - плотность внутренней энергии упругой среды, (s — So) -отклонение энтропии от некоторого фиксированного значения So, Т -абсолютная температура.

В этом же параграфе дается определение самоуравновешенного поля напряжения. Поле напряжений Оц в теле называется самоуравновешенным, если результирующие сила Xi и момент My, действующие на произвольный объём СО внутри тела, равны нулю. Доказано, что решение [45]

ЯГ г, п /2 UL qm,p /-.ч uij ^UQi cipqtjmk ^ , ^lj где £ipq- символ Леви-Чивита, а ГдтП)р- некий набор гладких функций, постоянные (То и I имеют размерность напряжения и длины, соответственно, является самоуравновешенным полем напряжений.

В втором параграфе строится функционал для сплошной среды с учетом самоуравновешенных полей. Для этой цели используется полевой подход [14], [26], [33]. Согласно этому подходу полная плотность внутренней энергии U сплошной среды представляется в виде:

U = U! + U2 + U12, где U\ - удельная плотность внутренней энергии упругого поля, U2 учитывает дополнительную энергию среды, которая учитывает самоуравновешенные напряжения, U\2 характеризует взаимодействие упругих и самоуравновешенных полей. В качестве полевых переменных рассматриваются термодинамические параметры. Внутренняя энергия U1 упругой среды полагается квадратичной функцией тензора малых деформаций Ец и энтропии S, внутренняя энергия самоуравновешенных напряжений U2 ~ квадратичной функцией энтропии и дополнительных переменных hij, а функция U\2~ квадратичной от переменных Ец и hij. В диссертационной работе рассмотрен частный случай, когда полевые переменные h^ параметризуются одной функцией д и с точностью до нормирующего множителя представляются выражениями:

Формула (2) - частный случай (1) при условии согласования коэффициентов связности Ги внутренней метрики среды t^j, а также дополнительном предположении изотропии дц = g5ij. В третьем параграфе вычисляется вариация построенного функционала. При этом варьированию подвергаются компоненты вектора перемещений иг, определяющего тензор малых упругих деформаций Eij, и функция д (2). Из условий стационарности функционала получены уравнения и граничные условия для рассматриваемой модели сплошной среды. Показано, что поле напряжений z^ij равно сумме упругого 7г и самоуравновешенного h^ (2) полей:

Eij = 7Ту +1;2hiji 7Гу = 8ij(Ai£kk + Nihkk) + ^^ц

В отсутствие внешней нагрузки Е^ удовлетворяют уравнениям равновесия и нулевым условиям на границе: О, Е^ = 0. (3)

Тем самым, методами механики сплошных сред доказано утверждение работы [45] о структуре поля напряжений в среде с самоуравновешенными напряжениями.

В четвертом параграфе обсуждается связь самоуравновешенных напряжений с энтропией. Одно из положений этого обсуждения опирается на то, что самоуравновешенные напряжения связаны с дефектами в материале. Наличие дефектов в материале меняет кинематическую структуру поля смещений: в отличие от классической модели упругой сплошной среды, соответствие между начальным и конечным состоянием перестает быть взаимнооднозначным. Это означает, что условия совместности Сен-Венана для напряжений не выполняются. Поскольку характеристикой дефектов является энтропия, то несовместность поля напряжений определяется распределением энтропии в материале.

В пятом параграфе показано, что если энтропия является неоднородной функцией пространственных координат, то компоненты упругого поля напряжений не удовлетворяют условиям совместности Сен-Венана.

В шестом параграфе получено уравнение для функции д, которая определяет самоуравновешенные поля (2).

Во второй главе диссертационной работы построены аналитические решения однородных уравнений механики деформируемого твердого тела при отсутствии внешних нагрузок.

В первом параграфе приведено решение, построенное С.К. Годуновым [12], и доказано, что компоненты тензора напряжений обладают свойством самоуравновешенности.

В том же параграфе приведено решение С.П. Киселёва [34] для несимметричных самоуравновешенных полей напряжений. Необходимо отметить, что в обоих решениях самоуравновешеиные поля удовлетворяют краевым условиям (3). Это означает, что нет необходимости вводить упругое поле 7Гф компенсирующее поверхностную составляющую самоуравновешенного поля напряжений.

Во втором параграфе в цилиндрической системе координат построены самоуравновешенные компоненты напряжения <7у, удовлетворяющие однородным уравнениям равновесия механики сплошных сред и однородным граничным условиям. Они представлены в виде:

Jl{ar) J^KOLT ) COS (/?, (7rr = -COS <Z>, ar

Mar) ■ n r<p =-sm azz = arz = azip = U, ar . где J§(oir\ Ji(ar) - функции Бесселя нулевого и первого порядков, коэффициент Q является ненулевым корнем уравнения J\(aR) = О, R - радиус цилиндра.

В третьем параграфе на основе подхода, развитого в первой главе, построены решения уравнений равновесия в полярной системе координат. Компоненты полных напряжений равны сумме компонент упругого и самоуравновешенного полей напряжения: а2

Егг = Арп 2 cos тр + —г \pj' (р) ~ n2Jn(p) 1 cos П99, pi а2 - Apn 2 cos тир - — [pJ'n{p) + (p2 - n2) Jn(p)} cos mp,

T,rip = —Apn~2 sin nip + a2n (Jn(p)/p)' sin mp, где a - один из ненулевых корней уравнения Jn+i (aR) = 0, i? -радиус круга, параметр Л = n(n — 1) Jn(aR) / (a>n~2 Rn).

В третьей главе решена задача описания аномального поведения образцов горных пород на основе подходов, развитых при исследовании самоуравновешенных полей.

В первом параграфе приводится описание эксперимента по сжатию образов гранодиорита цилиндрической формы по стандартной методике с фиксированием деформаций тензорезисторами и использованием необходимой регистрирующей аппаратуры.

Во втором параграфе обсуждается математическая постановка задачи для описания результатов эксперимента.

Цилиндрический образец горной породы радиуса R, высотой 2h сжимается осевым давлением Р. Боковая поверхность этого цилиндра свободна от усилий. В рассматриваемой задаче компоненты напряжения <7ij удовлетворяют однородным уравнениям равновесия: ij = Q dXj

Краевые условия имеют вид: zz\z=±h = Р: Crz\z=±h ~ &z(p\z=±h = О? rr\r=R = &rz\r=R ~ &rip\r=R ~ О-Классическое решение задачи хорошо известно [2] и имеет вид:

С Т) в С в С С Г\ гл\

Jzz Г, °ГГ ®Г(р °rz ®ipz ' \ / р р

Ре = — —- Fe — Fe — V— F& = Fe = Fe = П

2 ^ r Е' где Е - модуль Юнга, V - коэффициент Пуассона.

Анализ экспериментальных данных показывает, что при P > P*, где Р* - критическое давление, компоненты деформации £zz, £^ на боковой поверхности образца зависят от угловой переменной (р. Но правая часть (4) постоянна, и другого упругого решения по теореме единственности [56] не существует. Тогда инженерная постановка задачи моделирования поведения горных образцов в предразрушаю-щей области может быть сформулирована следующим образом: восстановление структуры поля Пц внутри образца, используя данные о величине продольных Ezz и поперечных Ew деформаций на его поверхности. Сразу видим, что математическая формулировка этой задачи в классической форме требует корректировки, поскольку при выполнении уравнений равновесия и краевых условий, не зависящих от угловой переменной, нельзя построить (в силу теоремы единственности) периодического решения для Иц.

Общая идея её решения может быть сформулирована на основе подхода, предложенного в первой главе диссертации. С точки зрения физики [33], [49], [55] состояние предразрушения характеризуется наличием дефектов различных типов в образце. Они создают дополнительное поле напряжений Тц, меняющее деформированное состояние материала. Это проявляется, например, в том, что при Р большем Р* измеряемые на поверхности образца деформации зависят от угла <р, тогда как в отсутствии дефектов при Р меньше Р* такой зависимости от угла нет. Поскольку образец находится в равновесии, то силы, определяемые полем Тц, должны быть скомпенсированы. В качестве компенсирующего поля естественным кандидатом является Пц. При этом полное поле напряжений 1иц внутри образца равно Еу = Пц + Тц, а компоненты напряжений удовлетворяют уравнениям равновесия (3). Однако в условиях проведенных измерений эволюция поля Тц не рассматривалась. Таким образом, при построении поля упругих напряжений Пц остаётся параметрический произвол, определяемый полем самоуравновешенных напряжений Тц. На боковой поверхности образца измеряются деформации, которые определяют напряжения в дискретном наборе точек. Поэтому возможная постановка задачи состоит в построении такого упругого поля П^, чтобы соответствующие ему деформации Ец совпадали с измеренными значениями на границе в дискретном наборе точек.

В третьем параграфе приближенное решение задачи строится в форме:

П ц = (Гц + 7Гц, где 7Гij - это ограниченный конечным числом членов отрезок ряда Фурье по переменной (f.

В четвертом параграфе вычислены феноменологические параметры модели на основе экспериментальных данных и проведен анализ полученных результатов.

Заключение

В диссертации получены следующие результаты:

1. Построен вариационный функционал для сплошной среды с учетом самоуравновешенных напряжений, выведены уравнения равновесия и граничные условия при отсутствии внешних сил. Показано, что полные напряжения в сплошной среде представляются в виде суммы упругих и самоуравновешенных.

2. Функция, определяющая самоуравновешенные напряжения, удовлетворяет бигармоническому уравнению, правая часть которого зависит от первого инварианта тензора деформаций.

3. Доказано, что неоднородность распределения энтропии в сплошной среде определяет несовместность поля упругих деформаций.

4. Получено уравнение для функции, определяющей структуру внутренней метрики в сплошной среде с учетом самоуравновешенных напряжений.

5. В цилиндрической системе координат построено самоуравновешенное поле напряжений, удовлетворяющее нулевым краевым условиям.

6. Построены ненулевые решения в полярной системе координат, удовлетворяющие уравнениям равновесия и нулевым граничным условиям. Эти решения совпадают с тензором полных напряжений, равным сумме упругого и самоуравновешенного полей.

7. В рамках предложенной постановки задачи построено решение для описания аномального поведения образцов горных пород, вычислены феноменологические параметры модели на основе экспериментальных данных.

1. Под редакцией Абрамовица М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М.: Наука, 1979. 832 с.

2. Амензаде Ю.А. Теория упругости. Изд. 3-е, доп. М.: Высшая школа, 1976. 272 с.

3. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука, 1974. 432 с.

4. Вердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983. 448 с.

5. Вердичевский B.JI. Построение моделей сплошных сред при помощи вариационного принципа // ПММ. 1966. Т. 30. Вып. 30. С. 510-530.

6. Вердичевский В.Л. Вариационное уравнение в механике сплошных сред // Проблемы механики твердого деформированного тела (к 60-летию акад. В.В. Новожилова). Л.: Судостроение, 1970. С. 5566.

7. Биргер И.А. Остаточные напряжения. М.: Машгиз, 1963. 232 с.

8. Буренин А. А., Быковцев Г. И., Ковтанюк Л. В. Об одной простой модели для упругопластической среды при конечных деформациях //ДАН. 1996. Т. 347. № 2. С. 199-201.

9. Быковцев Г. И., Ивлев Д. Д. Теория пластичности. Владивосток: Дальнаука, 1998. 528 с.

10. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. Изд. 2. М.: Наука, 1971.

11. Гельфанд И.М. Фомин С.В. Вариационное исчисление. М.: Физ-матгиз, 1961. 228 с.

12. Годунов С.К., Роменский Е.И. Элементы механики сплошной среды. Новосибирск: Научная книга, 1998. 268 с.

13. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971. 416 с.

14. Гузев М.А. Применение калибровочного формализма Янга-Милл-са для описания структур в сплошной среде // ДАН. 1997. Т. 355. № 3. С. 336-338.

15. Гузев М.А., Мясников В.П., Ушаков А.А. Структура поля самоуравновешенных напряжений в сплошной среде // Дальнев. мат. журн. 2002. Т. 3. № 2. С. 231-241.

16. Гузев М.А., Мясников В.П., Ушаков А.А. Структурное описание материалов // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. Специальный выпуск. Нелинейные проблемы механики сплошных сред. 2003. С. 256-268.

17. Гузев М.А., Мясников В.П., Ушаков А.А. Поля самоуравновешенных напряжений в сплошной среде // ПМТФ. 2004. Т. 45. № 4. С. 121-130.

18. Гузев М.А., Ушаков А.А. Ненулевые решения однородных уравнений равновесия механики деформируемого твердого тела // Труды Дальневост. математической школы-семинара им. Е.В. Золотова. Владивосток: Дальнаука, 2003. С. 111-112.

19. Гузев М.А., Макаров В.В., Ушаков А.А. и др. Моделирование поведения горных образцов в предразрушающей области // Волог-динские чтения: материалы конференции. Владивосток: ДВГТУ, 2004. С. 88-89.

20. Гузев М.А., Макаров В.В., Ушаков А.А. Моделирование упругого поведения сжатых горных образцов в предразрушающей области // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. 2005. № 6. С. 3-13.

21. Гузев М.А., Парошин А.А. Неевклидова модель зональной дезинтеграции горных пород вокруг подземной выработки // ПМТФ. 2001. Т. 42, № 1. С. 147-156.

22. Гузев М.А., Парошин А.А. Структура поля напряжений сплошной среды при невыполнении условий совместности Сен-Венана // Труды школы-семинара «Современные проблемы механики и прикладной математики». Воронеж, 2002. С. 89-91.

23. Двайт Г.В. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, 1969. 228 с.

24. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: Методы и приложения. М.: Наука, 1986. 760 с.

25. Забродин А.В. Супер ЭВМ МВС-100,МВС-1000 и опыт их использования при решении задач механики и физики //Математическое моделирование. 2000. Т. 12. № 5. С. 130.

26. Зубов JI.M. Вариационные принципы нелинейной теории упругости // ПММ. 1971. Т. 35. С. 406-410.

27. Ивлев Д. Д. Теория идеальной пластичности. М.: Наука, 1966. 232 с.

28. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: ГИФМЛ, 1961. 703 с.

29. Карташов Ю. М., Матвеев Б. В., Михеев Г. В. и др. Прочность и деформируемость горных пород. М.: Недра, 1979. 240 с.

30. Кадич А., Эделен Д. Калибровочная теория дислокаций и дискли-наций. М.: Мир, 1987. 168 с.

31. Киселёв С.П. Внутренние напряжения в твердом теле с дислокациями // ПМТФ. 2004. Т. 45, № 4. С, 131-136.

32. Лаврентьев М.А., Шабат А.А. Методы теории функций комплексного переменного. Изд. 4. М.: Наука, 1973. 736 с.

33. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теория упругости. М.: Наука, 1987. 248 с.

34. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теория поля. М.: Наука, 1988. 512 с.

35. Макаров В.В. Исследование эффекта зонального деформирования образцов горных пород при сжатии //В сб.: Демидовские чтения. Юбилейный выпуск, Тула, 1996, С. 94-98.

36. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970. 512 с.

37. Морозов Н.Ф., Петров Ю.В. Проблемы динамики разрушения твердых тел. Санкт-Петербург, 1997. 132 с.

38. Мясников В.П., Гузев М.А. Аффинно-метрическая структура упругопластической модели сплошной среды // Труды МИАН.М.: Наука. 1998. Т. 223. С. 30-37.

39. Мясников В.П., Гузев М.А. Термомеханическая модель упруго-пластического материала с дефектами структуры // Изв.РАН. Механика твердого тела. 1998. N2 4. С. 156-172.

40. Мясников В.П., Гузев М.А. Геометрическая модель дефектной структуры упругопластической сплошной среды // ПМТФ. 1999. Т. 40, № 1. С. 163-173.

41. Мясников В.П., Гузев М.А. Неевклидова модель деформирования материалов на различных структурных уровнях // Физ. мезоме-ханика. 2000. Т. 3, № 1. С. 5-16.

42. Мясников В.П., Гузев М.А. Геометрическая модель внутренних самоуравновешенных напряжений в твердых телах // ДАН. 2001. Т. 38. № 5. С. 627-629.

43. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

44. Одинцев В.Н. Отрывное разрушение массива скальных горных пород. М.: ИПКОН РАН, 1996. 166 с.

45. Олемский А.И., Скляр И. А. Эволюция дефектной структуры твердого тела в процессе пластической деформации // Успехи физических наук. 1992. Т. 162, № 6. С. 29-79.

46. Остросаблин Н.й. Об аффинных преобразованиях уравнений линейной теории упругости // ПМТФ. 2006. Т. 47, № 4. С. 124-134.

47. Остросаблин Н.И. Общее представление решение уравнений теории упругости в случае несжимаемого изотропного материала //Динамика сплошной среды. 2001. Вып. 118. Математические проблемы механики сплошных сред. С. 190-192.

48. Остросаблин Н.И. Об уравнениях Бельтрами-Мичелла и операторе Сен-Венана // Динамика сплошной среды. Сборник научных трудов. Новосибирск, 2000. Вып. 116. С. 211-217.

49. Остросаблин Н.И. Операторы симметрии и общие решения уравнений теории упругости // ПМТФ. 1995. Т. 36, № 5. С. 98-104.

50. Под ред. В.Е. Панина. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов. Новосибирск: Наука, 1995. Т. 1. 297 е., Т. 2. 320 с.

51. Панин В.Е., Гриняев Ю.В., Данилов В.И. и др. Структурные уровни пластической деформации и разрушения. Новосибирск: Наука, 1990. 256 с.

52. Работнов Ю. Н. Основы механики деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. С. 744.

53. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике. М.: Мир, 1985. 690 с.

54. Розин J1.A. Вариационные постановки задач для упругих систем. Л.: ЛГУ, 1978. 224 с.

55. Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. 1 М.: Наука, 1994. 528 е., Т. 2 М.: Наука, 1994. 560 с.

56. Седов Л.И. Математические методы построения новых моделей сплошных сред // Успехи математических наук. 1965. Т. XX. Вып. 5(125) С. 121-180.

57. Под редакц. Селиванова В.В. Прикладная механика сплошных сред. Т.1 М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. 1998. 368 с.

58. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 2 М.: Наука, 1967.

59. Соболев Г. А., Кольцов А. В. Крупномасштабное моделирование подготовки и предвестников землетрясений // Под ред. А.А.Садовского. М.: Наука, 1988. 208 с.

60. Тажибаев К. Т. Деформация и разрушение горных пород. Фрунзе: Илим, 1986. 108 с.

61. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. 736 с.

62. Толстов Г.П. Ряды Фурье. Изд. 3. М.: Наука, 1980. 384 с.

63. Томашевская И. С., Хамидуллин Я. Н. Предвестники разрушения образцов горных пород // Известия АН СССР. Физика Земли. 1972. № 5, С. 12-20.

64. Чернышов Г.Н., Попов А.Л., Козинцев В.М., Пономарев И.И, Остаточные напряжения в деформируемых твердых телах.М.: Ну-ака, 1996. 240 с.

65. Шемякин Е.И., Фисенко Г.Л., Курленя М.В., Опарин В.Н., Рева В.Н. и др. Эффект зональной дезинтеграции горных пород вокруг подземных выработок// ДАН. 1986. Т. 289. № 5. С. 1088-1094.

66. Эльцгольц Л.Э. Вариационное исчисление. М.: ГИТТЛ, 1952. 167 с.

67. Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления. М.: Мир, 1974. 488 с.

68. Myasnikov V.P., Guzev М.А. Thermoraechanical model of elastic-plastic with defect structures // Theoretical and Applied Fracture Mechanics. 2000. V. 33. P. 165-171.

69. Myasnikov V.P., Guzev M.A. Model of Continuum Medium with Nonclassial Kinematics // Computational Fluid Dynamics Review. Editors: M.Hafez, K. Oshima. World Scientific Publishing. 1998. P. 785-793.

70. Kondo К. On the geometrical and physical foundations of the theory of yielding // Proc. 2nd Japan Nat. Congr. Appl. Mech. Tokyo. 1953. P. 41-47.

71. Bilby B. A., Bullough R., Smith E. Continuos distributions of dislocations: a new application of the methods of non Reimannian geometry // Proc. Roy. Soc. A. 1955. V. 231. P. 263-273.