Решение некоторых задач механики деформируемого твердого тела в рамках неевклидовой модели сплошной среды тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

ПАРОШИН Алексей Анатольевич

РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА В РАМКАХ НЕЕВКЛИДОВОЙ МОДЕЛИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

01.02.04 — механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Владивосток 2003

Работа выполнена в Институте автоматики и процессов управления ДВО РАН

Научный руководитель: член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук,

Гузев М.А.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Садовский В.М. кандидат физико-математических наук, Чеботарев А.Ю.

Ведущая организация: Институт проблем машиноведения РАН,

г. Санкт-Петербург

II г°

Защита состоится « 25 » ноября 2003 года в []__ часов на заседании

диссертационного совета Д 005.007.02 в Институте автоматики и процессов управления ДВО РАН по адресу: 690041, г. Владивосток, ул. Радио, 5.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института автоматики и процессов управления ДВО РАН.

Автореферат разослан «<£Л> октября 2003 г. И.О. ученого секретаря "J^C"" ^

диссертационного совета Буренин A.A.

2оо?'(\

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Хорошо известно из экспериментальных данных, что реальные материалы при умеренных нагрузках проявляют свойства, описание которых не укладывается в рамки классической теории упругости, например, пластичность, текучесть, усталость металлов и т.п. Также замечено, что практически все материалы содержат дефекты: дефекты структуры, неоднородности, трещины и т.п. Со временем эти дефекты могут накапливаться и влиять на напряженно-деформированное состояние материала. Механиками давно была отмечена связь между наличием в материале дефектов и его неупругим поведением; и проблема моделирования такого поведения хорошо известна исследователям. С математической точки зрения трудность построения последовательной теории связана с тем, что внутренняя геометрия материала с дефектами является неевклидовой, в отличие от евклидовой геометрической структуры упругих материалов. Этот факт впервые был отмечен в работах К.Кондо и Б.Билби в 50-е годы XX века. Проблема введения характеристик неевклидовости, как дополнительных параметров модели сплошной среды при расширении классической теории упругости, рассматривалась в работах Л.И.Седова, С.К.Годунова, В.И.Кунина.

Дальнейшее развитие неевклидовы модели сплошной среды получили в 80-е годы, когда наметилась тенденция к применению калибровочного формализма в механике деформируемого твердого тела. Это прослеживается в работах зарубежных ученых: А.Кадич,

Д.Эделен; а также в трудах сибирской школы механиков: В.Е.Панин, Ю.В.Гриняев, В.Н.Данилов и др. Важным результатом развития теории стала сформировавшаяся точка зрения на соответствие дефектных структур материала определенным геометрическим характеристикам.

Необходимость использовать неевклидову модель сплошной среды для решения чисто инженерных задач была указана в работах сибирской школы геомехаников: М.В.Курленя, В.Н.Опарин. В частности, они предложили отказаться от классических условий совместности Сен-Венана при моделировании эффектов дезинтеграции горных пород вокруг подземных выработок, что математически соответствует введению дополнительного параметра, совпадающего со скалярной кривизной тензора Римана-Кристоффеля.

Вопросы построения последовательной теории упруго-пластического поведения материалов, содержащих дефекты структуры, были подробно исследованы в цикле работ В.П.Мясникова, М.А.Гузева. В этих работах был использован термодинамический подход к построению моделей с учетом неевклидовости внутренней метрики среды. Это позволило построить новый класс моделей упруго-пластического поведения материалов в предположении об афинно-метрической структуре внутренних взаимодействий между частицами сплошной среды и доказать, что этот класс является геометрически замкнутым и описывает эволюцию дефектных структур на различных масштабных уровнях, их взаимодеиствие между собой и с полем

обратимых деформаций.

Из вышесказанного ясно, что моделирование напряженно-деформированного состояния материалов в рамках неевклидовой модели сплошной среды является перспективным направлением в механике деформируемого твердого тела.

Целью работы является решение задач о распределении поля напряжений вокруг цилиндрической и сферической полости в рамках неевклидовой модели сплошной среды. Научная новизна работы

Использование неевклидовой модели сплошной среды позволяет конструировать новые решения для классических задач теории упругости.

Основные результаты диссертации

1. Показано, что поле самоуравновешенных напряжений в сплошной среде определяется неоднородным распределением энтропии в материале. В рамках вариационного формализма дано обоснование структуры поля равновесных напряжений в сплошной среде. Дана формулировка спектральной задачи для первого инварианта внутреннего метрического тензора.

2. Дано термодинамически корректное обоснование используемых соотношений неевклидовой модели сплошной среды.

3. В рамках неевклидовой модели сплошной среды сформулирована и решена стационарная задача о распределении поля напряжений при всестороннем сжатии сплошной среды, содержащей полость цилиндрической формы. На основе построенных решений дано описание зон

дезинтеграции горных пород вокруг подземных выработок. 4. В рамках неевклидовой модели сплошной среды решена стационарная задача о распределении поля напряжений при всестороннем сжатии среды, содержащей сферическую полость.

Личный вклад автора

В совместных работах [4-9, 11] автором диссертации были получены аналитические решения для задач, постановка которых осуществлялась М.А. Гузевым. В работах [3,10] (совместно с М.А. Гузевым и В.В. Макаровым) автором были выполнены численные расчеты и выбор феноменологических параметров.

Достоверность полученных результатов основана на использовании термодинамически корректной неевклидовой модели сплошной среды, в рамках которой строится решение, и контролем результатов по известным классическим решениям.

Практическая значимость результатов исследования

Полученные решения могут быть использованы для моделирования напряженно-деформированного состояния материалов, полученных при различных условиях технологической обработки.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях, симпозиумах и школах: Дальневосточная конференция студентов и аспирантов по математическому моделированию. (Владивосток, ДВГТУ, 1997); Региональная научная конференция «Молодежь и научно-технический прогресс» (Владивосток, ДВГТУ, 1998); Научно-техническая конференция

«Вологдинские чтения» (Владивосток, 1998); Вторая дальневосточная конференция студентов и аспирантов по математическому моделированию (Владивосток, ДВГУ, 1998); Международная конференция "Математические модели и методы их исследования" (Красноярск, 2001); International Symposium on Geothechnological Issues of Underground Space Use for Environmentally Protected World (Dnepropetrovsk, 2001); Международная конференция «Геодинамика и напряженное состояние недр Земли» (Новосибирск, 2001); Школа-семинар «Современные проблемы механики и прикладной математики» (Воронеж, 2002).

Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ (МД-362.2003.05)

Публикации по работе:

По теме диссертации опубликовано 11 работ.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и приложения. Работа содержит 130 страницы машинописного текста. Список литературы включает в себя 61 наименование.

Содержание работы

Во введении изложено современное состояние изучаемых проблем, дано описание диссертации по главам.

Первая глава носит вспомогательный характер. В ней дается вывод уравнения состояния классической модели упругой сплошной среды. Этот вывод приводится в рамках формализма

неравновесной термодинамики, который в дальнейшем будет использоваться при доказательстве термодинамической корректности неевклидовой модели. Отмечено, что условия совместности деформаций Сен-Венана эквивалентны равенству нулю компонент тензора Римана-Кристоффеля и соответствуют использованию евклидовой геометрии для описания кинематики сплошной среды. Показано, что среди инвариантов тензора Римана-Кристоффеля следует выделить скалярную кривизну. Для случая малых деформаций в условиях равновесия сплошной среды доказано, что обращение в нуль скалярной кривизны в точности совпадает с требованием гармоничности первого инварианта тензора напряжений.

Так как в рамках неевклидовой модели сплошной среды в четвертой главе строится решение задач о распределении поля напряжений вокруг цилиндрической и сферической полости, то в первой главе приведено их классическое решение в терминах напряжений. Хотя классический результат общеизвестен, для нас важно было подчеркнуть, что выполнение уравнения совместности для напряжений связано с гипотезой о евклидовой геометрической структуре сплошной среды, и расширение классической модели можно осуществить в терминах тензора напряжений, а не тензора деформаций.

Во второй главе показано, как в рамках неевклидовой модели установить связь между внутренними геометрическими характеристиками сплошной среды и неоднородным распределением энтропии в ней.

Для решения этой задачи используется подход, предложенный В.П.Мясниковым и М.А.Гузевым о представлении тензора напряжений <т(у в виде суммы упругих Пц и самоуравновешенных

Ту напряжений, которые вычисляются через внутреннюю метрику среды. Показано, что именно поле Тц определяется неоднородным распределением энтропии в среде, причем внутренний метрический тензор можно выбрать диагональным: gij=Sijg., Для определения функции g поставлена соответствующая краевая задача:

= 0,

ЭУ

где Д - оператор Лапласа, щ - компоненты вектора нормали к границе. Во второй главе также дано вариационное обоснование представления поля напряжений в виде суммы упругих и самоуравновешенных напряжений при определенном выборе внутренней энергии.

В третьей главе анализируется термодинамическая корректность соотношений, полученных во второй главе. Для учета внутренней структуры материала в число определяющих параметров модели вводится скалярная гауссова кривизна Я.

В рамках термодинамической схемы получены уравнения модели, связывающие параметр Л с тензором напряжений и тензором деформаций. Показано, что спектральная задача для определения скалярной кривизны И совпадает со спектральной задачей, сформулированной для параметра g во второй главе:

9

д2я=)*, и\ду =о, л

= 0.

ЭV

Четвертая глава посвящена решению задачи деформирования неограниченной сплошной среды вокруг полости цилиндрической формы в рамках построенной неевклидовой модели.

Необходимость построения соответствующих решений актуальна, как было указано выше, в геомеханике. Экспериментальные данные и эмпирические наблюдения за процессами деформирования горных пород в окрестности искусственных выработок показывают, что вокруг выработок, при достаточно большом давлении, наблюдаются периодически расположенные области разрушения (зоны дезинтеграции) породы, по форме повторяющие границы выработки. Для выработок сферического типа было замечено образование еще и зон разрушения, направленных вдоль радиус-вектора. Образование зон дезинтеграции, повторяющих форму выработки, говорит о волнообразном поведении компонент тензора напряжений, а появление зон разрушения, расположенных вдоль радиуса-вектора указывает на зависимость напряжений от полярного угла. В четвертой главе показано, что построенное решение в рамках неевклидовой модели можно использовать для описания зональной дезинтеграции горных пород.

Симметрия рассматриваемой задачи позволяет решать ее в плоской постановке. Используются две возможные постановки задачи: плосконапряженная постановка и случай плоской деформации. Задача, в условиях плоско-напряженного состояния

среды, решается без явного введения функции Решение задачи в условиях плоской деформации рассчитывается на основе модели с учетом функции g.

Решения для компонент тензора напряжений и функции g представляются в виде разложения в ряд по косинусам от полярного угла. В условиях плоско-напряженного состояния среды коэффициенты разложения ряда определяются через функции Бесселя Jn(^Jyr) и Неймана Л^С^/г), тогда как в плоско-деформируемом состоянии в решение входят еще модифицированные функции Бесселя ^„(^/уг) , Набор

независимых функций в решении зависит от выбора уравнения для соответствующей функции: уравнение четвертого порядка для функции g предполагает четыре независимые функции в решении, тогда как уравнение для первого инварианта поля самоуравновешенных напряжений в условиях плосконапряженного состояния имеет второй порядок.

В ведущем порядке полученные решения для компонент тензора напряжений можно анализировать по нулевой гармонике, зависящей лишь от длины радиуса-вектора г . Сравнение получаемых решений с решением данной задачи в рамках классического формализма теории упругости показывает, что решение представимо в виде суммы классического решения и неклассической добавки. Обнуление параметра у сводит полученные решения к классическим, что говорит о непротиворечивости расширения модели.

11

Сопоставление решений задачи в плоско-напряженном и плоско-деформированной постановке приводит нас к выводу, что независимо от выбора уравнений на функцию дефектности, решение имеет волновой характер по переменной г. Этот характер решения сохраняется и для компонент тензора напряжений, что дает возможность использовать построенные решения для описания процесса зонального разрушения горных пород вокруг подземных выработок.

Чтобы локализовать области среды, в которых . при определенном давлении разрушается порода, применяются силовые критерии геомеханики. Для этого строится функция критерия и, исходя из экспериментальных данных, определяется критическое значение, при достижении которого можно говорить, что эта область является областью дезинтеграции породы. В качестве функций критерия были рассмотрены условия пластичности Мизеса, Треска и Ивлева. Соответствующие критериальные функции Км{г), Кт(г), К^г) определяются через компоненты главных напряжений с,- и первый инвариант тензора напряжений а как

Км =Вл1(а1-а2)2 +(<г2-аъ)2 + (ах-аъ)2 ,

Кт = Атахст,- -о\, К1 = Стах|<7,- -<т[.

и /

В первом случае численные расчеты проводились для нулевого

приближения построенного решения для материала со

следующими физическими характеристиками: модуль упругости

£ = 200 Мпа., коэффициент Пуассона у = 0.4 , радиус

12

выработки го=2м, предел прочности материала а =10 Мпа.

Рис. 1

На рисунке 1 приведены графики модуля скалярной гауссовой

кривизны Л(г) и критериальных функций Мизеса Км (г), Треска

Кт(г) и Ивлева К ¡(г) . По горизонтали отмечено расстояние от

края выработки, измеряемое в радиусах выработки г0 .

Проведенный анализ показывет, что максимумы различных

критериев практически совпадают и отвечают точкам экстремума

гауссовой кривизны Я(г).

Во втором случае расчеты проводились с учетом трех первых

членов ряда построенного решения. На рисунке 2 показаны

значения функции Мизеса Км(г,<р) для модели со следующими

феноменологическими параметрами: £ = 150 Мпа,

13

коэффициент Пуассона у=0.4 , радиус выработки /^=0.07 м,

*

предел прочности материала а =0.1Мпа. По оси X откладывается расстояние от границы выработки, измеряемое в радиусах выработки г0, ось У соответствует значениям полярного угла, а по оси Ъ даны значения функции К^(г,<р) в МПа. Модель предсказывает возможность возникновения, кроме зон дезинтеграции, располагающихся периодично и топологически повторяющих границу выработки, еще и "лучевые" зоны разрушения, направленные по лучу от границы выработки вдоль радиус-вектора.

Рис. 2

В пятой главе приводится решение задачи деформирования неограниченной сплошной среды вокруг сферической полости. Количество уравнений модели в системе недостаточно для определения всех функций. Для замыкания системы предлагается использовать свойство сферической симметрии компонент тензора напряжений, благодаря этому сокращается число линейно-

независимых компонент тензора напряжений и система становится замкнутой.

Решение для компонент тензора напряжений представляется в виде разложения в ряд по сферическим функциям. В ведущем порядке решение можно представить в виде суммы классического решения и неклассической добавки. Неклассический вклад в решение определяется функциями Бесселя полуцелого аргумента

J 1 (л//r) > N 1 > К 1 (-\/у г) • Решение допускает редукцию к лн— л+— п+—

2 2 2

классическому при обращении в нуль амплитудных

коэффициентов.

Для описания возможности формирования зон дезинтеграции и

схемы их расположения применимы силовые критерии, описанные

в четвертой главе.

В заключении сформулированы результаты, полученные в

диссертации.

В приложении получено представление для компенсирующего упругого поля напряжений в среде с цилиндрической полостью.

Публикации по теме диссертации

1. Парошин A.A. Распределение поля напряжений вокруг цилиндрической полости при всестороннем обжатии// Тезисы докладов дальневосточной конференции студентов и аспирантов по математическому моделированию. Владивосток: ДВГТУ, 1997. Стр. 112-113.

2. Парошин A.A. Анализ простейшей неклассической модели разрушения горных пород вокруг искусственной полости// Молодежь и научно-технический прогресс: Материалы региональной научной конференции. Ч. I. Владивосток: ДВГТУ, 1998. Стр. 110-111.

3. Гузев М.А., Макаров В.В., Парошин A.A. Моделирование отрывного разрушения горных пород в массиве вокруг подземных выработок// Научно-техническая конференция Вологдинские чтения. Естественные науки. Тезисы докладов. Владивосток: ДВГТУ, 1998. Стр. 22-23.

4. Guzev М.А., Paroshin A.A. Modelling Desintegration Zone of Rock With Underground Opening// Annals of Forum. Vladivostok: FESTU, 1999. Pp. 35-36.

5. Гузев M.A., Парошин A.A. Вычисления поля напряжений вокруг горной выработки на основе неевклидовой модели сплошной среды// Сборник тезисов докладов Второй дальневосточной конференции студентов и аспирантов по математическому моделированию. Владивосток: ДВГУ, 1998. Стр. 67-69.

6. Гузев М.А., Парошин A.A. Моделирование зональной дезинтеграции горных пород в массиве вокруг подземных выработок// Труды ДВГТУ, Вып. 122. Владивосток: ДВГТУ, 1999. Стр. 42-45.

7. Гузев М.А., Парошин A.A. Описание зон разрушения горных пород в рамках неевклидовой модели сплошной среды// Доклады конференции. Красноярск, 1999. Стр. 54-56.

8. Гузев М.А., Парошин A.A. Неевклидова модель зональной дезинтеграции горных пород вокруг подземной выработки// ПМТФ. 2001. Т. 42, № 1. С 147-156.

Гузев М.А., Парошин A.A. Построение сферически-симметричного решения в неевклидовой модели зональной дезинтеграции горных пород// Труды международной конференции "Математические модели и методы их исследования". Красноярск, 2001. Стр. 214-217. Гузев М.А., Макаров В.В., Парошин A.A., Опанасюк A.A. Модельные представления зонального деформирования и разрушения породного массива вокруг подземных выработок// Сборник трудов международной конференции «Геодинамика и напряженное состояние недр Земли». Новосибирск: ИГД СО РАН, 2001, С. 138-144. Гузев М.А., Парошин A.A. Структура поля напряжений сплошной среды при невыполнении условий совместности Сен-Венана// Труды школы-семинара «Современные проблемы механики и прикладной математики». Воронеж, 2002. Стр. 89-91.

Парошин Алексей Анатольевич

РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА В РАМКАХ НЕЕВКЛИДОВОЙ МОДЕЛИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

Автореферат

Подписано к печати 20.10.2003 г. Усл. п. л. 1.0 Уч.-изд. л. 0.75. Формат 60x84/16. Тираж 100. Заказ 69.

Издано ИАПУ ДВО РАН. Владивосток, Радио, 5 Отпечатано участком оперативной печати ИАПУ ДВО РАН Владивосток, Радио, 5

f (

I

17

»17794

Введение

Глава I. Классическая модель упругой среды.

1.1 Уравнение состояния.

1.2 Уравнение совместности.

• 1.3 Решение задачи деформирования упругой среды с цилиндрической полостью.

I.4 Задача деформирования упругой среды с полостью сферического типа.

Глава II. Построение неклассических моделей.

II.1 Постановка задачи.

11.2 Общая идея решения задачи.

11.3 Структура поля напряжений.

11.4 Спектральное уравнение для функции несовместности.

11.5 Вариационный вывод уравнения равновесия с учетом поля самоуравновешенных напряжений.

Глава III. Термодинамическая корректность соотношений неклассической модели.

III. 1 Редукция к неевклидовой модели сплошной среды.

111.2 Уравнение состояния.

111.3 Выбор потенциала.

111.4 Спектральная задача.

Глава IV. Решение задачи с цилиндрической полостью.

IV. 1 Основные соотношения. j IV.2 Решение задачи в условиях плосконапряженного состояния

I среды.

IV.3 Решение задачи в условиях плоской деформации.

IV.4 Численные расчеты.

Глава V. Решение задачи с шаровой полостью.

V.1 Постановка задачи.

V.2 Нахождение решений для функции дефектности и первого инварианта тензора напряжений.

V.3 Нахождение компонент тензора напряжений.

Одним из наиболее актуальных направлений механики деформируемого твердого тела является описание неупругого поведения материалов. Необходимость решать такие задачи часто возникает при моделировании характеристик реальных материалов при больших внешних нагрузках. Трудность решения таких задач связана с невозможностью описания внутренней структуры материала в рамках единой математической модели. Чтобы преодолеть эти трудности в рассматриваемом материале выделяют области с различным физико-механическим поведением среды: упругим, пластическим и т.д. В каждой из областей используется собственный способ описания, а затем решения сшиваются через краевые условия на границе областей.

В механике деформируемого твердого тела построены различные теории, позволяющие определять поведение материалов. В теории упругости, см., например [1-4], предполагается, что процесс деформирования является обратимым, то есть материал возвращается в первоначальное состояние при снятии внешних нагрузок. Основной кинематической гипотезой теории упругости [1,2] является гипотеза сплошности. С точки зрения физики это предположение соответствует тому, что упругое тело имеет структуру идеального кристалла, не содержащего дефекты. Если мы задаем движение среды в переменных Эйлера, тогда в качестве меры полной деформации используется тензор Альманси А^, который, по предположению теории упругости, совпадает с тензором упругой деформации еу . Чтобы записать уравнения состояния материала, необходимо задать внутреннюю энергию как функцию энтропии и тензора е^ . Эти соотношения следует дополнить законами сохранения, сформулировать начальные и 4 сохранения, сформулировать начальные и краевые условия, тогда получаемая система уравнений является замкнутой и позволяет описать термомеханическую эволюцию материала в рамках модели упругой сплошной среды.

Теория упругости проста и удобна в использовании, так как процессы деформирования описываются с помощью гладких функций, тензор напряжений среды связан алгебраически с тензором деформаций, внутренняя геометрическая структура среды евклидова. Но в рамках теории упругости нельзя описать состояния среды, в которых проявляются ее диссипативные свойства. В частности, процесс образования в материалах дефектов структуры, свойство пластичности материалов требуют для своего описания других математических моделей.

Одно из возможных расширений теории упругости для описания диссипативных процессов деформирования твердого тела предлагается в теории пластичности, см., например [5-7]. Физической гипотезой теории пластичности является предположение о том, что полная деформация материала содержит обратимую (упругую) и необратимую (пластическую) компоненты. Тогда можно разделить тензор полной деформации — тензор Альманси — на упругую и пластическую составляющие. Тензоры пластической ру и упругой £у деформаций рассматриваются как независимые термодинамические переменные. С помощью формализма неравновесной термодинамики [8] можно записать уравнения переноса для этих тензоров, определяя их связь с другими кинематическими и динамическими характеристиками рассматриваемой модели сплошной среды. Связь тензора Ау с тензорами Sy и

Ру является неоднозначной. В предположении аддитивной зависимости тензора Альманси от тензора упругой и пластической деформации этот подход реализован в [9] для построения класса моделей упруго-пластических материалов при произвольных полных деформациях. Этот класс моделей, охватываемый единым описанием в рамках используемого формализма, достаточно широк и в качестве предельных включает в себя как модель обычной вязкой жидкости, так и идеально пластического тела. Более сложные (нелинейные) зависимости между тензорами используются в [10], здесь также приведены ссылки на более ранние работы по проблеме конечных упругопластических деформаций.

Таким образом, модели, строящиеся в теории пластичности, позволяют описывать более широкий круг практических задач, моделируя материалы, имеющие упругие, пластические, вязкостные свойства. Однако теория теряет простоту и удобство в использовании, присущее теории упругости. Кроме того, как подчеркивают авторы [5, стр. 9]: "Теория пластичности идеализирует сложное поведение реальных материалов при пластическом деформировании, причем для различных областей применения используются гипотезы, определяющие различные модели пластических тел". Фактически это означает, что в математических моделях, построенных в макроскопической теории пластичности деформируемого твердого тела нет той степени непротиворечивости, которая достигнута в модели упругой сплошной среды.

Выделенное положение модели упругой сплошной среды определяется, по-видимому, следующим фактом. Дело в том, что картина развития упругой деформации характеризуется более простыми физическими механизмами в отличие от упругопластических процессов. В частности, анализ напряженно-деформированного состояния материалов в рамках модели упругой сплошной среды выполняется при малой внешней нагрузке. В этом случае внутренние напряжения в материале таковы, что они не приводят к проявлению его структурных свойств, зависящих, в частности, от характера нагружения, предыстории материала и других факторов. Тогда, при введении феноменологических параметров в теорию, для описания малой деформации достаточно использовать упругие постоянные, которые можно определить из массового эксперимента. Иная ситуация возникает при описании пластических свойств материала. Экспериментальные исследования показывают [11], что при пластическом течении идут процессы структурной перестройки. В классических моделях теории пластичности (см., например, [5]) учитывается только деформационное упрочнение материалов. Это реализуется в представлении деформаций в виде двухста-дийного процесса: упругого и пластического. На макроскопическом уровне рассмотрения результаты теории находят экспериментальное подтверждение. Однако такой подход не позволяет описать экспериментально наблюдаемую картину развития пластической деформации на промежуточных масштабах: между микроскопическим и макроскопическим. Выделение таких масштабов в кристалле определяется тем, что коллективные движения дефектов приводят к появлению в нем нового качественного состояния, характеризуемого существованием так называемых уровней деформации. Это, в частности, подтверждается экспериментально хорошо известным поведением поликристаллических материалов [12], для которых процесс пластического течения является многостадийным.

В последние годы для описания динамики дефектов предлагался калибровочный формализм Янга-Миллса. В 1982 году Кренер [13], а чуть позже Гюнтер [14], а также Кадич и Эделен [15] предложили его использовать для описания дефектных структур в сплошной среде. Полученные [16-19] в рамках этого подхода уравнения использовались для анализа волновых процессов упругопластического деформирования в среде. Однако в калибровочных теориях механики сплошной среды приходится решать проблему интерпретации введенных компенсирующих полей. В частности, для описания пластического деформирования различных материалов [16-19] калибровочные поля сопоставляются пластическим дисторсиям. Такое соответствие является результатом того факта, что физический механизм пластического деформирования определяется дефектами кристаллической структуры материала, для описания которых используются калибровочные поля.

Возможное решение проблемы построения замкнутой модели упру-гопластического поведения материалов, содержащих дефекты структуры, было предложено Мясниковым В.П., Гузевым М.А. в цикле работ [20-26]. Общая идея подхода состоит в том, что авторы использовали при построении новых моделей сплошной среды в качестве дополнительных термодинамических переменных "скрытые" геометрические параметры классической теории упругости. В классической теории эти параметры тождественно равны нулю, что связано выполнением гипотезы о совпадении внутренней геометрии материала с геометрией евклидова пространства наблюдателя. При отказе от этой гипотезы "скрытые" параметры становятся отличными от нуля и допускают интерпретацию как геометрические объекты афинно-метрических пространств. Этот подход был использован в работах [20-26] для построения нового класса моделей упругопластического поведения материалов в предположении об афинно-метрической структуре внутренних взаимодействий между частицами сплошной среды. Доказано, что этот класс является геометрически замкнутым и описывает эволюцию дефектных структур на различных масштабных уровнях, их взаимодействие между собой и с полем обратимых деформаций.

Идея использовать геометрические объекты неевклидовой природы для описания дефектов кристаллической структуры принадлежит Кондо и Билби [27,28]. Она возникла при анализе дефектов дислокационного типа в рамках физических теорий прочности и 8 ного типа в рамках физических теорий прочности и пластичности. В работе [21] впервые была предпринята попытка объединить подходы исследователей, работающих в механике сплошной среды и физике пластичности. В [20] доказано, что поле равновесных напряжений в сплошной среде можно представить в виде суммы двух слагаемых: самоуравновешенных и упругих напряжений. Первые определяются через компоненты связности многообразия, порождаемого дефектами структуры. Упругие напряжения вводятся с целью компенсации поверхностной составляющей самоуравновешенных напряжений. Совместное действие этих полей позволяет образцу сохранять свою форму в состоянии равновесия при отсутствии внешних сил.

Хотя в [20] предлагается ввести поля с указанными свойствами, тем не менее, в рамках этого подхода подробно не исследовались различные задачи механики деформируемого твердого тела, в частности, не анализировалась связь этих полей с такой термодинамической характеристикой как энтропия. В диссертации показано, что существование ненулевых самоуравновешенных напряжений в среде связано со свойством неоднородного распределения энтропии в материале. Подход, предложенный в [20] для построения полей напряжений с учетом их самоуравновешенной компоненты используется в диссертации для исследования задач, при моделировании остаточных напряжений материалов, возникающих в результате их технологической обработки, и других областях, не находящих удовлетворительного решения в рамках классической теории. Такие задачи возникают, в частности, в механике горных пород.

Известно [29], что деформирование и разрушение горных пород при проходке горных выработок на больших глубинах в ряде случаев носит аномальный характер, известный в литературе как "зональная дезинтеграция". Зарегистрированное в 1992 в качестве открытия, явление зональной дезинтеграции до сих пор не нашло своего удовлетворительного объяснения.

В экспериментах установлено [30], что деформирование пород в окрестности горных выработок образует чередующиеся локальные зоны разрушения и уплотнения породы. Топологически границы зон обычно повторяют форму границы выработки и повторяются с периодом, сопоставимым с диаметром выработки. Нарушение монотонности деформирования массива и локализация разрушения на дискретных участках массива затрудняет описание такого поведения пород на основе классических моделей механики сплошной среды. Тем не менее, решение проблемы установления механизма зонального разрушения и деформирования горных пород вокруг подземных выработок имеет большое значение для развития теоретической и экспериментальной геомеханики, а также для разработки технологии строительства горных выработок в условиях больших глубин.

В работе [31] описываются некоторые результаты исследований, которые были проведены на различных золотодобывающих рудниках Южной Африки. На этих рудниках золотосодержащую породу часто приходится извлекать с глубины 2000-3000 метров и вокруг выработок образуется область разрушенной горной породы. Чтобы исследовать картину зонального разрушения были пробурены скважины в направление, перпендикулярное выработке. Перископические наблюдения выявили картину разрушения, которая не укладывалась в известные научные представления о поведении горных пород. Оказываются, что разрушения образуются в дискретных зонах шириной около одного метра, разделенные зонами твердой породы также шириной около метра. В горизонтальном направлении эти зоны простираются до 12 метров, а в вертикальном до 5 метров.

В работах отечественных исследователей [33-39] также отмечается зональный характер разрушения пород вокруг горных выработок. Исследования закономерностей зонального деформирования и разрушения горных пород вокруг выработок, подвергшихся воздействию горного удара, проведены в условиях Южного месторождения (Приморье) [40]. В результате исследований установлен эффект зонального разрушения массива горных пород вокруг подвергшейся воздействию горного удара одиночной выработки. Зоны интенсивной трещиноватости в окрестности выработки строго чередуются с относительно монолитными участками массива.

Задача о распределении поля напряжений вокруг горной выработки математически эквивалентна задаче о деформировании сплошной среды вокруг полости с заданными соответствующими компонентами напряжений на границе и бесконечности. В рамках классической теории напряжения связаны с тензором деформаций, который удовлетворяет условию совместности, однако в работе [41] говорится о том, что возможен способ описания наблюдаемых на практике «зон дезинтеграции» через отказ от классического условия совместности деформаций по Сен-Венану. Так же там указывается, что отказ от условий совместности «делает проблематичным использование аппарата линейной теории упругости для решения задач геомеханики и требует построения новой теории». Сложность построения единой теории явления зональной дезинтеграции определяется необходимостью моделировать поведение среды, обладающей свойствами как упругого деформирования (неразрушенные зоны вокруг выработки), так и процесса разрушения. С физической точки зрения, формирование зон разрушения зависит от наличия в среде микродефектов, которые под действием приложенного напряжения приводят к образованию макроскопических структур, в частности магистральной трещины [29], повторяющей форму выработки. Для описания дефектов можно использовать неевклидовы модели, построенные в [20-26], отказываясь от упруго-пластического поведения материалов.

Напомним, что в диссертации для описания поля напряжений вокруг полости используется неевклидова модель сплошной среды. При этом в терминах напряжений постановка задачи остается классической: справедливы уравнения равновесия сплошной среды и соответствующие краевые условия. Неклассическими являются выбор уравнения состояния: вводим дополнительный параметр, характеризующий несовместность деформаций. Говоря другими словами, мы решаем неклассическую задачу Ламе. Во второй главе работы показывается, что отказ от выполнения условий совместности приводит к тому, что тензор напряжений содержит как классический вклад — тензор напряжений, удовлетворяющий уравнениям теории упругости, так и неклассический вклад — самоуравновешенные напряжения. Введенные новые характеристики среды допускают интерпретацию в терминах внутренней метрики среды.

Другая проблема механики, для которой представляет интерес построение полей самоуравновешенных напряжений, связана с моделированием остаточных напряжений в материалах и конструкциях [30]. Анализ показывает, что практически все изделия обладают ненулевыми внутренними напряжениями, которые возникают в результате технологической обработки материалов. Эти напряжения могут быть сравнимы по величине с внешними воздействиями, поэтому оказывают существенное влияние на термомеханическое поведение материалов. Любопытно заметить, что авторы [30] используют параметр, характеризующий несовместность деформаций, для вычисления остаточных напряжений. Это означает, что модель среды не являются классической, хотя предполагается линейная зависимость между определяющими параметрами. Остаточные напряжения удовлетворяют условиям равновесия с нулевыми краевым силовым условиям: dajj dxj 0,

GijUj

8V

8V 0,

При этом эти напряжения являются самоуравновешенными полями, т.е. выполняются интегральные силовые и моментальные условия равновесия (11.17), (11.18) соответственно. Этот класс задач в диссертации не рассматривается. Но учитывая, что структура поля напряжений аналогична той, что анализируется для задач геомеханики, то можно надеяться, что построенные решения будут представлять теоретическую и практическую ценность для исследования проблемы остаточных напряжений.

Теперь опишем содержание работы. Она состоит из пяти глав.

В первой главе диссертации приводится вывод уравнений модели упругого деформирования сплошной среды в рамках формализма неравновесной термодинамики.

Выводимое в рамках термодинамической схемы уравнение состояния среды преобразуется в случае линейного приближения в закон Тука. Линейная связь тензоров напряжений и деформаций через закон Гука позволяет перейти к описанию модели в терминах тензора напряжений.

В линейном приближении рассматриваются ограничения на структуру тензоров деформаций £у и напряжений а^, налагаемые принимаемой в классике гипотезой сплошности: в терминах тензора деформаций это условие означает существование векторного поля, порождающего данный тензор, в терминах тензора напряжений оно имеет вид

ЗЯ + 2// Л + // д2

Аст ц +

7°кк =0

2// и И dxldxj

В стационарной постановке в терминах напряжений дана формулировка и приведено решение задачи о всестороннем сжатии неограниченной сплошной среды с полостью цилиндрической и сферической формы.

Во второй главе строится неклассическая модель деформирования упругой среды.

В пункте II. 1 для твердого тела, находящегося в механическом равновесии ставится задача вычисления поля самоуравновешенных на-ппяжрний чепеч тепмолинямичегк-ие пяпяметпы гг. = тг.+Т., где 71 s: — моуравновешенных напряжений. Структура поля напряжений сГу аналогично той, что получена в [20].

Функция g характеризует внутреннюю структуру материала и является дополнительным параметром теории; чтобы замкнуть модель, необходимо написать уравнение для g и задать краевые условия. В пункте II.4 предлагается уравнение на функцию g в виде

Для корректности решения этого уравнения краевые условия можно выбрать в виде Дирихле и Неймана соответственно компоненты са g\ev=°i п idg dg дх1 dv дп ev

Постановка задачи для определения g допускает выбор обоих краевых условий. Для этого достаточно повысить порядок уравнения: A2g = rAg = r2g.

Исходя из приведенной зависимости между компонентами напряжений <тгу и функцией g, рассматривается так же возможность построения замкнутой модели в терминах напряжений.

В пункте II.5 приводится формальное обоснование соотношений для поля напряжений в рамках вариационного исчисления. С этой целью предполагается, что во внутреннюю энергию U среды входят слагаемые, характеризующие самоуравновешенные напряжения и их взаимодействие с полем упругих напряжений. Уравнения модели следуют из условия экстремальности функционала внутренней энергии I=$dVp0U. Вариация функционала по компонентам вектора перемещения дает уравнения равновесия среды и показано, что поле напряжений в среде представляет сумму упругих и самоуравновешенных напряжений. Конкретный выбор метрики среды приводит к формулам для записи самоуравновешенных напряжений, предложенным из эвристических соображений. Естественные краевые условия для напряжений совпадают с классическими.

В третьей главе исследуется вопрос термодинамической корректности модели, уравнения для которой получены во второй главе. Приводится вывод уравнений модели в рамках формализма неравновесной термодинамики. Для учета внутренней структуры материала в число определяющих параметров модели вводится скалярная гауссова кривизна R. Ранее было показано, что для плоских задач ее значение характеризует совместность для тензора упругих деформаций.

Используемая термодинамическая схема позволяет вывести уравнения модели, связывающие параметр R с тензором напряжений и тензором полных деформаций. Уравнение, полученное для определения скалярной кривизны рассматриваемой сплошной среды, и постановка для него краевых условий совпадает со спектральной задачей, выведенной для параметра g во второй главе:

2 о .„ „| Л dR дп

AzR = -yR, R\dv=0, — 0. dV

Четвертая глава посвящена решению задачи деформирования неограниченной сплошной среды вокруг полости цилиндрической формы в рамках неевклидовой модели. В случае малых деформаций находится стационарное распределение напряжений в среде вокруг полости. Симметрия задачи позволяет решать ее в плоской постановке. Рассматриваются две возможные постановки задачи: плосконапряженная постановка и случай плоской деформации. В пункте IV.2 решается задача в условиях плосконапряженного состояния среды без явного введения функции g. Решение задачи в условиях плоской деформации рассчитывается на основе модели с учетом функции g.

Решения для компонент тензора напряжений сггу и функции g представляются в виде разложения в ряд по косинусам от полярного угла. В условиях плосконапряженного состояния среды, получаемые решения определяются функциями Бесселя Jn(yf/r) и Неймана Nn(-yjyr), тогда как в случае плоской деформации в решение дополнительно входят функции комплексной переменной Набор функций в решении зависит не от постановки задачи, а от выбора уравнения для функции дефектности: уравнение четвертого порядка предполагает 4 независимые функции, а уравнение для сг имеет второй порядок.

В ведущем порядке полученные решения для компонент тензора напряжений можно анализировать по нулевой гармонике — функции, зависящей лишь от радиус-вектора г. Сравнение получаемых решений с решением данной задачи в рамках классического формализма теории упругости показывает, что решение представимо в виде суммы классического решения и неклассической добавки. Обнуление параметра у сводит полученные решения, так же как и саму модель, к классической, что говорит о непротиворечивости расширения модели.

Сопоставление решений задачи в плосконапряженном и плоскоде-формированной постановке приводит нас к выводу, что независимо от выбора уравнений на функцию дефектности, решение имеет волновой характер по переменной г. Этот характер решения сохраняется и для компонент тензора напряжений, что дает возможность использовать построенные решения для описания процесса зонального разрушения горных пород вокруг подземных выработок.

Это является одной из возможностей физической интерпретации введенной функции g и полученных неклассических добавок. Применяются силовые критерии геомеханики чтобы локализовать области среды, в которых при определенном давлении разрушается порода. Для этого строится функция критерия и, исходя из экспериментальных данных, определяется критическое значение, при достижении которого функцией в определенной области, можно говорить, что эта область является областью дезинтеграции породы. В качестве функций критерия нами были рассмотрены условия пластичности Мизеса, Треска и Ивлева. Численные расчеты показали, что максимумы различных критериев практически совпадают и отвечают условиям экстремума функции дефектности. Расчеты проводились как с первым приближением решений (по первой гармонике ряда), так и с учетом трех первых гармоник решения. В первом случае мы получаем возможность достаточно простым способом описывать явление зональной дезинтеграции [29]. Модель предсказывает возможность возникновения, кроме повсеместно описанных зон дезинтеграции, располагающихся периодично и топологически повторяющих границу выработки, еще и "лучевые" зоны разрушения, направленные ортогонально первым по лучу от границы выработки вдоль радиус-вектора.

В пятой главе приводится решение задачи деформирования неограниченной сплошной среды вокруг шаровой полости. Характер полученного решения аналогичен задаче с цилиндрической полостью. Решение для компонент тензора напряжений представляется в виде разложения в ряд по сферическим функциям. В первом приближении поведение функций можно анализировать по первой гармонике. Ее можно представить в виде суммы классического решения и неклассической добавки. Неклассический вклад в решение определяется функциями Бесселя первого и второго рода половинного аргумента

J 1 (4fr),N хфг), К i(y/fr). Для описания возможности формип+— пл— п+

2 2 2 рования зон дезинтеграции и схемы их расположения применим метод использования силовых критериев, описанный в пункте IV.4.

Основные материалы диссертации опубликованы в работах [51-61]. В совместных работах [54-59,61] автором были получены аналитические решения в рамках предложенных моделей М.А. Гузевым. В работах [53,60] (совместно с М.А. Гузевым и В.В. Макаровым) автором были проведены численные расчеты для математических моделей и подбор параметров модели по данным разных экспериментов.

Заключение

В диссертации получены следующие результаты:

1. Показано, что поле самоуравновешенных напряжений в сплошной среде определяется неоднородным распределением энтропии в материале. В рамках вариационного формализма дано обоснование структуры поля равновесных напряжений в сплошной среде. Дана формулировка спектральной задачи для первого инварианта внутреннего метрического тензора.

2. Дано термодинамически корректное обоснование используемых соотношений неевклидовой модели сплошной среды.

3. В рамках неевклидовой модели сплошной среды сформулирована и решена стационарная задача о распределении поля напряжений при всестороннем сжатии неограниченной сплошной среды, содержащей полость цилиндрической формы.

4. Предложен метод описания зон дезинтеграции горных пород вокруг подземных выработок на основе силовых критериев. Проведены расчеты расположения статически установившихся зон дезинтеграции для цилиндрической выработки.

5. В рамках неевклидовой модели сплошной среды решена стационарная задача о распределении поля напряжений при всестороннем сжатии среды, содержащей сферическую полость.

1. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1 М.: Наука, 1994. 528 е., Т. 2 М.: Наука, 1994. 560 с.

2. Годунов С.К., Роменский И.Е. Элементы механики сплошной среды и законы сохранения. Новосибирск: Научная книга, 1998. 268 с.

3. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

4. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теория упругости. М.: Наука, 1987. 248 с.

5. Быковцев Г.И., Ивлев Д.Д. Теория пластичности. Владивосток: Дальнаука, 1998. 528 с.

6. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. М.: Наука, 1966. 232 с.

7. Мосолов П.П., Мясников В.П. Механика жесткопластичных сред. М.: Наука, 1981. 208 с.

8. Де Гроот С., Мазур П. Неравновесная термодинамика. М.: Мир. 1964.

9. Мясников В.П. Уравнения движения упругопластических материалов при больших деформациях// Вестник ДВО РАН. № 4. 1996. С.8-13.

10. Буренин А.А., Быковцев Г.И., Ковтанюк Л.В. Об одной простой модели для упругопластической среды при конечных деформациях// ДАН. 1996. Т. 347, № 2. С. 199-201.

11. Панин В.Е., Гриняев Ю.В., Данилов В.И. и др. Структурные уровни пластической деформации и разрушения. Новосибирск: Наука, 1990. 255 с.

12. Косевич A.M. Теория кристаллической решетки. Харьков: Высшая школа, 1988. 303 с.

13. Kroner Е. Gauge Field Theories of Defect in Solid. Max-Plank Int., Stuttgard, 1982.

14. Gunter H. Annaler der Physik. 6 Folge, Band 40, Helf 4/5, 1983, S. 220-226.

15. Кадич А., Эделен Д. Калибровочная теория дислокаций и дис-клинаций. М.: Мир, 1987. - 168 с.

16. Панин В.Е., Гриняев Ю.В., Данилов В.Н. и др. Структурные уровни пластической деформации и разрушения. Новосибирск: Наука, 1990. - 256 с.

17. Олемской А.И., Скляр И.А. Эволюция дефектной структуры твердого тела в процессе пластической деформации// Успехи физических наук. 1992. - Т. 162, № 6. Стр. 29-79.

18. Попов В.Д., Черткова Н.В. Спектр нормальных колебаний упру-гопластической среды с диссипацией// Прикладная механика и техническая физика. 1993. - Т. 34, № 4. Стр. 108-112.

19. Гузев М.А. Применение калибровочного формализма Янга-Миллса для описания структур в сплошной среде// ДАН. 1997. Т. 355. № 3. С. 336-338.

20. Мясников В.П., Гузев М.А. Геометрическая модель внутренних самоуравновешенных напряжений в твердых телах// ДАН. 2001. Т. 38. №5. С. 627-629.

21. Мясников В.П., Гузев М.А. Неевклидова модель деформирования материалов на различных структурных уровнях// Физическая мезомеханика. 2000. Т.З. С. 5-16.

22. Myasnikov V.P., Guzev М.А. Thermomechanical model of elastic-plastic materials with defect structures// Theoretical and Applied Fracture Mechanics. 2000. V.33. P.165-171.

23. Мясников В.П., Гузев М.А. Геометрическая модель дефектной структуры упруго-пластической сплошной среды// ПМТФ. 1999. Т. 40. С. 163-173.

24. Мясников В.П., Гузев М.А. Аффинно-метрическая структура упруго-пластической модели сплошной среды// Труды МИАН. М: Наука. 1998. Т.223. С.30-37.

25. Гузев М.А., Мясников В.П. Термомеханическая модель упруго-пластического материала с дефектами структуры// Изв. РАН. Механика твердого тела. 1998. № 4. С. 156-172.

26. Myasnikov V.P., Guzev М.А. Model of Continuum Medium with Nonclassical Kinematics// Computational Fluid Dynamics Review. Editors: M.Hafez, K.Oshima. World Scientific Publishing.1998. P. 785-793.

27. Kondo K. On the geometrical and physical foundations of the theory of yielding // Proc. 2nd Japan. Nat. Congr. Apll. Mech., Tokyo, 1953. P. 41-47.

28. Bilby B.A., Bullough R., Smith E. Continuous distributions of dislocations: a new application of the methods of non-Reimannian geometry // Proc. Roy. Soc. A. 1955. V. 231. P. 263-273.

29. Одинцев B.H. Отрывное разрушение массива скальных горных пород. М.: ИПКОН РАН, 1996. 166 с.

30. Чернышев Г.Н., Попов А.Л., Козинцев В.М., Пономарев И.И. Остаточные напряжения в деформируемых твердых телах. М.: Наука, 1996. 240 с.

31. Adams G.R., Jager A.J. Petroscopic observations of rock fracturing ahead of stope faces in deep—level gold mines// Journal of The South African Institute of Mining and Metallurgy. 1980. June. P. 204-209.

32. Глушихин Ф.П., Рева B.H., Розенбаум M.A., Тропп Э.А. Зональная дезинтеграция пород вокруг горных выработок на больших глубинах. М.: Физико-технический институт АН СССР им. Иоффе А.Ф., 1985 препринт № 976. 34 с.

33. Глушихин Ф.П., Рева В.Н., Розенбаум М.А. Особенности разрушения массива пород на больших глубинах. М., 1985.

34. Глушихин Ф.П., Кузнецов Г.Н., Шклярский М.Ф. и др. Моделирование в геомеханике. М.: Недра, 1991.

35. Шемякин Е.И., Фисенко Г.Л., Курленя М.В., Опарин В.Н., Рева В.Н. и др. Эффект зональной дезинтеграции горных пород вокруг подземных выработок//ДАН. 1986. Т. 289. № 5. С. 1088-1094.

36. Шемякин Е.И., Фисенко Г.Л., Курленя М.В., Опарин В.Н., Рева В.Н. и др. Зональная дезинтеграция горных пород вокруг подземных выработок. Ч. I. Данные натурных наблюдений// Физ.-тех. проблемы разработки полезных ископаемых. 1986. № 3. С. 3-15.

37. Шемякин Е.И., Фисенко Г.Л., Курленя М.В., Опарин В.Н., Рева В.Н. и др. Зональная дезинтеграция горных пород вокруг подземных выработок. Ч. III. Теоретические представления// Физ.-тех. проблемы разработки полезных ископаемых. 1987. № 1. С. 3-8.

38. Шемякин Е.И., Курленя М.В., Опарин В.Н., Рева В.Н. и др. Зональная дезинтеграция горных пород вокруг подземных выработок. Ч. IV. Практические приложения// Физ.-тех. проблемы разработки полезных ископаемых. 1986. № 3. С. 3-15.

39. Макаров В.В., Гузев М.А. Механизм зонального деформирования разрушения горных пород вокруг подземных выработок// Геодинамика и напряженное состояние недр Земли. Новосибирск, 1999.

40. Курленя М.В., Опарин В.Н. О нелинейных процессах в геомеханике// Нелинейный анализ и его приложения: Международный конгресс. М., 1998.

41. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: Методы и приложения. М.: Наука, 1986. 760 с.

42. Седов Л. И. Математические методы построения новых моделей сплошных сред// Успехи математических наук. 1965. Т XX, вып. 5 (125)С. 121-180.

43. Пономарев В.Н., Барвинский А.О., Обухов Ю.Н. Геометродина-мические методы и калибровочный подход к теории гравитационных взаимодействий. М.: Наука, 1978. 168 с.

44. Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983. 448 с.

45. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. 736 с.

46. Двайт Г.В. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, 1969. 228 с.

47. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: ГИФМЛ, 1961. 703 с.

48. Парошин А.А. Возможность симметризации калибровочных моделей деформирования ynpyrov~r Гсл'Л с дефектами// Труды ДВГТУ, Вып. 119, серия 5 (Естественно-научная) Владивосток: ДВГТУ, 1997. Стр. 24-27.

49. Парошин А.А. Распределение поля напряжений' вокруг цилиндрической полости при всестороннем обжатии// Течисы .лок.^апов дальневосточной конференции студентов и аспирантов по л1атемэтическому моделированию. Владивосток: ДВГТУ, 1997. Стр. 112113.

50. Парошин А.А. Анализ простейшей неклассической модели разрушения горных пород вокруг искусственной полости// Молодежь и научно-технический прогресс: Материалы региональной научной конференции. Ч. I. Владивосток: ДВГТУ, 1998. Стр. 110-111.

51. Гузев М.А., Макаров В.В., Парошин А.А. Моделирование отрывного разрушения горных пород в массиве вокруг подземных выработок// Научно-техническая конференция Вологдинские чтения. Естественные науки. Тезисы докладов. Владивосток: ДВГТУ, 1998. Стр. 22-23.

52. Guzev М.А., Paroshin A.A. Modelling Desintegration Zone of Rock With Underground Opening// Annals of Forum. Vladivostok: FESTU, 1999. Pp. 35-36.

53. Гузев М.А., Парошин А.А. Моделирование зональной дезинтеграции горных пород в массиве вокруг подземных выработок// Труды ДВГТУ, Вып. 122. Владивосток: ДВГТУ, 1999. Стр. 42-45.

54. Гузев М.А., Парошин А.А. Описание зон разрушения горных пород в рамках неевклидовой модели сплошной среды// Доклады международной конференции «Математические модели и методы их исследования». Красноярск, 1999. Стр. 54-56.

55. Гузев М.А., Парошин А.А. Неевклидова модель зональной дезинтеграции горных пород вокруг подземной выработки// ПМТФ. 2001. Т. 42, № 1. С 147-156.

56. Гузев М.А., Парошин А.А. Построение сферически-симметричного решения в неевклидовой модели зональной дезинтеграции горных пород// Труды международной конференции "Математические модели и методы их исследования". Красноярск, 2001. Стр. 214-217.

57. Гузев М.А., Парошин А.А. Структура поля напряжений сплошной среды при невыполнении условий совместности Сен-Венана// Труды школы-семинара «Современные проблемы механики и прикладной математики». Воронеж, 2002. Стр. 89-91.