Задача кручения и плоская задача механики наращиваемых тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правахрукописи

Михин Михаил Николаевич

ЗАДАЧА КРУЧЕНИЯ И ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА МЕХАНИКИ НАРАЩИВАЕМЫХ ТЕЛ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Чебоксары — 2007

ООЗОББ558

003066558

Работа выполнена в Московском государственном университете приборостроения и информатики.

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор А.В. Манжиров

доктор физико-математических наук, профессор В.А. Ковалев;

доктор физико-математических наук, профессор А.И. Шашкин

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского

Защита состоится 18 октября 2007 г. на заседании Диссертационного совета Д212.300.02 при ГОУ ВПО "Чувашский государственный педагогический университет им. И Я. Яковлева" по адресу. 428000, г Чебоксары, ул. К. Маркса 38, ауд.406, тел. (8352)620312, rektorat@chgpu.edu.ru.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Чувашского ГПУ.

Автореферат разослан 15 сентября 2007 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета, кандидат физико-математических наук

СЮ Радаев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена исследованию двумерных задач деформирования упругих и вязкоупругих стареющих наращиваемых тел

Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена актуальным проблемам механики наращиваемых деформируемых тел. В ней исследуются задачи кручения и плоского деформирования упругих и вязкоупругих стареющих тел в процессе их кусочно-непрерывного наращивания Изучаются особенности механического поведения растущих и сформированных в результате наращивания тел, исследуются новые, присущие только таким телам механические эффекты

Рассмотренные в работе двумерные задачи наращивания являются актуальными Если теории кручения и плоского деформирования тел постоянного состава давно стали классикой механики деформируемого твердого тела, то аналогичные исследования для наращиваемых тел в общей постановке до недавнего времени не рассматривались вовсе. Это было вызвано в первую очередь принципиальными трудностями постановочного и математического характера, отсутствием исследований в области новых неклассических краевых задач механики. Возможность исследования указанных задач возникла после появления математической теории наращиваемых тел, в которой были решены основные возникающие теоретические и технические трудности. Материалы настоящей диссертации устраняют указанный пробел в исследованиях для наращиваемых тел и позволяют перейти к регулярному использованию развитых методов для решения важных прикладных задач

Цель работы состоит в том, чтобы с единых позиций математической теории наращиваемых тел дать полное решение задачи кручения и плоской задачи для упругих и вязкоупругих тел переменного состава, исследовать влияние процесса наращивания на формирование напряженно-деформированного состояния в таких телах, выявить новые механические эффекты

Методика исследования. Представленные в диссертации исследования опираются на фундаментальные идеи механики растущих тел и математическую теорию наращиваемых тел, развитые в работах академика Н X Арутю-няна и профессора А В. Манжирова и их учеников Кроме того, используются результаты и методы теории функций комплексного переменного, теории обыкновенных дифференциальных и интегральных уравнений, уравне-

ний математической физики, теории обобщенных функций

Научная новизна. Рассмотренные в диссертации задачи являются новыми и относятся к развивающейся области механики деформируемого твердого тела — механике наращиваемых тел. В приведенных постановках они решены и детально исследованы впервые В результате обнаружено и проанализировано много новых эффектов, необычных с точки зрения механики тел постоянного состава.

Практическая значимость. Результаты работы представляют существенный интерес, как с точки зрения фундаментальной науки, так и с точки зрения многочисленных приложений, и могут быть использованы на практике при моделировании целого ряда технологических и природных процессов

Представленные в диссертации исследования выполнены в рамках плановой тематики Московского государственного университета приборостроения и информатики, а также проекта № 05-01-00693-а, финансируемого Российским фондом фундаментальных исследований

Достоверность Достоверность полученных результатов работы обеспечивается применением строгого математического аппарата и построением точных решений поставленных задач Она основана также на сравнениях в частных случаях с известными или заранее прогнозируемыми результатами и на ряде эффективных механизмов контроля результатов машинного счета

Апробация работы. Положения диссертационной работы были представлены на следующих конференциях и семинарах-

• Современные проблемы механики сплошной среды VI Международной конференция, г Ростов-на-Дону, 19-23 июня 2000 г

• Международная молодежная научная конференция «XXX Гагаринские чтения» Москва, 6-10 апреля 2004 г

• Современные проблемы механики сплошной среды IX международная конференциия, посвященная 85-летию академика РАН И И Воровича, г Ростов-на-Дону, 11-15 октября 2005 г

• Зимняя школа по механике сплошных сред (пятнадцатая) Пермь, 27 февраля-2 марта 2007 г

• Семинар по механике сплошной среды им Л А Галина Института проблем механики Российской академии наук под руководством профессо-

ров В М Александрова, В Н. Кукуджанова, А В. Манжирова Москва, 25 мая 2007 г

• Международная конференция "Актуальные проблемы механики сплошной среды", г Цахкадзор, Армения, 24-28 сентября 2007 г

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы Полный объем диссертации вместе с иллюстрациями составляет 127 страниц Из них 7 занимает список литературы, содержащий 84 наименования Общее количество иллюстраций — 56

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении формулируется цель исследования, обосновывается его актуальность Обсуждаются структура работы и содержание основных ее частей Дается краткий обзор литературы

Под непрерывно наращиваемым телом понимается деформируемое твердое тело, состав, масса или объем которого изменяются вследствие процесса непрерывного притока материала к его поверхности

Процесс присоединения к телу новых элементов называется соответственно, а та часть границы, к которой в текущий момент времени присоединяются бесконечно малые элементы материала, - растущей границей или границей роста

Тело, к поверхности которого, начиная с некоторого момента времени (момента начала наращивания) происходит приток новых элементов, называется основным или исходным телом Тело, составленное из материальных элементов, которые присоединились к основному телу за промежуток времени от момента начала наращивания до рассматриваемого момента времени, называется дополнительным телом, а объединение основного тела с дополнительным телом - растущим или наращиваемым телом

Момент времени, в который к телу присоединяется частица, обозначается через т*(х\, и называется моментом присоединения этой частицы к растущему телу. Моменты изготовления и начала загружения элементов растущего тела обозначаются через т£(х1, ху) и то(ж1, х^) соответственно

Заметим, кроме того, что соотношение т*(хьжг) — * представляет из себя уравнение границы роста, а%= (\7т*(ж1, Ж2)|-1 есть скорость движения границы Ь*{£) по нормали

Все изучаемые в работе проблемы сводятся к неклассическим задачам механики деформируемого твердого тела Их решения строятся с помощью метода, приводящего в итоге к решению последовательности краевых задач математической теории упругости, содержащих время t как вещественный параметр Истинные характеристики напряженно-деформированного состояния тел восстановливаются при помощи полученных формул расшифровки

Диссертационную работу <гЗадача кручения и плоская задача механики наращиваемых тел» можно условно разделить на две части

Первая часть, включающая первую и вторую главы, посвящена задаче кручения для вязкоупругих стареющих тел. В ней дано полное решение заг дачи кручения упругих и вязкоупругих тел переменного состава, рассмотрены конкретные задачи кручения наращиваемых тел, сделаны качественные выводы

Вторая часть, включающая третью и четвертую главы, посвящена плоской задаче механики наращиваемых тел В ней дано полное решение данной задачи, рассмотрены конкретные примеры, сделаны качественные выводы Остановимся более подробно на содержании глав

В главе 1 развита теория кручения наращиваемых тел Даны два варианта постановки задачи Проанализированы три основных этапа деформирования тела до начала наращивания, в процессе и после остановки роста Рассмотрены возникающие классические и неклассические начально-краевые задачи механики деформируемого твердого тела Предложен метод решения таких задач, основанный на приведении неклассических задач наращивания вязкоупругих стареющих тел к задачам теории упругости с некоторым параметром и восстановлении истинных характеристик напряженно- деформированного состояния тел при помощи полученных формул расшифровки

Рассмотривается однородное вязкоупругое стареющее тело, изготовленное в нулевой момент времени, занимающее некоторую цилиндрическую область Пх с поперечным сечением fii, имеющим границу L\ Боковая поверхность тела Пх до момента загружения то свободно от напряжений В момент приложения нагрузки то к торцам цилиндрического тела прикладываются усилия, статически эквивалентные паре с моментом M(t) От момента времени то до момента начала наращивания т\ на границе Ь\ задаются классические граничные условия В момент времени п > то начинается непрерывное наращивание тела элементами, изготовленными одновременно с ним При этом новые приращиваемые элементы могут быть напряжены Обозначим че-

рез границу поперечного сечения которая изменяется с течением времени, при этом Ь(т\) = Ь\ и П(т\) = Граница Ь{€) сечения 0(-£) состоит из двух участков Ь{£) = Ь*{£) и где Ь*{Ь) — граница наращивания или граница роста, к которой в рассматриваемый момент времени осуществляется приток материала, при этом £*(£) = Ь* при т <т\, Ьа({) — граница, свободная от напряжений Будем также считать, что момент приложения нагрузки к приращиваемым элементам то(х\, х?) совпадает с моментом их присоединения к растущему телу т*(х 1, В момент т& > т\ наращивание тела прекращается, и с этого момента оно занимает область П2 = П(тг) с поперечным сечением = ^(тг), имеющим границу Ьъ — ¿(тг) При этом на границе ¿2 = Дтг) задаются те же граничные условия, как и до начат ла наращивания на границе Ь\ Заметим, что всюду далее рассматриваются достаточно медленные процессы, такие, что в уравнениях равновесия можно пренебречь инерционными членами

Краевая задача для основного (нерастущего) вязкоупругого стареющего тела на отрезке времени [то, т}] представляет из себя традиционную задачу кручения теории вязкоупругости, причем возможны два варианта постановки задачи задан момент М(£), а требуется определить напряжения <тгз, перемещения иг и крутку #(£), задана крутка а требуется определить а-1}, и% и момент М{Ь) Она может быть решена численными или аналитическими методами

Начально-краевую задачу для непрерывно растущего тела на интервале отрузке [тх,Г2] составляют

уравнения равновесия

соотношения Коши между скоростями деформации Д , = дец /дЬ и скоростями перемещений иг = диг/дЬ

013,3 = 0) <^23,3 = 0, С13д + 023,2 = О,

(1)

£>11 = ^1,1 - О, Х>22 = г>2,2 = 0, £>33 = Щ,3 = О, £>12 = 1(^1,2 + «ад) = 0, £>13 = 1(^1,3 + «зд). Баз = + ^3>2)

уравнения состояния

<7i3 = 2 G(X + Ka(xux2))£i3, <?23 = 2G(X + ЯГо(хихг))£2а,

t

(X + iïTa[xuX2)yl = {X~ CT0{XUX2)), £sf(t) = J /(r)iri(í, r)dr

s

, ч _ / то, (®i,®2)eiîi

краевое условие на неподвижной границе

(хъ х2) е La{t) СГ13П1 + СГ23П2 = 0, (4)

начально-краевое условие на растущей границе

(Ж1,Ж2) е L*(t) ахз = 013, 0-23 = <7*3i о-*3щ + 0"23п2 = О (í = т*(жь ж2)), (5)

условия равновесия торцевого сечения Cl(t) под действием крутящего момента M(t)

МЦ) = JJ (a;ia23 - x2ais,)dxidx2, JJ ai3dxidx2 — JJ c?2Zdxidx2 — 0 (6)

n(i) ft(í) fi(t)

где Ù*(t) = Q(í)\í2i — образовавшаяся в процессе наращивания часть тела (дополнительное тело), n = {ni,n2} — единичный вектор внешней нормали боковой поверхности тела, <тг* (жь ж2) = стг](х1, ж2, г*(ж1, ж2)) — компоненты задаваемого на полного тензора напряжений, G — модуль упругомгно-венной деформации при сдвиге, г) — ядро ползучести, X — тождественный оператор Значения всех функций в момент времени то < t < т\ известны из решения задачи для основного тела

Отличительными особенностями начально-краевой задачи (1)-(6) для наращиваемого тела, выводящими ее за рамки классических задач механики деформируемого твердого тела, являются специфическое начально-краевое условие на растущей границе, нарушение условий совместности деформаций в области, занимаемой дополнительным телом, и выполнение лишь его аналога и аналога соотношений Коши в скоростях соответствующих величин, зависимость определяющих соотношений от функции го(жьж2), которая может иметь разрывы первого рода

Начально-краевая задача (1)-(6) может быть предложенным методом преобразована к краевой задаче относительно скоростей деформации, скоростей

перемещений и скоростей операторных напряжений

<Sl3,3 — 0, $23,3 = 0) $13,1 + -523,2 = 0,

£>11 = «1,1 = о, D22 = «2,2 = о, £>зз = 1)3,3 = 0,

£>12 = |(г?1,2 + «2,l) = о, £>13 = 1(^,3 + Узд), £>23 = 5(«2,3 + «3,2)

Sls = 2D13, S23 = 2£>2з, (7)

(®1,®2) G L(i) • 5i3ni + $23^2 = о, = 1Г (^1^23 - x2Si3)dxidx2 + / (®1 сг|3 - x2a*3)sndl,

(l(t) L*(t)

= (жь ж2, t) = (T — LMxuXl))ai} {xh x2, t)G-1 (t)

Если решение краевой задачи (7) построено, то решение начально-краевой задачи (1)-(6) можно найти по следующим формулам расшифровки

crl3(xi,X2,t) = G{t) <

^l{xbX2,TQ{xi,X2))

G(t0( 11,12))

1 +

t

J R(t, r)dT

+

(8)

+ £ 5ч(®1,®2,Т) + J

То(х1,Х2) [_ ть(®1>®2)

«

гц(ж1, ®2,<) = иг(аг1,2;2,Го(Ж1,Ж2)) -I- £ Уг(х1 ,Х2,т)ёт

то(х1,х2)

Для построения решения краевой задачи (7) заметим, что для величин г>, и справедливы следующие формулы

«1 = ~в'Мх 2x3, «2 = 0't(t)xix 3, и3 = 0j(i)<p(®i, ж2, i),

Sis = ОЦШ1 ~ ^2), S23 = в'Ц)(<р,2 + *i),

(9)

где — скорость крутки, ^(жь ж2, £) — функция кручения, которая является гармонической в области и удовлетворяет краевому условию

(#1, ж2) е ¿(¿) • д(р/дп = ж2П1 — Х\п2

Таким образом, поставленная задача кручения призматического тела приведена к задаче Неймана для функции <р{хх,х2,£) в области £!(£) (определение в области поперечного сечения £}(£) гармонической функции <р(х1, ж2, ¿) по заданному значению ее нормальной производной на контуре £(£))

На этапе роста скручиваемого тела также как и прежде возможны два варианта постановки задачи Решив задачу (7), в одном из вариантов постановки, истинные характеристики напряженно-деформируемого состояния можно восстановить по предлагаемым формулам обращения

Таким образом, задача кручения растущего тела на этапе его непрерывного наращивания исследована

Рассмотрим теперь этап кручения тела после остановки роста. Пусть в момент времени тъ наращивание тела прекращается В этот момент оно занимает область П2 с поперечным сечением ограниченным контуром Ьч Основные соотношения задачи для тела, наращивание которого прекращено, имеют вид (1)-(6), где отсутствует условие на границе роста Аналогично тому, как это было проделано для растущего тела, они приводятся к решению задачи типа (7) В данном случае для величин ьг и применимы формулы (9), в которых необходимо заменить Ь на Г2

В итоге неклассические краевые задачи, возникающие при исследовании кручения наращиваемых тел приведены к известным краевым задачам, содержащим некоторый параметр По найденным решениям последних полностью восстанавливается напряженно-деформированное состояние тела при помощи представленных формул обращения

Вторая глава посвящена приложениям задачи кручения механики наращиваемых тел к решению конкретных задач Здесь решены следующие

задачи кручение наращиваемого бруса эллиптического сечения, кручение растущей правильной треугольной призмы, кручение наращиваемого вала с продольной выточкой (рис 1) В каждой из рассмотренных задач рассматривался вопрос о интенсивности касательных напряжений Для каждой из рассмотренных задач получены формулы, определяющие решение, и приведены детальные результаты расчетов напряженно-деформируемого состояния растущих тел В частности установлено, что если в готовом теле (без учета нара-

щивания) максимум интенсивности касательных напряжений достигается на границе тела, то в зависимости от скорости и способа наращивания максимум интенсивности касательных напряжений может достигаться в произвольной точке дополнительного тела

В главе 3 дано полное решение плоской задачи для упругих и вязко-упругих тел переменного состава Рассмотрены три основных этапа деформирования тела, до начала наращивания, в процессе и после остановки роста Рассмотрены возникающие классические и неклассические начально-краевые задачи механики деформируемого твердого тела Предложены методы решения таких задач, основанные на приведении неклассических задач наращивания вязкоупругих стареющих тел к задачам теории упругости с некоторым параметром и восстановлении истинных характеристик напряженно-деформированного состояния тел при помощи полученных формул расшифровки

Рассмотривается однородное вязкоупругое стареющее тело, изготовленное в нулевой момент времени, занимающее плоскую многосвязанную область Г^ с границей Ь\ и до до момента загружения То свободно от напряжений От момента загружения до момента наращивания т\ на участке границы Ьа с ¿1 на тело действует самоуравновешенная нагрузка, новый материал предполагается добавлять к участку Ь* В момент времени т\ > то начинается непрерывное наращивание тела элементами, изготовленными одновременно с ним При этом новые приращиваемые элементы могут быть напряжены В процессе роста тело занимает область с границей !,(£), которая состоит из двух участков Ь{£) = Ь*{£) и где Ь*Ц) — граница наращивания или

граница роста, к которой в рассматриваемый момент времени осуществляется приток материала, при этом £*(£) = Ь* при т < ть Ьа{€) — граница, на которой задана нагрузка Будем также считать, что момент приложения нагрузки к приращиваемым элементам 7о(ж1, х^) совпадает с моментом их присоединения к растущему телу т*(х 1,^2) В момент т2 > т\ наращивание тела прекращается, и с этого момента оно занимает область 0,1 = ^(г2) с границей = Ь(т2) При этом на границе Ь2 = ¿(г2) задаются те же граничные условия, как и до начала наращивания на границе Ьх Заметим, что всюду далее рассматриваются достаточно медленные процессы, такие, что в уравнениях равновесия можно пренебречь инерционными членами

Краевая задача для основного (нерастущего) вязкоупругого стареющего тела на отрезке времени [го,-^] представляет из себя традиционную задачу

теории вязкоупрутости Ее можно решить известными из теории линейной теории вязкоупругости методами, например, при помощи принципа соответствия Н.Х Арутюняна

Начально-краевую задачу для непрерывно растущего тела на отрезке времени [71,7-2] составляют уравнения равновесия

0Уы = 0, (10)

соотношения между скоростями деформации Б13 = дец/&Ь и скоростями перемещений = диг/

А:? = §К:>+%>)> (11)

уравнения состояния в форме

<Тг, = Ю (1 + К0(хьх,)) + + £22)^) ,

(Я + М^хихг))'1 = (2- Аъ(зд))> 2(? = ^ К — у^;,

£,№ = { ПтШ*,т)*г, (12)

а

\г*(ая,г2), (ая,®а) €«*(<),

краевые условия на неподвижной части границе

Ьа{Ь) а1}п3 = р%, (13)

начально-краевое условие на границе роста Ь*, где задается полный тензор напряжений <т*}(х \,х2), характеризующий натяг приращиваемых элементов

£*(£) . ап(хь х2) т*(хь х2)) = <г* (хь х2), 4 = т*(хь х2), (14)

который согласован с нулевыми внешними силами

<г£п, = 0, (15)

где р} — компоненты вектора поверхностных сил, г и 3 принимают значения 1 или 2, С?, Е и V — модули упруго мгновенной деформации при сдвиге, растяжении и коэффициент Пуассона, а остальные обозначения введены выше Значения всех функций в момент времени 7о < t < т\ известны из решения задачи для основного тела

Задача (10)-(15) представляет из себя неклассическую краевую задачу наращивания Ее предложенным методом можно привести к краевой задаче

,з — 0>

D4 = + v}ii), Sl3 = 2 [sv + f^î(en + £22)^] , La{t) St3n} — дг, L*{t) • SyOi, x2, r*(xu x2)) = a^G-^r^X!, xa))fVr*(xlt œ2)|_1,

(16)

где gt — определяемые по исходным данным функции Краевая задача (16) совпадает по форме с краевой задачей теории упругости с параметром t Решив краевую задачу (16), истинные характеристики восстанавливаются формулам; обращения (8)

Основные соотношения задачи для тела, наращивание которого прекращено, имеют вид (10)-(15), где отсутствует условие на границе роста Аналогично тому, как это было проделано для растущего тела, они приводятся к решению задачи типа (16)

Для решения краевой задачи типа (16) эффективным является метод теории функций комплексного переменного, согласно которому величины Sl3 и vt выражаются через две аналитические функции комплексного переменного.

Четвертая глава, посвящена задаче о зарастающих отверстиях В ней

I I

m

I I

I I I "»I I

Рис. 2

рассмотрены задача Кирша для зарастающего отверстия, симметричное зарастание эллиптического отверстия в одноосно растягиваемой пластинке, зарастание узкого эллиптического отверстия (залечивание трещины) (рис 2) Для каждой из рассмотренных задач получены формулы, определяющие решение, и приведены результаты расчетов Показано, что напряженно-деформируемое состояние при наращивании принципиально отличается от напряженно-деформированного состояния стационарного тела В частности показано, что при в зависимости от скорости и способа наращивания максимум интенсивности касательных напряжений может достигаться не только на контуре отверстия, но и в любой точке дополнительного тела, включая границу раздела основного и дополнительного тел

В заключении сформулированы выводы и перечислены основные научные результаты всей диссертационной работы

ОСНОВНЫЕ НАУЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1 В работе исследованы новые задачи кручения и плоского деформирования наращиваемых тел Даны их постановки Детально изучен весь процесс наращивания

2 Сформулированы новые неклассические начально-краевые задачи механики наращиваемых тел Предложены методы решения таких задач, основанные на приведении неклассических задач наращивания вязко-упругих стареющих тел к задачам теории упругости с некоторым параметром, использовании теории аналитических функций для решения последних и восстановлении истинных характеристик напряженно-деформированного состояния тел при помощи полученных формул расшифровки

3 Проведены детальные расчеты и качественный анализ напряженно деформированного состояния таких двумерных задач механики наращиваемых тел, как задача о кручении наращиваемого бруса эллиптического сечения, кручение растущей правильной треугольной призмы, кручение наращиваемого вала с продольной выточкой, задачи зарастания отверстий

4 В результате анализа полученных в диссертации решений новых задач механики растущих тел обнаружены принципиально новые механические эффекты, возникающие только при наращивании деформируемых тел В частности установлено, что концентрация напряжений в наращиваемых телах может возникать не только на границе, как это справедливо во многих задачах для тел постоянного состава, но и внутри деформируемых тел

5 На основании проведенных в диссертации исследований можно сделать общий вывод о принципиальной необходимости учета особенностей процессов наращивания, применяемых при создании разнообразных объектов техники и технологии, что позволит избежать катастрофических ошибок при оценке их напряженного-деформированного состояния

ПУБЛИКАЦИИ

Основные результаты диссертационной работы отражены в ниже перечисленных публикациях В совместных работах с А В Манжировым профессору А В Манжирову принадлежат общая теория и постановки задач Автору принадлежат решения новых задач механики наращиваемых тел с применением методов теории функций комплексного переменного и детальный численный и качественный анализ

1 Михин М Н Задача Кирша для пластины с зарастающим круговым отверстием // Перспективы повышения надежности и качества наукоемкой продукции на основе новейших достижений приборостроения Юбилейная межвузовская конференция 16-20 октября 1996 г Тезисы докладов г Москва - г Сергиев-Посад - М МГАПИ, 1996 С 151

2 Манжиров А В , Михин М Н Плоская задача для растущего тела / / Современные проблемы механики сплошной среды Труды VI международной конференции, г Ростов-на-Дону, 19-23 июня 2000 г Том 2 — Ростов-на-Дону Изд-во СКНЦ ВШ, 2001. С 106-109

3 Михин М Н Наращивание пластины, ослабленной эллиптическим отверстием // Новые информационные технологии Сборник трудов VI Всероссийской научно-технической конференции (Москва, 23-24 апреля 2003) В 2-х т Т1/Под общ ред АП Хныкина -М МГАПИ, 2003 С 147-148

4 Манжиров А В, Михип MHO кручении наращиваемого эллиптического бруса // Проблемы механики деформируемых тел — Ереван Изд-во "Гитутюн"НАН РА, 2003 С 216-224

5 Михин М.Н Кручение растущих тел // "XXX Гагаринские чтения" Тезисы докладов (г Москва, 6-10 апреля 2004) С 34-35

6 Манжиров А В, Михин М Н Методы теории функций комплексного переменного в механике растущих тел // Вестник СамГУ Естественная серия 2004 №4(34) С 82-98

7 Манжиров А В, Михин MHO кручении растущих тел тел // Современные проблемы механики сплошной среды Труды IX международной конференции, посвященной 85-летию академика РАН И И. Воровича, г Ростов-нагДону, 11-15 октября 2005 г — Ростов-на-Дону Изд-во ООО "ЦВВР", 2005 С 132-137

8 Михин М.Н Кручение растущей призмы // Зимняя школа по механике сплошных сред (пятнадцатая) Сборник статей В 3-х частях Часть 3 Екатеренбург УрО РАН, 2007 С 25-29

9 Михин М Н Кручение растущего вала // Вестник СамГУ Естественная серия 2007 № 4(54) С 304-315

10 Манжиров А В, Михин М.Н, Юбер С В Некоторые задачи кручения растущих тел // Труды Международной конференции "Актуальные проблемы механики сплошной среды", 24-28 сентября 2007 г, гЦахкадзор, Армения — Ереван Изд-во "Гитутюн"НАН РА, 2007

ЗАДАЧА КРУЧЕНИЯ И ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА МЕХАНИКИ НАРАЩИВАЕМЫХ ТЕЛ

Михин Михаил Николаевич

Подписано в печать 10 09 07 Заказ № 216-2007 Тираж 150 экз

Отпечатано на ризографе Центра полиграфических услуг "АиБ" 142900, Московская область, г Кашира, Каширское шоссе д 1

Введение.

1. Кручение призматических растущих тел.

1.1. Постановка задачи. Деформирование основного тела.

1.1.1. Постановка смешанной задачи.

1.1.2. Краевая задача для вязкоупругого стареющего нерастущего тела.

1.1.3. Преобразование краевой задачи для основного нерастущего тела

1.1.4 Формальное преобразование краевой задачи нерастущего тела к начально-краевой задаче с параметром времени.

1.2. Напряженно-деформируемое состояние непрерывно растущего тела.

1.2.1. Начально-краевая задача для непрерывно растущего тела.

1.2.2. Преобразование начально-краевой задачи для непрерывно растущего вязкоупругого стареющего тела к задаче наращивания упругого тела, описываемого законом Гука.

1.2.3. Преобразование начально-краевой задачи для непрерывно растущего вязкоупругого стареющего тела к начально-краевой задаче с параметром времени.

1.3. О деформировании вязкоупругого тела, наращивание которого прекращено.

1.4. Методы ТФКП для решения классических краевых задач с параметром.

1.4.1. Применение конформного отображения.

1.4.2. Приведение уравнения границы к специальному виду.

Настоящая работа посвящена актуальным проблемам механики наращиваемых деформируемых тел. В ней исследуются задачи кручения и плоского деформирования упругих и вязкоупругих стареющих тел в процессе их кусочно-непрерывного наращивания. Изучаются особенности механического поведения сформированных в результате наращивания тел, исследуются новые, присущие только таким телам механические эффекты.

Приведем ряд основных определений из механики наращиваемых тел.

Наращиваемым (растущим) телом называется деформируемое твердое тело, состав, объем или масса которого увеличиваются за счет присоединения к его поверхности новых элементов. Процесс присоединения этих элементов называется наращиванием. Часть границы растущего тела, к которой в данный момент времени присоединяется дополнительный материал, называется границей наращивания (границей роста).

Наращивание деформируемого тела может происходить дискретно или непрерывно (кусочно-непрерывно). При дискретном наращивании, к телу последовательно присоединяются элементы конечных размеров. При непрерывном (кусочно-непрерывном) наращивании к поверхностью наращивания непрерывно (кусочно-непрерывно) притекает материал, т.е. за каждый бесконечно малый промежуток времени к указанному участку поверхности присоединяется элемент инфинитезимальных размеров.

Тело, к поверхности которого, начиная с некоторого момента времени (момента начала наращивания) происходит приток новых элементов, называется основным или исходным телом. Тело, составленное из материальных элементов, которые присоединились к основному телу за промежуток времени от момента начала наращивания до рассматриваемого момента времени, называется дополнительным телом, а объединение основного тела с дополнительным телом - растущим телом или наращиваемым телом. Заметим также, что процесс наращивания может происходить и без участия основного тела, когда наращивание начинается с зарождения бесконечно малого материального элемента тела.

Момент времени, в который к телу присоединяется частица с координатами (2:1,2:2), обозначается через т*(хi,x2) и называется моментом присоединения этой частицы к растущему телу. Моменты изготовления и начала загружения элементов растущего тела обозначаются через т*(хi, жг) и tq(xi,X2) соответственно.

Заметим, кроме того, что соотношение т*(х\,х2) = t представляет из себя уравнение границы роста, a sn = |Vr*(xi, £2)|-1 есть скорость движения границы L* (t) по нормали.

Теории кручения и плоского деформирования тел постоянного состава давно стали классикой механики деформируемого твердого тела. В этих областях издан целый ряд монографий [7, 29, 35, 54, 56, 69, 71, 72 и др.]

По всей видимости, первой работой, в которой рассматривалась задача определения напряженно-деформированного состояния растущего тела, а именно непрерывно наращиваемого бесконечного клина, является работа [70]. Она и работы [31, 32, 81, 82] являются классическими примерами в литературе по механике непрерывно растущих тел. В этих работах предлагались различные, не связанные между собой, модели процессов роста. Однако, и они, и многие другие содержали, зачастую, несовершенные в физико-механическом и математическом планах модели конкретных частных процессов.

Построение единой теории было начато в работах Н.Х. Арутюняна [5] и В.Д. Хар-лаба [78]. Эти работы содержали все необходимые соотношения за исключением одного специфического условия на поверхности тела, к которой притекал материал. Недостающее специфическое условие на поверхности тела, к которой притекал материал, было учтено в работах [19, 73-75]. Формулировкой этого было закончено построение математической теории непрерывно наращиваемых деформируемых тел при малых деформациях и условии отсутствия инерционных эффектов.

В дальнейшем теория была развита для описания больших деформаций [9-13, 5052,76], динамических процессов [22-27], вариационных методов [13,20,21,30,55, 57] и решен ряд задач.

Существенный вклад в теорию механики наращиваемых тел был сделан в работе [15], где впервые была рассмотрена общая безынерционная задача о кусочно-непрерывном наращивании линейно вязкоупругого однородно стареющего тела при малых деформациях. В работах [15-17, 37] изложен, эффективный математический метод построения решения поставленной неклассической задачи механики деформируемого твердого тела.

Указанные результаты позволили в рамках рассматриваемой модели построить общую математическую теорию наращиваемых тел и на ее основе решить ряд сложных существенно неодномерных задач наращивания и контактных задач [15-17,33, 36,4244, 58-63, 83].

Вообще говоря, задача кручения для наращиваемых тел рассматривалась в работах [13, 14, 17]. Но при этом рассматриваемые задачи кручения в указанных работах являлись одномерными. В то же время, теория кручения и плоского деформирования тел для наращиваемых тел в общей постановке до недавнего времени не рассматривались вовсе. Это было вызвано в первую очередь принципиальными трудностями постановочного и математического характера, отсутствием исследований в области новых неклассических краевых задач механики. Возможность исследования указанных задач возникла после появления математической теории наращиваемых тел, в которой были решены основные возникающие теоретические и технические трудности. Материалы настоящей диссертации устраняют указанный пробел в исследованиях для наращиваемых тел и позволяют перейти к регулярному использованию развитых методов для решения важных прикладных задач.

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Последний включает 84 наименования. Основные результаты диссертации отражены в публикациях [38-41, 45^9]. Общее количество иллюстраций в работе — 56.

4.3. Основные выводы

В качестве применения общей теории, рассмотрены конкретные плоские задачи о зарастающих эллиптических отверстиях: задача Кирша для зарастающего отверстия, симметричное зарастание эллиптического отверстия в одноосно растягиваемой пластинке, зарастание бесконечно тонкого эллипса. Во всех задачах рассматривался вопрос о распределении касательных напряжений в наращиваемом теле. Для каждой из рассмотренных задач получены формулы, определяющие решение, и приведены результаты расчетов.

Основной вывод состоит в том, что если в готовом теле без учета наращивания максимум интенсивности касательных напряжений достигается на границе тела, то при наращивании максимум интенсивности касательных напряжений может достигаться: на границе раздела основного и дополнительного тел, на границе готового тела, в произвольной точке дополнительного тела.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем основные выводы и перечислим наиболее важные научные результаты выполненных в диссертации исследований.

1. В работе исследованы новые задачи кручения и плоского деформирования наращиваемых тел. Даны их постановки. Детально изучен весь процесс наращивания.

2. Сформулированы новые неклассические начально-краевые задачи механики наращиваемых тел. Предложены методы решения таких задач, основанные на приведении неклассических задач наращивания вязкоупругих стареющих тел к задачам теории упругости с некоторым параметром, использовании теории аналитических функций для решения последних и восстановлении истинных характеристик напряженно-деформированного состояния тел при помощи полученных формул расшифровки.

3. Проведены детальные расчеты и качественный анализ напряженно деформированного состояния таких двумерных задач механики наращиваемых тел, как задача о кручении наращиваемого бруса эллиптического сечения, кручение растущей правильной треугольной призмы, кручение наращиваемого вала с продольной выточкой, задачи зарастания отверстий.

4. В результате анализа полученных в диссертации решений новых задач механики растущих тел обнаружены принципиально новые механические эффекты, возникающие только при наращивании деформируемых тел. В частности установлено, что концентрация напряжений в наращиваемых телах может возникать не только на границе, как это справедливо во многих задачах для тел постоянного состава, но и внутри деформируемых тел.

5. На основании проведенных в диссертации исследований можно сделать общий вывод о принципиальной необходимости учета особенностей процессов наращивания, применяемых при создании разнообразных объектов техники и технологии, что позволит избежать катастрофических ошибок при оценке их напряженного-деформированного состояния.

1. Александровский C.B., Васильев П.И. Экспериментальные исследования ползучести бетона // Ползучесть и усадка бетона и железобетонных конструкций. М.: Стройиздат, 1976. С. 97-152.

2. Арутюнян Н.Х. Некоторые вопросы теории ползучести. M.; JL: Гостехиздат, 1952. 323 с.

3. Арутюнян Н.Х. Ползучесть стареющих материалов. Ползучесть бетона //Механика в СССР за 50 лет. Т. 3. М.: Наука, 1972. С. 155-202.

4. Арутюнян Н.Х. О теории ползучести для неоднородно наследственно-стареющих сред // Докл. АН СССР. 1976. - Т. 229, Я- 3. - С. 569-571.

5. Арутюнян Н.Х. Краевая задача теории ползучести для наращиваемого тела // ПММ. 1977. Т. 41. Вып. 5. С. 783-789.

6. Арутюнян Н.Х. Фундаментальные решения задач для растущего тела в форме четвертышоскости // Изв. АН СССР. МТТ. 1987. 2. С. 85-90.

7. Арутюнян Н.Х., Абрамян Б.Л. Кручение упругих тел // М., Физматгиз. 1963. 686 с.

8. Арутюнян Н.Х., Геогджаев В.О., Наумов В.Э. Задачи механики растущих вязко-упругопластических тел в условиях старения и разгрузки // Изв. АН СССР. МТТ. 1986. 4. С. 153-163.

9. Арутюнян Н.Х., Дроздов А.Д. Механика растущих вязкоупругих тел, подверженных старению, при конечных деформациях // Докл. АН СССР. 1984. Т. 276. 4. С. 821-825.

10. Арутюнян Н.Х., Дроздов А.Д. О растущем гравитирующем вязкоупругом шаре при конечных деформациях // Изв. АН СССР. МТТ. 1984. 4. С. 124^137.

11. Арутюнян Н.Х., Дроздов А.Д. Теория вязкоупругопластичности растущих тел, подверженных старению, при конечных деформациях // Докл. АН СССР. 1985. Т. 282. 1.С. 23-27.

12. Арутюнян Н.Х., Дроздов А.Д. Механика растущих вязкоупругих тел, подверженных старению, при конечных деформациях // Мех. композита, материалов. 1985. 4. С. 591-602.

13. Арутюнян Н.Х., Дроздов А.Д., Наумов В.Э. Механика растущих вязкоупругопла-стических тел. М.: Наука, 1987. 471 с.

14. Арутюнян Н.Х., Колмановский В.Б. Теория ползучести неоднородных тел. М.: Наука, 1983. 336 с.

15. Арутюнян Н.Х., Манжиров A.B. Контактные задачи механики растущих тел // ПММ. 1989. Т. 53. Вып. 1. С. 145-158.

16. Арутюнян Н.Х., Манжиров A.B. Контактные задачи теории ползучести. Ереван: Изд-во АН АрмССР, 1990; Изд-во HAH РА, 1999. 318 с.

17. Арутюнян Н.Х., Манжиров A.B., Наумов В.Э. Контактные задачи механики растущих тел. М.: Наука, 1991. 176 с.

18. Арутюнян Н.Х., Манжиров A.B., Наумов В.Э., Шматкова A.A. Механика растущих неоднородных вязкоупругих тел, подверженных старению // Отчет (аннотацион-ный) / Ин-т проблем механики АН СССР. М., 1990. 21 с.

19. Арутюнян Н.Х., Метлов В.В. Нелинейные задачи теории ползучести наращиваемых тел, подверженных старению // Изв. АН СССР. МТТ. 1983. 4. С. 142-152.

20. Арутюнян Н.Х., Михайлов М.Н., Потапов В.Д. Об устойчивости растущего вяз-коупругого армированного стержня, подверженного старению // ПМТФ. 1984. 5. С. 143-151.

21. Арутюнян Н.Х., Михайлов М.Н., Потапов В.Д. Устойчивость растущих вязкоупругих оболочек, подверженных старению // ПМТФ. 1986. 2. С. 151-160.

22. Арутюнян Н.Х., Наумов В.Э., Радаев Ю.Н. Динамическое наращивание деформируемых тел. Препринт / Ин-т проблем механики АН СССР. М., 1989. 374. 43 с.

23. Арутюнян Н.Х., Наумов В.Э., Радаев Ю.Н. Волны в растущих упругих телах. Препринт / Ин-т проблем механики АН СССР. М., 1989. 405. 44 с.

24. Арутюнян Н.Х., Наумов В.Э., Радаев Ю.Н. Математическая модель динамически наращиваемого деформируемого тела. Ч. 1. Кинематика и меры деформации растущего тела // Изв. АН СССР. МТТ. 1990. 6. С. 85-96.

25. Арутюнян Н.Х., Наумов В.Э., Радаев Ю.Н. Математическая модель динамически наращиваемого деформируемого тела. Ч. 2. Эволюционная граничная задача теории растущих тел // Изв. АН СССР. МТТ. 1991. 1. С. 72-86.

26. Арутюнян Н.Х., Наумов В.Э., Радаев Ю.Н. Динамическое наращивание упругого слоя. Ч. 1. Движение потока осаждаемых частиц с переменной скоростью // Изв. АН СССР. МТТ. 1992. 5. С. 6-24.

27. Арутюнян Н.Х., Наумов В.Э., Радаев Ю.Н. Динамическое наращивание упругого слоя. Ч. 2. Случай падения приращиваемых частиц с постоянной скоростью // Изв. АН СССР. МТТ. 1992. 6. С. 99-112.

28. Гельфанд И.Н., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Физмат-гиз, 1958. 256 с.

29. Демидов С.П. Теория упругости: Учебник для вузов. М.: Высш. шк., 1979. 432 с.

30. Дмитриева A.M., Наумов В.Э., Радаев Ю.Н. Наращивание термоупругого сферического слоя: применение вариационного подхода. Препринт / Ин-т проблем механики РАН. М., 1993. 528. 64 с.

31. B.И. Феодосьева. Москва, 4-6 мая 2006 г. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. С. 52.

32. Карапетян К.С. Влияние старения бетона на зависимость между напряжением и деформациями ползучести // Изв. АН. АрмССР. Серия физ.-мат. наук. 1959. Т. 12. 4. С. 57-88.

33. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 939 с.

34. Манжиров A.B. О кручении растущего цилиндра жестким штампом // ПММ. 1990. Т. 54. Вып. 5. С. 842-850.

35. Манжиров A.B. Общая безынерционная начально-краевая задача для кусочно-непрерывно наращиваемого вязкоупругого стареющего тела // ПММ. 1995. Т. 59. Вып. 5. С. 836-848.

36. Манжиров A.B., Михин М.Н. Плоская задача для растущего тела // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды VI международной конференции. Ростов-на-Дону, 19-23 июня 2000 г. Т. 2. Ростов-на-Дону: Изд-во СКНЦ ВШ, 2001.1. C. 106-109.

37. Манжиров A.B., Михин М.Н. О кручении наращиваемого эллиптического бруса // Проблемы механики деформируемых тел. Ереван: Изд-во Гитутюн HAH РА, 2003. С. 216-224.

38. Манжиров A.B., Михин М.Н. Методы теории функций комплексного переменного в механике растущих тел // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2004. 4 (34). С. 82-98

39. Манжиров A.B., Паршин Д.А. Наращивание вязкоупругого шара в центрально-симметричном силовом поле // Изв. РАН. МТТ. 2006. 1. С. 66-83.

40. Манжиров A.B., Паршин Д.А. Моделирование процессов наращивания цилиндрических тел на вращающейся оправке с учетом действия центробежных сил // Изв.

41. РАН. МТТ. 2006. 6. С. 149-166.

42. Манжиров A.B., Черныш В.А. Задача об усилении заглубленной арочной конструкции методом наращивания // Изв. РАН. МТТ. 1992. 5. С. 25-37.

43. Михин М.Н. Кручение растущих тел // "XXX Гагаринские чтения": Тезисы докладов (г. Москва, 6-10 апреля 2004). М.: МАТИ РГТУ им. К.Э. Циолковского, С. 34-35.

44. Михин М.Н. Кручение растущей призмы // Зимняя школа по механике сплошных сред (пятнадцатая). Сборник статей. В 3-х частях. Часть 3. Екатеренбург: УрО РАН, 2007. С. 25-29.

45. Михин М.Н. Кручение растущего вала // Вестник СамГУ. Естественная серия. 2007. № 4(54). С. 304—315.

46. Метлов В.В., Никитин A.B. О наращивании вязкоупругого цилиндра, подверженного старению // Изв. АН АрмССР. Механика. 1984. Т. 37, 5. С. 52-60.

47. Метлов В.В. О наращивании тел при конечных деформациях // Докл. АН АрмССР. 1985. Т. 80. 2. С. 87-91.

48. Метлов В.В. О наращивании неоднородных вязкоупругих тел при конечных деформациях // ПММ. 1985. Т. 49. Вып. 4. С. 637-647.

49. Метлов В.В., Турусов P.A. О формировании напряженного состояния вязкоупругих тел, растущих в условиях фронтального отверждения // Изв. АН СССР. МТТ. 1985. 6. С. 145-160.

50. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости // М: Изд во АН СССР, 1954. 647 с.

51. Наумов В.Э., Радаев Ю.Н. Термомеханическая модель наращиваемого тела: вариационная формулировка. Препринт / Ин-т проблем механики РАН. М., 1993. 527. 39 с.

52. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

53. Образцов И.Ф., Паймушин В.Н., Сидоров И.Н. О постановках задачи непрерывного наращивания упругих тел // Докл. АН СССР. 1990. Т. 314, 4. С. 813-816.

54. Паршин Д.А. Наращивание гравитирующего шара // XXXI Гагаринские чтения. Тезисы докладов Международной молодежной научной конференции. Москва, 59 апреля 2005 г. М.: МАТИ РГТУ им. К.Э. Циолковского, 2005. Т. 1. С. 100-101.

55. Паршин Д.А. Наращивание массивных деформируемых тел // XXXII Гагаринские чтения. Научные труды Международной молодежной научной конференции в 8 томах. Москва, 4-8 апреля 2006 г. М.: МАТИ РГТУ им. К.Э. Циолковского, 2006. Т. 1. С. 147-149.

56. Прокопович И.Е. Влияние длительных процессов на напряженное и деформированное состояние сооружений. М.: Госстройиздат, 1963. 260 с.

57. Прокопович И.Е., Улицкий И.И. О теориях ползучести бетона // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1963. 10. С. 13-34.

58. Прокопович И.Е., Зедгенидзе В.А. Прикладная теория ползучести. М.: Стройиздат, 1980. 240 с.

59. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966. - 752 с.

60. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М.: Наука, 1977. - 384 с.

61. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела: Учебн. пособие для вузов. Изд. 2-е, испр. М.: Наука, 1988. 712 с.

62. Рашба Э.И. Определение напряжений в массивах от действия собственного веса с учетом порядка их возведения // Сб. тр. Ин-та строит, механики АН УССР. 1953. 18. С. 23-27

63. Седов Л.И. Механика сплошной среды: В 2 т. Т. 1. Изд. 6-е, стер. СПб.: Лань, 2004. 528 с.

64. Сен-Венан Б. Мемуар о кручении призм. Мемуар об изгибе призм. М.: ГИФМЛ, 1961.518 с.

65. Тринчер В.К. Общая геометрически линейная постановка задачи определения деформированного состояния для тела с переменной границей // Проблемы современной механики. Ч. 2 / Под ред. акад. Л.И. Седова. М.: Изд-во МГУ, 1983. 149 с.

66. Тринчер В.К. О постановке задачи определения напряженно-деформированного состояния растущего тела // Изв. АН СССР. МТТ. 1984. 2. С. 119-124.

67. Тринчер В.К. Расчет наращиваемых тел. М.: Изд-во МГУ. 1989. 154 с.

68. Хан X. Теория упругости: Основы линейной теории и ее применения. Пер. с нем. М.:Мир, 1988. 344 с.

69. Харлаб В.Д. Линейная теория ползучести наращиваемого тела // Механика стержневых систем и сплошных сред: Тр. ЛИСИ. Л.: ЛИСИ, 1966. Вып. 49. С. 93-119.

70. Харлаб В.Д. Некоторые общие решения в линейной теории ползучести наращиваемого тела // Аналитические и численные решения прикладных задач математической физики: Межвуз. темат. сб. тр. Л.: ЛИСИ, 1986. С. 18-26.

71. Ba^ant Z.P. Mathematical models for creep and shrinkage of concrete // Creep and shrinkage in concrete structures / Ed. by Z.P. Ba^ant and F.H. Wittmann. London: John Wiley & Sons Ltd., 1982. P. 163-256.

72. Brown C.B., Goodman L.E. Gravitational stresses in accreted bodies // Proc. Roy. Soc. London, A. 1963. Vol. 276. No. 1367. P. 571-576.

73. Goodman L.E., Brown C.B. Dead load stresses and the instability of slopes // J. Soil Mech. and Foundat. Div., Proc. Amer. Soc. Civil Engrs. 1963. Vol. 89. No. 3. P. 103-134.

74. Manzhirov A.V., Parshin D.A. Accretion of solids under mass forces // Indo-Russian workshop on Problems in Nonlinear Mechanics of Solids with Large Deformation. Proceedings. IIT Delhi, November 22-24, 2006. New Delhi: IIT Delhi, 2006. P. 71-79.

75. Ross A.D. Creep of concrete under variable stress // J. Amer. Concr. Inst. 1958. Vol. 29. No. 9. P. 739-758.