Краевые задачи механики растущих тел и тонкостенных конструкций тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

005016746

На правах рукописи

Лычев Сергей Александрович

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ РАСТУЩИХ ТЕЛ И ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

3 МАЙ ¿012

МОСКВА - 2012

005016746

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН (ИПМех РАН).

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор

Манжиров Александр Владимирович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Зубов Леонид Михайлович,

доктор технических наук, профессор Лурье Сергей Альбертович,

доктор физико-математических наук, профессор Шифрин Ефим Ильич.

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт проблем машиноведения -Российской академии наук (ИПМаш РАН).

Защита состоится 17 мая 2012 г. в 15 час. на заседании диссертационного совета Д 002.240.01 при ИПМех РАН по адресу: 119526, Москва, проспект Вернадского, д. 101, корп. 1, ауд. 237.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПМех РАН.

Автореферат разослан 10 апреля 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 002.240.01 при ИПМех РАН кандидат физико-математических наук

------ Сысоева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы.

Различные по физической природе технологические процессы, такие, как бетонирование крупномасштабных объектов, гальванопластика, лазерное напыление, гаг зотермическое и парофазное осаждения, фотополимеризация, с позиции механики сплошных сред объединяет то, что их результатами являются растущие тела. Формирование растущих тел происходит как непрерывное присоединение инфинитезималь-ных предварительно деформированных частей к конечному телу, причем в процессе роста само растущее тело испытывает деформацию. Этим определяется принципиальное отличие механики растущих тел от классической механики тел постоянного состава. Характерной особенностью растущих тел являются поля остаточных напряжений, определяемые сценарием наращивания, что приводит к нежелательным последствиям, например, к искажениям геометрической формы создаваемого объекта, локальным нарушениям сплошности, потере устойчивости. В частности, учет искажений формы важен при разработке методов фотополимеризующей стереолито-графии, а анализ устойчивости наращиваемых тонкостенных конструкций необходим при разработке микроэлектромеханических систем (MEMS). Вместе с тем возможность учета остаточных напряжений в растущих телах позволяет выбирать оптимальные в том или ином смысле режимы наращивания и осуществлять "механическое программирование", создавая заданные поля остаточных напряжений в телах. Это — путь к созданию "smart''-материалов. Таким образом, развитие моделей и методов механики растущих тел является актуальной задачей современной механики континуума.

Следует также отметить, что модели механики растущих тел позволяют в рамках механики континуума описать природные феномены, такие, как аккреция гравити-рующих космических объектов, рост кристаллов, рост биологических тканей.

Целью работы является формулировка краевых задач квазистатики и динамики растущих тел и тонкостенных конструкций, а также разработка методов построения их решений. Эта цель предполагает решение следующих задач:

• Формулировка полной системы уравнений механики растущих тел при конечных деформациях.

• Построение замкнутых решений модельных задач наращивания при конечных деформациях.

• Разработка регулярных методов решения задач квазистатики и динамики растущих упругих и термоупругих тел в приближении малых деформаций.

• Формулировка начально-краевых задач для наращиваемых по толщине тонкостенных конструкций в приближении малых деформаций и разработка регулярных методов решения соответствующих краевых задач.

На защиту выносятся следующие положения:

• Основные положения математической теории наращиваемых тел при конечных деформациях. Представление растущего тела в форме расслоения материального многообразия. Классификация возможных способов наращивания деформируемых тел в зависимости от размерности базы расслоения. Геометрические методы определения отсчетной конфигурации растущего тела, погружаемой в пространство аффинной связности с нетривиальным кручением.

• Полная система уравнений механики растущих тел при наращивании трехмерно

го тела двумерными поверхностями при конечных деформациях. Классификация соответствующих краевых задач. Соотношения для определения кручения связности аффинного пространства, в которое может быть погружена натуральная отсчетная конфигурация.

• Универсальные решения для растущих тел. Конечные деформации растущего полого шара при центральносимметричном нагружении, растущего полого цилиндра и растущей изгибаемой панели.

• Спектральные представления решений начально-краевых задач для растущих термоупругих тел в приближении малых деформаций. Замкнутые решения для тел канонической формы в постановке связанной термоупругости. Оценка степени влияния связности в зависимости от характерного размера тела.

• Вариационные принципы конволютивного типа для растущих упругих и термоупругих тел.

• Уравнения равновесия и движения растущих по толщине тонкостенных конструкций. Классификация соответствующих краевых задач. Статические задачи об изгибе растущих круглых и прямоугольных пластин. Задачи динамики для растущих круглых, прямоугольных, эллиптических пластин и цилиндрических оболочек. Научная новизна состоит в следующем:

• Дано определение растущего гладкого (в смысле W. Noll) тела как расслоение гладкого многообразия.

• Осуществлена классификация способов наращивания, основанная на геометрической структуре расслоения.

• Построена полная система уравнений механики растущих тел при наращивании трехмерного тела двумерными поверхностями при конечных деформациях.

• Получены новые универсальные решения для растущих тел, в частности, для растущей изгибаемой панели.

• Разработан метод построения замкнутых решений в форме биортогональных разложений по собственным и присоединенным функциям пучков несамосопряженных операторов и получены замкнутые решения связанных задач термоупругости для тел канонической формы в приближении малых деформаций. На основе предлагаемого метода сформулирован итерационный алгоритм определения напряженно-деформированного состояния и распределения температур в наращиваемом термоупругом теле.

• Сформулированы новые вариационные принципы конволютивного типа для растущих термоупругих тел.

• Построены новые уравнения статики и динамики тонкостенных наращиваемых конструкций,

• Построены аналитические и численно-аналитические решения начально-краевых задач для растущих пластин и оболочек канонической формы. Достоверность обусловлена строгостью постановки задач, построением точных

решений в рамках сформулированной модели, а так же сравнением частных случаев

с известными результатами, полученными другими авторами. Практическая значимость результатов.

• Полученные результаты позволяют перейти к практическому моделированию и расчетам широкого круга реальных технологических и природных процессов указанных выше.

• Для оценки влияния связности температурного и механических полей построены

специальные замкнутые решения модельных задач. Это позволило исследовать степень взаимного влияния температурного и механического полей в зависимости от размеров рассматриваемого тела. Показано, что для тел микронных размеров температурные волны, образующиеся вследствие взаимовлияния теплового и механического полей, наиболее выражены, их амплитуда составляет несколько процентов от величины начального температурного воздействия.

• Показана возможность управления полем остаточных напряжений за счет подбора специального сценария наращивания. Это позволяет осуществлять "механическое программирование", что может быть полезным при создании "smart''-материалов.

• На основании полученных расчетных соотношений разработана экспериментальная методика идентификации моделей растущих тел.

Апробация работы. Основные положения и работа в целом докладывались и обсуждались на следующих конференциях, семинарах и школах:

- IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006);

- The International Summer School - Conference "Advanced Problems in Mechanics" (Russia, St. Petersburg, 2003-2011);

- 35th, 36th, 37th Solid Mechanics Conference (Krakow, Poland, 2006; Gdansk, Poland, 2008; Warsaw, Poland, 2010);

- 13я, 15я Зимняя школа по механике сплошных сред (Пермь, 2003, 2007);

- MATHMOD 2009: 6th Vienna International Conference on Mathematical Modelling (Vienna, Austria, 2009);

- XIII, XIV, XV Международная конференция "Современные проблемы механики сплошной среды"(Ростов-на-Дону, 2009-2011);

- MPSVA 2009: 7th International Conference on Modern Practice in Stress and Vibration Analysis (Cambridge, England, UK, 2009);

- Конференция "Асимптотические методы и математическая физика" (Москва, ИПМех РАН, 2010);

- ТРСМ - 2010: International Conference "Topical Problems Of Continuum Mechanics" (Dilijan, Armenia, 2010);

- ICCES 2011: International Conference on Computational к Experimental Engineering and Sciences (Nanjing, China, 2011);

- семинар по механике деформируемого твердого тела (IITD, Delhi, India, 2010);

- совещание Council for Scientific and Industrial Research (ЮАР, Претория, 2011);

- X Всероссийская конференция по биомеханике "Биомеханика 2010" (Саратов, 2010);

- Russian-Indian Workshop 'Topical Problems in Solid and Fluid Mechanics" (Repino, 2011);

- II Всероссийская конференция "Деформирование и разрушение структурно-неоднородных сред и конструкций" (Новосибирск, 2011).

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 32 печатные работы, список которых представлен в конце автореферата, 19 из них представлены в изданиях из перечня ВАК.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложения. Объем работы — 390 страниц и список литературы из 290 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении определен предмет исследования диссертационной работы, приведен краткий обзор литературы, отмечается актуальность темы диссертации, а также формулируется цель и задачи исследования.

Пионерские исследования механики растущих тел принадлежат R.V. Southwell (1946 г.), Э.И. Рашбе (1953 г.), С.В. Brown, L.E. Goodman (1963 г.). Развитие теории растущих тел и методов решения соответствующих краевых задач осуществлено в работах Н.Х. Аратюняна, А.Д. Дроздова, А.В. Манжирова, В.В. Метло-ва, М.Н. Михина, В.Э. Наумова, Д.А. Паршина, В.К. Тринчера, В.Д. Харлаба, М. Epstein, J.R. Barber, М.Е. Gurtin, A. Hoger, J. Kadish, A. Klarbring, V.A. Lubarda, G. Maugin, T. Olsson, G. Rodnay, E.K. Rodrigues, R. Segev, R. Skalak, J. Stalhand, L.A. Taber P.D. Washabaugh, и др. В большинстве опубликованных ранее работах теория растущих тел строилась как некоторый специальный вариант теории деформируемых твердых тел в трехмерном евклидовом пространстве. Однако оказывается, что геометрических свойств евклидова пространства недостаточно для описания напряженно-деформированного состояния тела, которое было образовано путем непрерывного объединения предварительно напряженных частей. Представляется чрезвычайно важным, что растущие тела могут быть рассмотрены как частный класс неоднородных (inhomogeneous) тел, в которых неоднородность возникает в силу неголономной дисторсии, вызванной соединением несогласованно напряженных элементов. С этой точки зрения механика растущих тел имеет много общего с теорией дефектов, в частности, с геометрической теорией непрерывно распределенных дислокаций, построенной во второй половине XX века (J.D. Eshelby et al.). Следует отметить, что на развитие этой теории значительное влияние оказали методы геометрической теории гравитации Эйнштейна-Картана и общей теории относительности. По-видимому, первым, кто применил методы геометрии Картана в механике сплошной среды был К. Kondo (1955 г.). Эти идеи быстро получили развитие в серии работ Bilby, Е. Кгбпег и A. Seeger, в которых были установлены связи между тензорным полем несовместности деформаций, плотностью распределения дефектов и нетривиальной геометрией материального многообразия с отличными от нуля кручением и кривизной. В этой связи такие геометрические понятия, как связность, кривизна, кручение, параллелизм, оказались в числе основных понятий общей теории неоднородных тел, которая в логически завершенном виде была представлена в работах W. Noli и С.С. Wang, а также в серии работ М. Epstein and G. Maugin. Эти исследования замечательным образом согласуются с фундаментальными исследованиями по механике растущих тел, проведенными а рамках школы профессора А.В. Манжирова. Одним из основных результатов этой школы является построение математической теории наращиваемых тел, чему посвящена и настоящая диссертация.

Отметим, что исследование частного случая непрерывного наращивания как потока напряженных мембран, присоединяемых к деформируемому растущему телу, подразумевает анализ напряженно-деформированного состояния мембраны как двумерного многообразия, контактирующего с трехмерным телом. Моделирование такого взаимодействия может быть осуществлено в рамках так называемой теории материальных поверхностей, развитой в работах М.Е. Gurtin и A. Ian Murdoch. Следует также отметить работы М. Elzanowski и R. Segev, посвященные геометрическим аспектам механики континуума, оказавшие существенное влияние на структуру на-

стоящей работы.

Первая глава посвящена основам математической теории наращиваемых тел при конечных деформациях. Задачи механики растущих тел весьма разнообразны, в связи с чем в работе предлагается следующая классификация типов роста.

1. Дискретное и непрерывное наращивание. В первом случае в процессе деформирования происходит объединение тел конечных размеров. Задачи о дискретном наращивании рассматривались в рамках так называемой теории составных тел. При этом уравнения равновесия, сформулированные для отдельных частей составного тела, объединялись в систему, а краевые условия определялись из условия идеального контакта этих частей. В такой постановке математическая модель дискретно наращиваемого тела принципиально не отличалась от классических моделей тел постоянного состава. При непрерывном наращивании имеет место непрерывный приток материала к исследуемому телу. В этом случае процесс наращивания может быть представлен как последовательность элементарных актов присоединения бесконечно малых (инфинитезимальных) напряженных частей к растущему телу, причем каждый элементарный акт происходит за бесконечно малый интервал времени.

2. Поверхностный рост и объемный рост. При поверхностном наращивании присоединение материала происходит на границе тела, которая называется границей роста. Поверхностному росту соответствуют такие технологические и природные процессы, как намотка, пиролитическое и электролитическое осаждение, возведение массивных сооружений, аккреция планет, рост кристаллов. Объемный рост предполагает, что состав тела в процессе деформирования не меняется, однако масса элементарного отсчетного объема не сохраняется: она изменяется в процессе деформирования по некоторому заданному закону. Рост биологических тканей дает пример такого процесса.

3. Рост, сохраняющий и не сохраняющий топологическую размерность тела. В общем случае множество материальных точек, составляющих тело (далее будем обозначать это множество символом 93), может иметь топологическую структуру, отличную от топологической структуры его образа в физическом пространстве. Действительно, согласно теореме ХанагМазуркевича, локально связанный континуум может быть непрерывным образом интервала действительной оси. В этом случае топологическая размерность тела !8 может быть равна единице, в то время как топологическая размерность его образа может быть равна двум или трем. Конечно, такое отображение не будет биективным, т.е. одной и той же точке образа может соответствовать несколько различных прообразов на интервале, представляющим тело. Здесь можно увидеть противоречие с обычно принимаемым постулатом не проницания. Вместе с тем за счет специального выбора отображающей функции такие кратные точки могут быть преобразованы в точки соприкосновения (контакта), что становится вполне приемлемым в механике континуума. Образно говоря, тело 23, занимающее в физическом пространстве некоторую область, можно ассоциировать с клубком нити, топологическая размерность которой равна единице.

4. Непрерывное наращивание рассматривается как процесс непрерывного присоединения к телу инфинитезимальных областей, т.е. областей инфинитезимальной меры. В качестве меры используется мера массы. Таким образом, к инфинитезималь-ным областям могут быть причислены, например, бесконечно тонкие слои, нити, точки. Так как такие инфинитезимальные области представляют собой непрерывные тела различных размерностей, то они могут переносить напряженно-деформированное

Поток предварительно напряженных магери-

Прнсоединеиис материальны! поверхностей

Поток предварительно напряженных материальных нитей

Поток

Присоединение материаль- Присоединение материальных нитей ныл капель

Рис. 1: Классификация процессов роста

состояние, соответствующее их размерности, например, слои могут переносить мембранные напряжения, нити - линейное и т.д. В этой связи характер распределения напряжений в непрерывно растущем теле зависит от геометрического класса присоединяемых инфинитезимальных областей, что подразумевает построение различных вариантов теории наращивания (Рис. 1).

В настоящей работе нет возможности охватить все перечисленные модели роста: она ограничена исследованием поверхностного роста, в ходе которого к телу непрерывно присоединяются предварительно деформированные поверхности. Поясним это более подробно. Рост рассматривается как объединение деформированных тел, образы конфигураций которых не проникают друг в друга, но имеют в физическом пространстве общую границу. С механической точки зрения объединение по границе сводится к установке связей между граничными точками, которые в момент объединения занимали одно и то же место в физическом пространстве. В общем случае напряженно-деформированные состояния этих тел не согласованы, в связи с чем у их объединения отсутствует естественная отсчетная конфигурация. Следует отметить, что этот факт упоминался в работах по механике растущих тел, однако чаще указывалось лишь на несовместность поля малых деформаций.

В качестве геометрического фундамента математической теории растущих тел используется теория расслоений дифференцируемых многообразий. Аналитические свойства дифференцируемых многообразий определяются без привлечения априорно заданных метрики и связности. Многообразия в таком виде позволяют сформулировать краевую задачу, в ходе решения которой определяется частный вид связности, соответствующий кинематическим и статическим характеристикам процес-

са наращивания. Кроме того, геометрическое понятие расслоения многообразия соответствует физически реализуемому распределению свойств растущего тела, рост которого моделируется как непрерывный процесс присоединения деформированных материальных поверхностей. Такая сборка тела порождает нетривиальное расслоение материального многообразия, причем структура этого расслоения полностью определяется режимом наращивания.

В работе дается определение растущего гладкого тела в терминах аксиоматики рациональной механики (W. Noll). Для идентификации точек тела вводится гладкое трехмерное материальное многообразие ШТ. Связность на Ш определяется тензорным полем (несовместной) дисторсии, которая возникает в результате сборки растущего тела из предварительно напряженных частей. Поле дисторсии и, соответственно, связность заранее не известны и определяются из решения краевой задачи о равновесии растущего тела и присоединяемых к нему материальных поверхностей. В дополнение к стандартным математическим конструкциям (в том числе к аксиоматике W. Noll), определяющим тело как гладкое многообразие, вводится дополнительная структура - расслоение материального многообразия (это расслоение не следует смешивать с касательным расслоением, которое естественно возникает на любом гладком многообразии при определении на нем связности). Представление материального многообразия Ш как расслоения 7Г : Ш? -» R дает естественную интерпретацию результата наращивания, которое реализуется как непрерывный поток материальных поверхностей Ш1а, а 6 R, осаждаемых на поверхности роста.

В работе под телом 03 понимается открытое подмножество материального многообразия £01, граница которого д<8 образуется двумя различными слоями Ша и fflß, т.е. 903 = ШаиШд. В этом случае тело 03 может быть представлено как объединение множества слоев, индексы которых принадлежат интервалу (а, ß):

B = B(a,j9)= U Sic-

ce(a,/3)

Растущее тело определяется как параметрическое семейство таких множеств:

£={Ш7 = Ш(а,7)|7е(а,/3)}, (1)

где 7 - параметр семейства, причем при 7 а тело вырождается в бесконечно тонкий слой или точку. При этом 7 является параметром, характеризующим эволюцию растущего тела. Геометрическая иллюстрация сказанного приведена на Рис. 2. Разумеется, можно вести речь и о наращивании заранее созданного основного или исходного тела. Очевидно обобщение этого определения

С = {®7 = ®(а7,^)|(а,,/37) С (а, ß)} ,

где (а7, /37) совокупность вложенных интервалов.

Согласно данным выше определениям граница растущего тела должна быть топологически эквивалентна типовому слою, который сам представляет собой гладкое многообразие и, следовательно, растущая граница топологически эквивалентна геометрически замкнутой поверхности. Если растущая граница топологически эквивалентна многообразию с краем, то растущее тело может быть определено следующим образом

С = {©7 = <В0 П Я3(а7, 07)|(a7,/37) С (а, ß)} .

Рис. 2: Расслоение материального многообразия

Здесь ®0 — фиксированное подмножество ОТ с гладкой границей.

Характерной особенностью моделей, рассматриваемых в работе, является их неев-клидовость. Неевклидовость проявляется в нетривиальной связности. Для задания связности на ОТ используется метод подвижного репера, который предполагает определение на многообразии дифференцируемого тензорного поля осуществляющего аффинную трансформацию натурального репера 9а, т.е. ер = Яаеда. С геометрической точки зрения тензорное поле задает правило параллельного переноса на многообразии ОТ и тем самым определяет на нем, вообще говоря, неметрическую связность: два вектора, заданные в различных точках многообразия, являются Я-параллельными, если они имеют одни и те же компоненты в реперах ер. Это приводит к следующему определению коэффициентов аффинной связности Г^а:

^ =(*-%,Х-

Использование довольно абстрактных геометрических концепций при определении понятия тела приводит к необходимости тщательного и деликатного определения связанных с ним понятий. Разумеется, это относится и к понятию конфигурации. Под конфигурацией будем понимать отображение к : ® —> Вх С Е3, где Е3 — трехмерное аффинное пространство. Образ конфигурации Вх будем называть формой тела. Форму, представляющую собой связное множество с регулярной (в смысле Келлога) границей будем называть регулярной.

В настоящей работе рассматриваются только простые материалы и, соответственно, простые тела. Напряжения в них определяются функционалом отклика, определенном на множестве линейных преобразований, трансформирующих инфинитези-мальную окрестность материальной точки из натурального (свободного от напряжений) состояния. В растущем теле регулярной формы, свободной от напряжений, может не существовать, более того, такая форма существует лишь в исключительных случаях согласованного роста.

Под деформацией будем понимать отображение А : Вхн —» Вх, А = х о кц. Здесь Хя — отсчетная конфигурация, образ которой Вхк, вообще говоря, не свободен от напряжений. Это обстоятельство приводит к необходимости вводить локальную конфигурацию: каждой материальной точке ставится в соответствие линейное

Рис. 3: Несовместные конфигурации и их вложение

отображение К(Х), переводящее окрестность точки xr(X) в состояние, свободное от напряжений. Поле К : 23 Э X К(Х), вообще говоря, несовместно: поле реперов е{ К о к'1, г = 1,2,3, где е< — фиксированный декартов репер, неголономно. В этой связи указанная выше методология подвижного репера оказывается удобной для описания совокупности локальных конфигураций как единой натуральной конфигурации, погружаемой в пространство Картана с нетривиальным кручением. Это позволяет установить связь теории растущих тел и теории распределенных дислокаций (W. Noll, С.С. Wang).

Напомним, что материальное многообразие представляет собой расслоение, причем каждый слой ассоциируется с материальной поверхностью, напряженной до ее присоединения к телу. Полагается, что каждый слой перед его присоединением деформировался из ненапряженного состояния. Это формализуется следующим образом: сужение поля К на любой фиксированный слой SOTç совместно: соответствующее поле реперов определяет поверхность, погружаемую в аффинное пространство Е3, т.е. существуют послойные конфигурации xj : ГО1,; —Bif С Е3. Совокупность поверхностей В£ , т.е. множество образов всех слоев IJ образует несвязное подсеет)

множество Е3. Однако, при вложении их в пространство Картана со связностью (2) совокупность образов слоев оказывается связным множеством с регулярной границей. Геометрическая иллюстрация сказанного выше приведена на Рис. 2.

Деформация в составе тела определяется относительным градиентом деформаций F = = (Vjî)-(Vxâ)-1. Полный тензор дисторсии материальной точки X £ 03

имеет вид Н(Х) = K(X)-F{X). Преобразование Н(Х) переводит инфинитезималь-

Весовместная форма, свободная от напряжений у

VxroJC' ^

П П ¡Локальная деформа!

Отсчетнаи напряженная форма xr(83)

Совместная форма, свободная от напряжений '

ДОюстранство Картана /S,

[с нетривиальным кручением) / g /

fi [~j | Конфигурация^

Физическое пространство

Актуальная форма х(Ш)

атериальное иогообразие

ную окрестность точки X из ненапряженного состояния в напряженное, реализуемое в составе формы Вх.

Для построения полной системы уравнений механики растущих тел в работе производятся рассуждения, суть которых состоит в следующем. Пусть тело В находится в конфигурации и. Тогда в квазистатическом приближении уравнения баланса импульса имеют вид

+ к = о,

где Тх — тензорное поле истинных напряжений (Коши), возникающих в теле в конфигурации х, Ь„ — объемная плотность массовых сил (в случае квазистатики это -собственно массовые силы, а в случае динамики - массовые силы и силы инерции). Далее для определенности будем полагать, что функционал отклика принадлежит классу функционалов для гиперупругих неоднородных анизотропных материалов1. Тогда напряжения могут быть определены послойно следующим образом

_ т—1 ту ^ " X

г_ н ан '

(3)

где Ж'У — плотность внутренней энергии, запасенной в конфигурации х, и отнесенной к единице объема послойной конфигурации н^.

Глобально упругий потенциал может быть определен относительно евклидовой конфигурации *ся, а именно, вводится упругий потенциал - запасенная энергия, отнесенная к единице объема в отсчетном состоянии хд, т.е.:

Если функционал однороден , т.е. он явно не зависит от материальных координат X, то функционал вообще говоря, не будет таковым, поскольку К зависит от X. В этом случае растущее тело будет материально единообразным, но неоднородным (С. Тпм^еИ, С. Маирп).

Уравнения равновесия в объеме и на границе П(7) (напомним, что 7 - параметр семейства (1)) имеют вид:

а\у;'(н,х){

дН

+Ь* = О, п*

т-1„ (Н,Х)\ •>нНш

ан

\HssK-F

= р,

где пх — внешняя единичная нормаль к поверхности ^(7), р — заданное поле поверхностных сил2.

Формально постановка краевой задачи отличается от классической постановки для тела постоянного состава лишь тем, что граница пространственной области параметрически зависит от 7. Однако имеется и более глубокое отличие, которое состоит в

'Здесь может быть построено более общее, однако и более абстрактное изложение, если вместо упругих напряжений ввести понятие дескрипторов отклика. Подобное обобщение не изменит существа дела, однако потребует дополнительных рассуждений, которые мы не имеем возможности привести здесь в виду 01раничения объема.

23десь мы полагаем, что граница С1(у) геометрически замкнута, а растущее тело топологически эквивалентно шару. Это означает, что вся граница тела является растущей. В более общих случае ях, обсуждаемых выше, следует выделить стационарную часть границы, т.е. не изменяющуюся в процессе роста, и определить на ней классические краевые условия. Обобщения всех последующих соотношений очевидны, хотя и более громоздки.

зависимости упругого потенциала от тензорного поля дисторсии, для определения которого требуются дополнительные условия. Формулировка этих условий, в свою очередь, зависит от геометрической структуры присоединяемых элементов, т.е. от вида расслоения материального многообразия. Если рост тела происходит за счет непрерывного притока к телу предварительно напряженных материальных поверхностей, то это условие может быть сформулировано в виде

, SWZ'(H,X) I

J"H--дН I

•j\ = Г.. (4)

П(7)

Здесь Р„ — (Е - п„® пх) - проектор на касательную плоскость к границе 0(7). Записанное соотношение выражает тот факт, что слои присоединяются с заданным натягом, определяемым поверхностным тензором натяга Т,.

Уравнение для определения Т, при условии, что наращивание происходит в результате непрерывного присоединения предварительно напряженных поверхностей, может быть получено из соотношений теории материальных поверхностей (М.Е. Gurtin, A. Ian Murdoch). При этом уравнение равновесия материальной границы П(7) имеет вид

V,-t. + ba = n„-Tj t. = t{F.,X), (5)

I ОД

где Т", — тензор натяжения, двумерный аналог тензора напряжений Коши, V, = Рн ■ V„ — поверхностный набла-оператор, Ь, — поверхностная плотность внешних сил, действующих на fl(7), F, — градиент деформации поверхности

F, = VX)z, z : П0-*П(7),

причем По С Ез — образ отсчетной конфигурации поверхности xj, которая полагав ется натуральной.

Напряжения Т, могут быть найдены по натяжению Т, с помощью оператора вложения In, т.е. Т, = In [т,]. Структура оператора вложения, вообще говоря, может быть нетривиальной и зависеть от физической природы процессов, происходящих на интерфейсе П(7). Здесь начинает играть роль свойство многомасштабности исследуемых моделей, когда физический процесс на микроуровне в той или иной степени учитывается в рамках континуальной макромодели. Однако исследование этих вопросов выходит за рамки настоящей работы. Далее полагается, что оператор вложения лишь согласует размерности дву- и трехмерных многообразий, т.е. является в обсуждаемом смысле тривиальным.

Для замкнутой постановки краевой задачи следует указать краевое условие на границе dClfa) поверхности 0(7)

пТ, I =/, ul =ti, 51П(7)иЭ2П(7) = Ш(7).

IStfiM 18зОД

Здесь п — внешняя единичная нормаль к кривой лежащая в касательной

плоскости к П(7), f — линейная плотность сил, распределенных на кривой ¿^0(7), и — заданные смещения точек на кривой 9аП(7). Все сказанное иллюстрируется Рис. 4.

Итак, полная система уравнений математической теории наращиваемых тел, в случае, когда трехмерное тело растет за счет присоединения предварительно напряженных материальных поверхностей, имеет вид

У„т* + Ьж = 0, п„-тА =р, Р„-Тх-Р„\ о =т„

1п(7) 1П(7)

aw?(H,x) | дН I

, Та = In \ta 1

s- L J

Vs-rs + bs = n«.rx t, = T(Fa,X), F. = VK,x,

Щу)

П-Та\ =f, W = lt

В диссертационной работе определяется ряд частных формулировок приведенной выше системы уравнений, удобных при решении прикладных задач. Поскольку поверхностная дивергенция поля Та удовлетворяет соотношению (Vj-T^-n* = Ta:L, L — —Van„, то проекция уравнения (5) на нормаль пх определяет уравнение

Ta\L + Ьапи = п>,тхпх

(6)

Если предположить, что касательная нагрузка на поверхности роста отсутствует, то условие (6) определяет действие нормальной нагрузки, которую оказывает материальная поверхность на пространственное тело. Такое взаимодействие можно охарактеризовать как гладкий контакт растущего тела и материальной поверхности, т.е. последняя может скользить без трения по телу.

Если поверхностный тензор натяга известен, то полную систему уравнений задачи можно получить, добавив к первым двум уравнениям приведенной системы условие (4). Если, кроме того, предположить, что на поверхности роста касательная нагрузка отсутствует, то условие (4) следует заменить условием (6), которое в свою очередь, эквивалентно следующему векторному условию:

Рис. 4: Взаимодействие материальной поверхности и трехмерного тела

Т„| = (ra:L)nx + ba

low \ /

1П(7)

В диссертации осуществлена классификация краевых задач, порождаемых указанными формулировками. Выделены следующие классы.

• Задана отсчетная геометрия, т.е. известны с точностью до жесткого движения отсчетные конфигурации слоев, погружаемые в евклидово пространство (т.е. известны По для всех слоев).

• Задана актуальная геометрия растущего тела, т.е. заданы все силовые поля в актуальной конфигурации и позиции точек на поверхности роста (известно П(7)).

• Задало натяжение на поверхности роста (известно Т,).

дтериальная юверхносгь

• Заданы условия деформирования материальной поверхности роста (определен зал кон состояния Т(...) и заданы поля Ь„ /, и).

Эта классификация является общей для всех задач, рассматриваемых в настоящей работе.

В заключение первой главы приводятся соотношения для материальной связности и ее кручения, а так же осуществляется формулировка уравнений равновесия относительно глобальной натуральной конфигурации, погружаемой в пространство Картана с соответствующим кручением.

Во второй главе исследованы классы универсальных деформаций наращивае-

мых гиперупругих несжимаемых тел. Отмечается, что для растущих тел множество универсальных деформаций значительно богаче, чем для тел постоянного состава. Это легко можно объяснить. Классические типы универсальных деформаций (Я. ШуПп, J. Епсквеп) могут быть найдены в два этапа. На первом этапе удовлетворяются собственно условия универсальности, из которых вытекает, что инварианты мер деформаций должны быть постоянными на сферических, цилиндрических поверхностях или плоскостях, а на втором этапе удовлетворяется условие евклидо-вости, т.е. возможности погружения образа натуральной конфигурации в евклидово пространство. В случае растущих тел второе условие не выставляется. Исследование универсальных деформаций, приведенное в диссертационной работе, не претендует на полноту. Здесь лишь выделены некоторые классы, которые следует рассматривать как модельные задачи, иллюстрирующие характерные свойства растущих тел. Деформации послойно соответствуют:

• центральносимметричной деформации тонкого сферического слоя;

• осесимметричной деформации тонкого кругового цилиндра;

• преобразованию параллелепипеда в полый круговой цилиндр.

Решения краевых задач для упругого потенциала Муни-Ривлина доведены до численных результатов. Для сопоставления результатов наряду с непрерывным наращиванием рассмотрено дискретное наращивание. Ясно, что при достаточной гладкости функций, характеризующих процесс роста, дискретное наращивание должно в пределе переходить в непрерывное. Таким образом, сопоставление решений для дискретного и непрерывного наращивания, кроме всего прочего, позволяет осуществить контроль вычислений. В работе показана сходимость решений задач для дискретного наращивания к решениям соответствующих задач для непрерывного наращивания при увеличении количества слоев и уменьшении их толщины.

Здесь укажем лишь задачу о центральносимметричном деформировании растущего упругого полого шара. Материальное многообразие ЙЛ может быть представлено в К3 открытым шаром, который допускает естественное расслоение на концентрические сферы £Ш(. Полагаем, что материал несжимаем. Это позволяет воспользоваться универсальными решениями Ривлина-Эриксена для описания деформирования каждого слоя. Пусть ег, е?, е« - физический базис сферической системы координат. Поле К имеет вид

(г3 _ а)2/3 г

К = *—ег в ег + _ а)1/3 (е^ ® е„ + е, в ев).

Здесь а = а(£) - параметр дисторсии, подлежащий определению. В силу симметрии он полностью характеризует поле К. Учитывая выражение для градиента деформа-

ции F

г2 (г3 + AW3 F= (r3 + A)V3er®er+ -(е*>®е* + е«®е«).

представим полную дисторсию как композицию Н — K-F. Для рассматриваемой задачи уравнения равновесия при отсутствии объемных сил имеют вид = О,

а краевые условия формулируются следующим образом:

етТ„ I =пд(у), ег-Гх| =0. (7)

lr=n 1г=га(7)

Здесь 9(7) — нормальная нагрузка на внутренней поверхности шара, ^(7) — радиус поверхности роста. Дополнительное условие определяет натяг /(7), т.е.

ев-Т„-е6\ =Т«| =/(7). (8)

'«■"»•аМ lr=rj(7)

Методология построения универсальных решений Эриксена для шара, приводит к соотношениям для радиальных Тгг и окружных T$g компонент напряжений. В результате подстановки этих соотношений в краевые условия (7) и в условие, определяющее натяг (8), получаем систему уравнений относительно а = а(г) и А = A(i):

Г1[*\2(А + g)(2r3 + A — a) (8W (г3 - а)2'3 8W\ _ _ J (г3 - а)4/3(г3 + Aft3 V 9h (г3 4- Af^ <ЭД) Я[1>'

[(А + а)(2г3 + A — a) fdW (г3- а)2/3ЗИЛ" [(г? - а)4/з(гз + A)*/* \dl2 + (г? 4- ЗД J

= /(7),

где ТУ = И^', /1( 12 - первый и второй инварианты поля Н. По решению этой системы определяется дисторсия К и, следовательно, связность на материальном многообразии, полная дисторсия и все компоненты напряжений.

Обратим внимание на то, что первое уравнение записанной системы - интегральное, фактически представляет семейство уравнений относительно параметра 7. Это означает, что каждому элементу семейства (1) соответствует интегральное соотношение. Поскольку параметр дисторсии а зависит от пространственной координаты г, а параметр раздувания А от 7, то получаемые решения для некоторого фиксированного 70 зависят от всех предшествующих решений для 7 < 70. В этом проявляется свойство памяти растущих тел: в силу сказанного их можно классифицировать как тела с памятью (подразумевается параллель с термином "среды с памятью").

Таким образом решается задача, принадлежащая третьему классу (по общей классификации, приведенной в первой главе). Аналогичным образом решаются задачи других классов. В диссертации приводятся численные решения, графики, осуществляется их анализ.

Третья глава посвящена задачам в приближении малых деформаций. Для иссле-

дования задач динамического наращивания упругих и термоупругих тел разработан метод построения решений в форме спектральных разложений по биортогональным системам собственных и присоединенных функций несамосопряженных пучков дифференциальных операторов. Метод построения решения является обобщением метода биортогональных интегральных преобразований, введенных Ю.Э. Сеницким,

и основан на спектральных методах исследования пучков несамосопряженных операторов, развитых в работах И.Ц. Гохберга, М.Г. Крейна, М.В. Келдыша. Кратко остановимся на существе метода.

На множестве комплекснозначных п-мерных вектор-функций, интегрируемых с квадратом на интервале I, вводится гильбертово пространство Щ со скалярным произведением (у,^)

(у, т^) = У ¿х,

где V, ту 6 , ^ - симметричная невырожденная матрица весовых функций, Т -знак транспонирования, и? - вектор, комплексно сопряженный к w. Симметричность и невырожденность ц обеспечивают положительную определенность метрики Рассматривается задача Коши с операторными коэффициентами

(=0

í=0

причем операторы имеют общую область определения Ф, задаваемую оператором краевых условий Ъ:

Ю = (у1у е Л 3(у) = 0}, Зу(х) = ВаУ(х) + Здг(®).

Задаче Коши (9) соответствует полиномиальный пучок дифференциальных операторов = Л'Лй гДе ^ ~ комплексный параметр. Операторному пучку -Сд ставится в соответствие сопряженный пучок = Х^о ^ Его коэффициенты ■А? и область определения Т)" находятся из условия

Уи Уу (и £ Ъ Л V 6 Т^) {(£,^и, у) - (и, £Лу) = 0).

Собственные функции пучка отыскиваются как решения обобщенной задачи Штурма-Лиувилля = 0, ЪСа = 0, а присоединенные - из решений последо-

вательности неоднородных краевых задач

= - £ у^С..,«, = 0. (10)

В диссертации разработана процедура определения алгебраической и геометрической кратностей собственных значений, позволяющая определить максимальную длину в цепочки присоединенных функций и, следовательно, количество итераций в (10). Собственные и присоединенные функции сопряженного пучка определяются из решений следующих краевых задач

о, в-с; = о, ъси = о.

5=1

Система собственных и присоединенных функций сопряженных пучков Ь\,Ь\ определяет конечные интегральные преобразования У, 3"

1 00 1р = 3*и = —-(ЭС*,Л0и), и = ?¥> = У^ЗСцОцр, Л ¡=1

где Х^Ц - матричные ядра X - (G, G.-x... Gi), DCJ = (G; G... G{), Qv -нормирующая матрица, Aj(¿ = 1,..., oo) - собственные значения операторного пучка.

Построение спектрального представления решения начально-краевой задачи (9) вначале осуществляется для линейного операторного пучка, т.е. для начально-краевой задачи, в которой присутствуют производные по времени только первого порядка:

Ai -gy(x, t) + А0у(х, t) = í(x, t), y{x,t)

= Уо(аО, y (x,t)€T>. (11)

Действуя на левую часть (11) и краевые условия прямым преобразованием У* получаем в пространстве изображений

TA0y + dtTAiy-Воспользовавшись операционным свойством

:¡Tf.

(12)

¿ [ЛГ]' rxAi = 0 ГА0у + АТТА1У = О,

приведем (12) к виду (аД-7[т)у> = Ф, где <р = 5Лу, Ф = Л — блочно-диагональная жорданова матрица, блоки которой а-мерны. Обращая оператор (ЭД—Л ), приходим к выражению <р = (ЭД — ЛТ)-1Ф. Если теперь принять во внимание обратимость интегрального преобразования, то решение задачи (11) можно представить в виде у = 3"(дД - ЛТ)_17"Г Формулируя оператор (<ЭД - Л )-1 в терминах матричной экспоненты и учитывая начальные условия для ц>о — 7'Луо, окончательно получим следующее представление решения

У = ?

exp(XTi)JVliyo + / exp[AT(í-T)]j*f(r)c¡r Jo

В общем случае задача (9) может быть сведена к (11), если положить ух = у и сформулировать расширенную систему операторных уравнений и определить начальные условия следующим образом

т д д .А0У1 + = f> ai*''1 ~ у' = i = 2' "т'

i=l

У i

_ а'-1

(13)

Начально-краевой задаче (13) соответствует линейный пучок, действующий в расширенном пространстве вектор-функций Щ = (££)

ГК0 + AJÍ! = О,

где операторы ¡Код образуются из блоков Л< полиномиального пучка С\

¡К„ =

(14)

/Ло 0 .. ■ Mi Аг .

0 -I .. . 0 , Jíi — 1 0 . . 0 0

\ 0 0 . • -V 0 . . I о)

Сопряженный к (14) пучок определяется операторными коэффициентами сопряженного пучка, С*х

(А\ 0 ... О О -I ... О

/ А\ I ... 0\ А\ 0 ... О

-I- АЗ"С* —' 0, -Ко ~■■

\о о ... -I,

ли о ... I о ... о/

Повторяя построения, приведенные выше для линейного пучка, получим представление решения в виде

Следует отметить, что полученные спектральные представления в классе вектор-функций, интегрируемых с квадратом, по своей структуре подобны разложениям по системам скалярных собственных и присоединенных функций, введенных М.В. Келдышем.

В диссертационной работе метод продемонстрирован на решении ряда несамосопряженных начально-краевых задач. Получены в замкнутой форме решения модельных задач для термоупрутих тел канонической формы: шара, цилиндра и параллелепипеда в постановке связанной теории. Рассмотрены три типа связанных уравнений термомеханики, порождаемых 1) законом теплопроводности Фурье; 2) законом Каттанео-Джеффриса; 3) определяющими соотношениями бездиссипативной теплопроводности Грина-Нахди. Исследована зависимость степени взаимного влияния механических и температурных полей от геометрического масштаба тела. Установлено, что оно существенно для тел микронного масштаба. Следует отметить, что размер присоединяемых частиц-капель, соответствующий ряду технологических процессов, принадлежит этому диапазону. Это говорит о необходимости учета связанности для определения начальных термомеханических полей при анализе наращивания в классе моделей, соответствующих расслоению с трехмерной базой (см. Главу 1).

На основе сформулированных спектральных представлений предлагается итерационная процедура определения полей напряжений и температуры в растущих термоупругих телах.

В четвертой главе излагается общая методология построения вариационных принципов на основе функционала свертки (конволюции) и других билинейных симметричных форм. Предлагаются новые вариационные принципы для упругих, термоупругих и вязкоупругих сред и растущих тел. Рассматриваются постановки как в линейном приближении, так и в конечных деформациях.

Большинство вариационных принципов, соответствующих краевым задачам механики сплошных сред, могут быть сформулированы в рамках следующих рассуждений. Известно, что с линейным оператором А, который определен на гильбертовом пространстве Н(П) со скалярным произведением

У =

т т

У ехр(ЯТ*)£У:1Ти-(¥л,-у£-1)+ / ехр[ЛТ^-г)]^(г)^г . (15)

л

4=1 ¡=1

связан квадратичный функционал /[0] = 1/2(д,АЩ) (д е Я(П)), причем, если оператор А является самосопряженным (Ли, и) = (и, Av), этот функционал достигает своих экстремальных значений на функциях, принадлежащих ядру оператора А: А[0] = 0, и только на них. Таким образом, краевая задача эквивалентна вариационному принципу ¿/[0] = 0. Утверждение остается верным, если оператор А определен в Н(П), но его область определения Д* плотна в пространстве Я(Л).

Аналогичным образом формулируются вариационные принципы для нелинейных операторов, которые в линейном приближении оказываются самосопряженными. Согласно теореме М.М. Вайнберга функционал, достигающий экстремальных значений на решениях нелинейной задачи ОВД = 0 имеет вид

/[!?] = / ЩХЩ ¿А^ . (17)

Здесь 21 — нелинейный дифференцируемый оператор, такой, что его производная

1 ' «-ю е

является самосопряженным оператором, т.е. (й'[х,и], и) = (и,2Г[х,1>]) с плотной в Я(П) областью определения.

Данная методология, основанная на использовании классического (евклидова) скалярного произведения, имеет следующие ограничения. Во-первых, вариационная формулировка для начальных и начально-краевых задач не может быть получена, поскольку начальные условия формулируются на одном конце рассматриваемого интервала времени, а при использовании функционала, построенного на основе скалярного произведения (16), подразумевается, что заданы условия в начальной и конечной точках (как, например, в принципе Остроградского-Гамильтона). Это приводит к известным неопределенностям и затруднениям в динамических задачах механики сплошных сред.

Во-вторых, операторы, возникающие в задачах механики сплошных сред, часто оказываются непотенциальными (т.е. несамосопряженными в линейном приближении по отношению к скалярному произведению соответствующего гильбертова пространства). Таковыми, например, являются операторы, порождаемые уравнениями связанной термоупрутости, вязкоупругости, ползучести. Как правило, для подобных задач предлагались не вариационные принципы, а вариационные уравнения (например, вариационное уравнение Био для термоупругих сред).

Если наряду с евклидовым скалярным произведением (16) использовать функционал свертки (конволюцию)

г

{■&, ы) = ! Щ - т)и(т) йт, (18)

о

то область применения изложенного выше вариационного формализма может быть расширена.

Следует отметить, что впервые свертка была использована для формулировки вариационного принципа, порождаемого начально-краевой задачей, М. Гертиным

в 1964 г. Идея, высказанная М. Гертиным, была развита Э. Тонти (1969 г.). Тон-ти показал, что может быть использована любая билинейная форма В(&,ш), если она удовлетворяет условиям симметричности В( 1?, ш) = В(и, 1?) и отделимости Ут? В{&, ы) = 0 =Ф и = 0. Таким образом, если линейный оператор А (с плотной в Я(Г2) областью определения В а) оказывается самосопряженным относительно билинейной формы В, т.е.

V*,ш 6 ВА В{АЩ,и) = В(и, ЛН),

то порождаемый этим оператором вариационный принцип может быть сформулирован следующим образом /[$] = 61Щ = 0. Соответственно, вариационный принцип для нелинейного оператора 21, производная которого является самосопряженной по отношению к билинейной форме В, имеет вид

Щ = В (в, £ Я[А0] (¿А

В диссертации в рамках единой методологии построены новые конволютивные вариационные принципы для упругих и термоупрутих тел постоянного состава и растущих тел3.

Вводится симметричная и невырожденная билинейная форма (и,«)= / / и(х;4 + г* - т)-у{х\т) Лт6У.

Ум. Л*0"0

Соответствующий вариационный принцип для растущего линейно-упругого тела при заданной отсчетной геометрии (заданным полем К) сформулировал следующим образом:

2Щ =

= ( Г и(х',Ь+т'-т}{У-\Е{х):(К + Т7®и{х-,т)))-рй{х-,т) + 2р/(х-,т)} ¿Т(1У+

Уз Ут*(х)

+ [ /^р(х;£ + т* -т)-и(х;{)с1т(!У— ( v*{x)^pй{x\t)dV, и е V, ¿3 = 0.

У 92 Ут* У®

Здесь и - перемещения в составе тела, Е(х) - тензор упругостей (приведенная форма записи предполагает, что тензор Е(х) как линейный оператор выделяет симметричную часть своего аргумента, т.е. он отличается от классического композицией с симметрирующей тензорной единицей).

Обобщение вариационного принципа на нелинейный случай имеет вид:

Г , . л/'/,,,, аИ^(ж,ААГ-У®и(®;г))\ „ - £й(х\т)+рНх\т)]с1т<1У+

+ 11 Г р{х-,г + т'-т)-и(х\*)<1т<1У-\ ( 2УввУг*(®)

«е®, ¿0 = 0.

3Вариациониый принцип для термоупругого тела постоянного состава, предлагаемый в работе, может рассматриваться как модификация принципа С.ВеШ, С.Могс®.

Аналогичные вариационные постановки даны для термоупругих растущих тел. На основе вариационных принципов сформулированы алгоритмические процедуры, позволяющие находить механические и температурные поля для слабо неоднородных тел, используя в качестве нулевого приближения аналитические решения, построенные в Главе 3.

В пятой главе сформулированы краевые и начально-краевые задачи для растущих по толщине тонкостенных конструкций и приведены решения ряда модельных задач.

Уравнения равновесия растущих по толщине пластин выводятся из следующих соображений. Рассмотрим пластину с произвольной гладкой границей. Пусть П — плоскость осреднения, {у1, у2} — соответствующие криволинейные координаты на ней и к единичный вектор, ортогональный к плоскости П. Будем использовать кинематические гипотезы Кирхгофа-Лява

и = а — гУм, т = а-к, а = а(у1,у2), (19)

где а — перемещения в плоскости пластины ии- поперечные перемещения (прогибы). Символом V обозначим плоский оператор Гамильтона: У = е1^ + е2с?2, е1, е2 — локальный векторный базис, д1,д2 — частные производные по переменным у1,у2. Тензорное поле еь определяет малые деформации в составе тела:

еь = ^ (V ® а + (V ® а)* - к ® Уги - Уш ® к) - гУ ® Уи;. (20)

Перед присоединением к растущему телу каждый слой деформируется независимо согласно заданному сценарию наращивания. Перемещения точек слоя С в напряженной отсчетной конфигурации может быть определено гладким полем ¿((у1,!/2) = еас1а(у1, у2). Предположим, что 'склейка' этих полей ¿(у1, у2, г) = (у1, у2) представляет собой гладкое поле, определенное в трехмерном пространстве. Это соответствует предположению о том, что все функции, определяющие процесс роста, непрерывны по времени. Теперь мы можем определить послойные £/ и полные е деформации

е/ = \ (V ® в, + (У® «*)*), е = ЕЪ + 1п-ег1п. (21)

Здесь Iп — оператор вложения, который вкладывает двумерное тензорное поле в трехмерное. Заметим, что полные деформации с не удовлетворяют условиям совместности, т.е. V х (V х е) ^ О, V = V 4- кдг.

Предположим, что материал растущей пластины линейно упругий и изотропный. Тогда тензор напряжений может быть представлен формулой

<г = ^У ® а + (У ® а)* — й ® Уш — Уш ®к — 2гУ ® Уш+

+ У®й+(У®й)*) +А/ (У-о-гУ2ш + У-й),

где А, ц — упругие модули Ламе. Тензор напряжений в отсчетной послойной конфигурации имеет вид а = ® й + (У ® + А7(У^). Заметим, что в силу несовместности полных деформаций, невозможно освободить тело от напряжений посредством гладкой деформации.

В результате осреднения напряжения по толщине пластины, получаем тензор мембранных усилий IV и тензор изгибающих и крутящих моментов М

N

trdz — 2[i

(h+ -f Л_) defo •

hl-hl

V® Vu> +

+ AI

h? -h? i rh+

V2u;j + J (2/ídefd + XIV-d) dz,

M

/А+

azdz = —2(j,

-V ® Vid - ——~—

-XI

hl + hi

V® a| -

h+

V2w- ^ 2 V2-oj + f (2/idef d + XIV-d) zdz.

В отличие от классической теории пластин в этих выражениях присутствуют дополнительные слагаемые в силу того, что плоскость осреднения П не совпадает с срединной плоскостью пластины и индивидуальным натяжением слоев перед присоединением.

Полный тензор усилий может быть представлен в форме T = N + k®Q + Q®k, где (3 — поперечные силы, которые могут быть определены как усилия в связях из уравнения У-М -I- С} = О. Явные формулы для поперечных сил имеют вид

О = -(2м + д^ + ^-у ® У2ш + [(д + А)V ® У-а + /^2а] +

О а

/ftT

[(А + fi)V ® V-d + /A72d] dz.

h-

Обозначим осредненные массовые силы символом К, причем К = Кп + з'г, 9 = К-к. В результате несложных преобразований уравнения равновесия У Т + К = О преобразуются к двум уравнениям

(А + 2/i)

+ q+(X + 2fi) Г* (V2V'd) zdz = 0, J-h-

DV2V2w = g + (A 4- 2/í) [(^-^y^) V2V-d] (22)

где D — цилиндрическая жесткость, т.е. D = (А + 2/j)/i3/12, Л = + Л+.

Уравнение (22) определяет равновесие текущей конфигурации растущей пластины. Эти уравнения совместно с краевыми условиями определяют краевую задачу для растущей изгибаемой пластины. Может быть дана следующая классификация краевых задач, согласованная с классификацией, приведенной в первой главе:

• задана отсчетная геометрия, т.е. задано поле d(z;yl,y2);

• задана актуальная геометрия, т.е. заданы прогибы tu(í);

• задан двумерный тензор натяжения на растущих поверхностях, либо заданы уравнения для его определения.

В последнем случае приходим к системе уравнений относительно функций га = У\ у2; 4), й = <%\ у1; г), а именно

Г>У2У2« = «г+(А4-2д) [^-Ц^У^ ¿г-^^Ьу-ДГп,

Л2 - Л2

(Л_ + Ю [/¿Уа + (Л + ц)У ® У-а] - (А + 2ц) + ~УУ2г»+

Гн+

+ кп +1 (1Я2с1 + (А + ц)Ъ ® У'«г) ¿г = О,

У-(т+ + /+ = 0, п-<т+|Г+ = д+, Уо-_ + /_ = 0, по-_|г_=д_,

о-+ = 2ц (аеГа - Л+У ® Уш + + А/ (у а - Л+У2ш + У ч^|г=Л+) ,

<г_ = 2ц (с^а + Л_У ® Ую + с^с^) + А/ (у-а + Л_У2ш + У-¿|г=Л_) •

Здесь заданными являются следующие объекты = Л+(4), /г- = — функции, определяющие движение границы роста, Г+, Г_ — границы присоединяемых материальных поверхностей (замкнутые кривые), д+ = д+(<), д_ = ~ линейная плотность сил, распределенных на них, д = д(<) — поперечная нагрузка, Кц = Кп(4) — нагрузка в плоскости осреднения.

В некоторых случаях более удобной оказывается формулировка краевой задачи в терминах скоростей:

¿У2У2ш + £>У2У2и/ = д + (А + 2ц) (л+У2У - Л-У2У) -

** ГЦ*^™) Л

(23)

Для ряда частных случаев наращивания уравнения движения существенно упрощаются. Если наращивание симметричное, т.е. Л+ = = Ь/2, то уравнение (23) может быть записано в следующей форме

Гн/2 г,

СУ2У2«> = д + (А + 2ц) / (У2У -А) г ¿г. (24)

J-h/2

ГЫ2 -Л/2

Дифференцирование левой и правой части этого уравнения дает

¿У2У2ш + ЯУ2У2ш = д + (А + 2/х)^У2У ■ (<=А/2 - <=_Л/2) . (25)

Если задан натяг, т.е. в каждый момент времени определены функции о-+(у1, у2), <г_({/1,у2), то дивергенция поля й может быть выражена следующим образом

у.Л = 1:ет+ -у.р + ^уу у.й| = ,-У-а- V«;.

В результате приходим к уравнению симметричного наращивания в терминах скоростей

= д + (26)

Следует отметить, что если натяжение присоединяемых поверхностей обеспечивать специальным образом: 1:<т+ = —I: <т~ = — Л/2Ук>, то уравнения равновесия приводятся к виду (DV2V2ll;)■ = д. Если же присоединяемые слои свободны от напряжений, то

.1 ,| Л—

а = т-Уго. а = —-Уги, !*=Л/2 2 1г=-А/2 2

Окончательно приходим к уравнению равновесию для пластины, симметрично наращиваемой слоями, свободными от напряжений

£>У2У 2ш = д. (27)

Заметим, что уравнение (27) подобно классическому уравнению Софи-Жермен, если в нем осуществить формальную замену хл —> ю, д д.

В диссертационной работе получено обобщение полученных уравнений на случай наращиваемых по толщине оболочек. Эти уравнения в совокупности с краевыми условиями, задающими условия закрепления тонкостенных конструкций на опорном контуре, определяют математическую формулировку рассматриваемых задач.

В работе построены аналитические решения для ряда модельных задач квазистатики для растущих по толщине тонкостенных конструкций, в том числе

• задачи о неосесимметричном изгибе растущей по толщине круглой жестко защемленной пластины при переменной, в том числе подвижной нагрузке;

• задачи об изгибе растущей жестко закрепленной прямоугольной пластины;

• задачи об изгибе растущей цилиндрической оболочки.

Отметим приемы, позволяющие построить эффективные модельные решения. 1. Если для круговой пластины выражение для скорости изменения поперечной нагрузки представляется многочленом по пространственным переменным, т.е.

= Еш >»-о 9тп(<) хту", то аналитическое решение задачи (27), соответствующей симметричному наращиванию, может быть представлено в форме суммы й) = где

-Л дтп(У ^ 2-""" (х - гу)"'* (х + »у)т+( (г2 + у2)2 п, ш) ш ™ (1 + п_£) (2 + Ч-0 (1 + т + 0 (2 + т-К)' '

П=0 ^ \ \ / /

+ (ьп (х -И »)" + - » у)п) | - 1) ) ,

где а„, Ь„ — коэффициенты разложения функци го* (г, <р), и ее производной в комплексный ряд Фурье.

2. Конечная форма представления фундаментального решения для бигармониче-ского оператора в круге (при краевых условиях, соответствующих жесткому закреплению) позволяет представить решение задачи (27) для правой части, соответствующей сосредоточенной силе, движущейся по растущей жестко закрепленной пластине радиусом а вдоль окружности радиусом 6 < о со скоростью в в виде

Ы-9

ы = „„... sm

8 D(t)

г2 + б2 - 2r6cos(v - в)

■ +

(а2 - Ъ2)(а2 - г2)

? + г«¡Я/а2 - 2rbcos{ip -в) а2 - 2a?brcos(ip -в) + b2r2

У

Соответственно, прогибы пластины определяются выражением w{t) = 4-/р w(t) dr, где и>о — прогиб в начальный момент наращивания.

3. Построение аналитического решения для жестко закрепленной прямоугольной пластины встречает известные трудности. Преодолеть их оказывается возможным с помощью процедуры построения базиса, ортогонального относительно специального соотношения ортогональности, обеспечивающего диагональность матрицы коэффициентов соответствующей системы Ритца. При этом решение задачи представляется в форме ряда, частичные суммы которого могут быть выписаны в замкнутой форме. По этой причине предлагаемое решение следует классифицировать как замкнутое.

Вводятся вспомогательные функции {фк(х, y)}/*Li € 2), образующие базис в £v(Cl). По ним строится система функций Wk(x, у)следующим образом:

Wk = ■

Ьи ¿>21 ■ Ьи Ъа 621 ■ Ьк1

, Nk = ■ bkk-i

1 bik-i hk-i • • bkk-i bik-i hk-i ■

Фг ф2 ■ • Фк bik bik ■ bkk

уРЪЖ-

ЬПт = {мп,и1т), N-1 = 1. Выражение для ш(х,у) может быть записано в виде ряда:

У) =

bu ■■■ hi bn • bki

Ф\{х,у) ... Фк{х,у) /

^NkNk-1 J a Ф№,УП ■ ■ Фк(х'У)

q{x',y')dx'<tt. (29)

В качестве вспомогательного базиса предлагается использовать систему функций

Фк{х,у)

(m,n=i.....*=

(т + n — 1)2 + т-п-

n-iy

где фп(1) — счетное множество решений двухточечной краевой задачи

фп + \*пфп = о, ф( 0) = ф{ 1) = фЩ = ф'( 1) = 0.

В работе сформулированы уравнения движения растущих по толщине пластин и построены аналитические решения для ряда модельных задач динамики для растущих по толщине тонкостенных конструкций, в том числе

• задачи о вынужденных колебаниях растущей по толщине круглой жестко защемленной пластины;

• задачи о вынужденных колебаниях растущей по толщине эллиптической жестко защемленной пластины;

• задачи о вынужденных колебаниях растущей по толщине прямоугольной жестко защемленной пластины;

• задачи о вынужденных колебаниях растущей по толщине закрепленной на торцах цилиндрической оболочки.

Уравнения движения в общем случае имеют вид £<[и] + а(£)и -I- Ь(£)й + с(4)й = f(t), где ¿Д...] - дифференциальный оператор, коэффициенты которого, вообще говоря, зависят от времени. Однако в ряде случаев эту зависимость можно представить как произведение некоторого зависящего от времени множителя на дифференциальный оператор, коэффициенты которого не зависят от времени. Для растущих пластин, деформация которых рассматривается в рамках кинематических гипотез Кирхгофа-Лява, это - бигармонический оператор. В этом случая замкнутое решение удается получить в форме разложения по его собственным функциям. Ниже это показано на примере круглой пластины.

Предположим, что 6(4) = с(4) = 0. В безразмерных переменных соответствующая начально-краевая задача формулируется следующим образом

Л2(*)У2У20,-15 + д]й = д, й| =0,

1 1г-1 ОТ 1г=1

й = йо, 5<й = С01 й = йо, (30)

1{=о 1«=о и=о

где к = Л(<)/(Л\/12(1 — I/2)) — безразмерная переменная толщина, д = ЯУк^/р/Е3 д — безразмерная скорость изменения поперечной динамической нагрузки, йо = йо(г), Со = {¡о(г), йо = а0(г) — безразмерные начальные перемещения, скорости и ускорения. Решение начально-краевой задачи (30) представляется в форме разложения

¿(л *) = £ £ о,пт(г)Ьпт(Ь), (31)

п=0 т=0

где опт = опт(г) — собственные функции оператора У2У2, т.е. нетривиальные решения следующей задачи Штурма-Лиувилля

У2У2а„т = \*птапт, а„т\ = = 0. (32)

I?—1 О Г 1г=*1

Решения дифференциального уравнения (32) образуют два семейства, первому из них принадлежат четные по переменной <р функции о°от, а второму - нечетные о°т:

<т = Мп(Аг) + с21п(\г)} сов п<р, а°пт = [с!Л(Лг) + с2/„(Аг)]зтпу5.

Здесь С1, С2 — произвольные постоянные, — функции Бесселя первого рода порядка п, /„(г) — модифицированные функции Бесселя первого рода порядка п. Собственные значения Апт задачи (32) определяются из уравнения

А (/„(А)7П+1(А) + /П+1(А)/„(А)) = 0.

Собственные функции а„т могут быть представлены в виде:

Gnm — Cnm

где Спт — постоянные, которые выбираются таким образом, что бы квадрат нормы собственных функций был равен единице.

Для определения координатных функций Ь„т(£) осуществим ортогональное проектирование левых и правых частей уравнения (30) и начальных условий на собственные подпространства бигармонического оператора. В результате получим последовательность обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка и последовательность начальных условий (далее будем использовать штрих для обозначения производной по переменной <)

где Фпт — коэффициенты разложения правой части уравнения (30) по базису апт:

а Ф°т, Ф„т — коэффициенты разложения функций, определяющих начальные данные задачи.

В виду ортогональности системы функций апт(г) проекции представляют собой последовательность несвязанных задач Коши. Их решения определяют координатные функции bnm(i). Таким образом, все компоненты представления (31) определены. Отметим, что дифференциальные уравнения (33) имеют третий порядок, а коэффициент при первой производной является, вообще говоря, произвольно заданной функцией переменной t. В этой связи решения bnm(t), в отличие от классических задач динамической теории упругих пластин, не являются периодическими. В общем случае аналитическое решение задачи Коши (33) найти не удается, но для частных видов функции h(t) такие решения могут быть выражены через известные специальные функции.

Пусть скорость роста пластины постоянна, т.е. h(t) = а + fit. Параметр а задаг ет начальную толщину пластины, а параметр /9 — скорость изменения ее толщины, вызванную присоединением нового материала. Безразмерная толщина h(t) определяется безразмерными начальной толщиной а и скоростью ¡3:

Г2/1\ч4 I/ i У" — Ф (, = фО 1< у =ф2 (33\

" WAnm °пт + "пт — *nm, |(=0 nm> "m|f_0 nmi nm|(=0 nm"

Решение дифференциального уравнения (33) может быть записано в виде

Г • w *>} dr+л

Л wnm((7)£U(<r) - znm{a)u>nm(a) )

>nm

Шпт® = 1/1 (а™ + ^4) ) , £„тЙ = у2 (лпт [а/^ + ) •

Здесь /пт, ¿пт, рпт — постоянные, определяемые начальными условиями, 1/1(0, уг(С) — линейно независимые решения однородного дифференциального уравнения

§ + Л«0, (34)

которые могут быть представлены в виде

И,(С) = ^Г(Б/4)^.л(^), й(0 = ^^л/С'-хл (у) • (35)

Решения (35) нормированы таким образом, что в окрестности нуля они подобны функциям сов(£), т.е. координатным функциям для пластин постоянного состава. Важно отметить, что производные и первообразные этих функций вычисляются в замкнутом виде. Это позволяет представить координатные функции аналитически.

Постоянные <1пт, дпт определяются по заданным начальным скоростям и ускорениям, т.е. из решения следующей системы уравнений

2тг

9пт —

,(0) + </„т£„т( 0) = + ЭптСп] 1,=0 = Ф»т> (36)

которое может быть представлено в виде

=тт И ^ +^ ■

ГТ-1/4) ^ - ^ •

Постоянные /¿т определяются по заданным начальным перемещениям =

Решения начально-краевых задач для растущих жестко закрепленных эллиптической и прямоугольной пластин построены по той же схеме. Собственные функции бигармонического оператора для эллиптической области выражаются через обычные и модифицированные функции Матьё, а собственные функции бигармонического оператора в прямоугольной области находятся методом Релея-Ритца.

Построено решение динамической задачи для цилиндрической оболочки. В этом случае оператор !><[...] параметрически зависит от времени 4 более сложным образом, чем в задачах динамики пластин. Разложение ведется по собственным функциям, параметрически зависящим от времени. В результате начально-краевая задача сводится к бесконечномерной системе обыкновенных дифференциальных уравнений, определяющих в совокупности с начальными данными задачу Коши, которая решат ется методом усечения. На основе построенных решений реализованы вычислительные алгоритмы и произведен численный анализ различных режимов наращивания. В частности, показана возможность создания предписанного поля остаточных напряжений за счет выбора специального сценария наращивания. На основании полученных расчетных соотношений разработана экспериментальная методика идентификации моделей растущих тел.

ОСНОВНЫЕ НАУЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1 Дано определение растущего гладкого тела как расслоения гладкого многообраг зия. Осуществлена классификация способов наращивания, основанная на геометрической структуре расслоения. Предложен способ построения глобальной натуральной конфигурации растущего тела, погружаемый в пространство Картана, кручение связности которого определяется структурой расслоения и сценарием наращивания. Построена полная система уравнений механики растущих тел при наращивании трехмерного тела двумерными поверхностями при конечных деформациях. В отличие от задач для тел постоянного состава эти уравнения содержат тензорное поле дисторсии, которое может быть найдено из дополнительных условий. В общем случае в качестве таких условий используются уравнения равновесия границы роста, которая рассматривается как деформируемая материальная поверхность, контактирующая с деформируемым трехмерным телом. Растущее тело, вообще говоря, не имеет естественной (свободной от напряжений) конфигурации в трехмерном евклидовом пространстве, однако таковая имеется на некотором трехмерном многообразии с неевклидовой аффинной связностью. Неевклидовость проявляется в отличии от нуля тензора кручения, который является мерой несовместности деформаций растущего тела. С этих позиций математическое описание напряженно-деформированного состояния растущего тела эквивалентно моделям тел с непрерывным распределением дислокаций.

2 Получены новые универсальные решения для растущих тел. Решения краевых задач для упругого потенциала Муни-Ривлина доведены до численных результат тов. Наряду с непрерывным наращиванием рассмотрено дискретное наращивание, показана сходимость решений задач для дискретного наращивания к решениям соответствующих задач для непрерывного наращивания при увеличении количества слоев и уменьшении их толщины.

3 Разработан метод построения замкнутых решений в форме биортогональных разложений по собственным и присоединенным функциям пучков несамосопряженных операторов и получены замкнутые решения связанных задач термоупругости для тел канонической формы в приближении малых деформаций. Для оценки влияния связности температурного и механических полей построены специальные замкнутые решения модельных задач. Исследована степень взаимного влияния температурного и механического полей в зависимости от размеров рассматриваемого тела. Показано, что для тел микронных размеров температурные волны, образующиеся вследствие взаимовлияния теплового и механического полей, наиболее выражены. Сформулирован итерационный алгоритм определения напряженно-деформированного состояния и распределения температур в наращиваемом термоупругом теле.

4 Сформулированы новые вариационные принципы конволютивного типа для растущих упругих и термоупругих тел. На основе вариационных принципов сформулированы алгоритмические процедуры, позволяющие находить механические и температурные поля для слабо неоднородных тел.

5 Построены новые уравнения статики и динамики тонкостенных наращиваемых конструкций. Осуществлена классификация соответствующих краевых задач. Построены аналитические и численно-аналитические решения начально-краевых задач для растущих пластин и оболочек канонической формы. Показана возмож-

ность управления полем остаточных напряжений за счет подбора специального сценария наращивания. Это позволяет осуществлять "механическое программирование", что может быть полезным при создании "smart'-материалов. На основании полученных расчетных соотношений разработана экспериментальная методика идентификации моделей растущих тел.

Публикации по теме диссертации

1. Манжиров A.B., Лычёв С.А. Математическая теория растущих тел при конечных деформациях // Доклады РАН. Т. 443. Щ. С. 438-441.

2. Лычёв С.А. Связанная динамическая задача термовязкоупругости // Изв. РАН. МТТ. 2008. т. С. 95-11S.

3. Лычёв С.А., Манжиров A.B., Юбер C.B. Замкнутые решения краевых задач связанной термоупругости // Изв. РАН. МТТ. S010. Щ. С.138-Щ.

4. Лычёв С.А., Лычёв а Т.Н., Манжиров A.B. Нестационарные колебания растущей круглой пластины // Изв. РАН. МТТ. 2011. №2. С. 199-208.

5. Лычёв С.А. Универсальные деформации растущих тел // Изв. РАН. МТТ. SOU. №6. С. 63-79.

6. Сеницкий Ю.Э., Лычёв С.А. Определение нормы ядер конечных интегральных преобразований и их приложения // Изв. вузов. Математика. 1999. №8. С. 60-69.

7. Лычёв С.А. Деформирование растущих упругих пластин // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. Щ (4). С. 1588-1590.

8. Жигалин А.Г., Лычёв С.А. Замкнутые решения динамических задач связанной термоупругости для цилиндра и шара // Вычислительная механика сплошных сред. 2011. Т. 4, №2. С. 17-34.

9. Федяев И.М., Никольский В.Ю., Лычёв С.А. Двухзубцовые (П-образные) дентальные имплантаты и доклиническое обоснование их применения // Стоматология №2004■

С.45-49.

10. Сеницкий Ю.9., Лычёв С.А. Расчет тонкостенных железобетонных конструкций на локальные динамические воздействия // Изв. вузов. Строительство. 1995. №3. С. 3-8.

11. Лычёв С.А., Сидоров Ю.А, Нестационарные колебания трехслойных сферических оболочек с кратным спектром // Изв. вузов. Строительство. 2001. Щ. С. 31-39.

12. Лычёв С.А., Сеницкий Ю.Э. Несимметричные интегральные преобразования и их приложения к задачам вязкоупругости // Вестник Самарского гос. университета. Естественнонаучная серия. 2002. Специальный выпуск. С. 16-38.

13. Лычёв С.А. Нестационарные колебания стареющего вязкоупругого стержня // Вестник Самарского гос. университета. Естественнонаучная серия. 2003. Специальный выпуск. С. 95-119.

14. Лычёв С.А. Связанная динамическая задача для конечного цилиндра // Вестник Самарского гос. университета. Естественнонаучная серия. 2003. Щ(30). С.112-Щ.

15. Лычёв С.А., Сайфутдинов Ю.Н. Уравнения движения трехслойной вязкоупругой сферической оболочки // Вестник Самарского гос. университета. Естественнонаучная серия. 2005. №6. С. 70-88.

16. Лычёв С.А., Салеев C.B. Замкнутое решение задач об изгибе жестко закрепленной прямоугольной пластины // Вестник Самарского гос. университета. Естественнонаучная серия. 2006. К'2. С. 62-73.

17. Лычёв С.А., Сайфутдинов Ю.Н. Динамика трехслойной непологой сферической оболочки // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева. 2007. т. С. 55-90.

18. Лычёв С.А. Законы сохранения консервативной микроморфной термоупругости // Вестник Самарского гос. университета. Естественнонаучная серия. 2007. М'4. С. 225262.

19. Лычев С.А., Семенов Д.А. Законы сохранения в недиссипативной термомеханике // Вестник Самарского гос. университета. Естественнонаучная серия. 2008. №2. С. 18S-211.

20. Lychev S.A. Finite deformations of accreted elastic globe. Актуальные проблемы механики сплошной среды: Труды II между-народной конференции. 4-8 октября, Дилижан, Армения. Том 1. Bp.: ЕГУАС. 2010. С. 301-306.

21. Сеницкий Ю.Э., Лычёв С.А. Динамика трехслойных сферических оболочек несимметричной структуры // Труды XVIII международной конференции по теории оболочек и пластин. Саратов. 1997. Т. 1. С. 47-52.

22. Lychev S.A. Coupled dynamics thermoviscoelastic problem // Journal Prace IPPT - IFTP Reports. 2008. Vol. 2. (Proceeding 36th Solid Mechanics Conference. Gdansk(Poland). 912 September 2008.)

23. Kovalev V., Lychev S. Nonsymmetric finite integral transformations and their application in thermoviscoelasticity // Proceedings MATHMOD 09 Vienna. ARGESIM Reports No 35. Vienna. 2009. P. 2604-2607.

24. Kovalev V.A., Lychev S.A. Nonstationary vibrations of 3-layered thermoviscoelastic thin-walled structures // Proceedings of the XXXVII Summer School-Conference APM2009. St.Petersburg. 2009. P. 380-388.

25. Лычёв С.А. Теоретическое и экспериментальное определение прогибов растущих пластин // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды XIII Междунар. конф. - Ростов-нагДону: Изд-во ЮФУ. 2009. T.l. С.137-141.

26. Lychev S.A., Manzhirov A.V. Differential operators associated with the equations of motion and nondissipative heat conduction in the Green-Naghdi theory of thermoelasticity // 2009 J. Phys.: Conf. Ser. 181 012096 (8pp) doi: 10.1088/1742-6596/181/1/012096

27. Manzhirov A.V., Lychev S.A. Mathematical modeling of growth processes in nature and engineering: A variational approach // 2009 J. Phys.: Conf. Ser. 181 012018 (8pp) doi: 10.1088/1742-6596/181/1/012018

28. Манжиров A.B., Лычёв C.A., Гупта H.K. Коиволютивные вариационные принципы и их приложения в механике сплошных сред. // В кн. Успехи механики сплошных сред: к 70-летию академика В.А. Левина: сб. науч. тр. Владивосток: Дальнаука, 2009. С. 506524.

29. Lychev S.A., Levitin A.L. Stress strain state of an accreted hyperelastic hoop. Numerical approach // Book of Abstracts of the 37th Solid Mechanics Conference. Warsaw, Poland. September 6-10. 2010.

30. Lychev S.A., Manzhirov A.V. Residual Stresses in Growing Bodies. In 'Topical Problems in Solid and Fluid Mechanics." Eds A.V. Manzhirov, N.K. Gupta, D.A. Indeitsev. Delhi: Elit Publ. House Pvt Ltd. 2011. P. 66-79.

31. Manzhirov A.V., Lychev S.A. On the Equilibrium of Accreted Plates. In "Topical Problems in Solid and Fluid Mechanics." Eds A.V. Manzhirov, N.K. Gupta, D.A. Indeitsev. Delhi: Elit Publ. House Pvt Ltd. 2011. P. 294-300.

32. Лычев С.А. Конечные деформации растущего упругого шара. Современные проблемы механики сплошной среды. Труды XIV Международной конференции, гг. Ростов-наг Дону, Азов, 19-24 июня 2010 г. Т. 2. Ростов-нагДону: Изд-во ЮФУ. 2010. С. 207-212.

Лычев Сергей Александрович

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ РАСТУЩИХ ТЕЛ И ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ

Подписано к печати 03.04.2012 Заказ №6-2012 Тираж 100 экз.

Отпечатано в Институте проблем механики им. А.Ю.Ишлинского РАН. 119526 Москва, пр. Вернадского, 101-1.

Основные обозначения.

Введение

Общие соображения.

Обзор литературы.

Экспериментальная мотивация.

Структура работы.

1 Конечные деформации растущих тел

1.1 Физическое пространство.

1.1.1 Абсолютное пространство.

1.1.2 Криволинейные координаты.

1.1.3 Сопряженное пространство.

1.1.4 Метрика.

1.1.5 Линейные операторы.

1.1.6 Геометрические свойства тел.

1.2 Материальное многообразие.

1.2.1 Гладкие многообразия.

1.2.2 Касательные векторные пространства.

1.3 Связность на многообразии.

1.3.1 Связность вдоль кривой

1.3.2 Связность, определяемая ковариантным дифференцированием

1.3.3 Связность, определяемая подвижным репером.

1.4 Расслоение многообразия.

1.5 Тела и конфигурации

1.5.1 Локальные конфигурации.

1.5.2 Касательное расслоение тела.

1.5.3 Простые тела.

1.6 Материальный изоморфизм.

1.6.1 Отсчетные функции.

1.6.2 Векторные и тензорные поля на теле.

1.6.3 Относительные градиенты.

1.6.4 Скобки Ли.

1.6.5 Аффинная связность.

1.6.6 Кручение связности.

1.6.7 Кривизна связности.

1.7 Материальные связности.

1.7.1 Неоднородность.

1.7.2 Римановы структуры. Конторсия.

1.7.3 Семейство связностей растущего тела.

1.8 Уравнения баланса.

1.8.1 Уравнения баланса относительно единообразной отсчет

1.8.2 Обобщенное преобразование Пиолы.

1.8.3 Гиперупругие растущие тела.

1.9 Полная система уравнений механики растущих тел.

1.9.1 Определение поля дисторсии.

1.9.2 Взаимодействие присоединяемой материальной поверхности и растущего тела.

1.9.3 Полная система уравнений.

2 Универсальные деформации растущих тел

2.1 Универсальные деформации растущего шара.

2.1.1 Локальные и глобальные деформации.

2.1.2 Уравнения баланса.

2.1.3 Вычислительные результаты.

2.1.4 Материальная связность.

2.2 Универсальные деформации растущей изгибаемой панели

2.2.1 Универсальные деформации слоев.

2.2.2 Послойные напряжения.

2.2.3 Усилия на граничных поверхностях.

2.2.4 Тонкие слои.

2.2.5 Дискретное наращивание.

2.2.6 Непрерывное наращивание.

3 Малые деформации растущих тел. Спектральные методы

3.1 Решение связанной динамической задачи термовязкоупругости для тел канонической формы.

3.1.1 Уравнения движения и теплопроводности для тела постоянного состава.

3.1.2 Спектральное представление решения.

3.1.3 Резольвента операторного пучка.

3.1.4 Конечные интегральные преобразования

3.1.5 Решение начально-краевой задачи.

3.1.6 Ядра интегральных преобразований

3.1.7 Динамическая задача для термовязкоупругого конечного цилиндра

3.2 Бездиссипативная связанная термоупругость растущих тел

3.2.1 Дифференциальные операторы.

3.2.2 Спектральное представление решения.

3.3 Связность тепловых и механических полей и геометрический масштаб тела.

3.3.1 Априорные оценки.

3.3.2 Формулировка начально-краевой задачи.

3.3.3 Операторная форма начально-краевой задачи.

3.3.4 Квадратичные операторные пучки, порождаемые начально-краевой задачей.

3.3.5 Нахождение собственных функций.

3.3.6 Случаи точного вычисления собственных значений

3.3.7 Модельная задача для куба.

3.3.8 Модельная задача для конечного цилиндра.

3.3.9 Модельная задача о центральносимметричном шаре

4 Вариационные принципы механики растущих тел

4.1 Вариационные принципы типа Тонти

4.2 Вариационные принципы для элементарных операторов.

4.3 Упругие тела.

4.4 Термоупругие тела.

4.5 Вязкоупругие тела.

4.6 Растущие тела.

5 Растущие тонкостенные конструкции

5.1 Уравнения равновесия растущих пластин.

5.1.1 Квазистатическая задача для круглой растущей пластины

5.1.2 Квазистатическая задача для прямоугольной растущей пластины.

5.2 Уравнения движения растущих пластин.

5.2.1 Вынужденные колебания растущей по толщине круглой пластины.

5.2.2 Колебания растущей прямоугольной пластины.

5.2.3 Колебания растущей эллиптической пластины.

5.2.4 Колебания растущей цилиндрической оболочки

А Теория недиссипативной термоупругости типа Грина—НахдиЗИ

А.2 Пространственное описание.319

А.З Отсчетное описание.323

А.4 Каноническое описание.325

А.5 Законы состояния .328

А.6 Линеаризованные уравнения.333

А.7 Дифференциальные операторы.339

А.8 Модель типа Синьорини.343

А.9 Интеграл действия.346

А. 10 Уравнения поля .352

А. И Условия инвариантности интеграла действия.352

А. 12 Законы сохранения.355

А. 13 Сопоставление с классической теорией.356

Основные научные результаты и выводы 361

Литература 363

Основные обозначения

5 — физическое пространство трехмерное аффинное (точечное) пространство

V — трансляционное (векторное) пространство

V* — пространство, сопряженное к V еь ег, ез} — базис пространства V е1, е2, е3} — базис пространства V*

Кп — п-мерное арифметическое пространство

Т — топологическое пространство

Ш — материальное многообразие иа — локальная карта

Тт — касательное векторное пространство д1,д2,дз} — натуральный репер Тг сьс2,е3} - репер %

93 — тело

3® — граница тела

23* — тотальное тело

93* — начальное тело £ — растущее тело

С — класс допустимых конфигураций ц — мера на борелевом теле подмножеств Ш скобки Ли связность эквивалентная связность кручение связности Г риманова кривизна связности Г символы Кристоффеля материальный изоморфизм единообразная отсчетная функция база расслоения тензорное поле неоднородности тензор напряжений Коши первый тензор напряжений Пиола-Кирхгофа Т„ — тензор напряжений относительно единообразной отсчетной Т — тензор натяжения материальной поверхности Ь — тензор кривизны материальной поверхности и,»]

Г *

Г 6 г7

1 ОС0 ф

К 6 5

ТТ

Введение

Общие соображения

Различные по физической природе технологические процессы, такие, как бетонирование крупномасштабных объектов, гальванопластика, лазерное напыление, газотермическое и парофазное осаждения, фотополимеризация, с позиции механики сплошных сред объединяет то, что их результатами являются растущие тела. Формирование растущих тел происходит как непрерывное присоединение инфинитезимальных предварительно деформированных частей к конечному телу, причем в процессе роста само растущее тело испытывает деформацию. Этим определяется принципиальное отличие механики растущих тел от классической механики тел постоянного состава. Характерной особенностью растущих тел являются поля остаточных напряжений, определяемые сценарием наращивания, что приводит к нежелательным последствиям, например, к искажениям геометрической формы создаваемого объекта, локальным нарушениям сплошности, потере устойчивости. В частности, учет искажений формы важен при разработке методов фотополиме-ризующей стереолитографии, а анализ устойчивости наращиваемых тонкостенных конструкций необходим при разработке микроэлектромеханических систем (MEMS). Вместе с тем возможность учета остаточных напряжений в растущих телах позволяет выбирать оптимальные в том или ином смысле режимы наращивания и осуществлять "механическое программирование", создавая заданные поля остаточных напряжений в телах. Это - путь к созданию "smart'-материалов. Кроме того, модели механики растущих тел позволяют в рамках механики континуума описать природные феномены, такие, как аккреция гравитирующих космических объектов, рост кристаллов, рост биологических тканей. Таким образом, развитие моделей и методов механики растущих тел является актуальной задачей современной механики континуума.

Историю возникновения и развития механики растущих тел можно найти в целом ряде монографий и статей, среди которых отметим [5,13,14,88,93, 117,119,140,145,164].

В большинстве опубликованных ранее работах теория растущих тел строилась как некоторый специальный вариант теории деформируемых твердых тел в трехмерном евклидовом пространстве. Однако, оказывается, что геометрических свойств евклидова пространства недостаточно для описания напряженно-деформированного состояния тела, которое было образовано путем непрерывного объединения предварительно напряженных частей. Представляется чрезвычайно важным, что растущие тела могут быть рассмотрены как частный класс неоднородных (inhomogeneous) тел, в которых неоднородность возникает в силу несовместной деформации, вызванной соединением несогласованно деформированных элементов. С этой точки зрения механика растущих тел имеет много общего с теорией дефектов, в частности с геометрической теорией непрерывно распределенных дислокаций, построенной во второй половине XX века. Следует отметить, что на развитие этой теории значительное влияние оказали методы геометрической теории гравитации Эйнштейна-Картана и общей теории относительности. По-видимому, первым, кто применил методы геометрии Картана [44] в механике сплошной среды был К. Kondo (1955 г.) [223]. Эти идеи быстро получили развитие в серии работ Bilby et al, Е. Kröner и A. Seeger, в которых были установлены связи между тензорным полем несовместности деформаций, плотностью распределения дефектов и нетривиальной геометрией материального многообразия с отличными от нуля кручением и кривизной [45] (подробный исторический обзор приведен в работе [53,245]). В этой связи такие геометрические понятия, как связность, кривизна, кручение, параллелизм, оказались в числе основных понятий общей теории неоднородных тел, которая в логически завершенном виде была представлена в работах W. Noll [251] и С.С. Wang [274], а также в серии работ М. Epstein and G. Maugin [182,242]. Эти исследования замечательным образом согласуются с фундаментальными исследованиями по механике растущих тел, проведенными а рамках школы профессора A.B. Манжирова [83-89]. Одним из основных результатов этой школы является построение математической теории наращиваемых тел, чему посвящена и настоящая диссертация.

Задачи механики растущих тел весьма разнообразны, в связи с чем мы приведем некоторую классификацию, которая позволит выделить область исследований, затрагиваемую в настоящей работе.

Во-первых, следует различать дискретное и непрерывное наращивание. В первом случае в процессе деформирования происходит объединение тел конечных размеров. Задачи о дискретном наращивании рассматривались в рамках так называемой теории составных тел [11]. При этом уравнения равновесия, сформулированные для отдельных частей составного тела, объединялись в систему, а краевые условия определялись из условия идеального контакта этих частей. В такой постановке математическая модель дискретно наращиваемого тела принципиально не отличалась от классических моделей тел постоянного состава. При непрерывном наращивании имеет место непрерывный приток материала к исследуемому телу. В этом случае процесс наращивания может быть представлен как последовательность элементарных актов присоединения бесконечно малых (инфинитезимальных) напряженных частей к растущему телу, причем каждый элементарный акт происходит за бесконечно малый интервал времени.

Во-вторых, следует различать поверхностный рост и объемный рост. При поверхностном наращивании присоединение материала происходит на границе тела, которая называется границей роста [215]. Поверхностному росту соответствуют такие технологические и природные процессы, как намотка, пиролитическое и электролитическое осаждение, возведение массивных сооружений, аккреция планет, рост кристаллов. Объемный рост предполагает, что состав тела в процессе деформирования не меняется, однако масса элементарного отсчетного объема не сохраняется: она изменяется в процессе деформирования по некоторому заданному закону [184]. Рост биологических тканей дает пример такого процесса.

В настоящей работе рассматривается непрерывное наращивание тела, причем присоединение нового материала происходит на границе. Поясним это более подробно. Рост рассматривается как объединение деформированных тел, образы конфигураций которых не пересекаются, но имеют в физическом пространстве общую границу. С механической точки зрения объединение по границе сводится к появлению связей в окрестности граничных точек. В общем случае напряженно-деформированные состояния этих тел не согласованы, в связи с чем у их объединения отсутствует естественная отсчетная конфигурация. Следует отметить, что этот факт упоминался в работах по механике растущих тел, однако чаще указывалось лишь на несовместность поля малых деформаций.

Обратим внимание на еще одно обстоятельство. Непрерывное наращивание рассматривается как процесс непрерывного присоединения к телу инфи-нитезимальных областей, т.е. областей инфинитезимальной меры. В качестве меры может быть использована мера массы. Таким образом, к инфинитези-мальным областям могут быть причислены, например, бесконечно тонкие слои, нити, точки. Так как такие инфинитезимальные области представляют собой непрерывные тела различных размерностей, то они могут переносить напряженно-деформированное состояние, соответствующее их размерности, например, слои могут переносить мембранные напряжения, нити - линейное и т.д. В этой связи характер распределения напряжений в непрерывно растущем теле зависит от геометрического класса присоединяемых инфини-тезимальных областей, что подразумевает построение различных вариантов теории наращивания. В настоящей работе рассматриваются тела, растущие за счет непрерывного присоединения двумерных слоев, называемых также материальными поверхностями [200].

В качестве геометрического фундамента математической теории растущих тел используется теория расслоений дифференцируемых многообразий [49,170]. Аналитические свойства дифференцируемых многообразий определяются без привлечения априорно заданных метрики и связности. Многообразия в таком виде позволяют сформулировать краевую задачу, в ходе решения которой определяется частный вид связности, соответствующий кинематическим и статическим характеристикам процесса наращивания. Кроме того, геометрическое понятие расслоения многообразия соответствует физически реализуемому распределению свойств растущего тела, рост которого моделируется как непрерывный процесс присоединения деформированных материальных поверхностей. Такая сборка тела порождает расслоение материального многообразия, причем структура этого расслоения полностью определяется режимом наращивания.

Целью работы является формулировка краевых задач квазистатики и динамики растущих тел и тонкостенных конструкций, а также разработка методов построения их решений. Эта цель предполагает решение следующих задач:

• Формулировка полной системы уравнений механики растущих тел при конечных деформациях.

• Построение замкнутых решений модельных задач наращивания при конечных деформациях.

• Разработка регулярных методов решения задач квазистатики и динамики растущих упругих и термоупругих тел в приближении малых деформаций.

• Формулировка начально-краевых задач для наращиваемых по толщине тонкостенных конструкций и разработка регулярных методов решения соответствующих краевых задач.

Представленные в диссертации исследования выполнены в рамках плановой тематики ИПМех РАН по проблемам "Исследование процессов изготовления, деформирования, контактного взаимодействия и разрушения неоднородных упруговязкопластических тел и тел со сложной структурой при механических нагрузках, воздействии физических полей и активных сред", Гос. per. № 01200806743 и "Математическое моделирование процессов роста, взаимодействия и разрушения деформируемых тел и их экспериментальная идентификация", Гос. per. № 01201155777, а также проектов РФФИ 08-01-00553-а, 09-08-01194-а, 11-01-00669-а, 12-08-01119-а.

Автор диссертации считает своим долгом выразить глубокую благодарность профессору A.B. Манжирову за идейную поддержку и плодотворные обсуждения, а также своим коллегам А.Л. Левитину, П. С. Бычкову и Т.Н. Лычёвой за помощь в подготовке рукописи.

Обзор литературы

По всей видимости, первая постановка задачи о непрерывном наращивании была описана в монографии R.V. Southwell [119] (как указано в данном руководстве, подобные задачи уже в 1930 г. предлагались на выпускных экзаменах студентам Кембриджского университета). Рассматривалась намотка на деформируемую круговую трубу многослойного проволочного бандажа с произвольным, в общем случае, переменным натягом. Реальный процесс укладки витков проволоки в рассматриваемой модели заменялся процессом непрерывного увеличения наружного радиуса трубы за счет последовательного присоединения к ней элементарных кольцевых слоев материала, подвергнутых предварительному растяжению. Решение строилось предельным переходом от соответствующего дискретного процесса, в котором необходимо суммировать приращения напряжений, вызываемые присоединением каждого очередного слоя. Результирующее напряженное состояние тела находилось в итоге с помощью процедуры интегрирования.

Описанный пример наглядно демонстрировал эффект возникновения и развития полей напряжений в теле в результате постепенного добавления к нему новых изначально напряженных элементов. Тот же подход, что и в [119], был использован Э.И. Рашбой в работе [117] для определения в плоском приближении квазистатических упругих напряжений в бесконечно протяженном склоне, непрерывно наращиваемом горизонтальными тяжелыми слоями, свободными от напряжений. Эта работа стала первым исследованием, в котором решалась механическая задача о наращивании некоторого твердого тела в поле массовых сил. Кроме того, в ней впервые было явно указано на невозможность использования условий совместности деформаций при расчете напряженного состояния наращиваемого тела.

Следует также отметить работу Brown, Goodman [164], в которой рассматривалась задача о о непрерывном росте упругого шарового слоя в его собственном гравитационном поле за счет притока извне нового ненапряженного материала. Вообще, теоретические исследования аккреции планет весьма многочисленны, однако, как правило, в них используются модели и методы гидродинамики. Редким исключением является статья [215], в которой использована модель растущего деформируемого шара в приближении малых деформаций.

Построение общей теории наращиваемых тел было начато работах [5,145], посвященных вопросам постановки квазистатической задачи наращивания для произвольного тела при малых деформациях. Была еще раз подчеркнута невозможность использования условий совместности компонент тензора деформации и формул Коши, выражающих эти величины через перемещения, и при этом было указано на целесообразность перехода к их аналогам для скоростей деформации и скоростей перемещений, справедливых, в том числе, и для растущего тела. Следует отметить, что в работе [145] указывалось на возможность сведения рассматриваемой проблемы в случае вязкоупру-гого материала к решению некоторой классической краевой задачи теории упругости, поставленной для скоростей движения частиц, скоростей деформации и скоростей изменения величин, полученных в результате действия на напряжения оператором вязкоу пру гости, в параметрически изменяющейся со временем области, то есть об обобщении известного подхода Вольтерра на случай растущего тела. Данная идея была математически обоснована и доведена до логической завершенности лишь в гораздо более поздних исследованиях [13,80].

В работах В.К. Тринчера, Н.Х. Арутюняна, В.В. Метова [17,138,140], по-видимому, впервые было обращено внимание на то, что корректное краевое условие на поверхности непрерывного роста должно принципиальным образом отличаться от обычных условий, формулируемых на остальных участках границы наращиваемого тела. Однако, парадоксальное утверждение о том, что на поверхности роста (естественно, двумерной) должно быть задано произвольное (трехмерное) тензорное поле напряжений, а также сам вывод условия на растущей поверхности не позволили авторам получить математически обоснованное и физически понятное условие. Такое общее условие было только недавно сформулировано A.B. Манжировым в рамках работы над математической теорией растущих тел как условие контакта приращиваемого элемента и трехмерного тела. В частности, в простейшем случае наращивания трехмерного тела двумерными поверхностями (при условии отсутствия трения между ними) им на основании формулы Лапласа было впервые получено корректное условие на поверхности роста (при формулировке задачи в приращениях в случае малых деформаций). Это условие было затем обобщено для произвольного вида контакта и конечных деформаций в совместных работах A.B. Манжирова и автора диссертации.

Наряду с развитием теории наращиваемых на границе тел, интенсивно развивается теория объемного роста (volumetric growth). Модели и методы этой теории применяются, в частности, в биомеханике. Здесь следует отметить теоретические исследования V. Lubarda [230], G. Maugin, М. Epstein, М. Elsanowski [182,184], R. Segev [266], в работах которых используются геометрические методы построения моделей, а также прикладные исследования L. Taber, А. Klarbring, Т. Olsson [218], посвященные моделям конкретных биомеханических систем, например, биомеханике артерий.

Важно отметить, что в этих работах используются неклассические методы описания кинематики, и, в частности, так называемая материальная связность, определяющая геометрическую структуру материального многообразиякоторую в механику ввел J.D. Eshelby [189]. В классических задачах для тел постоянного состава геометрия, определяемая материальной связностью, как правило, оказывается евклидовой, в связи с чем материальное многообразие может быть отождествленно с образом натуральной конфигурации. В этом случае вовсе нет необходимости вести речь о материальном многообразии как об отдельной геометрической структуре, а для описания деформации тела использовать две конфигурации: отсчетную и актуальную либо семейство актуальных конфигураций). Этот способ описания кинематики воспроизводится в большинстве современных учебников.

В растущих телах материальная связность становится неевклидовой, в связи с чем роль материального многообразия коренным образом меняется: его уже нельзя представить образом какой-либо конфигурации, и геометрия, определяемая на нем, становится нетривиальной. Абстрактная теория неевклидовой структуры материального многообразия была развита в пионерских работах К. Kondo [223], W. Noll [251], С.-С. Wang [274], а также в работах G. Maugin [242], M. Epstein [181,182]. В этих исследованиях был разработан замкнутый формализм описания материального многообразия простого тела, как пространства аффинной связности. Этот геометрический формализм стал связующим звеном между такими, на первый взгляд различными, теориями механики сплошной среды и физики, как теория растущих тел, теория тел с остаточными напряжениями [213], теория распределенных дефектов [36,53,54,280] и теория гравитации в форме Эйнштейна-Картана [219-221].

Сделаем несколько комментариев о связи обсуждаемых теорий континуальной механики и теорией гравитации. Как известно, гравитационное взаимодействие в рамках общей теории относительности представляется как результат отклонения геометрических свойств физического пространства от евклидовой структуры. Количественно это отклонение определяется кривизной и/или кручением связности, задающей правило параллельного переноса. Материальное многообразие определяется аналогичной структурой: его отличие от евклидового пространства определяется кручением и/или кривизной материальной связности. Кривизна и/или кручение физического пространства возникает в силу наличия в нем массивных тел. Кривизну и/или кручение материального многообразия определяет поле несовместной дисторсии, которую можно ассоциировать с распределением дислокаций в теории дефектов, или с распределением геометрически несогласованной индивидуальной деформации элементов, образующих растущее тело. В рамках такой аналогии физическое пространство без массивных точек может быть ассоциировано с идеальным кристаллом в четырехмерном пространстве Минковского (которое, разумеется, является плоским псевдоевклидовым пространством). Наличие "массы" в форме точечного дефекта приводит к искривлению пространства: его кривизна и/или кручение становятся отличными от нуля Н. К1етегЬ [221].

Заметим, что кривизна и кручение разделялись выше двойным союзом и/или не случайно: существует бесконечно много вариантов геометрического описания гравитационного взаимодействия, в которых теория строится либо в пространстве Римана с кривизной, отличной от нуля, но обращающимся в нуль кручением, либо в плоском пространстве с нетривиальным кручением, либо в самом общем пространстве аффинной связности, в котором обе указанные характеристики отличны от нуля. Здесь имеется еще одна параллель с механикой континуума: при описании материальной структуры простого тела может быть использовано как плоское пространство Картана с нетривиальным кручением (пространство абсолютного параллелизма), так и пространство Римана с нетривиальной кривизной. Разумеется, можно воспользоваться и самыми общими представлениями пространства аффинной связности. Связь этих альтернативных описаний определяется отношением эквивалентности, определяемой на связностях, и приводит к понятию конторсии. Таким образом, как при формализации геометрии физического пространства, так и при формализации структуры материального многообразия, имеется некоторая свобода. Эта свобода исчезает, если вводить в теорию гравитации торсионные поля (одиозное понятие физики, вызывающее, подчас, большие споры), а также исчезает в механике, если вводить распределенные дискли-нации, разумеется, отказываясь при этом от свойства простоты материала и переходя либо к моментным, либо к полиградиентным средам [36,242].

Объемному и поверхностному росту, в частности, росту кристаллов, посвящены работы М. Сигйп [197-199]. Отметим особо работу [199], в которой предлагается некоторый формализм, позволяющий учесть влияние сил поверхностного натяжения, и, следовательно, форму (в частности, кривизну) граничной поверхности на физические процессы, происходящие на границе раздела фаз. Следует также отметить статью [198], в которой с теоретических позиций описывается феномен, установленный А.Ф. Андреевым и

А.Я. Паршиным [4], а именно, "волны замораживания и таяния" или "кристаллизационные волны" (melting-freesing waves). С позиций механики растущих тел этот процесс можно квалифицировать как периодическое наращивание и снятие материала.

Особо отметим работу М. Gurtin и A. Ian Murdoch [200], в которой развита теория материальных поверхностей, играющая важную роль в настоящем изложении. Материальные поверхности, как "двумерные" тела, наилучшим образом подходят для моделирования процесса непрерывного роста как непрерывного процесса осаждения континуального семейства материальных поверхностей.

В рамках настоящей работы растущее тело (более точно, один из классов растущих тел) моделируется как трехмерное многообразие, "собранное" из континуума двумерных многообразий - слоев, представляемых материальными поверхностями. Для формализации такой "сборки" используется аппарат дифференциальной геометрии, позволяющий, в частности, определять материальное многообразие как расслоение трехмерного гладкого многообразия над одномерной базой (конечно, возможны и другие типы расслоений, например, над двумерной или трехмерной базой). Над этим расслоением определяется еще одно - касательное расслоение, структура которого задается материальной связностью, которая, в свою очередь, определяется сценарием наращивания, т.е. дополнительными условиями, задаваемыми на поверхности роста.

Геометрические вопросы, затрагиваемые в настоящей работе, излагаются в следующей учебной литературе: [37,116]. Геометрия пространства аффинной связности и само понятие связности ярко излагается в монографии Э. Карта на [44], а также в замечательной книге А. П. Нордена [109]. Топологические вопросы расслоений гладких многообразий весьма полно изложены в монографии [102]. Физическая интерпретация и исчерпывающее изложение геометрии многообразий для физиков приведены в книге [170]. Теория интегрирования по цепям, определенным на многообразиях, в ясной и лаконичной форме приведена в монографии [134].

Отметим также идейно близкие к развиваемой в настоящей работе теории статьи Н. Cohen и С.-С. Wang [171,172], посвященные механике слоистых тел (fibrillar bodies). Формализация переноса тензорных полей, представляющих напряжения, на материальные многообразия, осуществлена в серии работ G. Rodnay, R. Segev [259,263,265].

Вообще говоря, исследованию физических процессов, происходящих на поверхности роста, посвящено большое количество работ, методология которых самая разнообразная: от моделирования в рамках континуальной механики поверхностей, до моделирования взаимодействия микрочастиц и молекул на растущей поверхности методами статистической физики [209,260,279]. Здесь мы не затрагиваем детально эти вопросы и полагаем, что рост происходит как непрерывный (континуальный) поток предварительно деформированных материальных поверхностей, осаждаемых на растущее трехмерное тело. Идентификация физических процессов на границе роста, которая, разумеется, зависит от физико-химических параметров процесса осаждения, напыления и т.п. - открытый вопрос, который подразумевает как теоретические, так и экспериментальные исследования. Здесь укажем лишь некоторые работы, близкие к этой проблематике: М.А. Гринфельд [35], А.Б. Фрейдин [190].

Отметим, что решение геометрически линейных квазистатических задач о непрерывном наращивании упругих тел теоретически не вызывает принципиальных трудностей, поскольку скорость изменения напряженно-деформированного состояния любого такого тела определяется только мгновенными характеристиками процессов его роста и нагружения. Иначе обстоит дело в той ситуации, когда рассматриваемый материал проявляет свойства деформационной наследственности и на процесс изменения напряженно-деформированного состояния растущего тела в любой момент времени влияет вся предшествующая история деформирования каждого его материального элемента. Здесь построение решения задачи в общем случае является уже серьезной математической проблемой.

Общий и эффективный подход к разрешению этой проблемы отсутствовал вплоть до появления работ [13,80]. Во всех предшествующих исследованиях по теории вязкоупругости наращиваемых тел изучались лишь относительно простые частные задачи, получение решений которых возможно с помощью тех или иных частных приемов. Важно подчеркнуть, что исследовать таким образом кусочно-непрерывные процессы роста было бы крайне затруднительно. Поэтому они не рассматривались вовсе, что, естественно, не позволяло перейти к моделированию многих реальных природных и технологических процессов. Общая безынерционная задача о кусочно-непрерывном наращивании линейно вязкоупругого однородно стареющего тела при малых деформациях, в которой учитывается возможность загружения исходного тела за некоторое время до начала его наращивания и возможно наличие произвольных пауз между этапами непрерывного роста, была впервые рассмотрена в работе [13]. Предполагалось отсутствие массовых сил в теле, а также нагрузки на его текущей поверхности роста и на том участке границы временно не растущего тела, к которой в дальнейшем предполагается приток материала. Был разработан эффективный математический метод построения решения поставленной смешанной (с точки зрения классических краевых условий) неклассической задачи механики деформируемого твердого тела. Важно отметить, что в соответствии с данным методом решение поставленной задачи ищется сразу во всей переменной во времени области, занимаемой растущим телом. Иными словами, не требуется дополнительная процедура сопряжения решений, построенных отдельно в различных частях рассматриваемого тела. В работе [80] данный метод был распространен на общий случай, когда рассматриваемое тело может подвергаться воздействию произвольного поля массовых сил, а все его будущие и фактические поверхности роста могут загружаться произвольной нагрузкой.

Экспериментальная мотивация

Любая математическая теория, если она построена логически строго, представляет ценность сама по себе. Но если удается показать, что эффекты, описываемые этой теорией, имеют место в физической реальности, то ценность теории значительно возрастает. Более того, наблюдение за физической реальностью подсказывает концепции и методы исследования, закладывая тем самым фундамент даже самых абстрактных теорий. Механика растущих тел исследует процессы непрерывного роста. К таким процессам относится, в частности, электролитическое осаждение. Автор настоящей работы, являясь руководителем проектов РФФИ, ориентированных на экспериментальные исследования1, имел возможность воочию наблюдать эффекты, характерные для растущих тел. Здесь мы не будем обсуждать экспериментальную методику и идентификацию моделей растущих тел [67], а лишь покажем ряд характерных особенностей их напряженно-деформированного состояния. Анализ этих особенностей подтолкнула нас к использованию геометрических методов моделирования, которым и посвящена основная часть работы.

В рамках эксперимента исследовался изгиб пластины в процессе ее роста при электролитическом осаждении. Использовался высокочувствительный метод голографической интерферометрии, позволяющий определить поле перемещений с точностью до долей микрона. Процесс электрохимического осаждения, как известно, приводит к образованию поликристаллической структуры, а в силу импульсного режима электрического тока, реализуемого в технологическом процессе, эта структура представляет собой совокупность тонких слоев, расположенных друг поверх друга. Присоединяемые слои вносят свое индивидуальное деформированное состояние, так как каждый слой представляет своего рода двумерный массив монокристаллов, каждый из которых растет в условиях стесненного деформирования, что вызывает усилия послойного натяжения. Эти натяжения вызывают деформацию растущего тела в целом, определяемую в ходе эксперимента.

На рис. 1 приведены две картины интерференции, определяющие изгиб пластины, и фотографии соответствующих поликристаллических структур, полученных на электронном микроскопе. Картины интерференции следует

1Проекты 09-08-01194-а "Развитие основ экспериментальных оптических методов идентификации математических моделей технологических и природных процессов наращивания деформируемых тел" и 12-08-01119-а "Экспериментальная идентификация математических моделей процессов наращивания деформируемых тел". понимать как карту изолиний перемещений по нормали к пластине, которым соответствуют темные замкнутые кривые. Перемещения границы пластины равны нулю, а приращение перемещений при переходе от некоторой кривой к соседней кривой составляет 0.5 микрон. Характерные размеры монокристаллов можно оценить по масштабу, приведенному внизу фотографии.

Ь)

Рис.

1.

Изгиб и микроструктура пластин при электролитическом осаждении

Рис. 1 а) соответствует нерегулярному росту, в процессе которого активные химические процессы, происходящие на катоде, разрушают слоистую структуру покрытия. Рис. 1 Ь) соответствует регулярному росту, при котором наращивание происходит послойно.

Подобные наблюдения подсказывают, что при моделировании растущего тела следует учитывать его микроструктуру, что на геометрическом языке может быть формализовано как расслоение некоторого многообразия, причем, если оставаться в рамках континуальной механики, это многообразие должно быть гладким (или кусочно гладким). Кроме того, оно должно отражать только материальную структуру тела, не учитывая пространственные позиции материальных точек. Такая математическая конструкция - материальное многообразие - была введена в середине XX века .Ш. ЕзЬе1Ьу. Она является одной из центральных объектов настоящего исследования.

Обратим внимание на то, что созданное таким образом тело "собрано" из монокристаллов, которые можно считать "типовыми строительными блоками". Механические свойства этих блоков одинаковы и определяются одним архитипом, однако в силу того, что они соединены в поликристаллической системе геометрически несовместно, каждый монокристалл испытывая индивидуальные "сборочные" деформации, становится индивидуальным: его отклик на деформацию среды будет отличаться от отклика соседних кристаллов. Таким образом, тело, собранное из однотипных элементов, становится неоднородным. Эта неоднородность особого типа, своего рода искусственная неоднородность (тИоп^епеИу), также является одним из центральных объектов настоящего исследования.

Отметим еще одно обстоятельство. Анализ экспериментальных данных показывает, что на макроскопическом уровне растущее тело, в зависимости от режима роста, может быть представлено как "сборка" из элементарных строительных блоков, или как "сборка" из "сборок" меньшей размерности: поверхностей (или очень тонких слоев), состоящих из монокристаллов, порождаемых за один цикл импульсного процесса электрохимического осаждения. Это наталкивает на идею о классификации растущих тел по типу расслоения материального многообразия. Кроме того, эти соображения приводят к представлению о иерархии архитипов: младший архитип - монокристалл, или, с позиций механики континуума, материальная точка (капля); промежуточный архитип - материальная кривая (дендрит), следующий архитип -материальная поверхность. Рис. 2 схематично иллюстрирует это.

Цель настоящей работы - построение математической теории, которая формализует указанные соображения.

Монокристалл. Уровень 1

Дендрит. Уровень 2

Трехмерное тело. Уровень 4

Кристаллическая поверхность. Уровень 3

Рис. 2. Иерархия архитипов Структура работы

В первой главе излагаются основы математической теории наращиваемых тел при конечных деформациях. В качестве основополагающего понятия новой теории используется понятие расслоения дифференцируемого многообразия. Оно удивительно точно отвечает потребностям строгого математического описания процессов наращивания и позволяет построить четкую классификацию таких процессов. Рассматривается один из возможных вариантов наращивания, когда рост происходит за счет непрерывного присоединения к трехмерному телу напряженных материальных поверхностей. Приводится полная система уравнений механики наращиваемых тел. В отличие от задач для тел постоянного состава эти уравнения содержат тензорное поле дисторсии, которое может быть найдено из дополнительных условий. В общем случае в качестве таких условий используются уравнения равновесия границы роста, которая рассматривается как деформируемая материальная поверхность, контактирующая с деформируемым трехмерным телом. Растущее тело, вообще говоря, не имеет естественной (свободной от напряжений) конфигурации, образ которой может быть погружен в трехмерное евклидово пространство, однако таковая имеется на некотором трехмерном многообразии с неевклидовой аффинной связностью. Неевклидовость проявляется в отличии от нуля тензора кручения, который является мерой несовместности деформаций растущего тела. С этих позиций математическое описание напряженно-деформированного состояния растущего тела эквивалентно моделям тел с непрерывным распределением дислокаций.

Поскольку для построении модели растущего тела используются элементы геометрии пространств аффинной связности, то вначале приводится определение ряда геометрических понятий, в частности, поясняются концепции связности вдоль кривой и связности, определяемой гладким полем реперов. Эти геометрические понятия переносятся на язык механики посредством введения так называемой материальной связности, и все нетривиальные геометрические понятия, в частности, кривизна и кручение связности, переформулируются на языке конфигураций. Это позволяет ввести специфичное для механики растущих тел понятие семейства материальных связностей, согласованное с теоретико-множественным определением растущего тела как семейства открытых множеств, удовлетворяющих системе аксиом, сформулированных в работе.

Вторая глава посвящена исследованию универсальных деформаций растущих гиперупругих несжимаемых тел. Рассматриваются модельные задачи о растущих шаре и цилиндре. Наращивание осуществляется за счет присоединения предварительно деформированных слоев, причем эта предварительная деформация может либо задаваться, либо определяться из условий на поверхности роста. Деформации послойно соответствуют раздуванию шара, цилиндра и преобразованию параллелепипеда в полый круговой цилиндр. Рассмотрены дискретные и непрерывные режимы наращивания. Приведена их классификация. Построены решения краевых задач для упругого потенциала Муни-Ривлина. Показана сходимость решений задач для дискретного наращивания к решениям соответствующих задач для непрерывного наращивания при увеличении количества слоев и уменьшении их толщины.

В третьей главе исследуются малые деформации и колебания растущих термоупругих тел. Методология решения таких задач сводится к следующему. Непрерывно растущее тело представляется как дискретно наращиваемое, с достаточно малым шагом дискретизации. На каждом шаге решается динамическая задача для тела, состав которого соответствует шагу. Начальные данные формулируются из соображений согласования с предыдущим шагом и начальными данными для присоединяемого слоя. Решение для каждого слоя получаются в форме спектральных разложений по системе собственных и присоединенных функций несамосопряженного оператора, порождаемого соответствующей начально-краевой задачей. Для получения решений в аналитической форме построен новый класс несимметричных матричных конечных интегральных преобразований, порождаемых пучками несамосопряженных дифференциальных операторов. Кроме того, в третьей главе исследуется вопрос о взаимном влиянии связности механических и температурных полей. Показано, что такое взаимное влияние следует учитывать для тел микронных масштабов. Этот результат является важным для формулировки краевых задач механики растущих тел, поскольку присоединяемые элементы, будучи в рамках математической теории инфинитезимальными, в физической реальности имеют некоторый характерный размер, определяющий их масштабный уровень. От этого характерного размера зависит выбор модели термомеханического взаимодействия присоединяемого элемента и растущего тела.

В четвертой главе излагается общая методология построения вариационных принципов на основе функционала свертки (конволюции) и других билинейных симметричных форм. Предлагаются новые вариационные принципы для упругих, термоупругих и вязкоупругих сред и растущих тел. Рассматриваются постановки как в линейном приближении, так и в конечных деформациях.

В пятой главе построены математические модели растущих тонкостейных тел. Сформулированы уравнения равновесия и движения, краевые и начальные условия для пластин, толщина которых непрерывно увеличивается в результате притока материала извне. Исследованы вынужденные колебания растущих по толщине круглых, эллиптических и прямоугольных пластин. Задача рассматривается в приближении малых деформаций. Материал пластин считается упругим и изотропным. Полагается, что в начальный момент времени пластина имеет постоянную толщину, и в каждый последующий момент присоединяется инфинитезимальный слой постоянной толщины, т.е. толщина растущей пластины изменяется во времени, но постоянна относительно пространственных координат. Уравнения движения имеют третий порядок по переменной времени и второй порядок по пространственным переменным. Решение начально-краевой задачи представляется в форме разложения по собственным функциям бигармонического оператора. При условии, что скорость роста пластины постоянна, координатные функции разложения выражаются в замкнутом виде через функции параболического цилиндра. Анализ полученного решения позволяет указать на характерные особенности динамического наращивания пластин, а именно, на увеличение частоты колебаний, вызванных приложенным в начальный момент импульсом, уменьшение их амплитуды и смещение нейтрального положения пластины. Также рассмотрена задача об осесимметричных колебаниях растущей цилиндрической оболочки.

Некоторые специальные вопросы термомеханики, в частности, бездисси-пативные модели "второго звука" приведены в Приложении.

1. Абрамовиц М., Стиган И. М. Справочник по специальным функциям. — М. : Наука, 1979. - 830 с.

2. Акуленко Л. Д., Нестеров С. В., Попов А. Л. Собственные колебания защемленной по краю эллиптической пластины // Изв. РАН. МТТ.— 2001. — № 1.-С. 174-180.

3. Александров П. С., Пасынков Б. А. Введение в теорию размерности,— М. : Наука, 1973.

4. Андреев А. Ф., Паршин А. Я. О равновесной форме и колебаниях поверхности квантовых кристаллов // ЖЭТФ. — 1978. — Т. 75. — С. 1511-1516.

5. Арутюнян Н. X. Краевая задача теории ползучести для наращиваемого тела // ПММ. 1977. - Т. 41, № 5. - С. 783-789.

6. Арутюнян Н. X. Фундаментальные решения задач для растущего тела в форме четвертьплоскости // Изв. АН СССР. МТТ. — 1987.- № 2.-С. 85-90.

7. Арутюнян Н. X., Геогджаев В. О., Наумов В. Э. Задачи механики растущих вязкоупругопластических тел в условиях старения и разгрузки // Изв. АН СССР. МТТ. 1986. - № 4. - С. 153-163.

8. Арутюнян Н. X., Дроздов А. Д. Механика растущих вязкоупругих тел, подверженных старению, при конечных деформациях // Докл. АН СССР. 1984. - Т. 276, № 4. - С. 821-825.

9. Арутюнян Н. X., Дроздов А. Д. О растущем гравитирующем вязкоупру-гом шаре при конечных деформациях // Изв. АН СССР. МТТ. — 1984. — № 4. С. 124-137.

10. Арутюнян Н. X., Дроздов А. Д. Теория вязкоупругопластичности растущих тел, подверженных старению, при конечных деформациях // Докл. АН СССР. 1985. - Т. 282, № 1. - С. 23-27.

11. Арутюнян Н. X., Дроздов А. Д., Наумов В. Э. Механика растущих вяз-коупругопластических тел. — М. : Наука, 1987. — 471 с.

12. Арутюнян Н. X., Манжиров А. В. Контактные задачи механики растущих тел // ПММ. 1989. - Т. 53, № 1. - С. 145-158.

13. Арутюнян Н. X., Манжиров А. В. Контактные задачи теории ползучести. — Ереван : Институт механики HAH, 1999. — 320 с.

14. Арутюнян Н. X., Манжиров А. В., Наумов В. Э. Контактные задачи механики растущих тел. — М. : Наука, 1991. — 175 с.

15. Арутюнян Н. X., Михайлов М. Н., Потапов В. Д. Об устойчивости растущего вязкоупругого армированного стержня, подверженного старению // ПМТФ. 1984. - № 5. - С. 143-151.

16. Арутюнян Н. X., Михайлов М. Н., Потапов В. Д. Устойчивость растущих вязкоупругих оболочек, подверженных старению // ПМТФ. — 1986. — №2.-С. 151-160.

17. Арутюнян Н. X., Метлов В. В. Нелинейные задачи теории ползучести наращиваемых тел, подверженных старению // Изв. АН СССР. МТТ. — 1983.-№4.-С. 142-152.

18. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. — М. : Наука, 1966. — 543 с.

19. Бахарева И. Ф. Нелинейная неравновесная термодинамика. — Саратов : Изд. Саратовского университета, 1976.

20. Бердичевский В. Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М. : Наука, 1983. - 447 с.

21. Био М. Вариационные принципы в теории теплообмена. — М. : Энергия, 1975.-210 с.

22. Биргер И. А., Пановко Я. Г. Прочность. Устойчивость. Колебания. Справочник в трех томах. Том 3. — М. : Машиностроение, 1968. — 567 с.

23. Бишоп Р. Л., Криттенден Р. Д. Геометрия многообразий. — М. : Мир, 1967. 336 с.

24. Боли Б., Уэйнер Д. Теория температурных напряжений. — М. : Мир, 1964. 520 с.

25. Болотин В. В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М. : ФИЗМАТГИЗ, 1961. - 339 с.

26. Бродский М. С. Треугольные и жордановы представления линейных операторов. — М. : Наука, 1969. — 287 с.

27. Вайнберг М. М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. М. : ГИТТЛ, 1956. - 344 с.

28. Вольмир А. С. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи аэроупругости. — М. : Наука, 1976.

29. Гельфанд И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление. — 1961.

30. Гиббс Д. В. Термодинамические работы. — М.—Л. : Гостехиздат, 1950.

31. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. — М. : Наука, 1965. — 437 с.

32. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Теория вольтерровых операторов в гильбертовом пространстве и ее приложения. — М. : Наука, 1967. — 508 с.

33. Григолюк Э. И., Селезов И. Т. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек (Механика твердых деформируемых тел, т. 5). — М. : ВИНИТИ, 1973. 272 с.

34. Грин А. Е. Микроструктура материалов и мультиполярная механика сплошных сред // Механика. Сборник переводов. — М., 1966.— № 5.— С. 118-122.

35. Гринфельд М. А. Методы механики сплошных сред в теории фазовых превращений. — М. : Наука, 1990. — 312 с.

36. Де Вит Р. Континуальная теория дислокаций. Новое в зарубежной науке № 9. — М. : Мир, 1977. 208 с.

37. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — 2 изд. — М. : Наука, 1986. — 760 с.

38. Дьярмати И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы. — М. : Мир, 1974. — 304 с.

39. Егоров И. Е., Пятков С. Г., Попов С. В. Неклассические дифференциально-операторные уравнения. — Новосибирск : Наука, 2000. 336 с.

40. Жигалин А. Г., Лычёв С. А. Замкнутые решения динамических задач связанной термоупругости для цилиндра и шара // Вычислительная механика сплошных сред. — 2011. — Т. 4, № 2. — С. 17-34.

41. Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, — М. : Физ.-мат. лит., 2001.— 576 с.

42. Зоммерфельд А. Дифференциальные уравнения в частных производных физики. — М. : Иностр. лит., 1950. — 456 с.

43. Зубов Л. М. Универсальные решения для изотропных несжимаемых микрополярных тел // Доклады Академии наук. — 2010. — Т. 435, № 1. — С. 35-39.

44. Картан Э. Пространства аффинной, проективной и конформной связности. — Изд-во Казанского университета, 1962. — 210 с.

45. Катанаев М. О. Геометрическая теория дефектов // УФН. — 2005. — Т. 175. С. 705-733.

46. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. — М. : Мир, 1972. — 740 с.

47. Келдыш М. В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных линейных операторов // УМН.— 1971.— Т. 26, № 4(160).-С. 15-41.

48. Кильчевский Н. А. Основы аналитической механики оболочек. — Киев : Изд. АН УССР, 1963. 253 с.

49. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т. 1. — М. : Наука, 1981.-344 с.

50. Койтер В. Т. Моментные напряжения в теории упругости // Механика. Сборник переводов. М., 1965. - № 3. - С. 89-112.

51. Коллац Л. Задачи на собственные значения (с техническими приложениями). — М. : Наука, 1968. — 504 с.

52. Космодемьянский А. А. Курс теоретической механики. Часть И. — М. : Просвещение, 1966. — 398 с.

53. Крёнер Э. Общая континуальная теория дислокаций и собственных напряжений. — М. : Мир, 1965. — 103 с.

54. Кунин И. А. Теория дислокаций // Тензорный анализ для физиков. — М., 1965.-С. 373-443.

55. Куратовский К. Топология. Том 1. — М. : Мир, 1966. — 594 с.

56. Куратовский К. Топология. Том 2. — М. : Мир, 1969. — 624 с.

57. Ландау Л. Д. Теория сверхтекучести гелия-Н // Успехи физических наук. 1967. — № 11. — С. 495-520.

58. Левитан Б. М. Разложение по собственным функциям. — М. : ГИТТЛ, 1950.- 159 с.

59. Левитин А. Л. Вынужденные колебания растущих полигональных пластин // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. — 2011. № 4 (5). - С. 2298-2300.

60. Леманов В. В., Смоленский Г. А. Гиперзвуковые волны в кристаллах // УФН. 1972. - Т. 108, № 3. - С. 465-501.

61. Лизарев А. Д., Ростанина Н. Б. Уравнения свободных колебаний непологих трехслойных сферических оболочек // Изв. АН СССР, Механика твердого тела. — 1978. № 4. - С. 142-148.

62. Лурье А. И. Нелинейная теория упругости. — М. : Наука, 1980. — 512 с.

63. Лычёв С. А. Нестационарные колебания стареющего вязкоупругого стержня // Вестник Самарского гос. университета. Естественнонаучная сер. — 2003. — № Специальный выпуск. — С. 95-119.

64. Лычёв С. А. Связанная динамическая задача для конечного цилиндра // Вестник Самарского гос. университета. Естественнонаучная серия. 2003. - К« 4(30). - С. 112-124.

65. Лычёв С. А. Законы сохранения недиссипативной микроморфной термоупругости // Вестник Самарского гос. университета. Естественнонаучная серия. — 2007. № 4. - С. 225-262.

66. Лычёв С. А. Связанная задача динамики для термовязкоупругого тела // Изв. РАН. МТТ. 2008. - № 5. - С. 95-113.

67. Лычёв С. А. Теоретическое и экспериментальное определение прогибов растущих пластин // Современные пробле-мы механики сплошной среды. Труды XIII Междунар. конф. — Т. 1.— Ростов-на-Дону, 2009,— С. 137-141.

68. Лычёв С. А. Конечные деформации растущего упругого шара // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды XIV Международной конференциигг. Ростов-на-Дону, Азов, 19-24 июня 2010 г. — Т. 2. — Ростов-на-Дону : Изд-во ЮФУ, 2010. С. 207-212.

69. Лычёв С. А. Деформирование растущих упругих пластин // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, — 2011.— № 4 (4). — С. 1588-1590.

70. Лычёв С. А. Универсальные деформации растущих тел // Изв. РАН. МТТ. 2011. - № 6. - С. 63-79.

71. Лычёв С. А., Лычёва Т. Н., Манжиров А. В. Нестационарные колебания растущей круглой пластины // Изв. РАН. МТТ. — 2011. № 2. — С. 199208.

72. Лычёв С. А., Манжиров А. В., Юбер С. В. Замкнутые решения краевых задач связанной термоупругости // Изв. РАН. МТТ. — 2010.— № 4.— С. 138-154.

73. Лычёв С. А., Сайфутдинов Ю. Н. Уравнения движения трехслойной вяз-коупругой сферической оболочки // Вестник Самарского гос. университета. Естественнонаучная серия. — 2005. — № 6. — С. 70-88.

74. Лычёв С. А., Сайфутдинов Ю. Н. Динамика трехслойной непологой сферической оболочки // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И.А. Яковлева. Сер. Механика предельного состояния. - 2007. - № 2. - С. 55-90.

75. Лычёв С. А., Салеев С. В. Замкнутое решение задач об изгибе жестко закрепленной прямоугольной пластины // Вестник Самарского гос. университета. Естественнонаучная серия. — 2006. — № 2. — С. 62-73.

76. Лычёв С. А., Семенов Д. А. Законы сохранения в недиссипативной термомеханике // Вестник Самарского гос. университета. Естественнонаучная серия. 2008. — № 2. — С. 183-217.

77. Лычёв С. А., Сеницкий Ю. Э. Несимметричные интегральные преобразования и их приложения к задачам вязкоупругости // Вестник Самарского гос. университета. Естественнонаучная серия. — 2002. — № Специальный выпуск. — С. 16-38.

78. Лычёв С. А., Сидоров Ю. В. Нестационарные колебания трехслойных сферических оболочек с кратным спектром // Изв. вузов. Строительство. 2001. - № 4. - С. 31-39.

79. Манжиров А. В. О кручении растущего цилиндра жестким штампом // ПММ. 1990. - Т. 54, № 5. - С. 842-850.

80. Манжиров А. В. Общая безынерционная начально-краевая задача для кусочно-непрерывно наращиваемого вязкоупругого стареющего тела // ПММ. 1995. - Т. 59, № 5. - С. 836-848.

81. Манжиров А. В., Лычёв С. А. Математическая теория растущих тел при конечных деформациях // Доклады РАН. — 2012. — Т. 443, № 4. — С. 438-441.

82. Манжиров А. В., Михин М. Н. Плоская задача для растущего тела // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды VI международной конференции. Ростов-на-Дону, 19-23 июня 2000 г. Т. 2. — Ростов-на-Дону : Изд-во СКНЦ ВШ, 2001.- С. 106-109.

83. Манжиров А. В., Михин М. Н. О кручении наращиваемого эллиптического бруса // Проблемы механики деформируемых тел. — Ереван : Изд-во "Гитутюн" НАН РА, 2003. С. 216-224.

84. Манжиров А. В., Михин М. Н. Методы теории функций комплексного переменного в механике растущих тел // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. — 2004. № 4 (34). — С. 82-98.

85. Манжиров А. В., Паршин Д. А. Моделирование процессов наращивания цилиндрических тел на вращающейся оправке с учетом действия центробежных сил // Изв. РАН. МТТ. 2006. - № 6. - С. 149-166.

86. Манжиров А. В., Паршин Д. А. Наращивание вязкоупругого шара в центрально-симметричном силовом поле // Изв. РАН. МТТ, — 2006.— № 1.-С. 66-83.

87. Манжиров А. В., Черныш В. А. Задача об усилении заглубленной арочной конструкции методом наращивания // Изв. РАН. МТТ.— 1992.— №5.-С. 25-37.

88. Маркус А. С. Введение в спектральную теорию полиномиальных операторных пучков. — Кишинев : Штиинца, 1986. — 260 с.

89. Мартыненко Н. А., Пустыльников Л. М. Конечные интегральные преобразования и их применение к исследованию систем с распределенными параметрами. — М. : Наука, 1986. — 303 с.

90. Метлов В. В. О наращивании неоднородных вязкоупругих тел при конечных деформациях // ПММ. — 1985. — Т. 49, № 4. С. 637-647.

91. Метлов В. В. О наращивании тел при конечных деформациях // Докл. АН АрмССР. 1985. - Т. 80, № 2. - С. 87-91.

92. Метлов В. В., Никитин А. В. О наращивании вязкоупругого цилиндра, подверженного старению // Изв. АН АрмССР. Механика. — 1984. — Т. 37, № 5. С. 52-60.

93. Метлов В. В., Турусов Р. А. О формировании напряженного состояния вязкоупругих тел, растущих в условиях фронтального отверждения // Изв. АН СССР. МТТ. 1985. - № 6. - С. 145-160.

94. Микусинский Я. Операторное исчисление. — М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1956. 366 с.

95. Миндлин Р. Д. Микроструктура в линейной теории упругости // Механика. Сборник переводов. — М., 1971. — № 4. — С. 129-159.

96. Миндлин Р. Д., Тирстен Г. Ф. Эффекты моментных напряжений в линейной теории упругости // Механика. Сборник переводов. — М., 1971. — №4.-С. 80-114.

97. Михин М. Н. Кручение растущего вала // Вестник СамГУ. Естественная серия. 2007. - № 4 (54). - С. 304-315.

98. Михин М. Н. Кручение растущей призмы // Зимняя школа по механике сплошных сред (пятнадцатая). Сборник статей. В 3-х частях. Часть 3. — Екатеренбург : УрО РАН, 2007. С. 25-29.

99. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. — М. : Наука, 1970. — 512 с.

100. Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. М. : МГУ, 1980. - 439 с.

101. Морс Ф. М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Т. 1.— М. : Иностр. лит., 1958, — 931 с.

102. Морс Ф. М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Т. 2.— М. : Иностр. лит., I960. — 897 с.

103. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. — М. : Наука, 1969.- 526 с.

104. Нестеров С. В. Изгибные колебания квадратной пластины, защемленной по контуру // Изв. РАН. МТТ. 2011. - № 6. - С. 159-165.

105. Нетер Э. Инвариантные вариационные задачи // Вариационные принципы механики: сборник статей классиков науки / Под ред. Л. С. Полак. — М. : Физматгиз, 1959.- С. 611-630.

106. Новацкий В. Теория упругости. — М. : Мир, 1975. — 872 с.

107. Норден А. П. Пространства аффинной связности. — 2 изд. — М. : Наука, 1976.-432 с.

108. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям.— М. : Мир, 1989.-640 с.

109. Пелех Б. Л. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. — Киев : Наук, думка, 1973. 248 с.

110. Петров Н., Бранков Й. Современные проблемы термодинамики. — М. : Мир, 1986.-285 с.

111. Питаевский Л. П. Второй звук в твердом теле // Успехи физических наук. 1968. - Т. 95, № 1. - С. 139-144.

112. Попов Г. Я. Биортогональные разложения в задачах механики // ПММ. 1979. - Т. 43, № 4. - С. 698-708.

113. Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия. — М. : Наука, 1987. — 478 с.

114. Рашба Э. И. Определение напряжений в массивах от действия собственного веса с учетом порядка их возведения // Сб.тр. Ин-та строит, механики АН УССР. 1953. - № 18. - С. 23-27.

115. Румер Ю. Б. Спинорный анализ. М., Л., 1936. — 104 с.

116. Саусвелл Р. В. Введение в теорию упругости для инженеров и физиков. М. : ГИИЛ, 1948. - 675 с.

117. Седов Л. И. Механика сплошной среды: В 2 т. — С.-Пб. : Лань, 2004. — 1088 с.

118. Сеницкий Ю. Э. К решению осесимметричной задачи динамики для анизотропного короткого толстостенного цилиндра // Прикл. Мех. —1981. Т. 17, № 8. - С. 95-100.

119. Сеницкий Ю. Э. К решению связанной динамической задачи термоупругости для бесконечного цилиндра и сферы // Прикл. мех. АН УССР.—1982. Т. 18, № 6. - С. 34-41.

120. Сеницкий Ю. Э. Исследование упругого деформирования элементов конструкций при динамических воздействиях методом конечных интегральных преобразований. — Саратов : Изд-во Саратовск. ун-та, 1985. — 176 с.

121. Сеницкий Ю. Э. Нестационарная задача динамики для трехслойной непологой сферической оболочки // Строительная механика и расчет сооружений. 1990. — № 6. - С. 55-61.

122. Сеиицкий Ю. Э. Многокомпонентное обобщенное конечное интегральное преобразование и его приложение к нестационарным задачам механики // Изв. вузов. Математика. — 1991. — № 4. — С. 57-63.

123. Сеницкий Ю. Э. Сходимость и единственность представлений, определяемых формулой обращения многокомпонентного обобщенного интегрального преобразования // Изв. вузов. Математика. — 1991,— № 9.— С. 53-56.

124. Сеницкий Ю. Э. Обобщенные биортогональные конечные интегральные преобразования и их приложение к нестационарным задачам механики // Доклады РАН. 1995. - Т. 341, № 4. - С. 474-477.

125. Сеницкий Ю. Э. Биортогональное многокомпонентное конечное интегральное преобразование и его приложение к краевым задачам механики // Изв. вузов. Математика. — 1996. — № 8. — С. 71-81.

126. Сеницкий Ю. Э. Динамика неоднородной непологой сферической оболочки // Известия РАН. МТТ. 2002. - № 6. - С. 144-157.

127. Сеницкий Ю. Э., Лычёв С. А. Расчет тонкостенных железобетонных защитных конструкций на локальные динамические воздействия // Изв. вузов. Строительство. — 1995. — № 3. — С. 3-8.

128. Сеницкий Ю. Э., Лычёв С. А. Динамика трёхслойных сферических оболочек несимметричной структуры // Труды XVIII международной конференции по теории оболочек и пластин.— Т. 1.— Саратов, 1997.— С. 47-52.

129. Сеницкий Ю. Э., Лычёв С. А. Определение нормы ядер конечных интегральных преобразований и их приложения // Изв. вузов. Математика. 1999. - № 8. - С. 60-69.

130. Спивак М. Математический анализ на многообразиях.— М. : Мир, 1968.- 164 с.

131. Схоутен Я. А. Тензорный анализ для физиков, — М., 1965. — 455 с.

132. Сьярле Ф. Математическая теория упругости. — М. : Мир, 1992. — 471 с.

133. Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. П. Пластины и оболочки.— М. : Наука, 1966. 635 с.

134. Тринчер В. К. Общая геометрически линейная постановка задачи определения деформированного состояния для тела с переменной границей // Проблемы современной механики. Ч. 2 / Под ред. Л. И. Седов. — М. : Изд-во МГУ, 1983. 149 с.

135. Тринчер В. К. О постановке задачи определения напряженно-деформированного состояния растущего тела // Изв. АН СССР. МТТ. — 1984. — №2.-С. 119-124.

136. Тринчер В. К. Расчет наращиваемых тел. — М. : Изд-во МГУ, 1989. — 154 с.

137. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошной среды. — М. : Мир, 1975. — 592 с.

138. Тупин Р. А. Теории упругости, учитывающие моментные напряжения // Механика. Сборник переводов. — М., 1965. — № 3. — С. 113-140.

139. Федяев И. М., Никольский В. Ю., Лычёв С. А. Двухзубцовые (П-образные) дентальные имплантаты и доклиническое обоснование их применения // Стоматология. — 2004. — № 5. — С. 45-49.

140. Харди Г. X., Рогозинский В. В. Ряды Фурье. — 1959. — 156 с.

141. Харлаб В. Д. Линейная теория ползучести наращиваемого тела // Механика стержневых систем и сплошных сред: Тр. ЛИСИ. Л.: ЛИСИ,.— 1966. — № 49. — С. 93-119.

142. Харлаб В. Д. Некоторые общие решения в линейной теории ползучести наращиваемого тела // Аналитические и численные решения прикладных задач математической физики: Межвуз. темат. сб. тр. — Л.: ЛИСИ, 1986.-С. 18-26.

143. Хатсон В., Пим Д. Приложения функционального анализа и теории операторов. — М. : Мир, 1983. — 431 с.

144. Циглер Г. Экстремальные принципы термодинамики необратимых процессов и механика сплошной среды. — М. : Мир, 1966. — 136 с.

145. Чобанян К. С. Напряжения в составных упругих телах. — Ереван : Издательство АН Армянской ССР, 1987. — 338 с.

146. Шашков А. Г., Бубнов В. А., Яновский С. Ю. Волновые явления теплопроводности: Системно-структурный подход. — М. : Едиториал УРСС, 2004.- 296 с.

147. Шварц Л. Анализ. Том 1. М. : Мир, 1972.

148. Шварц Л. Анализ. Том 2. — М. : Мир, 1972.

149. Эринген А. С. Законы сохранения в микроморфной механике // Механика. Сборник переводов. — М., 1971. — № 4. — С. 119-128.

150. Adamjan V., Pivovarchik V., Tretter С. On a class of non-selfadjoint quadratic matrix operator pencils in elasticity theory // Journal of Operator Theory. 2002. - T. 47, № 2. - C. 325-341.

151. Atkin R. J., Fox N., Vasey M. W. A continuum approach to the second-sound effect // Journal of Elasticity. 1975. - Vol. 5. - P. 237-248.

152. Bargmann S., Steinmann P. Theoretical and computational aspects of non-classical thermoelasticity // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. — 2006. — Vol. 196. P. 516-527.

153. Bargmann S., Steinmann P. Classical results for a non-classical theory: remarks on thermodynamic relations in Green—Naghdi thermo-hyperelasticity // Continuum Mech. Thermodyn. — 2007. — Vol. 19. — P. 5966.

154. Bateman H. On Dissipative Systems and Related Variational Principles // Physical Review. 1931. - Vol. 38. - P. 815-819.

155. Bauer P. S. Dissipative Dynamical Systems. I. // Proc. N. A. S. Physics. — 1931.-Vol. 17.-P. 311-314.

156. Bazley N. W., Fox D. W., Stadter J. T. Upper and Lower Bounds for the Frequencies of Rectangular Clamped Plates // ZAMM. — 1967.— Vol. 47, no. 3.-P. 191-198.

157. Beatty M. F., Zhou Z. Universal motions for a class of viscoelastic materials of differential type // Continuum Mech. Thermodyn.— 1991.— Vol. 3.— P. 169-191.

158. Belli G., Morosi C. A variational principle for the dynamic problem of linear coupled thermoelasticity // Meccanica. — 1974. — Vol. 9, no. 4. — P. 239-243.

159. Boshi E. A variational theorem in the theory of porous media //II nuovo cimento. 1973. - Vol. 16, no. 2. - P. 301-310.

160. Brown C. B., Goodman L. E. Gravitational stresses in accreted bodies // Proc. Roy. Soc. London, A. 1963. - Vol. 276, no. 1367. - P. 571-576.

161. Buchanan G. R. A note on a variational principle for crystal physics // Computational Mechanics. — 1987. — no. 2. — P. 163-166.

162. Carroll M. M. Finite strain solutions in compressible isotropic elasticity // Journal of Elasticity. 1988. - Vol. 20. - P. 65-92.

163. Carroll M. M. A Strain Energy Function for Vulcanized Rubbers // Journal of Elasticity. 2011. - Vol. 103. - P. 173-187.

164. Cernuschi F., Figari A., Fabbri L. Thermal wave interferometry for measuring the thermal diffusivity of thin slabs // J. of Mat. Sci.— 2000.— Vol. 35, no. 23. P. 5891-5897.

165. Chen J. K., Beraun J. E., Tham C. L. Ultrafast thermoelasticity for short-pulse laser heating // Int. J. of Eng. Sci. 2004. - Vol. 42. - P. 793-807.

166. Choquet-Bruhat Y., Dewitt-Morette C., Dillard-Bleick M. Analysis, manifolds and physics. Part 1. Basics. — North-Holland, 1982.— 649 p.

167. Cohen H., Wang C.-C. Some Equilibrium Problems for Fibrillar Bodies // Archive for Rational Mechanics and Analysis. — 1993. — Vol. 123, no. 4. — P. 337-375.

168. Cohen H., Wang C.-C. Some Elastodynamic Problems for Laminated and Fibrillar Bodies // Archive for Rational Mechanics and Analysis. — 1995. — Vol. 132, no. l.-P. 73-99.

169. Cosserat E., Cosserat F. Théorie des corps déformables. — Paris, 1909.— 226 p.

170. Culkovski P. M., Reismann H. The spherical sandwich shell under axisymmetric static and dynamic loading //J. Sound and Vibration. — 1971.- Vol. 14, no. 2. P. 229-240.

171. Davis D. R. The Inverse Problem of the Calculus of Variations in a Space of (n + I) Dimensions. 1929. - P. 371-380.

172. Dekker H. Classical and Quantum Mechanics of the Damped Harmonic Oscillator // Physics Reports (Review Section of Physics Letters). — 1981. — Vol. 80, no. l.-P. 1-112.

173. Douglas J. Solution of the Inverse Problem of the Calculus of Variations // Proc. N. A. S. Mathematics. 1939. - Vol. 25. - P. 631-637.

174. Douglas J. Theorems in the Inverse Problem in the Calculus of Variations // Proc. N. A. S. Mathematics. 1940. - Vol. 26. - P. 215-221.

175. Dreisigmeyer D. W., Young P. M. Nonconservative Lagrangian mechanics II: purely causal equations of motion // arXiv:physics/0402056vl. — 2004.— 14 p. — URL: http://arxiv.org/abs/physics/0402056.

176. Egorov R. F., Bostrem I. G., Ovchinnikov A. S. The variational symmetries and conservation laws in classical theory of Heisenberg (anti)ferromagnet // Physics Letters. A. 2002. - Vol. 292. - P. 325-334.

177. Epstein M. The Geometrical Language of Continuum Mechanics.— Cambridge University Press, 2010. — 312 p.

178. Epstein M., Elsanowski M. Material Inhomogeneities and Their Evolution: A Geometric Approach. — Springer, 2007. — 274 p.

179. Epstein M., Maugin G. A. Material evolution in plasticity and growth // Continuum Thermomechanics / Ed. by G. A. Maugin, other.— Kluwer Academic Publishers, 2000. P. 153-162.

180. Epstein M., Maugin G. A. Thermomechanics of volumetric growth in uniform bodies // International Journal of Plasticity. — 2000. — Vol. 16, no. 7. — P. 951-978.

181. Ericksen J. L. Deformations Possible in Every Isotropic, Incompressible, Perfectly Elastic Body // Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Physik (ZAMP). 1954. - Vol. 5, no. 6. - P. 466-489.

182. Eringen A. C. Mechanics of continua. — New York : Huntington, 1980. — 592 p.

183. Eringen A. C. Microcontinuum field theories: foundations and solids.— NewYork : Springer-Verlag, 1999. — 325 p.

184. Eshelby J. D. The force on an elastic singularity // Phil. Trans. Roy. Soc. — 1951. Vol. A 244. - P. 87-112.

185. Eshelby J. D. Collected Works of J. D. Eshelby. The Mechanics of Defects and Inhomogeneities / Ed. by X. Markenscoff, A. Gupta. Solid Mechanics and Its Applications. — Springer, 2006.

186. Freidin A. B. On new phase inclusions in elastic solids // Z. Angew. Math. Mech. 2007. - Vol. 87, no. 2. - P. 102-116.

187. Gibbs J. W. Vector Analysis. — New Haven Yale University Press, 1901.

188. Green A. E. Thermoelastic stresses in initially stressed bodies // Proc. Roy. Soc. Ser. A. 1962. - Vol. 266. - P. 1-19.

189. Green A. E., Naghdi P. M. Thermoelasticity without energy dissipation // Journal of Elasticity. 1993. - Vol. 61. - P. 189-208.

190. Giinther W. Zur Statik und Kinematik des Cosseratschen Kontinuums // Abh. Braunschw. Wiss. Ges. 1958. - Bd. 10.- S. 195-213.

191. Gurtin M. E. Variational principles for linear elastodynamics // Archive for Rational Mechanics and Analysis. — 1964. — Vol. 16, no. 1. — P. 34-50.

192. Gurtin M. E. Variational principles for linear initial-value problems // Quart. Appl. Math. 1964. - no. 22. - P. 252-256.

193. Gurtin M. E. On the Two-Phase Stefan Problem with lnterfacial Energy and Entropy // Archive for Rational Mechanics and Analysis. — 1986. — Vol. 96, no. 3.-P. 199-241.

194. Gurtin M. E. A Mechanical Theory for Crystallization of a Rigid Solid in a Liquid Melt; Melting-Freezing Waves // Archive for Rational Mechanics and Analysis. 1990. - Vol. 110, no. 4. - P. 287-312.

195. Gurtin M. E., Murdoch A. I. A continuum theory of elastic material surfaces // Arch. Rational Mech. Anal. — 1975. — Vol. 57. — P. 291-323.

196. Gurtin M. E., Pipkin A. C. A General Theory of Heat Conduction with Finite Wave Speeds // Geom., Cont. and Micros., II.— 2000.— Vol. 58, no. 2.— P. 171-180.

197. Gurtin M. E., Williams W. O. An Axiomatic Foundation for Continuum Thermodynamics // Arch, for Rational Mech. and Anal. — 1967. — Vol. 26, no. 2.-P. 83-117.

198. Hehl F. W., Obukhov Y. N. Elie Cartan's torsion in geometry and in field theory, an essay // arXiv:0711.1535vl.- 2007.- 38 p.- URL: http://arxiv.org/abs/0711.1535.

199. Herrera I., Bielak J. A Simplified Version of Gurtin's Variational Principles // Arch. Rational Mech. Anal. 1974. - Vol. 53, no. 2. - P. 131-149.

200. Herrera I., Bielak J. Dual Variational Principles for Diffusion Equations // Quarterly of Applied Mathematics. 1976, — Vol. XXXIV, no. 1.- P. 85102.

201. Hetnarski R. B., Ignaczak J. Nonclassical dynamical thermoelasticity // Int. J. of Solids and Structures. 2000. - Vol. 37. - P. 215-224.

202. Hill C. D., Petroski H. J. Superposition of finite deformations in Mooney-Rivlin materials // Journal of Elasticity. — 1977. — Vol. 7, no. 2.— P. 113— 123.

203. Iesan D. Incremental equations in thermoelasticity //J. Thermal Stresses. — 1980. Vol. 3. - P. 41-56.

204. Jabbour M. E., Bhattacharya K. A Continuum Theory of Multispecies Thin Solid Film Growth by Chemical Vapor Deposition // Journal of Elasticity. — 2003.-Vol. 73.-P. 13-74.

205. Jammer M. Concepts of Space: The History of Theories of Space in Physics. — 3 edition. New York : Dover, 1993.

206. Jammer M. Concepts of Mass in Classical and Modern Physics. — 3 edition. — New York : Dover, 1997.

207. Jammer M. Concepts of Force: A Study in the Foundations of Dynamics. — 3 edition. — New York : Dover, 1999.

208. Johnson B. E., Hoger A. The Use of a Virtual Configuration in Formulating Constitutive Equations for Residually Stressed Elastic Materials // Journal of Elasticity. 1995. - Vol. 41. - P. 177-215.

209. Joseph D. D., Preziosi L. Heat waves // Mod. Phys.- 1989.- Vol. 61, no. l.-P. 41-73.

210. Kadish J. R., Barber P. D. Washabaugh Stresses in rotating spheres grown by accretion // International Journal of Solids and Structures.— 2005,— no. 42. P. 5322-5334.

211. Kalpakides V. K., Maugin G. A. Canonical Formulation and Conservation Laws of Thermoelasticity without Dissipation // Reports in Mathematical Physics. 2004. - Vol. 53. - P. 371-391.

212. Kirillov O. N. Eigenvalue bifurcation in multiparameter families of non-self-adjoint operator matrices // Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik (ZAMP). 2010. - Vol. 61, no. 2. - P. 221-234.

213. Klarbring A., Olsson T., Stalhand J. Theory of residual stresses with application to an arterial geometry // Archives of Mechanics.— 2001.— Vol. 59. P. 341-364.

214. Kleinert H. Gauge Fields in Condensed Matter. Vol. I, Superflow and Vortex Lines. Disorder Fields, Phase Transitions.— Singapore : World Scientific, 1989.-P. 1-742.

215. Kleinert H. Gauge Fields in Condensed Matter. Vol. II, Stresses and Defects. Differential Geometry, Crystal Melting. — Singapore : World Scientific, 1989. P. 743-1456.

216. Kleinert H. New Gauge Symmetry in Gravity and the Evanescent Role of Torsion // Electronic Journal of Theoretical Physics (EJTP). 2010.— Vol. 7, no. 24. - P. 287-298.

217. Knowles J. K., Sternberg E. On a Class of Conservation Laws in Linearized and Finite Elastostatics // Arch, ration. Mech. Analysis. — 1972. — Vol. 44. — P. 187-211.

218. Kondo K. Geometry of elastic deformation and incompatibility // Memoirs of the Unifying Study of the Basic Problems in Engineering Science by Means of Geometry.— Vol. 1.— Tokyo : Gakujutsu Bunken Fukyo-Kai, 1955. — P. 5-17.

219. Kovalev V., Lychev S. Nonsymmetric finite integral transformations and their application in thermoviscoelasticity // Proceedings MATHMOD 09 Vienna. ARGESIM Reports No. 35. Vienna, 2009. 2009. - P. 2604-2607.

220. Kovalev V. A., Lychev S. A. Nonstationary vibrations of 3-layered thermoviscoelastic thin-walled structures // Proceedings of the XXXVII Summer School-Conference APM2009. St.Petersburg. 2009. — P. 380-388.

221. Kroner E. Dislocation Theory as a Physical Field Theory // Meccanica. — 1996. Vol. 31. - P. 577-587.

222. Lazar M., Anastassiadis C. Lie point symmetries and conservation laws in microstretch and micromorphic elasticity // Int. J. Eng. Sci. — 2006. — Vol. 44.-P. 1571-1582.

223. Lazar M., Kirchner H. О. K. The Eshelby stress tensor, angular momentum tensor and scaling flux in micropolar elasticity // Int. J. of Solids and Structures. 2007. - Vol. 44, no. 7-8. - P. 2477-2486.

224. Levitin A. L., Lychev S. A. Stress strain state of an accreted hyperelastic hoop. Numerical approach. // Book of Abstracts of the 37th Solid Mechanics Conference. Warsaw, Poland, September 6-10. — 2010. — P. 136-137.

225. Lubarda V. A., Hoger A. On the Mechanics of Solids with a Growing Mass // Int. J. Solids Struct. 2002. - Vol. 39. - P. 4627-4664.

226. Lychev S. A. Coupled dynamics thermoviscoelastic problem // Journal Prace IPPT IFTP Reports (Proceeding 36th Solid Mechanics Conference. Gdansk(Poland). 9-12 September 2008). - 2008. - Vol. 2. - P. 118-119.

227. Lychev S. A. Finite deformations of accreted elastic globe // Актуальные проблемы механики сплошной среды: Труды II между-народной конференции. 4-8 октября, Дилижан, Армения. — Т. 1. — Ер. : ЕГУАС, 2010. — С. 301-306.

228. Lychev S. A., Manzhirov А. V. Differential operators associated with the equations of motion and nondissipative heat conduction in the Green-Naghdi theory of thermoelasticity // J. Phys.: Conf. Ser. 181 012096. — 2009. — 8 p.

229. Maemo G., Saletan E. J. Ambiguities in the Lagrangian and Hamiltonian Formalism: Transformation Properties //II Nuovo Cimento. — 1977. — Vol. 40B, no. l.-P. 67-89.

230. Manzhirov A. V., Lychev S. A. Mathematical modeling og growth processes in nature and engineering: A variational approach // J. Phys.: Conf. Ser. 181 012018 (8pp). — 2009. — 8 p.

231. Manzhirov A. V., Lychev S. A. Finite deformations of accreted solids // Proceedings of XXXVIII Summer School-Conference APM2010. — St.Petersburg, 2010.- C. 444-452.

232. Manzhirov A. V., Lychev S. A. Mathematical Theory of Growing Solids. Accretion of 3D Bodies by 2D Surfaces // Proceedings of International Conference on Computational h Experimental Engineering and Sciences (ICCES'll).- Nanjing, 2011.

233. Manzhirov A. V., Lychev S. A. On the Equilibrium of Accreted Plates // Topical Problems in Solid and Fluid Mechanics. — Delhi, 2011. — P. 66-79.

234. Manzhirov A. V., Lychev S. A. Residual Stresses in Growing Bodies // Topical Problems in Solid and Fluid Mechanics. — Delhi, 2011. — P. 66-79.

235. Manzhirov A. V., Lychev S. A. Small Deformation of Accreted Plates // Proceedings of International Conference on Computational k Experimental Engineering and Sciences (ICCES'll). — Nanjing, 2011.

236. Mat Web. Material Property Data. — URL: http://www.matweb.com.

237. Maugin G. A. Material inhomogeneities in elasticity. — London : Chapman and Hall, 1993. 294 p.

238. Maugin G. A. On the structure of the theory of polar elasticity // Phil. Trans. R. Soc. Lond. A. 1998. - Vol. 356. - P. 1367-1395.

239. Maugin G. A. Towards an analytical mechanics of dissipative materials // Geom., Cont. and Micros., II. — 2000. — Vol. 58, no. 2. P. 171-180.

240. Maugin G. A. Geometry and thermomechanics of structural rearrangements // ZAMM. 2003. - Vol. 83, no. 2. - P. 75-84.

241. Maugin G. A. On canonical equations of continuum thermomechanics // Mechanics Research Communications. — 2006. — Vol. 33. — P. 705-710.

242. Mindlin R. D. Influence of rotatory inertia and shear on flexural motions of isotropic elastic plates // J. Appl. Mech. — 1951. — Vol. 18. — P. 31-38.

243. Musielak Z. E. Standard and non-standard Lagrangians for dissipative dynamical systems with variable coefficients // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. — 2008. — Vol. 41. — 17 p.

244. Noll W. A Mathematical Theory of the Mechanical Behavior of Continuous Media // Arch. Rational Mach. Anal. — 1958. — Vol. 2, no. 1. — P. 197-226.

245. Noll W. Euclidean geometry and Minkowskian chronometry // American Mathematical Monthly. 1964. - Vol. 71. - P. 129-144.

246. Noll W. Materially uniform simple bodies with inhomogeneities // Arch. Rat. Mech. Anal. 1967. - no. 2. — P. 1-32.

247. Nowacki W. Theory of asymmetric elasticity. — Warszawa : Polish Scientific Publishers, 1986. 383 p.

248. Nucci M. C., Leach P. G. L. Some Lagrangians for systems without a Lagrangian // Physica Scripta. — 2011. — Vol. 83. — 5 p.

249. Patino A., Rago H. Variational Mechanics of Dissipative Systems //II Nuovo Cimento B.- 2001.- Vol. 116, no. 4.- P. 447-458.

250. Podio-Guedugli P., Tomassetti G. Universal Deformations for a Class of Compressible Isotropic Hyperelastic Materials // Journal of Elasticity.— 1999.-Vol. 52.-P. 159-166.

251. Pucci E., Saccomandi G. Symmetries and conservation laws in micropolar elasticity // Int. J. Engng Sci. — 1990. Vol. 28, no. 7. — P. 557-562.

252. Reddy J. N. A note on mixed variational principles for initial-value problems // Quart. J. Mech. Appl.— 1975. — no. 28. — P. 123-132.

253. Riewe F. Nonconservative Lagrangian and Hamiltonian mechanics // Phys. Rev. E. 1996. - Vol. 53. - P. 1890-1899.

254. Rodnay G., Segev R. Cauchy's Flux Theorem in Light of Geometric Integration Theory // Journal of Elasticity.- 2003.- Vol. 71,— P. 183203.

255. Rost M. Continuum Models for Surface Growth // Multiscale modelling in epitaxial growth / Ed. by A. Voigt. — 2005. — Vol. 149 of International Series of Numerical Mathematics. — P. 195-208.

256. Ruggiero M. L., Tartaglia A. Einstein-Cartan theory as a theory of defects in space-time // arXiv:gr-qc/0306029v2.- 2003.- 18 p.- URL: http://arxiv.org/abs/gr-qc/0306029.

257. Sato K. Bending of an Elastically Restrained Elliptical Plate under the Combined Action of Lateral Load and In-Plane Force // JSME International Journal, Series A. 2006. - Vol. 49, no. 1. - P. 130-137.

258. Segev R. The Geometry of Cauchy's Fluxes // Arch. Rational Mech. Anal. — 2000. Vol. 154. - P. 183-198.

259. Segev R. A Correction of an Inconsistency in my Paper "Cauchy's Theorem on Manifolds" // Journal of Elasticity. 2001. - Vol. 63. - P. 55-59.

260. Segev R., Rodnay G. Cauchy's Theorem on Manifolds // Journal of Elasticity. 1999. - Vol. 56. - P. 129-144.

261. Segev R., Rodnay G. On Volumetric Growth and Material Frames // Extracta Mathematicae. — 1999. Vol. 14, no. 2. — P. 191-203.

262. Singh M., Pipkin A. C. Note on Ericksen's Problem // Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Physik (ZAMP). 1965. - Vol. 16. - P. 706709.

263. Tang D. W., Araki N. On non-Fourier temperature wave and thermal relaxation time // Int. J. Thermophys.— 1997.— Vol. 18, no. 2.— P. 493504.

264. Tonti E. On the variational formulation for linear initial value problems // Annali di Matematica Pura ed Applicata. — 1973. — Vol. 95, no. 1. — P. 231259.

265. Tonti E. On the variational formulation for linear initial value problems // Ann. Mat. Pura Appl. 1973. - Vol. 95. - P. 331-359.

266. Truesdell C. Rational thermodynamics. — 2 edition. — Springer, 1984.

267. Truesdell C., Toupin R. A. The classical field theories // Handbuch der Physik. 1960. - Bd. Ill, H. 1. - S. 226-858.

268. Vuk E. Variational Principles for Electromagnetic Systems with Memory // Annali di Matematica pura ed applicata (IV). — 2001. — Vol. CLXXIX. — P. 95-110.

269. Wang C. C. On the geometric structure of simple bodies, or mathematical foundations for the theory of continuous distributions of dislocations // Arch. Rat. Mech. Anal. — 1967. no. 27. - P. 33-94.

270. Wang C.-C. Material Uniformity and Homogeneity in Shells // Archive for Rational Mechanics and Analysis. — 1972. — Vol. 47, no. 5. — P. 343-368.

271. Wang C. C., Truesdell C. Introduction to rational elasticity.— Noordhoff Int. Pub, 1973. 556 c.

272. Wang J., Slattery S. P. Thermoelasticity without energy dissipation for initially stressed bodies // IJMMS. 2002. - Vol. 31, no. 6. - P. 321-327.yo

273. Wang X., Xu X. Thermoelastic wave indused by pulsed laser heating // Appl. Phys. A. 2001. - no. 73. - P. 107-114.

274. Weinan E., Yip N. K. Continuum Theory of Epitaxial Crystal Growth. I // Journal of Statistical Physics. — 2001. — Vol. 104, no. 1-2. — P. 221-253.

275. Zubov L. M. Nonlinear Theory of Dislocations and Disclinations in Elastic Bodies. — Springer, 1997. 205 p.