Деформирование наращиваемых тел под действием массовых сил тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК Институт проблем механики

На правах рукописи

Паршин Дмитрий Александрович

ДЕФОРМИРОВАНИЕ НАРАЩИВАЕМЫХ ТЕЛ ПОД ДЕЙСТВИЕМ МАССОВЫХ СИЛ

01 02 04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2007

003159443

Работа выполнена в Институте проблем механики Российской академии наук

Научный руководитель Официальные оппоненты

Ведущая организация

доктор физико-математических наук, профессор А В Манжиров

доктор физико-математических наук, профессор А С Кравчук,

доктор физико-математических наук, профессор Ю Н Радаев

Институт проблем машиноведения Российской академии наук

Защита состоится 17 мая 2007 г в 15 часов на заседании Диссертационного совета Д 002 240 01 при Институте проблем механики Российской академии наук по адресу 119526, Москва, пр-т Вернадского, д 101, корп 1

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем механики Российской академии наук

Автореферат разослан 17 апреля 2007 г

Ученый секретарь

Диссертационного совета, л /2. .

кандидат физико-математических наук Е Я Сысоева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертациоиная работа посвящена исследованию закономерностей эволюции напряженно-деформированного состояния упругих и стареющих вяз-коупругих изотропных тел в процессе их кусочно-непрерывного наращивания в полях массовых сил различной природы Изучаются квазистатические процессы деформирования, сопровождающиеся малыми деформациями

Актуальность темы. Множество природных явлений и технологических процессов сопровождается увеличением размеров и изменением формы твердых тел за счет присоединения к ним дополнительного материала При исследовании такого рода процессов важно учитывать особенности постепенного притока нового вещества к поверхности тела при одновременном действии нагрузок Этого нельзя осуществить в рамках классической механики деформируемого твердого тела, даже если рассматривать традиционные уравнения и граничные условия в переменной во времени обласаи

В качестве механической нагрузки в указанных процессах часто выступают массовые силы Это силы, возникающие в результате действия на тело физических полей (силы тяжести, кулоновскис силы), силы инерции, вызванные движением тела в пространстве как жесткого целого (прежде всего, центробежные силы), силы взаимного притяжения (например, гравитационного) частиц материала

С постоянным действием сил тяжести приходится считаться при расчете постепенно возводимых строительных сооружений (зданий, плотин, насыпей) и последовательно монтируемых конструкций значительных размеров, при исследовании процессов формирования массивных природных объектов (намерзание ледников и ледяного покрова, зарождение осадочных и вулканических горных пород), процессов роста монокристаллов Силы кулоновского взаимодействия играют ключевую роль в технологических процессах электролитического формования или нанесения покрытий электростатическим способом, а следовагельно, не могут быть исключены из рассмотрения и при анализе напряженно-деформированного состояния изготавливаемых подобным образом изделий Центробежные силы необходимо принимагь во внимание в случае наращивания вращающихся тел, в частности, при моделировании ряда технологических процессов изготовления или усиления элементов конструкций и деталей машин и нанесения на них покрытий К таким процессам можно отнести намотку или напыление материала на вращающуюся оправку или заготовку Без учета сил гравитационного взаимопритяжения частиц, а при некоторых условиях еще и центробежных сил инерции, не обойтись при изучении процессов формирования массивных космических объектов в результате аккреции /

"К

Элементы материала, присоединяемые к телу в процессе его наращивания, нередко подвергаются предварительному деформированию, вызывающему возникновение в них начальных напряжений В таком случае в растущем теле будут формироваться поля напряжений и деформации даже при отсутствии внешней нагрузки Примерами здесь могут служить силовая намотка или строительство с использованием предварительно напряженных конструктивных элементов

Многие реальные искусственные и природные материалы (бетон, полимеры, лед, грунты, древесина) проявляют ярко выраженные свойства ползучести и старения Ясно, что в силу существенной зависимости от времени протекающих в них деформационных процессов, процессы наращивания тел с использованием таких материалов обладают целым рядом специфических особенностей и при этом достаточно сложны для моделирования Однако исследование именно этих процессов весьма актуально с точки зрения разнообразных инженерных и физических приложений

Цели работы: более полное и точное описание механических процессов, протекающих в твердых деформируемых телах при их наращивании в условиях действия различных полей массовых сил, всестороннее исследование этих процессов, выявление и анализ общих и частных особенностей, которые органически присущи им, но не могут быть обнаружены в рамках традиционных подходов, формулировка выводов и рекомендаций практического характера

Методика исследования Представленные в диссертации исследования опираются, в первую очередь,, на фундаментальные идеи механики растущих тел и математическую теорию наращиваемых тел, развитые в работах ака-дсмика АН Армении Н X Арутюняна и профессора А В Манжирова и их учеников При этом используются результаты и методы математического анаг лиза, теории обыкновенных дифференциальных и интегральных уравнений, уравнений математической физики, теории обобщенных функций

Научная новизна. Все рассмотренные в диссертации задачи относятся к развивающейся области механики деформируемого твердого тела — механике растущих тел В приведенных ниже постановках они решены и детально исследованы впервые В результате обнаружено и проанализировано множество новых механических эффектов, установлены факты, необычные с точки зрения механики тел постоянного состава Также впервые изучены некоторые общие характерные особенности деформирования наращиваемых тел

Практическая значимость. Результаты работы представляют теоретический и практический интерес как для механики, так и для некоторых других областей естествознания, и могут быть использованы в инженерной практике при моделировании целого ряда технологических процессов

Представленные в диссертации исследования выполнены в рамках плановой тематики Института проблем механики Российской академии наук «Моделирование процессов формирования, взаимодействия, деформирования и разрушения упруговязкопластических тел под действием нагрузок и физических полей» (Гос per №0120 0503826), а также исследований, финансируемых грантом Президента Российской Федерации по государственной поддержке ведущих научных школ №НШ-1245 2006 1 и Российским фондом фундаментальных исследований (проекты №05-01-00693 и №06-01-00521)

Достоверность полученных результатов в рамках рассматриваемых механических моделей обеспечивается применением строгого математического аппарата при построении решений поставленных задач и их анализе Она основывается также на практических оценках погрешностей выполняемых приближенных вычислений, контроле точности нахождения напряженного состояния тела посредством проверки выполнения интегральных условий равновесия его различных конечных частей, тестировании вычислительных программ на задачах с построенным в конечной форме решением, сопоставлении получаемых в частных случаях результатов с заранее прогнозируемыми или известными Полученные в диссертации результаты в определенной степени подтверждают и адекватность самих механических представлений, положенных в основу проведенных в ней исследований.

Апробация работы. Результаты диссертации были представлены на Международной молодежной научной конференции «XXXI Гагаринские ч гения» (Москва, 2005), Российской конференции с международным участием «Смешанные задачи механики деформируемого тела» (Саратов, 2005), Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды», посвященной 85-летию со дня рождения акад И И Воровича (Ростов-на-Дону, 2005), II Всероссийской научной конференции «Внутреннее ядро земли Геофизическая информация о процессах в ядре» (Москва, 2005), Международной молодежной научной конференции «XXXII Гагаринские чтения» (Москва, 2006), Международной научной конференции «Ракетно-космическая техника Фундаментальные и прикладные проблемы механики», посвященной 90-летию В И Феодосьева (Москва, 2006), Семинаре по механике сплошных сред им Л А Галина Института проблем механики Российской академии наук (Москва, 2006), IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006), Индо-российском совещании по проблемам нелинейной механики деформируемого твердого тела при больших деформациях (Дели, 2006), Международной молодежной научной конференции «XXXIII Гагаринские чтения» (Москва, 2007)

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введе-

ния, трех глав, заключения, двух приложений и списка литературы Полный объем диссертации вместе с иллюстрациями составляет 236 страниц Из них 9 занимает список литературы, содержащий 98 наименований Общее количество иллюстраций — 47

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждается тематика предпринятых в диссертации исследований и обосновывается их актуальность Затем следуют несколько вводных параграфов В § 0 1 даются необходимые первоначальные понятия В § 0 2 проводится краткий обзор важнейших работ по механике непрерывно наращиваемых тел и формулируется цель настоящей диссертационной работы В § 0 3 описываются ее структура и содержание, а также основные особенности и методы проводимых исследований, указываются работы, в которых рассматривались сходные с изучаемыми в диссертации задачи и приводятся описания этих задач В § 0 4 кратко описываются используемые в работе определяющие соотношения материала В § 0 5 излагаются основные положения механики растущих тел при малых деформациях и применяемый в работе общий метод решения соответствующих задач

Под наращиваемым (или растущим) телом понимается деформируемое твердое тело, которое в процессе деформирования пополняется новыми материальными элементами, присоединяемыми к некоторой части его поверхности Эта часть называется (текущей, или мгновенной) поверхностью роста Считается, что присоединение материала происходит в условиях полного сцепления частиц на этой поверхности Если за каждый бесконечно малый промежуток времени t к телу присоединяется лишь бесконечно тонкий слой материала, то речь идет о процессе непрерывного наращивания (или роста) Если этапы непрерывного роста чередуются с интервалами времени, в течение которых приток дополнительного материала отсутствует, то следует говорить о кусочно-непрерывном наращивании

В общем случае процесс наращивания начинается с присоединения материала к некоторому уже существующему твердому телу fio, которое в результате механических или иных воздействий начинает деформироваться за некоторое время до этого, в момент времени t = to. После начала наращивания в момент ti ^ ¿о оно становится частью рассматриваемого растущего гела, которую будем называть его исходной частью (или исходным телом) В частном случае процесс непрерывного роста может начаться и без участия исходного тела В этом случае возникает приток материала, например, к некоторому точечному центру или какой-либо жесткой поверхности Часть твердого тела ÍÍa> которая образована из всего поступавшего во время его

роста дополнительного материала, будем называть дополнительной частью (дополнительным телом) Части, сформированные в кусочно-непрерывном процессе на различных этапах непрерывного роста назовем субтелами, а те поверхности внутри наращиваемого тела, с которых в процессе роста начиналось формирование отдельных субтел, — базовыми поверхностями (роста)

В случае малых деформаций при определении напряженно-деформированного состояния наращиваемого тела можно пренебречь деформационными изменениями во времени его конфигурации по сравнению с ее изменениями за счет пополнения тела новым материалом Рассматриваются только такие процессы, в которых закон движения поверхности роста S*(t), а следовательно, и текущую конфигурацию тела можно считать априори известными

Основной особенностью деформирования любого наращиваемого тела, отличающей его от тел постоянного состава и тел с переменной вследствие снятия материала границы, является принципиальное отсутствие у него единой недеформированной конфигурации. Из этого следует, во-первых, невозможность определения меры деформации растущего тела обычным для механики сплошной среды способом и, во-вторых, потребность в знании, вообще говоря, всей истории изменения состояния дополнительных элементов вплоть до момента их включения в состав рассматриваемого тела Относительно последней будем считать, что она не зависит от процессов, происходящих в самом этом теле

В то же время понятно, что частицы нового материала после его сцепления с поверхностью роста продолжают свое движение уже в составе сплошного, пусть и растущего тела Это значит, что в области пространства ii(t), занимаемой в данный момент времени всем наращиваемым телом, однозначно определено достаточно гладкое поле скоростей v(r, t) движения его частиц г и задачу о деформировании такого тела можно поставить в скоростной форме При этом в формулировке определяющих соотношений материала в роли характеристики процесса деформирования (как в задачах механики жидкости) должен выступать тензор скорости деформации D(r, t) = (VvT + Vv)/2

В работе используется линейно вязкоупругий однородно стареющий изотропный материал, описываемый уравнением состояния

T(r,t) = G(t) (Z + K0(r)) [2E(r,t) + (x - 1) 1 tr E(r,t)] (1)

Здесь 1, T, E — единичный тензор 2-го ранга, тензоры напряжений и малой деформации, G(t) — модуль упругого сдвига, х = (1 — 2f)-1, где v — const — коэффициент Пуассона для мгновенной упругой деформации и деформации ползучести, то (г) — распределение моментов возникновения напряжений в

точках тела, X + Afs — (X — Cs) 1 — линейный оператор, где Xf(t) = f(t),

Km = J* f(r)R(t,T)dT, С, m = J* f(T)K(t,T)dr

Отсчет времени ведется от момента изготовления материала Ядро релаксации R(t, г) есть резольвента ядра ползучести

K(t, т) = G (г) dA(t, т)/дт, Д(<, г) - G{t)-1 + u(t, т),

где A(t,r), ui(t,T) — функция удельной деформации и мера ползучести при чистом сдвиге (f ^ т ^ 0)

Если исходить из уравнения (1), то при рассмотрении растущего тела определяющие соотношения для него следует записать в виде

S = 2D -t- (х — 1) 1 tr D,

(2)

S(r, t) = ÔT/dt, Г (г, i) = (X- £To(r)) [T(r, t)/G(i)]

Если принять, что дополнительный материал загружается непосредственно в момент своего сцепления с телом, то, во-первых, то (г) = io ПРИ г 6 По и то (г) = т*(г) при г € Qа, где т*(г) — момент времени, начиная с которого частица, характеризуемая радиус-вектором г, находится в составе тела, и, во-вторых, для корректной постановки задачи на этапе непрерывного наращивания достаточно задавать на поверхности роста полный тензор напряжений

Т(г, t) = Т.(г), г € S,(t) t = т*(г)

Именно такие процессы и рассматриваются в работе В общих рассуждениях предполагается также, что поверхности S*(t) не имеют особых точек

Частным случаем уравнения (1) является определяющее соотношение чисто упругого материала Этот случай ввиду его особой значимости в каждой главе анализируется отдельно Как показано в данной работе, именно в этом частном случае все пеклассические особенности поведения наращиваемых тел проявляются наиболее ярко

Все изучаемые в работе проблемы сводятся к неклассическим задачам механики деформируемого твердого тела Их решения строятся для произвольного числа этапов непрерывного роста с произвольными по длительности паузами между ними с помощью метода, приводящего в итоге к решению последовательности краевых задач математической теории упругости, содержащих время£ как вещественный параметр и поставленных для величин S, D и V в области Ct(t) на различных временнйх этапах процесса, с последующим восстановлением эволюции поля напряжений по соответствующим формулам Последняя процедура эквивалентна решению для каждой точки

тела интегральных уравнений типа Вольтерра, правые части которых получаются интегрированием по параметру компонент тензора S, найденных в результате решения указанных краевых задач

В контексте изучаемой в диссертации проблемы деформирования наращиваемых тел под действием массовых сил отметим следующее важное с математической точки зрения обстоятельство При наличии у материала свойства ползучести в роли интенсивности объемной нагрузки в упомянутых выше краевых задачах даже при самой простой структуре истинного силового поля выступают, вообще говоря, разрывные в рассматриваемой пространственной области функции, изменяющиеся в ней сложным образом и зависящие от реологических свойств материала и всей истории формирования тела

В главе 1 исследуется влияние сил взаимного или центрального притяжения частиц материала на напряженно-деформированное состояние формируемых под их воздействием твердых тел Исследования осуществляются на примере задачи о наращивании шара в произвольном центрально-симметричном силовом поле интенсивности f(r) = —er/(r), где г — радиус-вектор с началом в центре шара, er = r/r, г = |г|, причем при г > О функция /(г) непрерывна и /(г) > 0 Деформирование растущего шара происходит только за счет действующих на него массовых сил, а присоединяемый материал считается изначально свободным от напряжений (Т* = 0) Процесс роста начинается с возникновения притока дополнительного материала к некоторому уже существующему шаровому телу (ядру радиуса ао), находящемуся в рассматриваемом силовом поле или, в частном случае, к точечному центру (ад = 0) В § 11 дается общая физическая постановка задачи, В § 1,2 находится напряженно-деформированное состояние исходного шара до начала его наращивания Параграфы 1 3 и 1 4 посвящены постановке краевых задач на произвольном этапе непрерывного роста шара и после его прекращения В § 1 5 строятся замкнутые аналитические решения поставленных краевых задач, определяющие эволюцию напряженно-деформированного состояния шара после начала его кусочно-непрерывного роста Доказана разрешимость изучаемой задачи в квадратурах на всех временных этапах в случае, когда силовое поле удовлетворяет хотя бы одному из ограничений /0 f(r)dr < + оо или г2/(г) 0 при г 0

Одной из важнейших особенностей напряженного состояния любого кусочно-непрерывно наращиваемого тела в общем случае является наличие разрывов напряжений при переходе через базовые поверхности роста Параграф 1 6 диссертации имеет самостоятельный характер и посвящен анализу поведения тензора напряжений в окрестности первоначальной базовой поверхности в произвольном наращиваемом теле, подчиненном определяющим соотношениям (2) Доказывается теорема о том, что скачок этого тензора в произволь-

ной точке г € ¿>*(£1) первоначальной базовой поверхности роста при переходе через эту поверхность изменяется со временем по закону

= - Гт°(Г|0>Т)Д(4,Т)А--

^) К , . (3)

1 +

[ R(t,r)dr Ju

G(h) J

при достаточно общих ограничениях на характер деформирования окрестности рассматриваемой точки до начала и в процессе наращивания, Здесь введены обозначения /1(г|о,а) = 1ш1полЭг'_,.г /i(r') и _Г h(г) = /ь(г|а) - А(г|о) Заметим, что фигурирующий в формуле (3) тензор T°(r|o,í) на отрезке времени [¿о, íi] известен из решения классической задачи для исходного тела

Видно, что эволюция скачка определяется только свойствами материала, моментами загружения исходного тела и начала его роста, историей деформирования окрестности рассматриваемой точки на отрезке времени между этими моментами, а также начальными напряжениями, задаваемыми вблизи данной точки сразу после начала наращивания, и не зависит от параметров всего последующего процесса роста и нагружения тела (следствие 1 ) Следовательно, она является известной до построения решения собственно задачи наращивания и может использоваться в качестве одного из критериев его точности Если на всем отрезке времени [ío, íi] вплоть до начала наращивания исходное тело деформируется только под воздействием постоянной во времени объемной и поверхностной нагрузки при однородных кинематических ограничениях, а затем в некоторой точке г базовой поверхности роста одна из физических компонент Гг*(г|А) тензора начальных напряжений (в некоторой ортогональной системе координат в окрестности этой точки) равна нулю, то эволюция скачка соответствующей физической компоненты Тг] тензора напряжений в точке г дается зависимостью J~T4(r,í) = —Ty(r|o)D{t,ti,t[¡), где Тг® — компонента тензора напряжений, найденного из классической чисто упругой задачи для исходного тела при тех же кинематических ограничениях и нагрузке, что и в рассматриваемой вязкоупругой задаче, а функция

D(t, s,r) = 1 + G(t) (:Г + Aís) [cu(s, r) - dj(t, т)], t ^ s ^ r > 0,

определяется только свойствами материала и при больших значениях s ~ т мало отличается от единицы (следствие 2)

В § 1 7 обсуждаются некоторые характерные особенности напряженного состояния шарового тела, растущего в оговоренных выше условиях На примере данной задачи показан также способ аналитического получения зависимостей от времени величин разрывов и изломов распределений напряжений при переходе через любую базовую поверхность роста внутри наращиваемого тела в тех случаях, когда эта базовая поверхность совпадает с последней

поверхностью роста на предыдущем этапе При этом используется тот же подход, что и при доказательстве общей теоремы в § 1 6 Также исследовано поведение девиатора напряжений в наращиваемом шаре В частности, показано, что в исходно существующем ядре шара поле данного тензора стационарно, а в каждой точке дополнительной части его эволюция определяется историей формирования тела только до момента включения в него данной точки При достаточно большой продолжительности паузы перед к-м этапом непрерывного роста девиатор напряжений в материальном слое, присоединенном к телу в самом начале к-то этапа, на всем протяжении дальнейшего процесса деформирования будет сколь угодно мало отличаться от нуля

В § 1 8 рассмотрена чисто упругая постановка задачи Установлено, что в этом случае вся сформированная в результате наращивания часть твердого шара независимо от вида действующего на него силового поля оказывается загруженной как жидкость

Когда шар растет в условиях собственной гравитации, интенсивность массовых сил, как известно, пропорциональна удалению от центра и не зависит от радиуса шара Этот вариант рассматривается в § 1 9 как конкретный пример для числовой иллюстрации полученных выше результатов Для вязко-упругого материала изучено также влияние характера и скорости роста на эволюцию и установившиеся распределения характеристик напряженно-деформированного состояния шара В расчетах выявлено, например, что положения и значения максимумов интенсивности касательных напряжений и наибольшего касательного напряжения существенно зависят от реализуемого режима наращивания, но в любом случае данные значения не превышают соответствующих максимумов в аналогичном ненаращиваемом гравитирую-щем шаре, где указанные характеристики пропорциональны квадрату удаления от центра Давление в центре шара, постепенно формируемого в поле сил собственной гравитации, всегда выше, чем у мгновенно сформированного шара соответствующего размера

Параграф 1 10 подводит итоги проведенных в первой главе исследований Глава 2 посвящена изучению воздействия центробежных сил на состояние твердых тел, изготавливаемых в процессе вращения Решается задача о постепенном формировании слоя материала произвольной толщины на внутренней или внешней поверхности круговой цилиндрической оправки, вращающейся вокруг своей оси с переменной угловой скоростью оо(Ь) Изменение скорости во времени предполагается достаточно медленным, |с</(4)| <С так что тангенциальными силами инерции можно пренебречь по сравнению с центробежными силами Оправка считается существенно более жесткой, чем формируемый на ней слой, и поэтому ее собственная деформация в расчет не берется С точки зрения постановки задачи это означает отсутствие ис-

ходного тела Учет деформации оправки не представляет принципиальных трудностей Отказ от него делается умышленно — с целью иллюстрации в работе также и тех процессов, в которых на деформирование возникшей в результате наращивания части механической системы не влияет деформирование ее исходно существующей части Присоединение элементарных слоев материала может осуществляться с произвольным предварительным натягом <т*(р), зависящим от их радиуса р, то есть

Т. (г) = W<r¿(p), (4)

где — единичный касательный вектор к поперечному сечению слоя Это позволяет управлять напряженно-деформированным состоянием получаемого в итоге тела В § 2 1 дается общеё описание задачи В § 2 2 ставятся краевые задачи, определяющие напряженно-деформированное состояние кусочно-непрерывно наращиваемого слоя Рассматривается плоская деформация В § 2 3 строятся замкнутые аналитические решения этих задач, содержащие квадратуры В § 2,4 отдельно рассмотрен упругий случай

Параграф 2 5 посвящен изучению остаточных напряжений, возникающих в изготовленном слое после остановки его вращения и, возможно, отсоединения от оправки Доказано, что предельные значения этих напряжений не зависят от программы остановки, способа отсоединения и момента начала данных манипуляций и определяются тензором Тг(г) — hmí_j,+00 T(r, í) + Т_(г) Здесь первое слагаемое в правой части есть финальный тензор напряжений в задаче наращивания рассматриваемого вязко-упругого стареющего слоя при произвольном законе w(t), не предполагающем остановки вращения Второе слагаемое есть взятый с обратным знаком тензор напряжений в соответствующем нспаращиваемом упругом полом цилиндре, вращающемся с угловой скоростью Woo = hmí-M-oo w(í), одна из боковых поверхностей которого сцеплена с жесткой втулкой (если речь идет только об остановке вращения готового слоя) или свободна (в случае остановки вращения и отсоединения от оправки), а на другой задано нулевое напряжение или равномерное давление рос = Нтг_»+00р(г), равное установившемуся при законе uj(t) значению давления на оправку полученного в результате наращивания слоя Ход рассуждений, приводящий к формулировке данного утверждения имеет общий в рамках линейной теории характер и может быть положен в основу доказательств теорем о& остаточных напряжениях, возникающих в произвольных наращиваемых телах после завершения их формирования и 'последующего освобождения от механической нагрузки или кинематических связей

В § 2.6 в рамках построенной выше общей модели в качестве примеров рассмотрены задачи о силовой намотке и о внутреннем напылении слоя (фиг 1) за один и за несколько этапов непрерывного наращивания в случае вращения

формирования цилиндрического щюя на вращающейся оправке

оправки с постоянной угловой скоростью. Выявлена принципиальная необходимость совместного учета факторов постепенно со притока к телу нового материала и действия на это тело центробежных сил при расчете его иа-1 |ряженнй-деформированносо сос тояния как в процессе, так и после изготовления. Показано; например, что пренебрежение учетом центробежных сил при моделировании процесса намотки н некоторых случаях может дать радикально неверные предс тавления о законе изменения давления на поверхность оправки и привести к сильному завышению оценки ирочноит ! изделия па этапе его изготовления, а также значений предсказываемых остаточных напряжений. Все это может внести большие ошибки в прорабатываемую схему технологического процесса. Остаточный напряжения в изделиях, иолу-1 чаемых в результате напыления материала на вращающуюся поверхность, могут оказаться соизмеримыми с напряжениями, действующими в процессе I изготовления, или даже значительно превышать их. Это особенно актуально, если наличие остаточных напряжений в данных, изделиях является негативным фактором. У ал ряженное состояние рассматриваемых вяз коу пру г их тел, остающееся после их изготовления, определяющим образом зависит от характера протекания данного процесса. Так, наличие пауз в процессе намотки или напыления приводит к качественному и весьма существенному количественному изменению картины остаточного напряженного состояния по сравнению с получаемой з непрерывном процессе.

Основные результаты второй главы зафиксированы к §2.7.

В главе 3 анализируется влияние сил тяжести на состояние постепенно формируемых в их присутствии объектов. Решается инженерная задача о последовательном сооружении на гладком жестком основании тяжелой

полукруглой арочной конструкции методом Цослойного утолщения по внутренней поверхности некоторой первоначально установленной на это основание заготовки, выполненной заранее без остаточных напряжений (фиг. 2). Предполагается закрепление па основании подошв наращиваемой арки посредством сколЬЗЯщеЙ заделки, запрещающей отслоение, но не препятствующей свободному сколъжегшю. С §3,1 дастся постановка задачи. Рассматривается случай плоской деформации. В §3.2 ставится краевая задача, описывающая деформирование заготовки под действием собственного веса и произвольной нагрузки на ос наружной поверхности с момента установки на основание и до начала наращивания. В §3.3 проводит; постановка краевых задач для кусочпо-нопрорывпо наращиваемой тяжелой арки, на внешнюю поверхность которой продолжает действовать некоторая переменная нагрузка. Учитывается возможность использования в процессе наращивания предварительно напряженных конструктивных элементов. Параграфы 3.4-3.6 посвящены построению решений поставленных краевых задач в рядах и квадратурах методом Фурье разделения переменных, В § 3,Т отдельно разобран упругий случай.

Параграф 3.3 посвящен подробному изучению воздействия собственно сил тяжести на постепенно возводимую арочную конструкцию (при отсутствии предварительных напряжений и поверхностной нагрузки). Качественно исследовано влияние ползучести, старения и веса материала па /(.сформирование произвольного тела, наращиваемого ненапряженными весомыми элементами. Выделены и проанализированы центральные тенденции, непрерывное взаимодействие которых определяет процесс формирования напряженно-деформированного состояния такого тела, — это тенденция к перераспределению за счет ползучести уже возникших в теле напряжений на присоединяемый к нему новый материал и тенденция к постоянному догружению весом этого материала уже существующей части тела. Общие рассуждения подкрепляются результатами многочисленных числовых расчетов, выполненных

для различных режимов возведения тяжелых тонкостенных и толстостенных сводов из тонкостенной заготовки и усиления исходно толстостенных сводов При достаточно быстром изготовлении конструкции из молодого материала закладывается большой потенциал к перераспределению возникающих в ней напряжений Поскольку все элементы деформируются при этом в достаточной степени согласованно, то финальное состояние в целом оказывается близким к тому, которое имело бы место при загружении собственным весом уже готовой конструкции {но эта близость все же не может быть неограниченной из-за возникающих разрывов напряжений, не зависящих, как показано в главе 1, от скорости протекания процесса наращивания) В рассматриваемой задаче это приводит в конечном итоге к очень сильному разгружению исходно существующей части арки Однако при быстром пополнении тела новыми элементами происходит и его интенсивное утяжеление, которое может вызывать в нем рост напряжений до тех пор, пока ползучесть не повлияет существенно на этот процесс Поэтому на начальной стадии утолщения арка испытывает напряжения, превышающие первоначальные В случае тонкой заготовки это превышение весьма значительно

Если же возведение начинается достаточно поздно (в смысле возраста материала), перед началом наращивания выдерживается достаточно продолжительная пауза или само наращивание протекает слишком медленно, то изменение напряженно-деформированного состояния конструкции в процессе изготовления обусловливается, в основном, ее догружением весом новых дополнительных элементов Состояние тела после такого изготовления оказывается чрезвычайно далеким от классического Материал, присоединенный на завершающей стадии возведения, остается практически не напряженным Уровень напряжений в исходной части рассматриваемой арочной конструкции при этом значительно возрастает по сравнению с первоначальным Если заготовка является достаточно тонкостенной, в начальный момент в ней возникают весьма высокие напряжения. В результате в готовой конструкции будут иметься области с уровнем напряжений, многократно превышающим максимальный уровень при ее расчете по конечной конфигурации

Показано, что, варьируя надлежащим образом скорость наращивания конструкции, можно добиться в итоге весьма ощутимого снижения в ней напряжений относительно начального состояния заготовки, не превысив при этом допустимых значений во время изготовления

Изготовление тяжелого тела из чисто упругого материала является предельным вариантом процессов второго типа В этом случае свойственные таким процессам особенности деформирования проявляются наиболее сильно В ходе исследований обнаружено, что даже весьма толстостенная заготовка после установки на гладкое основание стремится отслоиться от него на

периферийных участках своих подошв под действием собственного веса Избавиться от зон отрывающих контактных напряжений за счет последующего усиления такой заготовки без принятия специальных мер невозможно даже в том случае, когда контактное давление на подошвах ненаращиваемой арки окончательной толщины было бы всюду положительным

При постепенном изготовлении арки из достаточно толстой заготовки удается получить в готовой конструкции заметно более низкие напряжения по сравнению с теми, которые бы она имела, будучи установленной на основание сразу в готовом виде

В § 3 9 исследован вариант наращивания арочной конструкции слоями, равномерно растянутыми в окружном направлении произвольным напряжением, зависящим от радиуса слоя (см (4)) При таком способе возведения также не удается избежать не ограниченного по времени сохранения удерживающих связей на части подошвы готовой арки, препятствующих ее отслоению Однако созданием в присоединяемых слоях надлежащих начальных напряжений возможно добиться гораздо более выгодного результирующего напряженного состояния конструкции, чем при ее наращивании ненапряженными элементами, в смысле минимизации отрицательного давления на основание и общего уровня напряжений в теле

В § 3 10 рассмотрен такой вариант процесса, когда вершина арки закрепляется на подвссс с контролируемой силой натяжения, компенсирующей во время возведения заданную долю текущего веса арки и убывающей до нуля после окончательного завершения ее формирования Использование такой технологии позволяет получить во всей готовой конструкции значительно более низкие напряжения, чем при обычном наращивании в том же временном режиме При этом также оказывается возможным получение как непрерывной и практически совпадающей с классической, так и гораздо более оптимальной, чем в классическом случае, финальной эпюры контактных напряжений Если же, помимо организации силовой поддержки, еще подвергать присоединяемые к конструкции элементы некоторому начальному растяжению, то удается добиться того, что даже тонкостенная арка будет оказывать в итоге на основание всюду положительное контактное давление (что невозможно в том случае, если эта арка установлена в готовом виде), причем распределенное по подошве достаточно эффективно,

При самых различных вариантах изготовления рассматриваемой конструкции характеристики ее напряженного состояния могут достигать в процессе изготовления величин, значительно превышающих финальные, причем в других ее точках

Важнейшие результаты выполненных в третьей главе исследований описаны в § 3 11

В заключении сформулированы выводы и перечислены основные научные результаты всей диссертационной работы

При проведении расчетов во всех задачах для аппроксимации зависимостей от временных параметров определяющих характеристик вязкоупругого стареющего материала выбираются выражения, широко используемые в литературе Задание конкретных числовых значений входящих в них постоянных учитывает известные экспериментальные данные Тем не менее, в приложении А выводятся общие ограничения, которые нужно наложить на эти постоянные, чтобы указанные характеристики удовлетворяли основным математическим требованиям, предъявляемым к рассматриваемой модели материала для обеспечения ее адекватности реальным процессам

В приложении Б кратко описаны вычислительные методы, применяемые для построения числовых решений исследуемых задач (§ В 1) Указаны и обоснованы основные приемы, которые используются в работе для проверки правильности и контроля точности получаемых результатов (§ В 2)

ОСНОВНЫЕ НАУЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1 Исследованы процессы деформирования твердых шаровых тел, растущих в произвольном центральном силовом поле за счет притока вещества к их поверхности Показано, что такие тела приобретают необычные с точки зрения классической механики деформируемого твердого тела свойства В частности, интенсивность касательных напряжений в постепенно выросшем упругом шаре оказывается всюду равной нулю Проведены числовые расчеты для гравитирующих объектов, формирующихся в результате аккреции Установлено, что в вязкоупругом случае распределение напряжений в них существенно зависит от скорости и характера протекания процесса роста Изучены особенности этой зависимости

2 Исследованы процессы послойного изготовления цилиндрических тел и покрытий посредством нанесения материала с произвольным натягом на наружную или внутреннюю поверхность вращающейся оправки Выявлена принципиальная необходимость совместного учета факторов постепенного притока к телу нового материала и действия на тело центробежных сил при расчете его напряженно-деформированного состояния в процессе и после изготовления Выполнены расчеты для случаев силовой намотки и внутреннего напыления Изучено влияние различных режимов изготовления на распределения остаточных напряжений в готовых изделиях

3 Решена существенно двумерная задача о сооружении тяжелого полуциркульного свода на гладком основании Показано, что отказ от учета дей-

ствия сил тяжести на протяжении всего процесса возведения тяжелых объектов может привести к радикально неверным представлениям об их текущем и результирующем состоянии, в том числе к многократному завышению прочности и эксплуатационной несущей способности, Напряженно-деформированное состояние таких объектов определяющим образом зависит от технологии и режима возведения Продемонстрирована возможность весьма эффективного управления этим состоянием посредством варьирования в процессе наращивания скорости присоединения дополнительного материала, создания в нем предварительных напряжений, временного локального загружения поверхности возводимого объекта

4 Изучен ряд общих аспектов механического поведения и состояния растущих и сформированных в процессе наращивания упругих и стареющих вяз-коупругих тел В частности, доказана теорема об эволюции скачка тензора напряжений на поверхности раздела исходной и дополнительной частей произвольного наращиваемого тела, указан способ аналитического построения зависимостей величин разрывов и изломов напряжений от времени при переходе через границы субтел, предложен эффективный метод определения остаточных напряжений в наращиваемых телах после их освобождения от нагрузки или кинематических связей

5 В результате анализа построенных в диссертации решений новых задач механики растущих тел и проведенных числовых расчетов обнаружены и детально изучены принципиально новые механические эффекты, возникающие при наращивании деформируемых тел Сделан ряд практически важных выводов

ПУБЛИКАЦИИ

Основные результаты диссертационной работы отражены в следующих

публикациях

1 Паршин ДА Наращивание гравитирующего шара // XXXI Гагаринские чтения Тезисы докладов Международной молодежной научной конференции Москва, 5-9 апреля 2005 г М «МАТИ» - РГТУ им К Э Циолковского, 2005 Т 1 С 100-101

2 Паршин ДА О контакте массивной наращиваемой арки с жестким основанием // Смешанные задачи механики деформируемого тела Материалы V Российской конференции с международным участием Саратов, 23-25 августа 2005 г / Под ред акад Н Ф Морозова Саратов Изд-во Сарат ун-та, 2005 С 253-256

3 Паршин Д А Наращивание гравитирующего упругого шара//Современные проблемы механики сплошной среды Труды IX Международной конференции, посвященной 85-летию со дня рождения акад И И Ворови-ча Ростов-на-Дону, 11-15 октября 2005 г Ростов-на-Дону Изд-во ООО «ЦВВР», 2005 TIC, 157-161

4 Манжиров А В, Паршин Д А Наращивание вязкоупругого шара в центрально-симметричном силовом поле // Изв РАН МТТ 2006 №1. С 66-83

5 Паршин Д А Наращивание массивных деформируемых тел // XXXII Га-гаринские чтения Научные труды Международной молодежной научной конференции в 8 томах Москва, 4-8 апреля 2006 г М «МАТИ» - РГТУ им К Э Циолковского, 2006 Т 1 С 147-149

6 ЕфремоваЕА, Паршин ДА Напряженно-деформированное состояние вязкоупругого стареющего слоя, наносимого на вращающуюся цилиндрическую втулку // Ракетно-космическая техника Фундаментальные и прикладные проблемы механики Материалы Международной научной конференции, посвященной 90-летию В И Феодосьева Москва, 4-6 мая 2006 г М Изд-во МГТУ им Н Э Баумана, 2006 С 52

7 Паршин Д А Кусочно-непрерывное наращивание тяжелой арки из вязко-упругого стареющего материала //IX Всероссийский съезд по теореш-ческой и прикладной механике Аннотации докладов Нижний Новгород, 22-28 августа 2006 г Н Новгород Изд-во ННГУ им Н И Лобачевского, 2006 г Т 3 С 170

8 Манжиров А В , Паршин Д А Моделирование процессов наращивания цилиндрических тел на вращающейся оправке с учетом действия центробежных сил//Изв РАН МТТ 2006 №6 С 149-166

9 Manzhirov А V,, ParshmD.A Accretion of solids under mass forccs // Indo-Russian workshop on Problems m Nonlinear Mechanics of Solids with Large Deformation Proceedings IIT Delhi, November 22- 24, 2006 New Delhi IIT Delhi, 2006 P 71-79

10 Паршин Д А Возведение тяжелой арочной конструкции с применением предварительно напряженных конструктивных элементов // XXXIII Га-гаринские чтения Научные труды Международной молодежной научной конференции в 8 томах Москва, 3-7 апреля 2007 г М «МАТИ» - РГТУ им К Э Циолковского, 2007 Т 1 С 147-148

ДЕФОРМИРОВАНИЕ НАРАЩИВАЕМЫХ ТЕЛ ПОД ДЕЙСТВИЕМ МАССОВЫХ СИЛ

Паршин Дмитрий Александрович

Подписано в печать 16 04 07 Заказ № 6-2007 Тираж 70 экз

Отпечатано на ризографе Института проблем механики Российской академии наук 119526, Москва, пр-т Вернадского, д 101, корп 1

Введение

0.1 Базовые определения.

0.2 Обзор литературы.

0.3 Описание работы.

0.4 Определяющие соотношения линейной теории вязкоупругости однородно стареющих изотропных тел.

1. Общие уравнения

2. Одноосное растяжение

3. Случай единого ядра ползучести

4. Вязкоупругие характеристики стареющего материала и их возможные аппроксимации.

0.5 Задача о деформировании наращиваемого тела.

1. Особенности деформирования наращиваемых тел.

2. Основные соотношения квазистатики кусочно-непрерывно наращиваемых тел при малых деформациях.

3. Преобразование общей квазистатической задачи для кусочно-непрерывно наращиваемого линейно вязкоупругого однородно стареющего тела

Глава 1 Наращивание шара в центральном силовом поле

Введение.

1.1 Постановка задачи

1.2 Напряженно-деформированное состояние шара до начала наращивания

1.3 Деформирование шара в процессе его непрерывного роста

1.4 Деформирование шара после остановки роста.

1.5 Напряженно-деформированное состояние кусочно-непрерывно наращиваемого шара

1.6 Скачок тензора напряжений на границе раздела исходной и дополнительной частей произвольного наращиваемого тела

1.7 Особенности напряженного состояния наращиваемого шара

1. Поведение напряжений в окрестности первоначальной базовой поверхности роста

2. Поведение напряжений вблизи последующих базовых поверхностей

3. Поведение девиатора напряжений внутри наращиваемого шара

1.8 Упругий случай.

1.9 Наращивание гравитирующего шара.

1. Вязкоупругий случай.

2. Наращивание гравитирующего упругого шара.

2.1 Постановка задачи .84

2.2 Краевая задача для кусочно-непрерывно наращиваемого слоя 87

2.3 Решение краевой задачи.92

2.4 Упругий случай.93

2.5 Остаточные напряжения в изготовленном слое .95

1. Остаточные напряжения после остановки вращения. 95

2. Остаточные напряжения в слое после остановки его вращения и отсоединения от оправки. 99

2.6 Модельные задачи.102

1. Задача о силовой намотке.103

2. Задача о внутреннем напылении.108

3. Примеры наращивания за несколько этапов.110

2.7 Основные результаты и выводы.113

Глава 3 Возведение тяжелой полукруглой арки на горизонтальном основании 115

Введение.116

3.1 Постановка задачи .117

3.2 Краевая задача для исходного тела.120

3.3 Деформирование кусочно-непрерывно наращиваемой арки . . 121

3.4 Построение решений краевых задач.125

3.5 Решение задачи на этапе до начала наращивания.134

3.6 Решение задачи на этапе кусочно-непрерывного роста . 137

3.7 Упругий случай.140

3.8 Деформирование возводимой арки под действием сил тяжести 141

1. Конкретизация общих соотношений.141

2. Характеристики материала и некоторые предварительные соглашения . . 143

3. Изготовление тонкостенной арки .146

4. Усиление изначально толстостенной арки .156

5. Особенности напряженного состояния общего характера.162

6. Деформирование произвольного вязкоупругого тела, наращиваемого в поле сил тяжести.164

7. Состояние рассматриваемой конструкции при различных режимах ее возведения .167

3.9 Наращивание арки предварительно напряженными конструктивными элементами.184

3.10 Локальная силовая поддержка арки в процессе возведения . 193

3.11 Основные результаты и выводы.212

Заключение 216

Приложение А Ограничения на параметры аппроксимации характеристик используемого материала 218

Приложение Б Организация вычислительного процесса и методы проверки результатов 220

Б.1 Организация вычислений.220

Б.2 Проверка результатов.222

1. Эволюции скачков напряжений .222

2. Интегральные условия равновесия.222

Список литературы 228

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию закономерностей эволюции напряженно-деформированного состояния упругих и стареющих вязкоупругих изотропных тел в процессе их кусочно-непрерывного наращивания в полях массовых сил различной природы. Изучаются квазистатические процессы деформирования, сопровождающиеся малыми деформациями.

Введение

Множество природных явлений и технологических процессов сопровождается увеличением размеров и изменением формы твердых тел за счет присоединения к ним дополнительного материала. При исследовании такого рода процессов важно учитывать особенности постепенного притока нового вещества к поверхности тела при одновременном действии нагрузок. Этого нельзя осуществить в рамках классической механики деформируемого твердого тела, даже если рассматривать традиционные уравнения и граничные условия в переменной во времени области.

В качестве механической нагрузки в указанных процессах часто выступают массовые силы. Это силы, возникающие в результате действия на тело физических полей (силы тяжести, кулоновские силы), силы инерции, вызванные движением тела в пространстве как жесткого целого (прежде всего, центробежные силы), силы взаимного притяжения (например, гравитационного) частиц материала.

С постоянным действием сил тяжести приходится считаться при расчете постепенно возводимых строительных сооружений (зданий, плотин, насыпей) и последовательно монтируемых конструкций значительных размеров, при исследовании процессов формирования массивных природных объектов (намерзание ледников и ледяного покрова, зарождение осадочных и вулканических горных пород), процессов роста монокристаллов. Силы кулоновского взаимодействия играют ключевую роль в технологических процессах электролитического формования или нанесения покрытий электростатическим способом, а следовательно, не могут быть исключены из рассмотрения и при анализе напряженно-деформированного состояния изготавливаемых подобным образом изделий. Цен

ВВЕДЕНИЕ 6 тробежные силы необходимо принимать во внимание в случае наращивания вращающихся тел, в частности, при моделировании ряда технологических процессов изготовления или усиления элементов конструкций и деталей машин и нанесения на них покрытий. К таким процессам можно отнести намотку или напыление материала на вращающуюся оправку или заготовку. Без учета сил гравитационного взаимопритяжения частиц, а при некоторых условиях еще и центробежных сил инерции, не обойтись при изучении процессов формирования массивных космических объектов в результате аккреции.

Элементы материала, присоединяемые к телу в процессе его наращивания, нередко подвергаются предварительному деформированию, вызывающему возникновение в них начальных напряжений. В таком случае в растущем теле будут формироваться поля напряжений и деформации даже при отсутствии внешней нагрузки. Примерами здесь могут служить силовая намотка или строительство с использованием предварительно напряженных конструктивных элементов.

Следует заметить, что деформирование растущего тела, также как и классического тела постоянного состава, может быть обусловлено не только различного рода силовыми воздействиями, но и определенными физическими факторами, не выражающимися в виде таких воздействий, например, температурным полем. Влияние этих факторов на напряженно-деформированное состояние рассматриваемых объектов во многих процессах (таких, к примеру, как кристаллизация металлических расплавов или отверждение полимерных растворов) может оказаться определяющим. Однако данный аспект проблемы наращивания деформируемых тел ниже рассматриваться не будет.

Многие реальные искусственные и природные материалы (бетон, полимеры, лед, горные породы, грунты, древесина) проявляют ярко выраженные свойства ползучести и старения, то есть способны деформироваться при фиксированных нагрузках, а их механические характеристики изменяются с возрастом под действием тех или иных физико-химических механизмов. Ясно, что в силу существенной зависимости от времени протекающих в них деформационных процессов, процессы наращивания тел с использованием таких материалов обладают целым рядом специфических особенностей и при этом достаточно сложны для моделирования. Однако исследование именно этих процессов весьма актуально с точки зрения разнообразных инженерных и физических приложений.

0.1 Базовые определения

Введем некоторые первоначальные определения, которые будут активно использоваться в дальнейшем и частично потребуются уже в следующем вводном параграфе.

Следуя уже установившейся терминологии, под наращиваемым (или растущим) телом будем понимать такое деформируемое твердое тело, которое в процессе деформирования пополняется новыми материальными элементами, присоединяемыми к его поверхности. Часть границы растущего тела, к которой в данный момент времени присоединяется дополнительный материал, назовем (текущей, или мгновенной) поверхностью роста. Считается, что присоединение дополнительного материала происходит в условиях полного сцепления частиц на этой поверхности. Понятно, что в общем случае она может оказаться несвязной, а в частном случае — покрывать всю границу рассматриваемого тела.

Если за каждый бесконечно малый промежуток времени к поверхности тела присоединяется лишь бесконечно тонкий слой материала, то речь идет о процессе непрерывного наращивания (или роста) — в противоположность дискретному процессу, когда к телу мгновенно присоединяются элементы не бесконечно малых размеров. Если этапы непрерывного роста чередуются с интервалами времени, в течение которых отсутствует приток к телу дополнительного материала, то следует говорить о кусочно-непрерывном1 наращивании [49].

В общем случае предполагается, что процесс наращивания начинается с присоединения материала к поверхности некоторого уже существующего твердого тела, которое в результате определенных механических или иных воздействий начинает деформироваться за некоторое время до этого момента. После начала наращивания оно становится частью рассматриваемого растущего тела, которую будем называть его исходной частью (или исходным телом). Однако в частном случае процесс непрерывного роста может начаться и без участия исходного тела. В этом случае возникает приток материала, например, к некоторому точечному центру или какой-либо жесткой поверхности (данные варианты также рассматриваются в настоящей работе).

При любом варианте наращивания ту часть созданного в результате него твердого тела, которая образована из всего поступавшего во время

1 Следует заметить, что данный термин не связан здесь с тем смыслом, который обычно приписывается ему в математическом анализе. Что же касается изменения во времени объема кусочно-непрерывно наращиваемого тела, то оно, очевидно, происходит непрерывным образом. его роста дополнительного материала, будем называть дополнительной частью (дополнительным телом). Части, сформированные в кусочно-непрерывном процессе на различных этапах непрерывного роста, следуя [49], назовем субтелами. Заметим, что эти части в общем случае могут являться несвязными и иметь довольно сложную структуру с точки зрения геометрии распределения в них моментов включения различных частиц в состав рассматриваемого тела.

Те поверхности внутри наращиваемого тела (вообще говоря, несвязные), с которых в процессе роста начиналось формирование отдельных субтел, назовем базовыми поверхностями (роста). Первоначальная базовая поверхность представляет собой, очевидно, ту часть граничной поверхности исходного тела, к которой начинается приток дополнительного материала в первый момент процесса наращивания. Ясно, что любая из базовых поверхностей в общем случае может не совпадать со всем подмножеством точек границы сформированного на ней субтела, отделяющим это субтело от уже существовавшей к моменту начала его формирования части наращиваемого тела.

0.2 Обзор литературы

Задачи о механическом поведении наращиваемых тел обладают в общем случае целым рядом специфических черт и образуют особый класс задач механики деформируемого твердого тела (см. §0.5). Это было понято сравнительно недавно (в начале 50-х гг. прошлого столетия), после чего начались систематические исследования в данной области, которые и сегодня еще не могут претендовать на завершенность.

Поскольку в настоящей работе будет идти речь только о процессах кусочно-непрерывного (и, как частный случай, непрерывного) роста, то в этом параграфе мы проследим ключевые моменты в истории изучения лишь такого рода процессов и обсудим основные результаты, достигнутые в соответствующем направлении механики.

А. По всей видимости, первая постановка задачи, которую в соответствии с приведенной выше классификацией следует отнести к задачам о непрерывном наращивании, была описана в монографии [79]2 (как указано в данном руководстве, подобные задачи уже в 1930 г. предлагались на выпускных экзаменах студентам Кембриджского университета).

2В оригинале: Southwell R. V. An introduction to the theory of elasticity for engineers and physicists. Oxford: University Press, 1941. VII + 509 p.

Речь шла о намотке на деформируемую круговую трубу многослойного проволочного бандажа с произвольным, в общем случае, переменным натягом. Моделирование проводилось для плоского случая в рамках линейной изотропной теории упругости без учета динамических эффектов. Реальный процесс укладки витков проволоки в рассматриваемой модели заменялся процессом непрерывного увеличения наружного радиуса трубы за счет последовательного присоединения к ней элементарных кольцевых слоев материала, подвергнутых предварительному растяжению. Решение строилось по существу предельным переходом от соответствующего дискретного процесса, в котором необходимо суммировать приращения напряжений, вызываемые присоединением каждого очередного слоя. Результирующее напряженное состояние тела находилось в итоге с помощью процедуры интегрирования.

Описанный пример очень наглядно демонстрировал эффект возникновения и развития полей напряжений в теле в результате постепенного добавления к нему новых изначально напряженных элементов.

Б. Тот же подход, что и в [79], был использован Э.И. Рашбой в оригинальной работе [78] для определения в плоском приближении квазистатических упругих напряжений в бесконечно протяженном (в горизонтальном и вертикальном направлениях) склоне, непрерывно наращиваемом предварительно не напряженными горизонтальными тяжелыми слоями по закону подобия формы. Эта работа стала первым исследованием, в котором решалась механическая задача о наращивании некоторого твердого тела в поле массовых сил. Кроме того, в ней впервые было явно указано на: а) невозможность использования условий совместности деформаций при расчете напряженного состояния наращиваемого тела и б) принципиальное отличие этого состояния от состояния тела той же конфигурации, но загруженного после формирования.

Эти же выводы (возможно, независимо от Рашбы) были высказаны в работах [92, 93] спустя десять лет после опубликования статьи [78]. В данных работах тем же методом строились решения той же самой задачи, что и в [78], а также задачи о непрерывном росте упругого шарового слоя в его собственном гравитационном поле за счет притока извне нового ненапряженного материала.

Осознание двух отмеченных выше фундаментальных фактов, кажущихся вполне очевидными сейчас, но встречавших порой непонимание в то время3, можно считать первым шагом на пути к построению общей теории деформирования наращиваемых тел.

В. Построение такой теории было начато, однако, значительно позже в работах [87] и [6], посвященных вопросам постановки квазистатической задачи наращивания для произвольного тела при малых деформациях. Была еще раз подчеркнута невозможность использования в такой постановке самих, стандартных для механики деформируемого твердого тела, условий Сен-Венана совместности компонент тензора деформации и формул Коши, выражающих эти величины через перемещения, и при этом было указано на целесообразность перехода к их аналогам для скоростей деформации и скоростей перемещений, справедливых, в том числе, и для растущего тела.

В [87], а потом в [88] также велась речь о возможности сведения рассматриваемой проблемы в случае вязкоупругого материала (более сложном и содержательном с точки зрения изучаемых вопросов по сравнению с чисто упругим случаем) к решению некоторой классической краевой задачи теории упругости, поставленной для скоростей движения частиц, скоростей деформации и скоростей изменения величин, полученных в результате действия на напряжения оператором вязкоупругости, в параметрически изменяющейся со временем области, то есть об обобщении известного подхода Вольтерра на случай растущего тела.

Данная идея была математически обоснована и доведена до логической завершенности лишь в гораздо более поздних исследованиях [19, 49]. Она оказалась весьма продуктивной при решении задач о наращивании вязкоупругого тела в достаточно общей постановке (см. пп. 3, И).

Г. Примечательно, что долгое время оставалось незамеченным одно весьма важное, хотя и вполне очевидное обстоятельство. А именно, что в) корректное краевое условие, которое следует выставлять на поверхности непрерывного роста, должно принципиальным образом отличаться от обычных условий, выставляемых на остальных участках границы наращиваемого тела.

На это обстоятельство, по-видимому, впервые было обращено внимание в [83]. В работах [9, 84] были сформулированы произвольные начальные

3Так, например, в реферативном журнале «Механика» №9 за 1954 г. был опубликован реферат статьи [78] буквально следующего содержания (реф. 4972, с. 59):

На одном частном примере автор стремится показать влияние порядка возведения сооружения на напряженное состояние последнего. При этом используются ошибочные рассуждения.» условия для тензоров напряжений и деформации во всех точках дополнительной части тела на основании представления о том, что для замкнутости рассматриваемой математической задачи наращивания должно быть заранее известно полное напряженно-деформированное состояние всех дополнительных материальных элементов, в котором эти элементы присоединяются к растущему телу. При этом было замечено, что такого рода начальные условия эквивалентны заданию граничных значений всех компонент названных тензоров на текущей поверхности непрерывного роста, и показано, что из них вытекают определенные условия на скорости изменения компонент тензора напряжений, аналогичные по виду классическим граничным условиям в напряжениях и зависящие как от начальных напряжений в материале и закона движения поверхности роста, так и от действующих на тело объемных сил. В [9, 85] было указано также на необходимость наличия информации в общем случае о всей истории изменения напряженно-деформированного состояния присоединяемых к телу элементов вплоть до момента их присоединения.

Заметим, что однородные начальные условия для тензоров напряжений и деформации в непрерывно присоединяемом материале в явном виде содержались уже в работе [87], где считалось, что история изменения напряженно-деформированного состояния всех материальных элементов начинается лишь с момента их включения в состав растущего тела, причем в этот момент каждый элемент находится в своем естественном состоянии. Такие же условия негласно принимались и в более ранних работах [78, 92, 93].

Д. Интересно отметить, что с самого начала в работах по механике непрерывного наращивания фигурировала такая привычная в механике твердого тела величина как тензор деформации. Однако нетрудно понять, что традиционное введение меры деформации в растущем теле невозможно ввиду отсутствия у него единой недеформированной конфигурации (см. §0.5). Поэтому использование понятия деформации и какой-либо ее величины в рассматриваемых задачах нуждается в дополнительных пояснениях. Конструктивный способ определения тензора малой деформации в непрерывно наращиваемом твердом теле был предложен лишь в работе [60]. Данный способ базируется на достаточно естественных представлениях, основная идея которых была озвучена еще в [37] при рассмотрении одного частного примера.

Е. Сначала одни только идеи Рашбы [78], а затем и другие общие теоретические предпосылки, выдвинутые в последующих цитированных работах, вызвали большой интерес исследователей к зарождающейся новой отрасли механики деформируемого твердого тела — механике наращиваемых тел — и инициировали множество работ в этом направлении. Развиваемые подходы стали активно применяться, в том числе, и при решении конкретных прикладных вопросов, в частности, в инженерных расчетах постепенно возводимых массивных гидротехнических сооружений (см,, к примеру, монографии [38, 89]).

В итоге был рассмотрен ряд задач о наращивании твердых тел и выявлены некоторые характерные для таких задач механические эффекты. Не приводя здесь подробной библиографии, касающейся данных исследований, укажем только, что соответствующие ссылки, а также описания многих из рассмотренных задач можно найти, например, в книгах [8,18, 25, 28, 38, 86, 89] и в обзоре [22].

Ж. Параллельно с этими исследованиями стали развиваться и направления, связанные с изучением больших деформаций в растущих телах [10,11, 13,14,18, 58, 59, 86] и протекающих в таких телах динамических процессов [20, 21, 23, 24, 26, 27], а также с применением вариационных методов к постановке и решению задач наращивания [12,16, 18, 36, 61, 64, 95]. Были предложены некоторые общие подходы и рассмотрены отдельные модельные задачи.

3. Отметим, что решение геометрически линейных квазистатических задач о непрерывном наращивании упругих тел (даже в физически нелинейной постановке) теоретически не вызывает принципиальных трудностей, поскольку скорость изменения напряженно-деформированного состояния любого такого тела определяется только мгновенными характеристиками процессов его роста и нагружения. Иначе обстоит дело в той ситуации, когда рассматриваемый материал проявляет свойства деформационной наследственности и на процесс изменения напряженно-деформированного состояния растущего тела в любой момент времени влияет вся предшествующая история деформирования каждого его материального элемента (в том числе и находящихся в составе исходного тела). Здесь построение решения задачи в общем случае является уже серьезной математической проблемой.

Общий и эффективный подход к разрешению этой проблемы отсутствовал вплоть до появления работ [19, 49]. Во всех предшествующих исследованиях по теории вязкоупругости наращиваемых тел изучались лишь относительно простые частные задачи, получение решений которых возможно с помощью тех или иных частных приемов. Важно подчеркнуть, что исследовать таким образом кусочно-непрерывные процессы роста было бы крайне затруднительно. Поэтому они не рассматривались вовсе, что, естественно, не позволяло перейти к моделированию многих реальных природных и технологических процессов.

Общая безынерционная задача о кусочно-непрерывном наращивании линейно вязкоупругого однородно стареющего тела при малых деформациях, в которой учитывается возможность загружения исходного тела за некоторое время до начала его наращивания и возможно наличие произвольных пауз между этапами непрерывного роста, была впервые рассмотрена в работе [19]. Предполагалось отсутствие массовых сил в теле, а также нагрузки на его текущей поверхности роста и на том участке границы временно не растущего тела, к которой в дальнейшем предполагается приток материала.

Манжировым А.В. был разработан эффективный математический метод построения решения поставленной смешанной (с точки зрения классических краевых условий) неклассической задачи механики деформируемого твердого тела, который был изложен в [19] (описание этого метода можно найти также в монографиях [25, 28]). Важно отметить, что в соответствии с данным методом решение поставленной задачи ищется сразу во всей переменной во времени области, занимаемой растущим телом. Иными словами, не требуется дополнительная процедура сопряжения решений, построенных отдельно в различных частях рассматриваемого тела, осуществлявшаяся, например, в [57]. Такая процедура, очевидно, может гарантированно привести к успеху лишь в ряде геометрически простейших случаев. В других же ситуациях, например, как в задаче о растущей четвертьплоскости, рассмотренной в [17], она должна натолкнуться на принципиальные математические трудности. В этом смысле обсуждаемый метод является достаточно гибким и позволяет с единых позиций изучать самые разнообразные проблемы из соответствующего класса, в том числе и в существенно неодномерной постановке,

В докторской диссертации профессора А.В. Манжирова и его работе [49] данный метод был распространен на общий случай, когда рассматриваемое тело может подвергаться воздействию произвольного поля массовых сил, а все его будущие и фактические поверхности роста могут загружаться произвольной нагрузкой (см. также §0.5).

И. Указанные в предыдущем пункте результаты позволили в рамках рассматриваемой модели построить общую математическую теорию наращиваемых тел и на ее основе решить ряд сложных существенно неодномерных задач наращивания, в том числе задач кручения, плоских, осе-симметричных и контактных задач [19, 25, 28, 47, 48, 50, 51, 52, 53, 66].

В то же время, не был исследован несомненно важный для приложений класс задач, в которых учитывается влияние массовых сил. Решение задач из этого класса и является основной целью настоящей диссертации. На основании анализа их решений требуется более полно и точно описать механические процессы, протекающие в твердых деформируемых телах при их наращивании в условиях действия различных полей массовых сил, всесторонне исследовать эти процессы, выявить и проанализировать различные общие и частные особенности, которые органически присущи им, но не могут быть обнаружены в рамках традиционных подходов, сформулировать качественные выводы и рекомендации практического характера.

0.3 Описание работы

Работа состоит из введения, трех глав, заключения, двух приложений и списка литературы. Последний включает 98 наименований. Основные результаты диссертации отражены в публикациях [39, 54, 55, 67-71, 94]. Общее количество иллюстраций в работе — 47.

3.11 Основные результаты и выводы

Завершая главу, опишем кратко наиболее важные результаты проведенных в ней исследований.

1. Предложена математическая модель процессов возведения полукруглой арки из вязкоупругого стареющего или упругого материала методом послойного утолщения со стороны внутренней поверхности некоторой заготовки, изготовленной заранее без остаточных напряжений и установленной на гладкое жесткое основание. Предполагается закрепление подошв наращиваемой арки посредством скользящей заделки, запрещающей их отслоение от основания. Данная модель учитывает как последовательность возведения конструкции, так и действие на нее сил тяжести на протяжении всего этого процесса. Даны постановки краевых задач механики наращиваемых тел, описывающих эволюцию напряженно-деформированного состояния рассматриваемой конструкции на этапах ее непрерывного утолщения, в паузах между этими этапами и после окончательного прекращения возведения. Построены аналитические решения данных задач.

2. Качественно исследовано влияние ползучести, старения и веса материала на деформирование произвольного тела, наращиваемого ненапряженными весомыми элементами. Общие рассуждения подкреплены результатами многочисленных числовых расчетов, выполненных для различных режимов возведения тяжелых тонкостенных и толстостенных сводов из тонкостенной заготовки и усиления исходно толстостенных сводов. а) Выделены и проанализированы центральные тенденции, непрерывное взаимодействие которых определяет процесс формирования напряженно-деформированного состояния указанного тела, — это тенденция к перераспределению за счет ползучести уже возникших в теле напряжений на присоединяемый к нему новый материал и тенденция к постоянному догружению весом этого материала уже существующей части тела. б) При достаточно быстром изготовлении конструкции из молодого материала закладывается большой потенциал к перераспределению возникающих в ней напряжений. Поскольку все элементы деформируются при этом в достаточной степени согласованно, ее финальное состояние в целом оказывается близким к тому, которое имело бы место при загружении собственным весом уже готовой конструкции (но эта близость не может быть неограниченной из-за возникающих разрывов напряжений, не зависящих, как показано в главе 1, от скорости протекания процесса наращивания). В рассматриваемой задаче это приводит в конечном итоге к очень сильному разгружению исходно существующей части арки. Однако при быстром пополнении тела новыми элементами происходит и его интенсивное утяжеление, которое может вызывать в нем рост напряжений до тех пор, пока ползучесть не повлияет существенно на этот процесс. Поэтому на начальной стадии утолщения арка испытывает напряжения, превышающие первоначальные. В случае тонкой заготовки это превышение весьма значительно. в) Если возведение начинается достаточно поздно (в смысле возраста материала), перед началом наращивания выдерживается достаточно продолжительная пауза или само наращивание протекает слишком медленно, то изменение напряженно-деформированного состояния конструкции в процессе изготовления обусловливается, в основном, ее догружением весом новых дополнительных элементов. Состояние тела после такого изготовления оказывается чрезвычайно далеким от классического. Материал, присоединенный на завершающей стадии возведения, остается практически не напряженным. Уровень напряжений в исходной части рассматриваемой арочной конструкции при этом значительно возрастает по сравнению с первоначальным. Если заготовка является достаточно тонкостенной, в начальный момент в ней возникают весьма высокие напряжения. В результате в готовой конструкции будут иметься области с уровнем напряжений, многократно превышающим максимальный уровень при ее расчете по конечной конфигурации. г) Изготовление тяжелого тела из чисто упругого материала является предельным вариантом процессов, описанных в п. в). В этом случае свойственные таким процессам особенности деформирования проявляются наиболее сильно.

3. Показано, что, варьируя в процессе возведения надлежащим образом скорость наращивания вязкоупругой конструкции, можно добиться в итоге весьма ощутимого снижения в ней напряжений относительно начального состояния заготовки, не превысив при этом их допустимых значений во время изготовления.

4. В ходе исследований обнаружено, что даже весьма толстостенная заготовка после установки на гладкое основание стремится отслоиться от него на периферийных участках своих подошв под действием собственного веса. Избавиться от зон отрывающих контактных напряжений за счет последующего усиления такой заготовки без принятия специальных мер невозможно даже в том случае, когда контактное давление на подошвах ненаращиваемой арки окончательной толщины было бы всюду положительным.

5. При постепенном изготовлении арки из достаточно толстой заготовки удается получить в готовой конструкции заметно более низкие напряжения по сравнению с теми, которые бы она имела, будучи установленной на основание сразу в готовом виде.

6. Исследован вариант наращивания арочной конструкции слоями, равномерно растянутыми в окружном направлении произвольным напряжением, зависящим от радиуса слоя. а) При таком способе возведения также не удается избежать не ограниченного по времени сохранения удерживающих связей на части подошвы готовой арки, препятствующих ее отслоению. б) Однако созданием в присоединяемых слоях надлежащих начальных напряжений возможно добиться гораздо более выгодного результирующего напряженного состояния всей конструкции, чем при ее наращивании ненапряженными элементами, — в смысле минимизации отрицательного давления на основание и общего уровня напряжений в теле.

7. Рассмотрен такой вариант процесса, когда вершина арки закрепляется на подвесе с контролируемой силой натяжения, компенсирующей во время возведения заданную долю текущего веса арки и убывающей до нуля после окончательного завершения ее формирования. а) Использование такой технологии позволяет получить во всей готовой конструкции значительно более низкие напряжения, чем при обычном наращивании в том же временном режиме. б) При этом также оказывается возможным получение как непрерывной и практически совпадающей с классической, так и гораздо более оптимальной, чем в классическом случае, финальной эпюры контактных напряжений. в) Если же, помимо организации силовой поддержки, еще и подвергать присоединяемые к конструкции элементы некоторому начальному растяжению, то удается добиться того, что даже тонкостенная арка будет оказывать в итоге на основание всюду положительное контактное давление (что невозможно в том случае, когда эта арка установлена сразу в готовом виде), причем распределенное по подошве достаточно эффективно.

8. При самых различных вариантах и режимах изготовления рассматриваемой конструкции количественные характеристики ее напряженного состояния могут достигать в процессе изготовления величин, значительно превышающих финальные, причем в других по отношению к последним ее точках.

Заключение

Сформулируем основные выводы и перечислим наиболее важные научные результаты выполненных в диссертации исследований.

1. Исследованы процессы деформирования твердых шаровых тел, растущих в произвольном центральном силовом поле за счет притока вещества к их поверхности. Показано, что такие тела приобретают необычные с точки зрения классической механики деформируемого твердого тела свойства. В частности, интенсивность касательных напряжений в постепенно выросшем упругом шаре оказывается всюду равной нулю. Проведены числовые расчеты для гравитирующих объектов, формирующихся в результате аккреции. Установлено, что в вязкоупругом случае распределение напряжений в них существенно зависит от скорости и характера протекания процесса роста. Изучены особенности этой зависимости.

2. Исследованы процессы послойного изготовления цилиндрических тел и покрытий посредством нанесения материала с произвольным натягом на наружную или внутреннюю поверхность вращающейся оправки или заготовки. Выявлена принципиальная необходимость совместного учета факторов постепенного притока к телу нового материала и действия на тело центробежных сил при расчете его напряженно-деформированного состояния в процессе и после изготовления. Выполнены расчеты для случаев силовой намотки и внутреннего напыления. Изучено влияние различных режимов изготовления на распределения остаточных напряжений в готовых изделиях.

3. Решена существенно двумерная задача о сооружении тяжелого полуциркульного свода на гладком основании. Показано, что отказ от учета действия сил тяжести на протяжении всего процесса возведения тяжелых объектов может привести к радикально неверным представлениям об их текущем и результирующем состоянии, в том числе к многократному завышению оценки прочности и эксплуатационной несущей способности. Напряженно-деформированное состояние таких объектов определяющим образом зависит от технологии и режима возведения. Продемонстрирована возможность весьма эффективного управления этим состоянием посредством варьирования в процессе наращивания скорости присоединения дополнительного материала, создания в нем предварительных напряжений, временного локального загружения поверхности возводимого объекта.

4. Изучен ряд общих аспектов механического поведения и состояния растущих и сформированных в процессе наращивания упругих и стареющих вязкоупругих тел. В частности, доказана теорема об эволюции скачка тензора напряжений на поверхности раздела исходной и дополнительной частей произвольного наращиваемого тела, указан способ аналитического построения зависимостей от времени величин разрывов и изломов напряжений при переходе через границы субтел, предложен эффективный метод определения остаточных напряжений в наращиваемых телах после их освобождения от нагрузки или кинематических связей.

5. В результате анализа полученных в диссертации решений новых задач механики растущих тел и проведенных многочисленных числовых расчетов обнаружены и детально изучены принципиально новые механические эффекты, возникающие при наращивании деформируемых тел. Сделан ряд практически важных выводов.

1. Александровский СВ., Васильев П.И. Экспериментальные исследо- вания ползучести бетона // Ползучесть и усадка бетона и железо-бетонных конструкций, М,: Стройиздат, 1976. С, 97-152.

2. Арутюнян Н.Х. Напряжения и деформации в бетонных массивах с учетом ползучести бетона // Докл. АН АрмССР. 1947. Т. 7. Wb.С. 203-209.

3. Арутюнян Н.Х. Теория упругого напряженного состояния бетона с учетом ползучести // НММ. 1949. Т. 13. Вып. 6. 609-622.

4. Арутюнян Н.Х. Некоторые вопросы теории ползучести. М.; Л.: Гос- техиздат, 1952. 323 с.

5. Арутюнян Н.Х. Ползучесть стареющих материалов. Ползучесть бе- тона // Механика в СССР за 50 лет. Т. 3. М.: Наука, 1972. 155-202.

6. Арутюнян Н.Х. Краевая задача теории ползучести для наращивае- мого тела // ПММ. 1977. Т. 41. Вып. 5. 783-789.

7. Арутюнян Н.Х., ЗевинА.А. Задачи оптимизации в теории ползу- чести для наращиваемых тел, подверженных старению // Изв. АНСССР МТТ. 1979. №1. 100-107.

8. Арутюнян Н.Х., Колмановский В.В. Теория ползучести неоднород- ных тел. М.: Наука, 1983. 336 с.

9. Арутюнян Н.Х., МетловВ.В. Нелинейные задачи теории ползуче- сти наращиваемых тел, подверженных старению // Изв. АН СССР.МТТ 1983. №4. 142-152.

10. Арутюнян Н.Х., Михайлов М.Н., Нотапов В.Д. Сб устойчивости растущего вязкоупругого армированного стержня, подверженногостарению // ПМТФ. 1984. №5. 143-151.список ЛИТЕРАТУРЫ 229

11. ЛрутюнянН.Х., Дроздов А.Д. Теория вязкоупругопластичности растущих тел, подверженных старению, при конечных деформаци-ях // Докл. АН СССР. 1985. Т. 282. JV^ L 23-27.

12. АрутюнянН.Х., Дроздов А.Д. Механика растущих вязкоупругих тел, подверженных старению, при конечных деформациях // Мех.композитн. материалов. 1985. №4. 591-602.

13. АрутюнянН.Х., ГеогдсисаевВ.О., Наумов В.Э. Задачи механики растущих вязкоупругопластических тел в условиях старения и раз-грузки // Изв. АН СССР. МТТ. 1986. №4. 153-163.

14. АрутюнянН.Х., Михайлов М.Н., Потапов В.Д. Устойчивость рас- тущих вязкоупругих оболочек, подверженных старению // ПМТФ.1986. №2. 151-160.

15. Арутюнян Н.Х. Фундаментальные решения задач для растущего те- ла в форме четвертьплоскости // Изв. АН СССР. МТТ. 1987. W2.С. 85-90.

16. АрутюнянН.Х., Дроздов А.Д., Наумов В.Э. Механика растущих вязкоупругопластических тел. М.: Наука, 1987. 471 с.

17. АрутюнянН.Х., МаноюировА.В. Контактные задачи механики рас- тущих тел // НММ. 1989. Т 53. Вып. 1. 145-158.

18. АрутюнянН.Х., Наумов В.Э., Радаев Ю.Н. Динамическое наращи- вание деформируемых тел. Нрепринт / Ин-т проблем механики АНСССР. М., 1989. №374. 43 с.

19. Арутюнян Н.Х., Наумов В.Э., Радаев Ю.Н. Волны в растущих упру- гих телах. Препринт / Ин-т проблем механики АН СССР. М., 1989.№405. 44 с.

20. АрутюнянН.Х., МаноюироваА.В., Наумов В.Э., ШматковаА.А. Механика растущих неоднородных вязкоупругих тел, подверженныхстарению // Отчет (аннотационный) / Ин-т проблем механики АНСССР. М., 1990. 21 с.

21. АрутюнянН.Х., Наумов В.Э., Радаев Ю.Н. Математическая модель динамически наращиваемого деформируемого тела. Ч. 1. Кинемати-ка и меры деформации растущего тела // Изв. АН СССР. МТТ. 1990.№6. 85-96.список ЛИТЕРАТУРЫ 230

22. АрутюнянН.Х., Наумов В. Э., Радаев Ю.Н. Математическая модель динамически наращиваемого деформируемого тела. Ч. 2. Эволюци-онная граничная задача теории растущих тел // Изв. АН СССР.МТТ. 1991. №1. 72-86.

23. АрутюнянН.Х., МанэюировЛ.В., Наумов В.Э. Контактные задачи механики растущих тел. М.: Наука, 1991. 176 с.

24. АрутюнянН.Х., Наумов В.Э., Радаев Ю.Н. Динамическое наращи- вание упругого слоя. Ч. 1. Движение нотока осаждаемых частиц спеременной скоростью // Изв. АН СССР. МТТ. 1992. №5. 6-24.

25. АрутюнянН.Х., Наумов В.Э., Радаев Ю.Н. Динамическое наращи- вание упругого слоя. Ч. 2. Случай падения приращиваемых частиц спостоянной скоростью // Изв. АН СССР. МТТ. 1992. №6. 99-112.

26. АрутюнянН.Х., МанэюировА.В. Контактные задачи теории ползу- чести. Ереван: Изд-во АН АрмССР, 1990; Изд-во НАН РА, 1999.318 с.

27. Бахвалов Н. С, Жидков Н.Н., Кобельков P.M. Численные методы. Изд. 4-е. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. 636 с.

28. ВейлъА.И., МанеуровА.Р., Нортнов P.P., Тринчер В.К. Модели для силового анализа намотки композитов // Мех. композитн. материа-лов. 1983. Я^2. 303-313.

29. ВолотинВ.В., Воронцов А.Н., Мурзаханов Р.Х. Анализ технологи- ческих напряжений в намоточных изделиях из композитов на протя-жении всего процесса изготовления // Мех. композитн. материалов.1980. №3. 500-508.

30. Вугаков И.И. Нолзучесть полимерных материалов. М.: Наука, 1973. 287 с.

31. РолъденблаштН.Н., Николаенко Н.А. Теория ползучести строитель- ных материалов и ее приложения. М.: Госстройиздат, 1960. 256 с.

32. Двайт Р.В. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, 1983. 172 с.

33. Демидов Н. Теория упругости: Учебник для вузов. М.: Высш. шк., 1979. 432 с.список ЛИТЕРАТУРЫ 231

34. Дмитриева A.M., Наумов В.Э., Радаев Ю.Н. Наращивание термо- упругого сферического слоя: применение вариационного подхода.Препринт / Ин-т проблем механики РАН. М., 1993. №528. 64 с.

35. Дятловицкий Л.И., Рабинович Л.Б. Упругая задача для тел с изме- няющейся в процессе загружения конфигурацией // Инж. ж-л. 1962.Т. 2. Вып. 2. 287-297.

36. Дятловицкий Л.И., Вайпберг А.И. Формирование напряжений в гра- витационных плотинах. Киев: Наукова Думка, 1975. 264 с.

37. ЗоричВ.А. Математический анализ: В 2 ч. Изд. 4-е, испр. М.: МЦНМО, 2002. Ч. I: XVI+ 657 с ; Ч. II: X IV+ 787 с.

38. Каган-Розенцвейг Л.М., Харлаб В.Д. Об учете старения бетона в за- дачах линейной теории ползучести // Исследования по механикестроительных конструкций и материалов: Межвуз. темат. сб. тр. Л.:ЛИСИ, 1985. 99-106.

39. Карапетян К. Влияние старения бетона на зависимость между на- пряжением и деформациями ползучести // Изв. АН. АрмССР. Серияфиз.-мат. наук. 1959. Т. 12. №4. 57-88.

40. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. Изд. 2-е, перераб. и доп. М.: Наука, 1969. 420 с.

41. Ковальский В. Теория многослойной навивки каната // Докл. АН СССР. 1950. Т. 74. №3. 429-432.

42. Ландау Л.Д., ЛифшицЕ.М. Теория поля. Изд. 7-е, испр. М.: Наука, 1988. 509 с.

43. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 939 с.

44. Манснсиров А.В. О кручении растущего цилиндра жестким штампом // НММ. 1990. Т. 54. Вып. 5. 842-850.список ЛИТЕРАТУРЫ 232

45. Манжироб А.В., Черныш В.Л. Задача об усилении заглубленной арочной конструкции методом наращивания // Изв. РАН. МТТ. 1992.№5.0.25-37.

46. Маноюиров А.В. Общая безынерционная начально-краевая задача для кусочно-непрерывно наращиваемого вязкоупругого стареющеготела // ПММ. 1995. Т. 59. Вып. 5. О. 836-848.

47. Маноюиров А.В., Михин М.Н. Плоская задача для растущего тела // Оовременные проблемы механики сплошной среды. Труды VI меж-дународной конференции. Ростов-на-Дону, 19-23 июня 2000 г. Т. 2.Ростов-на-Дону: Изд-во ОКНЦ ВШ, 2001. О. 106-109.

48. Мапэюиров А.В., Михин М.Н. О кручении наращиваемого эллипти- ческого бруса // Проблемы механики деформируемых тел. Ереван:Изд-во «Гитутюн» ПАН РА, 2003. О. 216-224.

49. Маноюиров А.В., Михин М.Н. Методы теории функций комплексного переменного в механике растущих тел // Вестник ОамГУ. Естествен-нонаучная серия. 2004. №4 (34). О. 82-98

50. Маноюиров А.В., НаршинД.А. Наращивание вязкоупругого шара в центрально-симметричном силовом поле // Изв. РАН. МТТ. 2006.№1.0.66-83.

51. МапоюировА.В., НаршинД.А. Моделирование процессов наращива- ния цилиндрических тел на вращающейся оправке с учетом действияцентробежных сил // Изв. РАН. МТТ. 2006. №6. О. 149-166.

52. Маслов Г.Н. Термическое напряженное состояние бетонных массивов при учете ползучести бетона // Изв. НИИ гидротехники. 1941. Т. 28.О. 175-188.

53. Метлов В.В., Никитин А.В. О наращивании вязкоупругого цилин- дра, подверженного старению // Изв. АН АрмООР. Механика. 1984.Т. 37, №5. 0. 52-60.

54. Метлов В.В. О наращивании тел при конечных деформациях // Докл. АН АрмООР. 1985. Т. 80. №2. О. 87-91.список ЛИТЕРАТУРЫ 233

55. Метлов В.В. О наращивании неоднородных вязкоупругих тел при конечных деформациях // ПММ. 1985. Т. 49. Вып. 4. 637-647.

56. Метлов В.В., Турусов Р.Л. О формировании нанряженного состоя- ния вязкоупругих тел, растущих в условиях фронтального отвержде-ния // Изв. АН СССР. МТТ. 1985. №6. 145-160.

57. Наумов В.Э., Радаев Ю.Н. Термомеханическая модель наращиваемо- го тела: вариационная формулировка. Препринт / Ин-т проблем ме-ханики РАН. М., 1993. №527. 39 с.

58. Николаев В.Н., ИнденбаумВ.М. К расчету остаточных напряжений в намоточных изделиях из стеклопластиков // Мех. полимеров. 1970.К5 6. 1026-1030.

59. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

60. Образцов И. Ф., Наймушин В.Н., Сидоров Н.Н. О постановках задачи непрерывного наращивания упругих тел // Докл. АН СССР. 1990.Т. 314, Я^4. 813-816.

61. Очап М.Ю. Исследование оптимального натяжения при намотке лен- ты на барабан // Машиноведение. 1972. JV^ 2. 21-27.

62. НаршинД.А. Наращивание гравитирующего шара // XXXI Гагарин- ские чтения. Тезисы докладов Международной молодежной научнойконференции. Москва, 5-9 апреля 2005 г. М.: «МАТИ» - РГТУ им.К.Э.Циолковского, 2005. Т. 1. 100-101.

63. Паршин Д. А. Наращивание массивных деформируемых тел // XXXII Гагаринские чтения. Научные труды Международной моло-дежной научной конференции в 8 томах. Москва, 4-8 анреля 2006 г.М.: «МАТИ» - РРТУ им. К.Э. Циолковского, 2006. Т. 1. 147-149.

64. ПобедряБ.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МРУ, 1984. 336 с.

65. Полянин А.Д., Мансисиров А.В. Справочник по интегральным урав- нениям. М.: Физматлит, 2003. 608 с.

66. Прокопович И.Е. Влияние длительных процессов на напряженное и деформированное состояние сооружений. М.: Росстройиздат, 1963.260 с.

67. Прокопович И.Е., Улицкий И.И. О теориях ползучести бетона // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1963. № 10. 13-34.

68. Прокопович И.Е., Зедгенидзе В.А. Прикладная теория ползучести. М.: Стройиздат, 1980. 240 с.

69. Работное Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела: Учебн. по- собие для вузов. Изд. 2-е, испр. М.: Наука, 1988. 712 с.

70. Рашба Э.И. Определепие напряжений в массивах от действия соб- ственного веса с учетом порядка их возведепия // Сб. тр. Ин-та стро-ит, механики АН УССР. 1953. №18. 23-27

71. СаусвеллР.В. Введение в теорию упругости для инженеров и физи- ков. М.: РИИЛ, 1948. 675 с.

72. Седов Л.И. Механика сплошной среды: В 2 т. Т. 1. Изд. 6-е, стер. СПб.: Лань, 2004. 528 с.

73. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. Изд. 9-е, стер. М.: КомКнига, 2006. 468 с.список ЛИТЕРАТУРЫ 235

74. ТарнополъскийЮ.М., Портнов Г.Г. Изменение усилия натяжения при намотке изделий из стеклопластиков // Мех. полимеров. 1966.№2. 278-284.

75. Тринчер В.К. Общая геометрически линейная постановка задачи определения деформированного состояния для тела с переменнойграницей // Проблемы современной механики. Ч. 2 / Под ред. акад.Л.И. Седова. М.: Изд-во МГУ, 1983. 149 с.

76. Тринчер В.К. О ностановке задачи определения напряженно-дефор- мированного состояния растущего тела // Изв. АН СССР. МТТ.1984. №2. 119-124.

77. Тринчер В.К. Расчет наращиваемых тел. М.; Изд-во МГУ. 1989. 154 с.

78. Харлаб В.Д. Линейная теория ползучести наращиваемого тела // Механика стержневых систем и сплошных сред: Тр. ЛИСИ. Л.:ЛИСИ, 1966. Вып. 49. 93-119.

79. Харлаб В.Д. Некоторые общие решения в линейной теории ползу- чести наращиваемого тела // Аналитические и численные решенияприкладных задач математической физики: Межвуз. темат. сб. тр.Л.: ЛИСИ, 1986. 18-26.

80. Шульман Г. Расчеты гидротехнических сооружений с учетом но- следовательности возведения. М.: Энергия, 1975. 168 с.

81. Яблонский Б.В. Напряжепное состояние многослойной конструкции при навивке ленты на цилиндр // Прикл. механика. 1971. Т. 7. Вып. 2.С. 130-133.

82. BazantZ.P. Mathematical models for creep and shrinkage of concrete // Creep and shrinkage in concrete structures / Ed. by Z.P. Bazant andF.H. Wittmann. London: John Wiley & Sons Ltd., 1982. P. 163-256.

83. Brown C.В., Goodman L.E. Cravitational stresses in accreted bodies // Proc. Roy. Soc. London, A. 1963. Vol. 276. No. 1367. P. 571-576.список ЛИТЕРАТУРЫ 236

84. Goodman L.E., Brown СВ. Dead load stresses and the instability of slopes // J. Soil Mech. and Foundat. Div., Proc. Amer. Soc. CivilEngrs. 1963. Vol. %<^. No. 3. P. 103-134.

85. Manzhirov A. V., Par shin D.A. Accretion of solids under mass forces // Indo-Russian workshop on Problems in Nonlinear Mechanics of Solidswith Large Deformation. Proceedings. IIT Delhi, November 22-24,2006. New Delhi: IIT Delhi, 2006. P. 71-79.

86. Naumov V.E., Radayev Yu.N., Schneiderman D.N. The variational for- mulations of thermomechanics of accreting solids. Preprint / Inst.Problems in Mech. Russ. Acad. Sci. Moscow, 1995. No. 558. 67 p.

87. Ross A.D. Creep of concrete under variable stress // J. Amer. Concr. Inst. 1958. Vol. 29. No. 9. P. 739-758.

88. StruikL.C.E. Physical aging in amorphous polymers and other mate- rials. Amsterdam: Elsevier, 1978. 229 p.

89. TakakuA.f KobayashiT., TeruiS., OkuiN., Shimizu J. Changes of ten- sile modulus and contractive stress of acrylic fibres during thermal sta-bilisation for carbon fibre production // Fibre Sci. and Technol. 1981.V. 15. No. 2. P. 87-98.