Контактные задачи теории вязкоупругости наращиваемых тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

^ .ф

/,РО с'д ИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ^^^ Институт проблем механики

На правах рукописи

Манжиров Александр Владимирович

Контактные задачи теории вязкоупругости наращиваемых тел

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москиа - 1993

Работа выполнена в Институте проблем механики Российско академии наук.

Официальные оппоненты: академик

И.И.Ворович

доктор физико-математических наук

профессор

А.С.Кравчук

доктор физико-математических наук.

профессор

Г.Я.Попов.

Ведущая организация: Московский государственный университет

им. М.В.Ломоносова.

Защита состоится 7 октября 1993 г. в 15 часов на заседани! специализированного совета Д 002.87.01 при Институте пробле» механики РАН по адресу: 117526, Москва, просп. Вернадского, 101.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Институт; проблем механики РАН.

Автореферат разослан 1 июлй 1993 г.

Ученый секретарь

специализированного совета, , .

канд. физ.-мат. наук А.И.Меняйло!

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. ¡Настоящая работа посвящена исследованию закономерностей эволюции напряженно-деформированного состояния вязкоупругих наращиваемых тел в процессах контактного взаимодействия, изучению различных аспектов проблемы наращивания, выявлению новых присущих только наращиваемым телам механических эффектов.

Ее проблематика затрагивает три большие области механики деформируемого твердого тела. Первые две области, контактная механика и теория вязкоупругости, давно стали классическими, а третья, механика растущих или наращиваемых тел, еще только складывается.

Механика наращиваемых тел занимается изучением процессов деформирования тел, состав, объем или масса которых увеличивается за счет присоединения к их поверхности новых элементов. Такое присоединение, называемое наращиванием или ростом, в зависимости от конкретных условий может происходить дискретно или непрерывно (кусочно-непрерывно). В первом случае, т.е. при дискретном наращивании, к телу последовательно присоединяются элементы конечных размеров. Во втором случае (при непрерывном (кусочно-непрерывном) наращивании) к определенному участку поверхности тела, называемому поверхностью наращивания или роста, непрерывно (кусочно-непрерывно) притекает материал, т.е. за каждый бесконечно малый промежуток времени к указанному участку поверхности присоединяется элемент инфинитезимальных размеров.

Возникая в многочисленных приложениях, задачи механики растущих тел и разнообразных ее направлений все более привлекают исследователей. Успехи сегодняшнего дня и, в особенности, перспективы завтрашнего, связанные с эффективным моделированием широкого круга технологических и природных процессов типа последовательного монтажа и постепенного возведения знаний и инженерных сооружений, намотки и послойного изготовления композиционных материалов, отверждения металлических расплавов и полимерных растворов, процессов напыления, осаждения, замерзания и многих других, делают развитие этой новой области знания несомненно актуальной как с точки зрения фундаментальных вопросов теории, так и с точки зрения конкретных задач инженерной практики.

Цель работы. Научные задачи, положенные в основу диссертации, продиктованы потребностями теории и практики в более полном и точном описании физико-механических процессов, протекающих при взаимодействии наращиваемых тел, изготавливаемых из вязкоупругих стареющих материалов (большинство неметаллических конструкционных материалов, в том числе бетон, композиты, полимеры, древесина и др., обладают ярко выраженными свойствами ползучести и старения).

Современное состояние проблемы в ряду первоочередных вопросов ставит вопросы теории и методологии исследования таких процессов, требует разработки эффективного математического аппарата. Можно ожидать, что развитые теоретические изыскания найдут применение и в различных отраслях хозяйства.

Методика исследования. В настоящей диссертационной работе предпринят комплексный подход к изучению явлений механики деформируемого твердого

тела, характерных для таких ее областей, как контактная механика, теория вязкоупругости и механика растущих тел. В нее включены результаты, которые могут представлять интерес для каждой из областей.

Задачи контактной механики здесь используются во многом как эффективный инструмент исследования общих вопросов теории вязкоупругости и механики растущих тел, а теория вязкоупругости и механика растущих тел помогают более глубоко изучить проблемы контакта. '

В самом деле, в первой и во второй главах вывод уравнений контактных задач базируется на решении некоторых вспомогательных задач теории вязкоупругости..

Явления дискретного наращивания и контактного взаимодействия тел (третья и четвертая главы) просто неотделимы друг от друга, а свойство ползучести их материалов существенно обогащает и во многом определяет появление новых интересных эффектов.

Пятая глава может рассматриваться и как самостоятельное исследование по механике кусочно-непрерывно растущих вязкоупругих тел. Однако, именно ее результаты позволяют перейти к решению контактных задач в шестой главе, которые в свою очередь помогают понять общие закономерности формирования полей напряжений и перемещений в вязкоупругих растущих телах.

Наконец, предложенные математические методы направлены на общее развитие аппарата во всех затронутых областях. Так, универсальное математическое представление контактной задачи и метод ее решения из третьей главы предназначены для использования в контактной механике, а метод исследования общей начально-краевой задачи наращивания из пятой главы может быть применен при изучении многих различных классов задач механики растущих вязкоупругих тел.

Фундаментом для 'Настоящей работы послужили основные соотношения механики растущих и теории вязкоупругости неоднородных стареющих тел, а базовыми математическими методами стали методы теории интегральных преобразований и уравнений, парных сумматорных уравнений, тензорной алгебры и анализа, рядов Фурье, теории обобщенных функций и функционального анализа.

Научная новизна. В работе исследовано контактное взаимодействие неоднородных вследствие наращивания и конструкционно неоднородных вязкоупругих стареющих тел с жесткими одиночными элементами (штампами, кольцами, втулками), даны постановки и получены уравнения различных классов таких задач, построены решения, проведены расчеты, выявлены новые обусловленные наращиванием эффекты.

Изучены задачи дискретного наращивания вязкоупругих тел системами жестких элементов, даны постановки и системы двумерных интегральных уравнений сложных многопараметрических плоских и осесимметричных задач, построены решения всех возможных вариантов их постановок, изучены основные тенденции в поведении характеристик контактного взаимодействия, показана принципиальная необходимость учета факторов наращивания, ползучести, неоднородности и старения при исследовании эволюции напряженно-деформированного состояния тел.

Сформулирована общая математическая задача для операторного уравне-

ния теории контактных взаимодействий, позволяющая единым универсальным образом представить все многообразие вариантов постановок контактных задач, предложен новый проекционно-спектральный метод ее решения, ставший основой математических исследований по проблеме дискретного наращивания.

Дана постановка смешанной безынерционной задачи для кусочно-непрерывно наращиваемого вязкоупругого тела, предложен метод ее исследования, приводящий задачу кусочно-непрерывного наращивания вязкоупругого тела к последовательности задач, совпадающих по форме с краевой задачей теории упругости при наличии параметра, сформулированы некоторые общие закономерности формирования полей напряжений и перемещений в непрерывно растущих телах.

Исследовано явление кусочно-непрерывного наращивания вязкоупругих стареющих тел в процессе их контактного взаимодействия с жесткими элементами и основаниями, выявлены основные тенденции в поведении характеристик контактного взаимодействия и закономерности, присущие только растущим телам.

Практическая значимость работы заключается в обнаруженных новых присущих только наращиваемым телам механических эффектах, в разработанных методах расчета напряженно-деформированного состояния дискретно и непрерывно наращиваемых тел в процессах их контактного взаимодействия.

Ее результаты могут быть использованы при моделировании разнообразных технических и технологических процессов, сопровождающихся дискретным либо непрерывным ростом изготавливаемых зданий, сооружений, элементов конструкций и деталей машин.

Представленные в диссертации исследования выполнены в рамках плановой тематики ИПМ РАН по проблемам "Механика растущих неоднородных вязко-упругих тел, подверженных старению" Гос.рег. N-01.86.0021983 и "Механика деформирования и разрушения твердых тел с неоднородностями и микродефектами с учетом физических воздействий" Гос.рег. , №■ 01.91.0007314.

Достоверность полученных результатов обеспечивается применением строгого математического аппарата, исследованием существования и единственности решений основных уравнений и начально-краевых задач, изучением сходимости представляющих решения рядов, использованием приближенных методов с известной погрешностью отклонения от точных. Она основана также на сравнениях в частных случаях с известными или заранее прогнозируемыми результатами и на ряде эффективных механизмов контроля результатов машинного счета.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы были представлены на II Всесоюзной научной конференции" "Смешанные задачи механики деформируемого тела" (Днепропетровск, ¡981), Всесоюзном симпозиуме "Ползучесть в конструкциях" (Днепропетровск, 1982), VIII Всесоюзной конференции по прочности и пластичности (Пермь, 1983), II Всесоюзной конференции "Ползучесть в конструкциях" (Новосибирск, 1984),- -I Всесоюзном симпозиуме по математическим методам механики деформируемого твердого тела (Москва, 1984), III Всесоюзный конференции "Смешанные задачи механики деформируемого тела" (Харьков, 1985), Международной конференции "Современные математические проблемы механики и их приложения" (Москва,

1987), IV Всесоюзной конференции "Смешанные задачи механики деформируемого тела" (Одесса, 1989), выездной сессии Межведомственного научного совета по трибологии при, АН СССР (Ростов-на-Дону, 1990), VII Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Москва, 1991), симпозиуме "Современные проблемы механики контактных взаимодействий" (Ереван, 1992), на семинаре кафедры теории пластичности Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова, семинарах по механике сплошной среды им. Л.А.Галина и по математическому моделированию в механике деформируемого твердого тела Института проблем механики Российской академии наук.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, основных научных результатов и выводов и списка литературы. Полный объем диссертации составляет 377 страниц. Из них 94 страницы занимают рисунки и 22 - список литературы, который содержит 323 источника.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении формулируется цель исследования, обосновывается его актуальность. Обсуждаются структура работы и содержание основных ее частей. Дается краткий обзор литературы. Приводятся вводные сведения по определяющим соотношениям и некоторым другим вопросам теории вязкоупругости.

Диссертационную работу "Контактные задачи теории вязкоупругости наращиваемых тел" можно условно разделить на три части.

Первая часть, включающая первую и вторую главы, посвящена плоским и осесимметричным контактным задачам для неоднородных вследствие наращивания и конструкционно неоднородных вязкоупругих стареющих тел. В ней рассмотрены задачи для взаимодействующих с одиночными штампами, втулками и кольцами стареющих слоистых оснований и цилиндрических тел. Главным изучаемым в этой части работы аспектом проблемы наращивания вязкоупругих стареющих тел является их неоднородность.

Вторая часть, состоящая из третьей и четвертой глав, содержит плоские и осесимметричные контактные'задачи для неоднородных стареющих вязкоупругих слоистых оснований и цилиндрических тел, взаимодействующих с эволюционными системами жестких элементов. В этой части диссертации изучается процесс дискретного наращивания деформируемых тел, рассматриваются его особенности и влияние на характеристики контактного взаимодействия.

Материал третьей и четвертой глав может служить примером неразрывной связи механики дискретного наращивания и контактной механики и расцениваться как одно из приближений в общей проблеме, где приращиваемые элементы могут быть и не жесткими.

Третья часть работы (пятая и шестая главы) посвящена исследованию общей безынерционной начально-краевой задачи для кусочно-непрерывно наращиваемого вязкоупругого стареющего тела и решению контактных задач для растущих тел. В этой части предлагается метод исследования общей задачи и на его основе выводятся разрешающие уравнения ряда рассматриваемых задач контактного взаимодействия. Строятся решения всех полученных

уравнений. Проводятся детальные расчеты. Формулируются выводы качественного характера. Представленные здесь задачи являются, по-видимому, не только первыми контактными, но и первыми существенно двумерными задачами механики непрерывно растущих тел.

Заметим, что в работе всюду исследуются явления гладкого контакта при малых деформациях и отсутствии инерционных эффектов.

Остановимся более подробно на содержании глав.

В главе I рассматриваются плоские контактные задачи для неоднородных вязкоупругих слоистых стареющих оснований при их взаимодействии с одиночными штампами. Первый причиной неоднородности таких оснований (ей уделяется основное внимание) является постепенное наращивание их верхнего слоя, вызывающее неравномерность распределения возраста элементов (неоднородное старение или возрастная неоднородность). Второй причиной является возможность использования при возведении оснований различных конструкционных материалов (конструкционная неоднородность).

Подобного рода задачи встречаются при расчетах фундаментов и грунтовых оснований, аэродромных и дорожных покрытий, при исследовании биологических объектов слоистой структуры.

Раздел 1.1 посвящен постановке и выводу интегральных уравнений контактных задач для различных типов слоистых вязкоупругих оснований. Основания представляют из себя пакеты из двух и'более слоев, изготовленных из разных вязкоупругих стареющих материалов. Предполагается, что их нижний однородный стареющий слой находится в состоянии гладкого или идеального контакта с подстилающим жестким основанием, а верхний неоднородный по вертикальной координате стареющий слой или набор слоев лежит без трения на нижнем. Считается также, что верхний слой или набор слоев относительно тонкие, т.е. их толщина гораздо меньше характерного размера области контакта. Далее, при упоминании об относительно тонких слоях или пакетах слоев, подразумевается выполнение отмеченных выше геометрических условий без дополнительных комментариев.

Дается постановка задач и выводятся разрешающие двумерные интегральные уравнения для ряда вязкоупругих слоистых оснований с учетом их постепенного наращивания.

Уравнения для разных типов оснований и дополнительные условия равновесия штампа заменами переменных приводятся к основному интегральному уравнению плоских контактных задач:

+ + (1*1 < 0. С1)

«

I Х(*,0-х(х,0. цт = 1 Г(т)Щ1,т)<1т (¿=1,2),

1

I

-1

при условиях

М(1)-Р(1)е(1)- I д(х,1)х<1х, (3)

-I

где д(х,<) - контактные напряжения под штампом; ¿(г), а(4) и д(х) - его осадка, угол поворота и форма основания; Р(1), М(1) и е(1) - действующие на штамп сила, момент и эксцентриситет приложения силы соответственно.

В разделе 1.2 обсуждаются возможные варианты постановки задачи (1)-(3). Установлено, что в зависимости от задания тех или иных квазистатических или кинематических условий на штампе можно получить четыре ее варианта:

- заданы осадка, и угол поворота, найти контактные напряжения, силу и момент, действующие на штамп;

- известны сила и момент, найти контактные напряжения, осадку и угол поворота штампа;

- заданы сила и угол поворота, найти контактные напряжения, осадку и момент;

- известны осадка и момент, определить контактные напряжения, силу и угол поворота.

Решение (1)-(3) в классе функций, непрерывных по времени в Ь^-1,1] с учетом того, что А" - вполне непрерывный самосопряженный и положительно определенный оператор из £2[-1,1] в 1,1], ядра К;(Ь,т) интегральных операторов Вольтерра Ъ" непрерывны либо слабо сингулярны и с{1) > О - непрерывная по г функция, строится по своему для каждого варианта постановки алгоритму.

1 На основании свойств ядра к(х, () задача (1)-(3) разделяется на две независимые, т.е. рассмотриваются четный и нечетный ее случаи отдельно друг от друга. При этом в четном случае полагаются неизвестными контактные давления и либо сила, либо осадка, а в нечетном - контактные давления и либо момент, либо угол поворота штампа. Четыре рассмотренных выше варианта постановки получаются их суперпозицией.

В четном случае задачи при заданной осадке и в нечетном при заданном угле поворота штампа решения представляются в форме рядов по четным и нечетным собственным функциям оператора А' соответственно. Классическая процедура метода разделения переменных Фурье дает для этих вариантов эффективный алгоритм построения решений, при котором для определения зависящих от времени коэффициентов при собственных функциях необходимо решать последовательность независимых уравнений Вольтерра.

Применение этого и других классических методов (например, метода ортогональных многочленов) в четном случае при заданной силе и в нечетном при заданном моменте приводит, однако, к необходимости исследования бесконечных систем интегральных уравнений Вольтерра, что вносит теоретические трудности и существенные вычислительные проблемы при решении конкретных задач.

В работе предлагается методика построения решения задач для последних двух вариантов, основанная на использовании неклассических спектральных соотношений. Она позволяет получать вместо бесконечных систем последовательности независимых интегральных уравнений Вольтерра для коэффициентов разложения контактных давлений в ряды по специальным базисам

¿2[-1,1], а также выражения для осадки и угла поворота штампа.

Подробнее о природе неклассических спектральных задач и о последовательностях используемых базисных функций будет сказано ниже, в комментарии к более общим результатам из третьей главы.

Раздел 1.3 посвящен расчетам контактных задач для неоднородно стареющих вследствие наращивания бетонных двухслойных оснований.

Отмечается, что неоднородное старение исследуемых оснований полностью обусловлено моментом изготовления нижнего слоя т£ и функцией тЦу), описывающей моменты изготовления элементов верхнего слоя в зависимости от вертикальной координаты у. Из множества возможных распределений возраста по толщине слоя выделены два наиболее часто встречающихся случая. Случаем естественно неоднородного старения назван вариант, когда возраст элементов слоя уменьшается по высоте, что соответствует процессу его последовательного возведения. Случаем искусственно неоднородного старения назван случай, когда возраст элементов слоя растет по высоте, что может произойти под влиянием внешних воздействий или при специальном монтаже основания после его наращивания.

Показано, что основной характеристикой неоднородности оснований вследствие наращивания в задачах контактного взаимодействия является зависящий от г'(у) параметр неоднородного старения ц. Установлено, что для всех возможных случаев распределения возраста элементов оснований 0 < ц < А, где А > 1 - определяемая постоянная, причем в случае естественно неоднородного старения 1 < р < А, а в случае искусственно неоднородного старения О < /1 < 1. Полученные оценки позволяют проводить параметрический анализ изучаемых задач и на его основании делать качественные выводы о тенденциях в эволюции напряженно-деформированного состояния оснований только по информации о качественном распределении возраста их элементов.

В разделе исследуются также вопросы соответствия между решениями задач теории упругости и теории вязкоупругости, проводятся расчеты ряда контактных задач для бетонных оснований с учетом процесса их возведения.

Основные выводы из проведенных в первой главе исследований можно сформулировать следующим образом:

- напряженное состояние под штампом в случае естественно неоднородного старения основания вследствие его постепенного наращивания с течением времени становится более равномерным по сравнению со случаем его однородного старения, т.е. с точки зрения концентрации напряжений оно улучшается со временем; осадка и угол поворота штампа в этом случае всегда больше его осадки и угла поворота для однородного варианта;

- сравнивая однородное и искусственно неоднородное старение основания, следует отметить, что второе обусловливает более неравномерные (неблагоприятные с точки зрения концентрации) распределения контактных напряжений и меньшие значения кинематических характеристик штампа.

В главе 2 исследуются осесимметричные контактные задачи теории ползучести неоднородных стареющих тел и связанные с ними интегральные уравнения. Решаются конкретные задачи, обсуждаются качественные и количественные эффекты. Основное внимание уделяется влиянию неоднородного старения (неравномерности распределения возраста элементов тел за счет

их непрерывного или дискретного наращивания) на контактные характеристики. Из возможных приложений проводимых исследований отмечаются расчеты оснований, сосудов высокого давления, подземных сооружений, глубоководных аппаратов, горных выработок и др.

Раздел 2.1 посвящен постановке и выводу интегральных у; .<ш контактных задач о взаимодействии неоднородных стареющих вязкстругих оснований, рассмотреных в первой главе, с круговыми и кольцевыми в алане штампами.

Интегральные урл:<<.к! .... контактных задач для всех изучаемых типов оснований с учетом того, чп. верхний слой или пакет слоев относительно тонкие, приведены к одному основному интегральному уравнению:

c(i)(I - LT)fl(r, 0 + (I - Ь;)Г*(г, t) - S(t) - g(r) (0 < г < 1), (4),

1

Jv(p)Hr,p)pdp,

О

которое дополняется следующим условием равновесия штампа:

I

P(t)=Jq(r,t)rdr, (5)

~ О

где q(r,t) - контактные давления, S(t) - осадка штампа, д(т)~ форма его основания, P(t). - вдавливающая сила.

Здесь также обсуждаются некоторые частные типы оснований и принцип соответствия, позволяющий по решению упругомгновенной задачи восстанавливать решение задачи для однородно стареющего вязкоупругого тела.

В разделе 2.2 сформулированы два возможных варианта постановки осе-симметричных контактных задач для круговых и кольцевых в плане штампов:

- задана осадка штампа, найти контактные напряжения и вдавливающую силу;

- известна сила, определить контактные напряжения и осадку штампа.

Решение задачи (4)-(5) строится по своей для каждого варианта постановки

методике в классе функций, непрерывных по времени в Ь2(Щ, где Ьг(й) -пространство функций, интегрируемых с квадратом в области £1 (П - круг единичного радиуса) и зависящих только от радиальной координаты.

Для первого варианта с учетом того, что F* - вполне непрерывный, самосопряженный и положительно определенный оператор из Ьг{П) в ¿2(0), решение ищется в виде ряда по собственным функциям оператора F*.

Для второго варианта конструирование эффективного алгоритма решения основано на исследовании неклассических спектральных соотношений для некоторого отличного от F" оператора и построении специального базиса, позволяющих избежать решения бесконечных систем интегральных уравнений. Подобного рода вопросы, как было уже отмечено выше, будут затронуты в комментарии к более общим результатам из главы 3.

В разделе 2.3 рассмотрены контактные задачи о вдавливании круговых в плане штампов в неоднородные вследствие наращивания стареющие бетонные

основания. Проведен анализ результатов и сделаны выводы, которые согласуются с выводами о тенденциях в поведении характеристик контактного взаимодействия плоских задач.

Раздел 2.4 содержит постановку и вывод интегральных уравнений контактных задач для неоднородного вязкоупругого стареющего цилиндра, усиленного одиночной втулкой. Рассматривается двухслойный полый цилиндр, внешний слой которого относительно тонкий. Слои цилиндра изготовлены из разных стареющих материалов в разные моменты времени, трение между слоями отсутствует. В некоторый момент времени на такой цилиндр насаживается без трения с некоторым натягом жесткая втулка. Его внутренняя поверхность подвергается действию равномерного давления (задача о трубе высокого давления), либо в нем устанавливается жесткая гладкая или фиксирующая вставка.

Все поставленные задачи для цилиндрических тел приведены к интегральному уравнению, совпадающему по форме с основным уравнением плоских контактных задач (1). Отмечено, что в задачах данного класса возможен только один вариант постановки, когда в уравнении типа (1) задана правая часть. Сформулирован принцип соответствия.

Проведены расчеты двухслойных бетонных труб высокого давления и стальных труб, покрытых слоем бетона. Выявлены основные эффекты, связанные с факторами ползучести, старения, возрастной и конструкционной неоднород-ностей.

Раздел 2.5 отличается от раздела 2.4 тем, что в нем изучаются контактные задачи для двухслойного цилиндра с относительно тонким внутренним слоем. На цилиндр действует внешнее давление либо он помещен в жесткую гладкую или фиксирующую обойму. Исследуется контакт такого слоистого цилиндрического тела со вставленным в него гладким жестким подкрепляющим кольцом.

Получены разрешающие интегральные уравнения всех задач, сходные с уравнениями из предыдущего раздела. Построены их решения. Сформулирован принцип соответствия. Проведены расчеты для ряда бетонных и сталебетонных цилиндров, находящихся под действием внешнего давления.

В процессе формирования полей напряжений цилиндрических тел при контактном взаимодействии обнаружены следующие основные тенденции:

- тенденция к сглаживанию или к усилению неравномерности распределения контактных напряжений в зависимости от возрастных характеристик слоев цилиндров;

- тенденция к уменьшению напряжений за счет- .релаксации (которая особенно ярко проявляется в случае конструкционно неоднородных тел).

В первой и во второй главах изучены и сформулированы основные закономерности эволюции контактных характеристик для неоднородных (вследствие дискретного или непрерывного наращивания) тел. Следующие главы (третья и четвертая) посвящены более сложным проблемам. В них исследуются задачи последовательного присоединения систем жестких элементов к неоднородным стареющим телам, в которых учитываются особенности как процессов их изготовления, так и процессов последующего усиления путем добавления новых жестких элементов.

В главе 3 и главе 4 рассматриваются плоские и осесимметричные задачи о взаимодействии неоднородных стареющих вязкоупругих тел с произвольными конечными системами жестких элементов (штампов, втулок, колец). Исследуемые классы задач отличают два основных момента. Во-первых, это неодновременность установки или снятия жестких элементов (комплексов элементов), диктуемая особенностями монтажа инженерных конструкций. Во-вторых, свойства возрастной и конструкционной неоднородностей самих деформируемых тел, обусловленные процессами изготовления и возведения реальных объектов.

В главе 3 дается постановка плоских контактных задач. Приводятся системы их разрешающих двумерных интегральных уравнений. Формулируется общая математическая задача для операторного уравнения в абстрактном гильбертовом пространстве. Предлагается проекционно-спектральный метод ее решения. Проводится численный анализ ряда конкретных процессов, причем исследуются закономерности как индивидуального, так и совместного влияния основных факторов на характеристики контактного взаимодействия.

Изучаемые здесь классы задач возникают при последовательном монтаже комплексов с<юружений на фундаментах и основаниях, при определении допустимых кренов объектов, возводимых в непосредственной близости друг от друга, при постепенном усилении инженерных и строительных конструкций.

В разделе 3.1 даются постановки и системы двумерных интегральных уравнений плоских контактных задач для неоднородных вязкоупругих стареющих оснований, взаимодействующих с эволюционными системами жестких штампов. Исследование процесса последовательного присоединения либо снятия конечного числа штампов приводит к необходимости пошагового решения систем двумерных интегральных уравнений на интервалах времени, когда количество штампов неизменно. Системы уравнений каждого последующего шага содержат информацию о напряженно-деформированном состоянии тел на предыдущем шаге. Таким образом, учитывается вся история деформирования оснований.

Разрешающие системы уравнений на каждом интервале времени, когда количество штампов фиксировано, приводятся заменами переменных к единой основной системе двумерных интегральных уравнений плоских контактных задач, которая вместе с двумя последовательностями дополнительных условий может быть записана в форме (см.(1))

с(0(Г - Ц )«'(*, I) + (Г - Ц) £ А-,.?>"(*, О = т + «•'(<) * - ¡Г(х, ()

¿-1

(1*1 <1, «€[гмп+,1, ¿-1,...,АГ, 1С.-1£,(тГ11), т-1,2), 1

-1

1

' У = т(({), т,'(£)=р<(е)е{(0, (8)

(6) (7)

(

ь;(п,<МО- J w(r)Kk(t,r)dr,

Ti

1

-i

где q'(x,t) - контактные напряжения под t-тым штампом; é'(t) и a'(t) - его осадка и угол поворота; g'{x,t) - функция, учитывающая форму подошвы штампа и искажение поверхности вязкоупругого основания под ним за счет ползучести материалов; р'(0> е.(0 и m'(i) - сила, вдавливающая t-ый штамп, эксцентриситет ее приложения и возникающий при этом момент; N - число штампов на интервале времени [rr,rr+i]; I* - тождественный оператор.

Основная система уравнений (6) с последовательностями условий (7) и (8) представляется в свою очередь в форме одного операторного уравнения плоских контактных задач с двумя векторными условиями:

с(0(Г - Ч)ч(*. О + (Г - 4)A-q(x, t) = а(<) + b(t)x - g(x, t)

(M<1, t e [r„r,+i]), (9)

i

j 4{x,t)dx = V{t), (10)

-i

J 4(x,t)xdx-m{t), (11)

-i

4(x,t)"qi(x,t)ï\ Ь(4) = а'(0И,

ё(х,1)=д\х,1)\\ p(t) = p,'(i)ii, m(t) = m{(t)i\

где A* - вполне непрерывный, самосопряженный и положительно определенный оператор из £2([-1,1],V) в I2([-l, 1],V), Lîfl-l.l],V) - гильбертово пространство вектор-функций, компоненты которых принадлежат пространству ¿2[-1,1].

Решение задачи (9)-(11) ищется в классе функций, непрерывных по t в Ьг{[— 1,1], V), при этом показано, что существует пятнадцать возможных вариантов ее постановки.

Действительно, на одном штампе могут быть заданы четыре типа условий: сила и момент, сила и угол поворота, осадка и момент, осадка и угол поворота. При этом необходимо отыскивать соответственно осадку и угол поворота, осадку и момент, силу и угол поворота, силу и момент. На разных штампах могут быть поставлены разные условия, поэтому для удобства классификации вводится следующее определение.

Группой штампов называется любое конечное число штампов, на которых задаются условия одного и того же типа. В произвольной системе штампов таких групп, очевидно, может быть or одной до четырех.

Поскольку на группе штампов можно задать четыре типа различных условий, то для системы, состоящей из одной группы, имеем четыре варианта постановки. Если система состоит из двух групп, т.е. на каждой группе

выставляются различные условия из четырех возможных, то имеем шест вариантов. Для системы, состоящей из трех групп, получим еще четыр варианта постановки, а состоящей из четырех групп - один.

Установлено, что все варианты постановки обладают свойством, которо позволяет вместо исследования каждого из них перейти к изучению одно задачи для операторного уравнения в абстрактном гильбертовом пространств и затем уже вернуться к конкретным случаям.

В разделе 3.2 исследуется неклассическая задача для операторного уравне ния в абстрактном гильбертовом пространстве. Строится ее решение. Излг гаемый здесь метод является по существу базовым методом математически исследований третьей и четвертой глав.

Рассматривается уравнение

е(0(/-£,)«, + {1 - Ьг)АХ1-и, (12

где х, и /, - непрерывные функции £ со значениями из гильбертова простран ства Я, с(г) > 0 - непрерывна по 1, / - тождественный оператор, А - вполн непрерывный, самосопряженный и положительно определенный оператор и Я в Я, Ъ\ и 7/2 — операторы Вольтерра (по £) такие, что построенные п ним операторы (/-II), (I — Ьг), (/ — + «^(О^г)) и обратные им н

выводят функции из класса непрерывных (ш|(4) и шг{Ь) - непрерывны по £)

Вводятся ортогональные подпространства Я, (¿=1,2) гильбертова простран ства Я такие, что Н Щф Нг и справедливы разложения

/.-/,' +Л2. «.-*{+«?, (13

где /,' ~ Р</(, I- непрерывные по г функции со значениями из Я,-, / - оператор ортогонального проектирования Я на Я,-.

Задача ставится в следующей формулировке:

Пусть х, и /, удовлетворяют уравнению (12). Требуется по заданные х\ и /(2 определить неизвестные х\ и /,'.

Показано, что решение поставленной задачи дается двумя соотношениями Первое представляет из себя операторное уравнение с известной право1 частью относительно х*:

е(£)(/ - £|)*? + (/ - Ьг)Р1Ах\ - /* - (/ - Ьг)РгАх\. (14

где оператор РгА - вполне непрерывный, самосопряженный и положительн« определенный из Нг в Нг.

Решение уравнения (14) ищется в форме ряда по собственным функция?, у?,- оператора РгА, отвечающим его собственным числам а,-. Соответствующе! спектральная задача имеет при этом вид

РгАп - (15

Второе соотношение представляет из себя формулу для определения /,' пс заданной функции х\ и найденной х} (см. также (13)):

/,' - с({)(/ - и)х\ + (/ - 12)Р, А(х' + х\), (16;

Доказаны существование и единственность решения задачи. Обсуждаются вопросы сходимости представляющих его рядов.

Отмечается, что при применении традиционных процедур разложения решений (12) в ряды по произвольному базису Н или по собственным функциям оператора А, когда Р7 УI, возникает проблема изучения бесконечной системы операторных уравнений Вольтерра. Это ставит серьезные теоретические проблемы и создает существенные вычислительные трудности при решении прикладных задач, например, для больших систем двумерных интегральных уравнений. Проекционно-спектральный метод дает кроме теоретической ясности и эффективный численный алгоритм, в котором требуется решать последовательность независимых уравнений Вольтерра. При Рг -1 изложенный метод переходит в классический метод разделения переменных Фурье, где решение представляется в виде ряда по собственным функциям оператора А.

Показано, что плоские контактные задачи для эволюционных систем штампов в любом варианте постановки приводятся к сформулированной выше задаче для уравнения (12), причем ортопроектор Рг однозначно определяется именно вариантом постановки, порождая для каждого из них свою спектральную задачу (см. (15)).

Замечено, что теоремы о представлении ядер, неклассические спектральные соотношения и специальные базисы, построенные для решения контактных задач в первой и второй главах, можно получить как следствие применения общего метода при исследовании конкретных двумерных интегральных уравнений.

В разделе 3.3 исследуются решения плоской контактной задачи для неоднородных стареющих вязкоупругих оснований, взаимодействующих с системами штампов. Рассматриваются все возможные варианты математической постановки. Приводятся соответствующие разрешающие ортопроекторы. В ряде случаев даются полные решения, содержащие выражения для контактных напряжений, осадок и углов поворотов штампов, усилий и моментов, действующих на них. Формулируется принцип соответствия. Представлены модельный и численный примеры, демонстрирующие эффективность предложенного метода, а также необходимость учета факторов неоднородного старения и дискретного наращивания при определении характеристик контактного взаимодействия.

Установлено, что распределение возраста элементов оснований существенно влияет на эволюцию напряженного состояния под штампами, проявляя тенденции к сглаживанию или к усилению его неравномерности в случаях естественно или искусственно неоднородного старения соответственно. Неодновременное присоединение штампов обнаруживает тенденцию к увеличению по времени неравномерности контактных давлений. Общая же картина формируется в результате взаимодействия указанных тенденций и, как правило, качественно отличается от картины, характерной для классических случаев.

Глава 4 посвящена исследованию осесимметричных контактных задач для вязкоупругих стареющих оснований и цилиндрических тел, взаимодействующих с эволюционными системами жестких элементов. В ней даются постановки задач, строятся их решения. Обсуждаются качественные и количественные

эффекты, а также общие тенденции в поведении характеристик контактного взаимодействия, зависящие от тех или иных основных факторов процессов наращивания.

Из возможных приложений отмечаются расчеты труб высокого давления, подземных сооружений, горных выработок и элементов глубоководных аппаратов с учетом особенностей изготовления их элементов, сборки и усиления.

В разделе 4.1 рассматриваются постановки осесимметричных контактных задач для неоднородных стареющих вязкоупругих оснований, взаимодействующих с системами неодновременно присоединяемых или снимаемых жестких кольцевых в плане штампов. Выводятся системы разрешающих двумерных интегральных уравнений. Исследуется основное операторное уравнение осесимметричных задач. Обсуждаются возможные варианты постановки. Формулируется принцип соответствия.

Разрешающие системы уравнений всех поставленных здесь задач заменами переменных приводятся к основной системе двумерных интегральных уравнений осесимметричных контактных задач с последовательностью дополнительных условий (см. (4), (5) и (6)-(8)):

с({)(Г - Ь^)д*(г, I) + (Г - Ц) £ ВУ(г, I) = «••(«') - д\т,1)

¿-I

(0<г<1, *е[гг,тг+1], 1-1, (17)

I

¡¿МрЛр-АЬ (18)

о

1

в :мг)~ I к<Чг,рМр)р<1р,

о

где 7*(г, <) - контактные напряжения под ¿-тым штампом; £'(£) - его осадка; р'(г, 0 - функция, учитывающая форму подошвы штампа и искажение поверхности деформируемого основания за счет ползучести материалов; р'(£) - вдавливающая сила; N - неизменное иа интервале времени [тг,г,+1] число штампов.

Аналогично тому, как это было проделано в главе 3, основная система осесимметричных задач (17) и условия (18) преобразовываются к одному уравнению и одному условию в функциональном векторном пространстве:

с(0(Г - Ц)Ч(г, 0 + (Г - Ч)В-Ч(г, I) = а(0 - 8(г, о

(0<г<1, г е К,тг+|]), (19)

1

¡ц{р,1)рЛр^ р(1), (20)

-1

где В* - вполне непрерывный, самосопряженный и положительно определенный оператор из Ьг{й,У) в Ь2(П, V), Ьг(П, V) - гильбертово пространство вектор-функций, компоненты которых принадлежат £2(П).

Сформулированы три возможных варианта постановки осесимметричной задачи о системе кольцевых в плане штампов. Два варианта возникают в случае, когда система представляет из себя группу и на всех штампах заданы либо кинематические, либо квазистатические условия. И еще один вариант появляется при исследовании системы, состоящей из двух групп штампов, на одной из которых заданы осадки, а на другой усилия.

Найдены условия, при которых справедлив принцип соответствия, позволяющий по известному решению упругомгновенной осесимметричной контактной задачи построить решение соответствующей задачи теории вязкоупругости.

В разделе 4.2 на основе проекционно-спектрального метода в классе функций, непрерывных по * в 1г(П, V), строятся решения всех вариантов задачи (19), (20). Модельный пример, завершающий этот раздел, демонстрирует эффективность используемого метода.

В разделе 4.3 и разделе 4.4 исследуются осесимметричные контактные задачи для неоднородных стареющих вязкоупругих цилиндрических тел, наращиваемых системами жестких усиливающих элементов. По своему математическому содержанию они идентичны плоским контактным задачам, рассмотренным в третьей главе. Поэтому основное внимание сосредоточено здесь на постановках задач, выводе их разрешающих систем интегральных уравнений и анализе качественных и количественных эффектов, обусловленных процессами наращивания, псшзучести и старения.

Разделы содержат большой вычислительный материал. В них проводится анализ ряда конкретных задач, возникающих при взаимодействии двухслойных полых бетонных и металлополимерных цилиндров (см. комментарий к разделам 2.4 и 2.5) с наращиваемыми системами усиливающих втулок и колец. Делаются общие выводы качественного характера.

На этом завершается еще одна часть диссертационной работы, включающая третью и четвертую главы. В них наряду с фактором неоднородного старения тел, проявляющимся в результате дискретного либо непрерывного притока к телам материала при изготовлении, рассмотрен также и фактор постепенного присоединения (дискретного наращивания) к вязкоупругим неоднородным стареющим телам жестких элементов. Изучены закономерности индивидуального и совместного влияния основных факторов на контактные характеристики, выявлены определяющие их эволюцию тенденции.

На основании проведенных в третьей и четвертой главах исследований в работе сделан общий вывод о том, что процесс последовательного присоединения жестких элементов к вязкоупругим однородным и неоднородным телам приводит к качественно новым явлениям в поведении характеристик контактного взаимодействия, не проявляющимся при одновременной установке систем элементов.

Отдельного упоминания заслуживает и разработанный математический метод, позволяющий эффективно строить решения систем двумерных интегральных уравнений многопараметрических контактных задач.

Следующие главы диссертации посвящены задачам теории вязкоупругости кусочно-непрерывно наращиваемых тел. В них изучается формирование напряженно-деформированного состояния растущих вязкоупругих стареющих тел, обусловленное взаимодействием процессов загружения и непрерывного

наращивания таких тел. Имея широчайший круг приложений, задачи механики непрерывно растущих тел порождают совершенно новые нетрадиционные проблемы постановочного и математического аспектов и обнаруживают интереснейшие механические эффекты.

Глава 5 и глава б посвящены контактном задачам механики непрерывно наращиваемых (растущих) тел. В них исследуются вопросы деформирования вязкоупругих стареющих тел в процессе кусочно-непрерывного изменения их состава, массы или объема за счет притока материала к внешней поверхности. Моделирование процессов непрерывного наращивания деформируемых тел требует учета таких новых- факторов, как скорость наращивания, способ наращивания, натяг приращиваемых элементов и т.п., что приводит к принципиально новой неклассической начально-краевой задаче механики деформируемого твердого тела.

Прикладное значение и перспективы развития механики наращиваемых тел определяются тем обстоятельством, что практически все объекты механики деформируемого твердого тела (здания, сооружения, элементы конструкций, детали машин и др.) возникают в результате возведения, затвердевания, напыления, нарастания, намораживания, намотки и т.п. Конкретными примерами подобных процессов могут служить процессы непрерывного возведения строительных сооружений из бетона, затвердевания металла в изложенице, напыления полупроводниковых пленок, роста кристаллов и т.д.

В главе 5 рассматривается постановка и предлагается метод построения решения общей смешанной безынерционной начально-краевой задачи для кусочно-непрерывно наращиваемого вязкоупругого стареющего тела. Формулируются основные теоремы. Изучаются некоторые качественные моменты эволюции напряженно-деформированного состояния растущих тел.

В разделе 5.1 приводятся базовые понятия и обсуждаются особенности основных соотношений механики растущих тел. Дается постановка общей безынерционной смешанной начально-краевой задачи для кусочно-непрерывно наращиваемого вязкоупругого стареющего тела.

Предпологается, что основное вязкоупругое однородное стареющее тело, изготовленное в момент времени т*(х)~0, занимает область По с поверхностью 5о(х е По) и до момента за груженая то > 0 свободно от напряжений (основным или исходным телом называется тело, к поверхности которого, начиная с некоторого момента времени (момента начала наращивания) происходит приток новых элементов). От момента загружекия на поверхности тела задаются в общем случае четыре типа граничных условий (на 51(4) -поверхностные силы, на £?(£) - перемещения, на 5з(£) - нормальные перемещения и касательные усилия, на 5ч(£) - нормальные усилия и касательные перемещения), а также объемные силы, зависящие от времени и координат.

Участки поверхности, на которых задаются разные граничные условия, не пересекаются и в целом занимают всю поверхность тела. Зависимость

от времени £ позволяет учитывать возможную эволюцию систем нагрузок, штампов и т.п. на поверхности 5о и считается кусочно-постоянной. Если поверхность тела не замкнута, то на бесконечности задается поведение напряжений или перемещений.

В момент Т| > го начинается непрерывное наращивание основного тела

элементами, изготовленными одновременно с ним (т,"(х) = 0). В процессе роста оно занимает область ü(t) с поверхностью S(t). Поверхность роста S'(t)(S'(n) с So) движется в пространстве, при этом участки задания граничных условий Si{t) (i - 1,...,4) могут изменяться и за счет загружения неподвижной поверхности дополнительного тела (т.е. тела, образованного присоединенными частицами). Считается, что задаваемый на поверхности роста полный тензор напряжений, характеризующий натяг приращиваемых элементов, согласован с известными поверхностными силами р"(x,t) на S'(t) (например, с давлением), а момент приложения нагрузки к приращиваемым элементам т®(х) совпадает с моментом их присоединения к растущему телу

В момент времени t2 > п наращивание тела прекращается и с этого момента на поверхности S\ ш 5(п) тела, занимающего область fii » П(гг), задаются (как и до начала наращивания) четыре типа граничных условий на участках Si(t).

Через некоторое время в момент v¡ > tj может вновь начаться наращивание тела, при этом возникнет .новая поверхность наращивания и новая задача, которая впрочем практически ничем не отличается от задачи наращивания на первом этапе. Затем можно рассмотреть остановку наращивания в момент т*4, и так последовательно задачу кусочно-непрерывного наращивания деформируемого тела с п моментами начала роста и, естественно, с п его остановками.

Таким образом, принципиально важно исследовать состояние тела на интервалах времени от начала загружения до начала наращивания, от начала наращивания до его прекращения и после прекращения наращивания, чему и посвящаются следующие разделы.

В разделе 5.2 рассматривается краевая задача для основного нерастущего вязкоупрутого стареющего тела на интервале времени [то,л]. Производится ее преобразование к краевой задаче теории упругости при наличии параметра. Доказывается взаимно однозначное соответствие решений поставленной и полученной в результате преобразования задач. Даются связывающие их соотношения.

Раздел 5.3 посвящен исследованию неклассической начально-краевой задачи для непрерывно наращиваемого вязкоупрутого стареющего тела. В нем формулируется и доказывается > ряд теорем, позволяющий привести задачу наращивания вязкоупрутого стареющего тела к краевой задаче с параметром времени, совпадающей по форме с краевой задачей теории упругости, и затем восстановить истинные характеристики напряженно-деформированного состояния всего наращиваемого тела по предлагаемым формулам.

Общую безынерционную смешанную начально-краевую задачу для непрерывно растущего тела составляют уравнение равновесия

VT + f-O,

краевые условия на неподвижной части поверхности xeSi(t): п-Т-ро, х 6 Si(t): и - и*»,

х € 5з(4) : пп-и = щ, п-Т-п Т-пп-р1, х € 5«(4) : п-Т-пп"*р2, и — пп-и*»и2, начально-краевое условие на поверхности роста

х €£•(<): Т-Т*, п-Т'-р' (¿'т'(х)),

соотношение между cкopocтilшl деформации и перемещения

Е'-^[Уи'-|-(Уи-)т] (21)

и уравнение состояния в форме

Т-С(1 + 1¥Мх),0)[2Е + (* _ 1)/,(Е)1],

\г'(х), х€П(4)\П0.

(I +^го(х),<))-1-(1-Ь(го(х),<)), 2в»Е{\+и)-1, К-( 1-2и)~\

1

Цг0(х), {)/(*)- / /(г)Л-(«,г)^,

где Т и Е - тензоры напряжений и деформации; и и Г - векторы перемещения и объемных сил; Т* - тензор натяга; /)(Б) - первый инвариант тензора деформации; 1 - единичный тензор; р; и и, (»-0,1,2) - задаваемые векторы поверхностных сил и перемещений; п - единичный вектор нормали к поверхности тела; С, £ н к - упругомгновенные модули деформации при сдвиге, растяжении и коэффициент Пуассона; - вдро ползучести;

I - тождественный оператор; точкой обозначена производная по времени; начальные значения всех функций в момент времени п известны из решения задачи для основного тела.

Отличительными особенностями начально-краевой задачи (21), выводящими ее за рамки классических задач механики деформируемого твердого тела, являются: специфическое начально-краевое условие на поверхности роста; нарушение условия совместности деформации в области, занимаемой дополнительным телом, и выполнение лишь его аналога и аналога соотношений Коши в скоростях соответствующих величин (это обстоятельство позволяет учитывать тот факт, что приращиваемые элементы до момента присоединения к основному телу могут подвергаться деформирующим воздействиям независимо от процессов, протекающих в самом теле); зависимость определяющих соотношений от функции т0(х), которая может иметь разрывы первого рода.

Показано, что для того, чтобы Т, Е и и были решением краевой задачи (21), необходимо и достаточно, чтобы Т0*, Е* и и* давали решение задачи

V . Т°* + & - 0(т-(х)тГГ- 1}Г?* - ¿(т-(х)гГ' - - О

хе5,(4): п-Т^-р?, хеЗД: и'-чХ.

xeSj(i): nn-u'-uj, n • T°* - n • T°* • nn = p?*, x e 54(f): n • T°* • nn = p5*, u*-nn-u'-uj, (22)

xeS'(i): n • T°* ■» [V • T*(x)G_I (t)-f

+r(x)GrI(i)-«(r'(x)rr1-l)fP(x,0--i(r-(x)rr'-l)^i)]>., n • T*(x) шp'(x) (t-r'(x)),

T°* - 2E* + (К - 1)7|(E*)1, E* ^[Vu* + (Vu,)T],

где f0*, f£*, f°, f*, pf*, u* - определяемые по исходным данным функции,. i„ - скорость движения поверхности S'(t) по нормали, в и 5 - обобщенные функции на гладкой поверхности, аналоги функций Хевисайда и Дирака соответственно, и при этом выполнялись соотношения (R(t,r) - резольвента ядра K(t,r))

J

( М*)

+ J [T°"(x, r) + j Т°-(х,Оад,г)Нг|, (23)

• td(X) ТО(Х) J

1

u(x,t) = и(х,т0(х)) + J u*(x,r)dr.

M*)

Краевая задача (22) совпадает по форме с краевой задачей теории упругости с параметром t. Ее решение может быть построено любым эффективным в теории упругости аналитическим или численным методом. Решение начально-краевой задачи наращивания вязкоупругого стареющего тела (21) при t е [t-i.ts] восстанавливается затем по формулам (23).

В разделе 5.4 исследуется начально-краевая задача следующего основного этапа эволюции напряженно-дсформированного состояния растущего тела: задача для вязкоупругого тела после прекращения его непрерывного наращивания. Рассматриваются проблемы, возникающие при изучении произвольного кусочно непрерывного процесса роста. Формулируются выводы качественного характера.

Показано, что основные соотношения задачи для тела, наращивание которого прекращено, имеют вид (21), где отсутствует условие на поверхности роста. Аналогично тому, как это было проделано для растущего тела, они приводятся к решению задачи типа (22), причем формулы, по которым восстанавливаются истинные характеристики напряженно-деформированного состояния, сохраняют вид (23).

Отмечается, что на основании предложенного метода можно изучать процесс кусочно-непрерывного наращивания вязкоупругого стареющего тела с любым конечным числом моментов начала роста и остановки. Задача с п моментами начала роста (и, естественно, с п остановками) приводится к исследованию 2п + 2 однотипных задач, совпадающих по форме с краевой задачей теории упругости, содержащей параметр t. После решения этих

2п + 2 задач напряженно-деформированное состояние наращиваемого вязко-упругого стареющего тела в любой момент времени легко восстанавливается по единым формулам (23).

Рассматриваются особенности поведения растущих деформируемых тел при некоторых характерных способах их наращивания и загруженйя. Обсуждаются такие органически присущие растущим телам явления, как возникновение остаточных напряжений после снятия нагрузок, появление в наращиваемом теле поверхностей разрыва напряжений, зависимость напряженно-деформированного состояния вязкоупругих тел от скорости их роста и другие.

Глава 6 посвящена анализу напряженно-деформированного состояния кусочно-непрерывно наращиваемых вязкоупругих стареющих тел в процессах их контактного взаимодействия с гладкими жесткими штампами и основаниями. В ней на основе метода из главы 5 смешанные начально-краевые задачи контактного взаимодействия непрерывно растущих тел приводятся к исследованию интегральных и парных сумматорных уравнений, а также непосредственно краевых задач теории упругости с параметром времени. Строятся решения возникающих уравнений и храевых задач. Приводятся числовые примеры. Обсуждаются качественные и количественные эффекты, в частности, влияние способа и скорости наращивания тел на контактные характеристики. Формулируются основные выводы.

Наиболее яркими примерами прикладного аспекта изучаемых задач являются расчеты возводимых гидростанций, дамб, плотин, наращиваемых элементов конструкций и деталей машин.

В разделе 6.1 рассматривается контактная задача для клина, угол раствора которого увеличивается ' за счет притока вещества извне. Считается, что однородный стареющий клин с углом раствора во, изготовлен в нулевой момент времени. В момент времени го в одну из граней клина на участке а < г <Ь начинает вдавливаться гладкий жесткий штамп с формой основания д(г). На штамп действует сила P(t) и момент M(t), эксцентриситет приложения силы равен e(t). Другая грань клина свободна от напряжений.

В момент времени п незагруженная грань начинает наращиваться ненапряженными элементами так, что с течением времени изменяется угол раствора клина a(t) (наращивание по такому закону называется угловым). В момент времени tj рост клина прекращается, угол его раствора к этому моменту равен ai < 2ir, а грань, к которой происходил приток вещества, свободна от напряжений и при t > т^.

При помощи метода из главы 5 выводятся разрешающие интегральные уравнения задачи. Для каждого основного этапа кусочно-непрерывного наращивания клина (до начала, в процессе и после остановки роста) получается свое интегральное уравнение. От соотношений классических контактных задач механики деформируемого твердого тела эти уравнения отличаются тем, что связывают не контактные напряжения и кинематические характеристики штампа, а некоторые другие величины, по которым истинные контактные давления и перемещение штампа определяются с использованием формул

(23)-

Показано, что в задаче допускаются два варианта постановки: - когда известны сила и угол поворота, а отыскиваются контактные давления

и эксцентриситет приложения силы (момент);

- когда известны сила н эксцентриситет (момент), а определяются контактные напряжения и угол поворота штампа.

Все полученные интегральные уравнения при условиях равновесия штампа на клине приводятся к одной математической задаче:

где в- зависимости от варианта постановки неизвестны ip(p, t) и r}(t) либо v(P,t) и ф(г).

Решение интегрального уравнения с дополнительным условием (24) строится при помощи известного в теории упругости приближенного метода, основанного ва некоторой специального вида аппроксимации вдра к(р,т, A(t)). Такое решение имеет то преимущество, что, мало отличаясь от точного, записывается в явном виде.

После того, как получено решение задачи (24), легко находятся решения ' задач, соответствующих основным этапам процесса роста клина, и по известным формулам - истинные характеристики его напряженно-деформированного состояния.

Проводятся расчеты контактной задачи для бетонной четверть-плоскости, вырастающей в процессе углового наращивания до полуплоскости. Отмечается существенная зависимость контактных характеристик от скорости роста, принципиальное отличие картины их эволюции от известной для классических случаев. Делается акцент на том, что представление о теле, выросшем до полуплоскости, как о полуплоскости может привести просто к качественно ошибочному пониманию явления.

В разделе 6.2 исследуется контактная задача для клина, наращиваемого по произвольному закону. Считается, что вязкоупрутий стареющий клин с углом раствора «о изготовлен в нулевой момент времени. В момент времени го на участке а < х < Ь в него начинает вдавливаться силой P(t) с эксцентриситетом приложения e(t) гладкий жесткий штамп. Форма основания штампа описывается функцией д(х), а поверхность клина, исключая участок а <х <Ь свободна от воздействий. В момент т\ начинается наращивание клина ненапряженными элементами, изготовленными одновременно с ним. При этом общая конфигурация тела как клина с произвольным углом раствора сохраняется. Наращивание прекращается в момент времени т*. Предполагается, что и при i > п поверхность тела, образованного в процессе роста, по-прежнему подвергается только контактному воздействию штампом.

Исследуемый процесс роста описывается заданием двух неубывающих функций, непрерывно зависящих от времени: функцией f(t), характеризующей расстояние вдоль оси х от вершины основного клина до вершины наращиваемого, и функцией a(t), характеризующей угол раствора растущего

f k(p,r,\(t))ip(p,t)dp'i>(t)r-h(r),

(24)

клина. Очевидно, что /(4) » 0 и а(£) - а0 при то < 4 < п, кроме того, пологается /(4)-/| и а(4)-с«1 при 4 > тг.

Получаемые в этом разделе разрешающие интегральные уравнения приводятся к виду

Методика исследования задачи (25) и последующее восстановление процесса формирования полей напряжений и перемещений в клине при произвольном законе его наращивания аналогичны описанным в предыдущем разделе.

Проводится числовой анализ контактной задачи для бетонной четверть-плоскости при ее трансляционном наращивании (трансляционным называется наращивание клина, при котором одна из ¿го граней движется, оставаясь параллельной первоначальному положению, а общая конфигурация тела как клина с фиксированным углом раствора сохраняется).

Обсуждаются механические эффекты. Сравниваются различные способы наращивания по их влиянию на характеристики контактного взаимодействия. Отмечается, что при постоянных воздействиях независимо от скорости и способа наращивания существует характерный момент времени 4°, начиная с которого влиянием процесса наращивания на контактные характеристики можно пренебречь.

В разделе 6.3 рассматривается контактная задача кручения вязкоупругого стареющего растущего цилиндра жестким штампом. Предполагается, что в нулевой момент времени из стареющего вязкоупругого материала изготовлен круговой цилиндр длины I и радиуса Ьо, причем отношение I к Ьо достаточно велико, т.е. цилиндр достаточно длинный. Один из торцов цилиндра сцеплен с недсформируемым основанием, а к другому соосно прекреплен жесткий круговой в плане штамп с плоской подошвой радиуса а < Ьо. В момент времени то на штамп начинает действовать крутящий момент А/(4), поворачивающий его на угол а(4). Боковая поверхность цилиндра свободна от напряжений.

В момент времени т\ к боковой поверхности цилиндра начинается приток вещества. При этом новые приращиваемые элементы не напряжены и в момент присоединения происходит их сцепление с недеформируемым основанием со стороны закрепленного торца. Закон роста цилиндра полностью задается функцией 1(4), характеризующей изменение его радиуса с течением времени. Естественно, что Ь(т\) - ¿о-

Наращивание прекращается в момент времени п- К этому моменту радиус цилиндра принимает значение Ь] (Ь(тг)" ¿м), а его боковая поверхность свободна от воздействий и при 4 > тг. Цилиндр считается относительно длинным в процессе роста и после его прекращения (отношения 1/Ь{1) и 1/Ь\ достаточно велики). Выводятся парные сумматорные уравнения, отражающие математическое содержание задачи на различных этапах процесса наращивания, каждое

я

(25)

из которых удается преобразовать к виду

<¥>о® + £ А;1 Ji(•*»*) - (0 < х < с),

"''с. (26)

Ч>о*+ (с<х<1),

где J„(x) - функция Бесселя порядка и; ipk - последовательность искомых функций; А„ - корни уравнения Ji{Xn) - 0; (,х,ф,с - известные функции, в общем случае зависящие от времени t.

Парное сумматорное уравнение (26) при помощи известной техники приводится к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, после решения которого остается только поэтапно при помощи формул (23) восстановить действительные значения напряжений и перемещений в растущем цилиндре.

В разделе, в частности, используется известный приближенный метод построения решения уравнения Фредгольма второго рода в явном виде, обсуждается область его эффективного применения.

Установлено, что угол поворота штампа существенно зависит от скорости наращивания и момента начала наращивания, причем предельные зависящие от скорости значения его приращения могут различаться в несколько раз. При постоянном крутящем моменте существует характерный момент времени, начиная с которого влиянием процесса кусочно-непрерывного наращивания на характеристики контактного взаимодействия можно пренебречь. В этом же случае проявляется сильная зависимость предельного значения угла поворота штампа от интервала времени между моментами начала нагружения и начала роста.

В разделе 6.4 исследуется напряженно-деформированное состояние засыпаемой арочной конструкции, которая, начиная с некоторого момента времени, наращивается с целью усиления. Рассматривается арочная конструкция в форме половины кругового цилиндра, опирающаяся на гладкое жесткое основание. Считается, что арка изготовлена из вязкоупругого стареющего материала в нулевой момент времени, ее внутренний радиус равен ао, a внешний - Ь. В момент времени т0 начинается засыпка арки сыпучим грунтом, высота слоя которого характеризуется кусочно-гладкой функцией H(t) (Я(г0) > О.) Для усиления конструкции с момента времени п > г0 производится ее непрерывное наращивание ненапряженными элементами одинакового с ней возраста. За время наращивания внутренний радиус арки изменяется по закону a(t) (a(ri)« ао) и в момент завершения наращивания тг принимает значение ai. Дальнешее деформирование арки (t > tj) происходит, как и прежде, только за счет давления слоя сыпучего грунта.

Процессы засыпки и наращивания полностью характеризуются функциями H(t) и a(t) и не зависят друг от друга. Так, наращивание может начаться после достижения H(t) некоторого значения, а может - и одновременно с засыпкой. Отмечается возможность неполной засыпки арки, когда H(t) < Ь для любого момента времени и то обстоятельство, что действие слоя сыпучего грунта на арку моделируется нормальным к повехности арки давлением, равным по модулю весу столба материала грунта над рассматриваемой точкой конструкции.

Задача кусочно-непрерывного наращивания вязкоупругой стареющей ар приводится к последовательности задач, совпадающих ро форме с плоек задачей теории упругости при наличии параметра времени. Решение кажд из полученных задач строится в форме тригонометрических рядов Фур Полная картина эволюции напряженно-деформированного состояния в ос ста i вливается на основании соотношений (23).

Отмечается, что напряженное состояние основной арки при t 6 [то,г,] зависит от свойств ее материала и полностью определяется геометричеа ми размерами конструкции, высотой слоя и плотностью материала грун Оно возникает как в упругих, так и в вязкоупругих арках и не изменяв! при исследовании случая их обобщенного плоского напряженного состоян вместо плоской деформации. В отличие от напряжений перемещения не; стущей арочной конструкции зависяг..от упругих и реологических свойств материала, а также от типа плоской задачи. И напряжения, и перемещен основной арки непрерывны по пространственным координатам и могут им( только разрывы первого рода по времени в точках tk, где функция H претерпевает скачки.

На напряженно-деформированное состояние растущей конструкции сув ственно влияют характеристики процессов ее наращивания и засыпки, также свойства ползучести и старения используемого материала. Поми разрывов первого рода по t в точках t¡, функции напряжений и перемещен в области, занимаемой растущей аркой, имеют разрывы первого рода по ] диальной координате в точках начала и остановки процесса наращивания в точках a(tk) при tk € [п.тг]. При наращивании арки в течение длительш времени после остановки засыпки возникает ситуация, при которой взаимш влиянием конструкции и вновь приращиваемых ненапряженных ее элемеш можно пренебречь.

Проводятся расчеты заглубленной наращиваемой бетонной арки. Обсуж; кэтея возникающие качественные и количественные эффекты.

Установлено, что уменьшение скорости наращивания конструкции вызьн ет более неравномерное распределение контактных напряжений на ее торц; а также состояние, при котором большая часть добавленного материала np¡ тически не напряжена. Увеличение же скорости наращивания приводит тому, что слабо загруженный на начальном этапе новый материал берет себя с течением времени весомую долю общей действующей на конструкц] нагрузки, а распределение напряжений на торцах становится более равном« ным.

Показано, что сложный характер функции перемещения вершины расс< тываемой бетонной арки (когда она возрастает, затем убывает и даже мен; знак) объясняется наличием нескольких тенденций в ее поведении. Перв тенденцией является тенденция к увеличению абсолютного значения nepef щения за счет ползучести материала конструкции. Другими определяющи. исследуемое перемещение тенденциями являются тенденции к его возрас-нию при a{t) >а' и к убыванию при a(t) < а' за счет наращивания, где - определяемая постоянная. Их взаимодействием и определяется изменен перемещения с течением времени.

Сделан акцент на качественном отличии явлений, характерных для pací

щих и неизменяемых деформируемых тел.

В заключении обсуждаются некоторые перспективы развития проведенных

в диссертации исследований. 5

ОСНОВНЫЕ НАУЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Исследовано контактное взаимодействие неоднородных вследствие наращивания и конструкционно неоднородных вязкоупругих стареющих тел с жесткими одиночными штампами, кольцами, втулками:

- даны постановки контактных задач;

- получены их разрешающие двумерные интегральные уравнения;

- предложены методики построения основных интегральных уравнений плоских и осесимметричных задач, основанные на использовании полученных в диссертации неклассических спектральных соотношений;

- проведены расчеты плоских и осесиметричных контактных задач для слоистых оснований и цилиндрических тел;

- выявлены основные закономерности в поведении характеристик контактного взаимодействия, их качественные отличия от классических случаев.

2. Изучены задачи дискретного наращивания деформируемых тел системами жестких элементов (штампов, втулок, колец):

- даны постановки плоских и осесимметричных контактных задач для эволюционных систем жестких элементов, взаимодействующих с неоднородными вязкоупругими телами;

- выведены системы разрешающих двумерных интегральных уравнений задач, причем каждая система преобразована к одному основному операторному уравнению плоских или осесимметричных задач с дополнительными условиями;

- сформулирована общая математическая задача для операторного уравнения теории контактных взаимодействий, позволяющая единым универсальным образом представить все многообразие вариантов постановок контактных задач;

- предложен новый проекционно-спектральный метод ее решения;

- на основании общих исследований построены решения всех возможных вариантов постановок сложных многопараметрических плоских и осесимметричных задач дискретного наращивания неоднородных вязкоупругих тел системами жестких элементов;

- проведены расчеты ряда конкретных процессов последовательной установки штампов на бетонные основания, постепенного усиления бетонных, полимерных и металло-полимерных цилиндрических тел системами внутренних или внешних втулок;

- изучены основные тенденции в поведении характеристйк контактнк~о взаимодействия, обусловленные ползучестью, неоднородностью и старением тел, а также неодновременностью присоединения приращиваемых элементов, показана принципиальная необходимость учета перечисленных факторов при исследовании эволюции напряженно-деформированного состояния тел.

3. Исследовано явление кусочно-непрерывного наращивания вязкоупругих стареющих тел в процессе их контактного взаимодействия с жесткими штампами и основаниями:

- сформулирована общая безынерционная смешанная задача для кусочно-непрерывно наращиваемого вязкоупругого тела;

- предложен метод ее исследования, приводящий задачу кусочно-непрерывного наращивания вязкоупругого тела к последовательности задач, совпадающих по форме с краевой задачей теории упругости при наличии параметра времени, после решения указанной последовательности задач истинные напряжения и перемещения в кусочно-непрерывно растущем вязкоупругом теле восстанавливаются по полученным в работе формулам;

- сформулированы некоторые общие закономерности формирования полей напряжений и перемещений в непрерывно растущих телах;

- даны постановки ряда контактных задач для наращиваемых тел, которые на основании метода исследования общей смешанной задачи приводятся к изучению интегральных и парных сумматорных уравнений, а также непосредственно краевых задач теории упругости с параметром времени, построены их решения;

- проведены расчеты контактных задач для растущих клина, цилиндра и арки в форме полукольца при различных скоростях и способах их наращивания;

- выявлены основные тенденции в поведении характеристик контактного взаимодействия и закономерности, присущие только растущим телам.

4. На основании проведенных в диссертации исследовании можно сделать общий вывод о качественном отличии явлении, характерных для растущих и неизменяемых тел, и о необходимости учета фактора наращивания при моделировании реальных процессов, в том числе процессов контактного взаимодействия.

5. Вызванные к жизни стремлением к более точному математическому описанию инженерных и технологических процессов, механика растущих тел и одно из ее направлений - контактные задачи теории вязкоупругости наращиваемых тел, обладая чрезвычайным разнообразием новых механических явлении, имеют с точки зрения приложений несомненные перспективы как в смысле использования полученных в диссертации результатов, так и в смысле дальнейшего развития.

ПУБЛИКАЦИИ

По теме настоящего исследования выполнены 30 научных работ, полный список которых приводится в диссертации. Основными из них являются следующие:

1. Арутюнян Н.Х., Манжиров A.B., Наумов В.Э. Контактные задачи механики растущих тел. - М.: Наука, 1991. - 176 с.

2. Арутюнян Н.Х., Манжиров A.B. Контактные задачи теории ползучести. - Ереван: Изд-во АН Армении, 1993 (в печати).

3. Александров В.М., Арутюнян Н.Х., Манжиров A.B. Контактные задачи теории ползучести неоднородно стареющих тел // Аналитические и численные методы решения краевых задач пластичности и вязкоупругости. - Свердловск: Изд-во УНЦ АН СССР, 1986. -С. 3-13.

4. Александров В.М., Коваленко Е.В., Манжиров A.B. Некоторые смешанные задачи теории ползучести неоднородно стареющих сред // Изв. АН АрмССР. Механика. - 1984. - Т. 37, М- 2. -С. 12-25.

5. Александров В.М., Манжиров A.B. О двумерных интегральных уравнениях в прикладной механике деформируемых твердых тел // ПМТФ. - 1987. - М- 5. - С. 146-152.

6. Арутюнян Н.Х., Манжиров A.B. Контактные задачи механики растущих тел // ПММ. - 1989. - Т. 53, вып. 1. - С. 145-158.

7. Коваленко Е.В. Манжиров A.B. Контактная задача для двухслойного стареющего вязкоупругого основания // ПММ. - 1982.

Т. 46, вып. 4. - С. 674-682.

8. Манжиров A.B. Осесимметричные контактные задачи для неоднородно стареющих вязкоупругих слоистых оснований // ПММ. 1983. - Т. 47, вып. 4. - С. 684-693.

9. Манжиров A.B. Плоские и осесимметричные задачи о действии нагрузок на тонкий неоднородный вязкоупругий слой // ПМТФ. -1983. - Л/"- 5. - С. 153-158.

10. Манжиров A.B. О влиянии неоднородного старения на концентрацию напряжений около отверстий в нелинейных вязкоупругих телах // Дохл. АН АрмССР. - 1983. - Т. 77, № 5. - С. 214-218.

11. Манжиров A.B. Об одном методе решения двумерных интегральных уравнений осесимметричных контактных задач для тел со сложной реологией // ПММ. - 1985. - Т. 49, вып. 6. - С. 1019-1025.

12. Манжиров A.B. О некоторых постановках и решениях контактных задач теории ползучести для произвольных систем штампов // Изв. АН СССР. МТТ. - 1987. - 3. - С. 139-151.

13. Манжиров A.B. Контактные задачи о взаимодействии вязкоупругих оснований, подверженных старению, с системами неодновременно прикладываемых штампов // ПММ. - 1987. - Т. 51, вып. 4. -С. 670-685.

14. Манхиров A.B. Проекционно-спектральный метод решения операторных уравнений, возникающих в механике сплошных сред // Труды XIII науч. конф. молод, ученых Ин-та механики АН УССР, Киев, 24-27 мая 1988 г. Ч. 2. / Ин-т механики АН УССР. -Киев, 1988. - Деп. в ВИНИТИ 27.12.88, W- 9072-В88. - С. 423-427.

15. Манхиров A.B. Осесимметричная контактная задача для вязкоуп-ругого слоистого основания, наращиваемого системой кольцевых в алане штампов // Труды XV науч. конф. молод, ученых Ин-та механики АН УССР. Киев, 29 мая-1 июня 1990 г. Ч. 2. / Ин-т механики АН УССР. - Киев, 1990. - Деп. в ВИНИТИ 10.07.90,

3801-В90. - С. 266-272.

16. Манхиров A.B. О кручении растущего цилиндра жестким штампом // ПММ. - 1990. - Т. 54, вып. 5. - С. 842-850.

17. Манхиров A.B. Контактные задачи теории вязкоупругости наращиваемых тел К VII Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. Москва, 15-21 августа 1991 года. - Москва, 1991. - С. 239-240.

18. Манхиров A.B., Черныш В.А. О взаимодействии жесткой усиливающей втулки с неоднородной стареющей трубой высокого давления ¡I Изв. АН СССР. МТТ. - 1988. 6. - С. 112-118.

19. Манхиров A.B., Черныш В.А. Контактная задача для слоистого неоднородного стареющего цилиндра, подкрепленного жестким кольцом // ПМТФ. - 1990. - Я2- 6. - С. 101-109.

20. Манхиров A.B., Черныш В.А. О последовательном усилении неоднородных вязкоулругих цилиндрических тел системами жестких элементов / Ин-т проблем механики АН СССР. - М., 1991. - Деп. в ВИНИТИ 11.07.91, Ms- 2975-В91. - 56 С.

21. Манхиров A.B., Черныш В.А. Контактная задача дискретного наращивания неоднородного вязкоупругого стареющего цилиндра системой жестких втулок // ПММ. - 1991. - Т. 35, выл. 6. -С. 1018-1025.

22. Манхиров A.B., Черныш В.А. Задача об усилении заглубленной арочной конструкции методом наращивания // Изв. РАН. МТТ. -1992. - fí°- 5. - С. 25-37.