Применение однородных решений к исследованию напряженного состояния плоскостенных стержней и неоднородной по высоте полосы тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение.

1. Однородные решения пространственных пластинчатых конструкций

1.1. Определение напряжений, возникающих в полубесконечной пластинчатой конструкции при произвольном самоуравновешенном нагружении по торцу.

1.2. Определение параметров однородных решений тонкостенного швеллера.

1.3. Параметры однородных решений тонкостенного двутавра.

2. Применение однородных решений к исследованию напряженного состояния тонкостенных стержней открытого профиля, находящихся в условиях стесненного кручения и внецент-ренного сжатия.

2.1. Продольные перемещения при свободном кручении тонкостенного швеллера

2.2. Решение задачи стесненного кручения тонкостенного швеллера.

2.3. Решение задачи стесненного кручения стержня методом В.З.Власова.

2.4. Внецентренное растяжение (сжатие) тонкостенного швеллера.

2.5. Внецентренное растяжение (сжатие) тонкостенного швеллера по методу В.З.Власова

3. Исследование напряженного состояния неоднородной по высоте полосы.

3.1. Исследование напряженного состояния слоистой полосы.

3.2. Исследование напряженного состояния трехслойной полосы.

3.3. Применение однородных решений к использованию краевых эффектов в трехслойной полосе.

Тонкостенные стержни широко применяются в самых различных областях техники (авиастроении, кораблестроении, машиностроении), в промышленном и гражданском строительстве. Концепция тонкостенного стержня, как элемента конструкции или как расчетной схемы пространственных сооружений является одной из основных в строительной механике.

Следует отметить, что тонкостенные стержни открытого профиля отличаются от стержней сплошного сечения следующими особенностями:

1. При стесненном кручении, когда депланация не может развиваться свободно в поперечных сечения возникают существенные нормальные напряжения.

2. Центр изгиба в несимметричных сечениях заметно удален от центра тяжести.

3. Более существенны деформации сдвига, а также деформации контура поперечного сечения.

Теоретическими и экспериментальными исследованиями установлено, что распределение напряжений и деформаций в брусе при поперечном изгибе зависит не только от величины изгибающего момента, но также и от положения плоскости действия нагрузки.

Гипотеза плоских сечений, лежащая в основе элементарной теории изгиба балок, соблюдается только в случае, когда линия действия нагрузки проходит через так называемый центр изгиба. Если нагрузка не проходит через центр изгиба, то брус, кроме деформации изгиба испытывает также и деформации кручения. Это кручение отличается от чистого или свободного кручения ( задача Сен-Вена-на) тем, что при действии поперечной нагрузки крутящий момент, вообще говоря, изменяется по длине стержня, закручивание получается неравномерным и депланация сечений неодинаковой. Кроме того, условия закрепления концов стержня могут быть таковы, что они устраняют или стесняют депланацию концевых сечений, что влияет, конечно, на депланацию остальных сечений, особенно близких к концам. Такой вид кручения естественно назвать стесненным кручением. Неодинаковая депланация сечений приводит к удлинениям и укорочениям продольных волокон стержня, ввиду чего в поперечных сечениях наряду с касательными напряжениями, свойственными чистому кручению, возникают нормальные напряжения, величина которых зависит прежде всего от величины крутящего момента. Совершенно очевидно, что в связи с появлением нормальных напряжений, обусловленных кручением, возникнут соответственные им дополнительные касательные напряжения, которые осуществляют известную часть общего крутящего момента в сечении. Для обычных стержней сплошного сечения эти эффекты имеют лишь местное значение; в частности, нормальные напряжения быстро затухают по мере удаления от места стеснения. Однако в тонкостенных стержнях нормальные напряжения убывают s настолько медленно, что упомянутый эффект перестает носить локальный характер.

Отклонение от закона плоских сечений при действии поперечной нагрузки, не проходящей через центр изгиба, впервые обнаружил экс-перименательным путем в 1909 г. Бах /76/. В опытах Баха обнаружено закручивание швеллерной балки в случае, когда нагрузка не проходит через центр ее изгиба. Его объяснение этого явления несимметричностью сечения оказывалось неверным. Позднее правильное объяснение дал Вебер /Ю7/.

Вопросами изгиба и кручения тонкостенных стержней в связи со своей работой по устойчивости плоской формы изгиба двутавровой

- б балки занимался С.П.Тимошенко /67/. Им впервые была рассмотрена задача о стесненном кручении тонкостенного стержня. В этой работе было отчетливо выявлено, что кручение двутаврового стержня проявляется в виде изгиба полок и поэтому сопровождается образованием самоуравновешенной системы нормальных напряжений в поперечных сечениях.

В 1921 г. появились работы Майара /93, 94/, посвященные вопросу изгиба и кручения тонкостенных металлических балок. В этих работах автор, анализируя опыты Баха, отмечает, что отклонение от закона плоских сечений при кручении сопровождаемом изгибом отдельных элементов, может иметь место также и в симметричных профилях.

Помимо статей Майара в период с 1921 г. по 1926 г. в иностранной технической литературе была опубликована работа Вебера /106/, в которой автор дает обобщение результатов С.П.Тимошенко по кручению двутавровой балки и метода определения дополнительных нормальных напряжений при кручении для двухполочных профилей (двутаврового с разными полками, швеллерного и зетового).

В 1929 г. Вагнер /105/ наметил теорию стесненного кручения стержня с произвольным открытым профилем. Используя гипотезу о недеформируемости контура, он вывел уравнение стесненного кручения для произвольного тонкостенного стержня,открытого профиля и установил закон распространения нормальных напряжений в сечении.

Общая теория прочности, устойчивости и колебаний тонкостенных стержней открытого профиля была создана В.З.Власовым /0/ь который рассматривал тонкостенный стержень как длинную цилиндрическую оболочку или призматическую складку, работающую как на осевые (нормальные и сдвигающие) силы, так и на поперечные изгибающие и крутящие моменты, возникающие вследствии неравномерности распределения нормальных и касательных напряжений по толщине стенки. Введение двух кинематических гипотез (о недеформируемости контура поперечного сечения и об отсутствии деформации сдвига в серединной поверхности) позволило существенно упростить уравнения теории оболочек и получить все необходимые соотношения, удобные для практических приложений. Кроме того В.З^Власов установил закон распределения нормальных напряжений в поперечном сечении при совместном действии сжатия, изгиба и кручения. После выхода в свет монографии В.З.Власова теория расчета тонкостенных стержней стала интенсивно развиваться и популяризироваться. Имеется несколько подходов, уточняющих теорию В.З.Власова. Остановимся на некоторых из них.

Наиболее точное исследование справедливости приближенных теорий может быть выполнено на основе использования уравнений теории упругости. Одной из первых работ в ётом направлении была работа А.К.Мрощинского /50/, в которой обосновывается достаточная точность четырехчленной формулы для напряжений.

Предложенный А.В.Алексаццровым /3/ для плитнобалочных и складчатых систем метод перемещений позволил исследовать работу тонкостенных стержней при действии продольных сил. Задача решалась методами теории упругости путем расчленения стержня на пластинки. Результаты исследований показали, что теория тонкостенных стержней учитывает главную часть напряженного состояния стержня. Отклонение от закона секториальных площадей при действии продольной силы наблюдается лишь вблизи места приложения этих сил.

Эти же вопросы рассматривались в работах Е.П.Любовского /40/, А.С.Тюряхина /69/, Б.А.Малышева /41/, а также зарубежных авторов /81/, /96/.

Отметим многочисленные исследования, учитывающие влияние деформации сдвига в срединной поверхности.

Так, в работах В.Б.Мещерякова/44, 45/ получены уравнения прочности, устойчивости и колебаний тонкостенных стержней открытого профиля с учетом сдвигов срединной поверхности. В основу его исследований положена работа А.Л.Гольденвейзера /14/. А.Я.Аронсон /4/ рассмотрел напряженное состояние закрученного тонкостенного стержня с учетом влияния естественной закрутки, деформации сдвига и депланации сечения. При этом депланация выражается аналитически произведением двух неизвестных функций, которые определяются из условий минимума потенциальной энергии системы.

В работах Л.Н.Воробьева, Л.В.Яицкого /10/ и П.Д.Мищенко /46, 47/ анализируется влияние сдвига на деформации изгибаемых и закручиваемых тонкостенных стержней. Было установлено, что это влияние является более существенным для условий закрепления, в большей степени препятствующих развитию деформаций, не связанных со сдвигом (например, для защемленного стержня по сравнению с шарнир-но опертым).

Задача влияния сдвига на нормальные напряжения и утлы закручивания тонкостенного стержня открытого профиля при стесненном крчении рассматривается в работах В.В.Холопцева /72-74/. В них показано, что возникающие от учета сдвига дополнительные нормальные напряжения могут существенно увеличить основные и изменить характер их распределения по сечению стержня.

В работе А.А.Дудченко, С.А.Лурье /21/ предлагается вариант теории тонкостенных стержней, учитывающий деформацию сдвига. Разрешающие уравнения получены методом В.З.Власова путем введения функции, аппроксимирующих распределение перемещений по контуру поперечного сечения.

Другой подход к построению уточненной теории тонкостенных стержней учитывает помимо вдпотез В.З.Власова и деформируемость контура поперечного сечения.

Так, в работе /22/ исследуется деформированное состояние тонкостенного стержня открытого профиля в зоне приложения сосредоточенной или распределенной на небольшом участке нагрузки без учета гипотезы о недеформируемости контура. Было установлено, что отклонение от результатов по теории тонкостенных стержней имеет место лишь на длине порядка размера сечения.

Аналогичным образом выполнены работы /ЮЗ/, /28/.

В последние десятилетия возможности уточнения теории тонкостенных стержней существенно расширились благодаря развитию численных методов решения с применением мощных ЭВМ. Появилось большое количество работ, посвященных расчету тонкостенных стержней открытого профиля методом конечных элементов как зарубежных, так и советских авторов /15, 51, 77, 78, 80, 86, 87, 88, 100/. Большое значение для развития теории тонкостенных стержней имеют экспериментальные исследования.

Можно отметить работы /23/, /24/, /42/, в которых проведено экспериментальное исследование работы двутавровых балок при изгибе с кручением. Результаты эксперимента сравнены с теоретическими исследованиями по деформированной схеме.

В работе /43/ проведено экспериментальное иселедовнние свободного и стесненного кручения тонкостенного швеллера. Была экс-перименательно проверена гипотеза прямых нормалей, предложенная для построения технической теории тонкостенных стержней открытого профиля.

Экспериментальное изучение работы тонкостенного стержня при внецентренном сжатии проведено в работах В.В.Артемова /5/ и В.А.Яковлева /75/. В первой и второй главах настоящей работы предлагается новая методика расчета тонкостенных стержней открытого профиля, находящихся в условиях стесненного кручения и вне-центренные сжатия. В ее основу положен метод однородных решений. Однородные решения - общие решения дифференциальных уравнений теории упругости удовлетворяющие нулевым граничным условиям.

Попытки решения краевых задач теории упругости для тел конечных размеров в более строгой постановке, нежели это делается с использованием принципа Сен-Венана, естественно, приводят к однородным решениям.

Первая статья, в которой указывалось на возможность построения однородных решений принадлежит П.А.Шиффу /101/. В ней приводится транецентное уравнение в рядах для параметра, определяющего однородные решения, дающие нулевые напряжения на боковой поверхности сплошного кругового цилиндра при осесимметричной деформации.

В 1904 г. Дж.Дугалл /82, 83/ нашел однородные решения, не дающие напряжений на граничных плоскостях Ъ « ± к слоя. Построив решение задачи о равновесии слоя в виде определенных интегралов, Дугалл вычислил последние при помоши теоремы о вычетах и получил комплексные ряды, зависящие от однородных решений. Однако для выполнения краевых условий Дугалл однородные решения не использовал. Эта идея была впервые предложена в 1907 г. Файлоном в работе /85/, посвященной тесно связанной с использованием однородных решений проблеме разложения заданного полинома в ряд по функциям, зависящим от корней трансцендентного уравнения.

В исследованиях Фадле /84/ рассматривались однородные решения плоской задачи теории упругости для прямоугольной области.

Почти одновременно с работой Фадле появились работы П.Ф.Папкови-ча /55,56/ по однородным решениям бигармонического уравнения для прямоугольной области, в которых доказывалось свойство обобщенной ортогональности этих решений и обсуждались способы его применения при выполнении граничных условий.

Г.А.Гринберг /16/ доказал возможность с помощью однородных решений строго удовлетворить краевым условиям в некотором классе плоских задач для прямоугольной области, а также задач об изгибе прямоугольной плиты. В развитом А.И.Лурье /37-39/ символическом методе составления решений уравнений теории упругости для слоя и толстой плиты однородные решения получаются наиболее естественным образом. Полученные таким образом однородные решения были использованы А.И.Лурье для удовлетворения граничных условий на боковой поверхности плиты /38/. С помощью вычетного метода точно было удовлетворено лишь одно условие, второе условие удовлетворено приближенно. Решение задачи получено в рядах комплексно сопряженных функций, зависящих от корней трансцеццентного уравнения. В этом отношении представляют интерес работы В.К.Прокопова /62-65/, где путем повторного применения контурного интегрирования удалось преобразовать комплексные однородные решения в вещественные ряды.

После работ А.И.Лурье, в 1955 г. появилась статья В.З.Власова /9/, в которой с незначительными изменениями были повторены результаты А.И.Лурье, а сам метод построения решений был заново назван методом начальных функций.

Работы А.И.Лурье по приложению символического метода и получаемых на его основе однородных решений теории толстых плит были продолжены в исследованиях Е.М.Круга /35/, Т.Т.Хачатуряна /71/, И.Г.Терегулова /66/.

Ряд весьма интересных статей по приложению однородных решений принадлежит К.А.Китоверу /32-34/. В работе /32/ приведены некоторые конкретные примеры расчета тонких прямоугольных плит. В работе /34/ рассмотрена плоская задача теории упругости для квадрата при задании напряжений на 2-х противоположных его сторонах; граничные условия на 2-х других сторонах квадрата удовлетворяются путем минимизации квадратичной погрешности. Особое место занимает 2-я статья /33/, в"которой систематизируются однородные решения для всевозможных задач теории упругости и задач изгиба плит. В работе приводятся соответствующие трансцеццентные уравнения. Дальнейшее приложение метода наименьших квадратов к плоской задаче теории упругости можно найти в работах С.Г.Гуревича /18-20/, Ма-тиза /95/, Шлееха /102-103/, Кепке /92/ и в статье Морлея /97/, где решена задача о жестко заделанной плите. В работах /98, 99/ граничные условия удовлетворяются поточечно, причем было обнаружено, что точное полученное решение существенно не зависит от выбора координат точек коллокации. Тот же метод коллокации был использован в работе В.К.Прокопова /62/, где условия отсутствия смещений в заделке были поставлены в пяти точках поперечного сечения полосы.

В статье О.К.Аксентяна и Й.И.Воровича /I/ однородные решения, указанные А.й.Лурье /37/, использованы для построения асимптотиf ческих решений в рядах по степеням относительной толщины плиты, убывающих по экспоненциальному закону при удалении от ее боковой поверхности. В последующей работе вышеуказанных авторов /2/ эти решения применяются для исследования вопроса о концентрации напряжений при изгибе тонкой плиты с отверстием. Еще одному приближенному методу использования однородных решений положено начало в работах Хорви /89-91/ по применению самоуравновешенных полиномов в плоской задаче теории упругости для полосы /90/ и для сектора /91/. При этом в методе Хорви оба граничные условия выполняются точно, но сами однородные решения не удовлетворяют бигар-моническому уравнению, а разыскиваются вариационным методом Канторовича.

Примеры применения метода самоуравновешенных полиномов Хорви можно найти в работе П.Г.Голоскова /13/.

Непосредственно согласуется с настоящей диссертацией работе В.В.Тихомирова /68/, в которой с позицией гипотез Киргофа-Лява рассматриваются задачи растяжения, кручения и изгиба коробчатой оболочки прямоугольного профиля. Решение задачи строится методом однородных решений в сочетании с разложением собственных чисел и собственных функций в ряды по степеням малого параметра, характеризующего тонкостенность конструкции.

Из последних работ, использующих однородные решения к исследованию напряженного состояния тонких плит можно отметить следующие исследования /7, 17, 29, 54/.

В предлагаемой методике тонкостенные стержни рассматриваются как пространственные пластинчатые конструкции с деформируемым контуром поперечные сечения.

Рассматриваемая методика- методика без гипотез, использующая точные решения теории тонких пластин.

В третьей главе рассматриваемой работы однородные решения используются для исследования краевых эффектов неоднородной по высоте полосы.

В настоящее время сравнительно полно изучены задачи теории упругости для кусочно-однородных (слоистых) тел, состоящих из различных однородных изотропных слоев. Анализ работ / 52, 53, 57, 58, 61/ показал, что в них используются известные решения для однородных слоев с последующим удовлетворением граничных условий на поверхностях соприкасания. Точные решения задач об изгибе полосы с различными законами изменения модуля Юнга (степенным, экспоненциальным и др.) по высоте получены в работах /30, 31, 36, 79/.

Необходимо отметить, что в настоящее время наиболее разработанным способом получения точных решений для кусочно неоднородных тел конечных размеров является метод однородных решений к исследованию напряженного состояния кусочно неоднородных тел используется в следующих исследованиях /6, II, 12, 25, 26, 27, 70/.

Целью рассматриваемой диссертационной работы является:

- разработка методики построения однородных решений для тонкостенных швеллера, двутавра и слоистой полосы;

- применение однородных решений к исследованию напряженного состояния тонкостенного стержня, находящегося в условиях стесненного кручения и внецентренного сжатия;

- исследование краевых эффектов неоднородной по высоте полосы.

Научная новизна. В диссертационной работе разработана методика построения однородных решений для тонкостенных швеллера, двутавра и трехслойной полосы, симметричного строения. i

Метод однородных решений применен к исследованию стесненного кручения и внецентренного сжатия тонкостенных стержней. Проведено исследование краевых эффектов трехслойной полосы.

Практическая ценность работы в научном плане обусловлена тем, что полученные в ней теоретические результаты позволяют оценить точность приближенных решений сопротивления материалов, теории расчета тонкостенных стержней В.З.Власова и технических теорий слоистых пластин.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на П Всесоюзной конференции по смешанным задачам механики деформируемого тела (г.Днепропетровск, 1981г.), на I Республиканской конференции по повышению надежности и долговечности машин и сооружений (г.Киев, 1982 г.), на ХШ Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек )г.Таллин,1983 год), на Республиканском семинаре "Прикладные методы математики и кибернетики"(г.Харьков, 1979г.), на семинарах отдела контактной прочности ПШЛ прочности и надежности конструкций Днепропетровского университета, на научных конференциях, посвященных итогам научно-исследовательской работы ДГУ в 1982-1984гг., на семинарах ь кафедры "высшей математики" Днепропетровского института инженеров железнодорожного транспорта в 1979-1984гг.

Основные положения диссертации опубликованы в работах 48, 49, 51, 52, 53, 54, 59 /.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения.

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

1. Разработана методика построения однородных решений тонкостенных пластинчатых конструкций типа швеллера и двутавра. Показано, что наименьший параметр однородных решений практически совпадает с изгибно-крутильной характеристикой В.З.Власова /8/ (расхождения (3-5)%) в широком диапазоне изменения размеров поперечного сечения стержня.

2. Предложена новая, основанная на методе однородных решений, методика расчета тонкостенных стержней открытого профиля поперечного сечения, находящихся в условиях стесненного кручения и внецентренного сжатия. Результаты исследования показали, что теория тонкостенных стержней В.З.Власова учитывает основную часть напряженного состояния стержня. Расхождение результатов расчета наблюдается в защемлении (при исследовании стесненного кручения), в зоне приложения продольной нагрузки ( в случае исследования внецентренного сжатия). В некоторых случаях расхождения результатов по предлагаемой методике и по методу В.З.Власова может быть существенно.

3. Разработана методика построения однородных решений трехслойной полосы симметричного строения. Проведено исследование изменения параметров однородных решений трехслойной полосы в зависимости от отношения модуля упругости заполнителя к модулю упругости несущих слоев.

4. Предложен способ применения однородных решений для удовлетворения граничных условий на торцах конечной полосы.

5. Создана программа расчета на языке Фортран 1У, позволяющие определять поля напряжений и перемещений тонкостенных стержней, находящихся в условиях стесненного кручения и внецентренно-го сжатия, а также программа исследования краевых эффектов трехслойной полосы. б. Полученные результаты позволяют оценить точность приближенных решений сопротивления материалов, теория тонкостенных стержней В.З.Власова, технической теории слоистых пластин. Показано, что во многих практически важных случаях прикладные теории дают достоверные результаты за пределами ограничений, накладываемых на них геометрическими и физическими гипотезами.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Аксентян O.K., Ворович И.И. Напряженное состояние плиты малой толщины. - Прикл.механика и математика, 1963, т.27, № б, с.1057-1074.

2. Аксентян O.K., Ворович И.И. Об определении концентрации напряжений на основе прикладной теории. Прикл.механика и математика, 1964, т.28, № 3, с.583-596.

3. Александров А.В. Исследование работы тонкостенных стержней при действии продольных сосредоточенных сил. В кн.: Исследования по теории сооружений. М.: Стройиздат, 1967, вып.15, с.53-64.

4. Аронсон А,Я. Об одном варианте построения обобщенной теории стержней. В кн.: Динамика и прочность упругих и гидроупругих систем. М.: Наука, 1975, с. 99-114.

5. Артемов В.В. Экспериментальное изучение работы тонкостенных стержней при внецентренном сжатии. В кн.: Тр.Новочеркасского политехи.ин-та, 1972, № 255, с.37-41.

6. Базаренко Н.А., Ворович И.И. Асимптотическое поведение решения задачи теории упругости для полого цилиндра конечной длины при малой толщине Прикл. математ. и механика, 1965, т.29, № 6, с.1035-1052.

7. Буланов Г.С. Разложение особенностей напряженного состояния в ряд по однородным решениям . В кн.: Теорет. и прикл.механика. Киев-Донецк: Вища школа, 1983, № 14, с.6-13.

8. Власов В.З. Тонкостенные упругие стержни. М.: Госетройиздат, 1940 - 275 с.

9. Власов В.З. Метод начальных функций в задачах теории упругоети. Изд.АН СССР, ОТН, 1955, т.47, № 7, с.49-69.

10. Ю.Воробьев Л.Н., Яицкий Л.В. О центре изгиба открытых тонкостенных профилей с недеформируемым контуром. В кн.: Тр.Новочеркасского политехи, ин-та Новочеркасск: Изд-во Новочеркасск, политехи.ин-та, 1972, № 233, с.39-43.

11. П.Ворович И.И., Кадомцев И.Г. Качественное исследование напряженно-деформированного состояния трехслойной плиты. Прикл. математ. и механика, 1970, т.34, № б, с.870-876.

12. Ворович И.И. Постановка краевых задач теории упругости при бесконечном интеграле энергии и базисные свойства однородных решений. В кн.: Механика деформируемых тел и конструкций. М.: Машиностроение, 1975, с.112-128.

13. Голосков П.Г. Изгиб прямоугольной плиты, жестко заделанной по двум противоположным сторонам. Изв. Вузов. Строительство и архитектура, 1959, № 11-12, с.25-34.

14. Гольденвейзер А.Л. 0 теории тонкостенных стержней. Прикл. механика и математика: 1964, т.13, вып.б, с.570-580.

15. Городецкий А.С., Здоренко B.C., Карпиловский B.C. Применение метода конечных элементов к расчету тонкостенных стержневых систем. В кн.: Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев: Буд1вельник, 1976, вып.28, с.134-140.

16. Груздев Ю.А., Прокопов В.К. Об одном варианте краевых условий для плиты. В кн.: Тр.Ленинград, политех, ин-т Л.: Изд-во

17. Ленинград, политех.ин-та, 1982, № 386, с.83-88.

18. Гуревич С.Г. Решение плоской задачи для прямоугольной области, загруженной по краям нормальными усилиями и применение ее к расчету фланцевых соединений. В кн.: Прочность элементов паровых турбин. Л.: Машгиз, 1951, с.121-127.

19. Гуревич С.Г. Распределение напряжений в прямоугольной пластинке, произвольно нагруженной по краям. Известия Ленинградского электротехнического института, 1955, № 27, с. 77-122.

20. Гуревич С.Г. К решению смешанной задачи для прямоугольной пластинки. Известия Ленинградского электротехнического института, 1958, № 35, с.239-251.

21. Кадомцев И.Г. Краевой эффект в трехслойной плите Известия Северо-Кавказского научного центра высшей школы. Сер.естеств. наук, 1973, № 4, с.35-37.

22. Карабанов Б.В. 0 влиянии деформации контура на нормальные напряжения при кручении в тонкостенных стержнях. Строит.механика и расчет сооружений, 1970, № 3, с.62-64.

23. Колтунов М.А., Овсепян В.Х. Об одном методе решения смешанной / задачи теории упругости для полуполосы. В кн.: Прикл. пробл. прочн. и пластичн. Статика и динам, деформир. систем. Горький, 1980, с.18-24.

24. Колчин Г.Б., Морарь Г.А. К решению плоской задачи теории упругости для неоднородной полосы. Прикл.механика, 1968, т.4, № 12, с. 45-48.

25. Колчин Г.Б. Плоские задачи теории упругости неоднородных тел.-Кишинев: Штиинца, 1977 120 с.

26. Китовер К.А. Изгиб тонких прямоугольных плит. В кн.: Расчет пространственных конструкций. М.: Госстройиздат, 1951, № 2, с. 71-78.

27. Китовер К.А. Об использовании специальных систем бигармони-ческих функций для решения некоторых задач теории упругости. Прикл. механика и математика, 1952, т.16, вып.6, с. 739748.

28. Китовер К.А. Изгиб высоких балок. Инженерный сборник, 1953, т.14, с.199-203.

29. Круг Е.М. Об одном символическом решении уравнений теории упругости. В кн.: Научный ежегодник за 1959 г. Черновицкого университета. Черновицы: Изд-во Черновицк. ун-та, I960, с. 537-543.

30. Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных тел. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1976. - 368 с.

31. Лурье А.И. К задаче о равновесии пластины переменной толщины. В кн.: Тр.Ленинград, индустр. ин-та, Л.: Изд-во Ленинград, иццустр. ин-та, 1936, № 6, с. 57-80.

32. Лурье А.И. К теории толстых плит. Прикл. механика и математика, 1942, т.6, № 2-3, с.151-168.

33. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. М.: Гостехиздат, 1955 - 279 с.

34. Любовский Е.П. Экспериментально-теоретическое исследование напряженного состояния тонкостенного стержня при действии продольных сосредоточенных сил. В кн.: Тр. МИИТа, М.: Изд-во МИИТа, 1971, вып. 364, с.109-118.

35. Малышев Б.А. Задача теории упругости для тонкостенного стержня при некоторых случаях местного нагружения. Мех. стержн. систем и сплошных сред. 1977, № Ю, с.35-43.

36. Маричев И.Д., Парницкий А.Б., Чеховская В.И. 0 распределении нормальных напряжений в поперечных сечениях двутавровых балок. В кн. Сбр.Воронеж, политех, ин-та. Воронеж.: Изд-во Воронеж, политех, ин-та, 1970, вып.2, с.92-96.

37. Маурер Е.Г., Чаплинский И.А. Экспериментальное исследование свободного и стесненного кручения стержней швеллерного сечения. Изв. Вузов . Строительство и архитектура, 1974, № 7, с. I46-I5I.- ПО

38. Мещеряков В.Б. К вопросу определения прогибов и углов закручивания тонкостенных стержней с учетом сдвигов в срединой поверхности. В кн.: Тр МИИТа, М.: Изд-во МИИТа, 1964, вып. 193, с. I4I-I52.

39. Мещеряков В.Б. О напряженном состоянии тонкостенных стежней открытого профиля. В кн.: Тр МИИТа М.: Мзд-во МИИТа, 1964, вып. 193, с. 216-223.

40. Мищенко П.Д. Влияние граничных условий на относительные величины поправок к деформациям тонкостенного стержня, обусловленных сдвигом. В кн.: Тр Алтайск. политех, ин-та, Барнаул: Изд-во Алтайск. политех, ин-та, 1972, вып. 21, с. 25-29.

41. Мищенко П.Д. Об одном варианте теории расчета тонкостенных стержней открытого профиля с учетом сдвига срединной поверхности. В кн.: Тр. Алтайск. политех, ин-та. Барнаул: Изд-во Алтайск. политех, ин-та, 1975, вып. 53, с. 3-21.

42. Мрощинский,А.К. Исследование работы складчатых профилей методами теории упругости. В кн.: Лаб. строительной механики ЦНИИПС. М.: Госстройиздат, 1941, с. 69-96.

43. Мусияка В.Г., Пошивалова Е.В. Применение однородных решений к исследованию напряженного состояния пластинчатых конструкций. Докл. АН УССР, Сер. А, 1980, № 8, с. 50-53.

44. Мусияка В.Г., Пошивалова Е.В. К решению краевой задачи теории упругости для неоднородной по высоте конечной полосы.

45. В кн.: Актуальные проблемы ЭВМ и программирования. Днепропетровск: Изд-во Днепропетровск, ун-та, 1981, с. 147-153.

46. Мусияка В.Г., Пошивалова Е.В. К исследованию напряженно-деформированного состояния трехслойной полосы. В кн.: Смешанные задачи механики деформируемого тела. П всесоюз. науч. конф. Тез, докл. Днепропетровск: Изд-во Днепропетр. ун-та, 1981, с. 94.

47. Мусияка В.Г., Пошивалова Е.В. Матричный метод исследования напряженного состояния призматических оболочек типа швеллера и двутавра. В кн.: Динамика и прочность тяжелых машин. Днепропетровск: Изд-во Днепр, ун-та, 1983, с. I0I-I04.

48. Папкович П.Ф. Об одной форме решения плоской задачи теории упругости для прямоугольной полосы. Докл. АН СССР, 1940, т. 27, № 4, с. I27-I4I.

49. Папкович П.Ф. Два вопроса теории изгиба тонких упругих плит. Прикл. механика и математика, 194I, т. 5, № 3, с. 359-374.

50. Петришин В.И., Приварников А.К. Основные граничные задачи для многослойных оснований. Прикл. механика, 1965, т. I, вып. 4, с. 58-66.

51. Потейко В.Г. Осесимметричное напряженное состояние мнослой-ных цилиндров. В кн.: Уч. зап. Томск, ун-та, 1973, № 73, с. 162-172.

52. Пошивалова Е.В. Исследование напряженного состояния тонкостенного уголка. В кн.: Актуальные проблемы механики деформируемых сред. Днепропетровск: Изд-во Днепропетровск, ун-та, 1979, с. 174-179.

53. Пошивалова Е.В. Применение однородных решений к исследованию стесненного кручения и внецентренного сжатия тонкостенных стержней'. Днепропетровск, 1984. - с. 87. Рукопись предст. Днепр, ун-том. ДЕЛ в ВИНИТИ 9 января 1984 г., № 291-84.

54. Приварников А.К., Шевляков Ю.А. Решение некоторых основных граничных задач теории упругости для многослойных оснований -В кн.: Аннотации докладов П Всесоюзного съезда по теоретической и прикл. механике. М.: Наука, 1964, с. 175.

55. Прокопов В.К. Задача о стесненном изгибе прямоугольной полосы. Инженерный сборник, 1952, т. II, с. I5I-I60.

56. Прокопов В.К. Об одной плоской задаче теории упругости для прямоугольной области. Прикл. механика и математика, 1952, т. 16, № I, с. 45-46.

57. Прокопов В.К. О соотношении обобщенной ортогональности П.Ф. Папковича для прямоугольной пластинки. Прикл. механика и математика, 1964, т. 28, № 2, с. 351-355.

58. Прокопов В.К. Однородные решения теории упругости и их приложения к теории тонких пластинок. В кн.: Труды П Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. Механика твердого тела. М.: Наука, 1966, с. 253-259.

59. Терегулов И.Г. Круглая упругая плита при осесимметричном поперечном нагружении. Прикл. механика и математика, 1961, т. 25, № 5, 927-930.

60. Тимошенко С.П. Прочность и колебания элементов конструкций. М.: Наука, 1975, 704 с.

61. Тихомиров В.В. К расчету коробчатой оболочки прямоугольного профиля. Прикл. механика и математика, 1981, т. 17, № 8, с. 48-55.

62. Тюряхин А.С. Напряжения в внецентрально-нагруженных металлических стержнях при местной передаче нагрузки. Изв. Вузов. Строительство и архитектура, 1966, № 6, с. 3-9.

63. Устинов Ю.А. Осесимметричное напряженно-деформированное состояние неоднородной цилиндрической оболочки малой толщины.- Прикл. механика, 1975, т. II, № 7, с. 35-41.

64. Хачатурян Т.Т. К теории изгиба и сжатия толстых плит. Изв. АН Арм. ССР. Сер. физ-мат наук. 1963, т. 16, № 6, с. 41-61.

65. Холопцев В.В. Напряжения и деформации короткого тонкостенного стержня открытого профиля при стесненном кручении. В кн.: Судостроение и судоремонт. М.: Судостроение, 1977, вып. 8,с. 63-69.

66. Холопцев В.В. Влияние сдвига на нормальные напряжения и углы закручивания короткого тонкостенного стержня с открытым контуром при стесненном кручении. В кн.: Сооружение и механизация морских портов. М.: Судостроение, 1983, с. 49-53.

67. Яковлев В.А. Исследование напряженно-деформированного состояния внецентренно сжатых стержней. В кн.: Тр. Новочеркасского политех, ин-та, Новочеркасск: Изд-во Новочеркасского политехи. ин-та. 1974, № 305, с. 102-104.

68. Ch&nf ThasSfrnato^n. CtUzascuc, Pi titty

69. YJa/fcte/tsD. Re,$tbaiiwt \ма,грьп<я stresses Lru thifr- wMtd open sections- Stutci. Diir Ръос. Лмеъ. Ьос. Сйг. Cnf., /975, V 10i,tp 2W-2411.

70. Zkoiud'hufiy P. Stvzsses in- tlcuctic, foyvu With va/u^if^ m^du-tu-s of ztfrbiioLtuj. ftuuti. CatcU'ttcL

71. Roy. Soc. of toUnfojAsi^, i91H,v. pavt.i\f9 till,p. S95-97S.

72. Fct/die, X DCe SetbstspanfiiMfS ECge.ruAse.i4-f-\А/П, KhCotb&n- cle/v c^u^pLn^tizc^fberu bbh&i&e.1.y. Jlwhiv, 1941, Bel. H, M2, S. 125-149.

73. Hlotb L.N, G• Ort the ^дсрсип-ьСоп- of poling-rrvidZt orv -se^Ce* of f-uuvciiorus. Р^фс of ifit London, Moth. Soo., 1907,I/. M.S. 11,p. 396-430. .

74. Repi. Ъогъ. Cent. Jtppt. fflcutk and fTleck., 1910, ы №, 27p.88. {yi^ivfiCaupsoru beiv Jt., T^ndwf PedetsSen P. AjLnitc eteme-nt f оъпьи-СаЛйоги ^оъ iwwn-s with tfviru wooUtd cmss-section,- Compwt.

75. M^d Un^t, 1912, v5, a,5, p. 691-699.89. fStiutt^Ae. ond> pw^te-rrv of ъыЬсмь^иtw- ittips. Я Jtppt. truck, 1955, v 20, ы1, р-87-М.

76. Wowfry (y-, E>ovn- 3 5. home rrUxecL iouyrucLouvt^ -'VaZuz ръеЫ&гтиь of the, setruCirufCrUte. stripslAfft. tHadv., 1957, v. 24, ы2,рЛ 61-26*.

77. Howoui. G.j Howstoru K. Tfv& zzctot, pvoStem

78. Jtpph. Mack., i95l} v. 24, uk, p. 554 5M.92. foefbofct W. Ъил> t^rruittU^i^ clex, E.iyuf&4,ssftcic-nt>ru wnvi uruwust, Kn^cifie ■pt'm>f(%>n^bkbch,te,CKf>Uutten,. У гики- ЛъсЬ., 1950, В. Д /v5.ъ.шчъг

79. Uct/Mcwt R. 1imv -f-n^t dei, tae^wt^. Zckwe-Cjiti-Sokc 192.1, Bel. 77. N2, b. 16-19.

80. HoyCtlouvt R. UzUb Dt&huivy wtd- BCtQwiq.

81. PonitZKU Ц., WoiVCMj Gr. St^ss Lrv pip*- &M>ndttb3.of Яррс. Шс/1г.у 1952,4.19, v2, ktewLstion,. />.229.

82. R оШп* CX Smith R.C.T. Л triiu ofwotz oj.

83. Sin Phil. rtlcufrco^KZ, /Ж V.39.p. 1005.

84. IwiitvtU bu^zfbiusSj An>aU^ct< iQpiisstwsiczjС pie-tow о- totn^ywi^oh rru-todv ^^mc/iAow wMpruy&h,*- tTle,ch ttoi- i stosow, 1911,1. V. 19. м2,р-25Ь-2бо.

85. Schrff P. A. Si^v Lzju-iUibt оГwv oyUruiitd)t>U**tifu>b. Я tflcuth,, pttw^ et Ofpt, iUmvilU)- 1911. t. 9, S^Ce g.югЛМмск НШе Re,ckteck$cfiU6e mCb beUtbCqtobtlfrrtusHf /Cwfjzn- Bvtcun, -шъсС

86. ШМШкЬш, mi.i б- M s. 72-П.юз Soh>e,e&k W. Dw> bfii^touruoL £n> d&u

87. Ysva/QithM/he* rrUt tCnyztlasu'st. bcuvtzc-rwulK, {962, 5.39, iv 7. Ь. 240-14%.

88. Ь&г^сЬигии'П^ p'UsrruGutizth'&i' FoUl~wtijce. грш>к d&u cvw-e^t^t^rv te^ohrU zchu-ruitWsOfrfywC&iM, 1911, 46,p. 405-Ш

89. Ю5. WaJfMb H.f PbU^/ге^ 1Y ^tbcLuki^n^ urud

90. KiAsootoi^^ von of fene-n Prof-Cfctb-LufftfrоъЬоШгу, 19M, £>d H, У 174-110. Ю6. \Jftt)W C'. Sit^h^ UJUPL bbkusb Cru devn/te-n-fat***. leitukrifi fust, JtnybwoufbdAc. ftU^th^nnsdCk -u^ui jlt^c^vpuUlc, igiif. Bd. M, Ь.ЪЪЧ.

91. МеЬ&и С. МьъЬиъ^пА, oUs Ъгб'к/п,от&п>Ы Сгьbalict/v nvit doppeif ь/гС^т- Цие-ыь/гп-М-ieiiichn^ift fti,i Ап^мсигФЬе, fnuthe-rrub

92. Uk шиЖ> ГПьоН-Я'пАк., 1926, Bd 6. S.SH107