Напряженно-деформированное состояние интраокулярных линз тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

004697737

МОРЩИНИНА Диана Алексеевна

НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ИНТРАОКУЛЯРНЫХ ЛИНЗ

01.02.04'-Механика деформируемого твердого тела

- 2 СЕН

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2010

004607737

Работа выполнена на кафедре вычислительных методов механики деформируемого тела факультета прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор ДАЛЬ Юрий Михайлович Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор ФИЛИППОВ Сергей Борисович (Санкт-Петербургский государственный университет) доктор технических наук, профессор МЕЛЬНИКОВ Борис Евгеньевич (Санкт-Петербургский государственный политехнический университет) Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный

горный университет

Защита состоится "/з - 2010 г. в //~часов на заседании

совета Д 212.232.30 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр., 28, математико-механический факультет, ауд. 405.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан "_"_2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Кустова Е. В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. В настоящее время концепции механики деформируемого твердого тела широко применяется и различных областях медицины, в том числе и в офтальмологии. Создание математических моделей глазных болезней, согласованных с законами биомеханики, физиологии и биохимии, позволяет, в ряде случаев, находить наиболее эффективные способы их лечения.

Исследования Всемирной организации здравоохранения (ВОЗ) свидетельствуют о том, что ныне в мире насчитывается свыше 45 миллионов слепых и 135 миллионов людей с серьезными дефектами зрения. При этом основной причиной потери зрения является катаракта.

На сегодняшний день существует единственный (хирургический) способ лечения данного заболевания, который заключается в замене помутневшего естественного хрусталика прозрачным искусственным - так называемой, интраокулярной линзой (ИОЛ).

ИОЛ состоит из двух частей: оптической, представляющей собой центральную линзу, которая фокусирует изображение на сетчатку, и опорных элементов, называемых гаптикой.

В диссертационной работе проводится исследование современных ин-траокулярных линз с четырьмя и двумя опорными элементами (С-образная гаптика). На данный момент именно они, в основном, используются в офтальмологической практике.

С точки зрения механики деформируемого тела, оптическую часть ИОЛ можно считать тонким изотропным диском постоянной толщины. В свою очередь гаптику интраокулярной линзы с четырьмя опорными элементами естественно рассматривать как совокупность четырех плоских рам; в случае С-образной гаптики - как два тонких криволинейных стержня, жестко заделанных на контуре диска и абсолютно свободных на другом конце.

После установки ИОЛ в капсуле хрусталика её опорные элементы оказываются изогнутыми. В местах их соединения с оптическим диском возникают реакции взаимодействия - сосредоточенные силы и моменты. Следовательно, оценка напряженно-деформированного состояния интрао-кулярной линзы состоит в определении полей напряжений и перемещений в диске и в анализе прогибов и изгибающих моментов в опорных элементах. Следует особо подчеркнуть, что в хирургической практике неоднократно отмечались случаи отрыва опорных элементов от контура оптического диска.

Таким образом, исследование напряженно-деформированного состояния интраокулярных линз является актуальной проблемой, представляющей интерес как для механики деформируемого твердого тела, так и для офтальмологической практики.

Цель работы состоит в построении математических моделей, позволяющих оценить прочность двух типов искусственных хрусталиков, наиболее часто используемых при операциях по устранению катаракты.

При анализе напряженно-деформированного состояния современных интраокулярных линз с четырьмя и двумя опорными элементами были поставлены следующие задачи:

1. Определить поля упругих напряжений и перемещений, возникающие в оптическом диске под действием сосредоточенных сил и моментов;

2. Решить геометрически нелинейную задачу о плоском изгибе криволинейного стержня, жестко защемленного на одном конце и загруженного сосредоточенной силой на другом;

3. Проанализировать напряженно-деформированное состояние гапти-ки ИОЛ с четырьмя опорными элементами;

4. Провести экспериментальные исследования прочности интраокулярных линз с С-образной гаптикой.

Методы исследования. При анализе поставленных задач использовались методы, предложенные в работах ученых-механиков: Г. В. Колосова,

Н. И. Мусхелишвили, В. В. Новожилова, Хана X., С. Д. Пономарева, В. Л. Бидермана, К. К. Лихарева, В. М. Макушина, Н. Н. Малинина, В. И. Феодосьева и других авторов.

В частности, методами теории функций комплексного переменного найдено точное аналитическое решение плоской задачи теории упругости для диска, на контуре которого действуют сосредоточенные силы и моменты.

На основе нелинейной теории изгиба тонких криволинейных стержней проведено исследование напряженно-деформированного состояния опорных элементов интраокулярных линз с С-образной гаптикой.

Соотношения строительной механики стержневых систем использованы при анализе распределения упругих напряжений в гаптике ИОЛ с четырьмя опорными элементами.

Проведены специальные эксперименты по оценке прочности узла соединения оптического диска и опорного элемента.

Научная новизна. Автором получены следующие новые результаты:

1. Определены потенциалы 1'. В. Колосова Ф(г) и Ч'(г) для диска, загруженного системой самоуравновешенных моментов;

2. Выведены точные аналитические выражения для компонент напряжений и перемещений в диске, на контуре которого действуют сосредоточенные нагрузки (в декартовой и в полярной системе координат);

3. Составлены компьютерные программы и произведены вычисления компонент тензора напряжений и вектора перемещений в диске ИОЛ;

4. Получено аналитическое решение геометрически нелинейной задачи о плоском изгибе С-образной гаптики интраокулярной линзы;

5. Проведены эксперименты по определению прочности опорных элементов искусственного хрусталика.

Достоверность основных научных положений основана на строгой физической постановке соответствующих задач и корректных математических методах, использованных при их решении. В частных случаях расче-

ты по выведенным теоретическим зависимостям были сопоставлены с решениями других авторов. Экспериментальные результаты подтвердили достоверность основных положений диссертационной работы.

Результаты, выносимые на защиту:

1. Решение плоской задачи линейной теории упругости для диска, на контуре которого действует самоуравновешенная система сосредоточенных сил и моментов.

2. Аналитическое решение геометрически нелинейной задачи о плоском изгибе тонкого криволинейного стержня, заделанного на одном конце и загруженного сосредоточенной силой на другом.

3. Анализ напряженно-деформированного состояния гаптики ИОЛ с четырьмя опорными элементами.

4. Результаты экспериментальных исследований прочности интраоку-лярных линз.

Практическая ценность. Полученные результаты могут применяться на практике для оценки прочности и жесткости современных интраоку-лярных линз. Разработанные в диссертации методы решения плоской задачи теории упругости для диска используются в учебном процессе на факультете прикладной математики - процессов управления (в курсе лекций «Теория функций комплексного переменного»).

Апробация работы. Отдельные результаты работы докладывались на семинарах кафедры вычислительных методов механики деформируемого тела (2007 - 2009 гг.), научных конференциях студентов и аспирантов «Процессы управления и устойчивость» факультета прикладной математики - процессов управления СПбГУ (2007 г., 2009 г.), городском семинаре «Компьютерные методы в механике сплошной среды» (г. Санкт-Петербург, 2007 г.), конференции «Физика конденсированного состояния» (г. Гродно, Республика Беларусь, 2008 г.), Международных конференциях «Актуальные проблемы прочности» (г. Нижний Новгород, 2008 г., г. Киев 2010 г.), Санкт-Петербургских чтениях по проблемам прочности (2010 г.).

В целом диссертация докладывалась на семинарах кафедры вычислительных методов механики деформируемого тела СПбГУ, кафедры высшей математики Санкт-Петербургского государственного горного университета, кафедры сопротивления материалов СПбГТУ (Политехнический университет).

Публикации. По теме диссертации опубликовано девять работ, из них две статьи [1, 2] в журналах, рекомендованных ВАК Российской Федерации. В работе [1], написанной в соавторстве, автору принадлежит вывод формул для напряжений и перемещений, проведение численных расчетов и составление соответствующих компьютерных программ. Соавтору Ю. М. Далю принадлежит общая постановка задачи.

Поддержка. Исследования диссертанта на различных этапах работы поддерживались грантами РФФИ № 06-01-00171-а, № 08-01 -00394-а, № 10-01-00093-а, грантом Правительства Санкт-Петербурга (№ 2.2/30-04/008 проект «Напряженно-деформированное состояние интраокулярных линз»), НИР факультета прикладной математики - процессов управления СПбГУ «Нелинейная механика твердого деформируемого тела».

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, двух приложений, заключения и списка литературы, насчитывающего 53 наименования. Общий объем диссертации 121 стр., общее количество рисунков и графиков - 67, таблиц - 6.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы работы, описываются цели и методы исследования, а также основные полученные результаты.

В первой главе содержатся медицинские аспекты рассматриваемой проблемы. Кратко излагаются некоторые анатомические особенности глазного яблока. Описываются причины возникновения и основные виды катаракты, а также особенности её хирургической операции. Приводится

история происхождения интраокулярных линз, их основные типы и свойства.

Во второй главе исследуется напряженно-деформированное состояние оптической части интраокулярной линзы с четырьмя и двумя опорными элементами. Методами теории функций комплексного переменного решается плоская задача линейной теории упругости для диска, на контуре которого действуют самоуравновешенные сосредоточенные нагрузки. При этом компоненты тензора напряжений , вектора перемещений

(и, у) и угол поворота ® в произвольной точке диска т = х+гу (|2|<д) определяются формулами Г. В. Колосова:

. Е

а., +о\,„ +1-

Здесь Е и и - соответственно модуль Юнга и коэффициент Пуассона материала, из которого изготовлен диск.

В первом параграфе рассматривается изотропный упругий диск радиуса Л, на контуре которого действуют нормальные сосредоточенные силы И, приложенные в точках

г, = Я ёа>, г2 = Я е'"1, г3=-Я ещ = -г2, гл=-Я е^ = -2,, г,--Я е"* = -г,,

При этом функции Ф(г) и Ч'(г) оказываются равными

Ф(г} =--

^ ' лЯ

л

, у , в)' , (*,)'

(Ю2 ,

(3)

[(^-О (&)'-*') N'"4

Внося соотношения (3) в зависимости (1), (2) после осуществления необходимых преобразований, получаем выражения для компонент упру-

гих напряжений и перемещений (они приведены в диссертации на стр. 33 -36).

Во втором параграфе решается задача для диска, на контуре которого в точках г, = Я е'а' , =7? , = -Я е"а> = -5,, г4=-Я е"*- = -1Х, г5 = -Я ем = -г,, г6 = -Л е'"' = --2, = Я е"а- = :г, г$= Я = ^ действуют сосредоточенные моменты М.

В данном случае окончательные формулы для функций Ф(г) и Ч'(г) имеют ввд:

, - Кй Г е2'"1 е2щ е2'"' е2""

е-11щ е-гщ е-1, а, е-1 ¡а,

+ -

Ъ-'У

1 ' 1

К' -г +—4-- Ь-'У + / (Г,+2)

1 1 3^-4^ +г1

-У

1 1 З^-^г + г" Д'+^г + г1 )

(5 (л^У б-*)4 (г1+г)4

1 1 +-г ЗГ,г -Л'г.г + г2 + —--—- 3 г,2+4г,г + г2 +—^-г_-

(4)

(г,-г)' (Г2+г)2 (1г-2у (1г+г)

В третьем параграфе исследуются (в декартовой системе координат) особенности напряженно-деформированного состояния диска, загруженного двумя самоуравновешенными сосредоточенными силами Р, приложенными в точках 11=-Я. Как показано в диссертации, функции Ф(г) и Ч'(г), входящие в формулы (1), (2), имеют при этом следующий вид:

= ^.А^^*'**')! (5)

1> 2п\я1-11 Я) К > гп^Я1-!2 [я2-г2У \

Согласно (1), (2), в диссертации вычислены компоненты напряжения <т„, а , о- , угол поворота со и проекции перемещения и (на ось л-) и V (на

ОСЬ у).

На рис. 1 кривыми (1, 2, 3, 4) представлен график безразмерных напряжений <ух>° = при = (0,0.25,0.5,0.75).

В четвертом параграфе анализируется (в декартовой системе координат) напряженно-деформированное состояние диска, контур которого загружен двумя самоуравновешенными сосредоточенными моментами М, приложенными в точках г,=Д, -К. Функции Ф(г) и Ч'(г) для такой нагрузки определяются формулами:

Рис. 1.

Распределение напряжений ст„° в диске, загруженном двумя сосредоточенными силами.

(б)

На основе зависимостей (1), (2), (6) были вычислены компоненты напряжения, перемещения и угол поворота.

Решение задач для диска, на контуре которого действует две сосредоточенные силы или два сосредоточенных момента, в полярной системе координат содержится в пятом параграфе настоящей главы.

В шестом параграфе проводится сопоставление полученных результатов для диска с аналогичными решениями для полуплоскости. Для диска и полуплоскости, на которые действуют сосредоточенные силы и моменты, построены графики нормальных напряжений, позволяющие определить локальные области около точки приложения сосредоточенной нагрузки, где напряжения, возникающие в диске, можно вычислять по соответствующим формулам для полуплоскости.

Третья глава посвящена анализу напряженно-деформированного состояния гаптики интраокулярных линз с двумя и четырьмя опорными элементами.

В первом случае исследование проводится с позиции нелинейной теории изгиба тонких криволинейных стержней, основные соотношения которой приведены в §1. Нелинейное дифференциальное уравнение изгиба сильно изогнутого тонкого стержня 01 имеет вид:

¿'С р ■ г ™

ск Е /

где С ~ угол, который составляет касательная, проведенная в некоторой точке стержня, с осью х' подвижной системы координат; я — длина дуги, отсчитываемая от начала координат к Ь \ 3 - момент инерции сечения стержня; £",= £/(1-иг).

I р

Введя безразмерный параметр р = / —— , после однократного интег-

V Е »/

рирования получаем:

= 4/?2^С1-5И12^, (С^сот!)

1г=4/?г|С,-яп2^|, (С^соп^) (8)

Во втором параграфе решается задача о плоском изгибе криволинейного стержня ОЬ длиной /, жестко закрепленного на одном конце и загруженного сосредоточенной силой Р на другом (рис, 2).

О

Рис. 2.

Криволинейный стержень, загруженный сосредоточенной силой Р.

У"" '^Ч

/ ч

Рис. 3.

Плоская рама с неподвижными узлами.

Предполагается, что в первоначальном (недеформированном) состоянии стержень имел форму дуги окружности радиуса К0 (это предположение подтверждается результатами специальных экспериментов). Рассматривается перегибная и бесперегибная форма равновесия упругой линии стержня. Методом Е. 11. Попова в эллиптических интегралах находится выражение для изгибающего момента в точке соединения опорного элемента с оптическим диском.

В случае перегибного равновесия изгибающий момент М в точке соединения гаптики с диском определяется по формуле:

EJ

Р Л»

В случае бесперегибного равновесия

Мш±Р1-Г±ш±Р1-

кр д0 кр

EJ

где к - параметр эллиптического интеграла, определяемый из уравнения, приведенного в диссертации.

В третьем параграфе содержится анализ напряженно-деформированного состояния гаптики ИОЛ с четырьмя опорными элементами. Здесь каждый из опорных элементов рассматривается как плоская трапециевидная рама, составленная из трех прямых стержней CD, ©

длиной /,=/,= 11 , /2 = sl' , s - const и моментом инерции поперечного eosa eosа

сечения ll=I1=l¡ = l, с неподвижными узлами и жестко заделанными опорами (рис. 3). Предполагается, что на второй стержень действует равномерно распределенная нагрузка Q = qlt= .

eos а

На основе соотношений строительной механики стержневых систем определены изгибающие моменты, максимальные напряжения и прогибы стержней, входящих в состав рамы. Для полученных выражений построены безразмерные графики в зависимости от величины угла а и коэффициента s = /2//,.

В четвертом параграфе проводится сопоставление жесткости гаптик интраокулярных линз с двумя и четырьмя опорными элементами.

В четвертой главе содержатся результаты экспериментальных исследований интраокулярных линз с С-образной гаптикой.

Первый параграф посвящен эксперименту по определению деформации опорных элементов в зависимости от нагрузки. Интраокулярная линза фиксировалась на миллиметрованной бумаге и располагалась вертикально, после чего к опорному элементу прикладывалась постепенно возрастающая нагрузка. На каждом этапе нагружения определялся радиус кривизны, включающий три составляющие На основе полученных данных

построены графики изменения деформации гаптики в зависимости от нагрузки.

Во втором параграфе приводится сравнительный качественный анализ прочности составных и монолитных интраокулярных линз с Сообразной гаптикой. Для этого искусственный хрусталик фиксировался в центре круга, разбитого на сектора с углом раствора <р = 50. После чего с помощью жесткого стержня осуществлялась деформация гаптики по контуру оптического диска.

В приложении I представлены два различных способа получения комплексных функций Ф(г) и Ч'(г) в случае диска, загруженного на контуре сосредоточенными моментами.

В приложении П содержатся выражения для компонент перемещения в полярных координатах для диска, на контуре которого действуют два сосредоточенных момента.

В заключении приводятся основные результаты работы, которые состоят в следующем:

1. Методами теории функций комплексного переменного найдено точное аналитическое решение плоской задачи линейной теории упругости (в декартовой и полярной системе координат) для оптического диска ИОЛ, загруженного на контуре самоуравновешенными сосредоточенными силами.

2. Выведены формулы для комплексных потенциалов Г. В. Колосова Ф(г) и Ч'(г) в случае, когда на контуре диска приложена система самоуравновешенных сосредоточенных моментов.

3. Решения, полученные для оптического диска, загруженного двумя сосредоточенными силами и моментами, сопоставлены с аналогичными результатами для полуплоскости. На основе построенных графиков и приведенных таблиц выявлены границы совпадения значений нормальных напряжений, возникающих в диске и полуплоскости.

4. С помощью соотношений строительной механики стержневых систем произведена оценка напряженно-деформированного состояния гаптики ИОЛ с четырьмя опорными элементами, представимой в виде совокупно-

сти четырех плоских трапециевидных рам. Выведены формулы и построены соответствующие графики для напряжений и прогибов стержней, входящих в состав этих рам. Полученные результаты позволяют утверждать, что оптимальной конструкцией для данного типа опорных элементов является IT-образная рама.

5. Выполнена экспериментальная оценка деформированной конфигурации опорных элементов интраокулярной линзы с С-образной гаптикой. Построены графики изменения деформации этих элементов в зависимости от нагрузки.

6. Проведены экспериментальные исследования по определению прочности составных и монолитных интраокулярных линз. Установлено, что, в отличие от монолитных искусственных хрусталиков, у составных ИОЛ не происходит разрушения опорных элементов после многократного нагру-жения.

7. Сравнительный анализ двух типов интраокулярных линз свидетельствует о том, что жесткость гаптики ИОЛ с четырьмя опорными элементами существенно выше жесткости опорных элементов искусственного хрусталика с С-образной гаптикой.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи в журналах, рекомендованных ВАК:

1. Даль Ю. М., Морщинина Д. А. О напряженно-деформированном состоянии интраокулярной линзы (ИОЛ) // Вестник С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2008. Вып. 4. С. 118-124.

2. Морщинина Д. А. Математические модели интраокулярных линз // Вестник С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2009. Вып. 4. С. 167-172.

Другие публикации:

3. Морщинина Д. А. Поле упругих напряжений и перемещений в интрао-кулярных линзах (ИОЛ) // Труды семинара «Компьютерные методы в механике сплошной среды». Изд-во С.-Петерб. ун-та. 2007-2008. С. 84-101.

4. Морщинина Д. А. О напряжениях и перемещениях в интраокулярных линзах (ИОЛ) // Сборник докладов научной конференции студентов и аспирантов Гродненского государственного университета. Гродно, 2008. С. 80-81.

5. Морщинина Д. А. Плоская задача теории упругости для кругового диска, загруженного сосредоточенными самоуравновешенными моментами // Материалы конференции «Актуальные проблемы прочности», Нижний Новгород, 2008,4.2. С. 367-370.

6. Морщинина Д. А. Напряженно-деформированное состояние упругого кругового диска, загруженного сосредоточенными силами и моментами // Тезисы докладов V международной конференции по механике «Поляхов-ские чтения», Санкт-Петербург, 2009. С. 179.

7. Морщинина Д. А. Напряженно-деформированное состояние интраокулярных линз // Четырнадцатая Санкт-Петербургская Ассамблея молодых ученых и специалистов. Аннотации работ победителей грантов Санкт-Петербурга 2009 года для студентов, аспирантов, молодых ученых и молодых кандидатов наук. - СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2009. С. 35-36.

8. Морщинина Д. А. О прочности интраокулярных линз // Материалы конференции «Петербургские чтения по проблемам прочности», Санкт-Петербург, 2010 (апрель). С. 315-317.

9. Морщинина Д. А. Напряжения и перемещения в изотропном диске, загруженном самоуравновешенными силами и моментами // Материалы конференции «Актуальные проблемы прочности», Киев, 2010 (июнь). С. 236.

Отпечатано копировально-множительным участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ. Приказ № 571/1 от 14.05.03. Подписано в печать 29.06.10 с оригинал-макета заказчика. Ф-т 30x42/4, Усл. печ. л.1. Тираж 100 экз.. Заказ № 1069/с 198504, СПб, Ст. Петергоф, ул. Ульяновская, д. 3, тел. 929-43-00.

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. ОСОБЕННОСТИ ПАТОЛОГИИ И ЛЕЧЕНИЯ

КАТАРАКТЫ.

§ 1. Анатомические, оптические и физиологические особенности глазного яблока.

§2. Патология катаракты.

§3. Интраокулярные линзы.

Глава II. НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ

ОПТИЧЕСКОГО ДИСКА ИНТРАОКУЛЯРНОЙ ЛИНЗЫ.

§1. Оптический диск интраокулярной линзы с четырьмя опорными элементами, загруженный сосредоточенными силами.

§2. Оптический диск интраокулярной линзы с четырьмя опорными элементами под действием сосредоточенных моментов.

§3. Сжатие диска двумя сосредоточенными силами (декартова система координат).

§4. Диск, загруженный двумя сосредоточенными моментами (декартова система координат).

§5. Решение задач

§3 и

§4 в полярных координатах.

§6. Сравнение решений задач, изложенных в

§3 и

§4, с первой основной краевой задачей для полуплоскости.

Глава III. НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ

ОПОРНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ИНТРАОКУЛЯРНОЙ ЛИНЗЫ.

§ 1. Вывод нелинейного дифференциального уравнения плоского изгиба тонкого стержня.

§2. Анализ напряженно-деформированного состояния опорных элементов интраокулярной линзы с С-образной гаптикой.

§3. Оценка напряженно-деформированного состояния гаптики интраокулярной линзы с четырьмя опорными элементами.

§4. Оценка жесткости гаптик интраокулярных линз с четырьмя и двумя опорными элементами.

Глава IV. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ИНТРАОКУЛЯРНЫХ ЛИНЗ С С-ОБРАЗНОЙ ГАПТИКОЙ.

§ 1. Деформация опорных элементов интраокулярной линзы с С-образной гаптикой.

§2. Прочность опорных элементов интраокулярной линзы с С-образной гаптикой.

Актуальность. В настоящее время концепции механики деформируемого твердого тела широко применяется в различных областях медицины, в том числе и в офтальмологии*1. Создание математических моделей глазных болезней, согласованных с законами биомеханики, физиологии и биохимии, позволяет, в ряде случаев, находить наиболее эффективные способы их лечения [2, 3, 7].

Исследования Всемирной организации здравоохранения (ВОЗ) свидетельствуют о том, что ныне в мире насчитывается свыше 45 миллионов слепых и 135 миллионов людей с серьезными дефектами зрения. При этом основной причиной потери зрения является катаракта (рис. 1). Число ослепших вследствие данного недуга составляет более 20 млн. человек [8, 15, т другие 13% макулярная дегенерация детская слепота 4% диабетическая рет. 5% помутнение роговицы 5%

1%

47% катаракта онхоцеркоз глаукома

Рис. 1.

Причины потери зрения в мире. трахома

Термин «катаракта» (гр. catarrhakt6s - водопад) означает помутнеофтальмология (гр. ophthalmos - глаз) - раздел медицины, изучающий анатомию, физиологию, а также болезни органа зрения, методы их лечения, диагностики и профилактики [31]. ние хрусталика глазного яблока. Само помутнение может достигать различной интенсивности в той или иной части хрусталика, что приводит к постепенному снижению зрения, вплоть до полной слепоты [8, 14, 34, 38].

Долгое время в офтальмологии предпринимались многочисленные попытки найти терапевтические методы лечения и предупреждения катаракты [17, 38, 43]. К сожалению, все они оказались мало эффективными. В настоящее время существует единственный (хирургический) способ лечения данного заболевания, который заключается в замене помутневшего естественного хрусталика прозрачным искусственным - так называемой, ин-траокулярной линзой (ИОЛ) [4, 30, 35].

ИОЛ состоит из двух частей: оптической, представляющей собой центральную линзу, которая фокусирует изображение на сетчатку, и опорных элементов, называемых гаптикой.

На сегодняшний день существует множество моделей интраокуляр-ных линз, которые отличаются по способу фиксации в глазном яблоке и по конструкции опорных элементов [30, 33, 38, 40].

Особый интерес для медицинской практики представляет выбор оптимальной конфигурации интраокулярной линзы и материала для ее изготовления. При этом основными критериями оптимальности ИОЛ являются, во-первых, ее прочность, во-вторых, возможность наилучшей фиксации в глазном яблоке, что определяет остроту зрения пациента после операции, и, наконец, в-третьих, биологическая инертность материала линзы.

В данной работе проводится исследование современных интраокуляр-ных линз с четырьмя (рис. 2) и двумя (рис. 3) опорными элементами (Сообразная гаптика), которые имплантируются в капсулу хрусталика. На данный момент именно они, в основном, используются в офтальмологической практике.

Рис. 2.

Интраокулярная линза с четырьмя опорными элементами.

Рис. 3.

Интраокулярная линза с двумя опорными элементами (С-образная гаптика).

С точки зрения механики деформируемого тела, оптическую часть современных ИОЛ можно считать тонким изотропным диском постоянной толщины. В свою очередь гаптику интраокулярной линзы с четырьмя опорными элементами естественно рассматривать как совокупность четырех плоских рам; в случае С-образной гаптики - как два тонких криволинейных стержня, жестко заделанных на контуре диска и абсолютно свободных на другом конце.

После установки ИОЛ в капсуле хрусталика её опорные элементы оказываются изогнутыми. В местах их соединения с оптическим диском возникают реакции взаимодействия — сосредоточенные силы и моменты. Следовательно, оценка напряженно-деформированного состояния интраокулярной линзы состоит в определении полей напряжений и перемещений в диске и в анализе прогибов и изгибающих моментов в опорных элементах. Следует особо подчеркнуть, что в хирургической практике неоднократно отмечались случаи отрыва опорных элементов от контура оптического диска [1].

Таким образом,, исследование напряженно-деформированного состояния интраокулярных линз является актуальной проблемой, представляющей интерес как для механики деформируемого твердого тела, так и для офтальмологической практики.

Цель работы состоит в построении математических моделей, позволяющих оценить прочность двух типов искусственных хрусталиков (рис. 2 и рис. 3), наиболее часто используемых в операциях по устранению катаракты.

При анализе напряженно-деформированного состояния современных интраокулярных линз с четырьмя и двумя опорными элементами были поставлены следующие задачи:

1. Определить поля упругих напряжений и перемещений, возникающие в оптическом диске под действием сосредоточенных сил и моментов;

2. Решить геометрически нелинейную задачу о плоском изгибе криволинейного стержня, жестко защемленного на одном конце и загруженного сосредоточенной силой на другом;

3. Проанализировать напряженно-деформированное состояние гапти-ки ИОЛ с четырьмя опорными элементами;

4. Провести экспериментальные исследования прочности интраоку-лярных линз с С-образной гаптикой.

Методы исследования. При анализе поставленных задач применялись методы, предложенные в работах Г. В. Колосова [9, 10], Н. И. Мусхе-лишвили [26], В. В. Новожилова [27], Хана X. [36], С. Д. Пономарева, В. Л. Бидермана, К. К. Лихарева, В. М. Макушина, Н. Н. Малинина, В. И. Феодосьева [29] и других авторов.

В частности, методами теории функций комплексного переменного найдено точное аналитическое решение плоской задачи теории упругости для диска, на контуре которого действуют сосредоточенные силы и моменты.

На основе нелинейной теории изгиба тонких криволинейных стержней проведено исследование напряженно-деформированного состояния опорных элементов интраокулярной линзы с С-образной гаптикой.

Соотношения строительной механики стержневых систем использованы при анализе распределения упругих напряжений в гаптике ИОЛ с четырьмя опорными элементами.

Проведены специальные эксперименты по оценке прочности узла соединения оптического диска и опорного элемента.

Научная новизна. Автором получены следующие новые результаты:

1. Определены потенциалы Г. В. Колосова Ф(г) и ^(z) для диска, загруженного системой самоуравновешенных моментов;

2. Выведены точные аналитические выражения для компонент напряжений и перемещений в диске, на контуре которого действуют сосредоточенные нагрузки (в декартовой и в полярной системе координат);

3. Составлены компьютерные программы и произведены вычисления компонент тензора напряжений и вектора перемещений в диске ИОЛ;

4. Получено аналитическое решение геометрически нелинейной задачи о плоском изгибе С-образной гаптики интраокулярной линзы;

5. Проведены эксперименты по определению прочности опорных элементов искусственного хрусталика.

Достоверность основных научных положений основана на строгой физической постановке соответствующих задач и корректных математических методах, использованных при их решении. В частных случаях расчеты по выведенным теоретическим зависимостям были сопоставлены с решениями других авторов. Экспериментальные результаты подтвердили достоверность основных положений диссертационной работы.

Результаты, выносимые на защиту:

1. Решение плоской задачи линейной теории упругости для диска, на контуре которого действует самоуравновешенная система восьми или двух сосредоточенных сил и моментов.

2. Аналитическое решение геометрически нелинейной задачи о плоском изгибе тонкого криволинейного стержня, заделанного на одном конце и загруженного сосредоточенной силой на другом.

3. Анализ напряженно-деформированного состояния гаптики ИОЛ с четырьмя опорными элементами.

4. Результаты экспериментальных исследований прочности интраоку-лярных линз.

Практическая ценность. Полученные результаты могут применяться на практике для оценки прочности и жесткости современных интраоку-лярных линз. Разработанные в диссертации методы решения плоской задачи теории упругости для диска используются в учебном процессе на факультете прикладной математики - процессов управления (в курсе лекций «Теория функций комплексного переменного»).

Апробация работы. Отдельные результаты работы докладывались на семинарах кафедры вычислительных методов механики деформируемого тела (2007 - 2009 гг.), научных конференциях студентов и аспирантов «Процессы управления и устойчивость» факультета прикладной математики - процессов управления СПбГУ (2007 г., 2009 г.), городском семинаре «Компьютерные методы в механике сплошной среды» (г. Санкт-Петербург, 2007 г.), конференции «Физика конденсированного состояния» (г. Гродно, Республика Беларусь, 2008 г.), Международных конференциях «Актуальные проблемы прочности» (г. Нижний Новгород, 2008 г., г. Киев 2010 г.), Санкт-Петербургских чтениях по проблемам прочности (2010 г.). В целом диссертация докладывалась на семинарах кафедры вычислительных методов механики деформируемого тела СПбГУ, кафедры высшей математики Санкт-Петербургского государственного горного университета, кафедры сопротивления материалов СПбГТУ (Политехнический университет).

Публикации. По теме диссертации опубликовано девять работ [6, 1825], из них две [6, 18] в журналах, рекомендованных ВАК Российской Федерации. В статье [6], написанной в соавторстве, автору принадлежит вывод формул для напряжений и перемещений, проведение численных расчетов и составление соответствующих компьютерных программ.

Поддержка. Исследования диссертанта на различных этапах работы поддерживались грантами РФФИ № 06-01-00171-а, № 08-01-00394-а, № 10-01-00093-а, грантом Правительства Санкт-Петербурга (№ 2.2/30-04/008 проект «Напряженно-деформированное состояние интраокулярных линз»), НИР факультета прикладной математики - процессов управления СПбГУ «Нелинейная механика твердого деформируемого тела».

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, двух приложений, заключения и списка литературы, насчитывающего 53 наименования.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации проведено исследование современных интраокулярных линз с четырьмя и двумя опорными элементами, наиболее часто применяемых при хирургическом лечении катаракты. Основные результаты работы заключаются в следующем:

1. Методами теории функций комплексного переменного найдено точное аналитическое решение плоской задачи линейной теории упругости (в декартовой и полярной системе координат) для оптического диска ИОЛ, загруженного на контуре самоуравновешенными сосредоточенными силами. Представленные графики позволяют определить характер распределения напряжений в местах соединения опорного элемента с оптическим диском.

2. Выведены формулы для комплексных потенциалов Г. В. Колосова Ф(г) и Ч'(г) в случае, когда на контуре диска приложена система двух и восьми самоуравновешенных сосредоточенных моментов.

3. Решения, полученные для оптического диска, загруженного двумя сосредоточенными силами и моментами, сопоставлены с аналогичными результатами для полуплоскости. На основе построенных графиков и приведенных таблиц выявлены границы совпадения значений нормальных напряжений, возникающих в диске и полуплоскости.

4. С помощью соотношений строительной механики стержневых систем произведена оценка напряженно-деформированного состояния гаптики ИОЛ с четырьмя опорными элементами, представимой в виде совокупности четырех плоских трапециевидных рам. Выведены формулы и построены соответствующие графики для напряжений и прогибов стержней, входящих в состав этих рам. Полученные результаты позволяют утверждать, что оптимальной конструкцией для данного типа опорных элементов является П-образная рама.

5. Выполнена экспериментальная оценка деформированной конфигурации опорных элементов интраокулярной линзы с С-образной гаптикой. Построены графики изменения деформации в зависимости от нагрузки.

6. Проведены экспериментальные исследования по определению прочности составных и монолитных интраокулярных линз. Установлено, что, в отличие от монолитных искусственных хрусталиков, у составных ИОЛ не происходит разрушения опорных элементов после многократного нагружения.

7. Сравнительный анализ двух типов интраокулярных линз свидетельствует о том, что жесткость гаптики ИОЛ с четырьмя опорными элементами существенно выше жесткости опорных элементов искусственного хрусталика с С-образной гаптикой.

1. Азнабаев Б. М. Ультразвуковая хирургия катаракты факоэмульсифи-кация. М.: Август Борг, 2005. 129 с.

2. Бауэр С. М., Зимин Б. А., Товстик П. Е. Простейшие модели теории оболочек и пластин в офтальмологии. СПб, Изд-во СПбГУ, 2000. 92 с.

3. Бауэр С. М., Товстик П. Е., Качанов А. Б. К вопросу о построении математической модели развития глаукомы // Рос. журнал биомеханики. 1999. С. 27-28.

4. Горбань А. И., Джалиашвили О. А. Микрохирургия глаза: ошибки и осложнения СПб.: Гиппократ, 1993. 272 с.

5. Даль Ю. М., Морщинина Д. А. О напряженно-деформированном состоянии интраокулярной линзы (ИОЛ) // Вестник С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2008. Вып. 4. С. 118-124.

6. Дашевский И. Н., Шкловер В. Э. Некоторые задачи, связанные с механикой искусственного хрусталика. М.: Институт проблем механики Академии наук СССР, 1988. 30 с.

7. Евграфов В. Ю. Катаракта. М.: «Медицина». 2005. 368 с.

8. Колосов Г. В. Применение комплексной переменной к теории упругости. М.; Л.: Гл ред. общетехн. дисциплин, 1935. 224 с.

9. Колосов Г. В., Мусхелов Н. И. О равновесии упругих круглых дисков под влиянием напряжений, приложенных в точках их обода и действующих в их плоскости. Известия электротехнического института императора Александра III, том XII. Петроград, 1915. С. 39-67.

10. П.Короткин Я. И., Локшин А. 3., Сивере Н. Л. Изгиб и устойчивостьстержней и стержневых систем (Строительная механика корабля). М.; JL: Машгиз, 1953.518 с.

11. Лазерная рефракционная и интраокулярная хирургия. Всесоюзная научная конференция: Тезисы докладов. СПб., 2007. 200 с.

12. Ланг Герхард К. Офтальмология. Карманный справочник-атлас. Пер. с англ. под ред. В. В. Нероева. М.: Практическая медицина, 2009. 837 с.

13. Ликвидация устранимой слепоты: всемирная инициатива ВОЗ. Ликвидация катарактальной слепоты. Материалы III Российского межрегионального симпозиума. М., 2006. 144 с.

14. Ляв А. Математическая теория упругости. Перевод с четвертого англ. издания Булгакова Б. В., Натанзона В. Я. М.; Л.: Объединенное научно-техническое издательство НКТП СССР, 1935. 674 с.

15. Мальцев Э. В. Павлюченко К. П. Биологические особенности и заболевания хрусталика. Одесса: «Астропринт», 2002. 446 с.

16. Морщинина Д. А. Математические модели интраокулярных линз // Вестник С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. 2009. Вып. 4. С. 167-172.

17. Морщинина Д. А. Напряжения и перемещения в изотропном диске, загруженном самоуравновешенными силами и моментами // Материалы конференции «Актуальные проблемы прочности», Киев, 2010. С. 236.

18. Морщинина Д. А. Напряженно-деформированное состояние упругого кругового диска, загруженного сосредоточенными силами и моментами // Тезисы докладов V международной конференции по механике «Поляхов-ские чтения», Санкт-Петербург, 2009. С. 179.

19. Морщинина Д. А. О напряжениях и перемещениях в интраокулярных линзах (ИОЛ) // Сборник докладов научной конференции студентов и аспирантов Гродненского государственного университета. Гродно, 2008. С. 80-81.

20. Морщинина Д. А. О прочности интраокулярных линз // Материалы конференции «Петербургские чтения по проблемам прочности», Санкт-Петербург, 2010. С. 315-317.

21. Морщинина Д. А. Плоская задача теории упругости для кругового диска, загруженного сосредоточенными самоуравновешенными моментами // Материалы конференции «Актуальные проблемы прочности», Нижний Новгород, 2008, ч.2. С. 367-370.

22. Морщинина Д. А. Поле упругих напряжений и перемещений в интраокулярных линзах (ИОЛ) // Труды семинара «Компьютерные методы в механике сплошной среды». Изд-во С.-Петерб. ун-та. 2007-2008. С. 84-101.

23. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.

24. Новожилов В. В. Теория упругости. Л.: Судпромгиз, 1958. 370 с.

25. Папкович П. Ф. Строительная механика корабля. Подбор профилей. Расчет статически неопределимых балок. Расчет плоских рам, составленных из прямых стержней. М.: «Морской транспорт», 1945, Ч. I., Т. I., 618 с.

26. Пономарев С. Д., Бидерман В. Л., Лихарев К. К., Макушин В. М., Ма-линин Н. Н, Феодосьев В. И. Расчеты на прочность в машиностроении. М.: Машгиз, 1956, Т. I., 884 с.

27. Сергиенко Н. М. Интраокулярная коррекция. Киев: «Здоровья», 1990. 126 с.

28. Словарь иностранных слов и выражений / Авт.-сост. Е. С. Зенович. — М.: ООО «Издательство ACT», 2000. 784 с.

29. Современные технологии катарактальной и рефракционной хирургии 2007. Сборник научных статей по материалам VIII Международной научно-практической конференции, под редакцией X. П. Тахчиди. М., 2007. 205 с.

30. Федоров С. Н., Егорова Э. В. Ошибки и осложнения при имплантации искусственного хрусталика М., 1992. 243 с.

31. Федоров С. Н., Ярцева Н. С., Исманкулов А. О. Глазные болезни. М.: Издательский центр «Федоров», 2000. 388 с.

32. Фламмер Д. Глаукома. Пер с англ. Майчук Д. Ю., Курышева Н. И.; Под ред. Курышевой Н. И. Минск: Принткорп, 2003. 416 с.

33. Хан X. Теория упругости М.: «Мир», 1988. 343 с.

34. Хаппе Вильгельм. Офтальмология. Справочник практического врача/ пер. с нем. под общ. ред. канд. мед. наук А. Н. Амирова. М.: «МЕДпресс-информ», 2004. 352 с.

35. Шкарлова С. К. Глаукома и катаракта. Ростов н/Д:. Феникс, 2001. 191 с.

36. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1968. 342 с.

37. Apple David J., MD: Sir Harold Ridley and his fight for sight. He changed the world so that we may better see it. SLACK incorporated, 2006. 316 p.

38. Bellucci Roberto. Multifocal intraocular lenses // Current opinion in ophthalmology. Cataract surgery and lens implantation. Ed. Mark Packer. Hagers-town: Lippincott Williams & Wilkins, 2005. Vol. 16, № 1, pp. 33-37.

39. Blumental M., Боброва Н. Ф., Веселовская Н. Н. и др. Катаракта. Под ред. проф. Веселовской 3. Ф. Киев: Кн. плюс, 2002. 204 с.

40. Claoue Charles, Parmar Dipak. Multifocal intraocular lenses // Developments in ophthalmology. Modern cataract surgery. Ed. Thomas Kohnen. Basel: Karger, 2002. Vol. 34, pp. 217-237.

41. Dick H. Burkhard. Accommodative intraocular lenses: current status // Current opinion in ophthalmology. Cataract surgery and lens implantation. Ed. Mark Packer. Hagerstown: Lippincott Williams & Wilkins, 2005. Vol. 16, № 1, pp. 8-26.

42. Fabian Ekkehard. Injector systems for foldable intraocular lens implantation // Developments in ophthalmology. Modern cataract surgery. Ed. Thomas Kohnen. Basel: Karger, 2002. Vol. 34, pp. 147-154.

43. Hoffman Richard S., Fine I. Howard, Packer Mark. New phacoemulsification technology // Current opinion in ophthalmology. Cataract surgery and lens implantation. Ed. Mark Packer. Hagerstown: Lippincott Williams & Wilkins, 2005. Vol. 16, № 1, pp. 38^13.

44. Kohnen Thomas. Incisions for implantation of foldable intraocular lenses // Developments in ophthalmology. Modern cataract surgery. Ed. Thomas Kohnen. Basel: Karger, 2002. Vol. 34, pp. 147-154.

45. Lindstrom Richard. Руководство по использованию мультифокальных ИОЛ // Мир офтальмологии. 2006. №1, С. 3-7.

46. Michell J. Н. Elementary distributions of plane stress. Ibid., v. 32, 1901, pp. 35-61.

47. Packard Richard B. S., Kinnear Fiona C. Manual of cataract and intraocular lens surgery. Edinburgh: Churchill Livingstone, 1991. 127 p.

48. Stevenson A. C. Complex potential in two-dimensional elasticity. Proc. Roy. Soc. London, 1945. Ser A, v. 184, № 997, pp. 129-179, 218-229.

49. Stevenson A. C. Some boundary problems of two-dimensional elasticity. Philos. Mag., 1943. v. 347, № 238, pp. 766-793.