Нелинейные начально-краевые задачи термоупругости для светозащищенных диоптрических систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Романов Алексей Евгеньевич

Нелинейные начально-краевые задачи термоупругости для светозащищенных диоптрических систем

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

0034582

Воронеж-2008

003458210

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Самарский государственный университет»

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

Радаев Юрий Николаевич

Официальные оппоненты'

доктор физико-математических наук, доцент

Ковалев Алексей Викторович

кандидат физико-математических наук, доцент

Федечев Анатолий Федорович

Ведущая организация:

Воронежский государственный архитектурно-строительный университег

Защита состоится « 29 » декабря 2008 г. в М.ОО на заседании диссертационного совета Д 212.038.24 при Воронежском государственном университете, 394006, Воронеж, Университетская пл.1, ауд.ко^РД.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан « 2У _» ноября 2008 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.038.24, кандидат физико-математических наук

Махортов С.Д.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Разрешающая способность и линейное разрешение являются ключевыми характеристиками качества изображения любой оггпяеекой системы, и борьба за их улучшение при проектировании, сборке и во время испытаний является формой совершенствования изделий оптомсханичсской промышленности любой страны мира. С точки зрения физики распределение ролей в контексте влияния на качество изображения цепочки проблем оптомеханики, решаемых в рамках теории теплообмена, упругости и оптики таково, что термоупругость является связующими звеном между двумя другими. Любые попытки сс исключения из рассмотрения или упрощения в рамках частных случаев эксплуатации приводят к неточным и даже ошибочным результатам оценки качества. В связи с этим основными проблемами, не позволяющими в простой н компактной форме сопоставить этапам решения задач тсрмоупругости этапы идентификации качества изображения, являются фрагментарная связь между температурными деформациями и термооптическими аберрациями в качественном описании, а также отсутствие форм представления граничных условий сложного теплообмена для светозащищенных диоптрических систем. Тем не менее, среди результатов обширных исследований в различных направлениях теории теплообмена, термоупругости и оптики можно найти такие, которые могут быть адаптированы, а при необходимости и дополнены, к решению проблем оптической техники.

В условиях орбитального движения космического аппарата наиболее значимыми инициаторами изменения термоупругого состояния оптических элементов являются Земля, Солнце и система обеспечения терморегуляции космического аппарата. Их совокупное действие является причиной возникновения термомехапических явлений, к которым следует отнести такие термомеханические эффекты упругого деформирования, как термомеханическая расстраивае-мость и термооптические аберрации1. Наиболее полно выявить связь между ними и оптическими характеристиками оптической системы можно лишь из решений нелинейных начально-краевых задач термоупругости для системы оптических элементов. Нелинейности здесь функционально определяются температурой в виде сочетаний граничных условий в форме Стефана-Больцмана и зависящих от нее термомеханических и оптических свойств лит, а также воздействием неоднородно распределенных в пространстве и нелинейных во времени внешних тепловых источников.

Основоположником развития взаимосвязи термоупругости и прикладной оптики следует считать лорда Рэлея, который ввел одноименный «четвертьволновой» критерий качества изображения. Теория термооптических аберраций, в которой перемещения оптических поверхностей находятся в рамках теории температурных напряжений, начала развиваться благодаря работам Воло-сова Д.С., Русииова М.М. и Г.Г. Слюсарева в середине XX века. Ряд работ классической термоупругости также можно отнести к актуальным для оптиче-

1 В диссертации они рассматриваются как следствие термомеханической расстраиваемости

\

ского приборостроения, если иметь ввиду зависимость термомеханических свойств материалов от координат (теплопроводность, теплоемкость, коэффициент линейного теплового расширения и др.). Такие задачи решаются в работах современных исследователей Ootao Y., Tanigawa Y., Redely J.N., Cheng Zhen-Qiang и др. В работах Пищика Г.Ф. задачи термоупругости для симметричных линз решаются приближенными методами.

Решению нелинейных задач теплопроводности с граничными условиями в форме Стефана-Больцмана посвящены работы Abd-el-Malek М.В. и Helal М.М, а также ряду других исследователей. Большинство же работ с нелинейными граничными условиями решается численными методами (метод конечных элементов и др.), в том числе и методом граничных элементов, если систему нелинейных уравнений термоупругости удается линеаризовать.

Цель работы:

постановка нелинейных начально-краевых задач термоупругости, описание методов их решения и исследование взаимосвязей решений задач термоупругости в перемещениях с качеством изображения светозащищенных диоптрических систем.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Нелинейные уравнения задач термоупругости для светозащищенных диоптрических систем и метод их линеаризации.

2. Модель сложного теплообмена для светозащищенной диоптрической системы и формы представления нелинейных граничных условий задачи термоупругости.

3. Точное решение одномерной линеаризованной задачи термоупругости методом конечных интегральных преобразований Фурье на интервалах квазистатичности и его применение к исследованию термомеханической расстраи-ваемости диоптрической системы.

4. Оптическая модель градиентной среды термодеформированной линзы и ее связь с качеством изображения диоптрической системы в условиях термомеханической расетраиваемости.

Научная новизна полученных результатов состоит в следующем:

1. Предложен способ линеаризации нелинейной задачи термоупругости для светозащищенных диоптрических систем с граничными условиями в форме Стефана-Больцмана.

2. Получены формы представления первичных и вторичных источников тепла в граничных условиях по модели сложного теплообмена.

3. Предложен способ организации кластерной структуры модели сложного теплообмена, характеризующей формирование вторичных источников тепла.

4. Получело точное решение одномерной линеаризованной задачи термоупругости для светозащшценных диоптрических систем.

5. Исследована термомеханическая расстраиваемость топографической и звездной диоптрических систем в условиях эксплуатации на основе решения системы одномерных задач термоупругости и выработаны рекомендации по применению полученных результатов.

6. Образованы матрицы граничных элементов пространственных задач теплопроводности для светозащитной бленды и термоупругосш для одиночной линзы и построена связь полей температур и перемещений с характеристиками качества изображения на основе оптической модели градиентной среды термодеформированной линзы.

Достоверность полученных результатов:

1. Качественное соответствие постановки рассматриваемых задач термоупругости физической картине полей температур и перемещений на основе предложенной модели термомеханических явлений.

2. Применение известных методов решения задач термоупругости, теплообмена и прикладной оптики в модификациях, адаптированных для решения в соответствии с их постановкой.

3. Термомеханические и оптические свойства материалов, таблично заданные на перекрывающихся температурных диапазонах, аппроксимировались непрерывными функциями в виде полиномов значений температуры.

Практическая значимость результатов:

1. Качественное соответствие постановки рассматриваемых задач термоупругости физической картине полей температур и перемещений на основе предложенной модели термомеханических- явлений.

2. Применение известных методов решения задач термоупругости, теплообмена и прикладной оптики в модификациях, адаптированных для решения в соответствии с их постановкой

3. Термомеханические и оптические свойства материалов, таблично заданные на перекрывающихся температурных диапазонах, аппроксимировались непрерывными функциями в виде полиномов значений температуры.

Апробация работы. Основные результаты докладывались и обсуждались

на следующих международных конференциях, школах и семинарах:

1. 15-я Зимняя школа но механике сплошных сред, Пермь, Институт механики сплошных сред УрО РАН, 26 февраля - 3 марта 2007 г.

2. 2-я международная конференция «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем», Пенза, Пензенский государственный университет, 4-5 октября 2007 г.

3. 3-я международная конференция «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем», Пенза, Пензенский государственный университет, 15-16 октября 2008 г.

4. Юбилейная школа-семинар «Проблемы современной механики деформируемого твердого тела и прикладной математики», посвященная 70-летию д.ф.-м.н., профессора Г.И. Быковцева, Самара, Самарский государственный университет, 29 января - 2 февраля 2008 г.

5. Научный семинар «Актуальные проблемы математики, механики и вычислительной техники» под руководством д.ф.-м н., профессора В.А. Ковалева, Москва, Московский государственный университет управления правительства Москвы, 15 мая 2008 г.

6. Научный семинар «Современные проблемы математики и механики» под руководством д.ф.-м.н., профессора Ю.Н. Радаева, Самара, Самарский государственный университет, 2006-2008 гг.

7. Научный семинар «Современные проблемы механики и прикладной математики» под руководством д.ф.-м.н., профессора А.И. Шашкина, Воронеж, Воронежский государственный университет, 13 ноября 2008 г.

Личный вклад автора. Постановка задач термоупругости и выбор метода линеаризации системы уравнений были выполнены совместно с научным руководителем. В совместных работах автору принадлежит основная часть работ (80%), связанная с разработкой математических методов решения задач, а также анализом полученных результатов.

Структура н объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Объем работы - 146 страниц, включая 26 рисунков, 1 таблицу и список литературы из 139 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении и кратком обзоре развития оптического приборостроения и нелинейных задач МДТТ в прикладной оптике рассматриваются взаимосвязи теории упругости, оптики и теплообмена на фоне истории развития этих наук. Особое внимание уделено проблемам современного оптического приборостроения, решение которых может быть найдено в рамках теории термоупругости и сложного теплообмена. В связи с этим вводится понятие термомеханической расстраиваемости диоптрической системы на основе «четвертьволнового» критерия Ролея Д(и) <').!4, связывающего перемещения и оптических поверхностей термодеформированных линз с качеством изображения (/. -длина световой полны). Он тесно связан с понятием волновой аберрации, которая в рамках диссертации используется как связующее звено между МДТТ и прикладной оптикой.

В первой главе §1 посвящен термомеханическим свойствам линз и предложен способ определения функциональной зависимости этих свойств от тем-

пературы Т, заданных для перекрывающихся диапазонов. Необходимость в этом актуальна в отношении коэффициента линейного теплового расширения ат и температурного приращения показателя преломления линзы рт.

В §2 рассмотрена термомеханическая расстраиваемость диоптрических систем с точки зрения природы ее возникновения в условиях комической съем-юг Особое внимание уделено первичным (Земля, Солнце) и вторичным (светозащитная бленда) источникам тепла, которые позиционируются как причины возникновения и развития термомеханических явлений. Здесь же объясняется ограниченность метода расчета перемещений оптических поверхностей линз, применяемого в прикладной оптике в условиях, когда распределение поля температур вблизи поверхности является неоднородным, а также выводится важнейшая в оценке качества изображения волновая аберрация А и связь градиентов показателя преломления и поля температур. Кроме того, основное отличие постановок задач термоупругости связано с различными плотностями первичных и вторичных источников тепла, а также с наличием конвективного слагае-

На Рис.1 представлена конструкция светозащитной бленды, которая обращена к звездному небу, если она находится перед защитным стеклом звездной диоптрической системы (Рис.2), и к поверхности Земли, если она находится перед топографической диоптрической системой (Рис.3). Бленда всегда имеет такую конфигурацию, которая позволяет защищать от сторонних световых потоков всю область поля зрения диоптрических систем и имеет гораздо большие габариты по сравнению с самими диоптрическими системами. Защитное стекло звездной диоптрической системы расположено на некотором расстоянии от первой диафрагмы в узкодиаметральной части и на некотором расстоянии перед 3-х линзовым объективом (триплетом). Аналогично для топографической диоптрической системы, где объектив расположен между блендой и защитным стеклом. И линзы объективов и защитное стекло считаются теплоизолированными и жестко закрепленными в оправе.

диафрагмами

Рис.2 Звездная диоптрическая система

система

D связи с тем, что волновая аберрация Д связана с полем перемещений, в §3 записывается система уравнений термоупругости для линз диоптрической системы в перемещениях. Для представленной системы подробно рассматриваются особенности нелинейных граничных условий в форме Стефана-Больцмана (~Т4) и исследуется структура уравнений термоупругости. В результате введения некоторых допущений в отношении исходной системы уравнений удается перейти к постановке несвязанной квазистатической задачи термоупругости. Геометрическая форма вогнутых оптических поверхностей некоторых линз и диафрагм бленды приводит к необходимости формулировки некоторых граничных условий в дифференциально-интегральном виде и является характерной особенностью постановки задач термоупругости для светозащи-щенных диоптрических систем.

В §4 осуществляется линеаризация нелинейных уравнений термоупругости. В результате в качестве метода линеаризации выбирается такой, который позволяет представить постоянным коэффициент радиационного теплообмена па промежутках квазистатичности [хп,тп+1], т„ = At0(n-l), где At0 - диаметр разбиения, в течение всего времени активного существования оптической сис-

N

темы tb = (J{Wi}. Система линеаризованных уравнений несвязанной термоупругости на n-й промежуток времени запишется в следующем виде:

HV2u(n)+[X + p]v(V-u<n))-YT(T|t,i )vT(n> =0, f(n) =aV2T(n), (1)

И[Уи<">+(УиГ][ .N + N^(v.„<»>)-YT(T|i=J(T'"'-Trcf)][ =0, (2) XN-VT(°>|Fj =TJ[pw(T<") -S(">)-q?']|F +Pa(T<"> -T.), (3)

u<">|2=0, N • VT(n)= 0,' (4)

T(n)L =Т<-'|1;,Г=ат[т^ + &<">]Г(т'">)2+(^)21, (5)

T(r,t) = XTW (гД)ШГ, (t), u(r,t) = f[T(r,t)], (6)

11

ffltn (t) = 0(t - т„ ) - ©(t - Tn+1 ), YT = (ЗЯ. + 2ц)ат, (7)

где сгт - постоянная Стефана-Больцмана, - изотермические коэффициенты Лямэ, а - коэффициент температуропроводности, Ч' - коэффициент облученности, Ра - коэффициент конвективного теплообмена, Т, - температура конвективного потока воздуха, % - коэффициент теплопроводности, ут - термомеха-ничсская постоянная. Если поверхность линзы вогнута, т.е. вектор нормали N в каждой точке поверхности направлен к оптической оси, то плотность теплового потока qT находится из решения интегрального уравнения, в котором искомая функция ~ Т4 описывает рассеяние тепла. Для первой оптической поверхности в (3) имеет место соотношение

Ят=Ч„+Ч, (8)

где Ч„,ЧВ - плотность соответственно первичных (Земля, Солнце) и вторичных (светозащитная бленда) источников тепла с учетом рассеяния тепла.

Функция Хэвисайда © в (7) применяется лишь для объединения всех решений в одну непрерывную функцию и никакой смысловой нагрузки в смысле обобщенной функции не несет.

В §5,6 получены формы первичных и вторичных источников тепла в граничных условиях в одномерном и пространственном случаях. Созданная физико-математическая модель процесса лучистого теплообмена на борту космического аппарата позволяет определить распределение поля тепловых потоков внутри бленды и на поверхности оптических элементов в рамках моделей: 1) неравнояркой Земли; 2) зеркальных отражений; 3) диффузных отражении. Эта модель была специально создана для решения задачи термоупругости и по сравнению с имеющимися аналогами отличается тем, что учитывает динамику движения космического аппарата над поверхностью неравнояркой вращающейся Земли и диффузное рассеяние тепла неизотермическими поверхностями В частности, использование оптической модели диффузных отражений позволило описать распределение плотности тепловых потоков от вторичных источников с целью применения к решению задач теплопроводности для бленды и термоупругости для линз методом граничных элементов.

В §6 плотность вторичных источников тепла находится из решения интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода

Я. (г>*) = Чп М + % (гД) + |Н(г,г',8т,иД) • Ча (г'Д)сЮ, (9)

в

где плотность рассеянного тепла находится из решения задачи теплопроводности и различается для бленды и лит диоптрической системы. В общем случае оно задается выражением

% М = /Н(г,г',1 -ет,и,1) • Ч(0 л) (г',1)с10 - Ч(„ л) (г,1), (Ш)

о

где индекс «б» относится к бленде, а индекс «л» - к линзе. Интегральное ядро Нопределяет (9) и (10) на основе подынтегрального выражения интеграла плотности первичных источников от поверхности Земли. Тогда для бленды qб =сгт8тТ„4 при ет »0.3 и для линзы =сттетТл4 при ет «1. В граничных условиях вектор плотности вторичных источников тепла находится из решения матричного уравнения, составленного на основании (9):

{£2,}ч = Я„+Чр, Чв = N'Ч• (И)

Здесь также имеется возможность повышения эффективности расчетной схемы уравнения (11)! на несколько порядков за счет организации кластерной структуры матрицы коэффициентов облученности на основе симметричности конструкции бленды.

Во иго поп главе рассматриваются полу аналитические методы решения задач теплопроводности и термоупругости для светозащшценных диоптрических систем. В §1 необходимость применения одномерного приближения, не-

смотря даже на то, что из предыдущей главы известны формы записи всех граничных условий пространственной задачи, продиктована необходимостью предварительно выяснить возможность возникновения термомеханической рас-страиваемости. Здесь моделью одиночной линзы является отрезок ъ е [0,Ь], Ь -толщина линзы вдоль оптической оси. Ее постановка на основе (1)-(6) через переменную избыточной температуры 0 = Т - ТгсГ и термомеханическую постоянную имеет следующий вид:

0«=,^, (12) &2 Х + 2ц& &2

&

ТГтС. ^

X + 2ц &

&

7=1.

ш(п)

лтеи

Х + 2ц

(13)

:ч'р(п)[е(п,-д(п)][о,-х— =тр<п,[е(п)-5(")][1, (и)

(15)

Решение системы (12)-(15) записывается как

в(2д)=Х1с19|"(0к1(2)ал„(1)> (16)

П=1 1=1

Ч^0 = ТТГГ1Ес,0;")(1)О1(г)ШГп(1), (17)

А т /Ц П=1 1=1

где 9 - трансформанта поля температур, К, (г) - ядро интегрального преобразования для граничных условий 3-го рода, О, (г) = |к, (г)с!г. Решение системы

уравнений равновесия по известному температурному полю (16), в котором время представляет собой параметр, реализуется в рамках краевой задачи для обыкновенного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка. В результате поле перемещений примет вид (17). Применительно к системе линз решение задачи термоупругости для коллектива линз обусловлено наличием парных взаимодействий четных и нечетных оптических поверхностей, что в некоторой мере упрощает решение системы одномерных задач. Основой этому служит тот факт, что для пары взаимодействующих оптических поверхностей с единичной степенью черноты поверхности система граничных условий (14) определяется связью критериев Био.

В §2 продемонстрировано практическое применение решений задач термоупругости для светозагцищенных систем к исследованию качества изображения линзового триплета по критерию Рэлея. Представлены графики полученных результатов и подробный анализ термомеханической расстраиваемости за первые сутки эксплуатации. Термомехашмеская расстраиваемость исследовалась для первых трех оптических элементов в двух вариантах - без закрытия крышкой входного зрачка бленды и с закрытием на теневой стороне Земли. Исследуемыми характеристиками на основе решения системы одномерных урав-

нений термоупругости являются поле перемещении, поле температур и волновая аберрация в виде

08)

к=1

Материал линз выбран одинаковым - стекло ЛК5 с малым ат. По результатам исследования самым благоприятным режимом эксплуатации для топографической диоптрической системы оказался режим с постоянно открытой крышкой (Рис.1). Для звездной диоптрической системы этот режим оказался самым неблагоприятным (Рис.2). На рисунках показаны соответствующие волновые аберрации; допустимые границы изменения согласно критерию Рэлея обозначены пунктирной линией 2. На Рис.4 периодичность воздействия тепловой нагрузки на лннзы вызывает колебания примерно одинаковой амплитуды (линия №1) относительно средних за виток значений (линия №3). Диапазон изменений Д е [—0.33,0.21 ] мкм. Для звездной диоптрической системы разница

между вариантами с открытой и закрытой крышкой слабо выражена, а значения (18) на Рис.5 в 2-3 раза превышают приведенные на Рис.4, что свидетельствует о наличии устойчивой во времени температурной дестабилизации линз триплета и значительного ухудшения качества изображения. Здесь диапазон изменений Де [-0.07,0.8] мкм. Также для всех случаев следует отметить тенденцию к снижению абсолютной величины Д после нескольких первых витков космтеско-го аппарата и уменьшению темп снижения в 5 сделан вывод о том, что термомеханическая расстраиваемость вызывается в большей мере перемещениями поверхностей не крайних оптических элементов. Другой вывод свидетельствует в пользу возможности упростить процедуру решения пространственной задачи термоупругосш и рекомендовать использовать одностороннюю

О 2x104 •МО4 «хЮ4 8Х104 I- с

Рис.4 Термомеханическая рассфаиваемость звездной диоптрической системы

О 2x10 4Х101 6x10" 8x10"

Рис.5 Термомеханическая расстрштаемость топографической диоптрической системы

в конце суток. На основании полученных результате!

направленность сложного теплообмена в диоптрических системах с температурой в области фокального узла ТгеГ.

Результаты исследования также показывают, что пределы изменений средней избыточной температуры 0 в конце суток не достигают экстремальных значений, причем для топографической диоптрической системы разброс температур лежит в диапазоне 10К и вызывает перемещения и < 1.5 мкм, а для звездной чуть превышает 50К и вызывает перемещения и < 4.5 мкм. Этого достаточно, чтобы характеризовать стекло термодеформированных линз как градиентную среду, в которой влияние температуры на показатель преломления является существенным и способно формировать термооптические аберрации в диоптрических системах, эксплуатируемых на борту космического аппарата.

В §3 рассматриваются граничные интегральные уравнения прямого метода граничных элементов применительно к одиночной диафрагме и одиночной линзе. По сравнению с методом конечных элементов и другими численными методами решения пространственных задач термоупругости применительно к светозащищенным диоптрическим системам он является наиболее эффективным Его преимущества заключается в том, что задачи прикладной оптики для оптических систем требуют информации о положении преломляющих и/или отражающих оптических поверхностей деталей объектива (в данном случае о перемещениях оптических поверхностей), а информация о температурном поле необходима только в пределах той части линзы, где распространению светового излучения не препятствует оправа. Фактически интерполяция поля температур требуется только на оптических поверхностях линз, т.к. в объеме она находится непосредственно в любой точке.

Применение сетки граничных элементов в решении граничных интегральных уравнений теплопроводности и равновесия заключается в использовании первоначальной схемы разбиения граничных элементов, но с учетом того, что область разбиения целиком расположена на всей неизотермической поверхности теплообмена бленды и термодеформируемой линзы. Граничное интегральное уравнение теплопроводности одинаково и для бленды и для линзы. В матричном виде оно имеет простой вид

ВД{Т„} = {К1Т)}, (19)

где в ядре Н^' каждый элемент определяется не только воздействием прямого излучения со стороны элементов неизотермических поверхностей, но рассеянной составляющей, а правая часть определяется комбинацией эффективных температур 9 и коэффициентов теплообмена (3. При этом последняя находится из решения (19) на предыдущем шаге по времени, т.е. согласно (10) для каждого из граничных элементов

Г V/ Ч V/

Чр &) = от -8ТГ &) + , ) = ДК£> - Н£>ТЬ ], (20)

I 14 ) |]-1

Для несвязанной задачи термоупругости граничных интегральных уравнений для линзы будет два - для уравнений теплопроводности и равновесия. Граничное интегральное уравнение теплопроводности сохраняет вид (19), где

свойства материала бленды и координаты центров граничных элементов заменяются свойствами н граничными элементами линз. Граничное интегральное уравнение равновесия при отсутствии есть

¿К>,НВ,} (21)

)=1

где ядро определено в тензорном виде, а {В,} выражает интеграл массовых сил, содержащий в явном виде температуру и плотность теплового потока. При решении (21) получаем матричное уравнение {А}{и} = {В}, где матрицы

К'} н<;> ТТ<") Ихг М [ы]

{А}=1 н£> К'} н£> >{вН N L{u}=J К)

н<;> К} м М

образованы путем объединения ядер в одну матрицу. На основе (22) решение представляется в виде

= [{Л}"1 {B}]w, и>(я) = [{В}-1 {S}]w+W, uI(w) = [{Л}-1 {B}]w+2W .

Таким образом, для коллектива линз за время активного существования диоптрической системы решение пространственной задачи термоупругости включает последовательность решения следующих задач:

1) расчет распределения плотности первичных источников тепла на неизотермических поверхностях линз и диафрагм бленды;

2) расчет распределения поля температур на поверхности бленды (20)2;

3) расчет плотности вторичных источников тепла на неизотермических поверхностях по модели диффузного рассеяния (9)-(11),

4) решение задачи теплопроводности для каждой линзы методом граничных элементов;

5) решение задач термоупругости методом граничных элементов по найденным температурным полям линз;

6) интерполяция полей температур и перемещений на оптической поверхности с целью использования их при оценке качества изображения в оптической модели градиентной среды термодеформированной линзы.

В третьей главе рассматривается качественная связь пространственных полей перемещений и температур с качеством изображения Важную роль здесь играет волновая аберрация, которая при оценке качества изображения иногда конкретизируется понятием термооптической аберрации.

В §1 термооптические деформации рассматриваются как следствие воздействия термомеханических эффектов упругого деформирования и подчеркивается их независимость от других факторов, влияющих на качество изображения. Для этого приводятся формулы для расчета качества изображения в параксиальном приближении. Последнее означает, что световые лучи рассматриваются вблизи оптической оси, в связи с чем пригодны результаты исследования термомеханической расстраиваемое™ в одномерном приближении. Одной из

термооптических аберраций здесь является дефокусировка ДГ вследствие изменения оптической силы Р, которые на основе данных о перемещениях оптических поверхностей. В этом смысле термооптические аберрации являются первичными признаками влияния термомеханической расстраиваемости оптической системы на качество изображения. В пространственном приближении влияние термомеханической расстраиваемости на качество изображения рассматривается на основе коэффициента пропускания, который функционально зависит от волновой аберрации А, являющейся в свою очередь зависимой от распределения полей температур в толще линзы и перемещений всех оптических поверхностей диоптрической системы, т.е.

С целью полноты описания распространения оптического излучения в коллективе термодеформированных линз в §2 строится модель градиентной среды термодеформированной линзы. Модельные уравнения градиентной среды термодеформированной линзы построены на основе системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка. В оптике такая модель рассматриваются при неподвижных оптических поверхностях и заданном распределении показателя преломления в толще линзы по определенному закону. В рамках диссертации распределение показателя преломления определяется согласно зависимости

Уп =

УТ.

где приращение показателя преломления (Зт является линейной функцией температуры. Применение метода Рунге-Кутта 4-го порядка для численного решения системы уравнений траектории луча и возможность без интерполяции находить поля температур и градиентов температур в толще линзы (за исключением поверхности) дают возможность быстро получить решение, определив тем самым траекторию луча в термодеформированной линзы. Для осуществления трассировки луча через другие оптические элементы необходимо также знать координаты точки преломления на других поверхностях, компоненты орта направляющего вектора луча, который в точке преломления определяется вектором касательной, а также компоненты вектора нормали N в точке преломления. Таким образом, модельные уравнения трасс лучей в термодеформированной линзе в совокупности с методами нахождения координат точек преломления и векторов нормали направляющего вектора луча всецело определяют оптическую модель градиентной среды модель термодеформированной линзы. Она позволяет определять термомеханическую расстраиваемость по критериям Рэлея и Марешаля через разность длин I трасс лучей, преломляющихся на 8 поверхностях, и на основании этого корректно использовать волновую аберрации при оценке качества изображения. В пространственном случае выражение (18) имеет более сложный вид

д(«,т) = Х[^(и,т)|[>о^(о,тГ£Г)].

В §3 влияние термомехапической расстраиваемости на качество изображения исследуется на основе понятий разрешающей способности диоптрической системы и линейного разрешения объектов съемки. Именно они дают детальную информацию о влиянии термомеханической расстраиваемое™ и других факторов на качество изображения. Механизмы влияния совместно с факторами влияния со стороны систем обеспечения космического аппарата. Для этого используются метод расчета ошибок привязки космических снимков, учитывающий остаточный сдвиг изображения, а также метод расчета оптических передаточных функций на основе интегральных преобразований Фурье.

В заключении представлены результаты и выводы, полученные в ходе выполнения диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Исследована нелинейность уравнений задач термоупругости для светоза-щищенных диоптрических систем, обусловленная наличием сложного теплообмена между линзами под воздействием первичных (Земля, Солнце) и вторичных (светозащитная бленда) источников тепла. Соответствующие уравнения термоупругости линеаризованы путем введения постоянных на интервалах квазистатичности радиационных коэффициентов теплообмена.

2. В граничных условиях задач термоупругости в рамках модели сложного теплообмена учтена динамика воздействия первичных (Земля, Солнце) и вторичных (светозащитная бленда) источников тепла на термоупругое состояние линз диоптрической системы. Рассеяние тепла неизотермическими поверхностями бленды и вогнутыми оптическими поверхностями термоде-формируемых линз моделировалось интегральным уравнением Фредгольма 2-го рода, допускающим организацию кластерной структуры модели.

3. Решена одномерная задача термоупругости для светозащищенных систем методом конечных интегральных преобразований Фурье. Исследование термомеханической расстраиваемости диоптрических систем на основе решений системы одномерных задач термоупругости показало, что поля температур и перемещений оказывают значительное влияние на качество изображения, а применение квазистатического подхода позволяет решать систему уравнений термоупругости не как систему уравнений с взаимосвязанными граничными условиями, а как упорядоченную последовательность задач.

4. Исследована возможность решения пространственных задач теплопроводности и термоупругости с помощью прямого метода граничных элементов. Данные о поле перемещений оптических поверхностей и распределении поля температур в толще линз, навденные из решения начально-краевой задачи термоупругости, позволили создать оптическую модель градиентной среды термодеформированной линзы и на ее основе описать связь полей температур и перемещений с качеством изображения.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Романов, А.Е. Термомеханическая расстраиваемость светозащшценных диоптрических систем / А.Е. Романов // Вестник Самарского гос. университета.

- Естественнонаучная серия. - 2008. - №6 (65). — С. 290-308.

2. Романов, А.Е. Моделирование трасс световых лучей в термодеформирован-ной линзе / А.Е. Романов // Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем: тезисы докладов 3-й международной научно-технической конференции. - Пенза: ПГУ, 2008. - С. 226-229.

3. Романов, А.Е. О термомеханической расстраиваемости фотографической аппаратуры спутника / А.Е. Романов // Зимняя школа по механике сплошных сред (пятнадцатая): тезисы докладов. - Екатеринбург: УРО РАН, 2007. -Т.З.-С. 155-158.

4. Романов, А.Е. Влияние температурного поля бленды на термомеханическую расстраиваемость оптической системы / А.Е. Романов // Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем: тезисы докладов 2-й международной научно-технической конференции. - Пенза- ПГУ, 2007. - С. 225-227.

5. Романов, А.Е. Диффузное отражение в светозащитных блендах / А.Е. Романов И Оптический журнал. - 2008. - Т.75. - №8. - С. 36-41.

6. Романов, А.Е. Моделирование многократных отражений в блендах с коническими диафрагмами / А.Е. Романов // Оптический журнал. - 2007. - Т.74. -№7. - С. 42-46.

7. Романов, А.Е. Использование бленд с коническими диафрагмами в составе комплекса топографической аппаратуры / А.Е. Романов, Е.В. Исаева // Оптический журнал. - 2005. - Т.72. - № 6. - С. 42-46.

8. Романов, А.Е. Об ошибках привязки космофотоснимков к планово-высотной основе карт / А.Е. Романов, И.К. Куклев // Геодезия и картография. - 2004. -№8. - С. 30-37.

9. Романов, А.Е. Расчет точности привязки космофотоснимков КТА к планово-высотной основе карт / А.Е. Романов, И.К. Куклев П Геодезия и картография.

- 2002. - № 11.-С. 25-31.

Работы 1, 5-9 опубликованы в журналах из перечня ВАК, в которых должны

быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание

ученой степени доктора и кандидата наук.

Издательство «ИСТОКИ» 394087, г. Воронеж, ул. Мичурина, 1 Телефон 53-57-97

Подписано в печать 17.11.2008 г. Формат 60x84 1/16 Гарнитура «Times New Roman». Печать офсетная. Бумага офсетная. Объем 1,0 п л. Тираж 100 экз.

Отпечатано в полном соответствии с качеством предоставлегаюго оригинал-макета в типографии «ИСТОКИ» 394087, г. Воронеж, ул. Мичурина, 1 Телефон 53-57-97

Введение

Краткий обзор развития оптической техники и нелинейных задач МДТТ в прикладной оптике.

Цель исследования.

Глава I. Постановка начально-краевых задач термоупругости для светозащищенных диоптрических систем

1.1 Термомеханические свойства оптических материалов.

1.2 Феноменологическая модель термомеханических явлений

1.3 Нелинейные начально-краевые задачи термоупругости.

1.4 Линеаризация задач термоупругости с граничными условиями сложного теплообмена.

1.5 Форма представления первичных источников тепла в граничных условиях.

1.6 Форма представления вторичных источников тепла в граничных условиях.

1.6.1 Одномерное приближение.

1.6.2 Пространственная модель диффузного рассеяния тепла

Глава П. Полуаналитические методы решения нелинейных начально-краевых задач термоупругости

II. 1 Применение метода конечных интегральных преобразований к решению одномерной задачи термоупругости.

П.2 Исследование термомеханической расстраиваемости триплета

П.З Применение метода граничных элементов к решению пространственной задачи термоупругости.

11.3.1 Граничные интегральные уравнения задачи теплопроводности для светозащитной бленды.

П.З .2 Граничные интегральные уравнения задачи термоупругости для одиночной линзы диоптрической системы.

Глава III. Связь решений начально-краевых задач термоупругости с качеством изображения диоптрической системы 110 III. 1 Термооптические аберрации как проявление термомеханических эффектов упругого деформирования.

111.2 Оптическая модель градиентной среды термодеформированной линзы.

111.3 Влияние термомеханических эффектов на разрешающую способность и линейное разрешение.

111.3.1 Факторы влияния ошибок систем обеспечения космического аппарата.

111.3.2 Факторы влияния эффектов упругого деформирования . 132 Заключение 13 5 Литература

Сокращения

ЗДС звездная диоптрическая система

МДТТ механика деформируемого твердого тела

ОДУ обыкновенное дифференциальное уравнение

СЛАУ система линейных алгебраических уравнений

ТДС топографическая диоптрическая система

Обозначения параметры и функции, взятые из оптики (знак «волна»)

ТТ. параметры и функции, взятые из геодезии и механики движения космических аппаратов (знак «шляпа») £(Х) функция скалярного (температура и др.) или векторного (радиус-вектор и др.) аргумента X, явный вид которой считается известным, но конкретизируется нижние индексы

Т параметры и функции, взятые из теории теплообмена астрономический знак Земли

О астрономический знак Солнца русский алфавит) б бленда в вторичный источник тепла (светозащитная бленда) з звездная диоптрическая система кр кривизна оптической поверхности л линза п первичный источник тепла (Земля, Солнце) пр пропускание света р рассеянное тепло т топографическая диоптрическая система

Дистанционное зондирование Земли занимает ведущее место среди задач, связанных с космическими исследованиями [18]. Для их решения требуется оптическая аппаратура, позволяющая получать космические снимки высокого качества. На борту космического аппарата на нее оказывает влияние множество факторов естественной и искусственной природы [35,36]. Их действие приводит к изменению термоупругого состояния оптической системы: возникают температурные деформации оптических элементов, изменяются теплофизиче-ские, механические и оптические свойства материалов, появляются термооптические аберрации [14,132] и др. В условиях орбитального движения космического аппарата наиболее значимыми инициаторами изменения термоупругого состояния оптических элементов являются Земля, Солнце и система обеспечения терморегуляции космического аппарата. Их совокупное действие является причиной возникновения термомеханических явлений, к которым следует отнести такие термомеханические эффекты упругого деформирования, как тер-момеханичёская расстраиваемость и термооптические аберрации1. Наиболее полно выявить связь между ними и оптическими характеристиками оптической системы можно лишь из решений нелинейных начально-краевых задач термоупругости для системы оптических элементов [74,75]. Нелинейности здесь функционально определяются температурой в виде сочетаний граничных условий в форме Стефана-Больцмана и зависящих от нее термомеханических и оптических свойств линз, а также воздействием неоднородно распределенных в пространстве и нелинейных во времени внешних тепловых источников. При этом искомые поля температур и перемещений оптических элементов играют важную роль при анализе качества изображения оптической системы на момент съемки, а их эволюция - в прогнозировании качества изображения в последующие моменты времени.

1 В диссертации они рассматриваются как следствие термомеханической расстраиваемости (см. главу III § 1). 5

Краткий обзор развития оптической техники и нелинейных задач МДТТ в прикладной оптике

Обширные теоретические исследования по термоупругости были начаты Дюамелем в 1838 году [8,9]. Он рассматривал уравнения термоупругости в квазистатической постановке и впервые вывел уравнение для определения деформаций в упругом теле с температурными градиентами [113]. Позже такие же результаты были получены Нейманом. Начиная с 1851 года основы термоупругости формулируются лордом Рэлеем [130], определившим чуть позже связь между термоупругим состоянием оптических элементов и качеством изображения оптической системы в виде одноименного предела [79]: критерий Рэлея2 А в контексте МДТТ связывает изменения поля перемещений и оптической поверхности с качеством изображения на основании неравенства A(u)<AV4, где

X - длина световой волны.

Научная разработка задач оптической техники началась с конца XYII столетия благодаря трудам «универсальных» ученых того времени - Декарта, Ферма, Ньютона, Эйлера, Ломоносова и Гаусса. Оформление теории оптических приборов в самостоятельную дисциплину произошло только в последней четверти XIX века, когда начался быстрый рост оптической промышленности [93]. Планомерное создание отечественной оптической промышленности началось только после Великой Октябрьской революции. С этой целью создается мощная научная база, располагающая хорошо оснащенными лабораториями и высококвалифицированными научно-техническими кадрами и широко используется зарубежный опыт. В 1918 году был создан Государственный оптический институт (ГОИ) имени академика С.И. Вавилова, в котором работали известные академики Д.С. Рождественский, С.А. Лебедев, И.В. Гребенщиков, В.П. Лин-ник, а также член-корр АН СССР H.H. Качалов, член-корр АН СССР Д.Д. Мак

2 Предел Рэлея заключается в том, что минимальный размер различимого объекта принципиально ограничен дифракцией излучения и является одной из иллюстраций принципа неопределенности Гейзенберга, согласно которому любая попытка повысить степень локализации положения источника света приводит к возрастанию неопределенности импульса фотонов. сутов и член-корр АН СССР А.И. Тудоровский. Их усилиями уже в 1929 году развитие советской оптической промышленности достигло уровня развития передовых стран Европы. В этой связи огромный успех СССР принесло создание аппаратуры для фотографирования обратной стороны Луны, положившее начало новой отрасли оптического приборостроения и оптической техники - космическим оптическим приборам для астронавигации, астрономических наблюдений, космической фотосъемки поверхности Земли (ТДС) и звездного неба (ЗДС).

ГОИ может считаться основоположником космической оптики в России [20]. В конце 50-х годов прошлого столетия генеральный конструктор ракетной техники С.П. Королев и академик М.В. Келдыш обратились в ГОИ с просьбой оценить возможности проведения фотографирования земной поверхности из космоса. Ответ был положительный. 6 апреля 1962 года искусственный спутник Земли «Космос-4», построенный ГНП РКЦ «ЦСКБ-Прогресс» (г. Самара), впервые осуществил космическую фотосъемку. Космическая оптика создавалась институтом как для космических комплексов видового наблюдения, так и для топографических комплексов, а по уровню получаемой информации могла быть детальной или обзорной [18]. Для этих целей также создавались новые оптические материалы, и это новое направление возглавил академик Г.Т. Петровский. В середине 50-х годов Д.С. Волосовым была разработана теория термобарических аберраций [14], и на ее основе другими учеными сформулированы требования к основным оптическим свойствам материалов для крупногабаритных и высокоразрешающих космических объективов. Такие материалы обеспечили возможность создания принципиально новых по своим характеристикам объективов — термоустойчивых анастигматов-апохроматов. Были определены марки оптических стекол, которые удовлетворяли требованиям повышения светопропускания и оптической однородности с учетом увеличения диаметра оптики до 0700 мм. Увеличивать размер далее было нецелесообразно из-за потери жесткости конструкции. В связи с этим рассматривалась возможность использования киноформных оптических элементов [17]. В конце 80-х в

ГОИ был испытан первый космический киноформный длиннофокусный объектив «Ионар-2», который отличался от аналогичных на 40% меньшей массой и о существенно меньшей термомеханической расстраиваемостью . В целом, в оптическом приборостроении последних десятилетий наблюдались тенденции развития, направленные на:

1) повышение разрешающей силы оптической системы путем преодоления предела Рэлея;

2) улучшение качества изображения оптической системы светотехническими средствами;

3) улучшение качества изображения путем комбинации рефракционных линз с нетрадиционными оптическими элементами, включая вариации форм комбинируемых оптических поверхностей.

Первая из них связана с тем, что долгое время велись разработки оптического микроскопа новой конструкции, разрешающая сила которого в несколько раз превышала бы ту, что считалась максимально возможной согласно закону Аббе [112,117]. В 2007 году немецким ученым удалось создать линзу с разрешением, превосходящим дифракционный предел: ученые из Института биофизической химии им. Макса Планка Штефан Хелль и Маркус Дюба опубликовали статьи в «Physical Review Letters» [107,120], в которых сообщили о наблюдении флуоресценции участка клеточной мембраны бактерии Bacillus megaterium протяженностью порядка 33-46 нм при длине волны излучения X е[745,760]нм. Работы в этом направлении ведутся [124] и в скором времени, скорее всего, затронут разработки диоптрических систем. В связи с этим перспективным путем является переход от рефракционных оптических элементов к комбинации с дифракционными элементами или с двояко-вогнутыми коническими [121]. В отличие от рефракционных линз, имеющих толщины и радиусы поперечного сечения одного порядка, дифракционные элементы, выполненные в форме линз Френеля [134], имеют меньшие толщины при тех же радиусах.

3 Под термомеханической расстраиваемостью будем понимать искажение качества изображения оптической системы, вызванное воздействием различных факторов тепловой и механической природы. 8

Вторая из них связана с тем, что качество изображения оптических систем может улучшаться различными техническими средствами [55,139], в том числе и светотехническими. Наряду с этим во избежание появления температурных деформаций оптических элементов необходимо обеспечение их термомеханической защиты, которая не должна ухудшать качество изображения. Выбор и осуществление такой защиты ставит перед изготовителями дилемму: либо тщательно разрабатывать многоплановые способы термомеханической защиты во время эксплуатации (термомеханическая корректировка) либо обойтись минимумом средств защиты и корректировать потери качества изображения при полетной и наземной обработке снимков (оптическая корректировка и восстановление изображения). «Золотую середину» между ними занимают способы улучшения качества изображения за счет светотехнических средств, разрабатываемых отдельно от оптической системы. Одним из вариантов решения проблемы, позволяющим не только сохранить, но и улучшить качество изображения, является использование светозащитных бленд, предназначенных для повышения качества изображения за счет снижения уровня фоновой засветки фокальной плоскости [55]. В связи с этим оказался весьма эффективным предлагаемый в [44] вариант конструкции светозащитной бленды с коническими диафрагмами (это направление оптического приборостроения в настоящее время развито в работах [72,73,77]). Однако, из-за высокой теплопроводности материала бленды (тонкий листовой металл) и малой массы (несколько килограмм) на борту космического аппарата эффективная светозащита сопровождается усилением термомеханических воздействий на термоупругое состояние диоптрической системы в процессе сложного теплообмена [66,75]. Это приводит еще к дополнительным потерям качества изображения, которые нельзя скомпенсировать каким-либо образом из-за вероятностного характера их поведения [70,71] (см. главу III §3).

Третья из них связана с тем, что качество изображения диоптрической системы, имеющей оптические элементы с изотропными оптическими свойствами, может улучшаться путем использования специфических типов оптических элементов - асферических, градиентных и дифракционных. Так, асферический тип оптических элементов обычно используется в телескопических системах [47] и редко в диоптрических, дифракционный - в диоптрических системах в виде дифракционных линз для получения изображения очень удаленных объектов (звезды и др.). Градиентные элементы — граданы [19,91], - имеют неоднородное пространственное распределение показателя преломления за счет плавно меняющегося состава материала. Существуют также композиции градиентных оптических элементов с асферическими поверхностями [28] и дифракционных и градиентных элементов [24]. Использование осевого, радиального и сферического градиентов показателя преломления позволяет значительно улучшить качество получаемого изображения, повысить светопропускание и сократить количество элементов диоптрической системы [99]. Последнее также позволяет создавать системы с большим углом зрения, характеризующиеся компактностью, прочностью и механической простотой [100].

На основании вышесказанного к некоторым из задач МДТТ, решаемым применительно к оптической технике, следует отнести такие, которые связаны с исследованием воздействия полей температур, перемещений и деформаций оптических элементов на качество изображения оптической системы. Анализ российских и зарубежных журналов показывает, что тематика решения первых двух типов задач практически не затрагивается, а третьего типа задач относится к материаловедению, и поэтому решаемые в этом направлении задачи в основном касаются свойств, в равной степени актуальных и для стеклокерамики. Задачи термоупругости здесь являются исключительно нелинейными [133], и к тому же многие из них требуют проведения различных экспериментальных исследований, включая исследования методами фотоупругости [38]. В настоящее время ведущим направлением в этом смысле следует считать термооптику лазеров с твердотельными активными элементами [51].

Несомненно, что результаты решений нелинейных начально-краевых задач МДТТ в прикладной оптике приводятся и обсуждаются в зарытой печати (содержатся в служебных документах предприятий аэрокосмического комплекса и депонируются в целях сохранения информации ограниченного пользования). Также в литературе прослеживается четко организованная взаимосвязь между МДТТ и теорией оптических приборов только на основе теории температурных напряжений, в рамках которой температурные деформации оптических элементов на оптических поверхностях считаются изотропными [79,84], поле перемещений заданным. Это существенно ограничивает применимость решений к классу задач прикладной оптики, в которых термомеханические воздействия приводят к неоднородным локальным деформациям оптической поверхности [63,114]. Отсутствуют и сведения о решении задач термоупругости с условиями сложного теплообмена [54], несмотря на то, что направление таких работ существует [60,61].

В академических изданиях по тепломассопереносу одним из самых естественных способов описания сложного теплообмена является сведение граничного условия в форме Стефана-Больцмана к форме Ньютона (конвекция), что возможно либо при условии малых (единицы градусов) либо при условии очень больших (сотни градусов) изменений температуры тела относительно начальной [46]. Собственно, такой подход является наиболее известным в рамках классической термоупругости, т.к. позволяет преобразовывать только лишь краевые условия, что позволяет решать начально-краевые задачи аналитическими методами. При линейных граничных условиях в форме Ньютона аналитические решения одномерных задача термоупругости в рамках групп Ли представлено в работах [119,129]. Так, в работе [98] рассматривается групповой метод анализа нелинейных краевых задач для уравнения теплопроводности с одним из граничных условий в форме Стефана-Больцмана. Для канонических областей вводится однопараметрическая группа Ли, которая позволяет найти искомую температуру из решения краевой задачи для нелинейного ОДУ 2-го порядка с нелинейными краевыми условиями. Однако полученное решение не позволяет использовать его в задачах сложного теплообмена, т.к. оно применимо только при условии теплоизоляции одной из границ. Для решения одномерных задач в работе [128] используются совместно методы интегрального преобразования Кирхгоффа и Лапласа, что в итоге позволяет рассматривать несвязанную задачу термоупругости, решение которой находится для температурного поля, исходя из решения системы нелинейных ОДУ 1-го порядка.

При решении задач термоупругости для открытых или полуоткрытых поверхностей отрицательной кривизны имеет место эффект самооблученности, обеспечивающий дифференциально-интегральную форму граничного условия [80]. Наиболее удобно в таких задачах использовать метод граничных элементов [103]. При этом самой большой трудностью при сложной геометрии задачи является вычисление функции видимости, т.к. она задается булевыми условиями, непосредственно не связана с искомыми полями температур и перемещений, и к тому же требует специальных алгоритмов расчета. Для решения задач с такой особенностью могут быть использованы различные методы, в том числе и на разделении всего видимого пространства на совокупность телесных углов [111].

Среди численных методов решения нелинейных начально-краевых задач термоупругости наиболее распространены метод конечных элементов [16,52] и метод граничных элементов [10,13].

В методе конечных элементов система уравнений термомеханики деформируемого твердого тела приводится к системе алгебраических уравнений за счет пространственного деления области решения на конечные объемы простой формы — конечные элементы. Количество степеней свободы на один узел элемента определяется количеством решаемых для этой точки пространства уравнений и, в общем случае, равно 16 [37]. Физическая нелинейность задач здесь функционально ничем не ограничивается, но требует разработки специальных алгоритмов внедрения нелинейности в расчетные схемы.

В методе граничных элементов решение задачи термоупругости ищется таким образом, чтобы удовлетворялись на границе области решения. Здесь число степеней свободы сохраняется, но нет необходимости разбивать всю область решения на элементы — достаточно только поверхность раздела сред разбить на граничные элементы. Дискретизация граничных интегральных уравнений приводит к СЛАУ со значениями неизвестных, одинаковыми для всех точек в пределах граничного элемента. В ряде случаев возможно также и совместное использование метода конечных элементов с методом граничных элементов [31].

Численное решение задач термоупругости осуществляется также и на основе контроля допустимых отклонений искомых функций (температура, перемещения, деформации и др.) в ходе решения. Так, в работе [122] рассматривается численное решение нелинейных уравнений теплопереноса в закалочных процессах, включающих радиационный теплообмен. Указанные процессы подразумевают решение задач связанной термоупругости в металлах, которые в широком диапазоне температур характеризуются нелинейными термомеханическими свойствами и наличием в системе фазовых переходов. Для решения задачи используется подбор шага по кривизне линии температур таким образом, чтобы избежать осцилляций численного решения и обеспечить его быструю сходимость.

Цель исследования

Разрешающая способность и линейное разрешение являются ключевыми характеристиками качества изображения любой оптической системы, и борьба за их улучшение при проектировании, сборке и во время испытаний является формой совершенствования изделий оптомеханической промышленности любой страны мира. С точки зрения физики распределение ролей в контексте влияния на качество изображения цепочки проблем оптомеханики, решаемых в рамках теории теплообмена, упругости и оптики таково, что термоупругость является связующими звеном между двумя другими. Любые попытки ее исключения из рассмотрения или упрощения в рамках частных случаев эксплуатации приводят к неточным и даже ошибочным результатам оценки качества. В связи с этим основными проблемами, не позволяющими в простой и компактной форме сопоставить этапам решения задач термоупругости этапы идентификации качества изображения, являются фрагментарная связь между температурными деформациями и термооптическими аберрациями в качественном

13 описании, а также отсутствие форм представления граничных условий сложного теплообмена для светозащищенных диоптрических систем. Тем не менее, среди результатов обширных исследований в различных направлениях теории теплообмена, термоупругости и оптики можно найти такие, которые могут быть адаптированы, а при необходимости и дополнены, к решению проблем оптической техники. Поэтому цель исследования в рамках диссертации — постановка нелинейных начально-краевых задач термоупругости, описание методов их решения и исследование взаимосвязей решений задач термоупругости в перемещениях с качеством изображения светозащищенных диоптрических систем.

Научная новизна диссертационной работы:

1) предложен способ линеаризации нелинейной задачи термоупругости для светозащищенных диоптрических систем с граничными условиями в форме Стефана-Больцмана;

2) получены формы представления первичных и вторичных источников тепла в граничных условиях по модели сложного теплообмена;

3) предложен способ организации кластерной структуры модели сложного теплообмена, характеризующей формирование вторичных источников тепла;

4) получено решение одномерной линеаризованной задачи термоупругости для светозащищенных диоптрических систем;

5) исследована термомеханическая расстраиваемость ТДС и ЗДС в условиях эксплуатации на основе решения системы одномерных задач термоупругости и выработаны рекомендации по применению полученных результатов;

6) образованы матрицы граничных элементов пространственных задач теплопроводности для светозащитной бленды и термоупругости для одиночной линзы и построена связь полей температур и перемещений с характеристиками качества изображения на основе оптической модели градиентной среды термо-деформированной линзы.

Достоверность полученных результатов:

1) качественное соответствие постановки рассматриваемых задач термо

V. упругости физической картине полей температур и перемещений на основе предложенной модели термомеханических явлений;

2) применение известных методов решения задач термоупругости, теплообмена и прикладной оптики в модификациях, адаптированных для решения в соответствии с их постановкой;

3) термомеханические и оптические свойства материалов, таблично заданные на перекрывающихся температурных диапазонах, аппроксимировались непрерывными функциями в виде полиномов значений температуры.

Практическая значимость результатов:

1) создана модель сложного теплообмена для светозащищенной диоптрической системы, в которой учтена динамика движения космического аппарата над поверхностью неравнояркой вращающейся Земли и диффузное рассеяние тепла неизотермическими поверхностями;

2) исследована возможность решения пространственных задач теплопроводности и несвязанной термоупругости с помощью прямого метода граничных элементов, в рамках которого граничные условия для уравнений теплопроводности представлены в дифференциально-интегральном виде;

3) прршенение модели (см. пункт 1) использовано в отчете по гранту РФФИ (проект № 08-08-99035-р-офи-Поволжье «Управление температурными полями оптических элементов телескопа для съемки поверхности Земли с высоким разрешением») применительно к катадиоптрической (зеркально-линзовой) системе.

На защиту выносятся:

1) нелинейные уравнения задач термоупругости для светозащищенных диоптрических систем и метод их линеаризации;

2) модель сложного теплообмена для светозащищенной диоптрической системы и формы представления нелинейных граничных условий задачи термоупругости;

3) точное решение одномерной линеаризованной задачи термоупругости методом конечных интегральных преобразований Фурье на интервалах квазистатичности и его применение к исследованию термомеханической расстраи-ваемости диоптрической системы;

4) оптическая модель градиентной среды термодеформированной линзы и ее связь с качеством изображения диоптрической системы в условиях термомеханической расстраиваемости.

Структура и содержание работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Заключение

1. Исследована нелинейность уравнений задач термоупругости для свето-защищенных диоптрических систем, обусловленная наличием сложного теплообмена между линзами под воздействием первичных (Земля, Солнце) и вторичных (светозащитная бленда) источников тепла. Соответствующие уравнения термоупругости линеаризованы путем введения постоянных на интервалах квазистатичности радиационных коэффициентов теплообмена.

2. В граничных условиях задач термоупругости в рамках модели сложного теплообмена учтена динамика воздействия первичных (Земля, Солнце) и вторичных (светозащитная бленда) источников тепла на термоупругое состояние линз диоптрической системы. Рассеяние тепла неизотермическими поверхностями бленды и вогнутыми оптическими поверхностями термодеформируемых линз моделировалось интегральным уравнением Фредгольма 2-го рода, допускающим организацию кластерной структуры модели.

3. Решена одномерная задача термоупругости для светозащищенных систем методом конечных интегральных преобразований Фурье. Исследование термомеханической расстраиваемости диоптрических систем на основе решений системы одномерных задач термоупругости показало, что поля температур и перемещений оказывают значительное влияние на качество изображения, а применение квазистатического подхода позволяет решать систему уравнений термоупругости не как систему уравнений с взаимосвязанными граничными условиями, а как упорядоченную последовательность задач.

4. Исследована возможность решения пространственных задач теплопроводности и термоупругости с помощью прямого метода граничных элементов. Данные о поле перемещений оптических поверхностей и распределении поля температур в толще линз, найденные из решения начально-краевой задачи термоупругости, позволили создать оптическую модель градиентной среды термо-деформированной линзы и на ее основе описать связь полей температур и перемещений с качеством изображения.

1. Аксенов Е.П. Теория движения искусственных спутников Земли. М.: Наука, 1977, 360 с.

2. Арзамасов Б.Н., Соловьева Т.Н., Герасимов С.А. Справочник по конструкционным материалам. М.: Изд-во МГТУ, 2005, 640 с.

3. Арсенин В .Я. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука, 1984, 384 с.

4. Атмосфера: Справочник (под ред. Седунова Ю.С.). Л.: Гидрометеоиз-дат, 1991,510 с.

5. Бегунов Б.Н. Геометрическая оптика. М.: Издательство МГУ, 1966, 210 с.

6. Бегунов Б.Н., Заказнов Н.П. Теория оптических систем. М.: Машиностроение, 1973, 488 с.

7. Безбородов М.А. Вязкость силикатных стекол. Минск: Наука и техника, 1975,350 с.

8. Белл Дж.Ф. Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел (том 1 «Малые деформации»). М.: Наука, 1984, 600 с.

9. Белл Дж.Ф. Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел (том 2 «Конечные деформации»). М.: Наука, 1984, 432 с.

10. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Метод граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984, 494 с.

11. Боли Б., Уэйнер Д. Теория температурных напряжений. М.: Мир, 1964, 518 с.

12. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1973, 720 с.

13. Бреббия К., Телес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987, 524 с.

14. Волосов Г.С. Фотографическая оптика. М.: Искусство, 1971, 672 с.

15. Галицын A.C., Жуковский А.Н. Интегральные преобразования и специальные функции в задачах теплопроводности. Киев: Наукова думка, 1976, 283 с.

16. Галлагер Р. Метод конечных элементов. М.: Мир, 1984, 428 с.

17. Ган М.А. 50 лет киноформной оптики: Итоги и перспективы развития // Оптический журнал, т.73, №7, 2006, с.9-16.

18. Гарбук C.B., Герешензон В.Е. Космические системы дистанционного зондирования Земли. М.: Издательство А и Б, 1997, 296 с.'

19. Герасимова JÏ.A. GRIN-оптика: оптические методы исследования // Оптический журнал, 2000, т.67, №4, с.22-21.

20. Гоголев Ю.А., Ган М.А. Работы Государственного оптического института им. С.И. Вавилова в области создания космических объективов // Оптический журнал, 2007, т.74, №10, с.3-6.

21. ГОСТ 13659-68 Стекло оптическое бесцветное. Физико-химические свойства. М., 1968, 60 с.

22. ГОСТ 13659-78 Стекло оптическое бесцветное. Физико-химические свойства. М., 1978, 28 с.

23. ГОСТ 15130-86 Стекло кварцевое оптическое. Общие технические условия. М., 1986, 31 с.

24. Грейсух Г.И., Ежов Е.Г., Степанов С.А. Композиция и расчет высокоразрешающих оптических систем с градиентными и дифракционными элементами // Компьютерная оптика, т.20, 2000, с.20-24.

25. Даниэлян Ю.С., Аксенов Б.Г. Приближенное решение задачи теплопроводности с нелинейными граничными условиями // Теплофизика высоких температур, №5, том 20, 1982, с.916-921.

26. Даффи Д.А., Бекман У.А. Тепловые процессы с использованием солнечной энергии. М.: Мир, 1977, 410 с.

27. Демидович В.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1966, 400 с.

28. Ежов Е.Г. Проектирование оптических систем с дифракционными элементами на асферических поверхностях И Компьютерная оптика, т.ЗО, 2006, с.9-15.

29. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Физматлит, 2001, 576 с.

30. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Математические модели термомеханики. М.: Физматлит, 2002, 168 с.

31. Зарубин B.C. Прикладные задачи термопрочности элементов конструкций. М.: Машиностроение, 1985, 292 с.

32. Зверев В.А., Родионов С.А., Сокольский M.H. Об оценке влияния местных деформаций волнового фронта на качество оптического изображения // Оптика и спектроскопия, т.46, №4, 1974, с.792-797.

33. Иванов A.B. Прочность оптических материалов. JL: Машиностроение, 1989, 144 с.

34. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. М.: Высшая школа, 2001, 551 с.

35. Кобранов Г.П., Цветков А.П., Белов А.И. и др. Внешний теплообмен космических объектов. М.: Машиностроение, 1977, 104 с.

36. Козлов J1.B., Нусинов М.Д., Акишин А.И. Моделирование тепловых режимов космического аппарата и окружающей его среды. М.: Машиностроение, 1971, 380 с.

37. Коваленко А.Д. Термоупругость. Киев: Вища школа, 1975, 216 с.

38. Кокер Э., Файлон JT. Оптический метод исследования напряжений. М.: ОНТИ, 1936, 634 с.

39. Кондратьев К.Я., Москаленко Н.И. Тепловое излучение планет. Л.: Гид-рометеоиздат, 1977, 263 с.

40. Кондратьев К.Я, Миронов З.Ф. Спектральное альбедо естественных подстилающих поверхностей // Проблемы физики атмосферы, 1965, №3, с. 18-27.

41. Котляр В.В., Мелехин A.C. Расчет градиентного оптического элемента, выполняющего заданное преобразование светового поля // Компьютерная оптика, т.20, 2000, с.37-40.

42. Крауч С., Старфилд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела. М.: Мир, 1987, 328 с.

43. Кузнецов С.М. Справочник технолога-оптика. JL: Машиностроение, 1983,414 с.

44. Куклев И.К., Станиславов В.А., Романовский В.В. Светозащитная бленда для оптических приборов // Патент России №2073903 Cl, 1997.

45. Кущ O.K. Оптический расчет световых и облучательных приборов на ЭВМ. М.: Энергоатомиздат, 1991. 152 с.

46. Лыков A.B. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967, 600 с.

47. Маламед Е.Р., Петров Ю.Н., Соколов И.М. Конструкции главных зеркал космических телескопов // Оптический журнал, 2002, т.69, №9, с.26-30.

48. Манжиров A.B., Полянин А.Д. Справочник по интегральным уравнениям: Методы решения. М.: Факториал пресс, 2000, 384 с.

49. Маркеев А.П. Теоретическая механика. М.: ЧеРо, 1999, 572 с.

50. Мастрюков Б.С. Учет селективности излучения в расчетах радиационного теплообмена // Теплофизика высоких температур, т.26, №3, 1988, с.555-559.

51. Мезенов A.B., Соме Л.Н., Степанов А.И. Термооптика твердотельных лазеров. JL: Машиностроение, 1986, 199 с.

52. Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. М.: Мир, 1981, 216 с.

53. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975, 872 с.

54. Оцисик М.Н. Сложный теплообмен. М.: Мир, 1976, 616 с.

55. Панов В.А. Справочник конструктора оптико-механических приборов. Л.: Машиностроение, 1980, 742 с.

56. Папкович П.Ф. Теория упругости. Л.: ГИОП, 1939, 641 с.

57. Паркус Г. Неустановившиеся температурные напряжения. М.: Физмат-гиз, 1963,252 с.

58. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости. М.: Наука, 1977,311 с.

59. Пененко В.В. Методы численного моделирования атмосферных процессов. JL: Гидрометеоиздат, 1981.

60. Пищик Г.Ф. Напряжения и деформации в деталях оптических приборов, Л.: Машиностроение, 1968, 248 с.

61. Пищик Г.Ф. Приближенный метод расчета температурных напряжений в симметричных линзах // Оптико-механическая промышленность, 1965, №6, с.15-21.

62. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Издательство МГУ, 1995, 366 с.

63. Подстригач Я.С., Коляно Ю.М., Громовык В.И., Лобзень B.JI. Термоупругость тел при переменных коэффициентах теплоотдачи. Киев: Науко-ва думка, 1977, 160 с.

64. Портенко Н.И., Скороход А.В., Шуренков В.М. Марковские процессы. -ВИНИТИ, 1989, 252 с.

65. Порфирьев Л.Ф. Алгоритмы астрокоррекции бортовых инерциальных систем навигации и ориентации ИСЗ // Известия ВУЗов. Приборостроение, 2003, №4, с.23-30.

66. Проектирование оптико-электронных приборов (под ред. Якушенкова Ю.Г.). М.: Логос, 2000, 488 с.

67. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. М.: Эдиториал УРСС, 2003, 432 с.

68. Римских М.В., Евсеев В.О., Сизиков B.C. Реконструкция смазанных изображений различными методами // Оптический журнал, т.74, №11, 2007, с.53-57.

69. Родионов С.А. Автоматизация проектирования оптических систем. Л.: Машиностроение, 1982, 270 с.

70. Романов А.Е., Куклев И.К. Расчет точности привязки космофотосиим-ков КТА к планово-высотной основе карт // Геодезия и картография, 2002, № 11, с.25-31.

71. Романов А.Е., Куклев И.К. Об ошибках привязки космофотоснимков к планово-высотной основе карт // Геодезия и картография, 2004, №8, с.30-37.

72. Романов А.Е., Исаева Е.В. Использование бленд с коническими диафрагмами в составе комплекса топографической аппаратуры // Оптический журнал, 2005, № 6, т.72, с.42-46.

73. Романов А.Е. Моделирование многократных отражений в блендах с коническими диафрагмами // Оптический журнал, 2007, т.74, №7, с.42-46.

74. Романов А.Е. О термомеханической расстраиваемости фотографической аппаратуры спутника // Сб.тр. «15-я зимняя школа по механике сплошных сред», УрО РАН, Пермь, 2007, том 3, с. 155-158.

75. Романов А.Е. Влияние температурного поля бленды на термомеханическую расстраиваемость оптической системы // Сб.тр. 2-й международной конф. «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем», Пенза, 2007, с.225-227.

76. Романов А.Е. Моделирование трасс световых лучей в термодеформиро-ванной линзе // Сб.тр. 3-й международной конф. «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем», Пенза, 2008, с.226-229.

77. Романов А.Е. Диффузное отражение в светозащитных блендах // Оптический журнал, 2008, т.75, №8, с.36-41.

78. Романов А.Е. Термомеханическая расстраиваемость светозащищенных диоптрических систем // Вестник Самарского гос. университета, т.65, №6, 2008, с.290-308.

79. Русинов М.М. Техническая оптика. М.: Машиностроение, 1979, 488 с.

80. Самарский A.A., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. М.:t

81. Едиториал УРСС, 2003, 784 с.81.84.85,86.