Идентификация неоднородных характеристик термоупругих тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

005535115

*Ь

Нестеров Сергей Анатольевич

ИДЕНТИФИКАЦИЯ НЕОДНОРОДНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ТЕРМОУПРУГИХ ТЕЛ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

17 ОКТ 2013

Ростов-на-Дону - 2013

005535115

Работа выполнена в федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Южный федеральный университет»

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор, Ватульян Александр Ованесович

Официальные оппоненты:

Наседкин Андрей Викторович, доктор физико-математических наук, профессор, Южный федеральный университет, профессор кафедры математического моделирования;

Баранов Игорь Витальевич, кандидат физико-математических наук, доцент, Донской государственный технический университет, доцент кафедры «Прикладная математика».

Ведущая организация Кубанский государственный университет

Защита состоится «29» октября 2013 г. в 16:00 часов

на заседании диссертационного совета Д 212.208.06 при Южном федеральном университете (ЮФУ) по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8а, ЮФУ, факультет математики, механики и компьютерных наук, ауд. 211.

С диссертацией можно ознакомиться в зональной научной библиотеке ЮФУ по адресу: 344006, г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан «25» сентября 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Боев Николай Васильевич

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Во многих областях техники все чаще приходится решать задачи, связанные с нахождением температурных напряжений неоднородных тел. Это связано с широким внедрением неоднородных материалов в области техники, где раньше широко использовались слоистые композиты: обшивка космических кораблей и сверхзвуковых самолетов, покрытия лопастей газовых турбин и режущих инструментов станков и т.д. Благодаря непрерывному изменению материальных свойств в функционально-градиентных материалах удается избежать концентрации напряжений в отличие от слоистых композитов, которым присуща концентрация напряжений в местах соединения слоев.

Термомеханические расчеты обычно проводят на основе моделей линейной термоупругости. При этом начальным этапом при использовании моделей линейной термоупругости с неоднородными характеристиками является определение точных законов неоднородности, от знания которых зависит эффективность применения неоднородных материалов. Для однородных тел термомеханические характеристики определялись из простых макроэкспериментов и для многих материалов были составлены обширные таблицы. В случае неоднородных тел прямые измерения термомеханических характеристик невозможны, поскольку они представляют собой некоторые функции координат. Нахождение термомеханических характеристик неоднородных тел представляет собой коэффициентную обратную задачу.

Обратные задачи о нахождении переменных коэффициентов дифференциальных уравнений теплопроводности и теории упругости в отдельности изучены достаточно хорошо, однако для ряда новых материалов необходимо учитывать связанность тепловых и механических полей и решать обратные задачи термоупругости.

В случае обратных задач термоупругости ранее проведенные исследования ограничивались только нахождением термомеханических характеристик

слоистых тел, слабо неоднородных материалов и неоднородного полупространства.

Проведенный анализ литературы по коэффициентным обратным задачам термоупругости свидетельствует об актуальности и практической значимости дальнейшей разработки методов идентификации неоднородных характеристик термоупругих тел конечных размеров.

Цель работы заключается в постановках, разработке методов решения одномерных коэффициентных обратных задач связанной термоупругости, выводе операторных соотношений, связывающих искомые и измеряемые функции, проведении вычислительных экспериментов.

Методика исследований прямых задач термоупругости для неоднородного стержня основана на сведении задачи к системе интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода в трансформантах по Лапласу, ее решении на основе метода коллокаций и численном обращении полученного решения на основе теории вычетов. Представлены две постановки обратных задач: в трансформантах и оригиналах. В случае постановки обратных задач в трансформантах для их решения сформулирован итерационный процесс, получены интегральные уравнения Фредгольма 1-го рода для определения поправок. Аналогично рассмотрены схемы для решения обратных задач в оригиналах. Представлено также решение задачи об одновременной реконструкции двух термомеханических характеристик. Интегральные уравнения Фредгольма 1-го рода решены на основании метода регуляризации Тихонова А.Н.

Научная новизна диссертационной работы заключена в разработке нового подхода к идентификации термомеханических характеристик неоднородных тел конечных размеров.

Достоверность полученных результатов основана на строгом математическом аппарате динамических задач термоупругости, на корректном сведении краевых задач для неоднородного термоупругого стержня к системе интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода в трансформантах, ее решении

методом коллокаций, обращении трансформант на основе теории вычетов, сравнении приближенных результатов с известными точными решениями прямых и обратных задач термоупругости.

Практическая ценность. Результаты диссертации могут быть использованы при разработке технологии неразрушающего контроля и идентификации термомеханических характеристик функционально-градиентных материалов.

Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, докладывались на III, IV, VI, VII, VIII Всероссийских школах-семинарах «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете» (Дивноморское, 2007, 2008, 2011, 2012, 2013 гг.), на Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, 2010 г.), на X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, 2011 г.), на Международной научной конференции, посвященной 80-летию со дня рождения академика Лаврентьева М.М. «Обратные и некорректные задачи математической физики» (Новосибирск, 2012 г.), на XIII, XV, XVI Международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2009, 2011, 2012 гг.), на семинарах кафедры теории упругости ЮФУ.

Публикации и вклад автора. По теме диссертации опубликовано 19 работ. Из них статьи [4, 6, 10, 11, 17] опубликованы в журналах из «Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук», утвержденного ВАК РФ. Работы [4, 6, 10, 17] выполнены в соавторстве с научным руководителем - Ватульяном А.О., в которых Ватульяну А.О. принадлежит постановка задач, основные идеи по методам исследования, обсуждение результатов, Нестерову С.А. принадлежит формулировка операторных уравнений, их исследование и построение решений

краевых задач, численные расчеты для различных законов изменения неоднородных характеристик. Работа [11] выполнена автором самостоятельно.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 117 наименований, включает 45 рисунков и 7 таблиц общим объемом 104 страницы машинописного текста.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 10-01-00194-а и 13-1-00196).

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении содержится обзор литературы по исследованию динамических прямых и обратных задач термоупругости для неоднородных тел, обоснование актуальности темы диссертационного исследования, формулировка целей работы.

Отмечен значительный вклад, который внесли отечественные и зарубежные ученые в разработку методов исследования динамических задач термоупругости: Гайдук С.И., Даниловская В.И., Жигалин А.Г., Коваленко А.Д., Козлов В .И., Купрадзе В.Д., Лычев С.А., Майзель В.М., Михайлов М.Д., Мусхелишвили Н.И., Новацкий В., Сеницкий Ю.А., Biot М.А., Boley В.А., Brüll М.А., Duhamel J.M., Hertnarski R.B., Muki R., Wilms E.V. и др.

Коэффициентные обратные задачи теории упругости, теплопроводности и термоупругости для неоднородных тел исследовали как отечественные, так и зарубежные ученые: Алексеев A.C., Алифанов О.М., Аниконов А.Ю., Апбасов С.О., Белишев М.И., Бакушинский А.Б., Благовещенский A.C., Бухгейм A.JL, Гасанов А., Денисов А. М., Кабанихин С.И., Лаврентьев М.М., Ломазов В.А., Морозов В .А., Романов В.Г., Сатыбаев А.Дж., Яхно В.Г., Chang J-D., Chavent G., Cheng T.C., Chen G., Jadamba В., Hao D., Klibanov M.V., Kravaris C., Lee C.R., Lukasievicz S.A., Xu M.H. и др.

В первой главе диссертации рассмотрена общая постановка трехмерной коэффициентной обратной задачи термоупругости для неоднородных тел и постановки коэффициентных обратных задач термоупругости для

неоднородного стержня в пространстве трансформант по Лапласу и в оригиналах.

В параграфе 1.1 сформулированы общие постановки трехмерных прямых и обратных динамических задач термоупругости в оригиналах и трансформантах.

В параграфе 1.2 сформулирована постановка прямой и обратной задачи термоупругости для неоднородного стержня при тепловом способе возбуждения продольных колебаний.

Рассмотрены продольные колебания жестко закрепленного на торце х = 0 неоднородного термоупругого стержня длины / под действием приложенного к торцу х = 1 теплового потока q(t) = q0<p(t). Начально-краевая задача описывается следующими соотношениями: дах д2и

стх=Е(х)^--у(х)0, (2)

дх

^{k(x)—) = ce(x)— + Tisy(x)—-, (3)

дх дх Ct dxdt

дО

"(о,о=0(о,о=о, -ед—(/)=?„?>( о, мл о=о, (4)

дх

<?(*,()) = и(х,0) = — (х,0) = 0. (5)

dt

После обезразмеривания краевая задача (1)-(5) примет вид:

Ш, 2_, ,ö2i/, ...

— = ,0p(z)—, (6)

(7)

dz

д ,г. , dlV, ч л dlV, _. . d2U,

— (k(z)—±) = c{z)—± + ö0r(z)—(8) dz dz Вт, dzdv,

- dW

U,(0,t,) = IV,(0,r,) = 0, -к{\)—*-(\,т,) = ахр(т,), ilI(l,rI) = 0, (9)

oz

W,(z,0) = U,(zfl) = ^-(z,0) = 0, (10)

St.

где г =

х г k(zl)

k{z) = ——, c(z) = I ka

cs(zl)

t

kn - max k(x), c„ = maxcix), Ea = max E(x), p. = max n(x), y„ = maxy(x).

лге[0,/] «[0,/] те[0,/] «610,/]

Здесь г, - безразмерное время, s0 - безразмерный параметр связанности, е0 -отношение характерного времени звуковых колебаний t2 к времени тепловых колебаний t{.

В обратной задаче требуется восстановить одну из безразмерных теплофизических характеристик стержня (c(z), k(z), y(z)) при известных остальных по дополнительной информации о безразмерном приращении температуры на торце стержня

Если дополнительная информация известна в любой момент времени, то обратную задачу можно сформулировать и в пространстве трансформант. Для этого к уравнениям (6)-(9) применено преобразование Лапласа по переменной г,, а в качестве дополнительной информации использована трансформанта безразмерного приращения температуры на торце стержня

В параграфе 1.3 сформулирована постановка прямой и обратной задачи термоупругости для неоднородного стержня при возбуждении продольных колебаний под действием приложенной к торцу х = / силы Р(/) = р0Л(1). В этом случае обезразмеривание задачи выполняется аналогично обезразмериванию задачи (1)-(5). При этом введены новые безразмерные величины: // = —,

Ео

т2= —. Безразмерные функции напряжения, смещения и приращения

'г

температуры обозначены с нижним индексом «2» и удовлетворяют уравнениям вида (6)-(8), а обезразмеренные граничные условия имеют вид:

W1C1, *,) = /(*,), г,еМ.

(П)

^,0.Л) = /(Л), Р, е[0,оо).

(12)

ЯШ

^2(0,г2) = [/2(0,г2) = 0, —-Ч1,г2) = 0, П2(1,г2) - цХ(хг), (13)

&

В качестве дополнительной информации выступает безразмерное торцевое смещение стержня

[/2(1,г2) = £(Г2), г2еМ. (14)

или трансформанта безразмерного торцевого смещения

иг(\,р2) = ё(рг), ^ е[0,со). (15)

В обратной задаче требуется восстановить одну из безразмерных механических характеристик стержня (р(г), Е(г), у (г)) при известных остальных по дополнительной информации (14) или (15).

В параграфе 1.4 сформулированы постановки в оригиналах обратных задач по одновременной реконструкции двух термомеханических характеристик неоднородного термоупругого стержня при совместном анализе продольных колебаний, возбужденных нагрузками с различными законами изменения.

Во второй главе изложены методы решения прямых задач для неоднородного термоупругого стержня.

В параграфе 2.1 обезразмеренная краевая задача (6)-(10) после применения преобразования Лапласа по г, сведена к системе интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода в пространстве трансформант:

I I

{/Г, (г,{А', (г, £ р, )П, (£ р, Щ + </,(*,/>,),

0 о

1 1

р,)с/£ + (16)

о о

Здесь ядра А-, (г, и правая часть

имеют вид: К1(г,4,р1) = -р1(с(^) + 801=--) | -=Д-,

1 ' * К4(г,£,/?,) = -е 1р1 -=— \р(пУ1'1, (*>Р,) = -а>$(рх)[

Система уравнений (16) решается численно на основе метода коллокаций с использованием квадратурной формулы трапеций.

Аналогичным образом получена система интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода при решении задачи о продольных колебаниях термоупругого стержня, возбужденного механическим способом.

В параграфе 2.2 изложены и сравнены два эффективных метода обратного преобразования Лапласа, широко применяемых при решении нестационарных динамических задач - применение теории вычетов и метод Дурбина.

В параграфе 2.3 приведено решение обезразмеренной задачи о продольных колебаниях неоднородного термоупругого стержня в оригиналах. Численно -аналитические решения СЛАУ, получившиеся после дискретизации системы (16) в Maple, показали, что трансформанты температуры и напряжения в узловых точках являются дробно-рациональными функциями от параметра преобразования Лапласа с одинаковыми знаменателями. Показано, что все полюса трансформант температуры и напряжений простые и могут быть найдены с достаточной точностью. Поэтому для нахождения оригиналов функций по их трапсформантам в работе применялась теория вычетов. При 5 = 0 множество полюсов разделяется на два подмножества. Первое включает в себя пары чисто мнимых чисел, отвечающих задаче теории упругости, а второе содержит вещественные отрицательные числа, отвечающие задаче теплопроводности. При 8 -ф- 0 эти полюса трансформируются в пары комплексно сопряженных чисел с отрицательными вещественными частями.

Проведено исследование влияния различных законов изменения механической и тепловой нагрузок, законов неоднородности и параметра связанности на поля безразмерных смещений и температуры.

В третьей главе диссертации изложены методы решения коэффициентных обратных задач термоупругости для неоднородных тел. В работе представлены три способа получения операторных соотношений, связывающих искомые термомеханические характеристики с трансформантами перемещений и приращения температуры на части границы тела: использование слабой

постановки прямой задачи, обобщенного соотношения взаимности и линеаризации на основе принципа ортогональности.

В параграфе 3.1 для построения операторных соотношений получена слабая постановка прямой задачи термоупругости в трансформантах по Лапласу. После линеаризации нелинейных операторных соотношений получена система двух интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода в трансформантах для организации итерационного процесса по нахождению поправок безразмерных коэффициентов.

В параграфе 3.2 на основе применения обобщенного соотношения взаимности в трансформантах и линеаризации были получены интегральные уравнения, совпадающие с полученными ранее в параграфе 3.1.

В параграфе 3.3 получены операторные уравнения для решения коэффициентной обратной задачи термоупругости неоднородного стержня. После обезразмеривания операторные уравнения имеют вид:

о dz 0

_ = -^(РгШРг)-иГ\\,Рг)), (17)

о az

ät"•-■»(^l!-dz + Pl f<5с("n(W/-")2dz +

о dz о

+ ¿>оР\ \Sy™ ~ Kn'l)dz = - evCp, X/(P,) - (1, Pl)). (18)

В случае если требуется восстановить только одну термомеханическую характеристику при известных остальных, уравнения (17), (18) распадаются на независимые интегральные уравнения.

Так, для нахождения поправок ¿ft("~"(z) при реконструкции безразмерного коэффициента теплопроводности необходимо решать интегральное уравнение: V _ dw

Здесь ^'"""(г,/?,) - вычисленная трансформанта безразмерного приращения температуры на (п -1) итерации.

При постановке обратной задачи термоупругости для стержня в оригиналах, из (17), (18) операционным способом были получены операторные уравнения на основе теорем о свертке и о дифференцировании оригинала.

Так, для нахождения поправок имеем интегральное уравнение:

/Л'-Ч^ГОА = -ю- , г, 6 [а,Ь], (20)

о о

где ядро интегрального уравнения (20) имеет вид:

дг дг

* Лт Г>7.

В работе натурный эксперимент был заменен вычислительным. Коэффициенты дифференциальных операторов уравнений термоупругости а{г) восстанавливались в два этапа. На первом этапе определялось начальное приближение в классе положительных ограниченных линейных функций а(0) (г) = кг + Ь на основе минимизации функционала невязки на компактном множестве в Д2. В случае теплового нагружения функционал невязки имеет вид:

р„

■Л = /(/(г. )-<"" (Ьг,))2^,, (21)

о

где [о,.Р0] - безразмерный временной отрезок, на котором минимизируется невязка ./[. В случае механического нагружения функционал невязки имеет вид:

Л = |сг(г2)-^""п0.г2))2Л2, (22)

о

где [о, //„ ] - безразмерный временной отрезок, на котором минимизируется невязка .

На втором этапе определялись поправки реконструируемых функций ¿5и'~'\г) путем решения соответствующего интегрального уравнения

Фредгольма 1-го рода. Решение ИУФ 1-го рода является некорректной задачей и требует регуляризации, которая осуществлялась на основе метода регуляризации Тихонова А.Н. После нахождения поправок строилось новое приближение и осуществлялся итерационный процесс по схеме а'"1 (2) = + ¿а'"""(г). На каждом шаге итерационного процесса решалась

прямая задача с уточненными характеристиками. Прямая задача решалась с помощью сведения ее к соответствующей системе ИУФ 2-го рода в трансформантах, решения ее на основе метода коллокаций и обращении полученного решения на основе теории вычетов. Выход из итерационного процесса осуществлялся по достижении соответствующим функционалом невязки (21), (22) порогового значения, равного 10~6 или по достижении предельного количества итераций, равного 20.

В параграфе 3.4 изложена процедура одновременного восстановления двух термомеханических характеристик. Так, для нахождения поправок при одновременной реконструкции двух теплофизических характеристик -безразмерных коэффициента теплопроводности к(х) и удельной объемной теплоемкости с(г) - необходимо решать систему двух интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода:

)4*<"> ^('•гУЛУг,-г)^

0 0 ^ д2 0 0 дт

= -со](р,(г, -г)(/;(г)-IV,'"-»(\,т))с1т,

о

о о & & о о дг

= -со)(рп{ г,-г)(/„(г)-(К//мЧ1,г)Уг. (23)

о

Здесь г,) и 1У,"''>(г,т1) - вычисленные путем решения прямой задачи

(6)-(10) безразмерные приращения температуры на (п-1) итерации при законах изменения тепловой нагрузки (г,) и соответственно, /,(г,) и /;;(г,) -

измеряемые торцевые приращения температуры при первом и втором законах изменения тепловой нагрузки соответственно.

При этом выбор начального приближения и выход из итерационного процесса осуществлялся с использованием функционала невязки следующего вида:

Р, А

■Л = }(// (г,) - И?-" (1, г,))2 с/Г, + {(/„ (г,) - (1,Г, . (24)

о о

В параграфе 3.5 получено операторное уравнение, связывающего безразмерную удельную объемную теплоемкость стержня с измеряемой трансформантой безразмерного приращения температуры на торце стержня с помощью метода линеаризации на основе принципа ортогональности.

В параграфе 3.6 представлена реализация метода Тихонова А.Н. при решении интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода в трансформантах и оригиналах.

В четвертой главе представлены результаты вычислительных экспериментов по идентификации неоднородных характеристик термоупругого стержня. Приведены расчеты при различных граничных условиях, параметре связанности, законах неоднородности. При проведении вычислительных экспериментов принято: п = 20, г0=10~6, // = 0.1, « = 0.05.

В первой серии проводились вычислительные эксперименты по реконструкции безразмерных характеристик в пространстве трансформант. Выяснено, что изменение параметра связанности практически не влияло на результаты реконструкции, но коэффициент температурного напряжения с увеличением параметра связанности восстанавливался лучше. Монотонные функции восстанавливались с меньшей погрешностью, чем немонотонные. При реконструкции безразмерных удельной объемной теплоемкости, коэффициента температурного напряжения, плотности наибольшая погрешность восстановления возникала в окрестности торца г = 0. Это связано с тем, что ядра соответствующих интегральных уравнений обращаются в нуль при г = 0.

На рисунках сплошной линией изображен точный закон, точками -восстановленный, пунктиром - начальное приближение.

На рисунке 1 показан пример реконструкции убывающей функции к(г) = соз(г) при тепловой нагрузке <р(т,) = Н(т,). Начальное приближение к0(г) = 0.95-035г, параметр связанности = 0.01. Для достижения порогового значения в функционале (21) потребовалось 4 итерации. Погрешность восстановления на последней итерации не превысила 3%.

На рисунке 2 приводится пример реконструкции возрастающей функции

Е(г) = — при механической нагрузке -1(г2) = ят(2г2). Начальное

приближение Яо(г) = 0.7 + 0.25г, параметр связанности <>0 =0.05. Потребовалось 3 итерации, при этом максимальная погрешность на последней итерации не превысила 5%.

На рисунке 3 показан результат восстановления немонотонной функции у (г) = 1 + 5т(4г) при нагрузке <р(г,) = ¿¡(т,) и заданных торцевых значениях. Начальное приближение у0(г) = 1 + 0.2г, параметр связанности <50 = 0.4. Потребовалось 8 итераций, при этом максимальная погрешность на последней итерации не превысила 8%.

Рисунок 1. Восстановление к(г) Рисунок 2. Восстановление Е(г)

а 02 ад о.« 08 1

г

Рисунок 3. Восстановление у(г) Во второй серии проводились эксперименты по реконструкции термомеханических характеристик в оригиналах. Обсуждено влияние на точность реконструкции зашумления входной информации, типа нагружения, границ временного интервала и количества точек наблюдения внутри него. Зашумление входной информации моделировалось с помощью соотношения /,, (г,) = /(г,)(1 + /гу/), где И - величина амплитуды зашумления, у/ - случайная величина с равномерным законом распределения на отрезке [-1,1]. Процедура реконструкции коэффициентов оказалась устойчива к 3%-му шуму. При этом погрешность реконструкции не превышала 17%.

На рисунке 4 представлен результат восстановления возрастающей функции р(г) = 0.5е2г -0.2 при нагрузке Л(т2) = т2е~'г и заданных торцевых значениях. Начальное приближение ро(г) = 0.1 + 2.9г, параметр связанности <Уо=0.05. Потребовалось 6 итераций при 4 точках наблюдения на безразмерном временном отрезке [0,2]. Максимальная погрешность реконструкции на последней итерации при этом не превысила 4%.

На рисунке 5 представлен результат восстановления убывающей функции

Е(г) = —— при нагрузке Мтг) = Я(г2). Параметр связанности да = 0.03. Поправки 1 + г

находились при решении обратной задачи на безразмерном временном отрезке [0,1] и 3 точках наблюдения внутри него, при этом потребовалось 6 итераций.

На рисунках 6, 7 представлены результаты одновременной реконструкции двух характеристик с(г) = сов(г) и к (г) = 0.2 +г2. Параметр связанности ¿„=0.05, начальные приближения: с0(г) = 1.05-0.52, к0(г) = 0.1 + г. При реконструкции использовались тепловые нагрузки: <р,(т1) = т1е~т', <р„(т,) = Н(т,). Поправки находились при решении обратной задачи в случае первой нагрузки на безразмерном отрезке [0,1] и 5 точках измерения внутри него; в случае второй нагрузки на безразмерном отрезке [0,0.5] и 4 точках измерения внутри него. Выход из итерационного процесса был осуществлен по достижении предельного количества итераций. Максимальная погрешность

Рисунок 4. Восстановление р(г) Рисунок 5. Восстановление Е{?)

Рисунок 6. Восстановление с(г) Рисунок 7. Восстановление к(г)

17

В заключении приведены основные результаты, выносимые на защиту.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Представлены постановки коэффициентных обратных задач термоупругости для неоднородного стержня как в изображениях по Лапласу, так и в оригиналах.

2. Разработаны методы решения прямых задач о продольных колебаниях неоднородного термоупругого стержня под действием механического и теплового нагружения.

3. Представлены способы построения операторных соотношений и итерационных процессов в обратных задачах по идентификации характеристик неоднородного термоупругого стержня.

4. Проведены вычислительные эксперименты по определению характеристик неоднородного термоупругого стержня при продольных колебаниях.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Нестеров С.А. Об одном методе решения нестационарной задачи теплопроводности для неоднородного стержня // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете: Тез. докл. III Всерос. школы-семинара п. Дивноморское, 28 мая-1 июня 2007. С.63-64.

2. Нестеров С.А. О реконструкции коэффициента теплопроводности неоднородного стержня // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете: Тез. докл. IV Всерос. школы-семинара п. Дивноморское, 2-6 июня 2008. С.75-76.

3. Нестеров С.А. Об особенностях идентификации теплофизических характеристик неоднородных тел // Актуальные вопросы современной науки: Сб. науч. трудов Межд. Интернет-конф. г. Таганрог, 3-5 сентября 2008. С.85-90.

4. Ватульян А.О., Нестеров С.А. Об одном подходе к восстановлению коэффициентов переноса // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2009. №3. С. 39-43.

5. Ватульян А.О., Нестеров С.А. Об одном подходе к восстановлению коэффициентов переноса и модуля Юнга неоднородного стержня // Современные проблемы механики сплошной среды: Труды XIII Межд. конф. Ростов-на-Дону, 12-15 октября 2009. Т.1. С. 44-48.

6. Ватульян А.О., Нестеров С.А. Коэффициентные обратные задачи термоупругости для неоднородных тел // Экологический вестник научных центров ЧЭС. 2009. №3. С. 24-30.

7. Ватульян А.О., Нестеров С.А. Об особенностях постановки коэффициентных обратных задач для неоднородного стержня // Теоретическая и прикладная механика. 2009. Вып.46. С. 118-124.

8. Ватульян А.О., Нестеров С.А. К определению неоднородных свойств термоупругих тел // Современные проблемы математики, механики, информатики: Труды Межд. науч. конф. Тула, 22-26 ноября 2010. С. 114-118.

9. Нестеров С.А. Об одной коэффициентной обратной задаче термоупругости для стержня // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете: Тез. докл. VI Всерос. школы-семинара п. Дивноморское, 30 мая-2 июня 2011. С. 72-73.

10. Ватульян А.О., Нестеров С.А. Об особенностях идентификации неоднородных свойств термоупругих тел // Экологический вестник научных центров ЧЭС. 2011. №1. С.29-36.

11. Нестеров С.А. Проблемы идентификации неоднородных свойств термоупругой среды // Вестник Нижегородского университета им. H.H. Лобачевского. 2011 №4(4). С. 1657-1658.

12. Нестеров С.А. Реконструкция удельной теплоемкости неоднородного термоупругого стержня // Труды аспирантов и соискателей Южного федерального университета. Ростов-на-Дону. 2011. Т. XVI. С. 73-77.

13. Нестеров С.А. Идентификация неоднородных свойств термоупругого стержня // Современные проблемы механики сплошной среды: Труды XV Межд. конф. Ростов-на-Дону, 4-7 октября 2011. Т. 2. С. 186-190.

14. Нестеров С.А. О некоторых одномерных обратных задачах

термоупругости и пороупругости // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете: Тез. докл. VII Всеросс. школы-семинара п. Дивноморское, 28 мая-1 июня 2012. С. 94-94.

15. Нестеров С.А. Об особенностях постановки и решения коэффициентной обратной задачи термоупругости для неоднородных тел // Обратные и некорректные задачи математической физики: Тез. докл. Межд. конференции, посвященной 80-летию со дня рождения акад. Лаврентьева М.М. Новосибирск, 5-12 августа 2012. С. 320-320.

16. Нестеров С.А. Об особенностях решения коэффициентной обратной задачи термоупругости для стержня // Труды аспирантов и соискателей Южного федерального университета. Ростов-на-Дону. 2012. Т. XVII. С. 59-63.

17. Ватульян А.О., Нестеров С.А. Об одном подходе к восстановлению неоднородных свойств термоупругих тел // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. №4. 2012. С. 25-29.

18. Ватульян А.О, Нестеров С.А. Численная реконструкция термомеханических характеристик неоднородного термоупругого стержня // Современные проблемы механики сплошной среды: Труды XVI Меж. конф. Ростов-на-Дону, 16-19 октября 2012. Т.1. С. 50-54.

19. Нестеров С.А. Численное решение одномерной коэффициентной обратной задачи термоупругости // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете: Тез. докл. VIII Всерос. школы-семинара п. Дивноморское, 27-31 мая 2013. С. 89-89.

Сдано в набор 17.09.2013. Подписано в печать 17.09.2013. Формат 60x84 1/16. Цифровая печать. Усл. печ. л. 0,7. Бумага офсетная. Тираж 120 экз. Заказ 1709/01.

Отпечатано в ЗАО «Центр универсальной полиграфии» 340006, г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 140, телефон 8-918-570-30-30

www.copy61.ru e-mail: info@copy61.ru

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования "ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ"

04201363233

На правах рукописи

Нестеров Сергей Анатольевич

ИДЕНТИФИКАЦИЯ НЕОДНОРОДНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

ТЕРМОУПРУГИХ ТЕЛ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор

Ватульян Александр Ованесович

Ростов-на-Дону - 2013

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ................................................................................4

ГЛАВА 1. ПОСТАНОВКИ КОЭФФИЦИЕНТНЫХ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ТЕЛ С НЕОДНОРОДНЫМИ ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКИМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ....................................................................19

1.1 Общая постановка коэффициентной обратной задачи термоупругости для неоднородных тел........................................................................19

1.2 Постановки обратных задач для неоднородного термоупругого стержня при тепловом нагружении..................................................................21

1.3 Постановки обратных задач для неоднородного термоупругого стержня при механическом нагружении.............................................................24

1.4 Постановки задач об одновременной реконструкции двух термомеханических характеристик неоднородного стержня.............................27

ГЛАВА 2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПРЯМЫХ ЗАДАЧ...........................29

2.1 Сведение задачи о колебаниях неоднородного термоупругого стержня к системе интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода в трансформантах по Лапласу..........................................................................................29

2.2 Методы обращения преобразования Лапласа................................33

2.3 Исследование полей смещений и температуры..............................35

ГЛАВА 3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТНЫХ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ТЕРМОУПРУГОСТИ..............................................................43

3.1 Формулировка операторных соотношений на основе слабой постановки задачи термоупругости в пространстве трансформант по Лапласу................43

3.2 Формулировка операторных соотношений на основе обобщенной теоремы взаимности в трансформантах для термоупругих тел.....................47

3.3 Итерационная схема решения одномерных коэффициентных обратных задач термоупругости........................................................................48

3.4 Интегральные уравнения для одновременной реконструкция двух термомеханических характеристик.......................................................54

3.5 Метод линеаризации на основе принципа ортогональности..............56

3.6 Реализация метода Тихонова А.Н........................................................58

ГЛАВА 4. РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ..61

4.1 Результат восстановления коэффициента теплопроводности неоднородного термоупругого стержня..................................................61

4.2 Результат реконструкции удельной объемной теплоемкости неоднородного термоупругого стержня..................................................68

4.3 Идентификация коэффициента температурного напряжения неоднородного тнрмоупругого стержня.................................................76

4.4 Идентификация плотности неоднородного термоупругого стержня....81

4.5 Определение модуля Юнга неоднородного термоупругого стержня....84

4.6 Одновременная реконструкция удельной объемной теплоемкости и коэффициента теплопроводности............................................................................88

4.7 Одновременная реконструкция модуля Юнга и плотности...............89

4.8 Итоговый анализ вычислительных экспериментов.........................91

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.........................................................................93

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ............................................................94

ВВЕДЕНИЕ

Во многих областях техники часто приходится решать задачи, связанные с нахождением температурных напряжений. Знание термонапряженного состояния тел необходимо для анализа прочности и правильного функционирования элементов конструкций. Расчет температурных напряжений обычно проводят на основе уравнений термоупругости.

Термоупругость - раздел механики деформируемого твердого тела, который начал развиваться в 50-е годы прошлого века. Опираясь на термодинамику необратимых процессов, теория термоупругости связывает две дисциплины - теорию теплопроводности и теорию упругости. Термоупругость - это вполне сформировавшаяся теория: выведены дифференциальные уравнения, получены определяющие соотношения, разработаны методы решения. На начальном этапе своего развития задачи термоупругости решались в рамках теории температурных напряжений, на основе модели Дюгамеля-Неймана. Duhamel J.M. предполагал [11, 49], что полная деформация складывается из упругой деформации и деформации, возникающей из-за теплового расширения. Большой вклад в применение законов термодинамики к изучению термоупругого деформирования внес Biot M.А. [87]. В случае модели связанной термоупругости в уравнениях движения учитывались инерционные члены и слагаемые, пропорциональные градиенту температур, а в уравнениях теплопроводности появлялись слагаемые деформационного нагрева, которые отражали факт перераспределения тепла при изменении объема.

Исследование динамических задач термоупругости берет свое начало в работе Даниловской В.И. [39]. Она в рамках теории температурных напряжений исследовала задачу о тепловом ударе на поверхности полупространства. Muki R. [110] исследовал влияние эффекта связанности полей деформаций и температуры на тепловой удар. Большой вклад в решение динамических связанных задач термоупругости внесли: Гайдук С.И. [37],

Коваленко А.Д. [49], Купрадзе В.Д. [51], Михайлов М.Д. [58], Новацкий В. [73], Сеницкий Ю.А. [80], Brull [88], Hertnarski R.B. [99], Wilms E.V. [116] и др. В [49, 73] выяснено, что для большинства материалов, влияние эффекта связанности на распределение тепловых напряжений незначительно, но для ряда полимеров, обладающих большим параметром связанности, это влияние необходимо учитывать. Упругие волны из-за влияния тепловых эффектов подвергаются дисперсии и затуханию.

Система уравнений связанной термоупругости не может быть отнесена ни к гиперболическому, ни к параболическому типу, что вызывает определенные трудности при исследовании начально-краевых задач. В статье [26] предложено обезразмеривание и построены фундаментальные решения задачи связанной термоэлектроупругости. В настоящий момент для решения задач механики связанных полей интенсивно развиваются численные методы решения, основанные на идеологии методов конечных разностей [12] и конечных элементов [10, 38, 44, 111, 112].

Многие годы слоистые композиты находили широкое применение в качестве покрытий элементов конструкций, работающих в областях с быстрым изменением температуры (обшивка воздушных и космических кораблей, лопастей газовых турбин, режущих инструментов станков, имплантатов в биомедицинской промышленности и т.д.), т.к. обеспечивали необходимые механические и теплофизические свойства конструкции. Например, в качестве теплозащитного покрытия металлической подложки использовался слой керамики [107]. Однако скачки термомеханических характеристик через поверхность раздела между материалами могут привести к большой концентрации напряжений и возникновению пластической деформации или растрескивания. В качестве альтернативы слоистым композитам в последние годы выступают функционально-градиентные материалы [85 , 115].

Функционально-градиентные материалы - класс относительно новых и перспективных материалов, которые изготавливают из-за необходимости

оптимизировать термомеханические свойства конструкций [85, 107]. По сравнению со слоистыми конструкциями в функционально-градиентных материалах нет скачков материальных свойств через поверхность раздела, т.к. они имеют непрерывное изменение материальных свойств [115]. При этом термомеханические характеристики являются не константами, а некоторыми функциями пространственных координат, т.е. материал приобретает пространственную неоднородность.

Неоднородную структуру материалы могут получить не только в процессе изготовления, но и при эксплуатации, под воздействием облучения, сильных магнитных полей, больших перепадов температуры. При этом практически невозможно заранее прогнозировать изменения в структуре материалов, вызванные внешними воздействиями.

В связи с широким внедрением в различные области техники неоднородных материалов, представляющих большой практический интерес, необходимо исследовать начально-креавые задачи механики неоднородных тел. В этой связи отметим монографии, посвященные теории упругости [50, 57, 78] и термоупругости [75] неоднородных тел.

Эффективность практического применения термоупругих неоднородных материалов зависит от знания точных законов неоднородности. Для однородных тел термомеханические характеристики определялись из простых макроэкспериментов и для многих материалов были составлены обширные таблицы. В случае неоднородных тел прямые измерения термомеханических характеристик невозможны, т.к. они представляют собой некоторые функции координат. В этом случае сначала находят значения характеристик, протекающих в теле процессов, например, температуру и перемещения на части границы тела, а затем вычисляют термомеханические характеристики путем решения коэффициентной обратной задачи термоупругости.

Все задачи математической физики можно разделить на два класса: прямые задачи и обратные задачи. Для прямых задач необходимо по известным

причинам найти следствия. К прямым задачам, например, относятся задачи на расчет различных физических полей для сред, свойства которых хорошо известны. В обратных задачах по известным следствиям требуется найти причины. Типы обратных задач зависят от характера причин, в качестве которых могут быть начальные или граничные условия, геометрия области, коэффициенты дифференциальных операторов.

Первая обратная задача была рассмотрена в 1905 г. немецкими учеными Герглотцем Г. и Вихертом Е. [98] в связи с проблемами геофизики и состояла в нахождении скоростей продольных и поперечных волн вдоль радиуса Земли по картине сейсмических волн на поверхности Земли. Благодаря решению этой задачи мы имеем некоторое представление о глубинном строении Земли.

С точки зрения математики обратные задачи обладают рядом особенностей [16]: 1) нелинейностью; 2) неединственностью решения; 3) неустойчивостью по отношению к малым изменениям входной информации.

Исследование единственности является актуальным при решении обратных задач, поскольку дает ответ на вопрос о достаточности данных для однозначного нахождения характеристик. Формулировке и доказательству теорем единственности при решении коэффициентных обратных задач для дифференциальных операторов различных типов посвящено большое количество работ [2, 53, 60, 77, 104 и др.].

При решении обратных задач используется входная информация, которая известна приближенно, потому что все измерительные приборы обладают некоторой погрешностью. Поэтому актуальным в настоящее время является проблема построения численных методов решения обратных задач, обладающих устойчивостью к малым изменениям входной информации.

Обратные задачи, как правило, некорректны. Основателем современной теории некорректных задач является академик Тихонов А.Н. [81, 82], который впервые ввел понятие условно-корректной задачи и регуляризации как способа решения некорректных задач. В дальнейшем методы решения некорректных

задач разрабатывали Бухгейм JI.A. [13], Бакушинский А.Б., Гончарский A.B. [5], Кабанихин С.И. [45], Лаврентьев М.М. [53, 55], Морозов В.А. [59], Романов В.Г. [76] и др.

При решении обратных задач широко используют два типа постановки задачи. Для первого типа постановки информация о физических полях известна внутри области в какой-либо момент времени. Так, например, в [109] исследуется задача о реконструкции коэффициентов Ламе в биологических тканях, при этом входной информацией является вектор перемещения внутри среды. При такой постановке обратная задача линейна и ее решение сводится к исследованию задач Коши для систем дифференциальных уравнений первого порядка. Однако большинство обратных задач решается на основе второй постановки. При такой постановке информация о физических полях известна лишь на части границе на некотором временном интервале. В этом случае обратная задача существенно нелинейна.

Очень часто на практике исследование обратных задач сводят к решению соответствующих экстремальных задач [2, 47, 74, 96]. Для этого вводится неквадратичный функционал невязки, который минимизируется в конечномерном подпространстве при помощи градиентных методов, а для нахождения градиента функционала используется аппарат сопряженных уравнений. При этом в качестве метода регуляризации используется метод итеративной регуляризации. Известно, что итерационные методы градиентного типа имеют некоторую устойчивость к погрешности входной информации. Первые итерации дают хорошее приближение к точному решению. Однако с ростом числа итераций возникают колебания в решении, которые могут его разрушить. Лаврентьевым М.М. [53] была выдвинута идея прерывать итерационный процесс на некотором номере итерации, согласованном с погрешностью входной информации. Для градиентных методов минимизации имеется обширное теоретическое обоснование [2, 74, 96]. К основным недостаткам таких методов относятся сильное влияние выбора начального

приближения на сходимость итерационного процесса, наличие требований к целевой функции.

Обратные задачи механики связанных полей для неоднородных тел, в т.ч. задачи связанной термоупрутости - малоизученная область механики; имеется небольшое количество публикаций по обратным задачам электроупругости [2325], термоупругости [4, 7, 29-33, 43, 56, 79, 108], пороупругости [42]. В то же время, обратные задачи о нахождении переменных коэффициентов дифференциальных уравнений теплопроводности и теории упругости в отдельности изучены достаточно хорошо.

Приведем некоторые сведения об истории исследования коэффициентных обратных задач теплопроводности, теории упругости и термоупругости.

Первые типы коэффициентных обратных задач теплопроводности были связаны с идентификацией теплофизических характеристик материалов, зависящих от температуры. Дело в том, что при быстром изменении температуры в широком диапазоне тепловые характеристики материалов существенно зависят от температуры. В настоящее время этот вопрос хорошо изучен [2, 13, 41, 60], доказаны теоремы единственности об одновременном определении коэффициентов теплопроводности и теплоемкости нелинейного параболического уравнения [41], проведены вычислительные и натурные эксперименты.

Задачу о реконструкции коэффициента теплопроводности для неоднородных тел исследовали как отечественные, так и зарубежные ученые: Денисов А. М. [40], Кабанихин С.И., Гасанов А., Пененко A.B. [47], Победря Б.Е., Кравчук A.C., Аризпе П.А. [74], Chavent G. [90], Gabriel D. [95], Hao D. [96], Isakov V. [100, 101], Kravaris C., Seinfeld J.H. [105], Xu M.H., Cheng J.C., Chang S.Y [117] и др. При реконструкции коэффициента теплопроводности многими исследователями широко применяется метод оптимизации, основанный на представлении искомого коэффициента комбинацией линейно независимых функций.

В [117] для реконструкции коэффициента теплопроводности неоднородного слоя применен ньютоновский итерационный алгоритм. Для нахождения поправок реконструируемой функции на каждой итерации решается интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода. Неоднородный слой разбивается на горизонтальные однородные слои и прямая задача решается с помощью конечно-разностного метода.

Для нахождения младшего коэффициента параболического уравнения обратную задачу обычно сводят к интегральному уравнению Вольтерра 1-го рода с использованием функции Грина прямой задачи [114].

Динамическую обратную задачу теории упругости впервые рассмотрел Алексеев A.C. [1]. Он исследовал вопрос о единственности нахождения двух характеристик Ламе и плотности как функции глубины полупространства. Затем Романов В.Г. [76 77], Благовещенский A.C. [8], Яхно В.Г. [83, 84] продолжили исследования Алексеева A.C. Они занимались исследованием вопросов единственности, устойчивости решения обратных задач для различных постановок и численной реализацией методов решения.

В дальнейшем задачу реконструкции модулей упругости исследовали как отечественные, так и зарубежные ученые: Аниконов А.Ю. [3], Белишев М.И. [8], Бухгейм А.Л. [13], Кабанихин С.И. [45, 46], Лаврентьев М.М. [54], Chang J-D. [89], Cheng Т.С. [91], Chen G. [92], Jadamba В. [102], Rakesh S. [ИЗ] и др.

Широко применяемым методом решения обратных задач теории упругости является метод операторов Вольтерра [76, 83]. Суть этого метода состоит в том, что, используя некоторые операторные преобразования, выделяют из оператора прямой задачи главный оператор с постоянными коэффициентами и обращают его. При этом исходная задача приводится к интегральному уравнению или системе уравнений с переменными пределами интегрирования. При построении обратного операт�