Анизотропные однослойные и слоистые полосы и пластинки при полном и неполном контактах между слоями тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ



МИНИСТЕРСТВО БЬШГО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ АРМЕНИИ ЕРЕВАНСКИЙ ГОСУДАРСТБЕ11НЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ТОВМАСЯН АР1УР БАБКЕНОВИЧ

УДК 539,3

АНИЗОТРОПШЕ ОДНОСЛОЙНЫЕ И СЛОИСТЫЕ ПОЯОСЫ И ПЛАСТИНКИ ПРИ ПОЛНОМ И НЕПОЛНОМ кошкш • МЩУ СЛОЯМИ

(01.02.04 - механика деформируемого твердого тела)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учено!*, степени кандидата физико-математических наук

ЕРЕВАН - 1992

Работа выполнена в Институте механики АН Армении

Научный руководитель - доктор физико-математических

наук АГАЛ0ВД1 Л.А.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических

наук, профессор САРКИСЯН С.О.

кандидат Физико-математических наук ДлШКНН Г.М.

Ведущая организация - Ереванский архитектурно-строительны;! институт

Защита состоите« "40" Ц10А&Т992г. в "'Ц, " час. в ауд. № 22 на заседании Специализированного Совета К Gbh.01.02 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Ереванском государственном университете по адресу: 375049, г. Ереван-49, ул. Мравяна Т.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ереванского государственного университета.

Автореферат разослш

!992г.

Ученый секретарь Специализированного Совета, кандидат Физико-математичес-, ,.

ких наук, доцент ({ •'/>, ДЖИЛАБЯН С.А.

.А К I I

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Балки, пластины к оболочки, являптся составными элементами почти всех современных конструкций» Зслч до семидесятых годов рассматривались 8 основном классические задачи (на лицевых поверхностях заданы ксмпаненти тензора напряжений), то начиная с конца семидесятых годов наблюдается значительный интерес и к неклассическим задачам (на яицоеше поверхностях балок, пластин и оболочек заданы вектор персмея.о-!шя или смешанные условия)» Такие задачи, если м рассматривались, то в рамках классических методов теории упругости м з основном для изотропных сред, без использовашш естественного характерного малого параметра задачи. Для полосы и слоя отметке работы Я.С.У^лянда, В.Д.Купрадзе, Т.Г.Гегслиа, М-О.Бзшэлейкз:!-ли, Т.В.Бурчулпдзо, И.И.Воровича, В.М.Александрова, ВоЛ.Еабгд-кс и др. Подобнее задачи возникают при рассмотрен;!!: контакт?1, тел, одно из которых является более жестким, в '•унцаментострс-ении, основанном на модели сжимаемого слоя. К подобным задачам приводят такие многие проблемы трибологии и сейсмологии,, Для реиения неклассических краевых задач тонких тел весьма эффективным оказался асимптотический метод.

Асимптотические метода в теории балок, пластин и оболочек получили интенсивное развитие благодаря работам А.Л.ГояьденЕгЯ-зера0 И.И.Воровича, их учеников О.К.Аксентян, М.И.ГУееЧк-зздб, Ю.Д.Каплунова, А.В.Колос, Н.Н.Рогачевсй, Г.Н.Черкъплеса, Ю.А. Устинова, Л.С.Сруб;цика и других, которые з основном посвящены классическим краевым задачам пластин и оболочек*

Анализу возможных форм собственных колебаний оболочек = асимптотическим методом посвящены работы А.Л«Гольденвейззра0 В.Б.Лидскогс, А.Г.Аслакяна, П.Е.Тозстика и др.

В работах В.С.Саркисяна были использованы физичеокна и геометрические малые параметры для исследования изгаб&в гсоге« бакия и устойчивости анизотропных пластин н оболочек з классической постановке» Эти результаты являются заяным иклад си э теории регулярно возмущенных задач.

В теории анизотропных пластин и оболочек асимптотический метод использовали Л.А.Агаяовян, его ученики С.Х.Адажда» Р.Со Геворкян, А.М.Хачатрян и др. При этом рассматривались как клее-

сические, так и неклассические краевые задачи. Рассмотрение Л.А.Агаяовяиом неклассических краевых задач позволил, в частности, установить рамки применимости модели Винклера-Фусса для анизотропных оснований, вывести формулу вычисления коэффициента постели основания. Изучению взаимодействия пластин и оболочек с различными физическими полями с использованием асимптотического метода посвящены исследования Е.В.Галактионова, И.Е.Зино, А.С.Космодамкансного, В.Н.Ложкина, А.Л.Радовинского, Н.Н.Рогаче-вой, С.О.Саркисяна, Э.А.Троппа и других. С.А.Амбарцумян, Г.Е. Багдасарян, ЫаВ.Еелубеиян использовали асимптотический метод для обсскозагая гипотез магнитоупругости тонких тел.

Рассмотрению класса неклассических краевых задач для анизотропных термоупругих полос-слоев и пластинок посвядена диссертационная работа. Предлагается асимптотический метод их решения. Установлена асимптотика исех искомых величин. Выведены и решены уравнения пограничного слоя, рассмотрено взаимодействие погран-слоя с внутренним напряженно-деформированным состоянием. Полученные результаты проиллюстрированы на частных примерах.

Цель работы заключается в исследовании следующих вопросов:

- нахождение асимптотики решения смешанной краевой задачи анизотропной термоупругой полосы, когда в плоскости полосы анизотропия самая общая, на одной из продольных ее кромок заданы нормальная компонента вектора перемещения и касательное напряжение, а на другой - условия первой краевой задачи 5 определение самого решения;

- выяснение вопроса применимости гипотезы плоских сечений для решения сформулированной смешанной краевой задачи;

- изучение пограничного слоя, характера затухания величин пограничного слоя и взаимодействия пограничного слоя с внутренним напрякенно-деформированнш состоянием;

- определение напряженно-деформированного состояния двухслойной анизотропной термоупругой полосы при полном и неполном контактах слоев, выявление роли условий неполного контакта слоев;

- разработка прикладных моделей расчета слоистых оснований-|}уццаментов, учет воздействия приведенной сейсмический нагрузки;

- сведение пространстпенной неклассической смешанной краевой задач» теории термоупругости для пластинок с общей анизотро-

пией (21 упругая константа) к двумерной» Определение внутреннего напряженно-деформированного состояния.

На£шая_новизна. В работе рассмотрен новый класс смешанных краевых задач анизотропных термоупругих полос-слоев и пластинок с анизотропией общего вида.

Установлены асимптотики компонентой тензора напряжения и вектора перемещения в рассмотренных смешанных краевых задачах..

Доказала неприменимость гипотез классической теории пластин и оболочек к сформулированным смешанным задачам*

Построены итерационные процессы для определения налряжегаю-деформированных состояний анизотропных полос-балок и пластин.

Выведены формулы прикладного характера, учитывшсдие вес5 приведенную сейсмическую нагрузку, изменение температурного поля.

Практическая значимость. Результаты исследований, приведенных п работе, позволяют расширить область использования балок и пластин из современных композитных материалов„ Результата могут быть использованы в сейсмологии и трибологии, в фундаыенто-сгроении и других областях.

Апробация, работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах Института механики АН Армеют (1989-1992г.г.), на УШ конференции молодых ученых Института механики (199Тг.), на Всесоюзном научном семинаре "Актуальные проблемы неоднородной механики" (Ереван, 1991г.), на семинаре кафедры ЫСС ЕГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в пести работах, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заклпчения и списка литературы, изло-кенных на т29 страницах мавикописного текста. Работа содержит 3 рисунка и список литературы из 139 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведен краткий обзор литературы и изложено краткое содержание работы.

В первой главе исследуется налряженно-де?ормированное состояние анизцтрспной термоупругой полосы при смешанных условиях на лицевых кромках. Методом асимптотического интегрирования выведены рекуррентные формулы для определения напряжений и перемещения (рассмотрены внутренняя задача и погранслой). Приведен случая, когда итерационный процесс обрывается и получается точное решение.

В первом параграфе ставится смешанная краевая задача для анизотропнбй терыоупругой полосы. Считается, что в плоскости полосы анизотропия самая общая. Требуетсл найти решение плоской задачи термоупругости анизотропного телами области

\ [ 0 , & ] } | ^ \ 4 Ь ; Ь На лицевых кромках

^ г; 1. К заданы условия

а при X ~ 0 ; ОС - одна из комбинаций краевых условий теории упругости. На полосу, помимо поверхностных, действуют заданные объемные силы с компонентами ^ (Х,с/_). Е и темпера-

турные воздействия.

Во втором параграфе переходом в уравнениях и соотношениях термоупругости к безразмерным переменным ^ - <С г ^ и

безразмерным перемещениям (f Г ."V - , получена сингулярно возмущенная геометрическим малым параметром система относительно искомых величин. Решение такой сингулярно возмущенной системы складывается из решений внутренней задачи и задачи пограничного слоя. Найдена асимптотика решения внутренней зада" - £ и , 5 г (3)

где - любое из напряжений и перемещений, ^ - целые числа,

которые должны быть такими, чтобы получить непротиворечивую систему относительно 0,^. Доказано, что в рассмотренных задачах эта цель достигается лишь при

Ьг- 0 для ц

В (3) предполагается, что по повторяющемуся (немому) индексу ,2 всегда происходит суммирование от 0 до $ . $ - число приближения. В работе доказано, что вклад объемных сил и температурных воздействий в оОцее напряженное состояние будет соизмеримым со вкладом поверхностных сил, т.е. соответствующие слагаемые будут входить в уравнения исходного приближения, если

Р3- е.-*4от'5 Ц,о

Для сравнения, приведена асимптотика напряжений и перемещений по классической теории балок и пластин (перзчя краевая задача), установленная А.Л.Гольденвейзере?«:

% - -I ДЛЯ (Тж Д •

(6)

к-4

СУ, - - / (сика. з-ча), б. = - А (кососиаи.з-ча) 0Г •ЬГ

Сравнение асимптотик (3), (4) С (3), (б) показывает ия принципиальное различие.

Асимптотика (3), (4) прмкцяпяалыго отличается н от асимптотик во второй и третьей краевых задачах, устаяовлетает Л.А. Агаловяном. Указанное различно приводят и принципиально новая

разрешающим уравнениям.

Решив систему, соответствующую (3) - (5), удовлетворив условиям (I), (2), часть величин определяется сразу, адлри-

(7)

-> л/Ц)

а часть выраляется через функцию н , которая определяется из

уравнения:

1 с/у» ; о

(Х-11 ы I

(8)

или

где

0-11

л

л

о о

-(5) Л +(£)

? (9)

р. НО) р.+ -{о)

Ц -- Ц --1Г о

5

Величины со звездочками - известные функции от ^ , ^ . Для них выведены рекуррентные формулы. Таким образом, полученными в работе формулами полностью определяется величины внутреннего напряженно-деформированного состояния.

В третьем параграфе рассмотрен пример, когда итерационный процесс обрывается. В качестве иллюстрации полученных результатов, приведено решение внутренней задачи весомой ортотропноЯ полосы.

В четвертом параграфе изучается пограничный слой. Погран-слой строится в соответствии сформулированной в первом параграфе краевой задаче. Построение погранслоя позволяет получить результаты одинаково пригодные как вблизи края, так и вдали от него. Решение погранслоя ищется в виде

'и»

где О" I - любое из напряжений и перемещений, - / Л.^.

— характеризует скорость затухания. Выведены формулы для определения 11 ■ Получены трансцендентные уравнения для

определения Л . В зависимости от значений упругих параметров возможны случаи:

а) " 4Л/ ) ^¿Л/ - О

б) ььл^щ^^р^^и^ -

- А - 0

■+ тД £ = О ^ - т ,

В пятом параграфе рассмотрен вопрос сопряжения пограничного слоя с внутренней задачей. Согласно теории сингулярных возмущений, общий интеграл задачи имеет вид

лЫ ОН)

где - решение внутренней задачи, Гч - решение погран-

слоя при X. ~ 0 , £ - погранслой при ){ - СС , Ж , ^ -характеризуют интенсивности погранслоев. Приведена процедура сопряжения внутреннего и погранслоя решений.

Во второй главе получено асимптотическое решение смешанной краевой задачи для двухслойной анизотропной термоупругой полосы при полном и неполном контактах между сдоями, когда на одной из лицевых поверхностей заданы значения напряжений, а на другой -нормальная компонента вектора перемещения и касательное напряжение. Считается, что на полосу действуют массовые силы и температурные полк. В качестве иллюстрации полученных результатов, приведены решения внутренней задачи дня частных случаев натруженил, когда соответствующие итерационные процессы обрываются и получаются точные решения для слоистого слоя«

В первом параграфе ставится смешанная краевая задача для двухслойной анизотропной термоупругой полосы при полном контакте слоев. Требуется найти напряженно-деформированное состояние в области хе.[0,а]

Величины, относящиеся к верхнему слою отмечаются сверху индексом (I), к нижнему слою - индексом (2). Заданы граничные и контактные условия:

) ¿'(дф "Р" у = <4/ 113)

Ц>ф/ Г'ЧГф.¡¡--к <«>

rs.l1) Л.Ш М*)

^хч - ^хч . ь - V?*

- ^ Ч прй о

(15)

N условия при , а . которые считаются произвольны**.

Во втором параграфе методом асимптотического интегрирования получены рекуррентше формулы для определения искомых величин.

- тт -

Все величину выражены через 1С . Для вычисления перемещения

получено дифференциальное уравнение второго порядна с постоянными коэффициентами:

(Л, * (<;) г- * (*'>

Ч - Ц 0 / 7 0 )

В третьем и пятом параграфах рассмотрены примеры. Б качестве иллюстрации полученных результатов приведем решения внутренней задачи ортотропной полосы, при полном и неполном контактах, когда на лицевой поверхности верхнего слоя заданы значения компонентов внешней нагрузки постоянной интенсивности. В одном случае учитывается вес и приведенная сейсмическая нагрузка, а в другом - влияние температурного поля кусочно-линейным образом меняющегося по ширине полосы в целом.

В четвертом параграфе определяется напряженно-деформированное состояние двухслойной анизотропной термоупругой полосы, при неполном контакте слоев, когда на одной из лицевых поверхностей

заданы значения напряжений, а на другой - нормальная компонента вектора перемещения и касательное напряжение. В качестве условий неполного контакта приняты:

.И) л. I»)

- С: С|)

при ^ = 0 (Г8)

^ - Ц - ^ (и

■а

Показано, что в отличие от случая полного контакта (см. (16)), здесь состояние каждого слоя описывается своим уравнением:

где

г*-г л^о)

р.

(19)

(20)

ДО

В диссертации приведены выражения нагрузочных членов Г{ . Как частные случаи, из (19) можно получить уравнения, соответствующие свободному скольжению ( 0 )» сухому трению и др.

В третьей главе рассмотрена трехмерная внутренняя задача анизотропной термоупругой пластинки. Построено асимптотическое решение. Для напряжений и безразмерных перемещений получены рекуррентные формулы. Отдельно выделены формулы вычисления искомых величин для ортотропных пластинок.

В первом параграфе ставится смешанная краевая задача для трехмерной анизотропной термоупругой пластинки. Анизотропия сбацал и описывается 21 упругой константой. Требуется найти решение уравнения пространственной задачи теории термоупругости анм-

эотропного тела в области Л • (^/Ч) ■

На пластинку действуют заданные объемные силы и температурные воздействия. На лицевых поверхностях 2 ^ ± заданы условия:

" ¿"'С* М) ; Сх* -

(21)

II - Ь Ш~(X, - (т (х,м , Ся = Кг

Во втором параграфе переходом к безразмерным координатам •

( ^ - , % ) и перемещениям ( 11=%.

V"- ^01 » - выписаны сингулярно возмущенные гео-

метрическим молим параметром ( - ) уравнения относительно

искомых величин. Найдена асимптотика решения этой системы уравнении, которая принципиально отличается от4.симптотики тех же величин классической теории пластинок. Решение внутренней задачи ищется в виде:

'^{¡ЛА) , ^ОУ (22,

Доказано, что

э, что

для (С*

V,УМ)

%--0 а»» (С Хг ,)

(23)

Получено общее решение сингулярно возмущенной системы уравнений, соответствующее внутренней задаче. Решение выражается через компоненты вектора тангенциального перемещения

. Для определения получена система из двух

уравнений в частных производных. Общий порядок этой системы -четвертый. Этим она принципиально отличается от системы уравнений классической теории пластинок.

В третьем параграфе рассмотрен случай ортотропных пластинок. Используя полученные результаты, выписаны двумерные уравне-

ния пнутрснней задачи ортотропных пластинок и формулы вычисления напряжений и перемещений.

приводятся основные результаты работы:

Т. На основе уравнений теории термоупругости построена асимптотика решения смешанной краевой задачи анизотропной полосы, когда на одной из продольных ее кромок заданы нормальная компонента вектора перемещения и касательное напряжение, а на другой - условия первой краевой задачи теории упругости.

2. Построена асимптотика и решена задача пограничного слоя анизотропной полосы. Выявлен характер затухания величин пограничного слоя. Исследован вопрос сопряжения погранслоя с решением внутренней задачи.

3. Определено напряженно-деформированное состояние двухслойной анизотропной термоупругой полосы при полном и неполном контактах слоеп.

4. Показана существенная зависимость разрешающего уравнения от вида функции модели непоиного контакта слоев. Установлена аналитическая ^орма этой зависимости.

5. Выведены формулы прикладного характера, учитывающие вес, приведенную сейсмическую нагрузку, изменение температурного поля.

6. На основе уравнений пространственной задачи теории термоупругости установлена асимптотика решения анизотропной пластинки, когда на однсй из лицевых поверхностей заданы значения напряжений, а ьа другой - нормальная компонента вектора перемещения и касательное напряжение.

7. Доказана неприменимость гипотез классической теории пластин и оболочек к сформулированным задачам.

Б. Построены двумерные приведенные уравнения, позволяющие определять величины внутренней задачи с наперед заданной асимптотической точностью как для ортотропных пластинок, так и в случае наличия общей анизотропии.

Основные результаты изложены в работах:

1. Товмасян А.Б. К асимптотическому решению смешанной краевой задачи для термоупругой полосы//Материалы УШ колф. молодых ученых Института механики АН Армении. 1991. - 31 с.

2. Агаловян Л.А., Товмасян А.Б. О смешанной краевой задаче для анизотропной термоупругой полосы//Докл. АН Армении. 199Г.

Т. 92. № 2. С. 76-8Т.

3. Агалопян Л.А.в Товмасян А.Б. Об асимптотическом решении смешанной краевой задачи для двухслойной терлоупругой полосы// Материалы Всесоюзн. научи, семинара "Актуальные проблемы неоднородная яеханкки". Ереван. I99T. С. 5-10.

4. Товмасян А.Б. Погрэнслой термоупругой полосы и его взаимодействие с внутренним напряженно-деформированным состоянием// Докл. АН Армении. Т992, в печати.

5. Агалозян Л.А., Товмасян A.B. О напрякенно-де!? ормирован-нам состоянии двухслойной термоупругой полосы при неполном контакте слоев// К сб. Соврем, проблемы механики контактного взаимодействия. Ереван. 1992г., в печати.

6. Агаловян Л.А., Товмасян А.Б. Асимптотическое реяение смешанной трехмерной внутренней задачи для анизотропной термо-упругоИ пластинки// Изз. АН Армении. Механика. 1992г., з печати.

Заказ 7

Тира а WO

Отпечатано иа ротапраатиоы участке ЦНИОН АН Арлеаиа Адрес: %8ван-1, ул.А0овяна,15.