Асимптотические представления решений смешанных краевых задач анизотропных полос и пластинок переменной толщины тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РГ6 од

•] П ЖП^ТЙ^О ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ «РМЕНИИ

ЕРЕВАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВРРСИТЕТ

(к правах рукописи

ХАЧАТРЯН ГЕЕСРГ ГРИГОРЬЕВИЧ

УДК 539.3

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ СМЭ1АННЫХ КРАЕЕЫХ ЗАДАЧ АНИЗОТРОПНЫХ ПОЛОС И ПЛАСТИНОК ПЕРЕЖННОЙ ТОЛЦ^Ш

(01.02.04 - механика деформируемого твердого тела)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степень кандидата физико-математических наук

ЕРЕВАН - 1593

Работа выполнена в Институте механики АН Армении-.

Научный руководитель - доктор '¡изико-математических

наук, АГАЛОВЯН Ji.A.

Официальные оппоненты - доктор технических наук,

профессор КИРАКССЯН P.M.

кандидат физико-математических наук дкшкян Г.И.

Ведущая организация -- Ереванский архитектурно-строительный институт

Чл ~ /г*0

Защита состоится AfeftyHlSЗг. в ' час. ь

ауд. № 22 на заседании Специализированного Совета К 055.01.02 по присуждении ученой степени кандидата Физико-математических наук з Ереванском государственном университете по адресу: 375049, г... Ереван-49, ул. Мравяна I.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ереванского государственного университета.

Автореферат разослан

Ученый секретарь Специализированного Совета, кандидат физико-математических

наук, доцент даи:АБЯИ С,А*

ОЕЛЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАЕСШ

Актупльность_тс'/ы, Смешанные краевые задачи играют важную роль во многих областях механики деформируемого твердого тела и строительной механики, в частности, ими описываются контактные взаимодействия различных упругих тел, оснований-'ундаментов, слоистых тонкостенных композитных элементов и др.

В определенной мере этим обусловлено, что начиная с конца семидесятых годов наблюдается интерес к задачам балок, пластин и оболочек, когда на лицевых поверхностях задаются вектор перемещения, смешанные или иные условия теорий упругости (некласеи-ческие краевые задачи балок, пластин и оболочек),

Укажем также, что среди основных элементов совремешдах конструкций, в частности, несугих конструкций, очень час*:с стали применяться тела сложной конфигурации. К ним относятся балки-полосы, пластинки и оболочки переменных толщин. При этом чете всего не удается получить точные решения для определения напряжений, деформаций, перемещений. Для подобных тел смешанные краевые задачи если и рассматривались, то в рамках классических методов теории упругости, без использования естественного характерного малого параметра задачи. Подобные задачи являются основными' во многих областях фундаментостроения, где используются Фундаменты переменной толщины, в сейсмологии, где представляет интерес учет конфигураций сейсмических плит, а такте слоистость ■ земной коры на данной местности, в гидростроительных сооружениях, сейсмостойком строительстве и других областях. .

Поскольку в основных уравнениях теории упругости для балок, пластин и оболочек присутствует малый параметр, для их решения естественно применять асимптотический метод.

Асимптотические методы в теории балок, пластин и оболочек получили интенсивное развитие благодаря работам А.Л.Гольденвейзера, К.И.Воровчча, их учеников С.К.Аксентян. Ю.Д.Каплунова, А,В.Колос, Н.Н.Рогачеяой, Г.И.Чернышева, Ю.А.Устинова, Л.С.Срубщика к других, "оторые в основном посвя.ечы классическим краевым задачам пластин и ободочек.

Анализу возможных Форм собственных колебаний оболочек асимптотическим методом посвящены работы Л.Л.Гольденвейзера, й.Ь. лид-с'ого, А.Г.Аелянянп, П.Ы.Товстика пр.

I работа" Б.С.Саркисяна с*»яи использованы физические и ге~ •ч'ггсччсстео мзлмс параметры для исследогачия изгиба, колебания

и устойчивости анизотропных пластин и оболочек в классической постоковке. Эти результаты являются важным вкладом в теорию регулярно возмущенных задач.

В теории анизотропных пластин ч оболочек асимптотический метод использовали ^.А.Агаловян, его ученики С.Х.Адакян, P.C. Геворкян. А.М.Хачатряк, А.Ь.Товмасяи и др. При отом рассматривались ;ган классические, так и летлассическис краевые задачи. Рассмотрение Л.А.Агаловяном неклассических краевых задач позволил, в частности, установить применимость модели Винклера-Фус-«;.. .'для анизотропных оснований, вывести формулу вычисления коэффициента. постели основания. Изучению взаимодействия пластин и оболочек с различными Физическими полями с использованием асимптотического метода посвящены исследования Е.В.Талактионова, И.Е. Зино4 А.С.Космодамианс-ого, В.Н.Ложкина, А.л.Радовинского, H.H. Ротачевой, С.О.Саркисяна, Э.А.Троппа и других. С.А.Амбарцуыян, Г.Ь. Ьагдасарян, М.п.Еелубе^ян использовали асимптотический метод для обоснования гипотез магнитоу ругости тонких тел.

В последнее время большой интерес гредставляет изучение балок-полос переменной ширины, а такте пластин к оболочек переменно» толщины. Некоторые оптимизационные . адачи этого планы решены 1!.Ь„Еаничу"ом, Методом гипотез Б.3.Власов, Ч.И.Леонтьев рассмотрели большой 1гласс задач балок, пластин и оболочек неклассической Фор\<ы на упругом основании. Р.М.Киракссяном разработан вариант метода гипотез для расчета пластин переменной толщины с классическими граничными условиями на лицевых поверхностях. Н.V;.Гри-горенка, Н.Н.Крюков, Т.Г.Ахалая методом прямых рассмотрели деформацию круглой пластины переменной в двух направлениях толщины, изгиб круглой ортотропной пластинки с переменными в двух направлениях местностями. А.Д.Коволенко, 3.Д.Костик, И.Ф.Вовкодав исследовали изгиб круглой пластины переменной вдоль окружности толщины. В.С.Саркисян, Р.Г.Аванесян свели решение задачи изгиба анизотропной (неортотропной) тонкой пластинки переменной толщины к решению системы рекуррентных дифференциальных уравнений с частными производными четвертого порядка. А.Л.Калачанаров применил метод осреднения к выводу уравнений и соотношений упругости для тонкого анизотропного неоднородного (композитного) слоя переменной толщины, обладающего периодической структурой. В рамках нелинейное теории упругости, задача сведена к решении задачи для пластинки постоянной толщины. И.А.Салдатенков исследовал задачу теории упругости для полосы переменной ширины при известных пе-

ремещениях ее границ. На основе предстаппения Попковичя-Гойбсра :• конформного отображения рассматриваемой полосы на полосу постоянной ширины, задача сводится к решению системы интегральных урпвт ний относительно четырех неизвестных функций.

Диссертационная работа посвящена изучению класса неклассичес ких -.фаевых задач для анизотропных термоупругих полос и пластинок переменной толчены. Предлагается асимптотический метод их решения-Установлена асимптотика всех искомых величин. Построен итерационный процесс дня определения напряжений и перемещений. Результаты проиллюстрированы на частных примерах. Укапаны случаи, когда получаются точные решения.

Уё£Ь_Еабота заключается в исследовании следующих вопросов:

- нахождение асимптотики решения второй, третьей и смешанных краевых задач анизотропной термоупругой полосы и пластинки переменной толщины, когда на одной из продольных ее промок заданы компоненты вектора перемещения, а на другой - одно из условий краевых задач теории упругости; определение напряженно-деформированного состояния во внутренней задаче;

- выяснение вопроса применимости гипотезы классической теории балок-полос и пластин, для решения указанных краевых задач;

- определение напряженно-деформированного состояния двухслойной анизотропной термоупругой полосы переменной ширины при полном контакте слоев;

- разработ'-а прикладных моделей расчета слоистых оснований-ундаментов, учет воздействия приведенной сейсмической нагрузки.

Научная_новизна. В работе рассмотрен новый класс кекласси-ческих смешанных краевых задач анизотропных термоупругих балок-полос и пластинок переменной толщины.

Установлены асимптотики компонентов тензора напряжения и вектора перемещения в рассмотренных неклассических краевых задачах, которые принципиально отличаются от асимптотики тех величин го классической теории пластинок. Получено обшее решение сингулярно возмущенной системы уравнений, соответствующее внутренней задаче.

Доказана неприменимость гипотез классической теории балок и гыпстйн к укапанным задачам.

Построены итерационные процессы для определения напряженно-тг'Торчиропвнкь'Х состояний янппотрг'грых голос-балок и пластин ге-'''"•/п м"': толщины.

- о -

Выведены Формулы прикладного характера, учитывающие пес, ' «поденную сейсмическую нагрузку, изменение температурного геля.

П^актичоская_анлчимость.. Результаты нсспедованиГ-., полведек-ч*/х б работе, позволяют расширить область использования Оалок-'¡олос и пластин из современных композитных материалов. Результаты могут быть использован]!! в расчетах тонкостенных ¡элементов конструкций из : оммезитных маториачоп, в сейсмологии, сейсмостойко« строительстве, ^ундаментостроении, гидростроительстве и в других областях.

Аг£обашя_ра6оты, Основные результат» диссертации докладывались и абсучпались на семинарах Института механики АН Армении И9Ь9-1992г..'.), на & Иссссюзном семинаре молодых ученых "Актуальные проблемы механики оболочек" (Казань, 1£Шг.), на семинаре кафедры МСС ЬГУ. ' •

П^бдика^и. Основные резу; ьтаты диссертации изло <енк в семи работах, список которых приводится в конце автореферата.

работа состоит из

ивепения, трех глав, заключения и списка литературы, изложенных не страницах машинописного текст и. Раоста содержит I? ри- '

суикои и список литературы из 160 наименсьаний.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведен краткий обзоп литератур« и изложен-, краткое содержание работы.

В первой главе исследуется напряженно-деформированное ее; якие анизотропной термоупругой полосы переменной ширины при ус виях эторой, третьей и смешанных краевых задач теории упругое-, Для определения напряжений и перемещений внутренней задачи аск тотичееккм методом получены рекуррентные формулы» Указеш случ когда итерационный процесс обрывается и получается точное реке В первом параграфе ставится смешанная краевая задача длг ■ зотропной термоупругой полосы переменной ширины. Считается, т.-плоскости полосы анизотропия имеет самый общий вид. Требуется ти решение плоской задачи термоупругости анизотропного тача я

ласти д = ^ ^ ц (К} ^ ^ щ (х.

где (X ) - гладкие функции» На продольной кромке

^ _ __ Ц) (% ) заДакы компоненты вектора перемещения:

?/ = и", у = ' (о

а на другой, . ^ — ^(х ) * °ДН0 кз следующих граничных усло-

вий

Бл с^ (пу) * ох■ (П^) = £

(2)

% го5(пУ) + (пУ) --- £

и = иЛ) V = V * (3)

Г _ Г " - ■ + Ь п - Ьп ; . и 1-- и ) 14)

Ъп - Я:;* , \/ V (5>-

На попереччкх кромках У'-/;» (1 - "-тут с'-^;- эгдпны

чн!»;",чт:',Г':сп:с ,!тк уто уг.-ог."- угг::угс??к.

На анизотропную полосу, помимо поверхностных, действуют заданные объемные силы с компонентами [X, У)» г; ( X, У ) и температура по заданному закону. У

Во втором параграфе переходом в уравнениях и соотношениях термоупругости к безразмерным переменным ^ г , ^ - ¡//^

и безразмерным перемещениям £/"— , у ~ С\ • получена

сингулярно.возмущенная геометрическим малым параметром ¿" г. система относительно искомых величин. Решение такой сингулярно возмущенной системы складывается из решений внутренней задачи пограничного слоя. Решение внутренней задачи отыскивается в виде

где (\{ - любое из напряжений и перемещений, - целые числа, которые должны быть такими, чтобы получить непротиворечивую систему относительно Доказано,что в рассмотренных задачах

эта цель достигается лишь при

Я ~ У для напряжений

(7)

%

для перемещений

Ь С6> предполагается, что по повторяющемуля (немому) индексу 5 всегда происходит суммирование от (9 до А/ » /V - число приближений.

Асимптотика напряжений и перемещений в данных задачах принципиально отличается от асимптотики тех же величин по классической теории балок и пластин (первая краевая задача), установленная А.Л.Гольденвейзером:

?/ ^ доя (а } и

Асимптотика (б), (7) для величин во второй и третьей краевых задачах теории упругости для полосы и пластинки постоянных толщин, установленная Л.А.Агаловяном, оказалась верной и для величин краевых задач полосы и пластинки переменной толщины.

Для коэффициентов ^^представления (6) получено:

С+ >

6

Величины со звездочками для каждого Ь' известные функции от ^ 1 С, • если определены величины с индексом <" 5 имеют вид:

О

- то -

г'4-Г ^ л-^ ^ (Ю)

^ Л"* -У* и6С иКЪ*

о

- 6, и А(5)

Решение (9) содержит неизвестные функции и^уси/ 63 (£)

'-¡о ( I), которые определяются из граничных условий

(I) - (5). 1

В этом параграфе, удовлетворив граничным условиям (1)(/ определены функции ^ Неизвестные Функции ,

^ , определяются из граничных условий (27 - (5). В третьем, четвертом и пятом параграфах рассмотрены вторая, третья и смешанные краевые задачи полосы переменной толщины, соответственно условиям (2) - (5). Определены неизвестные функции, Б частности, во второй краевой задаче неизвестные Функции определяются по формулам:

¿ХУС

С= ('«Г-

Гг = (

Л ш

>1Г<~Ъ> Г -($) С*.)/ ер I ^Ч .

Ъ = [и -И- V* (1/{

^ (И) £ (&) Выведены Формулы для О/ЛО » ' Ь у о и для осталЬ1ШХ случаев. Приведем решения для широкого класса частных задач. Рассмотрены рад оптимизационных вопросов.

Во второй главе исследуется двухслойная термоупругая полоса переменной ширины при полном контакте между слоями.

В первом параграфе излагаются основные положения и постановка задачи.

Продольные грани полосы описываются гладкими функциями (у!~) и контакт слоев происхэдит по линии, совпадающей с осью ОХ • Считается, что в плоскости полосы анизотрог ия самая общая. -Присутствуют объемные силы и температурные воздействия, которые учитываются по модели ]уогамеля-Неймана.

Удовлетворив условиям на нижней грани у - -Ц) (X) определяется часть неизвестных функций:

ио = 1' + Оуо + А'- ^о (¡г$)

= V + (Чг^ - (12)

а из условий контакта при У — 0 , другая часть:

г0-*'

г/о ~ «о ; V; - у,

г (1,2)

Оставшиеся не определенными функции и • и •

определяются из граничных условий на верхней грани ¿) ^ (X) полосы.

Второй параграф посвящен второй краевой задаче теории упругости для двухслойной анизотропной термоупругой полосы переменной ширины. Получены итерационные формулы для определения напряженно-деформируемого состояния.

В этой задаче неизвестные функции определяются по Формулам:

В третьем и четвертое параграфах исследуются напряженно-деформированные состояния двухслойной термоупругой анизотропной полосы переменной ширины, когда на лицевой грани верхнего слоя заданы граничные условия третьей и смешанных краевых задач теории упругости. Здесь также получены итерационные формулы для определения неизвестных напряжений и перемещений. Приведены частные решения, имеющие практическое значение.

В третьей главе рассмотрена трехмерная внутренняя задача анизотропной термоупругой пластинки переменной толщины. Лицевые поверхности задаются достаточно гладкими функциями .

X =. Щ («С, ? ) > 0 и Г - - ^г (¿> Я < 0 • Построено асимптотическое решение. Дчя гл.тчисления напряжений и безразмерных перемещений получены рекуррентные ';оркулы.

Ь первом параграфе старятся смешанные краевые задачи для трехмерной анизотропной терто;/ другой пластин"« переменной тол-г'.мпг1, когда на одной из се лице-тых поверхностей пата}; вектор г!^гомр1'1ония, ь но проткг.сио.по'п^й - условия первой, второй или

смешанной краевых задач теории упругости:

(16) (17)

при ¡Г = и,?)

а> Ь^а^К^) - (п>; *

ь о1# Л У

Считается, что на пластинку действуют объемные силы

, Рр , Ру } и температурные поля.

Во втором параграфе переходом к безразмерным координатам и перемещениям выведены сингулярно возмущенные геометрическим малым параметром ( ^ ) уравнения относительно искомых

величин. Найдена асимптотика решения этой системы уравнений. Решение внутренней задачи ищется в виде (6). Доказано, что

- и -

" - \ для напряжений

О

(20)

для перемещений

При этом доказано, что для того, чтобы вклад объемных сил и температурного поля был соизмеримым со вкладом поверхностных сил, необходимо, чтобы

= е - а -р., <г„

Асимптотика (20) принципиально отличается от асимптотики тех же величин классической теории пластин.

Получена непротиворечивая система относительно величин

Л > К)' Решена полученная система и получены рекуррентные формулы для напряжений и перемещений. . .

В третьем параграфе рассмотрены частные задачи. В частности, рассмотрена пластинка переменной толщины с жестко закрепленным плоским основанием и выемкой, наполненной жидкостью.

приводятся основные результаты работы:

I. Исходя из уравнений теории термоупругости построена асимптотика решения краевых задач анизотропной полосы переменной ширины, когда на одной из продольных граней заданы компоненты вектора перемещения (в частности, грань жестко защемлена), а на другой задано одно из условий краевых задач теории упругости.

?.. Доказана неприменимость гипотезы плоских сечений для решения сформулированных смешанных краевых задач.

3. Найдена асимптотика всех искомых величин внутренней палачи во второй и смеаанной краевых задачах для анизотропных, термоупругих гтапос-слоер и пластинок переменной толщины.

4. ¡предельно напряконьо-де^ормированное состояние анизотропной терм супругой двухслойно;: полосы переменной толщины при полном, контакте слоев, когда на одной из лицевых поверхностей

п.чданы компоненты вектора перемещения, а на другой - условия оц-»<■•» ия граничшх задач тиории упругости.

•о. Г«№.дс«ч фермулд прикладного характера, учаткпащие псс,

приведенную сейсмическую нагрупку, изменение температурного поля.

6. Исходя из уравнений пространственной задачи теории термоупругости, установлена асимптотика решения смешанных краевых задач для анизотропной пластинки переменной толщины.

7. Доказана неприменимость гипотез глассической теории пластин и оболочек к- сформированным задачам.

8. Доказано, что в смешанных задачах для полосы и пластинок решение внутренней задачи непосредственно не зависит от пограничного слоя. Решение внутренней задачи влияет на значения величин погранслоя.

Основные результаты изложены в работах:

1. Хачатрян Г.Г. К определению напряженно-деформированного состояния анизотропной термоупругой полосы переменной ширины// В сб.: Современные пррблемы мех.контактных взаимодействий. Ереван, Изд-во АН Армении, 1993г. С. 29Ь-30Т.

2. Хачатрян Г.Г. Третья краевая задача теории упругости для анизотропной полосы переменной ширит// Сб. ньуч. тр.: Механика деформируемого твердого тела. Изд-во АН Армении

1993г. С. Т24-Т29.

3. Агаловян Л.А., Хачатрян Г.Г. Неклассические краевые задачи анизотропных г.олос переменной тол"лины// В сб. "Актуальные проблемы механики оболочек" Казань. 19иЪ. С. 6.

4. Агаловян Л.А., Хачатрян Г.Г, Об асимптотическом методе ранения краевых задач теории упругости для неклассических областей// Докл. АН Арм.ССР. Т. 88. № 5. 19Ь<). С. 198-201.

5. Агаловян Л.А., Хачатрян Г.Г. Сб асимптотическом методе решения второй и смешанной краевых задач теории упругости для анизотропной полосы переменной ширины// Сбор.науч. тр.: Механика деформируемого твердого тела. Изд-во АН Армении, 1993. С.33-43.

6. Агаловян Л.А., Хачатрян Г.Г. Вторая и смешанная краевые задачи термоупругости для двухслойной полосы переменной ширины// В сб.: Современные проблемы механики контактных взаимодействий. Изд-во АН Армении, 1993. С. 27-33.

7. Агаловян Л.А., Геворкян P.C., Хачатрян Г.Г. Смешанные краевые задачи анизотропных пластин переменной толщины//

-Прикл. матем. и мех. (ГШ) (в печати)