Задачи установившейся и нестационарной теплопроводности и термоупругости плит и цилиндров из пористых материалов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Ефремов Андрей Владиславович

□□3452892

ЗАДАЧИ УСТАНОВИВШЕЙСЯ И НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ТЕРМОУПРУГОСТИ ПЛИТ И ЦИЛИНДРОВ ИЗ ПОРИСТЫХ МАТЕРИАЛОВ

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Саратов 2008

003452892

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет»

Научный руководитель Официальные оппоненты

Ведущая организация

- доктор физико-математических наук, профессор Шляхов Станислав Михайлович

- доктор технических наук, профессор Белосточный Григорий Николаевич

- кандидат технических наук, доцент Кириллова Татьяна Валерьяновна

Саратовский государственный университет им. Н.Г.Чернышевского

Защита состоится 27 ноября 2008 г. в 15— часов на заседании диссертационного совета Д 212.242.06 при ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет» по адресу: 410054, Саратов, ул. Политехническая, 77, Саратовский государственный технический университет, корп.1, ауд. 319.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет».

Автореферат разослан октября 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

В.С. Попов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Интенсивное развитие энергоемких технологий в общей машиностроительной, химической и аэрокосмической технике приводит к необходимости исследования проблем прочности элементов конструкций, выполненных из современных нетрадиционных материалов. К последним относятся материалы, имеющие неоднородную и пористую структуру и полученные методом порошкового спекания или порошковой металлургии.

Пористые материалы находят все большее применение в таких конструкциях, как высокотемпературные теплообменники, трубопроводы для перекачки высокотемпературных жидкостей, ракетные сопла, турбинные лопатки. В электроэнергетике это токонесущие шины электропечей и других агрегатов (в виде балки-стенки); в машиностроении - пористые вкладыши подшипников скольжения (полый цилиндр); круглые и прямоугольные пластины — это всевозможные диафрагмы, затворы печей, перекрывающие клапаны и т.п.; пористые фильтры в виде пластин и цилиндров.

Особое место в теплоэнергетике имеет проблема пористого охлаждения. Такому применению пористых материалов способствует отсутствие альтернативных материалов, пригодных для продолжительной работы при высоких температурах, а также то обстоятельство, что обычные способы охлаждения нагретых тел омыванием или обдувкой оказываются неэффективными.

Из перечисленного выше применения пористых материалов видно, что, помимо тепловых задач, необходима разработка методов решения задач механики деформируемого твердого тела (МДТТ) для изделий из пористого материала, чему и посвящена диссертационная работа.

Целью работы является разработка новых и развитие известных методов решения задач теплопроводности и термоупругости для тел сплошной и пористой структуры и решения на основе этих разработок нового класса задач.

Для достижения этой цели поставлены следующие задачи исследования-.

-разработать метод решения нестационарных задач теплопроводности пористых тел, нагреваемых внутренними источниками тепла;

-разработать метод решения квазистационарных задач термоупругости пористых тел в форме балки-пластинки, прямоугольных и круглых в плане пластин и полых тонких цилиндров;

-разработать метод решения конструкционно-связанной задачи термоупругости и теплопроводности, учитывающий зависимость коэффициента теплопроводности от напряжений;

-разработать метод решения задач термоупругости плит и цилиндров при пористом их охлаждении под давлением с учетом давления в порах.

-разработать метод решения задачи теплопроводности и термоупругости двухслойных пористых цилиндров с учетом неидеальности теплового контакта слоев.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Разработан принцип решения нестационарных задач теплопроводности пористых тел (плит и цилиндров), нагреваемых внутренними источниками тепла. В основу положены метод конечных элементов и схема последовательных приближений.

2. Получены решения нестационарных задач теплопроводности и квазистационарных задач термоупругости пористых тел в форме балки-пластинки, прямоугольных и круглых в плане пластин и полых цилиндров на основе метода суперэлементов.

3. Разработан метод и получены решения нестационарной конструкционно-связанной задачи теплопроводности и задачи термоупругости пористых тел в форме балки-пластинки, прямоугольных и круглых в плане пластин, используя схему последовательных приближений.

4. Разработана физико-механическая модель упругого состояния материала пористой структуры при наличии давления в порах.

5. Разработан метод и получены решения задачи теплопроводности и термоупругости плит и цилиндров при пористом их охлаждении и учете давления в порах.

6. Разработан метод и получены решения задачи теплопроводности и термоупругости двуслойных пористых цилиндров с учетом неидеальности теплового контакта.

Достоверность полученных результатов основывается на строгости применяемого математического аппарата, тщательности отладки и тестирования программ для ПЭВМ, а также непротиворечивости полученных результатов известным решениям, найденным другими авторами для сплошных однородных тел.

Практическая ценность и реализация результатов. Полученные решения могут быть использованы в практике расчетов на прочность элементов и деталей машин из пористых материалов в форме балки-стенки, прямоугольной и круглой плит и полых цилиндров, находящихся под воздействием высоких температур и больших давлений.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры МДТ СГТУ (2005-2008 гг.), на VII Международной научно-технической конференции «АКТ-2006» (Воронеж, 2006), на IV Всероссийской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2007), на «XII Международной конференции им. акад. М. Кравчука» (Киев, 2008), на XXI Международной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (Саратов, 2008), на IX Всероссийской научно-технической конференции «АКТ-2008» (Москва, 2008).

На защиту выносятся следующие результаты и положения:

1. Физико-механическая модель термоупругого состояния материала пористых тел и решения задач термоупругости при учете внутреннего давления в порах.

2. Метод последовательных приближений в решении нестационарных задач теплопроводности пористых тел на основе вариационных принципов и методов конечных элементов и суперэлементов.

3. Постановка и решение квазистационарных задач термоупругости пористых плит и цилиндров.

4. Постановка и решение конструкционно-связанной задачи термоупругости балки-пластины, прямоугольной и круглой пластины при зависимости коэффициента теплопроводности от напряжения.

5. Метод решения задачи термоупругости пористых составных цилиндров с неидеальным тепловым контактом слоев.

Публикации. Основное содержание диссертационной работы и результаты исследований опубликованы в 9 научных статьях, из них 2 в изданиях, рекомендуемых ВАК РФ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка использованной литературы. Работа содержит 203 страницы наборного текста, 109 рисунков. Список использованной литературы включает 127 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается анализ состояния вопроса и обзор существующих методов решения задач термоупругости плит и цилиндров.

Определены цель работы, ее актуальность, научная новизна. Кратко изложено содержание диссертации, сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

В задачах теплопроводности фундаментальными являются работы A.B. Лыкова, Л.М. Беляева и A.A. Рядно, B.C. Зарубина, Г. Карслоу и Д. Еге-ра, Л. А. Коздобы, в которых рассмотрены линейные и нелинейные задачи теплопроводности.

В решении проблем термоупругости ведущую роль играют работы Б. Г. Галеркина, Н. Н. Лебедева, В. Новацкого, А. Д. Коваленко, Я. С. Под-стригача и Ю.М. Коляно, В.А. Ломакина, а также работы представителей саратовской школы термомеханики А. И. Уздалева, В. М. Рассудова, Ю.В. Че-ботаревского, Г.Н. Белосточного, В.П. Красюкова, Н.Д. Панкратова. Исследованием теплофизических свойств материалов занимались Г.Н. Дульнев, Е.Я. Литовский и H.A. Пучкелевич, B.C. Чиркин, механическим свойствам пористых материалов уделяли внимание Ю.А. Кашталян, У.Д. Кингери, Р. Бассард и Р. Лауэр, технологией получения пористых твердосплавных материалов и расчетами на прочность занимались В. П. Радченко и др.- предста-

вигели самарской школы механики деформируемого твердого тела.

В большинстве своем исследования проблем термоупругости касались решения линейных, несвязанных задач теплопроводности и термоупругости однородных тел. Значительно реже встречаются решения конструкционно-связанных и нестационарных задач теплопроводности и задач термоупругости для термочувствительных тел. Решения же задач теплопроводности пористых тел немногочисленны; что касается проблемы термоупругости пористых тел, здесь публикации единичны. Сказанное подтверждает актуальность проблем, затронутых в диссертации, и необходимость их решения.

Первая глава посвящена вопросам нестационарной теплопроводности и квазистационарной термоупругости плит, выполненных из сплошных и пористых материалов. Также в данной главе дана физико-механическая модель состояния материалов пористой структуры, причем пористость может быть как кажущаяся (несквозная), так и сквозная (капиллярная).

Поскольку само изделие из пористого материала выполняется в основном методами прессования, то ясно, что плотность материала и, следовательно, пористость распределяется по массиву самого материала неравномерно. Возникает изначальное нарушение гипотез сплошности и однородности материала, принимаемых в механике твердого деформируемого тела как основные. Но поскольку все чаще требуются решения задач механики деформируемого твердого тела именно для таких материалов, приходится возвращаться к гипотезе сплошности, но учитывать пористость введением поправок в исходные зависимости состояния материала, т.е. подходить к решению задач механики деформируемого твердого тела с позиции механики неоднородных тел. Кроме того, основная «скелетная» составляющая материала имеет свойства, зависящие от температуры.

На основании сказанного и опираясь на экспериментальные данные, для дальнейших решений принята следующая физико-механическая модель состояния материала:

1. Пригашаем материал идеально упругим, термочувствительным и подчиняющимся закону Гука.

2. Используется следующая эмпирическая зависимость для модуля Юнга от температуры Т и пористости Р

Е{Т,Р)=Е0(1+а1Р+а2Рг){1лЪ1Т+ Ъ2Т2+..). (1.1)

3. Для расчета коэффициента Пуассона принята зависимость

М(_Р)=ца{\+с,Р+сгР2 +сгРУ). (1.2)

4. Коэффициент линейного расширения материала а(Т) является функцией температуры и не зависит от пористости. Основанием для такого утверждения служит тот факт, что от теплового воздействия расширяется лишь «скелетная часть» материала как сплошное тело. На основе экспериментальных данных имеем

сс(Т)=а£лахТ+агТг+..). (1.3)

5. Коэффициент теплопроводности материала считаем зависящим от температуры и пористости. На основе известных экспериментальных данных была получена следующая зависимость

Я(Т,Р) = л^(1-ру{\ + Р,Т + /32Т2 +...). (1.4)

6. Пористость Р является функцией координат точек тела и не зависит от температуры. Обоснование данной гипотезы приводится в диссертации.

7. Принимаем в целом, что пористость материала зависит от напряженного состояния тела.

8. Полагаем, что при изготовлении изделия из пористого материала методом порошковой металлургии начальные (технологические) напряжения отсутствуют.

9. В случае внутреннего тепловыделения для мощности теплового источника принимается зависимость

ЩТ, Р) = Щ1~ Р)(1 + г? + угТг +...). (1.5)

Коэффициенты в (1.1), (1.2), (1.3), (1.4), (1.5) определялись методом наименьших квадратов путем обработки экспериментальных данных.

Принятые модели, описывающие физико-механическое состояние материала, позволяют подходить к решению задач с позиций хорошо развитой механики неоднородных материалов сплошных тел, свойства которых скорректированы на пористость. Объектами исследования в первой главе диссертации являются балка-стенка, круглая и прямоугольная пластины. Для них решены несвязанные задачи теплопроводности и термоупругости. Полагаем поле температур в пластине одномерным. Пластины могут содержать или не содержать источники тепла. Тепловые граничные условия могут быть 1 рода или приводимые к ним. По контуру пластинки могут быть как свободными, так и закрепленными.

Решение задачи теплопроводности пластин сводится к интегрированию нелинейного дифференциального уравнения

^ А. I / Г I--I / . ГЛ I = /X.

д1

+ 1Г(Т,Р.{) = рС„ Ц- (1.6)

при удовлетворении начальному и граничным условиям при / = о, Т(У) = 0, при />0 Т = Т{}),Т = Т, при У = 0, Т = Тг при Г = А.

Непосредственное решение нелинейной задачи затруднено, поэтому воспользуемся схемой итераций, согласно которой исходная краевая задача заменяется решением серии линейных задач: д

дУ

■ ят'1"' Я{-1)(Х)

дУ

+ = т = 1,2,... (1.7)

где Лм(У),1¥(т)(У) - характеристики, полученные из предыдущего приближения.

Рис. 1. Схема балки-стенки в одномерном поле температур

«.3 0,25 V 1

ч ---- у

\ N \ ф /

ч \ * х /

ч V"

0

¡4 ) 2 > • 1 3>

\\Ч- -1

\ч

\ ✓

Ч, ■ ■— --- " /

/

Рис. 2. Законы изменения пористости

Рис. 3. Напряжения в защемленной пористой балке (время 1=3)

Сформулированную краевую задачу заменяем эквивалентной ей вариационной с поиском экстремума следующего функционала для фиксированного момента времени г*

А1т-ц(Г)

дТ<"

дУ

I ат"

ы

Ш. (1.8)

Рассматривается балка-стенка (рис.1). Согласно МКЭ, разбиваем пластину по толщине (или высоте балки-стенки) на отдельные слои-суперэлементы (с условно постоянными, усредненными характеристиками) и аппроксимируем функцию температуры линейным сплайном. В конечном итоге получаем линейную алгебраическую систему уравнений вида

» = 2.....п,

где а¡, а2, а3:... - известные коэффициенты, Т— узловая температура, Т7-температура на предыдущем временном шаге.

Решение системы (1.9) ищется итерационным методом Гаусса-Зейделя до сходимости с заданной точностью.

Для поиска нормальных температурных напряжений в балке-стенке исходим из посылки, что длина бруса велика, и краевыми эффектами можно пренебречь. В этом случае с достаточной точностью можно использовать прием, основанный на принципе освобождаемости от связей (принцип Сен-Венана). Суть приема решения заключается в том, что вначале балка-

стенка жестко защемляется, и для такого ее состояния определяются нормальные напряжения в торцах, приводимые к равнодействующей силе N и моменту М. Для получения действительного поля напряжений к пластинке прикладываются торцевые усилия обратного направления. Для получения численного решения балка-стенка представляется в виде пакета отдельных слоев (суперэлементов), подчиняющихся общепринятым гипотезам (плоских сечений, одноосного напряженного состояния и условию совместности деформаций). Получены расчетные формулы для температурных напряжений в стержне при различных способах его закрепления.

Формула (1.10) отображает состояние балки-стенки в случае, когда пластина свободна от связей

При наличии подвижной заделки, разрешающей осевое перемещение, но запрещающей поворот, в формуле (1.10) убирается последнее слагаемое. В случае жесткой заделки в формуле (1.10) остается лишь первое слагаемое.

где £ - определяет положение нейтрального слоя.

Примеры решения задачи приведены на рис.2,3, оценка результатов свидетельствует о существенном расхождении НДС пористых тел по сравнению со сплошными. На рис. 2,3 представлены различные законы изменения пористости и соответствующие данной пористости напряжения для защемленной балки-стенки. Аналогично было получено решение для прямоугольной и круглой пластин. Заметим, что из полученных решений дня пористых пластин как частный случай вытекают известные решения (Тимошенко) для однородных тел, что подтверждает достоверность полученного результата.

Вторая глава посвящена исследованию НДС пластин на основе механики неоднородных тел при конструкционно-связанной постановке задачи термоупругости (учитывается зависимость коэффициента теплопроводности от напряжений). Даются примеры расчета полей температур и напряжений. Результаты позволяют оценить НДС балки-стенки, круглой и прямоугольной плит при различных законах изменения пористости по толщине и разных способах закрепления. В работе1 отмечено, что при одноосном сжатии пластинчатых образцов из пористого материала наблюдается увеличение коэффициента теплопроводности как для кристаллических, так и для аморфных материалов. На рис. 4 представлен принципиальный график этой зависимости.

1 Литовский Е. Я. Теплофизические свойства огнеупоров / Е. Я. Литовский, Н. А. Пуч-келевич. - М.: Металлургия, 1982.

Е(у)уМ

(1.10)

<•1 ц

водности от напряжения балки-стенки

ристой балке-стенке (скользящая заделка)

Исходная зависимость Л(Р,Т) имеет вид

где /(Г)=1+ДГ+/?2Гг +... - функция температур.

На основе экспериментальных данных для огнеупоров 2 имеем а = ^и/(1-Р0)3, 6 = 3-10"1А(Ро) Вт/м-К-МПа, Ра- начальная пористость.

Данную зависимость гипотетический сохраняем и для пористых металлов.

Остается также открытым вопрос зависимости Л(ст) при напряжениях растяжения. Есть предположения, что эта зависимость будет более сильной, чем при сжатии3. Не имеется также данных о теплопроводности тел в двухосном и трехосном напряженном состоянии.

При решении плоской задачи термоупругости условно заменяем плоское напряженное состояние эквивалентным ему одноосным. В качестве критерия эквивалентности используем равенство потенциальных энергий де-

д.2

формации для одноосного и плоского напряженного состояний и^ у««, =^г((ст12 +сг|)-2<и(сг, -сг2)), откуда для балки-стенки получаем^ ;

2 Литовский Е.Я., Пучкелевич Н.А. Указ. соч.

3 Там же.

ДЛЯ прямоугольной пластины сгж = ±фт2х + и2, - 2/1ахсг1 ;

для круглой пластины а,„ = ±^аг2 +с1 - 2р.а,а„ . Если ах=ст2< 0, то перед

корнем ставим знак «-», если а, = а1 > 0, то «+».

Условно считаем, что коэффициент теплопроводности пластинки линейно зависит от нормальных напряжений и сохраняет свою зависимость как при отрицательных, так и при положительных напряжениях. Формулировка задачи теплопроводности и термоупругости остается той же, что и в главе 1, но к ней добавляется условие связанности

Л = Л{Р,Т) = ЖР{<7),Т). (2.1)

К решению задачи подходим методом последовательных приближений по связанности. На первом этапе решения полагаем, что пористость от напряжений не зависит, и коэффициент теплопроводности есть функция пористости и температуры X = Л0)(Р, г)= АоЛ/(1-Р„ У/(Г).

Решая задачу теплопроводности и термоупругости по методике, предложенной для балки-стенки, получим поле температур и напряжений в качестве первого приближения, (т. е. решение несвязанной задачи):

т;(" = 4) +++йГУ' + -^а" + + До?*-4)

1 = 2.....п.

Ы(]) Е(,)(у)уМт

а?\Т) = -Е(1\уМТт)Тт +

(2.2) (2.3)

Уточняем далее коэффициент теплопроводности по формуле Я = Хт{Р{о),Т) = [^(1-Р0У -6<г">]/(Г),

где о-0' - нормальные напряжения, найденные при решении несвязанной задачи термоупругости. Вновь повторяем решение, но уже с корректированными физико-механическими характеристиками.

Получаем новое поле температур и напряжений во втором приближении по связанности

Т® = ^а™ + 7^0?' + + ^ГЧ1 + + Л^™""")

Ч I

(2.4)

2Ч

/ = 2,..., п.

Поскольку чувствительность коэффициента теплопроводности материала к напряжению невелика, достаточно лишь одного-двух дополнительного шагов итераций.

ЛГ®__Ет{у)уМт

а?\Т) = -^\у)а(Тт)Тт +

»-1 л 1.1

Щ ,, 2

п+Ьк>у«

(2.5)

На рис.5 приведены значения поля температур в различные моменты

времени с учетом зависимости Х(о) - (СВ) и без ее учета - (НС); на рис.6,7 представлены соответствующие этим температурам напряжения с учетом зависимости Ца). Аналогично получены решения для прямоугольной и круглой плит.

В третьей главе приведены решения нестационарной задачи теплопроводности и термоупругости тонких пористых полых цилиндров, а также стационарных задач для двуслойных полых цилиндров при неидеальном тепловом контакте слоев (осесимметричная и полярносимметричная задачи). В работе для решения задачи неидеального теплового контакта применяется подход с введением функции термического сопротивления R(q).

Рассмотрим полярносимметричный нагрев. Составной цилиндр (рис.8) выполнен из двух различных материалов. Цилиндры вставлены один в другой без натяга и зазора при температуре Т0. На внутренней Rt и внешней В.2 поверхностях цилиндра поддерживаются постоянные температуры Mi и М2 соответственно. На линии раздела материалов r=RK реализуются условия идеального механического, но неидеального теплового контакта. Материалы цилиндров линейно упругие и изотропные. Теплофизические и механические характеристики материалов зависят от температуры и пористости. Границы тела свободны от закреплений и внешних нагрузок. Ограничимся кажущейся (несквозной) пористостью, а также случаем стационарного поля температур.

Решение задачи теплопроводности для каждого цилиндра сводится к интегрированию нелинейных дифференциальных уравнений d_ dr

где к= 1 соответствует внутреннему слою, к=2 - внешнему. При удовлетворении граничным условиям

Г{1) = М, при г = й,; Г(1) = Г„ при r = RK\

Т{1} = Тгк при r = RK; Т{1) = Мг при г = Л2

и условиям сопряжения при неидеальном тепловом контакте

¿ИТ сСГ dT

ЦТ„Р,)-£i = ^(r2>JP2)-& R(q)^-Jj± = T1K-TlK при r = RK.

Здесь Л,(Т1,Р1),Я2(Т2<Р2) - коэффициенты теплопроводности материала слоев; R(g) - термическое сопротивление, зависящее от контактного давления q между слоями и обусловленное шероховатостями реальных поверхностей контакта; TiK,T2K - температуры на границе стыка.

На основании экспериментальных, данных аппроксимируем я(т,Р), w(T,P) функциями вида (1.4), (1.5) для каждого слоя:

К(т,Р) = кVo -pi 0 + AJ + PJ1 + ■•■)» к = 1'2-K{T,P) = W0K{l-P)(l+yuT+r2J2+..).

= к-1,2, (3.1)

(3.2)

Решение каждого нелинейного уравнения с переменными коэффициентами (3.1) будем искать по схеме метода последовательных приближений, сведя исходное уравнение к серии уравнений вида

</г

+ ^ + К>[г(-",/>] = 0, ет = 1,2,3,... (3.3)

Дальнейший ход решения задачи теплопроводности аналогичен схеме решения задачи теплопроводности балки-стенки.

Термическое сопротивление будем определять по эмпирической формуле Д(?) = 1/(сщь + с).

Коэффициенты а,Ь,с находим путем обработки экспериментальных данных по способу наименьших квадратов. Входящее в Я(д) контактное давление слоев q следует искать из решения задачи термоупругости. Величина <7 зависит от поля температур в цилиндре; в свою очередь, температура через функцию Щф, зависит от давления. Из вышеизложенного следует связанность полей температур и напряжений, что и приводит к конструкционно-связанной задаче термоупругости.

Для практической реализации решения составим схему последовательных приближений. На первом этапе полагаем контакт слоев идеальным. Из этих предположений находим контактное давление д, а через него — термосопротивление Щф в первом приближении. Решаем задачу теплопроводности с учетом этого термосопротивления. По полученному полю температур вновь решается задача термоупругости. Уточняется контактное давление, и весь цикл повторяется. Наличие термического сопротивления приводит к температурному скачку в зоне контакта слоев. Итерации по уточнению контактного давления продолжаются до тех пор, пока поля температур в двух смежных приближениях не станут отличаться друг от друга не более чем на заданную величину £о.

Для оценки НДС исходим из посылки безмоментной теории оболочек, используя МКЭ. Окружные напряжения в кольцевых элементах определим, суммируя их значения, обусловленные контактным давлением слоев с напряжениями от перепада температур по толщине стенки цилиндра (рис.9)

+ Е,аХТ-Тм)(г-Я,) ..

2Й, О-ЛЖ ' "" '

где = 0, = 0, <г<г1+1, Е,, д, а, - средние значения по элементу модуля Юнга, коэффициента Пуассона и коэффициента линейного расширения. Графики поля температур и напряжений для двуслойного (внутренний слой - пористое железо (Р=30%), внешний - сплав Д16Т (Р=0)) цилиндра приведены на рис. 10-12. Осевые напряжения для каждого элемента

о-.-, = -аДТ(г), I = 1(3.5)

Для отыскания контактных давлений д, воспользуемся условием со-

вместности деформаций по радиальным перемещениям м,. = им, решая систему разностных уравнений методом итераций

щ2 =А+Л (3.6)

где а„Ь,,с,-известные коэффициенты.

Рис. 8. Схема двуслойного цилиндра при неидеальном тепловом контакте слоев (НТК)

1

1 ! 1

\ ! !

—

' ! \

!

!

Рис. 9. Напряженное состояние тонкого двуслойного цилиндра

Рис. 10. Поле температур двуслойного цилиндра (НТК)

] 20 , !

г

У-1

-------- — ----------- /.

1 \ ! \ ~ " ___V____ \ / 1

1 \ / I / ' I

яоипний ЯЛШЛПнт

Х0МЧМЫ&ММММП

Рис. 11. Окружные напряжения двуслойного цилиндра (НТК)

Рис. 12. Контактное давление дк ~-аг двуслойного цилиндра (НТК)

Температура на границе раздела слоев цилиндра равна

При = О выполняется равенство Т1к=Тгк.

Полученные результаты для пористого материала сравнивались с беспористым. Характер функций напряжений оставался тем же, но с другими количественными характеристиками. При осесимметричной задаче реализуется схема суперэлементов (блоков) с полярносиметричным их нагревом.

В четвертой главе представлены задачи охлаждения плит нагнетанием жидкости или газа через поры твердого тела, а также термоупругости круглой и прямоугольной плит. Поставлена и решена задача термоупругости с учетом давления в порах.

В случае тяжелонагруженных конструкций реакторного типа пластины и цилиндры могут находиться при высоких двусторонних давлениях (внутреннем и внешнем) с небольшим перепадом по толщине, который вызывает фильтрацию жидкости через поры тела. При этом учет внутреннего давления в порах тела может оказать существенное влияние на результаты расчетов НДС различных конструкций. В рассматриваемых ниже задачах поле температур определяется без учета роли охлаждающей жидкости, т.е. сделан акцент на учет давления в порах. Для упрощения задачи пренебрегаем потерями давления по длине поры и в расчете используем среднее по толщине давление Рю.

Учет внутреннего давления в порах ведем по схеме «центра расширения», аналогично тепловому расширению (рис.13). При этом моделируем пору как капиллярный цилиндрический канал, пересекающий пластину насквозь, и считаем этот канал центром расширения (рис.14). Здесь мы не рассматриваем задачу изгиба пластины от внешнего давления. При оценке НДС давление в порах моделируем как фиктивные объемные силы.

Рис . 14. Схема пористого охлаждения пластины

Рис. 13. Модель поры

Проверка формул производится с помощью теоремы Кастильяно для функционала потенциальной энергии деформации У, при этом должно выполняться равенство

(4.1)

Для плоского напряженного состояния (пластины)

аг=ав=Р,

£,=ев = ег{с) + ег(Р) + ег{П = = (4.2)

ег(Р) + е,(0 = Ф = асрТср + где Рср =

ср

По закону Гука имеем при осесимметричном поле температур Гсг, =/>„<?, +2?, А+Д3(Ф) 1 ег^Ц^+Ца+ЩФ)

Для прямоугольных пластин имеем

Для случая плоской деформации (цилиндра) или пластины, защемленной по торцам (еу=0), в формулах (4.3) меняются лишь коэффициенты Ц1,Ои,...

Решение задачи теплопроводности полностью аналогично, задаче теплопроводности балки-пластинки и представлено выражением (1.9).

Окончательно формулы для напряжений в прямоугольной пластине с учетом давления в порах приобретут вид

1-Я, Е, а(у)Е(у)Т(у)у^

<т„ =сг,

а(у)Е(у)Т(у) | (1-мК

1-Му) Е

(4.4)

, Е,у 1 а(у)Е(у)Т(у)у

1 -М(у)

Формула (4.4) дает оценку напряжений в свободной от закрепления пластине. Для случая жесткого закрепления формулы содержат лишь первое слагаемое, для случая скользящей заделки - два первых слагаемых. Учет давления в порах целесообразен при больших давлениях на поверхность пластины с малым их перепадом по толщине и при их соизмеримости с температурными напряжениями. Анализ расчетов при Р=8,5% показал, что при наличии внутреннего давления в порах пластины Рср=500 МПа, напряжения превосходят на 1,6 МПа напряжения в пластине без учета давления в порах. Увеличение давления в порах на каждые АР =100 МПа дает прибавку к напряжениям пластины на Д<г =0,32 МПа.

В заключении приводятся основные результаты и выводы по работе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Разработана физико-механическая модель и получено решение задач термоупругого состояния материала пористых тел с учетом внутреннего давления в порах.

2. Развит метод последовательных приближений для решения нестационарных задач теплопроводности пористых плит и цилиндров. На первом шаге итерации учитывалось лишь влияние пористости на поле температур, во всех последующих шагах характеристики материала корректировались за счет его термочувствительности.

3. Получены решения нового класса нестационарных задач теплопроводности и квазистационарных задач термоупругости пористых плит и цилиндров на основе метода суперэлементов. В случае двумерного поля температур в балке-пластинке и цилиндре для приближенного определения касательных напряжений используется аналогия с формулой Журав-ского при поперечном изгибе бруса.

4. Дана постановка и разработана схема решения нестационарной конструкционно-связанной задачи теплопроводности и квазистационарной термоупругости балки-пластинки, прямоугольной и круглой пластины. Учтена зависимость коэффициента теплопроводности от напряжений. Решение получено по схеме метода последовательных приближений.

5. Дана постановка и разработана схема решения стационарной задачи теплопроводности и термоупругости для двуслойного пористого цилиндра с учетом неидеальности теплового контакта слоев.

6. Анализ численных результатов в примерах расчетов показал существенное влияние пористости на поля температур и НДС конструкций, что свидетельствует о необходимости ее учета в решении реальных практических задач.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ В изданиях, рекомендуемых ВАК РФ

1. Ефремов А. В. Связанная нестационарная задача теплопроводности и термоупругости балки-пластинки из пористого материала / С. М. Шляхов, A.B. Ефремов // Известия вузов. Машиностроение. - 2008. - №2. - С. 28-36.

2. Ефремов А. В. Задача теплопроводности и термоупругости круглой пористой пластины в нестационарном режиме нагрева / С. М. Шляхов, А. В. Ефремов // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2007. - № 4 (28). Вып. 1. - С. 38-47.

В других изданиях

3. Ефремов А. В. Термоупругое состояние балки-пластины из пористого материала в нестационарном поле температур / С. М. Шляхов, А. В. Ефремов // Авиакосмические технологии «АКТ-2006» : тр. седьмой Междунар. науч.-техн. конф. / ВГТУ. - Воронеж, 2006.-С. 355-360.

4. Ефремов А. В. Решение нестационарной задачи теплопроводности и термоупругости пористой прямоугольной пластины / С. М. Шляхов, А. В. Ефремов // Математическое моделирование и краевые задачи : тр. четвертой Всерос. науч. конф. с междунар. участием / СамГТУ. - Самара, 2007.-С. 283-286.

5. Ефремов А. В. НДС пористой прямоугольной пластины при нестационарном режиме в случае зависимости теплопроводности от напряжений / С. М. Шляхов, А. В. Ефремов // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред : сб. науч. тр. / СГТУ. - Саратов,

2007.-С. 24-31.

6. Ефремов А. В. Задача термоупругости тонкого двухслойного цилиндра из пористого материала с неидеальным тепловым контактом / С. М. Шляхов, А. В. Ефремов // XII Междунар. науч. конф. им. акад. М. Кравчука : материалы конф. / НТУУ КПИ. - Киев, 2008. - Т. 1. - С. 452-455.

7. Ефремов А. В. Анализ напряженно-деформированного состояния круглой пористой пластины при нестационарном режиме нагрева / С. М. Шляхов, А. В. Ефремов // Математические методы в технике и технологиях ММТТ-21 : сб. тр. XXI Междунар. науч. конф. / СГТУ. - Саратов,

2008. - Т. 1. -С. 188-191.

8. Ефремов А. В. Связанная нестационарная задача теплопроводности и термоупругости прямоугольной пластины из пористого материала / С. М. Шляхов, А. В. Ефремов // Авиакосмические технологии «АКТ-2008» : тр. IX Всерос. науч.-техн. конф. и школы молодых ученых / ВГТУ. - Воронеж, 2008.-С. 146-153.

9. Ефремов А. В. Об одном методе решения конструкционно-связанной нестационарной задачи теплопроводности и термоупругости пористой пластины / С. М. Шляхов, А. В. Ефремов // Авиакосмические технологии «АКТ-2008» : тезисы IX Всерос. науч.-техн. конф. и школы молодых ученых / ВГТУ. - Воронеж, 2008. - С. 59-61.

Подписано в печать 23.10. 2008 Формат 60x84 1/16

Бум. офсет. Усл. печ.л. 1,0 Уч.-изд.л. 1,0

Тираж 100 экз. Заказ 288 Бесплатно

Саратовский государственный технический университет

410054, Саратов, Политехническая ул., 77 Отпечатано в РИЦ СГТУ, 410054, Саратов, Политехническая ул., 77

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. Задачи термоупругости пористых балок-пластинок и плит.

1.1. Физико-механическое моделирование состояния материалов пористой структуры.

1.2. Решение задачи теплопроводности балки-пластинки из пористого материала, нагреваемой джоулевым теплом.

1.3. Решение задачи термоупругости балки-стенки.

1.4. Примеры расчетов балки-пластины.

1.5. Решение задачи термоупругости прямоугольной пластины.

1.6. Примеры расчетов прямоугольной пластины.

1.7. Решение задачи термоупругости круглой пластины.

1.8. Примеры расчетов круглой пластины.

Выводы по1 главе.

Глава 2. Задачи термоупругости пористых балок — пластинок в случае зависимости коэффициента теплопроводности от напряжений.

2.1. Конструкционно-связанная задача теплопроводности и термоупругости пористых плит в одномерном поле температур.

2.2. Задача теплопроводности и термоупругости балки-пластинки из пористого материала.

2.3. Примеры расчетов балки-пластины.

2.4. Задача теплопроводности прямоугольной пластины из пористого материала.

2.5. Задача термоупругости прямоугольной пластины из пористого материала

2.6. Примеры расчетов прямоугольной пластины.

2.7. Задача теплопроводности круглой пластины из пористого материала

2.8. Задача термоупругости круглой пластины из пористого материала.

2.9. Примеры расчетов круглой пластины.

Выводы по 2 главе.

Глава 3. Задачи термоупругости пористых однослойных и составных цилиндров.

3.1. Решение задачи теплопроводности пористого однослойного цилиндра при нестационарном нагреве.

3.2. Решение задачи термоупругости однослойного цилиндра при нестационарном нагреве.

3.3. Задача теплопроводности пористого двухслойного цилиндра при идеальном тепловом контакте слоев.

3.4. Пример расчета пористого тонкого цилиндра при идеальном тепловом контакте слоев.

3.5. Контактная задача термоупругости пористого составного (двухслойного) цилиндра при неидеальном тепловом контакте слоев.

3.6. Решение задачи термоупругости двухслойного цилиндра при неидеальном тепловом контакте слоев.

3.7. Пример расчета тонкого составного цилиндра при полярно-симметричном нагреве с неидеальным тепловым контактом.

3.8. Решение осесимметричной задачи теплопроводности пористого двухслойного цилиндра при неидеальном тепловом контакте.

3.9. Решение задачи термоупругости двухслойного. пористого цилиндра.

Выводы по 3 главе.

Глава 4. Задачи термоупругости плит и полых цилиндров при пористом охлаждении под давлением.

4.1. Постановка задачи пористого охлаждения плоской стенки.

4.2. Решение задачи термоупругости прямоугольной пластины.

4.3. Решение задачи термоупругости круглой пластины.

4.4. Уравнение состояния материала при учете внутреннего давления в порах

4.5. Учет внутреннего давления в порах в задаче термоупругости круглой пористой пластины.

4.6. Учет внутреннего давления в порах в задаче термоупругости пористой прямоугольной пластины.

4.7. Примеры расчетов прямоугольной пластины.

Выводы по 4 главе.

Развитие энергомашиностроения, авиационной, ракетной техники и других отраслей промышленности требует решения вопросов прочности элементов конструкций, выполненных и нетрадиционных материалов, находящихся под силовым и температурным воздействием. К последним относятся материалы, имеющие неоднородную и пористую структуру. В соответствии с этим для решения проблем механики сплошных сред для данных структур требуется новая, более совершенная постановка задачи и более точные методы ее решения.

Ужесточение требований к надежности работы этих элементов приводит к необходимости совершенствовать их расчётные модели, учитывать факторы, считавшиеся ранее второстепенными, такие как влияние температуры на термомеханические и теплофизические характеристики материалов, неидеальность контакта между отдельными частями соединений и т.д. Более достоверные сведения о напряженно-деформированном состоянии конструкций позволяют также выявить резервы их работоспособности и найти пути снижения их материалоёмкости.

Проблема термоупругости сплошных (непористых) тел имеет давнюю историю развития и продолжает развиваться, что подтверждает ее актуальность. В задачах теплопроводности фундаментальными являются работы Лыкова А. В. [59-60], Беляева Л. М. и Рядно А. А. [5-6], Зарубина В. С. [31], Карслоу Г. и Егера Д. [33], Коздобы Л. А. [40-41] и др., в которых рассмотрены линейные и нелинейные задачи теплопроводности. В решении проблем термоупругости ведущую роль играют работы Галеркина Б. Г. [16], Лебедева Н. Н. [54], Новацко-го В. [69], Коваленко А. Д. [39], Подстригача Я. С. и Коляно Ю. М. [71], Ломакина В. А. [58] и других, а также работы представителей саратовской школы термомеханики Уздалева А. И. [87], Рассудова В. М., Чеботаревского Ю. В., Белосточного Г.Н., Красюкова В. П., Панкратова Н. Д. и других [76].

Исследованием теплофизических свойств материалов занимались Дульнев Г.

Н. [27-28], Литовский Е. Я. и Пучкелевич Н. А. [56], Чиркин В. С. [93-94], механическим свойствам пористых материалов уделяли внимание Кашталян Ю. А. [34], Кингери У. Д. [37], Бассард Р. и Лауэр Р. [3], технологией получения пористых твердосплавных материалов и расчетами на прочность занимались Радченко В.П., представители самарской школы механики деформируемого твердого тела [88].

В настоящее время многие элементы конструкций теплоэнергетического оборудования выполнены из материалов, полученных методом порошкового спекания или порошковой металлургии.

Пористые материалы находят все большее применение в таких конструкциях, как высокотемпературные теплообменники, трубопроводы для перекачки высокотемпературных жидкостей, ракетные сопла, турбинные лопатки. В электроэнергетике это токонесущие шины электропечей и других агрегатов (в виде балки-стенки); в машиностроении - пористые вкладыши подшипников скольжения (полый цилиндр); круглые и прямоугольные пластины - это всевозможные диафрагмы, затворы печей, перекрывающие клапаны и т.п.; пористые фильтры в виде пластин и цилиндров.

Особое место в теплоэнергетике имеет проблема пористого охлаждения. Такому применению пористых материалов способствует отсутствие альтернативных материалов, пригодных для продолжительной работы при высоких температурах, а также то обстоятельство, что обычные способы охлаждения нагретых тел омыванием или обдувкой оказались неэффективными.

О важности проблем термоупругости свидетельствуют многочисленные публикации как в России, так и в других странах.

Первым этапом, а рамках несвязанной термоупругости является задача по определению поля температур. Нелинейным задачам теплопроводности и методам их решении посвящены работы Л.А.Коздобы [40, 41], Л.И. Кудряшёва и Н.Л. Меньших [53], ряд статей [1, 46, 86] и д.р. Среди зарубежных авторов, решавших эти задачи, отметим Л. Шнейдера [117], Г. Карслоу и Д. Егера [33].

Применению метода локального потенциала а задачах теплопроводности посвящены работы П. Гленсдорфа и II. Пригожнна [19], Р. Шехтера [96].

В решении проблем термоупругости кроме перечисленных отметим работы Н.И. Мусхелишвили [67], В.М. Майзеля [61], В.В. Болотина и В.Н. Новичкова [10], Д.В. Грилицкого [21], Э.И. Григолюка [20], Я.И. Бурака [13], Б. Боли и Дж. Уэйнера [9], Э. Мелана и Г. Паркуса [64]. H.H. Лебедев [54] впервые применил аппарат теории функций комплексного переменного; Н.И. Мусхелишвили [67] разработал метод дислокационной аналогии. Вопросы тёрмоупругости анизотропных тел рассматривали A.C. Космодамианский и С.А. Калоеров [48], H.A. Прусов [75], А.И. Уздалёв [87]. В работах этих авторов с использованием аппарата теории функции комплексного переменного получены решения задач для двухсвязных пластин и многослойных цилиндров при постоянных термомеханических характеристиках материалов и однородных граничных условиях. В случае многослойных составных конструкций используется аппарат, обобщенных функций, а также методы теории функций комплексного переменного [18,43]. Математические модели термоупругости, описываемые дифферененци-альними уравнениями с постоянными коэффициентами, во многих случаях не отражают реального состояния тела. Пренебрежение влиянием температуры на термомеханические характеристики материалов может привести не только к количественно, но и качественно неверным результатам. Учёт этого влияния приводит в задачах теплопроводности к нелинейным дифференциальным уравнениям, а в задачах термоупругости - к уравнениям с переменными коэффициентами.

Последнее обстоятельство, зачастую, дополняется сложностью формы термонапряженного тела, что в совокупности не позволяет получить точных аналитических решений многих задач тормомеханики. Поэтому наиболее перспективный путь их решения - применение численных или численно-аналитических методов. Последние - в сочетании с методами интегральных преобразований, нашли отражение в монографии E.H. Брюхановой и А.И. Уздалёва [12].

Многие элементы конструкций могут быть конструктивно неоднородными, выполненными в виде многослойных или составных цилиндров и дисков. В случае линейно деформируемых материалов для решения силовых задач применялись классические методы теории упругости.

При этом механический контакт между сопрягаемыми частями считался идеальным. Для сопряжённых конструкций, находящихся в поле температур, условия идеального контакта часто не выполняются. Между отдельными слоями возникает термическое сопротивление, что приводит к перепаду температур в зоне контакта и существенно влияет на напряженно-деформированное состояние тел. Вопросам учёта контактного термосопротивления в зонах сопряжения посвящены работы Ю.П. Шлыкова и E.H. Ганина [98] , В.М. Попова [73], B.C. Миллера [65], В.М Марченко [63], Н.Б. Демкина [24-25]. В работах B.C. Миллера рассматривался тепловой контакт плоских, цилиндрических, слабоконических поверхностей и экспериментально доказана применимость результатов, полученных на плоских образцах, к контакту по цилиндрической поверхности.

В некоторых работах контактное сопротивление принимается не зависящим от контактного давления: H.H. Дорожкин и В.А. Кот [26] , Р.И. Макаров и В.Р. Романовский [62] , Ш.Н. Шлят [99], H.A. Мотовиловец [66] в др. В роботах Б. Боли и Дж. Уэйнера [9], O.A. Киликовской [35], В.А. Лобковой [57] рассматривалась связанная задача теплопроводности и теормоупругости многослойных цилиндров, когда термосопротивление являлось функцией контактного давления между слоями. В работах Я.С. Подстригача и Ю.М. Коляно [77] термосопротивление учитывалось с помощью введения упругого фиктивного стержня (бестолщинного слоя) между контактирующими поверхностями. Учёт неидеальности термомеханического контакта с позиции оценки роли шероховатостей реальных поверхностей рассматривался в работах Н.Б. Дёмкина [24-25], В.Н. Жуковой [30], Г.Б, Колчина [42] и др.

Из перечисленного выше применения пористых материалов видно, что помимо тепловых задач необходима разработка методов решения задач теории упругости для изделий из пористого материала, чему и посвящена настоящая работа.

Целью данной работы является разработка новых и развитие известных методов решения нестационарных задач теплопроводности и термоупругости для тел сплошной и пористой структуры и решения на основе этих разработок нового класса задач.

Для достижения этой цели поставлены следующие задачи исследования:

1. Разработать методы решения нестационарных задач теплопроводности пористых тел, нагреваемых внутренними источниками тепла;

2. Разработать методы решения квазистационарных задач термоупругости пористых тел в форме балки-пластинки, прямоугольных и круглых в плане пластин и тонких полых цилиндров;

3. Разработать метод решения конструкционно-связанной задачи термоупругости и теплопроводности учитывающей зависимость коэффициента теплопроводности от напряжений;

4. Разработать метод решения задачи теплопроводности и термоупругости плит и цилиндров при пористом их охлаждении под давлением, с учетом давления в порах.

5. Разработать метод решения задачи теплопроводности и термоупругости двухслойных цилиндров с учетом неидеальности теплового контакта слоев.

На защиту выносятся следующие результаты и положения:

1. Физико-механическая модель термоупругого состояния материала пористых тел при учете внутреннего давления в порах.

2. Метод последовательных приближений в решении нестационарных задач теплопроводности и термоупругости пористых тел на основе вариационных принципов и методов конечных элементов и суперэлементов.

3. Постановка и решение нестационарных задач теплопроводности и квазистационарных задач термоупругости плит и цилиндров.

4. Постановка и решение конструкционно-связанной задачи термоупругости балки-пластины, прямоугольной и круглой пластины с учетом зависимости коэффициента теплопроводности от напряжения.

5. Метод решения задачи термоупругости пористых составных цилиндров с неидеальным тепловым контактом слоев.

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы.

В первой главе рассмотрены задачи термоупругости круглой и прямоугольных в плане плит, выполненных из пористых материалов. В разделе 1.1 предложена физико-механическая модель пористых материалов, предложена зависимость для учета неидеальности теплового контакта слоев. Решение задачи теплопроводности балки-стенки приведено в разделе 1.2. Решение задачи термоупругости балки-стенки приведено в разделе 1.3. В разделе 1.4 приведены численные расчеты задач теплопроводности и термоупругости балки-стенки при различных законах пористости.

Решение задачи термоупругости прямоугольной пластины рассмотрено в разделе 1.5. Примеры расчетов прямоугольной пластины приведены в разделе 1.6. Решение задачи термоупругости круглой пластины дано в 1.7., численные расчеты примеров этих задач описаны в 1.8.

Во второй главе описаны задачи теплопроводности и термоупругости плит в случае конструкционно-связанной постановке задачи. В разделе 2.1. разработана схема решения конструкционо-связанной задачи теплопроводности и термоупругости пористых плит.

В разделе 2.2. дано решение задачи термоупругости балки-стенки. Примеры численных расчетов балки-стенки приведены в 2.3. Решение задачи теплопроводности и термоупругости прямоугольной пластины дано в 2.4. - 2.5. Численные расчеты прямоугольной пластины представлены в 2.6. Решение задачи теплопроводности и термоупругости круглой пористой пластины представлены в разделах 2.7. - 2.8. Примеры решения приведены в 2.9.

В третьей главе описаны вопросы термоупругости пористых однослойных и тонких составных цилиндров. Задача нестационарной теплопроводности пористого однослойного цилиндра приведена в 3.1. Решение задачи термоупругости однослойного цилиндра дана в 3.2. Стационарная задача термоупругости двухслойного цилиндра при идеальном тепловом контакте слоев приведена в 3.3. Пример расчетов тонкого, пористого цилиндра при идеальном тепловом контакте слоев дан в 3.4. В 3.5. решена контактная задача термоупругости пористого составного цилиндра при неидеальном тепловом контакте слоев. Решение задачи термоупругости приводится в 3.6. Численные расчеты данного цилиндра даны в 3.7. В 3.8. дано решение осесимметричной стационарной задачи теплопроводности двухслойного пористого цилиндра при неидеальном тепловом контакте слоев. Решение задачи термоупругости дано в 3.9.

В четвертой главе представлено решение задач термоупругости плит и полых цилиндров при пористом охлаждении под давлением. В 4.1. дана постановка задачи пористого охлаждения плоской стенки. В 4.2. приведено решение задачи термоупругости прямоугольной пластины. Решение задачи термоупругости круглой пластины дано в 4.3. В разделе 4.4. дана постановка задачи состояния материала при учете внутреннего давления в порах. В 4.5. решена задача термоупругости и учета внутреннего давления в порах круглой пористой пластины. Решение задачи термоупругости и учета давления в порах прямоугольной пластины дано в 4.6., примеры расчетов приведены в 4.7.

В заключении приведены общие выводы по диссертации.

Результаты численных расчетов представлены в виде графиков. Расчеты выполнены на ПЭВМ по программам, составленным на языках Visual Basic.

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры МДТ СГТУ (2005-2008 гг.), на VII Международной научно-технической конференции «АКТ-2006» (Воронеж, 2006 г.), на IV Всероссийской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2007 г.), на «XII Международной конференции им. Акад. М. Кравчука» (Киев, 2008 г.), на XXI Международной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (Саратов, 2008 г.), на IX Всероссийской научно-технической конференции «АКТ-2008» (Москва, 2008 г.).

Выводы по 4 главе

В главе 4 получены решения для задачи теплопроводности и термоупругости прямоугольной и круглой пластин при при пористом их охлаждении под давлением, а так же задачи учета давления в порах прямоугольной и круглой пластин с пористостью изменяющейся по различным законам. Решения доведены до численных примеров, что дает возможность оценить влияние фильтрации и давления в порах на НДС прямоугольной и круглой пластин. Выявлено существенное влияние фильтрации и давления в порах на напряженное состояние прямоугольной и круглой пластин, требующее обязательного учета в расчетах на прочность.

Заключение

На основании проведенных в данной работе исследований и конкретных расчетов с использованием предложенных методов, результаты сводятся к следующему:

Первая глава.

1. Предложен метод последовательных приближений для решения нестационарных задач теплопроводности пористых плит. На первом шаге итерации учитывалось лишь влияние пористости на поле температур во всех последующих шагах характеристики материала корректировались за счет его термочувствительности.

2. Получено решение квазистационарной задачи термоупругости пористых пластин с пористостью изменяющейся по различным законам. Исследовано влияние пористости и термочувствительности материала на НДС. Выявлено существенное количественное отличие НДС пористых тел от сплошных.

Вторая глава.

1. Предложен метод последовательных приближений для решения нестационарной конструкционно-связанной задачи термоупругости для балки-пластинки, прямоугольной и круглой плит в одномерном поле температур.

2. Получены решения нестационарной конструкционно-связанной задачи термоупругости для балки-пластинки, прямоугольной и круглой плит в одномерном поле температур.

Третья глава.

1. На основе метода последовательных приближений и конечно-элементной интерпретации получено решение полярно-симметричной нестационарной задач теплопроводности тонкого цилиндра с переменной пористостью. Получено решение осесимметричной нестационарной задач теплопроводности тонкого цилиндра с переменной пористостью.

2. Получено решение квазистационарной задачи термоупругости тонкостенного пористого цилиндра с радиально изменяющейся пористостью. Исследовано влияние пористости и термочувствительности материала на НДС. Выявлено существенное количественное отличие НДС пористых тел от сплошных.

3. На основе концепции безмоментной теории оболочек получено решение задач термоупругости тонкостенного цилиндра в полярно-симметричном и осесимметричном полях температур.

4. На основе метода последовательных приближений и конечно-элементной интерпретации получено решение полярно-симметричной стационарной задачи теплопроводности двухслойных тонких цилиндров с переменной пористостью, при неидеальном тепловом контакте слоев. Дан сравнительный анализ результатов: цилиндра при наличии идеального теплового контакта и при неидеальном тепловом контакте.

5. Проведен сравнительный анализ НДС пористых и непористых цилиндров. Выявлено существенное влияние термочувствительности и пористости на картину распределения напряжений.

Четвертая глава.

1. Приведены решения задачи пористого охлаждения и НДС капиллярно-пористых тел, не выделяющих тепло в случае принудительной конвекции. Рассмотрены расчетные схемы пластин круглого и прямоугольного в плане профиля.

2. Приведены решения задачи пористого охлаждения и НДС капиллярно-пористых пластин в случае принудительной конвекции при наличии внутреннего тепловыделения.

3. Предложена схема учета внутреннего давления в порах при оценке НДС прямоугольной и круглой в плане пластин.

4. Решены задачи термоупругости пластин круглого и прямоугольного в плане профиля с внутренним тепловыделением при наличии внутреннего давления в порах (при пористом охлаждении).

Достоверность полученных результатов основывается на строгости применяемого математического аппарата, отладки и тестировании программ и непротиворечивости полученных результатов известным решениям частных задач, найденных другими авторами.

Разработанные методики определения полей температур и напряжений в телах пористой структуры могут быть использованы в практике расчетов на прочность и жесткость машин и конструкций, находящихся в экстремальных условиях эксплуатации.

1. Аккуратов Ю.Н. Метод граничных интегральных уравнений для решения нелинейных задач теплопередачи / Аккуратов Ю.Н., Михайлов В.Н. // Журнал вычислит. Математики и мат. физики. - 1980. - Т. 20, № 3. - С. 656-663.

2. Актуальные проблемы порошковой металлургии / О. В. Роман, В. С. Аруначалам, И. М. Федорченко и др. М.: Металлургия. 1990. - 231 с.

3. Бассард Р. Ракета с атомным двигателем / Р. Бассард и Р. Де-Лауэр. М.: Изд-во иностр. лит-ры. 1960. - 242 с.

4. Бате К. Численные методы анализа и метод конечных элементов / К. Бате и Е. Вилсон. М.: Стройиздат. 1982. - 447 с.

5. Беляев JI. М. Методы теории теплопроводности / JI. М. Беляев, А. А. Рядно. М.: Высшая школа. 1982. - 304 с.

6. Беляев Н. М. Проекционные и разностные методы в задачах теплообмена и термоупругости / Н. М. Беляев, В. И. Завелион, А. А. Рядно. Днепропетровск: ДГУ. 1982.- 104 с.

7. Био М. Вариационные принципы в теории теплообмена / М. Био. М.: Энергия. 1975.-208 с.

8. Биргер И.А. Термопрочность деталей машин / И. А. Биргер, Б. Ф. Шорр, И. В. Дульнев и др. М.: Машиностроение. 1975. - 456 с.

9. Боли Б. Теория температурных напряжений / Б. Боли, Дж. Уэйнер. -М.: Мир. 1964. -517 с.

10. Болотин В.В. Механика многослойных конструкций / Болотин В.В., Новичков Ю.Н. М.: Машиностроение, 1980. - 375 с.

11. Бояршинов С. В. Основы строительной механики машин / С. В. Бо-яршинов. М.: Машиностроение. 1973. - 456 с.

12. Брюханова E.H. Температурное и упругое состояние пластин сложного очертания под тепловым воздействием / Брюханова E.H., Уздалев

13. А.И. Саратов: Сарат. Политехи, ин-т, 1992. - 174 с.

14. Бурак Я.И. Оптимизация переходных процессов в термоупругих оболочках / Бурак Я.И., Зозуляк Ю.Д., Гера Б.В. Киев: Наукова думка, 1984. -158 с.

15. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности / К. Васидзу. М.: Мир. 1987. - 542 с.

16. Витязь П. А. Пористые порошковые материалы и изделия из них / П. А. Витязь, В. М. Капцевич, В. К. Шелег. Минск: Выш. шк. 1987. 164 с.

17. Галеркин Б. Г. Термическое напряжение в упругих пластинках / Б. Г. Галеркин // Инженерные сооружения и строительная механика. JL: Путь. 1924.-214 с.

18. Галеркин Б.Г. Собрание сочинений / Галеркин Б.Г. М.: АН СССР, 1953.-Т. 2.-438 с.

19. Гейтвуд Б.Е. Температурные напряжения применительно к самолетам, снарядам, турбинам и ядерным реакторам / Гейтвуд Б.Е. М.: Изд-во И.Л, 1959.-350 с.

20. Гленсдорф П. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктаций / Гленсдорф П., Пригожин И. М.: Мир, 1973. - 280 с.

21. Григолюк Э.И. Некоторые энергетические соотношения в задачах термоупругости сплошных сред / Григолюк Э.И., Попович В.Е. // Проблемы прочности. 1976. -№ 8. - С. 74-77.

22. Грилицкий Д.В. Осесимметричные контактные задачи теории упругости и термоупругости / Грилицкий Д.В., Кизыма Я.М. Львов: Вища школа, 1981.- 136 с.

23. Гринчик H. Н. Процессы переноса в пористых средах, электролитах и мембранах / H. Н. Гринчик. Минск: АНК «ИТМО им. А. В. Лыкова АН БССР». 1991.-251 с.

24. Демидов С. П. Теория упругости / С. П. Демидов. М.: Высшая школа. 1979.-432 с.

25. Демкин Н.Б. Качество поверхности и контакт деталей машин / Демкин Н.Б., Рыжов Э.В. М.: Машиностроение, 1981. - 248 с.

26. Демкин Н.Б. Фактическая площадь касания твердых поверхностей / Демкин Н.Б. М.: АН СССР, 1962. - 112 с.

27. Дорожкин H.H. Нестационарная теплопроводность в двухслойной пластине и цилиндре с несовершенным тепловым контактом / Дорожкин H.H., Кот В.А. // Ред. ж. Изв. АН БССР. Сер. физ. энерг. наук. - Минск, 1981.-26 с.-Деп.в ВИНИТИ, №4786-81.

28. Дульнев Г. Н. Применение ЭВМ для решения задач теплообмена / Г. Н. Дульнев, В. Г. Парфенов, А. В. Сигалов. М.: Высшая школа. 1990. - 207 с.

29. Дульнев Г. Н. Процессы переноса в неоднородных средах / Г. Н. Дульнев, В. В. Новиков. Л.: Энергоатомиздат. 1991. - 248 с.

30. Енохович А. С. Справочник по физике и технике / А. С. Енохович. -М.: Просвещение. 1983. 175 с.

31. Жукова В.Н. Температурное поле и напряжения в стенке составного цилиндра / Жукова В.Н. // Исслед. по механике деформируемых сред. Иркутск, 1976.-Вып. I.-C. 105-112.

32. Зарубин В. С. Инженерные методы решения задач теплопроводности / В. С. Зарубин. М.: Энергоиздат. 1983. - 328с.

33. Зенкевич О. К. Метод конечных элементов в технике / О. К. Зенкевич. М.: Мир. 1975. - 541 с.

34. Карслоу Г. Теплопроводность твердых тел / Г. Карслоу, Д. Егер. -М.:Наука. 1964. -487 с.

35. Кашталян Ю. А. Характеристики упругости материалов при высоких температурах / Ю. А. Кашталян. Киев: Наукова думка. 1970. - 112 с.

36. Киликовская O.A. Нестационарная термоупругость многослойных тел при термоконтакте, заисящем от напряжений / Киликовская O.A. // Прил. Механика. 1978. - Т. 14, № 3. - С. 28-33.

37. Киликовская O.A. Термоупругие напряжения в многослойном цилиндре при теплопередаче, зависящей от давления на поверхности контакта / Киликовская O.A. // Прикл. механика. 1973. - Т. 9, № 10. - С. 40-46.

38. Кингери У. Д. Введение в керамику / У. Д. Кингери. М.: Изд-во лит-ры по строительству. 1967. - 500 с.

39. Коваленко А. Д. Избранные труды / А. Д. Коваленко. Киев: Нау-кова думка. 1976. - 763 с.

40. Коваленко А.Д. Основы термоупругости / Коваленко А.Д. Киев: Наукова думка, 1970. - 307 с.

41. Коздоба JL А. Методы решения нелинейных задач теплопроводности / Л. А. Коздоба. -М.: Наука. 1975. 228 с.

42. Коздоба Л. А. Решения нелинейных задач теплопроводности / Л. А. Коздоба. Киев: Наукова думка. 1976. - 136 с.

43. Коляно Ю.М. Применение обобщенных функций в термомеханике кусочно-однородных тел / Коляно Ю.М. // Мат. методы и физ.-мех. поля. -1978.-№7.-С. 7-11.

44. Коляно Ю.М. Температурные напряжения в слоистых телах при неидеальном термомеханическом контакте на поверхности раздела / Коляно Ю.М., Кушнир P.M., Музычук Ю.А. // Прикл. механика. 1986. - Т. 22, № 11. -С. 28-36.

45. Конструкционные материалы. Справочник / Б. Н. Арзамасов, В. А. Брострем, Н. А. Буше и др./ Под общей редакцией д-ра техн. наук Б. Н. Арзама-сова. -М.: Машиностроение. 1990. 688 с.

46. Кордюк О.Л. Применение метода наименьших квадратов для решения стаионарных нелинейных задач теплопроводности / Кордюк O.JL // Теплофизика и теплотехника. 1977. - Вып. 33. - С. 87-89.

47. Королев В. И. Упруго-пластические деформации оболочек / В. И. Королев. М.: Машиностроение. 1971. - 304 с.

48. Космодамианский A.C. Температурные напряжения в многосвязных пластинках / Космодамианский A.C., Калоеров С.А. Киев-Донецк: Вища школа, 1983. - 160 с.

49. Кривулина Э.Ф. Термоупругое состояние плит и цилиндров выполненных из сплошных и пористых материалов : автореф. . канд. техн. наук : 01.02.04 / Кривулина Эльвира Федоровна. Саратов, 2006. - 18 с.

50. Кривулина Э.Ф. Термоупругое состояние плит и цилиндров выполненных из сплошных и пористых материалов. : дис. . канд. техн. наук :. 01.02.04 / Кривулина Эльвира Федоровна. Саратов, 2006. - 246 с.

51. Крэйт Ф. Основы теплопередачи / Ф. Крэйт, У. Блэк. М.: Мир. 1983.-512 с.

52. Кудряшев Л.И. Приближенные решения нелинейных задач теплопроводности / Кудряшев Л.И., Меньших H.JI. М.: Машиностроение, 1979. -232 с.

53. Лебедев Н. Н. Температурные напряжения в теории упругости / Н. Н. Лебедев. М.; Л.: ОНТИ. 1937. - 110 с.

54. Лейбензон Л. С. Вариационные методы решения задач теории упругости / Л. С. Лейбензон. М., Л.: Гостехиздат. 1943. - 287 с.

55. Литовский Е. Я. Теплофизические свойства огнеупоров / Е. Я. Литовский, Н. А. Пучкелевич. М.: Металлургия. 1982. - 152 с.

56. Лобкова H.A. Температурное поле и тепловые напряжения в рулонированном цилиндре при неидеальном контакте витков / Лобкова Н.А. // Тепловые напряжения в элементах конструкций. 1980. - № 20. - С. 19-22.

57. Ломакин В. А. Теория упругости неоднородных тел / В. А. Ломакин. -М.: Изд-во МГУ. 1976. 368 с.

58. Лыков А. В. Теория теплопроводности / А. В. Лыков. М.: Высшая школа. 1967. - 599 с.

59. Лыков А. В. Тепломассообмен. Справочник / А. В. Лыков. Изд. 2-е, перераб. и доп. М.: Энергия. 1978. - 478 с.

60. Майзель В. М. Температурная задача теории упругости / В. М. Майзель. Киев: Изд-во АН УССР. 1951. - 152 с.

61. Макаров A.M. Температурные поля в составных конструкциях при переменном контакте сопрягаемых элементов / Макаров A.M., Романовский В.Р. // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1979. - № 5. - С. 156-162.

62. Марченко В. М. Температурные поля и напряжения в конструкции летательных аппаратов / Марченко В.М. М.: Маш-ие., 1965. - 300 с.

63. Мелан Э. Термоупругие напряжения, вызываемые стационарными . температурными полями / Э. Мелан, Г. Паркус. М.: Физматгиз. 1958. - 167 с.

64. Миллер B.C. Контактный теплообмен в элементах высокотемпературных машин / Миллер B.C. Киев: Наукова думка, 1966. - 164 с.

65. Мотовиловец И.А. Нестационарное напряженное состояние двухслойного цилиндра при контактном термосопротивлении / Мотовиловец И.А., Комаров Г.Н., Червинко О.П. // Прикл. механика. 1983. - Т. 19, № 11. - С. 4651.

66. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Мусхелишвили Н.И. М.: Наука, 1966. - 707 с.

67. Назарчук М. М. Течения газа в каналах при наличии теплообмена. Киев: Изд-во Акад. наук УССР. 1963. - 124 с.

68. Новацкий В. Вопросы термоупругости / В. Новацкий. М.: Изд-во АН СССР. 1962.-364 с.

69. Норри Д. Введение в метод конечных элементов / Норри Д., Де Фриз Ж. -М.: Мир. 1981.-230 с.

70. Подстригач Я.С. Неустановившиеся температурные поля и напряжения в тонких пластинках / Подстригач Я.С., Коляно Ю.М. Киев: Наукова думка, 1972.-309 с.

71. Подстригач Я.С. Обобщенная термомеханика / Подстригач Я.С., Коляно Ю.М. Киев: Наукова думка, 1976. - 310 с.

72. Попов В.М. Теплообмен в зоне контакта разъемных и неразъемных соединений / Попов В.М. М.: Энергия, 1971. - 216 с.

73. Прочность материалов и элементов конструкций в экстремальных условиях / Г. С. Писаренко, А. JT. Квитка, И. А. Козлов и др. Киев: Наукова думка. Т.1,1980.-772 с.

74. Прусов И.А. Некоторые задачи термоупругости / Прусов И.А. -Минск: Изд-во БГУ им. В.И. Ленина, 1972. 250 с.

75. Рассудов В. М. Некоторые задачи термоупругости пластинок и пологих оболочек / В. М. Рассудов, В. П. Красюков, Н. Д. Панкратов. Саратов: Изд-во Саратовского университета. 1973. - 156 с.

76. Расчеты на прочность в машиностроении / С. Д. Пономарев, В. Л. Бидерман, К. К. Лихарев, Н. Н. Малинин, В. И. Федосьев. М.: Машгиз. Т.2. 1958.-975 с.

77. Расчёты на прочность, устойчивость и колебания в условиях высоких температур / Безухов Н. Н., Бажанов В. А. и др. М.: Машиностроение. 1965.-568 с.

78. Сегерлинд Ларри Дж. Применение метода конечных элементов / Ларри Дж. Сегерлинд. Под ред. Б. Е. Победри. М.: Мир. 1979. - 392 с.

79. Справочник по машиностроительным материалам / В 4-х томах. Под ред. д-ра техн. наук проф. Г. И. Погодина-Алексеева. М.: Машгиз. 1959.

80. Справочник по сопротивлению материалов / Е. Ф. Винокуров, М. К. Балыкин, И. А. Голубев и др. Минск: Наука и техника. 1988. - 464 с.

81. Теплухин Г.Н. Спеченные материалы / Г. Н. Теплухин. Л.: СЗПИ. 1978.-80 с.

82. Тимошенко С. П. Пластинки и оболочки / С. П. Тимошенко, С. Войновский-Кригер. Под ред. Г. С. Шапиро. Изд. 2-е, стереотип. М.: Наука. 1966.-635 с.

83. Тимошенко С. П. Теория упругости / С. П. Тимошенко, Дж. Гудьер. Под ред. Г. С. Шапиро. 2-е изд. М.: Наука. 1979. - 560 с.

84. Тихонов А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. М.: Наука. 1977. - 735 с.

85. Уздалев А.И. Некоторые задачи термоупругости анизотропного тела / Уздалев А.И. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1967. - 168 с.

86. Федотов А.Ф. Моделирование процесса прессования порошковых материалов в условиях самораспространяющегося высокотемпературного синтеза / Федотов А.Ф., Амосов А.П., Радченко В.П. М.: Машиностроение-1, 2005. - 282 с.

87. Фенеч Г. Теоретическое определение коэффициента теплоотдачи находящихся в контакте металлических поверхностей / Фенеч Г., Розеноу В.М. // Теплопередача: Тр. Американского об-ва инж.-механиков. 1963. - Т. 85, Сер. С., - № 1.

88. Фрид Е. Проблема теплового контактного сопротивления в конструкциях космических кораблей / Фрид Е., Костелло Ф.А. // Ракетная техника: Журн. Американского ракетного об-ва. 1962. - № 2. - С. 66-77.

89. Хижняк П.Е. Исследование контактного термического сопротивления / Хижняк П.Е. М.: Труды НИИ ГВФ, 1963. Вып. 39. - С. 41-45.

90. Черноусько Ф. Л. Вариационные задачи механики и управления /

91. Ф.Л. Черноусько, Н. В. Баничук. М.: Наука. 1973. - 240 с.

92. Чиркин В. С. Теплопроводность промышленных материалов / В. С. Чиркин. М.: Машгиз. 1962. - 247 с.

93. Чиркин В. С. Теплофизические свойства материалов / В. С. Чиркин. М.: Мир. 1970. - 356 с.

94. Чудновский А. Ф. Теплофизические характеристики дисперсных материалов / А. Ф. Чудновский. М.: Физматгиз. 1962. - 456 с.

95. Шехтер Д. Вариационный метод в инженерных расчетах / Д. Шех-тер. -М.: Мир. 1971.-292 с.

96. Ши Д. Численные методы в задачах теплообмена / Д. Ши. М.: Мир. 1988. - 544 с.

97. Шлыков Ю.П. Контактный теплообмен / Шлыков Ю.П., Ганин Е.А. М.; Л.: Госэнергоиздат, 1963. - 144 с.

98. Шлят Ш.Н. Тепловые расчеты многослойных конструкций гидросооружений / Шлят Ш.Н. М.: Энергия, 1978. - 200 с.

99. Шляхов С. М. Задача термоупругости для круглой не выделяющей тепло плиты при пористом ее охлаждении / С. М. Шляхов, Э. Ф. Кривулина. // Науч.-тех. журнал «Вестник СГТУ» / СГТУ. Саратов, 2006. - № 10. - С. 217224.

100. Шляхов С. М. Задача термоупругости для круглой плиты из пористого материала в одномерном поле температур / С. М. Шляхов, Э.Ф. Кривулина // Науч.-тех. журнал «Вестник СГТУ» / СГТУ. Саратов, 2005. - № 6. - С. 59-68

101. Шляхов С. М. Нелинейные задачи теплопроводности и теории упругости двухсвязных пластин и цилиндров / С. М. Шляхов. Саратов: СПИ. 1992.- 173 с.

102. Шляхов С.М. Задача теплопроводности и термоупругости круглой пористой пластины в нестационарном режиме нагрева / Шляхов С.М., Ефремов A.B. // Науч.-тех. журнал «Вестник СГТУ» / СГТУ. Саратов, 2007. Выпуск 1. -№4(28).-С. 38-47.

103. Шляхов С.М. Связанная нестационарная задача теплопроводности и термоупругости балки-пластинки из пористого материала / Шляхов С.М., Ефремов A.B. // «Известия вузов. Машиностроение», 2008. - №2. - С. 28-36.

104. Шляхов С.М. Связанная нестационарная задача теплопроводности и термоупругости прямоугольной пластины из пористого материала / Шляхов

105. С.М., Ефремов А.В. // Авиакосмические технологии «АКТ-2008» : Тр. IX Всерос. науч.-техн. конф. и школы молодых ученых / Воронеж, гос. техн.ун-т. Воронеж, 2008.-С. 146-153.

106. Шнейдер П. Инженерные проблемы теплопроводности / П. Шней-дер М.: Изд-во И. Л. 1960. - 479 с.

107. Электротермическое оборудование. Справочник / Под ред. А. П. Альтгаузена. М.: Энергия. 1980. - 320 с.

108. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление / Л. Э. Эльсгольц. М.: Наука. 1969. - 320 с.

109. Barna A. Szabo and George С. Lee. Derivation of stiffness matrices for problems in plane elasticity by Galerkin's method / Barna A. Szabo and George C. Lee. Int. dournal ofNuverical Meth. In ENGINEERING. Vol. 1. P. 301-310. 1969.

110. Cristian Berar. Plane stress in plates from nonlinear materials / Cristian Berar. Rev. Roum. Sci. Techn. Mec. Appl. Tome 30, №5. P. 527-539. Bucarest. 1995.

111. Green L. Fluid Flow through Porous Metals / L., Jr. Green, P. Duwez. J. Appl. Mech., 18. P. 39. 1951.

112. Green L. Gas Cooling of Porous Heat Source / L., Jr. Green. J. Appl. Mech., 19. P. 173. 1952.

113. Mc Adams W. H. Heat Transmission / W. H. Mc Adams. Mc Graw-Hill Series in Chemical Engineering, Mc G-H. New York. 1954.

114. Teruyoshi Udoguchi. Thermal stress in an infinite elastic body containing circular holes / Teruyoshi Udoguchi. Proceedings of the Fourth Japan National Congress for Applied Mechanics 1954. March 1955. P. 157-162.

115. Tsien H. S. Rockets and Other Thermal Jets Using Nuclear Energy, in Clark Goodman / H. S. Tsien. The Science and Engineering of Nuclear Power. Vol. II, chap. II. Addison-Wesley, Mass. P. 124.