Обощенные динамические задачи термоупругости для массивных тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

КОТЕНКО НИ1-1А ВЛАДИМИРОВНА

ОБОБЩЕННЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОСТИ ДЛЯ МАССИВНЫХ ТЕЛ

01.02.04 - механика твердого деформируемого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

¡■>4 / Самара - 1992 г.

ь7 '11

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений Черновицкого ордена Трудового Красного Знамени государственного университета им.Ю.Фецьковиуэ.

Научный руководитель - кандидат физико-математических

наук, доцент Ленюк М.П.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических

наук, профессор Чебан В.Г.

доктор технических наук, профессор Сеницкий Ю.Э,

Ведущая организация: Львовский институт прикладных проблем механики и математики

Защита состоится ___1992 года в ___

часов на заседании специализированного совета К 063.94.01 по присуждению учено? сгепони кандидата физико-математических тук'в Самарском государственном университете по адресу: 443011, Самара, ул.ак.Павлова, I.

С диссертацией тжно ознакомиться в библиотеке Самарского государственного университета.

Автореферат разослан г.

Учений секретарь специализированного совета, канц.физ,-мат наук, Доцент

А.Ф.Федечев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Работа посвящена решению в рамках классической и обобщений термомоханики связанные я несвязанных динамических задач гермоупругости для массивах тел, находящихся в условия:: высоко-штенсивного неравномерного нагрева.

Актуальность теш. Прогресс, достигнутый во многих областях науки и техники, тесно связан с исследованиями теоретических и прикладных проблем взаимодействия различных тел и полей. Зто вызвано тем, что некоторые элементы современных конструкций подвергаются интенсивному воздействию термических и механических возмущений, а возникающие при этом напряжения могут достигать значительной величины и, как известно, приводить 11 разрушение. Поэтому возникает необходимость в развитии (в рамках обобщенной термомеханики) связанной теориг термоупругости, учитыг"ч-щей тот факт, что в реальном теле поля деформаций и температурные поля взаимосвязаны.

Высокие требования, предъявляемые при разработке новых конструкций, устойчиво и надежно работящих в условиях высокоинтенсивного неравномерного нагрева, привели к широкому исследованию нестационарных температурных напряжений с учетом инерционных эффектов. Эти обстоятельства выдвигают необходимость разработки эффективных математических моделей исследования различных полей и дальнейшее развитие аналитических и численных методов построения для всех значений времени решений поставленных при этом взаимосвязанных и несвязанных динамических задач (мало изученных или почти не изученных) термоупру! ости С-г. .- "ер «механики. В основном это касается наиболее распространенных в практике как однородных, так и кусочно-однородных элементов конструкций и массивных симметричных тел.

Целью работы является построение в рамках обобщенной термомеханики в замкнутой форме точных решений связанных динамических задач термоупругости для массивных тел с плоскопараллельными границами, несвязанных динамических задач термоупругости для массивных симметричных тел и кусочно-однородных симметричных объектов. Изучение влияния физико-механических факторов на структуру термоупругих полей, возникающих в результате осуществления на

границе рассматриваемых объектов теплового удара как для классической, так и для обобщенной термомеханики.

Методика исследования. Для построения точных решений обобщенных взаимосвязанных и несвязанных динамических задач термоупругости рассматриваемых тел используется метод фундаментальных функций (главных решений). Аппаратом построения главных решений служат интегральные преобразования. При наличии в краевых условиях производной по времени используется операционное исчисление.

Научная новизна диссертационной работы заключаемся б следующем:

1) Решена и исследована обобщенная связанная динамическая одномерная задача термоупругости для пространства с помощью фундаментальной матрицы решения задачи Коти для строго гиперболической

по И.Г.Петровскому, инвариантной относительно группы вращений вокруг начала отсчета взаимосвязанной системы уравнений для температуры и напряжения, построенной методом интегрального преобразования Фурье.

2) Получены точные решения обобщенных связанных динамических задач термоупругости для упругого полупространства и бесконечной плиты, а также решения соответствующих обобщенных несвязанных динамических и динамических задач термоупругости.

3) Построены методом фундаментальных функций для всех значений времени и исследованы решения обобщенных несвязанных динамических задач термоупругости для сплошных симметричных тел и пространства с симметричной полостью. Также построено точное решение обобщенной несвязанной динамической задачи термоупругости при наиболее общих предположениях с точки зрения обобщенной термомеханики для полых симметричных тел.

4) Решены операционным методом обобщенные несвязанные динамические задачи термоупругости для кусочно-однородного пространства, обладающего симметрией и кусочно-однородного пространства с симметричной полостью.

5) Исследовано влияние физико-механических факторов на структуру термоупругих полей, возникающих в результате осуществления на границе рассматриваемых объектов теплового удара,

Достсзернссть полученных результатов определяется применением математически обоснованных и апробированных методов исследова-

ния и обеспечивается строгостью математических выкладок. В предельных и чвстнъ>л случаях основные результаты работы согласуются с ирпестными результатами классической и сообщенной тррмоме-хпнини.

Практически цен. ть полученных результатов состоит в тон, что они могут бить использованы г инженерных расчетах на прочность, надежность, долговечность и устойчивость как однор- '.пых, так и кусочно-однороднич элементов конструкции, находящихся в условиях вксококнгенсивного нс^вномгриого иягрсвя.

На защиту выносятся:

1. Решение и исследование обобщенней связанной динамической одномерной задачи термсупругости «ля упругого изотропного пространства.

2. Точные решения обобщенных связанных динамических задач термоупругости для упругого полупространства и бесконечной плиты, а также решения соответствующих обобщенных несвязанных дчн.^ми-ческих и динамических задач термоупругости.

3. Построение в замкнутой форме методом Фундаментальных функций для всех значений времени и исследование решений обобщенных несвязанных динамических задач термоупругости для сплошных и полых симметричных тел и пространств с симметрично!' полостью.

4. Решение операционным методом обобщенных несвязанных динамических задач термоупругости для кусочно-однородного пространства, обладающего симметрией и кусочно-однородного пространства

с симметричной полостью.

5. Исследование влияния физико-механических факторов на структуру термоупругих полей, возникающих в результате осуществления на границе рассматриваемых объектов теплового удара.

Апробация работы. Основные результаты и содержание работы докладывались и обсуждались на: ХУ научном совещании по тепловым напряжениям в элементах конструкций (Канев,1980); П всесоюзной конференции "Термодинамика необратимых процессов и ее применение" ("ерновцы,1984); научно-технической конференции "Роль вычислительного эксперимента при исследовании физико-химических процессов" (Ивано-Франковск,1987); научном семинаре отдела термоупругости института механики АН ¿'ССР (Киев,1987); научных семинара:. кафедры прикладной математики и механики и кафедры дифференциальных уравнений Черновицкого госуниверситета (Черногцы, 1988,1990); научном объединенном семинаре отделов теории физи-

ко-механических полей и термомеханики Института прикладных проблем механики и математики АН УССР (Львов,1991); Ш Всесоюзной конференции по механике неоднородных структур (Львов,1991).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 17 печатных работ. 1

Объем и структура работы. Работа выполнена на 182 страницах машинописного текста и состоит из введения, трех глав и заключения. Включает в себя 35 рисунков, 2 таблицы и список литературы из 112 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, определена цель работы, изложена новизна полученных результатов, которые выносятся на защиту. Проводится краткий обзор исследований по вопросам, касающимся темы диссертационной работы.

В первой главе, состоящей из четырех параграфов, в рамках обобщенной термомеханики проведен анализ основных краевых задач для связанной системы уравнений термомеханического равновесия в одномерной постановке для тел с плоскопараллельными границами:

ъг2 ъч2 'Зх-2- 5

^ ^1 * ^ ^ тк. ъх?

(I)

= \ +

Здесь^ = (5£ -коэффициент

4

----------------- связанности механиче-

' Ср

ского и температурного полей, . ' , - изобарическая

теплоемкость, (—- объемная теплоемкость, ^ - коэффициент Пуассона, С= - скорость распространения волн расширения

Ш4-2 М

в упругой среде, 0. - модуль сдвига, ^ - удельная плотность

V

материала, г. ^ая^1 - скорость распространения тепла, =.

- с-? ~ коэффициент температуропроводности, А - коэффициент теплопроводности, Тг~ время релаксации теплового потока, -время, ос - прямоугольная декартовая координата, - напряжения в декартовых координатах,? - температура

^С^^О - плотность массовых сил, ^ - температурный коэффициент расширения изотропного тела, а„ _ <х5 9С'сух) , с,'*. -

плотность тепловых источников, непрерывно распределенных вдоль тела с плоскопараллельттии границами

Отсюда при = О имеем обобщенную несвязанную динамическую систему уравнений термоупругости.

То,что система (I) является строго гиперболической по И.Г.Петровскому, инвариантной относительно группы вращений вокруг начала отсчета декартовой системы координат, дало возможность построить методом интегрального преобразования Фурье по геометрической переменной фундаментальную матрицу решений задачи Коши, Наличие последней позволяет выписать точное решение обобщенной связанной динамической задачи гермоупругости для одномерного пространства в виде:

оо

тг - ^ е^-1) [ъ С1) * ¿А ^ и)] сЦ

оо т: 00 (2ч

о —

По идентичной формуле записываются точные решения первой краевой задачи для упругого полупространства и неограниченной плиты при наиболее общих с точки зрения обобщенной термомеханики предположениях.

Если граница упругого объента (полупространство, плита; подвергается воздействию теплового потока либо через границу упругого объекта осуществляется теплообмен с внешней средой по закону Ньютона, го решения обобщенных связанных динамических задач термоупругости строятся в замкнутой форме методом интегрального преобразования Лапласа по временной переменной.

Для выяснения влияния коэффициента связанности и конечной скорости распространения тепла <2 ^ из структуру термоупругих полей приведены решения связанных и несвязанных динамических

задач терэд,упругости.

В качестве примера р '.лизогш:. полученных расчетных формул приведен случай, когда упругое пространство в начальный момент времени нахлщтся при нолевой температуре к в ненапряженном состоянии, маосов* -пш: отсутствуют, а плотность тепловых источников 5 е"1^' ^Ог).

На ЭВМ ЕС-1045 ; 'считаны распределения обобщенных динамических м ция'.г'ичеоких терьг-унругих полей для пространство из меди =0,168-10"1), 8лшилия (М-2,1, =0,35в-10~г), свинца (И=1,37, ^ 733 ), стали (1,1=4,8, } =0,114'Ю-1) б зависимости от безразмерной координаты ос при фнвог; нчнвом значен,;« безразмерного времени <х =1. Построены граф.ли полученных рзспреде-лелик.

Численны посчети покознвяюг:

1. Под воздействием тепловых источников в рассматриваемом пространстве возникают снимающие обобщенные динамические и динамические .напряжения, г >эрие при движении вглубь пространство стремятся к ну;т.

2. Учет эффекта связанности практически не влияет на величину снимающих обобщенных динамических и динамических напряжений.

3. Значения сдимэющих напряжении при учете коночной скорости распространения гепла {М=Г,37; 2,1; 4,8) меньше по величине соответствующих значений напряжении при ее бесконечном значении.

4. Благодаря превращению упругой энергии в тепловую обобщенная нестационарная температур;' при дви-ешш вглубь пространства убивает к нулю медленнее, чем нестационарная температура, причем учет аффекта связанности не оказывает практического влияния на знэченгя обобщенной нестационарно!' и нестационарной температур.

5. С ростом М от 1,37 до 4,8 происходит уменьшение максимального значения обобщенной нестационарной температуры. При этом максимальное значение темпера тури в предположении, что скорость распространения тепла бесконечно большая на порядок 10-10^ меньше максимального значения температуры при учете конечной скорости распространения гепла,

6. Время нагрева поверхности пространства, соответствующее фиксированному значению безразмерного времени ^ =1, имеет значения: для меди =0,65-КГ^сек, свинца =0,21' Г0_11сек, алюминия

^ =0,26-10~^сек, стали =3,6• 10"^ сек. Значения безрз'змер-

п

ной координаты 'Х. =1 соответственно ; шны: =0,24-10 м, = =7,8-10"7м, =0,21-Ю~7м, |=3,1-1и'Л.

Вторая глава состоит из четырех параграфов и посвящена математической постановке и описанию решений основных несвязанных задач обобщенной термомехэншш для сплошных и полых симметричных тел, а также для однородного пространства с симметричной полостью. Решение этих несвязанных задач сводится к последовательному определению структуры температурного поля и возникавших при этом полей перемещения и напряжения.

Для определения структуры температурного поля в однородных изотропных телах, обладающих симметрией,надлежит проинтегрировать гиперболическое уравнение теплопроводности

При этом граничное условие имеет вид

-зСт^ ■ (4)

Для определения отличной от тождественного ноля компоненты К. ¿С,т.") вектора перемещения приходим к интегрированию уравнения: ^и. 2.<мл. 'аи. 1 . т

ъх.2- ъ "ог. -г.2- аг 'й'с' 1 ;

Если поверхность тела свободна от внешней нагрузки, то на границе Г тела выполняются условия

^•е. т гЛр т * ■

Отличные от тождественного поля компоненты тензора напряжения 6" определяются по правилам:

^ ^ А - 2у~ ^ ]'

^ ^ -1 ' (7)

Здесь = , 6*2г _ , 6\ъ = Се(> для центральной симметрии = У2 ) и 6"гг для осе^зой симметрии ( сЦ. =

=0).

Сформулированные выи.е краевые задачи сводятся к решению

циссипати.^юго волнового уравнения Бесселя ^ гС , (8)

по начальным условиям

(9)

и краевому условию (4) на границе тела.

Решения задачи (8),(9),(4) цля случаев возможного изменения рациагу.ний переменной г. (z.£[oJR.З ¡геЛа,,^ ) получе.ш методом фундаментальных функций, построенных с помощью интегрального преобразования Лапласа.

Параметры ^ , , ^ , ё^ , =1,3),принимающие уча-

стие в формулировке задачи (8),(9),(4), позволяют непосредственно Ио общей структуры решения выделить как для случая осевой симметрии, гак и для случая центральной симметрии структуру и температурного поля и поля перемещений при задании но поверхности тела любого из краевых условий 1-го,2-го либо 3-го роца. Так, например, решение задачи (8),(9),(4) цля случая имеет вид:

ч °

(Ю)

о '

К ТЯ

Отсюда при 13 = Т , , ё 2 - , } = с*. имеем

° 1 о-

функцию, описывающую структуру сообщенного нестационарного температурного поля в оплошном теле, а при 1Гэи , = ,

а , ^(т= го - структуру поля перемещения.

З^есь же проведен анализ формул, опрег -ляющих решения обобщенных динамических задач термоупругости л с сплошных симметричных тел и цля пространства с симметричной полостью.

Результаты численны^ расчетов радиальных и тангенциальных обобщенных динамических и динамических (М=0) напряжений ,

б"^ , обобщенной нестационарной и нестационарной температур Т, записанных в безразмерных координатах (с2-"^ ,<г -<¿¿2

г. О. С а. о- ° сь

§ ~ . ^ = с^, » ог. = ), в зависимости от безразмерного

времени ^ для различны.; значений безразмерного времени продолжительности теплового воздействия (0; 0,5; I; 2) и при фиксированных значениях безразмерной координаты ^ =0,25; 0,5; 0; 0,75 для цилиндра из меди (М=1,37) и алюминия (М-2,1) представлены в виде графиков.

В_т£етьей главе методом функций влияния получено решение обобщенных динамических задач термоупругости для кусочно-однородного симметричного пространства и кусочно-однородного пространства с симметричной полостью. Математически это гриводит к построению ограниченного на кусочно-однородной полярной оси решения сепаратной системы уравнений гиперболического типа

по начально-краевым условиям

и условиям идеального контакта на поверхности сопряжения

[ЧЛ-ЧЦ*.^ ---О, (13)

(14)

Полагая в (П)-(14) ^ =■■ Т^ , Л^ ■ , ^ » ,

" 0 1 0 • &Ь я ' "С^"1 • получаем

задачу о структуре обобщенного нестационарного температурного поля в рассматриваемой системе по условиям идеального термического контакта на поверхности сопряжения. Условия (14) при

О переходят в условия идеального термического контакта для соответствующего нестационарного температурного поля = = 0).

Полагая в (И)-(14) Ц-= ^ , б£ = о Л^ -С? , ,

уЧ^,^4)- ^.Г) и устремляя к нолю,

получаем обобщенную динамическую задачу для определения поля упругих перемещений с заданием на границе сопряжения идеального механического контакта.

Решение задачи (П)-(14) в изображениях по Лапласу построено методом функций Кош. При этом в алгебраической форме явно выписаны условия нпограииченшй разрешимости задачи. При вычислении оригиналов функций влияния существенную роль играет теорема о распределении особенностей, позволяющая по изображениям получить оригинал решения в вице: К ^

о«, '

^00 2=Ы

«с * (15)

о о

Численному исследованию подвергается структура термоупругих полей, возникающих•в системе "полое цилиндрическое включение-пространство", сконструированной из стали и свинца, при осущест-вле"ии на поверхности включения теплового удара. При

этом предполагается, что в рассматриваемой системе тепловые'источники отсутствуют, в начальный момент времени система находится при нолевой температуре.

Результаты численных расчетов Т, , представлены

в виде графических зависимостей.

сводятся к следующему: I. Построено методом интегрального преобразования Фурье точное решение обобщенной связанной динамической задачи термоупругости для упругого пространства. Это позволило методом конечного синус интегрального преобразования Фурье выписать структуру решения первой обобщенной связанной динамической задачи термоупругости для беоконечной плиты.

Для выяснения влиялия нозффициентп связанности и конечной скорости распространения тепло па структуру термоупругих полей приведены решения вязанных и несвязанных динагшческих задач термоупругости, обобщенных несвязанных динамических задач термоупругости. Если поверхность пли-н подвергается воздействию теплового потока либо через поверхность пллты осуществляется теплообмен о окрулэтюиеЯ срепоС по закону Ньютона, го точное решения обобщенно!? связанной динамическое задачи тергюупругости построено операционным методом.

2. Построено г/о годом интегрального преобразования Лапласа точное ранение обо&сеннай связанно!! дгчаг.шчаскоК задачи термоупругости для полупространства, упгцп на граница затаи йрпгжеиия и температура или граница подвергается воздействию теплового потопа либо черев границу осуществляется теплообмен с ввевяей средой

по закону Ньютона. Из общей конструкции решения вариацией параметров (коэффициента связанности и безрззг/ерчой скорости распространения тепла) непосредственно выделено решение обобщенной несвязанно;! динамической, несвязанной и связанно)'! димгупчр.скпх задач тсрг.'пупругости.

3. Получело в замкнутой форме методом фундаментальных фупкцпй точное рагенпе обобщенных дииэитюоквх задач тер'лоупругоотн для сплошных и полых симметричных тел, а также для пространство с симметричной полостью. Наличие в граничных условиях производной по времени для построения фундаментальных функций требует применения интегрального преобразования Лапласа.

4. Построено операционным методом в замкнутой Форме тонное решение обобщенных динамических задач термоупругости ц«я нчлметр'лч-ннх пространств со сплошным и полым включением. При этом доказаны теоремы о распределении особенностей, позволяющие по изображениям получить оригинал решения.

5. Проведенные численные исследования 'ч случаев: I) нагрева пространства равномерно распределенными источниками тепла,плотность которых изменяется по экспоненциальному закону; 2) осуществления на тзрхнпм основании плиты, на границе сплошного цилиндрического тела, на поверхности полого цилиндрического включения кусочно-однородного пространства теплового удара показывают, что учет конечной скорости распространения тепла существенно влияет на структур., температурного поля и вызываемого им

поля напр":ений особенно при магых значениях временной поремен-лой, т.е. вначале теплового процесса. Учет коэффициента связанности механичеокого и температурного полей практически не влияем на структуру термоупругих полей.

6. Теоретические результаты работы состоят в том, что в ней построены точные аналитические решения обобщенных динамических задач термоупругости для массивных тел при наиболее общих с точки зрения обобщенной термомеханики предположениях. При этом параметры, грилю/аюдяе участие в формулировке задач, позволяют непосредственно выделить из общих структур любой требуемый практикой часиий случай (в рамках предложенной модели).

7. Практическое ьнэчение полученных результатов состоит в том, что они могут быть использованы в инженерных расчетах на прочности, надежность, долговечность и устойчивость как однородных, так и кусочно-однородных элементов конструкций, находящихся в условиях высокоингенсивного неравномерного нагрева.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Коте"ко Н.Б., Леяюк М.П. О динамической задаче термоупругости //Прикладная механика.-1974,- X.- вып.2,- С.43-51.

2. Котенко Н.В., Ленюк М.П. О динамических эффектах в упругом полупространстве np.i тепловом ударе //ПММ.- 1974.- 38,- вып. 6.- С.И05-ШЗ.

3. Котенко Н.В. Динамическая задача термоупругости для однородного пространства с симметричной полостью //Тез.докл.ХУ научного совещания по тепловым напряж. в элементах коне тр. Ка-нев, 28-30 мая 1980.- Киев: Наунова думка,1980,- С.52.

4. Котенко Н.В., Ленюк М.П., Сучеван В.Г. Обобщенная динамическая задача термоупругости для полых симметричных тел //Известия АБ MGCP, серия физ.-гех. и матем.наук.- 1981.- № 2,-

С.19-28.

5. Котенко Н.В., Ленюк М.П. Обобщенная связанная динамическая чадача термоупругости для полупространства //ДАН УССР,- Сер. А.- 1989.- № 8.- С.32-36.

6. Котенко Н.Ь. Решение квазистэтической и обобщенной динамической задач термоупругости для одномерного пространства и сплошных симметричных тел /Черновиц.ун-т.-Черновцы,1983.-

22 е.- Деп. в УкрНИИНТИ 01.06.83, № 396 Ук-Д83.

7. Котенко Н.В. Точное решение связанной обобщенной динамической задачи термоупругости для полупространства //Тез.докл.П Всесоюзной конф.ло термодин,необратимых процессов и ге применению,18-20 сенг.1984,- Черновцы,1984.- С.154-155.

8. Котенко Н.В. Обобщенная динамическая задача термоупругости для плиты с учетом связанностг полей /Черновиц.ун-т.-Черновцы,1986.-25 с.-Деп. в УкрНИИНТИ 01.07.66.-№ 1531.- Ун 86.

9. Котенко Н.В. Решение обобщенной динамической задачи термоупругости для пространства зо сплошным симметричным включением /Черновиц.ун-т.-Черноьцы,1986.-38 с.-Деп.в УкрНШНТИ 09.01.87, № 305.-Ук 87.

10. Котенко Н.В. Напряженное состояние кусочно-однородных пространств с симгетргчной полостью с учетом КСРТ//Тез.докл.Ш Всесоюзной конф.по механике неоднор.структур,17-19 сент. 1991 г.-Львов,1991.- С.167.

11. Ленюк М.Н., Котенко Н.В.Динамическое термоупругое пг е в неограниченной пластинке//ДАН УССР.-Сер.А.-1975.-№2.-С.П4-П8.

12. Ленюк МЛ..Котенко Н.В. Динамические термоупругие ноля в неограниченной пластинке//ДАН УССР.-Сер.Л.-1976.-№2.-СЛ10-114.

13. Ленюк М.П.,Котенко Н.В. Квазистатическая и обобщенная динамическая задача термоупругости для симметричных пространств и сплошных симметричных тел /Черновиц ун-т -Чернову,1982,-39 с.-Деп.в ВИНИТИ 18.05.82, » 3520-82 деп.'

14. Ленюк М.П. .Котенко Н.В. Связанная обобщенная динамическая задача термоупругости для одномерного пространства //ДАН УССР,- Сер.А.- 1981.- № 10.- С.45-50.

15. Ленюк М.П.,Котенко Н.В.,Сучеван В.Г. Квазистатическая задача термоупругости для полых симметричных тел//Численннй анализ в задачах механики.Математ.исслед.-Кишинев:Штиинца,1982. -Вып.70.-С.61-70.

16. Ленюк М.П,Шемерда И.П..Котенко Н.В. Решение в слое смешанной задачи для гиперболического уравнения теплопроводности и суммирование некоторых функциональных рядов /Черновиц ун-т.-Черновцы,1981.-41 с.-Деп. в ВИНИТИ 25.02.81,№892-81 Деп.

17. Ленюк М.П..Котенко Н.В.,Дусте И. 11.Динамическая и обобщенная динамическая задача термоупругости для пространства с полым цилиндрическим включением/Черновиц.ун-т.-Черновцы,1989.-42с. -Деп. в УкрНИИНТИ 25.01.90 № 102-УК 90.