Метод граничных интегральных уравнений в статических и квазистатических задачах классической и обобщенной термоупругости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

№ 'ЙС01СТЯТУТ ПРОБЛЕМ МЕХАНИКИ

" акадкми паук России

На правах рукописи

ГШВДОВ ЮСШ> ШВДШИ оглы

жол ГРАНИЧШ ИНГЕГРАШШХ .УРАВНЕНИЙ

в стлтлчндшх и квамтатичисмх ЗАДАЧАХ жссичшком и обобщенной тьшолругости

О;-;.04 - ?.!ехзшлш деформируоглого твердого тела

АВТОРЕ)^ КРАГ

диссертации на соискание ученой степени доктора - 1«з ико-ма тематических наук

¡.1оскш-1993

Работа выполнена в Институте математики и штатмет Л'I Азерб. Реепуб. и в Институте пройдем механике РАН

Официальные оппоиеитн:

- доктор физико-адатоштичссппх паук,профессор А.;,'. чук ;

- доктор физико-г.татематит:оск::х .чаук »1. .5. Пяукшто ;

- доктор физико-математических наук, профессор П.Я.Перлшг

ведущая организация :

ИШ механики Нижегородского университета

Защита_£ортоится " ¿г^тР-^Зь-^г,— КШ г.'

в часов на заседании апоциалпзированного совета

Д 002.87.01 при Институте пройдем мохяшкм РАН по адресу : 117526, ¡Досква, проспект Вернадского, 10Е

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем механики РАН

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного зочота каидияат физико-математических :пук

Л.:1...В:У1плоп

ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА

Актуальность проблемы." Проблема температурного напряжен-' кого состояния возникает в самых разнообразных областях тех ■ ники и' принадлежит к числу основных проблем прочности элемен- -тов конструкций, работающих в-условиях неравномерного стацио-..-нарного и нестационарного нагрева. Знание величины и характе-• ра действия тепловых напряжений.необходимо для'всестороннего анализа прочности конструкций.- Ввиду 'большой .трудоемкости, а в" ряде случаев и неосуществимости, достаточно-точных экспериментальных исследований'стационарных и. нестационарных, термо - ■ упругих процессов важное значение-Имеют численные-методы ме - ' ханики -деформируемого твердого тела, роль которых -возрастает з ростом'возможностей вычислительных.средств. Поведение многих промышленных'( например,, машиностроительных) конструкций,' сооружений и сред,, которые подвергаются тепловоцу воздействию з достаточной степенью точности описывается линейными моделями термоупругого тела.- Инженерная практика испытывает потреб- ' ность в разработке таких эффективных численных методов расчета плоских и пространственных стационарных и квазистационар -пых полей' деформаций в термоупругих телах, которые позволяли бы достаточно полно- учесть особенности конфигурации рассмат -риваемого тела.

В настоящее время наиболее разработанными и универсаль '-ными численными методами являются метод'конечных элементов и конечно-разностный метод, которые требуют дискретизации всего тела. Однако в задачах для тел'двух- и трехмерной сложной конфигурации ( особенно в случае массивных и неограниченных тел с внутренними границами сложных очертаний) необходимость дискретизации всей рассматриваемой области, трудоемкости за -дания дискретной модели тела являются"значительными препятствиями для эффективного использования их в решении плоских . и• пространственных задач термоупругой статики и квазистатики. Метод граничных интегральных уравнений (ШУ) или, в другой терминологии, метод граничных элементов (МГЭ), который даёт

■ возможность.'переводить условия краевой задачи границу облао ! ти и-тем самым понижает размерность задачи-на единицу, обла-.-дает в 'этих случаях высокой эффективностью. ■ Перевод'условий краевой задачи-на границу области позволяет при численной -реализации (т^е. приприближенном решении ГИУ) выполнять ди . скретизацию только границы области. Это,' естественно, приво ;дит к. существенному "уменьшению -числа дискретных .Элементов п . сравнению с. методами, требующими внутренней дискретизации • ' области. При этом погрешность вносится лишь из-за прближе* 'ного решения ГИУ,'-что-эквивалентно внесению погрешности тог • ко в краевые условия. "

" • Если, для статических-и-динамических'задёя теории упругости -метод ГИУ нашел широкое распространение в технически: приложениях, то применение'метода ГИУ'в, .задачах т'ермоупру-. гости находится- лишь в'начальной стадии. В частности, при. . менение метода ШУ. в квазистатических задачах термоупругости может быть-.осуществлено с'.двумя еле пухшими подходами: • - . • а)-применяется интегральное лреобразование Лапласа (и .Фурье)'по времени к дифференциальным-уравнениям, определяю •- щим •соотношениям' и краевым условиям' вышеупомянутых задач термоупругостизатем эти задачи решаются-с помощью.'-извест ' . них численных процедур; '*-

. •б) время-учитывается явно, так же, как'и пространстве - ные'координаты, путем использования фундаментальных решен! . - квйзистатическрй термэуппугости в трех- или -в четырехмерна пространстве - времени -й.-соответствуквдкс формул представ 1« ".-ния решения'и задачи реализуются с -применением йнтерподяц' ;на сетке.'(или на одномерном граничном элементе) по времен: . ■ и. шаговой процедуры.' • ' .

Второй подход, обладает, определенными пpви^/^p^ecтвaмй -сравнению с-.исгГоЛьзующим'интегральное преобразование по' в ни вариантом метода- ИУ/Это связано с тем, что в этом сл решение сразу отыскивается в пространственно-временной об сти, которое позволяет избежать большой серия високоточнг расчетов в изображениях ввиду некорректности по А.Н.ТихОг

задач« обргмошш.

Таким образом, актуальной япляется проблема разработки метода Ш7 ( использующие второй подход для квйтлоттгячоских задач) для решения задач статического и клазистатического деформирования термоупругих тол. ,

Цель рпоотц. Разработка о'1их?кти:'цого метода ШУ для численного решен;:-! л.в,ух— и трехмерных задач статического и ква -зистатичоского >и-.х>рмпрования .торшупругнх тол произвольной кояЛигуращш, построение и исследование численшх методов ШУ ; создачни реализующего метода РЛУ пакета программ для численного решения конкретшх пршелэдипх задач классической гермоуггругосги. .. '-

Оснопние раздели диссортационлой работы выполнялись в зоответстЕип о направлениям!! научных исследований Института латеглатики и .леханнки Академии наук Азербайджанской респуб -шки 11 —10 я пятилетки по координационному плану АН ;СОР, проблема 1.10.;- ".Механика деформируемого твердого те -ю".

Пошзна полученных.результатов и их научная ценность, 'заработан новм:1 метод ШУ для численного решошш двух- и 'рехглерных статических и квазистатичоских задач классической [ оообщенноД ( а постановке Лорда-Шульмана) термоупругости.

Б ходе разработки метода построены новый аналог статиче-¡кой и шшзистатичсской теоремы взаимности для термоупругих ел, новые формул!,! представления перемещений п температуры, •апрянешш и тонлопого потока, ношо явные аналитические выра-:ения кзазистатических ( случай обобщенной связанной термоуп-угон квазистатики не рассматривается) фундаментальных решэ -ий для тормоупругой среда. Доказана теорема о среднем в тэр-остатике. Исследованы граничные свойства- термоупругих потен-иалоз и осуществлена граничная интегральная (Ьорцулировка ис-одшх красвих и начально-краевых задач.

Построены и численно исследованы шаговые по времени ¡гсленные схемы метода Г;1/. Разработай пакет программ, реализаций метод ГЛУ для несвязанных двухмерных квазистатических

задач классической гермоупругости.

С помощью созданных программных средств получены численные решения некоторых практически ваши двухмерных квазиста -тических задач термоупругого деформирования :

- квазистатическое деформщюваниб бесконечно длинного кругового цилиндра, на боковой поверхности которого происхо -дит нестационарный теплообмен с окружающей средой ;

- квазистатическое деформирование корпуса водяного насоса, на внутренней и внешней поверхностях которого осуществляется теплообмен с водой и воздухом соответственно ( эта же задача решается с учетом действия внутреннего давления) ;

- квазистатическое деформирование квадратной ( с круто -вым отверстаем) пластинки, границы которой подвергаются теп -ловому воздействию конвективного типа ;

- квазистатическое деформирование прямоугольной пластинки (с прямоугольным отверстием), границы которой подвергаются тепловоз воздействию конвективного типа.

Совокупность полученных в диссертации результатов можно квалифицировать как новое перспективное направление в линей -ной теории упругости с сопряженными полями для приложений в комплексных проектно-конструкторских разработках новой техники и промышленных сооружений.

Практическая ценность работы состоит в дальнейшем раз -витии метода Ш7 и создании численных алгоритмов и программы для изучения процессов статического и квазиетатическсго де -формирования термоупругих тел. Подученные результаты могут быть использованы для расчета на прочность элементов кон -струкций, подвергавшихся воздействию силовой и тепловой на -грузки.

Часть этих результатов внедрена в инженерную практику на п/я A-I70I ( г.Москва), АзИНМАШе ( г. Баку).

Обоснованность основных научных результатов» Обоснованность основных теоретических результатов ( новый аналог reo -ремы взаимности, формулы представления перемещений и температуры, напряжений и теплового потока, явные выражения для фун-

дамеитальшх решешй, гранично-интегральная формулировка рассматриваемых классов задач) определяется строго доказательным характером их получения из общих уравнений линейной теории гермоупругости, совпадением в частных случаях с известными результатами. Корректность построенных численных схем проверя -иась их тестированием на задачах, имеющих точное аналитическое решение, численными экспериментами при различных степенях цискретизации. Достоверность полученных в работе решений конкретных задач ц выводов на их основе подтвервдена согласованием расчетных результатов при различных дискретизациях сравнением IX с имеющимися в научных публикациях данными и внедрением разработанных численных методик и полученных результатов в расчетную практику ряда организаций.

На защиту выносятся:

- новый аналог теоремы взаимности и формулы представле -й1я перемещений и температуры, напряжений и теплового потока уи статических и квазистатических задач классической и обоб -ценной термоупругости ;

- ноше аналитические выражения фундаментальных решений свазистатической термоупругости, за исключением обобщенной ¡вязанной термоупругой квазистатики ;

- доказательство теоремы о среднем в термостатике ;

- граничные свойства термоупругих потенциалов и гранич -гая интегральная формулировка основных щюевых и начально-паевых задач ;

- численные схемы метода ГЛУ для квазистатических задач яассической и обобщенной термоупругости ;

- результаты численного решения на основе метода ШУ не -;оторых сложных задач квазистатического термоупругого деформи-ования.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной аботы докладывались и обсуждались на I Всесоюзной, конференции о численной реализации физико-механических задач прочности Горький, 1933 г.), на I Всесоюзном симпозиуме по математиче-кш методам механики деформируемого твердого тела ( Москва,

•J

¿г 84 г.), на Г/-IX республиканских конференциях молодых ученых по математике и шхаингсо ( ¡¿псу, I9;Jo-i9U0 гг), на /Ш Всесоюзном школа-сошпюрэ 'Метол, коночных олег.-.енто;? р. ппхани-ке даГюршгоуомого твердого тола" ( Напорот,о, 1У8о г.), на if Всесоюзно!: кон юронцпи по механике неоднородных структур ( Льнов, 1987 г.), на Польской кон'оерегщии по моха/гаке

сплошных сред ( Козубник, 1990 г.), на годовой научной конференции общества математиков и механиков Германии ( Краков, 1991 г.), на Международном симпозиуме по механике сплошной среды и родственным вопросам анализа, посвященном 100-лотгао со дня роздения акад. Н.'Л.Лусхолшшили ( Тбилиси, 1991 г.), на П ¡Зсосоюзной конференции "действие электромагнит!!!ix полей на шястичность и прочность материалов" ( Юрмала, 1УУ0 г.), на I-Iti рабочем совещании "Метод граничных интегральных, уравнений. Задачи, алгоритмы, программная реализация" (г. Пущино Московской обл., I984-I98G гг.), на общеинститутском семинаре Института математики и механики АН Азерб. республики под руководством акад. у.ГЛЛаксудова ( Баку, £984-1992 гг.), на се-минаэс лаб. механики прочности н разрушения-материалов под руководством проф. Р.¡Ч.Гольдитойе ( Москва, Г9В7 г.).

Публикации. По теме диоссртатдш автором опубликовано с*!НШ0 35 научных работ, ¡1 аи-горсЬаратс приводен список, содержащий 22 основных работ.

Объем и структура работы. Диссертация содершт 318 страниц, в том числе 45 рисуггков и II таблиц и состо :т из вводе -ния, шести глав, выводов, библиографического списка, включающего 354 наименования, и придолешга.

краткой .десэтАЩШ

Но введении обоснована актуальность теш диссертационной работы, сформулированы цолн исследования и основные на -учше положения, которые выносятся на защиту, приведены краткие аннотации всех глав ддасёртащш., .

В первой главе дан обзор имеющихся достижений и проб -лем. по численному рошопию двух- и трехмерных статических и

:вазистагическнх задач классической и обобщенной термоупру-юсти с помощью метода ГИУ. Определена новизна основных на-гчных положений, которые выносятся на защиту.

Во второй главе строятся формулы взаимности и интег ->альные представления общих решений для статических и квази-:татических задач классической и обобщенной термоупругости. !ти интегральные представления выражаются через соответствующие термоупругие потенциалы. '

В п. 2.1 приводятся основные уравнения для "вышеуказан -шх 1фаевых и начально-краевых задач классической и обобщений терглоупругости и устанавливается связь между этими урав-гениями.

Построение формулы ^взаимности и интегральных представ-гений общего решения для связанных квазистатичеоких задач )бобщенной термоупрутости и переход к остальным термоуцругим ¡адачам осуществлены в п. 2.2.

Рассмотрим в пространстве Е ( /V = 2 или /V = 3 ) од-юродное анизотропное термоупругое тело В , которое занима-¡т область V с границей $ . Механические и теплофизиче -

:кие свойства этого тела характеризуются коэффициентами СцкЬ , ' ' ~ соо,гветственно ( =

фи N - 3 и 1,],к,6 = 1,2 при N = 2). Предполагает-:я, что коэффициенты Сцкб . А ¿у , ¡3^ обладают ¡войствами симметрии.

Внешние источники ( массовые силы X; , поверхност -ше нагрузки р^ , тепловой источи гас & и нагрев поверх-юсти тела до температуры Т ) приводит к возникновению в »том теле перемещений м- ( х , £ ), температуры

Т ( Х^ ), напряжений ¿¿у ( х , Ь ), теплового потока - О, ( х , t ) и деформации ¿¿у ( я , £ ), причем х -?очиа в £ ^ , t - параметр времени. Наряду с системой величины , Рг , & , Т*) рассмотрим вторую систе-1у величин , , Т' ] , которые действуют

1а формально сопряженное тело, обозначаемое через В' . При этом возникающие в формально сопряженном теле перемещения, тепловые .потоки, температуры, напряжения и деформации

- о -

обозначим через К/ ( X , t ), О! ( х , t ), Т\хА\ ё^ ( X , ) и ( х , ) соответственно.

Формула взаимности, полученная в п. 2.2 с применением преобразования Лапласа для связанной квазистатической обоб -щенной термоупругости, тлеет следующий вид :

Л К* (хЛ-тЖ^ (х,г) -и1 (х^-г;] ¿Ух+

оУ

+ [¿(Я.т; - ¿{х^-ъ) Т(х,Ъ)\ ¿гх &г+

оу.

+ |сг [г ; + ЪТ°(х)Т'(хЛ)+%

V *

V оЯ

- Г '(X, г-с)а (х,т)] (¡$х с/т ~Л (х,ь-ъ) д- -

- Ь-Г)] , (I)

гпО °

где ^ - время релаксации, 7 ( )i ¿ц ( X ) - на -чальные значения температуры и деформации, Т1{ X ) — начальное значение ЭТ / ЭЬ ; &0 - абсолютная температура недеформированного состояния.

При этом учтено, что для формально сопряженного тела

т ст ("у* чк)-в* Рч г $ ~ ¿у ъ •

С помощью соотношения взаимности (I) в п. 2.2 получены следующие формулы представления перемещений я температуры в теле 3: при

11 т Ущ -

V/ [Щ^Н^ЬПпЦЛ™)ЧфЩ«* (2}

о/

где К1т ( ^ , х , t ), Т*{ у , X , Ь ), ,х, )

и Ж; ( ^ , X , t ) - компоненты фундаментальных решений сопряженной системы дифференциальных уравнений, которые легко выражаются через фундаментальные решения исходной системы;

). . * >. вг ( У ,Л ) И

НI \ у , X ,~Ь ) - соответствующие сингулярные решения ; через Уп обозначены суммы ин -

тегралов типа потенциала, плотностями которых являются компоненты объемных нагрузок ( Х{ ) и источник тепла ( С ), а через ( X ,t)УíVe{X,t ) обозначены суммы ин -

тегралов также типа потенциала, плотностями которых являются начальные данные ( Т° , Т1 » ).

В п. 2.3 в результате замены в равенстве (2) обозначе -ния индекса т на / и воздействия на обе части это равен -ства оператором Сш%1к Э/дх^ и учета закона Дюгаме-

ля-Неймана получены интегральные формулы для напряжений ( ¿т-с^Я » * >>•

Формула представления для теплового потока ( ¿2 {Л , получается в этом же параграфе путем воздействия на обе части равенства (3) оператором д/дп* (0С)~71 Г11(х) 2/9х-( N = 2 или N = 3). ^

Распространение формулы представления для перемещений м температур, напряжений и теплового потока на случай бесконечной области V осуществляется при ограничениях на харак -тер убывания ядер интегралов в этих представлениях при а также на поведение перемещений и температур, напряжений и теплового потока на бесконечности.

Формулы взаимности и соответствующие интегральные представления для несвязанных квазистатических задач обобщенной термоуцругости вытекают непосредственно из вышеуказашшх со -отношений ( выписанных в изображениях по Лапласу) при 0О =0. Если в этих соотношениях примем,•что = 0, то тогда црихс дим к формулам взаимности и интегральным представлениям обще го решения для связанных квазистатических задач классической термоупругости. При 60 = = 0 мы получаем подобные формулы для несвязанных квазистатических задач классической термоупругости.

Аналогичные формулы для термостатики подучены при Т = р = 0 ( где р ~ параметр преобразования Лапласа) из формулы взаимности и соответствующих представлений квазиста тических задач несвязанной классической термоупругости, за писанных в изображениях. Эти результаты находятся в соответ ствии с результатами, подученными ранее Ю.Д.Копейкиным и В.П Шишкиным, М.И.Лазаревым, Ф.Риццо и Д.Шиппи и др.

Третья глава посвящена получению фундаментальных и син гулярных решений для двух- и трехмерных квазистатических за дач ( случай связанной обобщенной тердаупругой квазистатики не рассматривается) классической и обобщенной термоупругости ( для однородной изотропной термоупругой среды). В частно сти, выписаны фундаментальные решения термостатики и доказав теорема о среднем в термостатике.

Некоторые замечания по поводу построения фундаменталь -шх и сингулярных решений квазистатической термоупругости . изложены в п. 3.1.

В п. 3.2 с применением преобразования Лапласа удалось юстроить в истинном времени компоненты фундаментальных ре -пений, соответствующие единичному сосредоточенному импульс -юму источнику тепла для двух- и трехмерной несвязанной свазистатической обобщенной термоупругости. При этом использовано представление Гудьера для перемещения. Вышеназванные эешения выражаются следующими формулами

- ех/>(-Щ)[1-ех/>(*;)(1-К)] \ +

т' 311 + 4К К

- для трехмерных задач

ксь(£Ш\ иа-л*) + ж>

2% дя-п,

- для двухмерных задач.

(с-)

(?)

Здесь . •

Г, .

г, -!

■ х* - . *

К - ;

- ? Ф™1* ДиРака «

Н{- функция Хевисайда ; ~ модифицированная

функция Бесс едя ; ск - гиперболический косинус ; (¿¡ЦгУ^ -

скорость распространения тепла в рассматриваемом теле ;

Другие компоненты фундаментального решения совпадают с одноименными компонентами изотермической эластостатики. Доказывается, что решения (С) и (7) при -(I переходят к соответствующим решениям классической' теплопроводности и термоупругости. Связь между компонентами фундаментальных решений сопряженной и исходной системы устанавливается с по -мощью формулы взаимности и для рассматриваемого случая эта связь определяется по равенствам

^ - я* < •

Т* (х, у, г) - Т^ (у.ъО

В, случае классической торглоунругостл фундаментальные решения для связанных квазистагкчеокнх 'щ>.лоущ>угях задач строились ранее в работах В.Ноиацкого в интегральных пред -

ставлениях:

В п. 3.3 рассматривается вопрос о построении фундамен-' тальных решений в явном виде для классической ' связанной и -. -.несвязанной квазистатической 'термоупругости, в частности, получены фундаментальные решения термостатики.-При определении компонентов -фундаментальных решений от мгновенной•еди — ничной массовой нагрузки перемещения и массовые силы разбиваются на потенциальную и соленоидальную части,-объемная плотность источника тепла и начальные данный'считаются ну -левыми. .'. •

• Учет.этих представлений в исходных уравнениях приводит к новой системе дифференциальных уравнений относительно по -.тенциала термоупругого перемещения Ф \ { X , t ), температуры Т (•£.,£-) и соленоидального вектора ( ¿27 , £ ). Затем с применением преобразования Лапласа в'пространстве . изображения получаются аналитические выражения для функции. • ф { X , р), Т ( гс , /9 ) и Ф (а: , /з ). Искомые компоненты фундаментальных решений определяются через эти функции.

При определении компонентов фундаментальных решений от мгновенного единичного источника тепла перемещения выра -• жаются только через потенциалы термоупругого перемещения (в отличие от предыдущего случая), массовые нагрузки и началь -яые условия считаются нулевыми. Полученные уравнения решены с использованием преобразования Лапласа и значения неизвестных функции ( Ф ( ¿С , £ ) и Т {¿С > t )) определены в пространстве изображения.

Переход к компонентам фундаментальных решений несвя -занной термоуцругой квазистатики и термостатики осуществлен л обоих случаях путем фиксирования значения соответствующих постоянных величин.

Применяя обратное преобразование Лапласа к построенным решештягл, наедены в истинном времени фундаментальные решения для вышеупомянутых задач классической термоупругости.

В п. 3.4 доказана теорема о средней для дЕух- и трех -мерных задач термоупругой статики.

В четвертой главе осуществлена граничная интегральная формулировка основных двух- и трехмерных краевых и начально-краевых задач (статических и квазистатических) классической и обобщенной термоупругости.

Первый этап осуществления такой формулировки состоит в исследовании граничных свойств соответствующих термоупру -гих потенциалов. Опираясь на результаты предыдущей главы, показано, что эти потенциалы обладают свойствами, аналогичными свойствам упругих потенциалов, которые подробно изложены в известной монографии Купрадзе В.Д., Гегелия Т.Г., Башелейшви ли М.О., Бурчуладзе Т.В. "Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости" (1976 г.). На основании этого в п. 4.1, 4.2 установлено, что при достаточной гладко сти границы тела и плотностей потенциалов статические и ква зистатические термоупрутие потенциалы простого слоя непрерыв но продолжили на границу, а статические и квазистатические термоупругие потенциалы двойного слоя терпят такой же скачок как в упругой статике. Получены также формулы предельного перехода для оператора термонапряжений от термоупругих поте циалов простого и двойного слоя.

На базе этих результатов в п.4.3,4.4 осуществлен для те моупрутэго однородного изотропного тела предельный переход I формулах представлений для перемещений и то;,пера туры на границе В частности, для классической связанной квазистатической тех моупругости соответствующие граничные равенства ( при умеш шакхцем громоздкость записи предположении об отсутствии объе! ных сил, источников теши и начальных условий) имеют вид :

у t

(у.асЛ-*)щ (у,т)с-

о 4 о£

1 t г т

oS "

t

oS

~ = o, xe $. сто)

Равенства (9) и (10) имеют смысл только дал гладких поверхностей. Эти равенства могут быть распространены также и в кусочно-гладкие границы. При этом нужно использовать регу-лярвде представления сингулярных интегралов, предложенные П.И.Перлиным (1973 г. для статических потенциалов) и U.M. Хуторянским ( 1986 г. для динамических запаздывающих потен -циалов).

Граничные равенства для перемещения, температуры, по -верхностных сил и теплового потока являются основными при определении неизвестных граничных значений этих функций. С формальной точки зрения для нахождения неизвестных граничных величин при любом типе краевых условий достаточно ислользо -вать лишь две из этих равенств. Однако при смешанных 1фаевых задачах удобно использовать равенства для перемещений и температуры на той части границы, где неизвестны поверхностная нагрузка и тепловой поток и равенства для поверхностных на -грузок и теплового потока на той части границы, где неизвестны перемещения и температура. При численной реализации такой подход ( идея этого подхода была предложена А.Г.Угодчиковым и Н.М.Хуторянским, 1979 г.) порождает дискретные уравнения с хорошо обусловленными матрицами.

В п. 4.4.2 этот подход применен к построению парных граничных интегральных уравнений второго рода термоупругой статики для смешанных краевых условий.

В пятой главе изложены разработанные в диссертации численные схемы метода граничных интегральных уравнений для двух- и трехмерных квазистатических задач классической и

обобщенной (несвязанной) термоупругости. .

В п. 5.1 описаны апцроксимавди границы рассматриваемого ,. тела и граничных функций и построены дискретные аналоги П1У. .

Дискретное представление границы тела осуществляется с помощью треугольных и четырехугольных граничных элементов (в. двухмерных задачах - с использованием одномерных конечных элементов различной формы), задаваемых параметрически на каноническом треугольнике или каноническом квадрате ( или отрезке в случае двухмерных задач) с помощью функции формы, по локальным координатам.

Декартовы координаты произвольной точки граничного элемента выражаются через координаты узловых точек, принадлежащих . границе £ и функции формы от локальных координат. Строится дискретный аналог S границы /? совпадающий с S по ^ крайней мере, в узловых точках х 1 , причем построение $ осуществляется таким образом, что обеспечивается непрерыв -ность декартовых координат на Д* .С применением локальных координат на $ задается лагранжева интерполяция граничных функций, входящих в граничные интегральные уравнения, для каадой из которых выбирается некоторая система узловых точек на / . Аппроксимация по времени граничных функций осуществляется с помощью интерполяции относительно узлов по элементам {¿"^ ( $ 1, ... у F ) на некотором интервале вре -мени [tf_ 1, tj ] . Пусть f ( ^ , t ) - одна из грашч -ных функций ( перемещения, температура, напряжения или тепло -вой поток ) на S , [Xе} ( В = 1,..., L* ) - соот -ветствукхдая ей система узловых точек на S » {'V/j ( 5 )} -функция формы (/3=1,..., М* - номер узла в элементе)

относительно граничного элемента ( --1..... М )»

{ ЧГ^ С?)} ~ функция формы относительно временного элемента,

где аС = 1,..., N* .

^ Тогда лагра!г«ев инторполянт функции <f { у- , t ) на и на [¿у, tj_1 ^ запишется, соответственно, в еидэ

fl-1

Ы*

сСш 1

Затем рассмотрено построение дискретного аналога 1ИУ для однородного изотропного термоупругого тела при отсутствии источнику тепла, объемных нагрузок и нулевых начальных уело -вий. В начале дискретный аналог строится для 1ИУ связанных квазистатических задач классической термоупругости и затем осуществляется переход к дискретным уравнениям остальных краевых задач. При этом применяется метод коллокации и ис -пользуется кусочно-постоянная или кусочно-линейная интерпо -ляция по времени, на равномерной системе узлов. Пусть У = ^ ) ( или у = ( , )) - искомое

решение этого уравнения, которое приближенно представим в форме (II) и (12) ( при этом могут быть использованы аппроксимации различного порядка по граничному элементу). Известныо функции представим в аналогично^ виде. Выбирая в качестве узлов коллокации у зли интерполяции для у и вычисляя ин -тегралы в ГИУ с помощью формул численного интегрирования, получим дискретный аналог ГИУ связанных квазистатических задач классической термоупругости в виде ( для интегральных равенств перемещения и температуры )

/-/ й-1 <¡,-1 р-1

(5~1 '

¿íxf [n/W^w-

/=f oi-1 1-1 fi

Г ** * , (I4)

/•7 OÍ«J 1*1 £ m1

Дискретные аналоги для ШУ несвязанных квазистатических задач классической и обобщенной термоупругости получается непосредственно из формул (13) и (14).

В случае термостатики они совпадают с дискретными уравнениями, построенными в работах Р.В.Гольдттейна и М.Н. Пе -рельмутера.

Далее рассмотрен вопрос о вычислении коэффициентов дискретного аналога 1ИУ.

При вычислении коэффициентов дискретного уравнения осуществляется точное аналитическое интегрирование по временной переменной ( в случае кусочно-постоянной и кусочно-линейной аппроксимации по временному шагу) и приближенное численное интегрирование по граничным элементам. Численные интегрирования по элементам, содержащим точку коллокации, производятся путем преобразования элементов к безразмерным элементам, в которых в свою очередь вводятся локальные системы координат, понижающие особенность.

В п. 5.2 и 5.3 приводятся дискретные аналоги формулы для напряжений и теплового потока и рассматривается вопрос о вы -числении напряжений в граничных точках.

В шестой главе проведены ряд численных экспериментов и изложены результаты численного решения некоторых двухмерных прикладных задач квазистатического деформирования термоупру -гих сред. Решение выполнялось с помощью численных алгоритмов и программных средств, рассмотренных в пятой главе. Тестиро -

ваиис данной- реализации численной схемы осуществлено в п. 6.1 на задаче о квазистатическом деформировании бесконечно длинного кругового цилиндра, на боковой поверхности которого происходит нестационарный теплообмен с окружающей средой;

Численно-Аналитическое решение этой задачи приведено в монографии Д.В.Коваленко "Термоупругость" (1975 г.). Задача решалась для 1/4 части сечения цилиндра с исходными данными, использованными при численно-аналитическом решении.

На рис. 1а, 16 представлены графики изменения во времени температуры и окружных напряжений в граничной точке ,ци -линдра, построенные как с применением метода ШУ, так и на основе численно-аналитического' подхода. Результаты близки между собой и кривые, отражающие эти результаты, фактически совпадают.

На основе численных экспериментов исследовано влияние дискретизации по времени и по границе тела на устойчивость разработанного численного алгоритма и сходимость решения. Результаты исследований подтверждают, что вычислительная схема является устойчивой ( независимо от шага по времени и размеров граничных элементов). Установлена также сходимость численных решений к точному решению при уменьшении шага по времени и сгущении граничных элементов.

В п. 6.2 приведены решения задач о квазистатическом деформировании корпуса водяного насоса, стенки которого подвергаются тепловому воздействию конвективного типа. Напряженно-деформированное состояние насоса изучено в интервале времени ( 0 , 600 с) с временным шагом й t = 30 с я 60 с. С учетом симметрии задачи рассматривается только одна четвертая часть насоса ( см. рис. 2а, 26).

Предполагается, что в плоскостях перпендикулярных к третьей координатной оси ( XJ ) и плоскостях сишетрии, тепловой поток и нормальные компоненты перемещения; равны нулю.

На внешней границе насоса теплообмен происходит^с воздухом, а на внутренней границе - с водой.

Расчеты проводились при следующих данных: начальная температура Т°=0°С, коэффициент теплопроводности Х0 =15,У Вт/(м-°С), удельная объемная теплоемкость С^ = 3,816-10° Дж/(м3-°С), температура воды Твод= 120°С, температура воздуха Т„„,= Ю°С, коэффициент конвективного теплообмена с водой: EUoД . " о л

Ы, 2948,1 Вт/(м • С), коэффициент конвективного тепло" / О п

обмена с воздухом: où __._„= 15 Вт/(м • С), модуль Юнга Е = = 210 МПа, коэффициент Пуассона V = 0,3 : коэффициент линейного теплового расширения o&t = Ю-4 °С . Данная задача решалась в двухмерной постановке (как плоская деформация).

Было изучено поведение температуры и напряжений в харак -терных точках сечения в разные моменты времени.

На рис. 2в представлен график изменения во времени темпера туры в характерных точках сечения (в точках А, В, С).

Видно, что наибольшее возрастание температуры во времени наблюдается в точке А.

На рис. 2г представлен график изменения во времеш нормаль ного компонента напряжений ( ) в точке С внутренней по -

верхности. Кроме того, эта же задача была решена с учетом внутреннего силового давления в п. 6.2.1.

В п. 6.3 изучается плоское напряженное состояние квадратной с круговым отверстием пластинки (при тепловом воздействии конвективного типа) мезду t = Оси t = 1800 с .временным шагом ài = 60 с (см.рис. За). Считается,что две параллельные внешние границы пластинки теплоизолированы, а на ок -ружности и не теплоизолированных наружных границах происходит теплообмен с воздухом, причем Т°=0°С, Х0 =15,9 Вт/(м -^С), X = 4,167-Ю-6 м2/с , Тн = 250°С, Ы,„ = 15 Вт/(м2- °С), 1g = 50°С, cLt = 29,48 ВтДм2. °0), Е = 210 МПа, V =0,3,

oit = 10^ °СП1. ( здесь " « "означает "наружный", а " $ " означает "внутренний").

Результаты исследования изменения во времени температуры в характерной точке С пластинки при разных значениях

h отражены на рис. 36. На рис. Зв приведены кривые

)тражаицие результаты аналогичных исследований для нормаль -юго компонента напряжений

П. 6.4 посвящен изучению плоского напряженного сосТоя-шя прямоугольной ( с прямоугольным отверстием) пластинки гри тепловых воздействиях конвективного типа.

Рассматривалась 1/4 часть пластинки ( с учетом физиче -жой. симметрии-задачи), и задача решалась в предположении, ito на внутренней и внешней границах пластинки происходит теплообмен с воздухом. При этом значения коэффициентов тепло-зтдачи и температуры окружающих сред в разных участках границы разные, и начальная температура отлична от нуля.

Распределения температуры и компонентов напряжений по контуру пластинки представлены в диссертации в виде соответствующих графиков.

В приложениях даны результаты вычислений интегралов по временному шагу, методика преобразования некоторых объемных интегралов к поверхностным и приведены акты о внедрении ре -зультатов диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

I. Разработан эффективный метод 1ИУ для численного ре -тения двух-.и трехмерных задач статического и квазистатиче -ского деформирования, классических и обобщённых термоупру -гих тал произвольной конфигурации ('за исключением связан -ной обобщенной термоупругой квазистатики ввиду отсутствия фундаментальных решений).

При этом для данных задач построены :

а) новый аналог формулы взаимности ;

б) новые формулы представления для перемещений и температуры, напряжений и теплового потока ;

в) новые явные аналитические выражения фундаментальных и сингулярных решений, кроме того, исследованы граничные свойства соответствующих термоупругих потенциалов,на основе чего осуществлена интегральная формулировка в истинном времени исходных краевых и начально-краевых задач и доказана

теорема о среднем в термостатике.

2. Построены численные схемы методики и алгоритмы метода 1ИУ для численного решения вышеупомянутых задач термо -упругости.

С помощью численных экспериментов показана сходимость и устойчивость разработанных численных процедур для случая изотропных сред.

3. На основе метода ШУ разработаны программы'для ком -пьютеров типа 1ВМ РС ХТ, обеспечивающие на базе программного комплекса "МЕТРЕ" автоматизированный расчет плоского квази -статического деформирования термоупругих изотропных'тел в несвязанной постановке.

4. С помощью созданных программных средств получены решения важных прикладных задач несвязанной термоупругой квазистатики ( при внешних силовых и тепловых воздействиях).

5. Исследовано влияние внешних воздействий и характер -ных величин на напряженно-деформированное состояние рас -сматриваемых конструкций.

Пользуясь случаем, выражаю свою исщюннюю благо- * дарность проф.. Р.В.Гольдштейну за постоянное внимание к работе.

Основные результаты работы отражены в следующих публикациях

I..: Применение метода тепловых потенциалов в нестационарных задачах, теплопройодности .//Материалы 1У респ. конф. молодых ученых по матем. и мех., поев. 60-летию образ. СССР. Баку: Элм.. 1983. С. 189-191.

2. К теории потенциала для квазистатических задач несвязанной термоупругости // Деп. в ШНШ & 3103-84. Деп., 1984. 18 с.

- ;ГЗ -

3. Об одном подходе к решению плоских и пространственных квазистатичесгагх задач несвязанной термоупругости методом потенциала //Тез. доклада П ТЗсесоюзн. копф. по теории упругости.- Тбилиси, 1984 ( Соавт. 'З.Д.Гаджиев).

4. Об одном представлении общего решения уравнении плоских квазистатических задач несвязанной термоупругости // Шт. У респ. конф. молодых учеши по математике и механике. Баку: ЭЛ1Л, 1984. С. 184-190.

5. Об одном подходе к решению трехмерных задач стационарной термоупругости методом потенциала // Деп. в ВИНИТИ

& 5328-85 Доп. 1985. II с.

6. Применение метода потенциала в задачах термоупругости // Тез. док. Бсесоюзн.конф. по мехаштке неоднородных структур. Львов, 1987.

7. Применение метода потенциала в задачах термоупругости // Препринт Л 236. ИФАД Азерб.ССР, 1987, 78 с.

8. К построению граничных интегральных уравнений для краевых задач стационарной термоупругости // В сб.: Механика деформируемого твердого тела, вып. о. Баку: Элм, 1988.

с. 177-194.

9. 0 некоторых фундаментальных решениях в двумерной теории термоупругости // Изв. АН Азерб. ССР. Сор. физ.-тех. и мат. наук. Вып. 3-4. Баку: Элм, 1989.

0. Об одном численном методе решения граничных интегральных уравнений квазистатических задач несвязанной термоупругости // Язв. АН Азерб. ССР. Сер. физ.-тех. и мат.наук. Вып. 1-2. Баку: Элм, 1990.

1. О построении формулы взаимности и интегральных представлений общего решения для квазистатических и динамических задач несвязанной обобщенной термоупругости // Прик. мат. и №. Т.54. В. 6. 1990. С. 992-997.

12. К теории потенциала для двухмерных квазистатических задач связанной термоупругости. Прик. пробл. прочности и пластичности // Всесоюз.межвуз.сб. Горьк.ун-т.

1990. Вып. 44. С. 34-40.

13. Применение метода потенциала в задачах классической и обобщенной термоупругости // Тез.доклада Всесоюз. конф. "Интегральные уравнения и краевые задачи математической физики". Владивосток. 1990. С. 24.

14. К теории потенциала для двухмерных квазистатических задач несвязанной термоупругости // Математические методы и физико-механические поля. Всесоюзн.межвед. сб. "Наукова думка". 1991. Вып. 33. С. 48-63.

15. Интегральные представления общего решения и граничные интегральные уравнения трехмерных квазистатических задач связанной термоупругости // Изв. АН СССР, МГГ, & I,

1991. С. 34-41.

16. Интегральные представления общего решения и граничные интегральные уравнения двух- и трехмерных квазистатических задач несвязанной обобщенной термоупругости // Препринт X 502 ИШ АН СССР. 1991. 33 с.

17. К решению квазистатических задач классической и обобщенной термоупругости // Тез. доклада Меящународного симпозиума по механике сплошной среды и родственные вопросы анализа. Тбилиси. 1991. С.98 (Соавт.Ф.Г. Максудов).

18. Применение метода потенциала в задачах несвязанной обобщенной термоупругости //Третья Всесоюз. конф. по механике неоднородных структур- Тезисы доклада. Ч.г.Львов. 1991. с. 201.

1v. Potential Theory for quasi-static problens of uncou^l^u tliernoclacticit; //In.J. Thermal Streses. Vol.12,No.3, 1 j'jO. i-. (Gc.- author H.G.Uakaudov)

¿0. Application, of the potential raothod to classical and general thornoeiasticity problems //¿6-th. Polish. Solid mechanics conferoncc. Kocubnik, 1990. P. 175-176. (Co.- author F.G.tiaksudov).

21. Potential theory for quasi-static problems of classical and general theraoela3ticity // GAJ.BJ Congress, Cracow, 19S1. -P.92.

22. Boundary integral eqation method in the quasi-static problems of classical and general thermoelasticity // 13-th Inter. Congress -of theore. and appl.mechanics. Haifa, Israel, 1992. (Co.- author P.G.llaksudov).

т

грос». С

¿00

300

."•00

100

--------- ----------

да»

0.0

+ •

X ■

<!■ ■ и ■ х • м) ■

50 0

-50 -100 -150 -200 -250

-300

С + ■

х ■ ф • В ■

г ■ к •

0.2 1=180 с

1=300 с 1=540 с 1-180 1=300 с 1=540 с

0.4 0.6

шаг по Ьремени 30 с* ПГЭ Решение-. Ко1>алвн»о Р.Я.

0.8

0.4 0.6

тая по Ьронеми 30 с. ИГЭ решение. КоЬаламко Й.Д.

0.6

г/Я

в

г

- 29. -

Ч

Ts 1

т

t

Í

т.

•pa9. с

â» Wie

2000

1750

1500

1250

1000

0 .

О +■ —

X -

160 3 50 5*0 720 9» 1 »0 126Ú lUö 1

L/H-4.00 8РСЯЯ. .

НЯПРЖЕНИЯ Ь п. С 1/П-2.Х и IU0.50

160' 360' SAO 720 900 108Ó 126Ó 1*40 162Ö

+ __L/P«4.00 ВРОЮ. е

X - ТЕМПЕРАТУРЯ I т. С UR-2.2Ç *• - L/R»0.50

ЛЮ.З