Эффективное решение некоторых граничных, гранично-контактных и смешанных задач классической теории упругости и термоупругости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

стр.

ВВЕДЕНИЕ. 2

Глава I ЗАДАЧИ ТЕШОЭЛАСТОСТАТИКИ ДЛЯ КРУГОВЫХ ОБЛАСТЕЙ

§ I. Эффективное решение основных граничных задач термо-эластостатики для круга и бесконечной плоскости с круговым отверстием . 9

§ 2. Решение гранично-контактных задач термоэластостатики для составного круга и кольца. 32

Глава П

ЗА ДАШ ДИНАМИКИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ КРУГА И КОЛЬЦА

§ 3. Решение первой и второй основных смешанных задач динамики для круга. 55

§ 4. Решение основных гранично-контактных задач динамики для составного круга и кольца . 65

Глава Ш

ГРАНИЧНЫЕ, КОНТАКТНЫЕ И ГРАНИЧНО-КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ СТАТИКИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ШАРА

§ 5. Эффективное решение основных граничных задач эластостатики для шара и пространства с шаровой полостью

§ 6. Некоторые контактные задачи статики теории упругости . 104

§ 7. Решение некоторых гранично-контактных задач теории упругости для слоистого сплошного и полого шара III

Глава 1У АЛГОРИТМЫ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ, РЕШЕННЫХ В ПРЕДЫДУЩИХ

ГЛАВАХ

-

§ 8. Численное решение первой основной граничной задачи термоэластостатики для. круга.125

§ 9. Численное решение гранично-контактной задачи статики теории упругости для слоистого шара .130

Задачи теории упругости стали предметом исследований, как только были найдены основные уравнения движения упругой среды. Интенсивная работа продолжается и в настоящее время для применения существующих методов решения основных задач теории упругости к новым задачам, возникающих при анализе напряженно-деформированного состояния в различных условиях деформации, при наличии значительных градиентов температур, термо- и бародиффузии, нестационарных, электромагнитных полей и других явлений немеханического характера. С другой стороны появление быстродействующих электронных вычислительных машин поставило вопрос решения задач теории упругости (в некоторых случаях - заново) в удобном для численных реализаций виде.

Предлагаемая работа посвящается эффективному решению некоторых граничных, контактных, гранично-контактных и начально-граничных задач теории упругости и термоупругости в виде позволяющим наиболее эффективное применение ЭВМ.

Работа состоит из четырех глав и двух приложений.

В первой главе решаются задачи упрощенной теории термоупругости, известной под названием несвязанной, температурно- напряженной, квазистатической, а также при стационарном температурном поле - статической. В теории температурных напряжений, которая восходит к истокам теории упругости и за последнее время интенсивно развивается ввиду ее растущего прикладного значения, исследуется классическое уравнение теплопроводности, не содержащее члена связанного с деформацией тела. Задачи решаются здесь в следующем порядке: на основе уравнения теплопроводности находится распределение температуры в теле, а затем решаютя уравнения теории упругости в смещениях, содержащие уже найден-ше члены, зависящие от градиента температуры.

Не имея возможности хотя бы вкратце остановиться на обозре-ши имеющих многочисленных работ, упомянем что важные результаты ^следований и методы решения задач несвязанной теории термоупру-?ости изложены в книгах Б.Боли, Дж.Уэпнер [13], А.Н.Динник [29] , I.Д.Коваленко [32], Б.Г.Коренев [33] Н.Н.Лебедев [45], В.М.Маи-зель [49], Э.Мелан и Г.Паркус [51], В.Новацкий [61,63], С.П.Ти-юшенко, Дж.Гудьер[77], а также в статьях В.И.Даниловская [27], Г.Н.Маслов [50] , Н.И.Мусхелишвили [54], П.Ф.Папкович [бб] и др. 3 этих работах имеются также подробные исторические и библиографические справки.

За последние двадцать лет начались интенсивно развиваться исследования и по более общей, чем теория температурных напряжений, теории связанной термоупругости, где учитывается взаимное злияние полей деформации и температуры, В этом направлении отме-гим работы М.ВЬоЬ [91], Т.В.Бурчуладзе [15], С.Яа^Гт* [92^ Ьшбси-&Ш*гиг V. [93[95], Н.С.Кахниашвили [30] , З.Д.Купрадзе, Т.В.Бурчуладзе [39-41] , В.Новацкий [62,63], Я.С. Зодстригач [71], Я.С.Подстригач, Р.Н.Швец [72], Р.Н.Швец[88]и др.

Чаще всего в работах по несвязанной теории термоупругости рассматриваются задачи с первой (на границе заданы вектор смещения и температура или поток тепла) или второй (заданы вектор тер-•лонапряжения и температура или поток тепла) основными граничными условиями, причем в явном виде получены решения в основном для симметрично нагруженных и симметрично нагретых круговых областей.

В §1 настоящей работы, используя результаты решения первой я второй основных задач статики классической теории упругости, порученные М.О.Башелейшвили [2,з], а также формулы Пуассона и Дини (решения задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа) эюфективно (в квадратурах) решаются не только первая и вторая, но и третья (на границе заданы нормальная составляющая вектора смещения и касательная составляющая вектора термонапряжения, а также температура или поток тепла) и четвертая (заданы касательная составляющая вектора смещения и нормальная составляющая вектора термонапряжения, а также температура или поток тепла) основные граничные задачи статики термоупругости для круга и бесконечной плоскости с круговым отверстием.

В §2 эффективно (в рядах) решены гранично-контактные задачи термоэластостатики для кусочно-однородных круга и кольца. В этих задачах на границе тела задаются одно из основных краевых условии а на контактных линиях, являющихся концентрическими окружнос-тьми, разные условия сопряжения векторов смещений и напряжений.

Вторая глава посвящается эффективным решениям динамических задач теории упругости в общей постановке для круговых областей. Задачи динамики классической теории упругости исследованы многими авторами. Доказательство теорем существования и единственности решений основных пространственных и плоских начально- граничных задач динамики однородного изотропного и анизотропного упругого тела с конечной границей методами теории потенциалов и интегрального преобразования Лапласа было получено в работах Т.В. Бурчуладзе [1б], Т.Г.Гегелиа[20] , В.Д.Купрадзе, Т.В.Бурчуладзе [42, 43] , а также М.О.Башелейшвили, Д.Г.Натрошвили [э]. Другим методом, основанным на общем представлении решения динамических уравнений с помощью произвольных гармонических, аналитических функций и специальных потенциалов динамические задачи исследованы в работе Л.Г.Магнарадзе [48]. Для неоднородных упругих тел методами функционального анализа динамические задачи исследованы в работах Т.Г.Гегелиа, О.И.Маисаиа [21], Г.Фикера[80]. Теоремы существования и единственности имеются также в работе иТадпя, [97]. Динамические смешанные задачи теории упругости цля неклассических областей исследованы в монографии И.И.Ворович, З.А.Бабешко[18] . Из работ, посвященных эффективным решениям ос-зовных задач динамики изотропного однородного упругого шара и бесконечного слоя, отметим работы Д.Г.Натрошвили [59] , Е.И.Обо-аашвили [б4| ,Г.И.Петрашень [бб] , Ж.А.Рухадзе [75].

В § 3 рассматриваются основные начально-граничные задачи ди-замики для изотропного упругого круга. Задачи решаются способом, зредложенным в работе [43] , в которой рассмотрены первая и вторая основные трехмерные задачи динамики изотропного упругого теза. Преобразованием Лапласа рассматриваемые задачи приводятся к граничным задачам псевдоколебаний, решения которых пишутся в ви-;е абсолютно и равномерно сходящихся рядов. Доказывается, что обратные преобразования дают решения исходных динамических задач.

Аналогичным подходом решаются в § 4 основные гранично-контак-шые задачи динамики для кусочно-однородных круга и кольца.

Третья глава посвящена задачам о равновесии упругого шара. 1звестно много решений этих задач. Решение первой и второй ос-ювных граничных задач статики для шара (сплошного и полого) бы-ю получено еще Ламе. Эти задачи разными методами решали также ?омпсон, Тедоне, Сомилиана, Черути. Сведения о их и других ран-шх работах можно найти в книгах А.Лява [*47] и А.И.Лурье [4б]. Третья основная граничная задача для круга и шара была решена в )аботе СГ Нас/ая Отметим еще некоторые более поздние )аботы, касающиеся задач о равновесии шара. Это работы Л.Г.Гиор-•ашвили [22], А.И.Лурье [4б], Ю.Н.Подильчук [70], Во всех перечис-:енных работах решения задач даются в виде рядов. В виде квадратур >ешения всех четырех основных граничных задач статики для изот-юпного упругого шара получены в работе Д.Г.Натрошвили [57], а ;ля т-мерного ( № ъ 2) шара - в работе М.О.Башелейшвили [4].

В случае симметрично нагруженного шара решения задач в квадратурах получены в работах А.Я.Александров, Ю.И.Соловьев [1^, В.Ф. Бондарева [14*], Б.Г.Галеркин [19].

Вопросы существования и единственности решении основных граничных задач теории упругости для. трехмерных областей изучены достаточно хорошо и подробно изложены в монографиях В.Д.Купрадзе [36], В.Д.Купрадзе, Т.Г.Гегелиа, М.О.Башелейшвили, Т.В.Бурчулад-зе [44] , В.Новацкий [бЗ] , А.Ляв [4?], Г.Фикера [*8(|. В двумерном случае теоремы существования решении основных задач статики теории упругости доказаны Н.И.Мусхелишвили [*5Ь] , Д.И.Шерманом [89, 90] , С.Г.Михлиным [52] .

Отметим, что вопрос существования решения рассматриваемых в работе задач не возникает, поскольку эти решения будут построены фактически, а теореш единственности для этих задач доказываются.

Контактные и гранично-контактные задачи статики теории упругости с условиями сопряжения, рассмотренные в настоящей работе (главы I и III), для трехмерных кусочно-однородных изотропных областей поставлены и отдельные задачи исследованы Л.Йентчем ( Ь. Лёял^сА [94] ). В работе В.Д.Купрадзе [ 37] доказаны теоремы существования и единственности решений задач с такого рода условиями контакта (различные случаи сопряжения, относящиеся, к касательным и нормальным составляющим векторов смещения и напряже-зия). Для этих же задач М.О.Башелейшвили [б] доказал теоремы су-дествования и единственности решений в случае плоских областей.

Отметим, что контактные задачи, когда на разделяющей грани-де заданы разности векторов смещения и напряжения, исследованы з работах В.Д.Купрадзе [Зб], М.О.Башелейшвили, Т.Г.Гегелиа [7], 1.Г.Натрошвили [б8] , Г.Фикера [80].

В третьей главе настоящей работы с помощью специального ппедставления решения системы уравнений теории упругости, полученного М.О.Башелейшвили [б], методом, отличным от примененных в упомянутых выше работах, единым образом решены граничные, контактные и гранично-контактные задачи статики теории упругости для тел со сферическими границами или со сферическими поверхностями контакта. Все решения представлены рядами или квадратурами в удобном для численной реализации виде.

В §5 решены основные граничные задачи эластостатики для однородного изотропного упругого шара и пространства с шаровой полостью, причем решения первой и третьей задачи записаны в квадратурах, а второй и четвертой - в рядах по сферическим функциям Лапласа.

Используя решения первой основной внутренней и внешней задач в §6 решены контактные задачи для кусочно-однородного пространства, состоящего из двух частей, разделенные сферической поверхностью. Рассмотрены различные случай сопряжения, относящиеся к касательным и нормальным составляющим поля.

В §7 решаются гранично-контактные задачи для кусочно-однородного сплошного и полого шара, состоящего из т концентрических шаровых слоев из различных изотропных упругих материалов, когда на границе задано предельное значение вектора смещения, а на поверхностях контакта слоев заданы разности нормальных составляющих векторов смещений и напряжений и касательные составляющие векторов смещений.

Строится представление решения для шарового кольца с помощью которого находятся решения (в рядах) поставленных задач. Во всех случаях указаны достаточные условия, которым должны удовлетворять заданные на поверхностях функции для того, чтобы полученные ря^ы сходились абсолютно и равномерно.

В четвертой главе на основе эффективных решений рассмотреншх в предыдущих главах некоторых задач составлены алгоритмы и ■фограммы для их численной реализации. Имеется общирная литература, где наряду с общими аналитическими и численными методами ре-цения задач механики рассматриваются приемы и схемы реализации этих методов при решении прикладных задач на ЭВМ (см.»например, работы Н.И.Безухов, О.В.Лужин [12А.И.Каландия [зо], А.Г.Угод-шков, М.И.Дпугач, А.Е.Степанов[79], Б.Е.Победря [69]).

Описываемый в §8 алгоритм рассчитан на приближенное вычисление регулярного решения, данного в виде интегралов типа потенциа-1а, первой основной граничной задачи термоэластостатики для однородного изотропного круга. Автоматический выбор шага интегрирова-шя для каждой точки дает возможность вычислить смещения, напряжения и температуру внутри круга (в частности, в точках, лежащих шк угодно близко к границе круга) с погрешностью, меньшей заразе заданного числа. Приведен контрольный пример.

В §9 описываются алгоритм и программа, составленные для чис-¡енного решения гранично-контактной задачи многослойного сплошного шара. Применены стандартные (библиотечные) программы. Решена юнтрольная задача.

В приложении I приведен текст программы, записанной на алгоритмическом языке АЛГ0Л-60, с помощью которого получаются числен-ше решения первой основной граничной задачи термоэластостатики.

В приложении 2 дана программа, записанная на алгоритмическом языке ФОРТРАН, для численного решения гранично-контактной за-],ачи в случае многослойного шара.

Основные результаты настоящей работы опубликованы (см. работы [10, II, 81 - 8б] ).

1. Александров А.Я., Соловьев Ю.И. Пространственные задачи тео-рии упругости. М.: Наука, 1978, - 464 с.

2. Башелейшвили М.О. Аналог формулы Пуассона в теории упругостиТруды выч.центра АН ГССР, 1960, т.1, с.97-101.

3. Башелейшвили М.О. Аналог формулы Дини в теории упругости.Труды выч.центра АН ГССР, 1964, т.4, с.121-129.

4. Башелейшвили М.О. Эффективное решение основных задач теорииупругости внутри и вне т-мерного шара. -Сообщ. АН ГССР, 1971, т.63, № 3, с.553-555.

5. Башелейшвили М.О. О некоторых плоских гранично-контактныхзадачах. Труды ИПМ ТГУ, 1981, т.10, с.5-11.

6. Башелейшвили М.О. Некоторые представления решений уравненийтеории упругости. Сообщ. АН ГССР, 1981, т.102, № 3, с. 569-571.

7. Башелейшвили М.О., Гегелиа Т.Г. Об основных пространственных граничных задачах для составных изотропных упругих сред. ДАН СССР, 1965, т.160, № I, с. 50-53.

8. Башелейшвили М.О., Гиоргашвили Л.Г., Зазашвили Ш.П, Эффективное решение некоторых гранично-контактных задач статики для основных изотропных тел. В кн.: Математика - Механика - Астрономия. Труды ТГУ, 1978, т.204, с.47-64.

9. Башелейшвили М.О., Натрошвили Д.Г. Динамические задачи теории упругости для однородных анизотропных сред. В кн.: Математика - Механика - Астрономия. Труды ТГУ, 1978, т.204, с.29-64.- 157

10. Башелейшвили М.О., Цагарели И.И. Решение некоторых контактных задач статики теории упругости. Аннотации докл. республ. школы-конф. по общей механике и теории упругости. Телави, 1981, с. 12 - 13.

11. Башелейшвили М.О,, Цагарели И.И. Эффективное решение основных граничных задач эластостатики внутри и вне шара.- Сообщ. АН ГССР, 1982, т.108, Ж,с. 41-42.

12. Безухов Н.И., Лужин О.В. Приложение методов теории упругостии пластичности к решению инженерных задач. М.: Высшая школа, 1974. - 200 с.

13. Боли Б., Уэйнер Дж. Теория температурных напряжений. М.:Мир, 1964. 517 с.

14. Бондарева В.Ф. 0 действии осесимметричной нормальной нагрузки на упругий шар. Прикл. математика и механика, 1969, т.33, вып.6, с.1029-1033.

15. Бурчуладзе Т.В. Эффективное решение некоторых граничных задач термоупругости. Труды Грузинского политехи, ин-та, 1971, №77(147), с.93-107.

16. Бурчуладзе Т.В. Плоские смешанные граничные задачи динамикианизотропного упругого тела. Труды Тбилисского матем. ин-та, 1974, т.44, с.30-51.

17. Векуа И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений.М.-Л.: Гостехиздат, 1948, 296 с.

18. Ворович И.И., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979. - 320 с.

19. Галеркин Б.Г. Равновесие упругой сферической оболочки.Прикл. математика и механика,1942, т.6, вып.6, с. 487-496.- 158

20. Гегелиа Т.Г. 0 трехмерных граничных задачах для неограниченных областей. Симпозиум по механике сплошной среды и родственным проблемам анализа. Тбилиси, 1971. Аннотация докладов.- Тбилиси: Изд-во АН ГССР, 1971. - 88с.

21. Гегелиа Т.Г., Маисаиа О.И. Теоремы существования решений основных задач динамики неоднородных, анизотропных, неограниченных упругих сред. Докл. АН СССР, 1975, т.224, т, с.1290-1292.

22. Гиоргашвили Л.Г. Решение основных граничных задач статики теории упругости для шара. Труды ИПМ ТГУ, 1981, т. 10, с.32-36.

23. Гобсон Е.В. Теория сферических и элипсоидальных функций.М.: Изд-во иностр. лит., 1952. 476 с.

24. Градштейн И.О., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядови произведений. М.: Наука, 1971.- 1100 с.

25. Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн.- Киев: Наукова думка, 1978. 307 с.

26. Гузь А.Н., Немиш Ю.Н. Методы возмущений в пространственныхзадачах теории упругости. Киев: Вища школа, 1982. - 350 с.

27. Даниловская В.И. Температурные напряжения в упругом полупространстве, возникающие вследствие внезапного нагрева его границы. Прикл. математика и механика, 1950, т.14, вып.З, с. 316-318.

28. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики.М.: Физматгиз, 1960. 659 с.

29. Динник А.Н. Избранные труды: Приложение функции Бесселя к задачам теории упругости. Киев: Изд-во АН УССР,1955, т. 2. 224 с.

30. Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости.М.: Наука. Главная редакция физико- математической литературы, 1973, 304 с.

31. Кахниашвили H.G. К доказательству теорем существованиядля основных динамических задач термоупругости. Сообщ. АН ГССР, 1972, т.66, J* 3, с. 549-552.

32. Коваленко А.Д. Основы термоупругости. Киев: Наукова думка, 1970. 240 с.

33. Коренев Б.Г. Задачи теории теплопроводности и термоупругости. Решения в бесселевых функциях. М.: Наука, 1980. - 400 с.

34. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высшая школа, 1970, 712 с.

35. Кратцер Л., Франц В. Трансцендентные функции. М.: Изд-воиностр. лит., 1963. 466 с.

36. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости. М.:Физматгиз, 1963. 472 с.

37. Купрадзе В.Д. 0 контактных задачах теории упругости. Дифференциальные уравнения. 1980, т. 16, № 2, с. 293-310.

38. Купрадзе В.Д. 0 приближенном решении задач математическойфизики. Успехи математических наук, 1967, т. 22, Ji 2, с. 59-107.

39. Купрадзе В.Д., Бурчуладзе Т.В. Граничные задачи термоупругости. Дифференциальные уравнения, 1969, т.5, № I, с.3-43.

40. Купрадзе В.Д., Бурчуладзе Т.В. Некоторые граничные задачитермоупругости, решаемые в квадратурах I . -Дифференциальные уравнения, 1969, т.5, № 10, с. 1735-1761.

41. Купрадзе В.Д., Бурчуладзе Т.В. Некоторые граничные задачитермоупругости, решаемые в квадратурах- П -Дифференциальные уравнения, 1969, т.5, $ II, с. 1923-1939.

42. Купрадзе В.Д., Бурчуладзе Т.В. Решение динамических задачтеории упругости. Аннотации докл. семин. ИПМ ТГУ, 1970, т.З, с.66-77.

43. Купрадзе В.Д., Бурчуладзе Т.В. Доказательство существованияи вычисление решений основных смешанных задач динамики трехмерного упругого тела произвольной формы. Труды Тбилисского матем. ин-та АН ГССР, 1971, т.39, с.23-42.

44. Купрадзе В.Д., Гегелиа Т.Г., Башелейшвили М.О., Бурчуладзе Т.В. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. М.: Наука, 1976, - 663 с.

45. Лебедев Н.Н. Температурные напряжения в теории упругости.М.-Л.: ОНТИ, 1937. НО с.

46. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. М.:Гостехиздат, 1955. 492 с.

47. Ляв А. Математическая теория упругости. М.-Л.; ОНТИ, 1935.- 676 с.

48. Маслов Г.Н. Задачи теории упругости о термоупругом равновесии.- Изв. НИТИ, 1938, т. 23, с. 130-219.

49. Мелан Э. и Паркус Г. Термоупругие напряжения вызываемые стационарными температурными полями. М.: Физмат-гиз, 1958. - 168 с.

50. Михлин С.Г. Приложения интегральных уравнений к некоторымпроблемам механики, математической физики и техники. M.-JL: Гостехиздат, 1947. - 304 с.

51. Михлин С.Г. Курс математической физики. М.: Наука, 1968,- 576 с.

52. Мусхелишвили Н.И. 0 тепловых напряжениях в плоской задачетеории упругости. Петроград: Изв. Электро-техн. ин-та, 1916, с. 23-27.

53. Натрошвили Д.Г., Джагмаидзе А.Я. Динамические задачи классической теории упругости для кусочно-однородных тел. Тбилиси: Изд-во ТГУ, 1978. - 65 с.

54. Новацкий В. Вопросы термоупругости. М.: Изд-во АН СССР,1962. 364 с.

55. Новацкий В. Динамические задачи термоупругости. М.: Мир,1970. 256 с.

56. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975, - 872 с.

57. Оболашвили Е.И. Преобразование Фурье и его применения в теории упругости. Тбилиси: Изд-во "Мецниереба", 1979, - 231 с.

58. Окунев Л.Я. Высшая алгебра. М.-Л.: Гостехиздат, 1949.432 с.

59. Папкович П.Ф. Об общем интеграле тепловых напряжений (по поводу статьи Лебедева). Прикл. математика и механика, 1937, т.1, вып. 2, с.245-246.

60. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. М.: Наука, 1981. - 688 с.

61. Петрашень Г.И. Динамические задачи теории упругости. Учен.записки Ленинградского ун-та, сер. матем., 1951, т.1, И49, вып. 24, с.1-75.

62. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1981. - 344 с.

63. Подильчук Ю.Н. Трехмерные задачи теории упругости. Киев:Наукова думка, 1979. 240 с.

64. Подстригач Я.С. Общее решение нестационарной термоупругойзадачи. Киев: Прикл. механика, 1960, т.6, .& 2, с. 215-219.

65. Подстригач Я.С., Швец Р.Н. Квазистатическая задача взаимно- 163 связанной термоупругости. Прикл. механика, 1969, т.5, Щ, с. 43-45.

66. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.:Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979. 744 с.

67. Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические испециальные функции. Преобразование Лапласа. -М.: Физматгиз, 1959. 304 с.

68. Рухадзе Ж.А. Начально- граничная задача динамики термоупругости для изотропного бесконечного слоя. Труды ИПМ ТГУ, 1982, т.12, с.100-117.

69. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М.: Наука, 1969, т.З,ч.2, 672 с.

70. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М.: Наука, 1981, т.4,ч.2. 552 с.

71. Тимошенко С.П. и Гудьер №. Теория упругости. М.: Наука,1979. 560 с.

72. Угодчиков А.Г., Длугач М.И., Степанов А.Е. Решение краевыхзадач плоской теории упругости на цифровых и аналоговых машинах. М.: Высшая школа, 1970.528 с.

73. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. М.:Мир, 1974. 157 с.

74. Цагарели И.И. Эффективное решение основных граничных задачтермоэластостатики для круга и бесконечной плоскости с круговым отверстием. В кн.: Некоторые задачи теории упругости. Тбилиси: 1975, с. 125-144.

75. Цагарели И.И. Эффективное решение первой и второй основныхсмешанных задач динамики для изотропного упру- 164 гого круга. Тбилиси:Изд-во ТГУ, 1977. - 12 с.

76. Цагарели И.И. Эффективное решение некоторых гранично-контактных задач термоэластостатики. В кн.: Некоторые задачи теории упругости. Тбилиси: 1980, с. 129-148.

77. Цагарели И.И. Решение основных гранично-контактных задач динамики для многослойных круга и кольца. Труды ИПМ ТГУ, 1981, т.10, с. 232-248.

78. Цагарели И.И. Некоторые гранично- контактные задачи теории упругости для шара. Тезисы докл. республ. конф. молодых уч. и спец. по актуальным проблемам прикл. математики и механики. - Тбилиси: 1981, с.177-182.

79. Цагарели И.И., Меладзе Р.В. Вычисление регулярного решенияпепвой основной граничной задачи термоэластостатики для круга. М.: ГФАП СССР, Алгоритмы и программы. Информационный бюллетень, 1977, Ы (18), с.33-34.

80. Чаилдс У. Физические постоянные. М.: Физматгиз, 1962. -80с.

81. Швец Р.Н. О единственности решения динамической задачи термоупругих тонких оболочек. Прикл. механика, 1965, т.1, М, с. 25-29.

82. Шерман Д.И. Статические плоские задачи теории упругости.Труды Тбилисского матем. ин-та, 1937, т.2, с. 163-225.

83. Jmlidt L. 2,wT EocÁfUn,* ирн* f&^u¿eLre*b Lo-Uoi^on,Ш Eioudoitedik ¿tuckufcite, K&rpefmit пш&гь Коу&ькЬ&ьскм^и*bß&n, оиь dm, 7T'&MijtâcLems г Wùiob&n, zuf€¿ Лото^еш<Г 7ei&ti.-M. s&ch. AkoJ. ¿ Wim. MdLribiuf. M. ß. 65, H.2, Ъм-Ь*, 4977. 4â5.