Трехмерные задачи теории упругости и термоупругости для ортотропного полупространства тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ПОЛИТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

ч Я 1

На правах рукописи

ВАСИЛЕВИЧ Юрий Владимирович

ТРЕХМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И ТЕРМОУПРУГОСТИ ДЛЯ ОРТОТРО'ТНОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Минск - 1992

Работа выполнена в Научно-исследовательском институте прикладных физических проблем Еелгосуниверситета.

Научный консультант - доктор технических наук,

профессор

Прусов Иван Алексеевич Официальные оппоненты: доктор технических наук,

Ведущая организация - Львовский политехнический институт

Защита состоится 21 мая 1992 года в 10 "асов на заседании специализированного совета ДР 056.02.99 в Белорусской государственной политехнической академии (220027, Республика Беларусь, г. Минск, просп. Ф.Скорины, 65, корп. I, ауд. 202).

Автореферат разослан апреля 1992 года.

С диссертацией моино ознакомиться в библиотеке Белорусской политехнической академии.

Ученый секретарь ■специализированного совета, кандидат физико-матеыатиче ских

академик АН Украины, профессор Космодамианский Александр Сергеевич (Донецкий государственной университет доктор физико-математических наук, профессор

Лурье Озргей Альбертович (Московский авиационный институт); доктор физико-математических наук, профессор

Абрашин Вячеслав Николаевич (Институт математики АН Беларуси)

наук, доцент

ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

-ртдций

Актуальность проблемы. Решение трехмерных задач математической творил упругости по исследовании ¡тпрягвкно-деформированного состояния упругих анизотропных тел в зависимости от приложенной силовой нагрузки и температурного поля представляет актуальное направление современной механики деформируемого твердого тела. Актуальность решения указанного класса задач обусловлена широким применением конструкционных элементов и изделий из анизотропного материала в инженерной практике.

1Сак указано в монографии [ IJ , исследование напряженного состояния деформируемых упругих тел в трехмерной постановке является одной из самых сложных задач математической теории упругости и наряду с этим одной из актуальных проблем в практическом отношении.

Решения пространственных задач намного усложняются в случае необходимости учета при расчете напряженно-деформированного со- • стояния анизотропии, нелинейности и других факторов, характеризующих как упругие свойства деформируемого материала, так и геометрии граничной поверхности, особенность вне шей нагрузки.

Анализируя научную литературу, посвященную решнив трехмерных задач для упругих тел, необходимо отметить определенные успехи, достигнуть« при ревэнин пространственных задач для изотропных линейно упругих сред. Небольшое число публикаций, посвященных построении решений основных уравнений равновесия упругого анизотропного тела при заданных на его поверхности компонентах перемещений, напряжений, температурного поля или смешанных граничных условиях - свидетельство большой слоаюсти построения решений.

Постановки разнообразных пространственных задач, методы их решения для изотропных, трансверсалыю-изотропных и ортотрошшх линейно упругих сред наплн отражение в фундаментальных монографиях и трудах ученых механиков Александрова А.Я. и Соловьева Ю.И.; Андрейкнва А.Е.; Воровича И.И., Александрова B.Ü., Бабешко В.А.; Власова В.В.; Галилеева М.Д.; Галина Л.А.; Гуэя А.Н.; Ершова Г.Э.; Ибрагимова В.А.; Калоерова O.A.; Дука А.П.; Ионова В.Н. и Огиба-лопа П.И.; Космодаыианского A.C.; Лехницкого С.Г.; Лурье А.И.;

Абрашина В.Н.; Лурье С.А.; Мартыновича Т.Л.; Мартыненко М.Д.; Морозова Н.Ф.; Немиша D.H.; Панасюка В.В.; Партона В.З. и Перли-на П.И.; Положего Г.Н.; Панкратовой Н.Д.; Прусова И.А.; Работно» ва D.H.; Рвачева В.Л. и Проценко B.C.; Рекача В.Г.; Саврука М.П. Отаврова В.П.; Уздалева А.И.; Улитко А.Ф.; Уфлянда Я.С.; Флейш-ыана Н.П.; Черных К.Ф.; Чигарева A.B.; Шалдырвана В.А. и др.

Эффективные методы решения плоских статических задач для. изотропных тел, разработанные в трудах Колосова Г.В., Мусхелиш-вили Н.И., и базирующиеся на формулах по которым составляющие напряженно-деформированного состояния выражаются через аналитические функции комплексного переменного, к решению пространствен ных задач непосредственно не применимы. В то же время аппарат теории аналитических функций с успехом применяется при решении разнообразных трехмерных задач. Так, в трудах Александрова А.Я. и Соловьева D.H., аппарат теории функций комплексного переменного применен к решению пространственных задач для изотропных и трансверсально-изотропных тел. Решения основных уравнений представлены в виде интегральных операторов от аналитических функций Путем интегральных наложений установлена зависимость между пространственным напряженно-деформированным состоянием и двумя двумерными напряженными состояниями, к которым отнесены плоская деформация и депланация.

Многие классы двумерных и пространственных задач статической теории упругости исследованы с помощью интегральных преобразований Информационным источником по практическому использованию интегральных преобразований Фурье, Меллина, Ханкеля, Меле-ра-Фока, Конторовича-Лебедева является монография Уфлянда Я.С.

Ряд решений трехмерных задач теории упругости для изотропных, трансверсально-изотропных тел получены методом интегральных уравнений. Построении интегральных уравнений их анализу и исследованию при решении практически важных пространственных задач посвящены монографий Партона П.З. и Перлина П.И.; Вайндине-ра А.И., Ыосквитина В.В.; Верюжского Ю.В.; Нупрадзе В.Д.

- Метод возмущения формы границы успешно развили и использовали для решения трехмерных граничных задач механики твердых деформируемых тел неканонической формы IYab А.Н., Немиш D.H.

Пространственные граничные задачи для неканонических поверхностей, близких к круговым цилиндрическим или сферическим, на основе упомянутого метода, сводятся к рекуррентной последовательности краевых задач для цилиндрических или сферических областей. Характерная особенность метода заключается в том, что отклонение формы поверхности исследуемого тела от соответствующей канонической формы учитывается через граничные условия.

Эффективным приближенным методом решения плоских и пространственных зад¿ч является метод Я - функций, разработанный В.Л.Рвачевым. Соединение метода К - функций с классическими методами математической физики и вычислительной математики позволило разработать структурный метод, на основе которого удалось построить приближенные решения граничных задач для изотропных тел конечных размеров со сложной геометрией.

Построение решений трехмерных граничных задач математической теории упругости осуществляется также на основе использования разнообразных численалх методов, к числу которых следует отнести методы конечных элементов, конечных разностей, вариационно-разностный и другие.

Касаясь проблемы решения пространственных задач для ортот-ропного тела отметим, что выполненные исследования условно мсг,-но разделить на три категории [ 2 ] .

1. Сведение задачи к решению сложных дифференциальных уравнений с целью определения функций, посредством которых находятся компоненты напряжений и перемещений. Однако решение указанных уравнений сопряжено с большими математическими трудностями при исследовании конкретных задач, что, естественно, ограничивает возможность практического использования разработанных методов.

2. Ко второй категории относятся решения в основу которых положены введенные Гипотезы, предположения, некоторые утверждения, которые позволяют получить упрощенные или приближенные решения.

3. Решение строится приближенны! методом; за нулевое приближение берется решение соответствующей задачи для изотропного тела.

Так, в [ 3] исследованы основные граничные задачи для изотропного и ортотропного упругих полупространств. При решении уравнений равновесия в перемещениях для ортотропного тела авто-

рами введены ограничения на постоянные упругости с ^ . Предполагается, что с у удовлетворяют определенным зависимостям

а 5. ц.

которые с физической точки зрения выражают пропорциональность постоянных упругости во взаимно перпендикулярных плоскостях симметрии ортотропного тела. Введенное предположение позволило упростить уравнения равновесия и получить их точное общее решение.

Ким И.В., Оунчелеев Р.Я., воспользовавшись общим представлением формул для напряжений и перемещений, полученных с учетом зависимостей (I), дали решение задачи для ортотропного полупространства, ослабленного эллиптическими разрезами; исследовали контактную задачу. '

В 1968 г. оп^ .¡ликована работа проф. Ганева И.Х. "О полном решении трехмерной проблемы ортотропных сплошных сред в прямоугольных координатах" [ 4 ] , в которой система трех дифференциальных уравнений второго порядка относительно перемещений И, тг ЬГ (система уравнений равновесия), сведена к трем самостоятельным дифференциальным уравнениям шестого порядка для каждого перемещения. Общее решение, полученных дифференциальных уравнений ищется в виде а,У, ЪГ = j( (IX + Ьу * '> обозначает произвольную функцию линейной формы + • Однако, использование указанного метода решения граничных задач вызывает большие ыатемадчгаеские гнудности и приводит к существенным погрешностям при расчете напряженно-деформированного состояния ортотропных тел. Дело в том, что при правильном построении решения и при стремлении аргумента искомой функции к бесконечности, значение обратной величины от аргумента должно стремиться к нулю. В предложенном представлении решения можно указать три варианта геометрических мест точек, где аргумент обращается в нуль, а 1/( ах ) стремится не к нулю, а к бесконечности. Так, при 2 = 0 имеем прямую азе + Ьу. = 0, для точек которой ХЛаОС + бу' + С/Е) —«► 00 . Укажем еще две прямые +С"2 =0 при ОС = 0 и ах +С2= 0 при у- = 0, где не выполняется условие поведения аргументов искомой функции на бесконечности.

Галилеев М.Д. и его последователи модифицировали метод начальных функций применительно к построению общего решения для

6

плоских, пространственных, статических и динамических задач ор-тотропного и трансверсально-изотропного тел.

Определение трех функций напряжений для упругих тел, обладающих трехосной ортотропией, сведено Моссаковской С.[ б] к решению трех дифференциальных уравнений в частных производных шестого порядка с четными смешанными производными. Решение полученных дифференциальных уравнений представляет определенные математические трудности.

Цель работы. Диссертация посвящена выводу новых общих формул для компонент напряжений, перемещений и разработке аналитических методов решения основных граничных задач линейной теории упругости и термоупругости по определению температурных полей и напряженного состояния в упругом анизотропном полупространстве, обладающем трехосной ортотропией.

Основные научные положения, выносимые на защиту:

- новое представление общих формул для напряжений и перемещений анизотропного полупространства, обладающего трехосной ортотропией, выраженных через класс квазигармонических функций;

- доказательство о существовании нового представления общих формул при выполнении определенной зависимости между постоянными упругости ортотропного тела;

- метод приведения решений основных граничных задач к задаче Неймана, основывающийся на использовании полученных общих формул;

- эффективный прием сведения дифференциальных неоднородных уравнений в частных производных шестого порядка к эквивалентным уравнениям Пуассона,, решения которых находятся на основе известного классического метода;

- аналитические методы решения основных граничных задач линейной теории упругости и термоупругости для ортотропного полупространства;

- простые зависимости между постоянными упругости ортотропного тела, служащие для нахождения модулей сдвига через модули Юнга и коэффициенты Пуассона при разработке и создании новых анизотропных материалов с заранее.заданными упругими свойствами;

- аналитические решения ряда контактных задач для ортотропного полупространства, используемые при исследовании напряженно-деформированного состояния трехмерных анизотропных тел, а также как тесты для оценки погрешности приближенных и численных методов.

7

Достоверность основных научных положений основывается на точном удовлетворении уравнений закона Гука, равновесия и совместности деформаций; осуществлении предельного перехода к изотропному телу с целью получения ранее известных формул. Достоверность результатов и выводов обеспечена строгим использованием основных соотношений и соответствующих обоснованных методов теории упругости и математической физики, совпадением в частных • случаях с известными результатами, на которые сделаны ссылки. Полученные в диссертации утверждения корректно сформулированы и математически обоснованы, согласуются с основными законами механики деформируемого твердого тела.

Научная новизна представленных в диссертации результатов заключается в следующем: ,

- дано новое представление общих формул для напряжений и перемещений в веде суперпозиции двух групп основных формул для анизотропного полупространства, обладающего трехосной ортотро-пией;

- исследованы вопросы существования нового представления общих формул, при этом проведено доказательство о необходимости выполнения определенной зависимости между постоянными упругости; -

- разработаны методы получения точных решений основных граничных задач линейной теории упругости и термоупругости для ор-тотропного полупространства, основанные на приведении граничных задач к задаче Неймана;

- разработан эффективный прием сведения дифференциальных неоднородных уравнений в частных производных шестого порядка к эквивалентным уравнениям Цуассона, решения которых находятся известным классическим методом;

- найдены простые зависимости между коэффициентами упругости ортотропного тела, которые могут быть использованы при создании новых анизотропных материалов с заранее заданными упругими свойствами;

- получены расчетные формулы для определения положения штампа, внедренного под действием вертикальной силы и изгибающих моментов в ортотропное полупространство;

- установлена закономерность распределения нормального давления в области контакта плоского штампа эллиптической формы в плане;

- установлен предел нагрузок, вызывающих осадку плоского штам-

8

па произвольной формы в плане на заданную величину с учетом влияния анизотропии тела;

- дано новое представление общих формул для расчета термонапряженного состояния ортотропного полупространства;

-. исследован вопрос о классе дифференцируемых функций, через которые выражаются компоненты напряжений и перемещений, при удовлетворении уравнений Навье и'закона Г^ка в виде соотношений Иак-свелла. •

Научное и практическое значение результатов

Изложенные в диссертационной работе методы решения задач теории упругости и термоупругости могут быть применены к исследованию напряженно-деформированного состояния разнообразных изделий и элементов конструкций, изготовленных из новых ортотроп-ных материалов, постоянные упругости которых удовлетворяют полученным в работе зависимостям между коэффициентами упругости.

Аналитические решение могут использоваться как тесты для оценки погрешности различных приближенных и численных методов, используемых для исследования упругого и термоупругого состояния тел из анизотропных материалов, обладающих тремя плоскостями упругой симметрии.

Полученные формулы для расчета напряженно-деформированного состояния и отражающие зависимости между постоянными упругости являются базовыли соотношениями для разработки и создания новых ортотропных материалов с заранее заданными упругими свойствами.

Аналитические методы решения основных граничных задач теории упругости и термоупругости для ортотропного полупространства могут быть использованы в учебном процессе в спецкурсах по теории упругости и термоупругости.

Апробация работы. Основные результаты работы по мере их получения докладывались на заседании семинара Института проблем механики АН СССР под руководством проф. В.Ц.Александрова (1986), на заседании семинара в Московском государственном техническом университете им. Баумана под руководством проф. В.В.Васильева . (1986), на-2 Всесоюзной конференции по механике неоднородных структур (Львов, 1987), на УН Всесоюзной конференции "Динамика оснований, фундаментов и подземных сооружений" (Днепропетровск, 1989), на 1У Всесоюзной конференции "Смешанные задачи механики

деформируемого тела" (Одесса, 1989), на Всесоюзном научно-техни-

9

ческом семинаре "Радиопрозрачные обтекатели (РПО) и укрытия (РПУ)' (Ыинск, 1990), на Всесоюзной конференции "Модификация древесины" (Минск, 1990), на заседании семинара Львовского политехнического института под руководством проф. Т.Л.Мартыновича (Львов, 1992), на заседании семинара Белорусской государственной политехнической академии под руководством проф. Л.В.Чигарева (Минск, 1992)

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы. Она содержит 261 страницу машинописного текста, 17 рисунков, 14 таблиц, библиографический список насчитывает 180 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы и выбранного научного направления исследований, дан последовательный анализ работ с целью демонстрации построения решений задач в зависимости от сложности структуры исследуемых упругих материалов и заданных граничных условий. Сформулированы цель работы и основные научные положения, выносимые на защиту. Дана краткая аннотация всех глав диссертации.

В первой главе, состоящей из шести параграфов, изложены основы нового представления общих формул для напряжений и перемещений ортотропного полупространства; дан их анализ.

В § L.I описанк основные случаи упругой симметрии трехмерных анизотропных тел. К первому типу отнесены тела, у которых через каздую точку проходит плоскость упругой симметрии. Ко второму отнесен широко распространенный класс однородных анизотропных тел, обладающих в каждой точке тремя плоскостями упругой симметрии. К третьему и четвертому типам отнесены трансверсаль-но-изотропныо и изотропные тела. В зависимости от вида упругой симметрии для каждого рассмотренного случая записан обобщенный закон ItyKa.

" Новые общие формулы для компонент напряжений и перемещений трехмерного ортотропного тела получены в ? 1.2.

Уравнениям закона Гуна для касательных напряжений и равновесия, при отсутствии массовых сил, удовлетворим, если положим

0 . , _э!Ф т _

* Эх* ( эть1. ' ъ ЭхЭ2

6 + . т - (I)

^ ах1 7 ' '

и = 0,5(7- § а55 - а65)|^, о,5(5а»

= 0,5(а66- - ¿а55) ;

где £ и - произвольные коэффициенты; Ф =■ ф(0С, про-

извольная гарысЗническал функция переменных X, у ^ , »

удовлетворяющая уравнению

Э'ф/Эх1 4 +01Ф/'Э2»=О. (2)

Здесь , А - некоторые безразмерные параметры; остальные обозначения общеприняты.

Всякую функцию Ф , удовлетворяющую уравнению (2), будем называть квазигармонической функцией относительно переменных X » м , % или просто квазигармонической функцией.

Требуя, чтобы выражения (I) удовлетворяли уравнениям закона Гука для нормальных напряжений, с учетом (2), получим ряд соотношений для определения введенных произвольных постоянных величин. В частности,

5к = 0'5Ма6вэск - ;

(3)

Ь =[а1г(а11^к -а15-о,5а55)-(ап+о,5а66Хаиз:к-ап)]д-1)

п

где дк = а1ахк(сц,хк -а^ -о,5С1.55

Параметр Хк= А к находится из решения полученного в работе кубического уравнения

МоХ3 - М|1*" + - П3 = о, (4)

где М0 Мз- представляют различные алгебраические комбит нации из 0-ц.

Проведенные исследования показали, что формулы (I) имеют место, если постоянные упругости удовлетворяют следующим равенствам [16]

ггцМо = т. Г^, гиЛ = т0111,т3[1о = т<Д)(5)

где Гп0 ,т3- выражекы через а

При использовании только положительных значений корней параметров А к и .^к общие формулы для напряжений и перемещений согласно (I) определяются выражениями

7' т (б)

Кз 1 ^

КИ КМ « К = 1

где. Ри = о,5(г(Ка,г§ка55-аее), Рк1 = 0,5(5кая-^а,11-а66),

Р«"= 0,5(0,,-^а^-^а^), Бк = о,5а„(а„Ак* ,

•^[М^А* - а1Ь -о,5а55) -(ап +о,5аиХа„\к1 -а„)]Дк,

= аадСг аи Х**- ап - о,5а55) -(а1г\ка- а^Ха^« + 0,5а,,).

12

Для трансверсально-изотропного тела равенства (5) обращаются в тождества, поскольку при этом все = 0.

В § 1.3 описана структура общих формул для ортотропных полупространств в зависимости от совмещения декартовой системы координат с главными направлениями упругости тела и соответствующего выбора значений СИ].

В § 1.4 рассмотрен частный случай ортотропного тела, имеющего плоскость изотропии, перпендикулярную к оси ъ . Дано представление компонент напряжений и перемещений через квазигармоническую функцию для трансверсально-изотропного тела без каких-либо ограничений на коэффициенты ац .

■ Вторая группа общих формул, описывающая напряжения и перемещения ортотропного тела при кручении, изложена в § 1.5. По-преинему предполагается, что тело обладает прямолинейной анизотропией и оси координат х, 1| , Ъ параллельны главным направлениям упругости. Выражения для напряжений и перемещений представлены в виде

Г п э'Фо к -п,

Р; = - п.»- , (оц - п,- , IОг, - "-з — — >

1 иду Ч 1 дхъц ' дхдц

э'ф. „ Л _ „ Э'Ф. т -„ № (7)

, г =пгаба^ > * - о,

где ФоС33»Хо2)- произвольная квазигармоническая функция;

И-1 > ^о > \о - произвольные постоянные.

Удовлетворяя при помощи соотношений (7) уравнениям закона

Гука и равновесия найдем значения коэффициентов ГЦ , |Ч0 , А о •'

.а а

В частности, До = СЦ^^ев , /<0 = а55 . Формулы (7) при

этом имеют место, если ас] удовлетворяют равенству

а51[а1га„-аг1(а„-»а„)] -а* [аиая-Ма1Иа55)]=о. (8)

Считая, что оси координат 03 , и ,Ъ неизменно связаны с те-

13

лом, совместим поочередно дважды с осями координат другие направления упругости. Формулы для компонент напряжений и перемещений в этих случаях будут иметь место, если

)]= о,

а (9)

сц* [а„ а№ - аи(а1а, + а66)] - а66 [ацав- аи(аи+ сцч)] = о. •

Выражения (9) получаются также из (8) круговой заменой индексов у СЦ.

Цутем наложения решений (6) и (7) получим самое общее представление для напряжений и перемещений ортотропного тела. Для его существования необходимо, чтобы коэффициенты &1| удовлетворяли равенствам (5), (8), (9).

В случае трансверсально-изотропного тела равенства (5), (8) обращаются в тождества. Из остальных равенств (9) независимым будет одно уравнение

а<бб[а«а» -ап(сц5 + а55)]-<С[сЦ1а«-Маи4а66)]=о.цо)

Анализ структуры полученных формул дан в § 1.6. Из представления общих формул следуют соотношения, описывающие плоскую деформацию. В каждом из трех частных случаев плоской деформации для изотропного тела получаем известную зависимость между модулем сдвига^ модулем *Чнга и коэффициентом Пуассона. В предельном случае, когда Я,у превращаются в постоянные упругости трансвер-сально-изотропного тела с зависимостями

о-н = , = а55, а6(; = 2(0.^ - ап), ап = а13 ,

из уравнения (10) получаем соотношение

0-55 = 1{\Гй^а1ъ ~ й 13) , (II)

служащее для нахождения модуля сдвига 0"Х1в плоскости XI. Путем циклической перестановки индексов в (II) для нахождения модулей сдвига СдуИ (3^5 в плоскостях 0С1| и ух получим такие соотношения

&66 - а(7сц,ахг - = 2.(\/аПа71-аг5).

14

Легко убедиться, uto выражения (II), (12) являются решением систем вида (5), (8), (9).

Исследование кубического уравнения (4) для различных произвольно заданных значений постоянных упругости CUJ с учетом полученной зависимости модулей сдвига Сч^ от модулей Юнга и коэффициентов Пуассона i lj

- О^ЕсДУЁ^/Е; + 1>1р I, 2, 3; I # | (13)

показало, что кубическое уравнение имеет положительные вещественные корни, причем один корень кратный и равен СС^= Хх -й^/й6в. Третий корень находится по формуле Виета.

Предельные значения Ео = » соответствующие кратному корню ж, = а;г= а„/ав6 • определены по формулам (3) с использованием правила Лопиталя.

Вторая глава диссертации, состоящая из семи параграфов (§§ 2.1-2.7), посвящена решению первой и смешанной задач для ор-тотропного полупространства на основе использования общих формул, полученных в предыдущей главе. Основу второй главы составляет также новое представление общих формул теории упругости ортот-ропного тела, полученных более простым методом. Эффективность нового метода заключается в исключении довольно сложного предельного перехода для ряда функций.

В первом параграфе главы дан вывод общих формул для ортот-ропного полупространства, подверженного действию нормальной нагрузки. Поскольку параметры к (К = I» 2), являющиеся составной частью аргументов функций ф, , фх , зависят от и корней кубического уравнения, то кратность корней отражается также на кратности указанных безразмерных величин. На граничной плоскости % = 0, = . При стремлении А*2 из области занятой телом к значениям £ = \к% на б, для функций ф1 , Фг осуществим предельный переход по , ив силу произвольности полагаем

(14)

ФЛ*,ЯЛ2) = --^(хуф) ♦А, Ф(а'М'Ь*>,

л«, ~ Л1

где произвольные коэффициенты, ^ \1 .

Разлагая ФСх,/л,у Д&2) , , ^Л в ряд Тейлора в окрестности точки А, и осуществляя предельный переход в (6) с учетом (14), после несложных преобразований получим общие формулы для ортотропного полупространства

Э'Ф +„1!Ф\ *-Чт № ■ п ^УЧ, = —1*дгду1' ' Эх1 (1 З^1

—-а*3 ; ^ А< эх, ' дг1

г .¿ъЪгЪ1 Ф +п 33Ф\., ЗДЛв'ф.^Л,

\ ** А, >

•с- ^ , (15)

' -а«*, -а66)£ч

+ - а55&1 - Лее)] ~§аГ '

N1 ЭФ

+ г.Ц(а5551 - ~ аее.)] »

где __аиае1 ам + а<*)_;

^ -а^-о.за^-а^-^-чо.ба^-а«)]'

4 (Аб6 ^бО

ЗД - П*« ,, , а* +Яап х _ .

эХГКа« ЗЬ ' у =2*сц(а„-ап)' 4 "~5</А, +

Функция Фз в (6) полагалась равной нулю.

Осуществляя в (15) предельный переход к изотропному телу, получим известные формулы Л.А.Галина для изотропного полупрост' ранства.

Новое представление общих формул теории упругости для ор-тотропного полупространства, подверженного действию нормальной нагрузки, изложено- в § 2.3. Здесь формулы (15) получены другим, более простым путем в предположении, что

Э^/Эу1 + 9гЧУЭг* , ^ ^-зЧ/'ЭхЭ^, д = Э^/Зх1 * Э1<Р»/Э*' , ^ -,

я

и =-о,5 +а55Ф3),1Г=-о;5|(а£5Ф1 ♦ а,,Ф1-а55ФД

г«Г*-о,5 ¿-(-а^Ф, + амф4 +а„ф8), (1б)

Ф3(Х,№Ы [31 §ф(ОС,я,\2) ♦ § <Р(Ы],.

где 1р(х,|)у7Х1), Ха) _ квазигармонические функции,

удовлетворяющие дифференциальным уравнениям

17

( X + угУ + X''Р? = 0, С X * ГШ'О

¡йвеъ У = эУз^, Ц^'/эа1,

9Ч>/Эа=-<Р, ««Р/Эа = - и «р .

Произвольные постоянные «£ , £ , ^ ,, А и функция V* . выраженная через ф , найдены в процессе удовлетворения уравнениям закона Гука, равновесия, с учетом равенств (17).

Формулы Л.А.Галина для изотропного полупространства в отличие от [ 6] получены в § 2.2 другим методом. При этом полагали

ф< = а .с У + гр' + х Ч>;" Ф, = Ф, = ах? + х «Р, "-о,5а„1(Ф1Гср1+<й), ^-о^^ФиФ.-Фз), (18)

00 ,

где ф-| ^ с1а ; ~ некоторая гармоническая функция;

1 1

= ( а,, - а«,) ; V = - ^ а« 4 а<0аи Ч\

Выражения (18) были положены в основу представлений функций Ф;,, ц , V , иГ в § 2.3 при выводе общих формул для ортот-ропного тела.

В качестве примеров практического использования полученных формул в § 2.4 даны решения ряда задач с различными граничными условиями. В частности, для краевых условий вида

а^^Ти-^'О В.Э, 64 = 0 вЗь, на основании (15), имеем

/"ЭФ \ С (а> У1 ) в обл. 5 1 ,

_£!_ = -с 1а} (19)

где 5 - граничная плоскость полупространства; Э., - некоторая конечная область; Зц,- й - $1; р(а,1р- известная интенсивность

распределения нормального давления

= -

Решение задачи (19) представим в форме

^ - .

Особо отметим, что полученное решение намного упрощается,.

если

= «Л или = йи^СЬц . (20)

Для изотропного и трансверсально-изотропного материалов равенство (20) выполняется тождественно. При разработке новых анизотропных материалов, обладающих трехосной ортотропией, постоянные упругости также могут удовлетворять соотнгшению (20).

Если значение коэффициента - Ф о и мало, то ела-'

гаемым, содержащим дштый множитель можно пренебречь лишь" в том случае, если дать оценку погрешности, которая равна разности значений точного и приближенного решений. По величине погрешности можно судить о возможности использования более простого в обращении приближенного решения.

При дальнейшем изложении содержания работы предполагается, «то равенство (20) выполняется. Это дало возможность получить довольно простые выражения для квазигармонииеских функций, через которые ньтражаются компоненты напряжений и перемещений.

На основании полученных формул даны решения ряда контактных задач. Осуществлен численный расчет осадки границы ортотропного, трансверсально-изотропного и изотропного полупространств при внедрении штампов треугольной и прямоугольной формы в плане. Контактное давление предполагается равномерно распределенным и равным некоторой заданной величине р . Влияние анизотропии материала ортотропного тела при расчете осадки его поверхности, по сра-

19

внению с трансверсально-изотропным и изотропным телами, сказывается не только в учете упругих свойств коэффициентом, стоящим перед поверхностным интегралом"в расчетной формуле, но и наличием постоянных упругости в подынтегральном выражении. Для всех трех материалов наибольшее перемещение границы наблюдается в центре области, а наименьшее - на контуре. Б угловых точках прямоугольной области значение перемещения кГ в два раза меньше, чем в центре.

Определенный интерес представляет также решение контактной задачи для штампа эллиптической формы в плане, внедряющегося в ортотропное полупространство.

Полученные формулы могут быть использованы при определении поверхности подошвы некоторых фундаментов, которые моделируются в виде жестких штампов, в предположении, что контактное давление равномерно распределено и постоянно, а касательные напряжения отсутствуют. Таким образом, задавая поверхность подошвы штампа, можно получить заранее требуемое распределение нормальных усилий в области контакта.

Аналитическое решение краевой задачи при заданной на некоторой области граничной плоскости ортотропного полупространства касательной и нормальной нагрузке, когда параметры ^ (I = 0,1,3) у функций а, 2 ) , а42), ф^ж.^о^ао!)

равны между собой, дано в § 2.5. В работе приведен ряд ортотроп-ных материалов, для которых с достаточной степенью точности можно принять = ^ = ^ о .

В § 2.6 дано решение первой основной граничной задачи без каких-либо дополнительных условий, налагаемых на безразмерные параметры Решение задачи предусматривает два этапа исследований. На первом этапе построено решение в предположении, что в заданной области (эа=.0, ^ 0, ^ 0. Граничная задача све-и;на к определению трех функций. Специальное представление функции Ф0 (ас^М^АоЗ) в форме

= Ф.(здаЛа) + [Ф,(®,м/,Ь)-фв(эдЛ2)],

позволило получить краевую задачу, допускающую представление решения в виде потенциала простого слоя. Для определения разности функций в квадратных скобках получено интегродифференциальное уравнение, решение которого можно получить методом коллокации.

Влияние анизотропии материала на вертикальное перемещение иГ точек прямоугольной области (40 см х 20 см) границы ортотропного полупространства, находящейся под действием равномерно распределенного давления интенсивности р

1 - 0; Е1= 0,895 Ю5 кгс/см2, Ей= 0,655 Ю5 кгс/см2,

Е3= 1,15 Ю5 кгс/см2, (}-23= 0,383 Ю5 кгс/см2,

ф3= 0,448 Ю5 кгс/см2, 0,31 Ю5 кгс/см2,

0,274 , V« = 0,1 , У31 = 0,15.

2 - и, = 0; Е- ' (д в Два раза больше предыдущих

соответствующих значений.

3-^-0; Е;, » (Г1 в "етыре раза превосходят свои первоначальные значения;

V • г для кривых 2, 3 те же, что и для I.

Решение задачи при (э^ Ф 0 здесь не приводится,

поскольку оно изложено в § 2.1.

Суперпозиция решений, полученных для частных видов нагруже-ния ортотропного полупространства, является общим решением первой основной задачи.

Завершает вторую главу решение основной смешанной задачи теории упругости для ортотропного полупространства. Для решения задачи использованы общие формулы для компонент напряжений и перемещений, изложенные в § 1.2.

В третьей главе диссертации получены решения ряда контактных задач теории упругости для ортотропного полупространства.

В § 3.1 описана связь эллипсоидальных ^ , 1) , ^ и прямоугольных координат х , = , = )и2 > используемых при решении контактной задачи для штампа эллиптической формы в плане (§ 3.2). Основание штампа ограничено поверхностью, описываемой произвольной функцией переменных х, у. . На штамп действуют изгибающие моменты Пх»М^> относительно осей СС , , и вертикальная сила, линия действия которой проходит через центр эллипса. В результате осуществленных преобразований задача сведена к определению квазигармонической функции 1Р(сс, 1^,2.,) , которая равняется заданной функции ^(х,^) на верхней и нижней частях разреза в ортотропном пространстве в виде эллиптического диска.

Функция <р (х, найдена из решения задачи Неймана и

представлена в виде потенциала простого слоя. Плотностью простого слоя является неизвестная нормальная нагрузка р(аг, у") > Распределенная в области контакта штампа с ортотропным полупространством. Разлагая потенциал ^ (к, в ряд по функциям Ляме и воспользовавшись выражениями, описывающими его поведение, на бесконечности в соответствующих координатных плоскостях, получены формулы для расчета главного вектора и изгибающих моментов от действующей на штамп со стороны ортотропного полупространства нагрузки р(х^). Явный вид упомянутых формул выписал для штампа круговой формы в плане.

Таким образом, зная нагрузку, действующую на штамп, поверхность основания которого задана известной функцией ^(зс,^) , в работе получены соотношения, описывающие положение его после вдавливания в ортотропное полупространство.

Функция распределения нормального давления р(х,у) в обла-

сти контакта плоскогс штампа эллиптической формы в плане, находящегося под действием вертикальной сосредоточенной силы Р , получена в § 3.3

где а , Ь - полуоси эллипса; х0 , ^о - координаты точки пересечения линии действия силы с координатной плоскостью ху , являющейся границей ортотропного полупространства.

Влияние анизотропии материала упругого тела на перемещение плоского штампа произвольной формы в плане описано в § 3.4'. Предполагается, что под действием заданной силы Р штамп внедряется в ортотропное полупространство так, что его основание всегда перпендикулярно к одной из координатных осей (в рассмотренном случае к оси а. )• В итоге дана верхняя и нижняя оценки для нагрузки, приложенной к штбмпу с плоским основанием произвольной формы в плане, в диапазоне изменения которой обеспечивается перемещение- штампа на заданную величину ¿Г

эксцентриситет эллипса, описанного вокруг плоского основания штампа площадью §0 » й - большая полуось эллипса; значения , , К - выражены через постоянные упругости &Ц- . Получено неравенство для силы Р , вызывающей перемещение на величину ¿Г плоского штампа квадратной формы в плане

(21)

полный эллиптический интеграл первого рода, е ••

для изотропного тела

где Е и - модуль Юнга и коэффициент Пуассона; 2, ^ - сторона квадрата.

Завершает третью главу § 3.5, в котором получены решения ряда контактных задач. Дано решение' задачи о действии нормальной нагрузки интенсивности р,(Х, у) ••••» ра(х, у) , равномерно распределенной по областям, представляющим различные квадраты. Получены формулы для расчета осадки точек любого квадрата. Найдены координаты точек приложения сосредоточенных сил к системе жестких штампов, внедряющихся параллельно оси а. на заданные . расстояния в ортотропное полупространство независимо друг от друга. Рассмотрен также случай жесткого связанных между собой штампов.

В четвертой главе излагаются новые эффективные методы решения краевых задач об упругом равнпесии ортотропного полупространства, находящегося под действием внешней нагрузки и стационарного температурного поля. В основу методов положены специальное представление гармонической функции и новое представление общих формул пространственной задачи термоупругости.

Используя методику вывода общих формул, изложенную в главе I, в § 4.1 получено новое представление составляющих термоупругого состояния ортотропного тела через ряд квазигармонических функций. Уравнения закона Гуна для касательных напряжений и равновесия будут тождественно выполнены, если положить

(э = X 5ч 91ф -Т" + -г + 8а1

V ТФ Эх1 Э1Ф " -_ + -л + аа* ах1 э1 Рг 0аг

<3- Эх* „ Э1Ф Э^з Г) + л -(- ( дц1 Эх1

э'Ф

ЪхЪу 24

= - * . ¿Ь. г -и Э*Гх

ь дхдг дхЭг > Ч* { э^Э* дудг '

где ф = Аг.) - произвольная квазигармоническая функция,

относительно переменных X > ^ «а. > удовлетворяющая уравнению

э'Ф/Зо:1 +/аЭгЯ>/э^ + Гэ'ф/Эа^О;

= Г'и ) ^ = I, 2, 3 - некоторые дифференцируемые фун-

кции, через которые определяются компоненты термонапрякенного .. состояния, вызванным только температурным полем; , А « ^ ~ произвольные безразмерные постоянные.

Удовлетворяя уравнениях) закона Гука для нормальных нпгря-

жеиий

а11®я + + + = За/Эх ,

+ +аибг3 +хаТ = Ътг/ъу ,

считал. Рк = О, получены соотношения из которых определены р , А , & , ^ . Здесь Т = Т(Х,Ц)2) - температура, удовлетворяющая уравнению теплопроводности

к19"Т/ЭХ4 + кьЭ'Т/Эу* + КзЭЧ/Эа^О ;

25

- коэффициенты линейного расширения в главных направлениях упругости тела; К{,- коэффициенты теплопроводности. •

Система дифференциальных уравнений относительно функций получена в результате подстановки (22) (полагая ф = 0) в уравнения закона Гука для нормальных напряжений. После несложных преобразований система приведена к трем дифференциальным уравнениям в частных производных шестого порядка. В § 4.2 изложен эффективный прием сведения полученных неоднородных дифференциальных уравнений к эквивалентным уравнениям Пуассона, решения которых найдены классическим методом.

Явный вид функций , ф определен в зависимости от заданных граничных условий.

Метод решения, задачи по определению термоупругого состояния ортотропного полупространства, вызванного неравномерным распределением температурного поля на его граничной поверхности, изложен в § 4.3.

Контактная задача термоупругости при действии на ортотроп-ное полупространство штампа произвольной формы в плане, нагретого до температуры Т0 , и внедряющегося на заданную величину ■ЦГ0 , решена в § 4.4. Методика решения предусматривает определенную последовательность действий и включает: определение температурного поля в исследуемой области, составляющих термоупругого состояния, искомых квазигармонических функций на основе решения граничных задач теории упругости.

В § 4.5 показано, что в случае удовлетворения уравнениям Навье и закона Гука в виде формул Максвелла при отсутствии какой-либо зависимости между постоянными упругости 0-11 , компоненты напряжений и перемещений выражаются не через квазигармонические функции, а через функции, удовлетворяющие уравнениям в частных производных более высокого порядка дифференцирования.

В заключении кратко сформулированы основные научные результаты диссертации..

ВЫВОДЫ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате выполнения диссертационной работы впервые получены следующие результаты:

I. Дано новое представление общих формул теории упругости и термоупругости ортотропного тела для компонент напряжений и

26

перемещений в виде е>лерпозиции двух групп основных формул, для существования которых требуется выполнение определенной зависимости между постоянными упругости а •

2. Решена первая основная задача для ортотропного полупространства в случае задания на граничной поверхности нормальной нагрузки. [

Исследованы контактные задачи для штампов треугольной, прямоугольной и эллиптической формы в плане, внедряющихся в ортот-ропное полупространство. Решения приобретают.простой вид, если <Х1| удовлетворяют равенству а 13/а^ = а1Ъ \ZaZx -

3. Получено аналитическое решение первой основной задачи при заданных на границе полупространства нормальных и касательных напряжениях.

4. Дано общее решение смешанной задачи теории упругости для ортотропного полупространства.

5. Решена контактная задача для штампа эллиптической формы в плане, находящемся по,ц,действием вертикальной силы и изгибающих моментов. Основание штампа ограничено поверхностью, описываемой произвольной функцией переменных X > у •

Получены расчетные формулы, по которым определяется положение штампа после внедрения его в ортотропное полупространство в зависимости от приложенной внешней нагрузки V заданной поверхности основания.

6. Получена функция распределения нормального давления в области контакта плоского штампа эллиптической формы в плаке, находящегося под действием вертикальной силы.

7. Дана верхняя и нижняя оценки для нагрузки, приложенной

к штампу с плоским основанием произвольной формы в плане, в диапазоне изменения которой обеспечивается перемещение штампа на заданную глубину с учетом влияния анизотропии материала.

8. Получены решения контактных задач для системы независимых друг от друга и связанных между собою штампов, внедряющихся в ортотропное полупространство.

9. Получены" новые общие формулы для расчета напряжений и перемещений ортотропного тела в зависимости от заданного на его граничной поверхности температурного поля.

10. Разработан эффективный прием сведения дифференциальных неоднородных уравнений в частных производных шестого порядка к эквивалентным уравнениям Пуассона, решения которых находятся на

27

основе известного классического метода;

11. Изложен метод решения задачи по определению термоупругого состояния ортотропного полупространства, вызванного неравномерным распределением температурного поля на его граничной поверхности.

12. Дано решение контактной задачи термоупругости в случае -внедрения в-ортотропное тело нагретого жесткого штампа на заданную глубину.

Основное содержание диссертации изложено в следующих публикациях:

1. Василевич Ю.В. Общие формулы статической термоупругости для трехмерного анизртропного тела // Инж.-физ. журнал. - 1288. -Т.54, № 5. - С.854-855.

2. Василевич Ю.В. Давление штампа эллиптической формы в плане на ортотропное полупространство // Прикл.мех. - 1990. - Т.26,

К> 12. - С.76-81.

3. Василевич Ю.В., Прусов И.А. Об условиях существования некоторых представлений решений задач теории упругости для ортотропного тела // Изв.АН СССР. - 1989. МТТ. - № I. С. 83-87.

4. Василевич Ю.В., Прусов И.А. Об одном методе решения первой основной задачи для ортотропного полупространства // Изв. АН СССР. - 1989. - МТТ. - № 2. - С.66-72.

5. Василевич Ю.В., Прусов И.А. Упругое состояние ортотропного полупространства при действии на его границу штампов полигональной формы в'плане // Изв.АН БССР.- - 1989. - Сер.физ,-мат. н. - В 4. - С.П8-П9.

6. Василевич Ю.В., Прусов И.А. Напряжения и перемещения для упругого ортотропного полупространства, находящегося под действием нормальной нагрузки // Теорет. и прикл. мех.: Республ. межвед. сб.науч.тр. - Минск: Вышэйшая школа, 1989. - № 16. -С. 56-59.

7. Василевич Ю.В. Контактная задача теории упругости для ортотропного полупространства // Изв. АН БССР. - 1990. - Сер.физ.-мат.н. - № I. - СЛ16. Деп. в ВИНИТИ 6.12.88, № 8616-В88. -33 с.

8. Василевич Ю.В. Расчет напряженно-деформированного состояния трехмерных тел из модифицированной древесины // Модификация

древесины: Тез.докл.Всесовзн.конф. 5-7 июня 1990 г. -Минск, 1990.

9. Василевич Ю.В. О расчете подошвы некоторых фундаментов // Динамика оснований, фундаментов и подземных сооружений: Тез.докл.Всесоюз.науч.конф. 25-27 сент. 1989 г. - Днепропетровск, 1989. C.9-IG.

10. Василевич D.B. Контактная задача термоупругости для ортот-ропного полупространства // Вести. Белорусок, ун-та. Osp.I, физ.,мат.и мех. - 1990. № I. - С.40-43. .

11. Василевич Ю.В. Решение первой основной задачи для ортотроп-ного полупространства // Изв. АН БССР. - 1990. - СЬр.физ.'-мат.н. - № I. - С.24-30. * '

12. Василевич Ю.В. Термоупругое состояние ортотропного тела, вызванное стационарным температурным полем // .Вестн. Белорусок. ун-та. Сэр Л, физ., мат. и мех. - 1989. № 3. - 61-64.

13. Василевич Ю.В. Об одном методе решения задач термоупругости для трехмерных ортотропннх тел // Изв. АН БССР. - 1989. -СЬр.физ.-энергет.н. - ],* 4. С. 114.

14. Василевич Ю.В. Решение основной смешанной задачи теории упругости для ортотропного полупространств'. // Изв. АН БССР. -1990. - Оэр.физ.-мат.н. - » 3. - С.117. Деп. в ВИНИТИ 07.02.89, V 834-В89. - 10 с.

15. Василевич Ю.В. Метод расчета упругого состояния трехмерных анизотропных тел, подверженных статическим нагрузкам // Радиопрозрачные обтекатели (РП0) и укрытия (РПУ): Тез.докл. научн.-тех.семинара 11-13 сент. 1990 г. - Минск, 1990. -

С.42-43.

Прусов И.А., Василевич Ю.В. Об одном варианте представления общих формул теории упругости ортотропного тела // Вестн. Белорусок, ун-та. - 1981. - Cbp.I, физ., мат.и мех., № 3. - С.39-45.

17. Прусов И.А., Василевич Ю.В. Зависимость модулей сдвига трехмерного ортотропного тела от модулей Юнга и коэффициентов Пуассона //. Пеханика неоднородных структур: Тез.докл. 2 Всесоюз. науч. конф. 2-4 сентября 1987 г. - Львов, 1987. - Т.2. -С. 240-241.

18, Прусов И.А., Василевич Ю.В., Нудинова Г.В. О зависимости постоянных упругости трехмерного ортотропного тела // Вестн. Белорусок, ун-та. - 1989. - СЬрЛ., физ., мат.. и мех., № I,-

29

С. 61-63.

19. Прусов И.А., Василевич Ю.В. О представлении общих формул теории упругости ортотропного тела // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат.н. - 1988. - № 3. - C.9-I2.

20. Прусов И.А., Василевич Ю.В. Решение основных граничных задач для ортотропного полупространства // Смешанные задачи механики деформируемого тела: Тез.докл. 1У Всесоюз. науч. конф. 26-29 сентября 1989 г. - Одесса.

21. Прусов И.А.', Василевич Ю.В. Новое представление общих формул теории упругости ортотропного тела, подверженного действию нормальной нагрузки // Вестн. Белорусск. ун-та. - 199I. -

№ 2. -г С.42-46.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Гузь А.Н., Немил Ю.Н. Методы возмущений в пространственных задачах теории упругости. - Киев: Вища школа, 1982. - 352 с.

2. Немиш Ю.Н. Трехмерные граничные задачи теории упругости для неканонических областей // Прикл.мех. - 1980. - Т.16, }р 2. ~ С. 3-39.

3. Йупрадзе В.Д. и др. Трехмерные задачи математической теории упругости. - Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та, 1968. - 628 с.

4. Ганев И.Х. 0 полном решении трехмерной проблемы ортотропних сплошных сред в прямоугольных координатах // Мех. сплошной среды: Сб. матер. Междунар.конф. - София: Изд-во Болг. АН, 1968. - С.123-134.

5. Моссаковская С. Функция напряжений для упругих тел, обладающих трехосной орготропией // Бюл.Нольск.АН. Отд.4. - 1955. -Т.З, Я I. - С.3-6.

6. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости и вязко,упругости. - М.: Наука, -1980. - 304 с.