Задачи несвязанной термоупругости ортотропных геометрически нерегулярных оболочек и пластин с термочувствительной толщиной тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение.

I. Основные соотношения и уравнения несвязанной термоупругости геометрически нерегулярных ортотропных пологих оболочек с термочувствительной толщиной.

1.1.Кинематическая модель пологой ортотропной оболочки с термочувствительной толщиной.

1.2. Соотношения Коши.

1.3.Силовые характеристики ортотропных пологих оболочек с термочувствительной толщиной.

1.4.Функция Лагранжа для термоупругой системы в виде пологой ортотропной геометрически нерегулярной оболочки с термочувствительной толщиной.

1.5.Динамические уравнения линейной теории ортотропных геометрически нерегулярных оболочек с термочувствительной толщиной.

1 .б.Динамические уравнения композиций из ортотропных пологих цилиндрических оболочек и пластин, гладко сопряженных между собой.

1.7.Уравнения теплопроводности композиций из пологих оболочек и пластин.

1.8.Уравнения термоупругого равновесия композиций из ортотропных пологих цилиндрических оболочек и пластин, перекрывающих косоугольный план.

II. Решения задач несвязанной термоупругости пологих ортотропных геометрически нерегулярных оболочек и пластин с термочувствительной толщиной.

2.1.Определение температурных функций для ортотропных оболочек и пластин в условиях конвективного теплообмена через лицевые поверхности с окружающей средой.

2.2.Решения термоупругих задач пологих ортотропных оболочек и пластин с термочувствительной толщиной.

2.3.Решение несвязанной термоупругости геометрически нерегулярной пластинки с теплоизолированными лицевыми поверхностями.

2.4.Решение несвязанной термоупругости геометрически нерегулярной косоугольной пластинки на базе модели Кирхгофа - Лява.

III. Статическая термоустойчивость ортотропных пологих оболочек и пластин с термочувствительной толщиной.

3.1.Уравнения статической термоустойчивости геометрически нерегулярных пологих оболочек с термочувствительной толщиной.

3.2.0пределение решений уравнений термоупругости ортотропных пластин и пологих оболочек, находящихся в безмоментном состоянии.

3.3.Определение критических температур, при которых возможна скачкообразная смена форм равновесия термоупругой ортотропной системы.

IV. Решения динамических задач ортотропных геометрически нерегулярных пластин с термочувствительной толщиной.

4.1.Динамические уравнения несвязанной термоупругости геометрически нерегулярных пологих оболочек с термочувствительной толщиной на базе модели типа Лява.

4.2.Определение областей динамической неустойчивости нагретой ортотропной ребристой пластинки под действием периодической нагрузки.

Геометрически нерегулярные ортотропные оболочки (ГНО), обширные классы которых представляют композиции из оболочек различных толщин, оболочки и пластинки, гладко сопряженные между собой, ребристые оболочки и т.п., широко используются в различных областях техники. Условия эксплуатации ГНО предусматривают в ряде случаев воздействие стационарных и нестационарных температурных полей со стороны рабочей среды. Нагрев, как показывает практика, приводит к ухудшению прочностных характеристик конструкционных материалов (понижение модуля упругости, предела прочности, предела текучести). При воздействии температурных полей, не приводящих к уменьшению допускаемых напряжений, в ГНО могут возникать термические напряжения, значительно превосходящие напряжения от силовых нагрузок. Возникновение термических напряжений и деформаций приводит к изменению первоначальной геометрии конструкции, что недопустимо, например, в ракетной и авиационной технике, электронном машиностроении по вполне понятным причинам. Следует также отметить, что воздействие температуры приводит к уменьшению сопротивляемости конструкции типа ГНО по отношению к внешним силовым нагрузкам. Поведение ГНО в температурных полях практически непредсказуемо по причине сложности тепловых и термоупругих процессов, проходящих в сплошных средах в виде ГНО, а, следовательно, и математической сложностью краевых задач термоупругости, успех в решении которых зависит от структуры температурных полей, входящих в правые части сингулярных дифференциальных уравнений несвязанной термоупругости и краевые условия.

Анализ поведения ГНО и пластин в рамках атермической теории упругости на основе модели типа Лява в линейной и геометрически нелинейной постановках содержится в большом числе работ, простое перечисление которых займет не один десяток наименований. Значительно меньше работ касается проблем упругости регулярных и ГНО на базе модели типа Рейсснера

1 - 4], [30], [31], [33], [34], [40], [42 - 44], [48], [53], [56], [59], [64 - 67], [69], [72], [73], [78], [79], [85 - 87], [94], [96 - 100].

Вопросам термоупругости ГНО и пластин на основе модели типа Рейсснера в линейной и геометрически нелинейной постановках посвящено еще меньше работ и объясняется это не малой значимостью проблемы, а прежде всего чрезвычайной математической сложностью краевых задач и трудоемкостью в получении количественных результатов даже в простейших постановках: [9], [12 - 27], [45], [46], [57], [58], [95].

Незначительное число работ посвящено расчетам элементов конструкций в виде пологих регулярных и геометрически нерегулярных оболочек и пластин, перекрывающих косоугольный план в координатной плоскости. Исследования напряженно - деформированного состояния таких пластин и оболочек на базе атермической теории упругости в рамках модели типа Лява содержатся в работах [5], [85], [101], [102], [103]. Основные соотношения и сингулярные уравнения несвязанной термоупругости оболочек переменной толщины и, как предельный случай, ребристых оболочек, получены в работе [46] в локальной криволинейной системе координат.

В существующих моделях теории оболочек "сквозной" является гипотеза недеформируемости нормали к срединной поверхности, т. е. расстояние между точками, лежащими на лицевых поверхностях, не изменяется, что не согласуется с физической реальностью при нагреве оболочки, и проверка этого факта не требует сложных экспериментов.

Необходимость предельно точного анализа поведения элементов конструкции в виде ГНО под действием реальных температурных полей, определяемых предварительно путем интегрирования уравнений теплопроводности для рассматриваемого класса конструкций, возникает во многих областях техники - в авиастроении, ракетостроении, электронной технике - при проектировании плат, экранов, оболочек ламп и т. п. Используемые в инженерной практике математические модели ГНО должны отражать известные физико-механические факты и допускать анализ на основе строгих математических методов, позволяющих находить аналитические решения краевых задач теплопроводности и термоупругости ГНО, удобные при количественном анализе с помощью ЭВМ. В связи с этим актуальными, представляющими теоретический и практический интерес, являются исследования термоупругого поведения ГНО и пластин с учетом реального поведения материала при нагреве.

Этим исследованиям посвящена данная диссертационная работа, целью которой, в связи с вышеперечисленным, является:

1. Разработка на базе симметричной теории упругости кинематической модели ортотропных геометрически нерегулярных оболочек с термочувствительной толщиной. За основу принимается сдвиговая модель типа Рейсснера.

2.Вывод динамических уравнений термоупругости ГНО с термочувствительной толщиной, сингулярных дифференциальных уравнений термоупругости композиций из пологих ортотропных цилиндрических оболочек и пластин, перекрывающих прямоугольные и косоугольные планы в координатной плоскости исходя из вариационных принципов механики.

3. Определение решений теплопроводности и термоупругости статических и динамических задач ГНО различного класса и пластин, находящихся в условиях конвективного теплообмена через лицевые поверхности с рабочей средой методами двойных тригонометрических рядов, суперпозиции одинарных тригонометрических рядов и многочленов, учитывающих характер неоднородности краевых условий

4. Определение функций прогиба; поля перемещений и тангенциальных усилий, возникающих в ортотропных пластинах и оболочках в безмоментном состоянии при нагреве; критических температур, при достижении которых становится возможным скачкообразная смена форм равновесия термоупругой ортотропной системы; областей динамической термоустойчивости нагретых ортотропных пластин под действием сжимающих, периодических во времени усилий. Сравнение с количественными результатами, полученными с учетом гипотезы неизменяемости нормали.

Все перечисленные результаты являются новыми и выносятся на защиту. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложений.

В первой главе, на базе модели типа Рейсснера (учитывающей сдвиговые деформации по толщине оболочки), в предположениях: ортотропная геометрически нерегулярная оболочка находится только под действием температурного поля, а компонента тензора полной деформации £33 = a2®(xi,X2,X2,t), определяется закон изменения поля перемещений и по толщине термоупругой системы. Температурное поле, в предположении отсутствия локальных источников тепла внутри оболочки, представляется в виде степенного по ее толщине ряда. Ранее проведенные исследования [6], [7] показали, что в случае ребристой термоупругой системы при значениях hпараметра — е (0,4) закон изменения температуры по толщине ГНО линеен h Л по пространственной координате Х3 (— - высота ребра от лицевои поверхности оболочки, h - толщина оболочки). Получены выражения в перемещениях и обобщенных углах поворота для функций Лагранжа в случаях композиций из пологих ортотропных оболочек двоякой кривизны различных толщин; ребристой пологой ортотропной оболочки двоякой кривизны и композиции из пологих ортотропных цилиндрических оболочек и пластин, гладко сопряженных между собой. За основу принята секвенциальная теория обобщенных функций, используемых при описании лицевых поверхностей ГНО и срединной поверхности композиции из пологих цилиндрических оболочек и пластин, гладко сопряженных между собой вдоль одной из координатных прямых.

Исходя из интегрального вариационного принципа Гамильтона, получены сингулярные дифференциальные уравнения несвязанной динамической термоупругости ортотропных ГНО указанных классов и естественные краевые условия.

Получены уравнения равновесия композиций из оболочек и пластин в косоугольной системе координат.

Приводятся сингулярные уравнения для определения температурных функций в предположении конвективного теплообмена ГНО через лицевые поверхности с рабочей средой.

Во второй главе решаются задачи несвязанной термоупругости ортотропных пологих оболочек двоякой кривизны, цилиндрических оболочек и композиций из цилиндрических оболочек и пластин с термочувствительной толщиной, находящихся в конвективном теплообмене с рабочей средой через лицевые поверхности. Решения разыскиваются методом двойных тригонометрических рядов. Проводится сравнение результатов с решениями аналогичных задач термоупругости на базе "классической" модели Рейсснера -без учета изменяемости толщины при нагреве.

В случае косоугольной ребристой изотропной пластинки при шарнирном и жестком закреплении двух противоположных краев решение сводится, с помощью процедуры Галеркина, к интегрированию обыкновенных частично-вырожденных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами в виде обобщенных 8 - функций и их производных первого порядка. Проводится анализ корней характеристических уравнений в зависимости от угла наклона двух смежных сторон пластинки. Приводится, в частном случае, сравнение с результатами Тимошенко С. П., Лейтца Г., Лоренца Н. и Менаже А. Полученные количественные результаты представлены в виде таблиц, характеризующих влияние параметров геометрического толка на прогибы оболочек при различных значениях тепловых и упругих постоянных.

В третьей главе исследуется статическая термоустойчивость пластин и пологих оболочек. Исходное термоупругое состояние предполагается безмоментным и определяются перемещения и усилия, возникающие в пластине или оболочке путем интегрирования соответствующей краевой задачи. Рассматриваются различные варианты граничных условий. Далее методом двойных тригонометрических рядов разыскиваются решения дифференциальных уравнений, описывающих моментное состояние термоупругой ортотропной системы, строятся определители термоустойчивости, из равенства нулю которых определяются уравнения, связывающие геометрические параметры, упругие постоянные, температуру, при которых становится возможным скачкообразный переход к новым формам равновесия. Проводятся сравнения с решениями на базе модели Рейсснера без учета деформируемости нормали, а также с решениями, полученными с учетом гипотез Кирхгофа - Лява. Отмечается, что гипотеза деформируемости нормали вносит поправки в величины критических температур в сторону их уменьшения.

Четвертая глава посвящена вопросам динамической термоустойчивости геометрически нерегулярных ортотропных пластин, находящихся под совместным воздействием периодических во времени сжимающих усилий и нагрева. Решение сводится к интегрированию уравнений Матье. Строятся области динамической неустойчивости пластинки и проводится сравнение с решениями, не учитывающими деформируемость нормали при нагреве. Обнаружена закономерность, что при заданном значении коэффициента возбуждения области динамической неустойчивости для пластины, рассмотренной по модели Рейсснера, расположены выше областей динамической неустойчивости, построенных с учетом деформируемости нормали.

В заключении приведены общие выводы по результатам исследований.

10

Результаты работы докладывались:

- на научных семинарах кафедры "Теоретическая механика" СГТУ (Саратов, 1996-2001 г.г.);

- на семинаре кафедры "Высшая математика" СГТУ (Саратов, 2001 г.);

- на международном симпозиуме "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред" (Москва, 2001 г.);

- на семинаре кафедры «Математическая теория упругости и биомеханика» СГУ (Саратов, 2001г.).

Основное содержание работы опубликовано в статьях [24], [25], [26], [91].

I. Основные соотношения и уравнения несвязанной термоупругости геометрически нерегулярных ортотропных пологих оболочек с термочувствительной толщиной В рамках модели типа Рейсснера рассматриваются геометрически нерегулярные ортотропные пологие оболочки с изменяемой при нагреве толщиной. Динамические уравнения несвязанной термоупругости и краевые условия выводятся из интегрального вариационного принципа Гамильтона. Из тех же посылок получены системы сингулярных дифференциальных уравнений термоупругости композиций из оболочек и пластин, гладко сопряженных между собой, в декартовой и косоугольной системах координат. Приводятся различные начертания уравнений для температурных функций, необходимые при определении реальных температурных полей, действующих на геометрически нерегулярные ортотропные оболочки, находящихся в условиях конвективного теплообмена с рабочей средой через лицевые поверхности.

Заключение

В диссертационной работе:

1.Получена математическая модель ортотропной оболочки с термочувствительной толщиной, на основе которой, исходя из вариационного принципа Гамильтона, выведены динамические уравнения несвязанной термоупругости геометрически нерегулярных пологих ортотропных оболочек -композиций из оболочек различных толщин, ребристых оболочек, композиций из пологих цилиндрических оболочек и пластин, гладко сопряженных между собой; сингулярные системы термоупругости записаны в перемещениях и обобщенных углах поворота.

2.Выведены уравнения равновесия несвязанной термоупругости композиции из оболочек и пластин в косоугольной системе координат.

3. Методом двойных тригонометрических рядов получены решения краевых задач теплопроводности и термоупругости ортотропных пологих оболочек различной геометрии (двоякой кривизны, цилиндрические, композиции из оболочек и пластин), находящихся в условиях конвективного теплообмена с рабочей средой через лицевые поверхности.

4.На базе классической модели типа Рейсснера получено в замкнутом виде решение сингулярной системы дифференциальных уравнений термоупругости ребристой пластинки с теплоизолированными основными поверхностями при произвольном закреплении двух противоположных краев. Решение производилось методом суперпозиции одинарного тригонометрического ряда с переменными коэффициентами и многочлена, учитывающего характер неоднородности краевых условий.

5.На основе модели типа Лява получено решение в замкнутом виде для ребристой косоугольной нагретой пластинки под действием нормального давления заданной интенсивности при различных краевых условиях (шарнирное опирание, жесткая заделка). Проводится сравнение результатов с решениями, полученными другими авторами (Тимошенко С.П., Лейтц Г., Лоренц Н., Менаже А.).

6.Методом двойных тригонометрических рядов получены решения различных краевых задач статической термоустойчивости ортотропных геометрически нерегулярных пластин с термочувствительной толщиной. Предварительно определяются в замкнутом виде интегралы уравнений безмоментного состояния пластин и тангенциальные усилия, возникающие в термоупругой системе при нагреве.

7.Определяются границы областей динамической неустойчивости нагретой ортотропной геометрически нерегулярной пластинки с термочувствительной толщиной, находящейся под действием периодической по временной координате нагрузки. Решение задачи динамической термоустойчивости сведено к уравнению Матье. Исследуется влияние параметров геометрического толка, деформации сдвига, температуры, деформации нормали на конфигурации границ первых трех областей динамической неустойчивости.

8.Все полученные в работе аналитические решения теплопроводности и термоупругости ГНО и пластин приводятся в видах, позволяющих непосредственно использовать вычислительную технику для количественного и качественного анализов поведения рассматриваемых конструкций в зависимости от физико - механических характеристик материала и геометрических параметров.

1. Анойла JI. Я. Нелинейная теория типа Тимошенко для упругих оболочек // Изв. АН Эст. ССР, сер. физ.-мат. и техн. наук,- 1965. т. 14.- №3.-С. 337-344.

2. Амбарцумян С. А. Теория анизотропных оболочек. М,: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1961. - 383 с.

3. Амбарцумян С. А. Теория анизотропных пластин. М.: Наука, 1967. - 380с.

4. Антонов Е. Н. Соотношения линейной теории оболочек с учетом поперечных сдвигов и обжатия.- СПб, 1993. 10с. - Деп. в ВИНИТИ Санкт Петербургским гос. архит,- строит, ун-том, № 32942-В93.

5. Абовский Н.П. Многоконтактные задачи ребристых пологих оболочек и пластин: Автореф. дис. .докт. техн. наук. JI., 1970. -46 с.

6. Белосточный Г. Н. Напряженное и деформированное состояние, статическая термоустойчивость и колебания пологих ортотропных оболочек и пластинок, подкрепленных ребрами жесткости. Дисс. . канд. техн. наук.-Саратов, СПИ, 1979.-219 с.

7. Белосточный Г. Н. Геометрически нерегулярные оболочки и пластинки под действием температурных факторов. Дисс. . докт. техн. наук.- М., МАИ, 1992.-594 с.

8. Белосточный Г. Н. Геометрически нерегулярные оболочки с термочувствительной толщиной.- Саратов, 1996. 23с. - Деп. в ВИНИТИ, № 1747-В96.

9. Белосточный Г. Н., Гущин Б. А. Секвенциальный подход к интегрированию линейного дифференциального уравнения // Прикладная теория упругости:

10. Межвуз. научн. сб. / Саратов, СПИ, 1989.- С. 92-99.

11. Белосточный Г. Н., Гущин Б. А. Рассудов В.М. Методы отыскания частных решений линейных неоднородных дифференциальных уравнений, правые частикоторых содержат обобщенные функции / Саратов,СПИ, 1987.-6 с. -Деп. в ВИНИТИ 17.05.88 №3767-В88.

12. Белосточный Г. Н., Пономарева В. А. Термоупругие композиции из пологих цилиндрических оболочек и пластин с учетом влияния поперечных сдвигов.- Саратов, 1985. Деп. в ВИНИТИ, № 1709-85.

13. Белосточный Г. Н., Рассудов В. М. О потере устойчивости подкрепленных, жестко заделанных по всему контуру ортотропных пластин с учетом влияния поперечных сдвигов. // Механика деформируемых сред.- Саратов: СГУ, 1982.-вып. 7.

14. Белосточный Г. Н., Рассудов В. М. Применение обобщенных функций в задачах термоустойчивостн ребристых ортотропных пластин с учетом влияния деформаций сдвига (тезисы) // Труды XI Всесоюзной конф. по теории оболочек и пластин. Харьков, 1977.

15. Белосточный Г. Н., Рассудов В. М. Термоустойчивость прямоугольной ортотропной пластинки, подкрепленной ребрами жесткости с учетом влияния поперечных сдвигов. // Прикладная теория упругости. Саратов, 1976. - 122с, - Деп. в ВИНИТИ, № 2255-76.

16. Белосточный Г. Н., Русина Е. А. Геометрически нерегулярные пластинки с термочувствительной толщиной // Проблемы прочности материалов и конструкций, взаимодействующих с агрессивными средами. Межвузовский научный сборник. Саратов: СГТУ, 1999.- С. 23-28.

17. Белосточный Г. Н., Русина Е. А. Динамические уравнения несвязанной термоупругости оболочек с термочувствительной толщиной. Саратов: СГТУ, 1999. - 5с. - Деп. в ВИНИТИ, № 3875-В99.

18. Белосточный Г. Н., Русина Е. А. Оболочки и геометрически нерегулярные пластинки с термочувствительной толщиной // Доклады Российской Академии Естественных Наук, № 1; Саратов: СГТУ, 1999. - С. 28-37.

19. Белосточный Г.Н., Цветкова О.А. Основные уравнения теории ортотропных пластин с термочувствительной толщиной // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред : Межвуз. научн. сб. -Саратов: СГТУ,2000. С. 65- 68.

20. Болотин В. В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости.- М.: Гос. изд-во физ мат. литер., 1961. - 339 с.

21. Болотин В. В. Динамическая устойчивость упругих систем. М.: Гос. изд-во техн.-теорет. литер., 1956. - 600 с.

22. Васильев В.В., Федоров П. В. К задаче теории упругости, сформулированной в напряжениях // Изв. РАН, МТТ, 1996.- №2. с. 82-92.

23. Васильев В. В. О теориях тонких пластин // Изв. РАН, МТТ, 1992, №3 -С. 26-47.

24. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. М.: «Наука», 1976.-280с.

25. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем.- М.:Наука, 1967.-984с.

26. Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972.-432с.

27. Галфаян П. О. Решение одной смешанной задачи теории упругости для прямоугольника. // Изв. АН Арм. ССР, 1964, т. 17, № 1. С. 41-61.

28. Геккелер И. В. Статика упругого тела. Л.: Госуд. технико-теоретич. изд-во, 1934. - 287с.

29. Галинын А.К. Расчет пластин и оболочек по уточненным теориям: Исследования по теории пластин и оболочек. Казань: КГУ, 1970.вып. 6-7.-С.23-64.

30. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений.- М.: Гос. изд-вофиз мат. литер., 1958.-274 с.

31. Гольденблат И. И. Некоторые вопросы механики деформируемых сред. -М.: Гос. изд-во техн.-теорет. литер., 1955. 271с.

32. Гольденвейзер A. JI. К теории изгиба пластинок Рейсснера // Изв. АН СССР, №4, 1958.

33. Гольденвейзер А. Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: Гостехиздат, 1953.-512с.

34. Григолюк Э. И. Конечные прогибы трехслойных оболочек с жестким заполнителем. // Изв. ОТН АН СССР, 1958, № 1.

35. Григоренко Я.М., Максименко В.П. Напряженно-деформированное состояние гладких и ребристых цилиндрических оболочек при локальных нагрузках. Докл. АН. УССР, 1982, сер. А, №3, с.22-25.

36. Дудченко А. А., Лурье С. А., Образцов И. Ф. Анизотропные многослойные пластины и оболочки // Итоги науки и техники. Сер. Мех. деформ. тверд, тела, т. 15. М.: ВИНИТИ, 1983. - С. 3-68.

37. Дургарьян С. М. К температурному расчету ортотропной пластинки с учетом поперечных сдвигов. // Изв. ОТН АН СССР» Мех. и Мат., 1962, №6.

38. Жилин П. А. Линейная теория ребристых оболочек. / Изв. АН СССР. Механика твердого тела, вып. 4, 1970. 366с.

39. Жилин П. А. О теориях Пуассона и Кирхгоффа с позиций современной теории пластин // Изв. РАН, МТТ, 1992. №3. - С. 48-64.

40. Ильин В. П., Карпов В. В. Устойчивость ребристых оболочек при больших перемещениях. // Стройиздат, Ленинградск, отделение, Л., 1986. 168с.

41. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа.

42. М: Госуд. изд-во технико-теоретич. литер., 1952. 390с.

43. Карпенко А.В. Соотношения непрерывности деформации в теории цилиндрических оболочек с нерегулярной геометрией срединной поверхности. // Вестник СПбГУ, Сер 1, 1995, Выпуск 4 (№ 22).

44. Кеч В., Теодореску П. Т. Введение в теорию обобщенных функций с приложениями в технике. М.: Мир, 1978. - 518с.

45. Коваленко А. Д. Основы термоупругости. Киев.: «Наукова думка», 1970. -695с.

46. Колос А. В. Об области применения приближенных теорий изгиба пластин типа теории Рейсснера // Труды IV Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластинок. М.: Наука, 1966.

47. Коляно Ю.М., Кулик A.M. Температурные напряжения от объемных источников // Изд во «Наукова думка», Киев, 1983, 286с.

48. Кушнир P.M. О построении решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с кусочно постоянными коэффициентами // Докл. АН УССР, сер.А, 1980.- № 9.-С. 55-59.

49. Карпов В.В. Геометрически нелинейные задачи для пластин и оболочек и методы их решения.- М.,СПб: изд-во АСВ, СПбГАСУ, 1999.-154 с

50. Красюков В.П., Панкратов Н.Д., Рассудов В.М. Метод тригонометрических рядов в решении температурных задач теории пологих оболочек // Механика деформируемых сред, вып. 1. Саратов; СГУ. 1974. - 156с.

51. Красюков В. П., Панкратов Н. Д., Рассудов В. М. Расчет нагретой прямоугольной анизотропной пластинки с учетом деформации сдвига // Материалы 32-ой научно-технической конференции Саратовского политехнического института. Саратов: СПИ, 1969. - 237с.

52. Крысько В. А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек. -Саратов: СГУ, 1978.

53. Лебедев Н. Н. Температурные напряжения в теории упругости. Оренбург: ОНТИ, 1937.-351с.

54. Лурье А. И. Общая теория упругих тонких оболочек. /Ред. ж. ПММ, т. 4, вып. 2,-М.: АН СССР, 1940. 275с.

55. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела.- М.,Л.: Гос. изд-во техн.-теорет. литер., 1950.-299 с.

56. Лурье А. И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. - 939с.

57. Лурье С. А., Гавва Л. М. Метод расчета напряженно-деформированного состояния несимметрично подкрепленных панелей из композиционных материалов с граничными условиями общего вида. // Вестн. Московск. авиац. ин-та. М., 1996. - 2,№1. - С. 43-50.

58. Лурье С. А., Шумова Н. П. Кинематические модели уточненных теорий композитных балок, пластин и оболочек. // Мех. Композит, матер. 1996. -32, №5. -с. 612-624.

59. Маклин У., Ледерман С. Установка для электромагнитного нагрева Бруклинского политехнического иститута // Проблемы высоких температур в авиационных конструкциях.М.,Изд-во НЛ, 1961.-595 с.

60. Михайлов Б.К. Пластинки и оболочки с разрывными параметрами. Л.: изд-во Ленингр. ун-та, 1980.- 196 с.

61. Новицкий В.В. Дельта функция и ее применения в строительной механике // Расчет пространственных конструкций, 1962.- вып.8.-С.207-245.

62. Новожилов В. В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромгиз. 1951. - 344с.

63. Образцов И. Ф., Лурье С. А., Белов П. А. Об обобщенных разложениях в прикладных задачах теории упругости и их приложениях к задачам механики композитных конструкций. // Мех. композиц. матер, и конструкций. 1997. - 3, №3. - с. 62-79.

64. Огибалов П. М. Вопросы динамики и устойчивости оболочек.- М.: МГУ, 1963.-417 с.

65. Огибалов П.М. Термоустойчивость пластин и оболочек.- М.: МГУ, 1968.-520с.

66. Онанов Г. Г. Уравнения с сингулярными коэффициентами типа дельта -функций и ее производных // ДАН СССР, 1970.-Т. 191.-№5. С. 997-1000.

67. Павилайнен В.Я. К расчету пологих оболочек, подкрепленных ребрами // Исследования по упругости и пластичности.- Л.: ЛГУ, 1968.- Сб. 7.- С.27-40.

68. Павилайнен В.Я. Расчет многоволновых покрытий из оболочки положительной гауссовой кривизны. // Симпозиум по проблемам взаимосвязей проектирования и возведения оболочки,- Л.: Стройиздат, 1966.

69. Пелех Б.Л. Обобщенная теория оболочек.- Львов: Вища школа, 1978. 158с.

70. Пелех Б.Л. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. К.:Наукова Думка, 1963. - 252с.

71. Победря Б. Е. Лекции по тензорному анализу. М.: МГУ, 1979. - 222с.

72. Подстригач Я. С., Пелех Б.Л. Термоупругие задачи для оболочек и пластин с низкой сдвиговой жесткостью // Тепловые напряжения в элементах конструкций.- Киев: Наукова думка, 1970.

73. Подстригач Я. С., Швец Р. Н. Термоупругость тонких оболочек. Киев: Наукова Думка, 1978. - 343 с.

74. Подстригач Я. С., Пелех Б.Л., Сиренко И.Г. Некоторые основные вопросы термоупругости трансверсально изотропных оболочек // Инженерный журнал, МТТ, 1971.- № 6.

75. Стретт М. Д. О. Функции Ляме, Матье и родственные им в физике итехнике. Киев, Харьков; ОНТИ, НКГП, Гос. науч.-техн. изд-во Украины, 1935.-236 с.

76. Тимошенко С.П. Пластинки и оболочки.- JI.: ОГИЗ, Гостехиздат, 1948.-510с.

77. Тимошенко С. П. Устойчивость упругих систем. JL: ОГИЗ, Гостехиздат, 1946.-531 с.

78. Тимошенко С. И, Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Физматгиз, 1963. -345 с.

79. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения.- М.: Изд-во НЛ, 1962,- 351 с.

80. Уздалев А. И. Некоторые задачи термоупругости анизотропного тела. -Саратов: СГУ, 1967. 410 с.

81. Филин А. П. Элементы теории оболочек. Л.: Стройиздат, 1975. -290с.

82. Цветкова О.А. Термоустойчивость композиций из пологих оболочек и пластин // Проблемы прочности материалов и конструкций, взаимодействующих с агрессивными средами: Межвуз. научн. сб. Саратов: СГТУ, 1998.-С. 131-136.

83. Чернуха Ю.А. Дискретно континуальная модель температурных полей оребренных оболочек // XIV научное совещание по тепловым напряжениям в элементах конструкций.- Киев: Наукова Думка, 1977.- С. 100.

84. Швец Р. Н., Лунь Е. И. Некоторые вопросы теории термоупругости ортотропных оболочек с учетом инерции поворота и поперечного сдвига. // Прикл. мех. 1971. - №10. - с. 121-125.

85. Шереметьев М. П., Пелех Б. Л. К построению уточненной теории пластин. // Инженерн. журнал, т. 4, вып. 3, 1964.

86. Якунчихин В.Г. Расчет пологих оболочек, усиленных перекрестной системой ребер. // Совершенствование строит, конструкций из дерева и пластмасс: Межвузов, сб. тр. СПбИСИ, 1992,- с.90-95

87. Chien Weizang. Approximation theory of three dimensional elastic plates and its boundary conditions without using Kirchhoff-Love assumptions. // Appl. Math.127

88. And Mech. EngL Ed. 1995. - 16, №3. - p. 203-224.

89. Chien Weizang, Ru Xueping. Preliminary report of elastic circular plate with no Kirchhoff-Love assumptions. // J. Shanghai Univ. 1997. - 1, №1. - p. 1-14.

90. Reissner E. On transverse vibration of thin shallow shells // Quarteriy of Appl. Math. 1955. -13, №2. - pp. 169-170.

91. Reissner E. On a variational theorem ih elastisity. //J. Math. Phys. 1950. -pp. 90-95.

92. Reissner E. Stresses and small displacements of shallow spherical shells. // J. Math. Phys. 1946. - 25. - pp. 80-86.

93. Reissner E. Quart. Appl. Math. 1953. - v. 10. - P. 395.

94. Favre H. Schweiz. Bauztg. 1942. - v.60. - P.35.

95. Jensen V. Univ. Illinois Bull. 1947. - P.369.