Решение некоторых задач термоупругости анизотропных (неортотропных) пластин тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РГб од

/ 3 МАП 1993

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ АРМЕНИИ

Ереванский государственный университет

на правах рукописи

ГМСТЯН КАРИНЕ АНДРАНИКОВНА УДК 539.3

РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ТЕРМОУПРУГОСТИ АНИЗОТРОПНЫХ (НЕСРТОТРОПНЫХ) ПЛАСТИН

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ЕРЕВАН -1993

Работа выполнена на кафедре механики сплошной среды Ереванского государственного университета Научный руководитель - член корр. АН Армении,доктор физико-математических наук,заслуженный деятель науки Армении,, профессор САРКИСЯН B.C. Научный консультант - кандидат физико-математических, наук,

ДЖИЛАВЯН С.А.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор АГАЛОВЯН Л.А;, кандидат физико-математических наук, доцент ЕДОЯН В.А. Ведущая организация - Ереванский государственный технический

университет ^

Защита состоится 1993Г.в /Л час в ауди-

тории N 22 на заседании Специализировванного Совета К 055.01.02 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Ереванском государственном университете по адресу: 375049,г.Ереван -49.ул.А.Манукяна I.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ереванского государственного университета.

Автореферат разослан 1993г.

Ученый секретарь Специализированного Совета кандидат физико-математичес-

• Г N

ких наук,доцент ; j \ Минасян М.М

\ -3-ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность и цель работы. В связи с проблемами,возникающими при разработке новых инженерных конструкций из композиционных материалов,успешно функционирующих при высоких уровнях температуры,термоупругость в последние годы получила существенное развитие.Значительные технические достижения,связанные с развитием ядерной энергетики,ракетной техники,требуют изучения напряженного состояния элементов конструкций,вызываемого неравномерным нагревом возникающих в рабочих условиях значительными градиентами температуры. "

Интенсивное развитие теории термоупругости изотропных и анизотропных пластин и оболочек,методов расчета температурных полей и напряжений связано с именами таких ученных-механиков.как: Агаловян Л.А..Амбарцумян С.А..Алексанян Р.К.,Болотин В.В.,Бурак Я.И..Василенко А.Т..Галинып А.К..Гольденблат И.И..Григолыок Э.И.,Григоренко Я.М..Грилицкий Д.В.,Гринченко В.Т.,Гузь А.Н., Даниловская В.И..Дургарьян С.М.,Едоян В.А..Коваленко А.Д..Коляно Ю.М.,Коренев В.Г..Космодамианский A.C..Кудрявцев Б.А..Кулик

A.Н..Лебедев H.H.,Лыков A.B..Майзель В.М..Мовсисян Л.А., Мотовиловец И.А. .Николаенко H.A. .Новичков Ю.Н. .Пелех Б.Л..Пискудов

B.Г.,Пляцко Г.В..Подстригач Я.С.,Прусов И.А..Саргсян A.M..Саркисян В.С..Терегулов,И.Г.,Уздалев А.И.,Улитко А.Ф..Хорошун Л.Г.,Швец

Р.Н..Боли Б.,Грин А.Е..Малкин Я.Ф..Маргерр К.,Маунтфорт М.,Мелан Э.. Новацкий В.,Паркус Г.,Уейнер Дж. Чобанян К.С. и другие.

Исследованию задач теплопроводности,динамической и статической термоупругости анизотропных и изотропных пластин и оболочек посвящены монографии А.Д Коваленко.,И.А. Мотовшговца,Я.С.Под-

стригача.Ю.М. Коляно, Р.Н.Швеца , И.А. Прусова, А.И. Уздалева , A.C. Космодамианского и С.А. Калоерова и многих других исследователей.

Исследованию задач стационарной термоупругости анизотропных (неортотропных) пластин и задач теплопроводности пластин обладающих цилиндрической анизотропией посвящена диссертационная работа.Решена задача распределения температуры в цилиндрическом ортотропном неоднородном клиновидном теле .когда характеристики (коэффициенты) теплопроводности зависят от радиального•координата. Предложены метода решения задачи термоупругости неортотропных пластин.Доказана сходимость решений. Диссертационная работа посвящена

- исследованию стационарного расспределения • температуры в ортотропном неоднородном клиновидном теле,

- решению температурных задач анизотропных ( неортотропных) пластин методом малого геометрического параметра,.

- исследованию конкретных задач термоупругости:. пластин с удлиненными профилями (авиационный профиль .полоса-пластинка,, эллиптическая пластинка),

- решению температурных задач анизотропных( неортотропных) пластин методом малого физического параметра,

- исследованию сходимости решений. Научная новизна.В работе решена задача термоупругости анизотропных ( неортотропных) пластин методами малого геометрического и физического параметра,и доказана сходимость полученных решений.

Решена задача стационарного расспределения температуры в ортотропном,неоднородном клиновидном теле,когда функции

пссдисродности(характеристики теплопроводности) заданы в виде экспоненциальной или показательной функции.

В зависимости от физико-механических и тепловых воздействий фундаментальное решение выражено функциями Уиеттекера. Практическая значимость. Результаты, которые получены в диссертационной работе.могут быть использованы при расчете температурных напряжений в инженерных конструкциях,надежно функционирующих при тепловых воздействиях,при рассмотрении других краевых задач встречающихся в механике сплошной среды. Апробация работа.Основные результаты диссертации докладывались и обсувдались на ежегодных научных сессиях профессорско-преподавательского состава .и аспирантов ЕГУ (1986-91гг.) ,на.III Всес. конференции "Прочность,жесткость и технологичность изделий из композиционного материала" (Запорожье,1990г.),на I Всес. конфер. "Технологические проблемы прочности несущих конструкций" (Запорожье,1991г.),на VII Межотраслевой научно-технической конференции "Проблемы создания конструкций из композиционных материалов и их внедрение в практику совершенствования ' образцов новой техники" (Миасс,1992).

Публикации.Основные результаты диссертации изложены в восьми работах,список которых приводится в конце автореферата. Структура и обьем работы. Диссертационная работа состоит из введения,трех глав,заключения и списка литературы включающего 117 наименований.

-6-

Содержание работы.

■ Во введении приведен краткий обзор научной литературы и изложено краткое содержание работы,определены цель,характер и актуальность работы.

В первой главе приведены основные соотношения,получены дифференциальные уравнения термоупругости анизотропных - имеющих в каждой точке одну плоскость упругой и тепловой симметрии.пластин.

В первом параграфе приведены некоторые необходимые'соотношения и основные уравнения,граничные условия теории термоупругости анизотропного тела.

Во втором параграфе изложена температурная задача анизотропных пластин .Получена система дифференциальных уравнений температурной задачи анизотропных пластин,приведены двумереые уравнения теплопроводности.

Третий параграф посвящен задаче теплопроводности пластин, обладающих цилиндрической анизотропией. Приведено уравнение теплопроводности для тела обладающего цилиндрической тепловой анизотропией. Решена задача стационарного расспределения температуры в ортотропном неоднородном клиноводном теле. Функции неоднородности,т.е. характеристики теплопроводности принимаются в следующем виде: х = х°е"ЕГ , х = х°е"вг

г Г р р

( -постоянные ,з>0).

г <р

Фундаментальное решение выражается функциями Уиеттекера в зависимости от физико-механических и тепловых свойств тела.

Когда для характеристик теплопроводности принимается следующее

распределение по радиусу X. = \°г"' , X = \°г"

г г <р р

и на одной граничной поверхности (р=0) задана постоянная температура,а на другой (*>=<*) тепловой поток ,из полученных решений для некоторых значений угла а видно,что при э^О градиент

температуры и тепловой поток в направлениях г будет иметь вблизи • вершины логарифмическую особенность независимо от условий вдали от вершины.Устранение логарифмической особенности в случае данного угла а можно добиться как выбором анизотропии,так и выбором степени неоднородности.

Для других значений угла а возможно наличие степенной особенности .Возникает особенность если одновременно имеют место условия з<1 .оял/гГРэ".Меняя степень неоднородности или анизотропию можно вообще устранить всякую особенность,в частности при э>1. Вторая глава посвящена исследованию задачи термоупругости анизотропных ( неортотропных) пластин.

Задача термоупругости удлененных анизотропных пластин решается методом малого геометрического параметра.

Рассматривается однородная.неортотроиная длинная, пластинка, ямсгацш одну плоскость упругой симметрии,которая находится под влиянием температурного поля 1;(х,у,2) и на пластинку действует внешняя нагрузка я(х,у) .Считается,что материал тела обладает прямолинейной анизотропией и тепловой неортотропией такой ,что в каждой ее точке одна из главных осей теплопроводности перпендикулярна к плоскости хоу.Принамается также,что пластинка защемлена по краям,и на граничной поверхности пластинки задано распределение температуры.

Задача стационарной термоупругости неортотропной пластинки,когда на торцевых поверхностях имеет место теплообмен с окружающей средой нулевой температуры,сводится к решению следующих уравнений: уравнения теплопроводности

к а2т + а т = (1)

11 ах2 112 ахау 12 ауг ° 01 и

и уравнения изгиба пластинки

в + +2(В + гъ)-^— +

11 ах 1в ах ау 12 й<5 ах2а/ " ах ау3

- МЧ- 1 = ч(х>у) (2)

ау4 ^ [ ах2 12 ахау 2 ау2 J

с граничными условиями

Т| =*>(х,у),

№1г=0, -Ж"|г= 0 (3)

Решения представляются в виде ряда по степеням малого параметра х,введенного в уравнение контура области пластинки

ш

Р(х,т7;\)= ^ хкРк(х,п) , ( И(х,у)=Р(а:.1?;\))

к=0

00

а(х,г,;х)=^хкОк(х,п) ( Т(х,у)=0(х,>7;х)) (4)

к=о (У=Хт>)

Для определения неизвестных функций 0к(х,у).Рк(х,у) (к=0,1,...) из уравнений (1),(2) при помощи выражений (4) получены рекуррентные дифференциальные уравнения в частных производных, которые при условиях (3) последовательно интегрируются. .

Полученные результаты значительно упрощаются,когда рассматривается симметричная область относительно оси х.

Решены конкретные задачи.Рассмотрена задача .термоупругости анизотропных пластин эллиптического сечения,авиационного профиля и

полосы-пластинки.

Пользуясь теоремами вложений С.Л. Соболевали некоторыми результатами работ Саркисяна В.С.'"доказана асимптотическая сходимость рядов,а именно получены следующие оценки

, , х""1 (а +xb ) |рп(х,у;м| < - " " к;

К„

где

lkdl<°-Г^-ГТ" У"™ ХЧ<П) '

И (4а +b х ) 4—

2 v=0

п

pn(x,y;x) = Т - У^Ч ,

"п.х = w -

a^.tT ,С,К*.К^.А. (п)(1=1,2,3) некоторые известные величины.

Рассмотрена задача термоупругости пластин изготовленных из ортотропного материала.Предпологается,что главные направления анизотропии (физические оси) не совпадают с геометрическими осями. Для конкретных задач распределения некоторых расчетных функции показаны на графиках.

Получены важные результаты , по которым можно ориентировать оси анизотропии так,чтобы иметь пластинку с наилучшими механическими свойствами.

"'Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа к математической физике.,Изд.ЛГУ,Л.,1950.

"'Саркисян B.C. Некоторые задачи математической теории упругости анизотропного тела,1976,изд.ЕГУ.

Т(О.О.р) №(0,0,р)

Ниже приведены графики функций И, (*■)= т(0,0 0) •

Мк(0,0,р)

И3(»>)=ц (о 0 0> для эллиптической пластинки,

X

где Мх и Н - внутренные моменты.

2.0 -

1.5

Г

1.0,- г

0.5-

0.0

•Graph С ■ Graph В ■Graph R

■Graph D

Здесь граф. А-график функции (*>) .граф. В-график функции й (»»), граф. С-график функции йз(»>)1граф. В-график функции В третьей главе задача термоутгругости неортотропных пластин

решается методом малого физического параметра.

Рассматривается однородная,анизотропная(неортотрпная) пластинка, имеющая одну плоскость упругой симметрии,которая находится под ■ влиянием температурного поля их.у.а) и на пластинку действует внешняя нагрузка д(х,у).Считается,что тело обладает прямолинейной анизотропией(тепловой неортотропией) такой ,что в каждой ее точке

одна из главных осей теплопроводности перпендикулярна к плоскости

хоу.Принамается также,что на граничной поверхности пластинки задано распределение температуры .

Вводятся следующие малые параметры

Б \

и = --- < 1 , м = -—==г=- < 1 . (5)

I Б Б т I \ \

11 С*5 { 11 12

Принимается,что мт= бм.Второе соотношение получается из основного положения термодинамики необратимых процессов. Решения дифференциальных уравнений представляются в виде рядов по степеням малого параметра м

ю _

т=1 СО

т=1

где Т=Т-*> ,Т(х,у)=Р(? ,т>),И(х,у)=*(? ,»). Решения краевых задач с неразделяющимися переменными сводятся к решению рекуррентных краевых задач с разделяющимися переменными.

Иначе говоря, задача термоупругости для неортотропной пластинки обладающей прямолинейной упругой и тепловой неортотропией своди' к ряду задач,сходных с задачей термоупругости ортотропш пластин, обладающих прямолинейной ортотропией.

Исследован вопрос о сходимости и существовании решений краевых задач.

Получена следующая оценка!

где С,К1,К2,М1- некоторые константы,зависящие от физико-механических характеристик материала пластинки.

В заключении приводятся основные результаты работы:

1.Решена задача стационарного расспределения температуры ортотропном неоднородном клиновидном теле.когда функци неоднородности (т.е.характеристики теплопроводности) принимаются : виде экспоненциальной или показательной функции.

В первом случае в зависимости от физико-механических и тепловых свойств тела фундаментальное решение выражается функциями Уиеттекера.а во втором доказана,что изменяя степень неоднородност] или анизотропию можно вообще устранить всякую особенность.

2.Решена задача стационарной термоупругости анизотропных(неорто-тройных) защемленных пластин удлиненного профиля методом малого

геометрического параметра.Получены важные с точки зрения практики результаты для пластин симметричной области. Рассмотрена задача термоупругости неортотропных пласт! эллиптического сечения,авиационного профиля и полосы-пластинки.

3.Доказана сходимость решений задачи термоупругости неортотропных

<5 <

20(1^1+1^1) та

КГ

пластин полученных с помощью метода малого геометрического параметра.

4.Решена задача стационарной термоупругости анизотропных (неор-тотропных) пластин методом малого физического параметра.Решена задача для прямоугольной пластинки с опертыми сторонами.

5.Доказана сходимость полученных разложений задачи термоупругости эяизотропных пластин при решении методом малого физического параметра.

Основные результаты изложены в работах:

1. Саркисян Б.С.,Галстян К.А. Об одном методе решения задачи термоупругости неортотропной пластинки.// Ученные записки ЕГУ, N I (170),1989,o.t4CM43.

2. Саркисян В.С.,Галстян К. А. О методах решения задачи термоулругости анизотропной пластинки. /7 Тез. докл.III .Всес.

Прочность,кесткоо-ть ц технологичность изделий из композ. мириад« )h"., Запорожье, 1939, с. 185-186.

о.СнркйСлН B.C. ,Джилявя.н С.А..Галстяк К.А. Решение задачи не-'•ч^чион^.рной тврчоупругости неортотрогяных защемленных шгастин./'/Тез. докл.Проблемы динамики взоимодействия деформируемых сред",Ереван,1990,с.227-231.

4.Саркисян В.С.,Галстян К.А.Применение метода малого физического параметра в решении задачи термоупругости.// I Всес. конф., Запорожье,Технологические проблемы прочности несущих конструкций,1991.

5.Саркисян В.С.,Галстян К.А.Решение задачи 'термоупругости

неортотропных длинных защемленных пластин // Механика,Межвуз.сб. научных трудов,вып.8,Вопроси механики деформируемого твердого тела,изд-во ЕГУ,1991.с,124-149.

6.Саркисян B.C..Галстян К.А. Один случай стационарного распределения температуры в ортотропном неоднородном клиновидном теле.// В сб.Инженерно-физические проблемы новой техники, изд-во МГТУ,М.1992.

7.Галстян К.А.Об одном способе решения задачи нестационарного распределения температуры в орт,отропном неоднородном клиновидном теле.// VII Межотраслевая научно-техническая конференция "Проблемы создания конструкции из композиционных материалов и их внедрение в практику совершенствования образцов новой техники",Миасс,1992.

8.Саркисян В.С.,Галстян К.А., Кутузян H.A. О стационарном распределении температуры в ортотропном неоднородном клиновидном теле.//Ученные записки ЕГУ.И 1,1993,находится в печати.